Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2021. Разбор варианта Алекса Ларина № 257.

Решаем 257 вариант Ларина ОГЭ 2021 обычная версия. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25 заданий обычного тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 257 (alexlarin.com)
Аналоги к этому заданию:

Задания 1-5

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой А и цифрой: А0, А1, А2 и так далее. Лист формата А0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата А0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата А1. Если лист А1 разрезать так же пополам, получается два листа формата А2. И так далее. Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1. В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы А2, А4, А5 и А6.

Номер листа Длина, мм Ширина, мм
1 297 210
2 148 105
3 594 420
4 210 148

Установите соответствие между форматами и номерами листов. Заполните таблицу. В ответе запишите последовательность четырёх чисел без пробелов и других разделительных символов.

Формат А2 А4 А5 А6
Номер        

2. Сколько листов формата А3 получится из одного листа формата А1?

3. Найдите ширину листа бумаги формата А2. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

4. Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата А5 к большей. Ответ округлите до десятых.

5. Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен $$\frac{1}{72}$$ дюйма, то есть 0,3528 мм. Текст напечатан шрифтом высотой 8 пунктов на листе формата А5. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А4 таким же образом? Размер шрифта округляется до целого.

Ответ: 1) 3142; 2) 4; 3) 420; 4) 0,7; 5) 11
Скрыть

1. Расположим листы в порядке уменьшения длины: 594; 297; 210; 148. Тогда получим: 3142.

2. Из одного А1 получим 2 листа А2, аналогично из одного А2 два А3. Тогда из одного А1 получим 4 листа А3.

3. Ширина А2: 420 мм.

4. Отношение сторон для листов одинаково, потому возьмем А4: $$\frac{148}{210}\approx 0,704\approx 0,7$$.

5. Отношение длин А4 к А5: $$\frac{297}{210}$$. Тогда и отношение размеров шрифтов такое же. Следовательно, у А4: $$\frac{297}{210}\cdot 8\approx 11,3$$ пункта. Округлим: $$11,3\approx 11$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Найдите значение выражения $$-\left(-0,4\right)\cdot \left(-0,1\right)\cdot \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{-1,5-3}{1,5-3}\cdot ({1,9}^2-1,9)$$

Ответ: -0,0342
Скрыть $$-\left(-0,4\right)\cdot \left(-0,1\right)\cdot \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{-1,5-3}{1,5-3}\cdot \left({1,9}^2-1,9\right)=$$ $$=-0,04\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{-4,5}{-1,5}\cdot 1,9\cdot 0,9\to -0,02\cdot 1,9\cdot 0,9=-0,0342.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Какое из данных ниже выражений тождественно равно выражению $${27}^{\frac{2}{3}}$$?

1) 9; 2) 18; 3) 40,5; 4) 243.

Ответ: 1
Скрыть $${27}^{\frac{2}{3}}={\left(3^3\right)}^{\frac{2}{3}}=3^2=9.\to 1$$ вариант ответа.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите $$f(7)$$, если $$f\left(x^2+2x+8\right)=5^x$$
Ответ: 0,2
Скрыть $$f\left(x^2+2x+8\right)=5^x:x^2+2x+8=7\leftrightarrow x^2+2x+1=0\leftrightarrow {\left(x+1\right)}^2=0\leftrightarrow x=-1$$ Тогда $$f\left(7\right)=5^{-1}=0,2$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Решите уравнение $$\frac{x-3}{x+2}+\frac{x+2}{x-3}=\frac{53}{14}$$. Если в уравнении более двух корней, запишите их без пробелов и других разделительных символов в порядке возрастания.
Ответ: -45
Скрыть $$\frac{x-3}{x+2}+\frac{x+2}{x-3}=\frac{53}{14}$$. Замена: $$\frac{x-3}{x+2}=t\to \frac{x+2}{x-3}=\frac{1}{t}$$. Тогда: $$t+\frac{1}{t}=\frac{53}{14}\to 14t^2-53t+14=0\to D=2025={45}^2$$. $$\to \left[ \begin{array}{c} t_1=\frac{53+45}{28} \\ t_2=\frac{53-45}{28} \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} t_1=\frac{7}{2} \\ t_2=\frac{2}{7} \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \frac{x-3}{x+2}=\frac{7}{2} \\ \frac{x-3}{x+2}=\frac{2}{7} \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} 2x-6=7x+14 \\ 7x-21=2x+4 \end{array} \right.\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} 5x=-20 \\ 5x=25 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=-4 \\ x=5 \end{array} \right.\to -45$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Стрелок три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок первые два раза попал в мишень, а последний раз промахнулся.

