ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 200.
Решаем ОГЭ 200 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 200 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 200 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 200 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$\frac{\frac{1}{3}-\frac{5}{12}}{1\frac{1}{5}-\frac{2}{3}}$$
$$\frac{\frac{1}{3}-\frac{5}{12}}{1\frac{1}{5}-\frac{2}{3}}=$$$$\frac{\frac{4-5}{12}}{\frac{18-10}{15}}=$$$$-\frac{1}{12}*\frac{15}{8}=-\frac{5}{32}=-0,15625$$
Задание 2
В таблице приведены нормативы по прыжкам с места для учеников 11 класса.
Мальчики | Девочки | |||||
Отметка | «5» | «4» | «3» | «5» | «4» | «3» |
Расстояние, см | 230 | 220 | 200 | 185 | 170 | 155 |
Какую оценку получит девочка, прыгнувшая на 177 см?
177 см больше 170 см, но меньше 185 см, следовательно, оценка будет 4
Задание 3
Известно, что число m отрицательное. На каком из рисунков точки с координатами 0, m, 2m, m2 расположены на координатной прямой в правильном порядке?
Пусть $$m=-2$$, тогда $$2m=-4$$ ; $$m^{2}=4$$. Следовательно, в порядке возрастания $$2m;m;0;m^{2}$$, что соответствует 3 варианту ответа.
Задание 4
Какое из данных чисел $$\sqrt{6,4}; \sqrt{640}; \sqrt{6400}$$ является рациональным?
Варианты ответа:
- $$\sqrt{6,4}$$
- $$\sqrt{640}$$
- $$\sqrt{6400}$$
- ниодного из них
- $$\sqrt{6,4}=\sqrt{\frac{64}{10}}=\frac{8}{\sqrt{10}}$$ - иррациональное
- $$\sqrt{640}=\sqrt{64*10}=8\sqrt{10}$$ - иррациональное
- $$\sqrt{6400}=\sqrt{64*100}=8*10=80$$ - рациональное
Следовательно, 3 вариант ответа
Задание 5
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2015 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в Томске выпало ровно 1 миллиметр осадков.
1 мл выпал 18 числа
Задание 6
Решите уравнение $$\frac{x^{2}-2x-8}{x-4}=0$$
ОДЗ: $$x-4 \neq 0 \Leftrightarrow$$$$x \neq 4$$
$$\frac{x^{2}-2x-8}{x-4}=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}-2x-8=0$$
$$D=4+32=36$$
$$x_{1}=\frac{2+6}{2}=4$$
$$x_{2}=\frac{2-6}{2}=-2$$
С учетом ОДЗ: $$x=-2$$
Задание 7
Катя прочитала 85 страниц книги, после чего ей осталось прочитать еще 60 страниц. Сколько страниц в книге?
Всего страниц : 85+60=145
Задание 8
На диаграмме показан возрастной состав населения России. Определите по диаграмме, какая из возрастных категорий самая малочисленная.
Варианты ответа
- 0 – 14 лет
- 15 – 50 лет
- 51 – 64 лет
- 65 лет и более
Самый маленький сегмент составляет 65 лет и более, что соответствует 4 варианту ответа
Задание 9
В каждом двадцать пятом пакете сока согласно условиям акции под крышкой есть приз. Призы распределены случайно. Маша покупает пакет сока. Найдите вероятность того, что Маша не найдёт приз в своём пакете
В 24 из 25 пакетах приза нет, следовательно, вероятность без приза : $$P=\frac{24}{25}=0,96$$
Задание 10
На рисунке изображён график функции $$y=ax^{2}+bx+c$$ . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.
УТВЕРЖДЕНИЯ
А) Функция возрастает на промежутке
Б) Функция убывает на промежутке
ПРОМЕЖУТКИ
- [-3; 3]
- [0; 3]
- [-3; 1]
- [-3; 0]
Функция возрастает $$(-0,5 ;+\infty )$$, что соответствует 2 варианту , убывает на $$(-\infty ;-0,5)$$, что соответствует 3 варианту.
Задание 11
Дана геометрическая прогрессия 12, 48, 192, ... Какое число стоит в этой последовательности на 6-м месте?
Найдем знаменатель геометрической прогрессии : $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{48}{12}=4$$. Найдем 6 член геометрической прогрессии : $$b_{n}=b_{1}*q^{n-1}\Rightarrow$$$$b_{6}=12*4^{5}=12288$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$-24ab-(4a-3b)^{2}$$ при $$a=\sqrt{2}$$, $$b=\sqrt{7}$$
$$-24ab-(4a-3b)^{2}=$$$$-24ab-(16a^{2}-24ab+9b^{2})=$$$$-16a^{2}-9b^{2}=$$$$-16(\sqrt{2})^{2}-9(\sqrt{7})^{2}=$$$$-16*2-9*7=-32-63=-95$$
Задание 13
Из формулы радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, $$r=\frac{ab}{a+b+c}$$ выразите и вычислите катет a, если катет b=7,2, гипотенуза c=7,8 и радиус вписанной окружности r=1,2.
