ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 156.
Решаем ОГЭ вариант Ларина № 156. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 156 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ вариант Ларина № 156. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 156 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$(\frac{1}{17})^{-2}+17^{-3}\div 17^{-4}-2017$$
$$(\frac{1}{17})^{-2}+17^{-3}\div 17^{-4}-2017=$$ $$=17^{2}+17^{-3-(-4)}-2017=$$ $$=17^{2}+17-2017=289-2000=-1711$$
Задание 2
| Для квартиры площадью 75 кв. м заказан натяжной потолок белого цвета. Стоимость материалов с учётом работ по установке натяжных потолков приведена в таблице. |  |
Какова стоимость заказа, если действует сезонная скидка в 5%?
Варианты ответа
| 1. 4275 рублей | 2. 45000 рублей | 3. 42750 рублей | 4. 44995 рублей |
$$75\cdot600=45000$$ - без скидки $$45000\cdot 0,95=42750$$ - со скидкой
Задание 3
| На координатной прямой отмечены числа a , b и c. |  |
Какое из следующих утверждений об этих числах верно?
Варианты ответа
| 1. $$a+b< c$$ | 2. $$ab>c$$ | 3. $$bc>c$$ | 4. $$\frac{1}{c}< 1$$ |
$$a=-0,5$$; $$b=0,3$$; $$c=0,6$$
$$a+bc$$ $$\Leftrightarrow$$ $$-0,5\cdot 0,3> 0,6$$ - неверно
$$bc>c$$ $$\Leftrightarrow$$ $$0,3\cdot 0,6> 1$$ - неверно
$$\frac{1}{c}< 1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{0,6}< 1$$ - неверно
Задание 4
Значение какого из выражений является числом рациональным?
Варианты ответа
- $$\sqrt{12}\cdot\sqrt{18}$$
- $$(\sqrt{12}-\sqrt{27})\cdot(\sqrt{12}+\sqrt{27})$$
- $$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{24}}$$
- $$(\sqrt{12}+\sqrt{24})^{2}$$
$$\sqrt{12}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{4\cdot 3\cdot 9\cdot 2}=2\cdot 3\sqrt{6}$$ - иррациональное $$(\sqrt{12}-\sqrt{27})\cdot(\sqrt{12}+\sqrt{27})=12-27=-15$$ - рациональное $$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{24}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$$ - иррациональное $$(\sqrt{12}+\sqrt{24})^{2}=12+2\sqrt{12\cdot 24}+24$$ - иррациональное
Задание 5
| На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами А и Б телезрители голосовали за каждого из них. Сколько всего тысяч телезрителей проголосовало за первые 40 минут дебатов? |  |
За Б - 30 тыс.; За А - 20 тыс.; Всего: $$20+30=50$$ тыс.
Задание 6
Решите уравнение $$\frac{5}{x-9}=\frac{9}{x-5}$$
$$\frac{5}{x-9}=\frac{9}{x-5}$$ $$5(x-5)=9(x-9)$$ $$5x-25=9x-81$$ $$5x-9x=-81+25$$ $$-4x=-56$$ $$x=14$$
Задание 7
В начале учебного года в школе было 1450 учащихся, а к концу года их стало 1392. На сколько процентов уменьшилось за учебный год число учащихся?
$$1450 - 100$$ % $$1392 - x$$ % $$x=\frac{1392\cdot 100}{1450}=96$$ % $$100-96=4$$ %
Задание 8
| На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 12 млн пользователей. |  |
Какие из следующих утверждений неверны?
1. пользователей из Аргентины больше, чем пользователей из Польши.
2. пользователей из Аргентины примерно втрое больше, чем пользователей из Парагвая.
3. пользователей из Аргентины и Беларуси вместе — меньше четверти общего числа пользователей.
4. пользователей из Бразилии примерно 8 миллионов человек.
1 - верно; 2 - неверно; 3 - верно; 4 - неверно.
Задание 9
Группу школьников из 25 человек рассаживают в кинотеатре по 5 человек в ряд, начиная с первого ряда. Найдите вероятность того, что школьница Аня Маркина будет сидеть в третьем ряду.
в 3 ряду 5 мест $$\Rightarrow$$ $$\frac{5}{25}=0,2$$
Задание 10
| Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. |  |
ФУНКЦИИ
| 1. $$y=-\frac{6}{x}$$ | 2. $$y=-\frac{1}{2}x^{2}$$ | 3. $$y=\frac{1}{2}x-2$$ | 4. $$y=-\frac{1}{2}x^{2}-2$$ |
А3 - линейная; Б1 - обратная пропорциональность; В2 - квадратичная
Задание 11
Геометрическая прогрессия задана условием $$b_{n}=-6,4\cdot(-\frac{5}{2})^{n}$$. Найдите $$b_{7}$$
$$b_{n}=-6,4\cdot(-\frac{5}{2})^{n}$$ $$b_{7}=-6,4\cdot(-\frac{5}{2})^{7}=$$ $$=\frac{64}{10}\cdot\frac{5^{7}}{2^{7}}=$$ $$=\frac{5^{6}}{2^{2}}=\frac{125^{2}}{4}=3906,25$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$(x-5)^{2}-x(10+x)$$ при $$x=-\frac{1}{20}$$
$$(x-5)^{2}-x(10+x)=x^{2}-10x+25-10x-x^{2}=-20x+25=$$ $$=-20\cdot(-\frac{1}{20})+25=1+25=26$$
Задание 13
Закон Менделеева–Клапейрона можно записать в виде $$PV=νRT$$, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м3), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К⋅моль). Пользуясь этой формулой, найдите количество вещества ν (в молях), если $$T=700$$ К, $$P=20941,2$$ Па, $$V=9,5$$ м3.
