ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 211.
Решаем ОГЭ 211 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 211 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 211 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 211 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$18\cdot (\frac{2}{3})^{2}-8\cdot (2\frac{1}{2})^{2}$$
$$18*(\frac{2}{3})^{2}-8*(2\frac{1}{2})^{2}=$$$$18*\frac{4}{9}-8*(\frac{5}{2})^{2}=$$$$8-8*\frac{25}{4}=8-50=-42$$
Задание 2
В таблице приведены размеры штрафов за превышение максимальной разрешённой скорости, зафиксированное с помощью средств автоматической фиксации, установленных на территории России с 1 сентября 2013 года.
| Превышение скорости, км/ч | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81 и более |
| Размер штрафа, руб. | 500 | 1000 | 2000 | 5000 |
Какой штраф должен заплатить владелец автомобиля, зафиксированная скорость которого составила 110 км/ч на участке дороги с максимальной разрешённой скоростью 60 км/ч?
- 500 рублей
- 1000 рублей
- 2000 рублей
- 5000 рублей
Превышение составляет 110-60=50 км\ч, следовательно, штраф составит 1000 рублей, что соответствует 2 варианту ответа.
Задание 3
Какому из следующих чисел соответствует точка, отмеченная на координатной прямой?
Варианты ответа
- $$\frac{10}{17}$$
- $$\frac{12}{17}$$
- $$\frac{13}{17}$$
- $$\frac{14}{17}$$
Точка располагается между 0,7 и 0,8
При этом точка ближе к 0,8 $$\Rightarrow$$ $$\frac{13}{17}$$, что соответствует 3 варианту ответа.
Задание 4
Найдите значение выражения $$(\sqrt{29}-5)^{2}$$
Варианты ответа:
- 4
- 24
- $$54-5\sqrt{29}$$
- $$54-10\sqrt{29}$$
$$(\sqrt{29}-5)^{2}=$$$$(\sqrt{29})^{2}-2\sqrt{29}*5+5^{2}=$$$$29-10\sqrt{29}+25=54-10\sqrt{29}$$, что соответствует 4 варианту ответа.
Задание 5
На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали – значение температуры в градусах Цельсия. На сколько градусов поднялась температура с 6:00 до 12:00 . Ответ дайте в градусах Цельсия.
в 6:00 температура была 9 градусов, в 12:00 была 20 градусов, следовательно, повышение было на 20-9=11
Задание 6
Решите уравнение $$\frac{4-5x}{3x-2}=-1,6$$
$$\frac{4-5x}{3x-2}=-1,6\Leftrightarrow$$ $$\frac{4-5x}{3x-2}=\frac{-8}{5}\Leftrightarrow$$ $$(4-5x)*5=(3x-2)*(-8)\Leftrightarrow$$ $$20-25x=-24x+16\Leftrightarrow$$ $$20-16=-24x+25x\Leftrightarrow$$ $$x=4$$
Задание 7
Плата за коммунальные услуги составляла 4000 рублей. Сколько рублей придется заплатить за коммунальные услуги после их подорожания на 5,5%?
Первоначальная стоимость 100% , новая 105,5 %. Пусть она равна x , тогда:
Тогда $$x=\frac{4000*105,5}{100}=4220$$ рублей
Задание 8
На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 12 млн пользователей.
Какие из следующих утверждений неверны?
- пользователей из Аргентины больше, чем пользователей из Польши.
- пользователей из Аргентины примерно втрое больше, чем пользователей из Парагвая.
- пользователей из Аргентины и Беларуси вместе — меньше четверти общего числа пользователей.
- пользователей из Бразилии примерно 8 миллионов человек.
Задание 9
Из 900 новых компакт-дисков 18 не пригодны для записи. Какова вероятность того, что случайно выбранный компакт-диск пригоден для записи?
