ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 182.
Решаем ОГЭ 182 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №182 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 182 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №182 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$(1\frac{1}{12}+\frac{1}{15})\div1\frac{2}{3}$$
$$(\frac{13}{3*4}+\frac{1}{3*5})\div \frac{5}{3}=$$$$\frac{13*5+1*4}{3*4*5}*\frac{3}{5}=$$$$\frac{69}{4*5*5}=0,69$$
Задание 2
В таблице приведены размеры штрафов за превышение максимальной разрешённой скорости, зафиксированное с помощью средств автоматической фиксации, установленных на территории России с 1 сентября 2013 года.
| Превышение скорости, км\ч | 21-40 | 41-60 | 61-80 | 81 и более |
| Размер штрафа, руб. | 500 | 1000 | 2000 | 5000 |
Какой штраф должен заплатить владелец автомобиля, зафиксированная скорость которого составила 95 км/ч на участке дороги с максимальной разрешённой скоростью 60 км/ч?
Превышение составляет 35 км/ч, что входит в интервал 21-40, и штраф в таком случае составляет 500 руб. Тогда ответ под номером 1
Задание 3
$$\sqrt{25} < \sqrt{30} < \sqrt{36} \Leftrightarrow$$$$ 5 < \sqrt{30} < 6$$. То есть правильный ответ будет под номером 3
Задание 4
$$(3-\sqrt{7})^{2}=$$$$3^{2}-2*3*\sqrt{7}+(\sqrt{7})^{2}=$$$$9+7-6\sqrt{7}=$$$$16-6\sqrt{7}$$
Задание 5
При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси – напряжение в вольтах. Определите по рисунку на сколько вольт упадет напряжение с конца 6-го по конец 56-го часа фонарика.
Конец 6го - 1,4В, конец 56го - 1В. Тогда разница составляет: $$1,4-1=0,4$$
Задание 6
Решите уравнение $$(2x+3)^{2}+(x-5)^{2}=5x^{2}$$
$$(2x+3)^{2}+(x-5)^{2}=5x^{2}$$ $$4x^{2}+12x+9+x^{2}-10x+25-5x^{2}=0$$ $$2x+34=0$$ $$x=-17$$
Задание 7
После уценки электрического чайника его новая цена составила 0,65 старой. На сколько процентов уменьшилась цена чайника в результате уценки?
Если проценты переводить в доли единицы, то получаем, что 1 процент соответствует 0,01, тогда 0,65 это 65 процентов, и , следовательно, уменьшение произошло на $$100-65=35%$$
Задание 8
На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км2) стран мира.
Задание 9
Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 65 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
В оставшиеся дни ежедневно будет по : $$\frac{65-26}{3}=13$$ выступлений. Тогда вероятность выступить в третий день ( как и в любой другой, кроме первого ) : $$P=\frac{13}{65}=0,2$$
Задание 10
Найдите значение с по графику функции $$y=ax^{2}+bx+c$$, изображенному на рисунке.
Значение коэффициента $$c$$ соответствует ординате точки пересечения оси $$oY$$ графиком квадратичной функции, то есть в приведенном примере $$c=2$$ (3 вариант ответа)
Задание 11
Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: - 3; 1; 5; ... Найдите сумму первых тридцати её членов.
Первый член прогрессии : $$a_{1}=-3$$ ; разность арифметической прогрессии: $$d=1-(-3)=4$$. Найдем сумму первых тридцати ее членов: $$S_{30}=\frac{2*(-3)+4(30-1)}{2}*30=$$$$110*15=1650$$
Задание 12
Упростите выражение $$\frac{6b}{7a}-\frac{49a^{2}+36b^{2}}{42ab}+\frac{7a-36b}{6b}$$ и найдите его значение при $$a=-39$$, $$b=99$$
$$\frac{6b}{7a}-\frac{49a^{2}+36b^{2}}{42ab}+\frac{7a-36b}{6b}=$$$$\frac{36b^{2}-49a^{2}-36b^{2}+49a^{2}-36*7ab}{42ab}=$$$$\frac{-6*6*7ab}{6*7ab}=-6$$
Задание 13
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $$S=\frac{d_{1}d_{2}\sin\alpha}{2}$$, $$d_{1},d_{2}$$ - длины диагоналей четырёхугольника, $$\alpha$$ - угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой найдите длину диагонали $$d_{2}$$, если $$d_{1}=9$$, $$\sin\alpha=\frac{1}{6}$$, $$S=15$$
$$d_{2}=\frac{2S}{d_{1}\sin\alpha}=$$$$\frac{2*15}{9*\frac{1}{6}}=$$$$\frac{2*15*6}{9}=20$$
Задание 14
На каком рисунке изображено множество решений неравенства $$18-5(x+3)>1-7x$$ ?
$$18-5(x+3)>1-7x \Leftrightarrow$$$$18-5x-15-1+7x> 0 \Leftrightarrow$$$$2x> -2|:2 \Leftrightarrow$$$$x> -1$$. Данный ответ соответствует 3 варианту.
Задание 15
От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. Ответ дайте в метрах.
Задание 16
Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=75° и ∠OAB=18°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
Угол ABC вписанный, угол AOC - центральный, они опираются на одну дугу, значит угол AOC в два раза больше, то есть 150 градусов. Тогда внутренний угол $$AOC=360-150=210$$. Тогда по свойству углов четырехугольника $$\angle BCO = 360-210-75-18 =57^{\circ}$$
Задание 17
Высота равностороннего треугольника равна $$3\sqrt{3}$$. Найдите его периметр.