Ответ: 0,128
Скрыть Вероятность промаха $$1-0,8=0,2$$. Тогда вероятность первыми двумя попасть, а потом промахнуться: $$0,8\cdot 0,8\cdot 0,2=0,128$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Установите соответствие между графиками функций и функциями, соответствующими этим графикам. В ответе укажите последовательность цифр, соответствующих А, Б, В, без пробелов и других разделительных символов.

1) $$y=2x^2+4x$$; 2) $$-x^2+4x$$; 3)$$-x^2-4x$$

Ответ: 231
Скрыть

1) $$y=2x^2+4x\to $$ нули функции $$2x^2+4x=0\leftrightarrow x=0;-2$$

2) $$-x^2+4x\to $$ нули функции $$-x^2+4x=0\leftrightarrow x=0;4$$

3) нули функции $$-x^2-4x=0\leftrightarrow x=0;-4$$

Тогда: 231.

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Последовательность задана формулой $$c_n=\frac{47}{2n-1}$$. Сколько членов этой последовательности больше 3?

Ответ: 8
Скрыть $$c_n>3\leftrightarrow \frac{47}{2n-1}>3\leftrightarrow \frac{47-6n+3}{2n-1}>0\leftrightarrow \frac{50-6n}{2n-1}>0\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} n>\frac{1}{2} \\ n<\frac{25}{3} \end{array} \right.$$ т.к. $$n\in N$$, то $$n=8$$ (максимум)
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с$${}^{2}$$) можно вычислить по формуле $$a={\omega }^2R$$, где $$\omega $$ - угловая скорость (в с$${}^{-1}$$), а $$R$$ - радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите расстояние $$R$$ (в метрах), если угловая скорость равна 0,5 с$${}^{-1}$$, а центростремительное ускорение равно 1,75 м/с$${}^{2}$$.
Ответ: 7
Скрыть Подставим известные: $$1,75={0,5}^2R\to R=\frac{1,75}{0,25}=7$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите систему неравенств $$\left\{ \begin{array}{c} x^2\le 4 \\ x+3\ge 0 \end{array} \right.$$. В ответе укажите номер правильного ответа.

$$\genfrac{}{}{0pt}{}{1)\ (-\infty ;3]}{ \begin{array}{c} 2)\ \left(-\infty ;3\right]\cup [2;+\infty ) \\ 3)[-2;2] \\ 4)[-2;3] \end{array} }$$ 

Ответ: 3
Скрыть $${\rm \ }\left\{ \begin{array}{c} x^2\le 4 \\ x+3\ge 0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} (x-2)(x+2)\le 0 \\ x\ge -3 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\ge -2 \\ x\le 2 \\ x\ge -3 \end{array} \right.\leftrightarrow x\in \left[-2;2\right],$$ т.е. 3 вариант.
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и $$\angle ACD=63{}^\circ $$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 58,5
Скрыть Пусть $$BD\cap AC=H\to AH=\frac{BD}{2}=AB\to \triangle ABH$$ - равнобедренный $$\to \ \angle ABH=\angle AHB=\frac{180{}^\circ -\angle BAH}{2}=\frac{180{}^\circ -63{}^\circ }{2}=58,5$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В треугольнике ABC угол A равен $$80{}^\circ $$, а угол B равен $$40{}^\circ $$. Длина стороны AB равна $$20\sqrt{3}$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Ответ: 20
Скрыть $$\angle C=180{}^\circ -\left(\angle A+\angle B\right)=60{}^\circ . R=\frac{AB}{2{\sin C\ }}=\frac{20\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=20.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Основания трапеции равны 6 и 24, одна из боковых сторон равна 11, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{1}{\sqrt{35}}$$. Найдите площадь этой трапеции.
Ответ: 27,5
Скрыть Пусть $$AB=11;\ {\tan A\ }=\frac{1}{\sqrt{35}}\to \frac{1}{35}+1=\frac{1}{{{\cos }^{{\rm 2}} A\ }}\to {{\cos }^{{\rm 2}} A\ }=\frac{35}{36}\to$$ $$\to {\cos A\ }=\frac{\sqrt{35}}{6}\to {\sin A\ }=\sqrt{1-{{\cos }^{{\rm 2}} A\ }}=\frac{1}{6}\to BH=AB{\sin A\ }=\frac{11}{6}$$. $$S_{ABCD}=\frac{6+24}{2}\cdot \frac{11}{6}=27,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $$\times$$ 1 см изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Ответ: 1
Скрыть Достроим треугольник $$ABC$$ и по теореме Пифагора найдем его стороны: видим, что $$AB^2+BC^2=AC^2\to \angle B=90{}^\circ \to {\tan BAC\ }=\frac{BC}{AB}=1$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера без пробелов и других разделительных символов в порядке возрастания.