Выразим a: $$r(a+b+c)=ab\Leftrightarrow$$ $$ra-ab=r(-b-c)\Leftrightarrow$$ $$a(b-r)=r(b+c)\Leftrightarrow$$ $$a=\frac{r(b+c)}{b-r}$$ Найдем a : $$a=\frac{1,2(7,2+7,8)}{7,2-1,2}=\frac{15}{6}=3$$
Задание 14
$$13-3x\geq 6-x \Leftrightarrow$$ $$-3x+x\geq 6-13\Leftrightarrow$$ $$-2x\geq -7\Leftrightarrow$$ $$x\leq 3,5$$, что соответствует 2 варианту
Задание 15
Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 6 м и 7 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?
Площадь пола : $$S=6*7=42$$ м$$^{2}$$. Площадь дощечки : $$10*25=250$$ см $$^{2}$$ $$=0,025$$ м$$^{2}$$ . Количество дощечек: $$\frac{42}{0,025}=1680$$
Задание 16
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла В треугольника ABC, если угол AOС равен 140. Ответ дайте в градусах .
$$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC$$ (свойство вписанного угла)
$$\angle ABC=\frac{1}{2}*140=70$$
Задание 17
Сторона ромба равна 17, а диагональ равна 16. Найдите площадь ромба
Из $$\Delta ABH$$: $$BH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15\Rightarrow$$ $$BD=30$$
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC*BD=$$$$\frac{1}{2}*30*16=240$$
Задание 18
В треугольнике ABC $$AC=\sqrt{5}$$ , $$BC=\sqrt{11}$$ , угол C равен 90. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы:
$$R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{11+5}=2$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
Задание 21
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{matrix}x+xy+y=5\\ x^{2}+xy+y^{2}=7\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}x+xy+y=5\\x^{2}+xy+y^{2}=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x+y)+xy=5\\x^{2}+2xy+y^{2}-xy=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x+y)+xy=5\\(x+y)^{2}-xy=7\end{matrix}\right.$$
Пусть x+y=a; xy=b
$$\left\{\begin{matrix}a+b=5(1)\\a^{2}-b=7(2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$b=5-a$$
Сложим (1) и (2): $$a^{2}+a=12\Leftrightarrow$$ $$a^{2}+a-12=0$$
$$\left\{\begin{matrix}a_{1}+a_{2}=-1\\a_{1}*a_{2}=-12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a_{1}=-4\\a_{2}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=5-(-4)=9\\b=5-3=2\end{matrix}\right.$$
$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x+y=-4\\xy=9\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=4-y\\(-4-y)y=9\end{matrix}\right. (1)\\\left\{\begin{matrix}x=3+y\\(3-y)y=2\end{matrix}\right.(2)\end{matrix}\right.$$
(1): $$-y^{2}-4y-9=0\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+4y+9=0\Leftrightarrow$$ $$D=16-36<0\Rightarrow$$ решений нет
(2): $$3y-y^{2}=2\Leftrightarrow$$ $$y^{2}-3y+2=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=1\\y_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=2\\x_{2}=1\end{matrix}\right.$$
Задание 22
Мастеру на выполнение заказа потребуется на 5 дней меньше, чем его ученику, но при совместной работе они выполнят заказ на 4 дня быстрее, чем мастер, работающий в одиночку. За сколько дней выполнит заказ мастер, работая в одиночку?
Пусть x-производительность мастера в день, y-ученика , 1-объем работы . Тогда: $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=5\\\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=5\\\frac{x+y-x}{x(x+y)}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=5(1)\\\frac{y}{x(x+y)}=4(2)\end{matrix}\right.$$
(1): $$\frac{x-y}{xy}=5\Leftrightarrow$$ $$x-y=5xy\Leftrightarrow$$ $$x=5xy+y\Leftrightarrow$$ $$x=y(5x+1)\Leftrightarrow$$ $$y=\frac{x}{5x+1}$$
(2): $$4x(x+y)=y\Leftrightarrow$$ $$4x(x+\frac{x}{5x+1})=\frac{x}{5x+1}|:x\Leftrightarrow$$ $$4(\frac{5x^{2}+2x}{5x+1})=\frac{1}{5x+1}|:(5x+1)\Leftrightarrow$$ $$20x^{2}+8x-1=0\Leftrightarrow$$ $$D=64+80=144$$
$$x_{1}=\frac{-8+12}{40}=\frac{1}{10}\Rightarrow$$ $$t_{x}=1:\frac{1}{10}=10$$
$$x_{2}=\frac{-8-12}{40}<0$$
Задание 23
Постройте график функции $$y=|x-4|+|x+4|$$ и найдите все значения k , при которых прямая $$y=kx$$ имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.