Пусть а - сторона треугольника, h - высота, тогда: $$h=a\sin 60^{\circ} \Leftrightarrow$$$$a=\frac{h}{\sin 60^{\circ}}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=6$$. Периметр - сумма длин всех сторон, тогда : $$P=3*6=18$$
Задание 18
Площадь ромба равна 60, а периметр равен 30. Найдите высоту ромба.
Раз периметр равен 30, то одна сторона ромба: $$a=\frac{30}{4}=7,5$$. Высоту ромба можно найти через его площадь: $$h=\frac{S}{a}=\frac{60}{7,5}=8$$
Задание 19
В треугольнике $$ABC$$ $$AB=BC=3\sqrt{5}$$, высота СН равна 3. Найдите $$tg A$$.
По теореме Пифагора из треугольника BCH: $$BH=\sqrt{(3\sqrt{5})^{2}-3^{2}}=6$$. Вероятнее всего необходимо найти тангенс угла B, его можно найти как отношение CH к BH из треугольника BCH: $$tg A=\frac{3}{6}=0,5$$ Если же надо именно угла А, то найдем AH : $$AH=AB-BH=3\sqrt{5}-6$$. Тогда из треугольника AHC: $$tgA=\frac{CH}{AH}=\frac{3}{3\sqrt{5}-6}$$
Задание 20
1. Все углы ромба равны.
1. Все углы ромба равны - неверно, только противоположные 2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны - верно 3. Высота ромба в два раза больше радиуса вписанной в него окружности - верно
Задание 21
Решите уравнение $$(x-2)^{3}-(x-3)^{3}=37$$
Разложим левую часть уравнения по формуле сокращенного умножения разность кубов: $$((x-2)-(x-3))((x-2)^{2}+(x-2)(x-3)+(x-3)^{2})=37 \Leftrightarrow$$$$(x-2-x+3)(x^{2}-4x+4+x^{2}-5x+6+x^{2}-6x+9)=37 \Leftrightarrow$$$$1*(3x^{2}-15x+19)=37\Leftrightarrow$$$$3x^{2}-15x-18=0 |:3 \Leftrightarrow$$$$x^{2}-5x-6=0$$ Воспользуемся теоремой Виета: $$\left[\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=5\\ x_{1}*x_{2}=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=6\\ x_{2}=-1\end{matrix}\right.$$
Задание 22
Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого.
Чтобы найти время, за которое догоняет первый объект второго, при учете различного времени выезда, необходимо воспользоваться формулой: $$t=\frac{v_{2}t_{1}}{v_{1}-v_{2}}$$, где $$v_{1}$$-скорость того, кто догоняет, $$v_{2}$$ - скорость того, которого догоняют, $$t_{1}$$-разница во времени выезда. Пусть x км/ч - скорость третьего. Тогда, время, за которое третий догонит второго: $$t_{1}=\frac{10*1}{x-10}$$,- время, за которое третий догонит первого: $$t_{2}=\frac{15*2}{x-15}$$. При этом $$t_{2}-t_{1}=2\frac{20}{60}$$ часов. $$\frac{15*2}{x-15}-\frac{10*1}{x-10}=2\frac{20}{60} \Leftrightarrow$$$$\frac{30}{x-15}-\frac{10}{x-10}=\frac{7}{3} |*3(x-15)(x-10) \Leftrightarrow$$$$3(30x-300-10x+150)=7(x^{2}-25x+150)\Leftrightarrow$$$$60x-450-7x^{2}+175x-1050=0|*(-1)\Leftrightarrow$$$$7x^{2}-235x+1500=0$$ Найдем корни уравнения через дискриминант: $$D=55225-42000=13225=115^{2}$$ $$x_{1}=\frac{235+115}{14}=25$$ $$x_{2}=\frac{235-115}{14}=\frac{60}{7}$$ - не подходит, так как скорость третьего должна быть больше, чем скорости первого и второго (иначе он их не сможет догонять)
Задание 23
Постройте график функции $$y=|x^{2}-5x+2|$$ . Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Задание 24
На сторонах ВС и ВА треугольника АВС взяты точки E и F такие, что ВE:EС=1:3, ВF:FА=1:2. Площадь треугольника BEF равна 10. Найти площадь треугольника АВС
$$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{AB*BC}{BF*BE}(1)$$. Так как ВE:EС=1:3, то BC=4BE, так как ВF:FА=1:2, то AB=3BF. Подставим данные выражения в формулу (1): $$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{3BF*4BE}{BF*BE}=12$$, тогда $$S_{ABC}=12S_{BFE}=12*10=120$$
Задание 25
Докажите, что в трапеции, диагонали которой являются биссектрисами углов при одном из оснований, длины трёх сторон равны.
1)$$\angle BDA=\angle DBC$$(накрестлежащие при параллельных BC и AD) ; $$\angle BDA=\angle BDC$$ (BD - биссеткриса) , тогда $$\angle BDC=\angle DBC$$, тогда треугольник BDC - равнобедренный и BC=BD(1)
2)аналогично рассматривается равенство углов BAC и BCA, тогда треугольник ABC - равнобедренный, и AB=BC, но с учетом равенства (1) получаем AB=BC=CD.
ч.т.д.
Задание 26
В треугольнике АВС точка D на стороне ВС и точка F на стороне АС расположены так, что ВD:DC=3:2, AF:FC=3:4. Отрезки AD и BF пересекаются в точке Р. Найдите отношение АР:PD.
ВD:DC=3:2, пусть BD=3x, тогда DC=2x, а BC=5x. AF:FC=3:4, пусть AF=3y, тогда FC=4y. По теореме Менелая для треугольника BFC: $$\frac{AP}{PD}*\frac{BD}{BC}*\frac{CF}{AF}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{AP}{PD}*\frac{3x}{5x}*\frac{4y}{3y}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{AP}{PD}=\frac{5}{4}$$