1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

2) Правильный треугольник имеет центр симметрии.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

Ответ: 2
Скрыть $$2.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Решите систему неравенств $$\left\{ \begin{array}{c} \left(6x+2\right)-6\left(x+2\right)>2x \\ \left(x-7\right)\left(x+6\right)<0 \end{array} \right.$$

Ответ: $$x\in (-6;-5).$$
Скрыть $$\left\{ \begin{array}{c} \left(6x+2\right)-6\left(x+2\right)>2x \\ \left(x-7\right)\left(x+6\right)<0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 6x+2-6x-12-2x>0 \\ x>-7 \\ x<6 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} -10-2x>0 \\ x<7 \\ x>-6 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x<-5 \\ x<7 \\ x>6 \end{array} \right.\leftrightarrow x\in (-6;-5).$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает на финиш на 3 часа раньше второго. Найдите скорость (в км/ч) велосипедиста, приехавшего к финишу вторым.

Ответ: 10
Скрыть Пусть $$x$$ км/ч - скорость второго, тогда $$x+10$$ км/ч - скорость первого. Получим: $$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=3\leftrightarrow \frac{20\left(x+10\right)-20x-x\left(x+10\right)}{x\left(x+10\right)}=0\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow 20x+200-20x-x^2-10x=0\leftrightarrow x^2+10x-200=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x_1=-20 \\ x_2=10 \end{array} \right.$$. Следовательно, скорость второго 10 км/ч.
Аналоги к этому заданию:

Задание 22

При каких значениях параметра $$a$$ прямая $$y=ax-4$$ имеет с параболой $$y=x^2+3x$$ ровно одну общую точку? Постройте данные графики в одной системе координат.
Ответ: -1; 7
Скрыть Приравняем функции: $$ax-4=x^2+3x\leftrightarrow x^2+x\left(3-a\right)+4=0$$. Раз одна общая точка, то решение одно, т.е. $$D=0$$: $${\left(3-a\right)}^2-4\cdot 4=0\leftrightarrow {\left(3-a\right)}^2=16\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} 3-a=4 \\ 3-a=-4 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} a=-1 \\ a=7 \end{array} \right.$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если $$AF=24$$ и $$BF=10$$.
Ответ: 25
Скрыть

1)$$\ \angle A+\angle B=180{}^\circ \to \angle BAF+\angle ABF=90{}^\circ $$ (как половина суммы $$\angle A$$ и $$\angle B$$).

2) по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{{24}^2+{10}^2}=25$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 24

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Ответ:
Скрыть

1)$$\ \angle A=\frac{8-2}{8}\cdot 180=135{}^\circ $$. Тогда из $$\triangle ABH:\ \angle AHB=\frac{180{}^\circ -135{}^\circ }{2}=22,5$$.

2) Аналогично, $$\angle C_1HF=22,5$$. Тогда $$\angle BHF=135{}^\circ -2\cdot 22,5=90$$. При этом $$\triangle ABH=\triangle BCD=\triangle EDF=\triangle HC_1F$$ (по двум сторонам и углу м/у ними) $$\to HBDF$$ - квадрат.

Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Диагонали четырёхугольника ABCD , вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке M . Известно, что $$\angle ABC=72{}^\circ $$, $$\angle BCD=102{}^\circ $$, $$\angle AMD=110{}^\circ $$. Найдите градусную меру угла $$ACD$$.
Ответ: 52
Скрыть

1) Пусть $$\angle ACD=x$$. Тогда $$\cup AD=2x$$ (вписанный угол).

2) Также $$\cup ADC=144{}^\circ \left(2\angle ABC\right)\to \cup DC=144-2x\to \angle DAC=72-x$$.

3) Аналогично, $$\cup DAB=204{}^\circ \left(2\angle BCD\right)\to \cup AB=204-2x\to \angle ADB=102{}^\circ -x$$.

4) Из $$\triangle AMD:72-x+102-x+110=180\to 284-2x=180\to 2x=104{}^\circ \to x=52$$.