Рассмотрим раскрытие модулей:
$$\left\{\begin{matrix}x\leq -4, y=-x+4-(-x-4)=8\\x \in (-4,4)(1), y =-x+4-(x+4)=-2x-8\\x\geq 4(2), y=x-4-(x+4)=-8(3)\end{matrix}\right.$$
Построим график данной кусочной функции:
Как видим, одна точка пересечения у графика будет в случае: $$k \in (-\infty ;-2)\cup [0;+\infty )$$
Задание 24
В прямоугольной трапеции с острым углом 45, большая боковая сторона равна $$16\sqrt{2}$$ см, а меньшая диагональ равна 20 см. Найдите площадь трапеции.
1) Пусть $$CH\perp AD$$, тогда $$\Delta CHD$$ – прямоугольный и равнобедренный и $$CH=CD\sin D=$$$$16\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=16$$
2) из $$\Delta AHC$$: $$AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=12$$; т.е. CH и $$AB\perp AD$$, то BH=AH=12; AD=AH+HD=28
3) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CH=$$$$\frac{12+28}{2}*16=320$$
Задание 25
Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в 1,5 раза больше квадрата гипотенузы.
1) $$CC_{1}=\frac{1}{2}AB$$( свойство медиан из прямого угла) пусть $$AC^{2}=x^{2}$$, $$CB^{2}=y^{2}\Rightarrow$$ $$AB^{2}=x^{2}+y^{2}$$
2) $$CC_{1}^{2}=(\frac{AB}{2})^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{4}$$
$$\Delta AA_{1}C$$: $$AA_{1}^{2}=AC^{2}+(\frac{CB}{2})^{2}=$$$$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}$$
$$\Delta CBB_{1}$$: $$BB_{1}^{2}=CB^{2}+(\frac{AC}{2})^{2}=$$$$y^{2}+\frac{x^{2}}{4}$$
3) $$AA_{1}^{2}+BB_{1}^{2}+CC_{1}^{2}=$$$$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+y^{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=$$$$\frac{3x^{2}+3y^{2}}{2}=1,5(x^{2}+y^{2})=1,5AB^{2}$$
Задание 26
Диагонали с длинами $$\sqrt{7}$$ и 4 делят четырёхугольник на части, площади которых образуют арифметическую прогрессию. Найдите площадь четырёхугольника, зная, что угол между большей диагональю и меньшей из сторон равен 30 .
1) Пусть $$S_{AOD}=a_{1}$$; $$S_{AOB}=a_{2}$$; $$S_{BOC}=a_{3}$$; $$S_{COD}=a_{4}$$; $$\angle AOB=\alpha \Rightarrow$$ $$\angle AOD=180-\alpha$$
2) $$a_{1}=\frac{1}{2}AO*OD \sin (180-\alpha )=$$$$\frac{1}{2}AO*OD \sin \alpha$$ ; $$a_{2}=\frac{1}{2}AO*OB \sin \alpha$$ , $$a_{3}=\frac{1}{2}BO*OC \sin \alpha$$ ; $$a_{4}=\frac{1}{2}CO*OD \sin \alpha$$ . Тогда : $$a_{1}*a_{3}=\frac{1}{4}AO*OD*BO*OC* \sin^{2}\alpha=a_{2}*a_{4}(1)$$
3) т.к. арифметическая прогрессия ( пусть ее разность d ) , то: $$a_{2}=a_{1}+d$$; $$a_{3}=a_{1}+2d$$; $$a_{4}=a_{1}+3d$$. С учетом (1): $$a_{1}(a_{1}+2d)=(a_{1}+d))(a_{1}+3d)\Leftrightarrow$$ $$a_{1}^{2}+2a_{1}d=a_{1}^{2}+4a_{1}d+3d^{2}\Leftrightarrow$$ $$2a_{1}d+3d^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$d(2a_{1}+3)=0$$. $$2a_{1}+3>0$$ ,т.к. $$a_{1}$$ - площадь , тогда d=0, но тогда $$a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}(2)$$
4)С учетом (2) : $$AO *OD=AO*BO$$, $$(a_{1}=a_{2})\Rightarrow$$ $$BO=OD$$; $$AO*OB=BO*OC$$$$(a_{2}=a_{3})\Rightarrow$$$$AO=OD$$. Тогда ABCD-параллелограмм
5) $$BO=OD=\frac{\sqrt{7}}{2}$$; $$AO=OC=2$$ Из $$\Delta AOB$$ : Пусть AB=x, тогда по теореме косинусов :
$$\frac{7}{4}=x^{2}+4-2x*2\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-2x\sqrt{3}+\frac{9}{4}=0\Leftrightarrow$$ $$D=12-9=3$$
$$x_{1}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
6) при $$AB=\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{27}}{2}$$ из $$\Delta ABC:$$ $$BC=\sqrt{\frac{9*3}{4}+16-2*4*\frac{3\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}}=$$$$\sqrt{\frac{27}{4}+16-18}=$$$$\sqrt{\frac{27}{4}-2}=\frac{\sqrt{19}}{2}<AB\Rightarrow$$ не подходит по условию , что AB –меньшая.
Тогда: $$S_{ABO}=\frac{1}{2}*AB*BO\sin BAO=$$$$\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}*2*\frac{1}{2}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{4}$$ и $$S_{ABCD}=\sqrt{3}$$