$$PV=vRT$$ $$\Rightarrow$$ $$v=\frac{PV}{RT}=\frac{20941,2\cdot9,5}{8,31\cdot700}=$$ $$=\frac{\frac{209412\cdot95}{100}}{831\cdot7}=$$ $$=\frac{209412\cdot95}{831\cdot100}=34,2$$
Задание 14
Решите неравенство $$4x^{2}-(2x-5)^{2}\leq 5(5x-4)$$
Варианты ответа
| 1. $$[1; +\infty)$$ | 2. $$[-1; +\infty)$$ | 3. $$(-\infty; 1]$$ | 4. $$(-\infty; -1]$$ |
$$4x^{2}-(2x-5)^{2}\leq 5(5x-4)$$ $$4x^{2}-4x^{2}+20x-25-25x+20\leq 0$$ $$-5x-5\leq 0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$-5x\leq 5$$ $$x\geq -1$$
Задание 15
| Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры. |  |
$$8\cdot8-5\cdot3=64-15=49$$
Задание 16
| Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 5. Найдите диаметр окружности. |  |
$$r=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$ $$d=2r=2\cdot13=26$$
Задание 17
| Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 3 и 9. Найдите длину основания BC. |  |
$$BC=9-3=6$$
Задание 18
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 36 и 39.
$$\sqrt{39^{2}-36^{2}}=\sqrt{(39-39)\cdot(39+36)}=$$ $$=\sqrt{3\cdot75}=\sqrt{3\cdot3\cdot5^{2}}=15$$ $$S=\frac{1}{2}\cdot36\cdot15=18\cdot15=270$$
Задание 19
Катеты прямоугольного треугольника равны $$4\sqrt{6}$$ и 2. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
$$AB=\sqrt{(4\sqrt{6})^{2}+2^{2}}=10$$ $$CA< CB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B< \angle A$$
$$\sin A=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{10}=0,2$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
1. Площадь ромба равна произведению его диагоналей.
2. Все равнобедренные треугольники подобны.
3. Равнобедренный треугольник с углом 60° - равносторонний.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других
дополнительных символов.
1) нет, половине произведения диагоналей; 2) нет; 3) да.
Задание 21
Решите неравенство $$\frac{x^{2}+7x+10}{\left|x+2\right|}\leq 0$$
$$\frac{x^{2}+7x+10}{\left|x+2\right|}\leq 0$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+7x+10\leq 0\\x+2\neq 0\end{matrix}\right.$$ $$x^{2}+7x+10=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-7\\x_{1}\cdot x_{2}=10\end{matrix}\right.$$ $$x_{1}=-2$$ $$x_{2}=-5$$ $$x\in [-5; -2)$$
Задание 22
Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Скорость товарного поезда составляет 5/8 скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого. Найдите скорость скорого поезда.
Пусть x - v пассажир. $$\Rightarrow$$
$$\frac{5}{8}x$$ - v товарного $$\Rightarrow$$
$$\frac{5}{8}x+50$$ - v cкорого.
$$\left\{\begin{matrix}\frac{S}{(\frac{5}{8}x+50)}=\frac{S}{\frac{5x}{8}}-4\\\frac{S}{(\frac{5}{8}x+50)}=\frac{S}{x}-1\end{matrix}\right.$$
$$\frac{S}{\frac{5x}{8}}-4-(\frac{S}{x}-1=0$$
$$\frac{8S}{5x}-4-\frac{1S}{x}+1=0$$
$$\frac{S(8-5)}{5x}-3=0$$
$$\frac{3S}{5x}=3$$ $$\Rightarrow$$ $$3S=3\cdot5x$$
$$\Rightarrow$$ $$x=\frac{3S}{3\cdot 5}=\frac{S}{5}\Rightarrow$$
vпассажир - $$\frac{1}{5}$$ расстояния в час $$\Rightarrow$$ за 5 часов $$\Rightarrow$$ товарный за 8, скорого - за 4.
$$\frac{5}{8}x\cdot 8=(\frac{5}{8}x+50)\cdot 4$$
$$5x\cdot 8=\frac{5}{2}x+200$$
$$x=80$$
$$\frac{5}{8}\cdot 8+50=100$$ км/ч
Задание 24
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если длина гипотенузы равна $$2\sqrt{13}$$ см, а длина медианы, проведенной из вершины большего острого угла равна 5 см.
|
Пусть $$AC=x$$; $$CB=2y$$ Из $$\bigtriangleup ACH$$ и $$\bigtriangleup ACB$$: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=5^{2}\\x^{2}-(2y)^{2}=(2\sqrt{13})^{2}\end{matrix}\right.$$ $$4y^{2}-y^{2}=4\cdot13-25$$ $$3y^{2}=27\Rightarrow y^{2}=9\Rightarrow y=3$$ $$x^{2}+9=25\Rightarrow x=4$$ $$S=\frac{1}{2}AC\cdot CB=\frac{1}{2}\cdot x\cdot 2y=xy=3\cdot 4=12$$ |
Задание 25
Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.
|
AH - медиана и биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle HAC=\angle HAB$$; BH=HC и АН - общая. По теореме косинусов: $$\left.\begin{matrix}\frac{AH}{\sin C}=\frac{HC}{\sin HAC}\\\frac{AH}{\sin B}=\frac{HB}{\sin BAH}\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow \sin C=\sin B\Rightarrow \angle C=\angle B$$ ч.т.д. |