Если 18 из 900 не пригодны, то вероятность того, что диск не пригоден: $$P=\frac{18}{900}=0,02$$, следовательно, того, что пригоден: 1-0,02=0,98 (как противоположное событие)
Задание 10
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФУНКЦИИ
- $$y=-\frac{1}{9x}$$
- $$y=-5x-4$$
- $$y=\frac{1}{2}x-2$$
- $$y=2x^{2}-8x-4$$
A - парабола вида $$y=ax^{2}+bx+c\Rightarrow$$ 4
Б - гипербола вида $$y=\frac{k}{x}$$ ,где $$k<0 \Rightarrow$$ 1
В - прямая вида $$y=kx+b$$, где $$k<0\Rightarrow$$ 2
Задание 11
Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 30; 24; 18; … Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 51-м месте?.
Найдем разность арифметической прогрессии : $$d=a_{n+1}-a_{n}=24-30=-6$$
Найдем 51 член: $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)\Rightarrow$$ $$a_{51}=30-6(51-1)=-270$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$\frac{2a-4a^{2}}{a+1}\cdot \frac{a+1}{2a^{2}}$$ при $$a=0,25$$
$$\frac{2a-4a^{2}}{a+1}*\frac{a+1}{2a}=$$$$\frac{2a(1-2a)}{2a}=1-2a=1-0,5=0,5$$
Задание 13
Из формулы площади прямоугольника $$S=\frac{d^{2}\sin \phi}{2}$$ , где d - длина диагонали, а $$\phi$$ - угол между диагоналями, выразите и вычислите длину диагонали, если площадь $$S=9\sqrt{2}$$ и угол $$\phi$$.
Выразим длину диагонали: $$S=\frac{d^{2} \sin \alpha }{2}\Rightarrow$$ $$2S=d^{2}\sin \alpha \Rightarrow$$ $$d^{2}=\frac{2S}{\sin \alpha }\Rightarrow$$ $$d=\pm \sqrt{\frac{2S}{\sin \alpha }}$$
Т.к. $$d>0$$, то $$d=\sqrt{\frac{2*9\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}}=$$$$\sqrt{4*9}=6$$
Задание 14
На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств $$\left\{\begin{matrix}2(x+2)-7<15\\-3x+12<0 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}2(x+2)-7<15\\-3x+12<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}2x+4-7-15<0\\3x-12>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}2x<8\\3x>12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x<9\\x>4\end{matrix}\right.$$
Получим $$x \in (4;9)$$ , что соответствует 1 варианту ответа.
Задание 15
Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 27 минут?
Минутная стрелка описывает $$\frac{27}{60}$$ от круга, весь круг 360 градусов, следовательно, за 27 минут минутная стрелка описывает $$\frac{27}{60}*360=162$$
Задание 16
Прямые m и n параллельны. Найдите $$\angle 2$$, если $$\angle 1=35^{\circ}$$, $$\angle 3=100^{\circ}$$
1) $$\angle 4=180-(\angle 1+\angle 3)=45$$ (по свойству развернутого угла )
2) $$\angle 4=\angle 2=45$$ (по свойству параллельных прямых )
Задание 17
На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=18°. Длина меньшей дуги AB равна 66. Найдите длину большей дуги.
Если угол АОВ составляет 18 градусов , то оставшаяся часть будет 360-18=342. Следовательно, пусть ее длина х , тогда:
$$x=\frac{341*66}{18}=1254$$
Задание 18
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 16 и 9.
Площадь ромба вычисляется как половина произведения диагоналей, тогда $$S=\frac{1}{2}*16*9=72$$
Задание 19
Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{15}$$ и 3. Найдите косинус наибольшего угла этого треугольника.
Пусть $$AC=3\sqrt{15}; CB=3$$; Наибольший угол в прямоугольном треугольнике составляет 90 (прямой) $$\Rightarrow$$ $$\cos 90=0$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
- Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон.
- Все равносторонние треугольники подобны.
- В остроугольном треугольнике все углы острые.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
Задание 21
Решите уравнение $$\sqrt{x+3}(x^{2}+7x+10)=0$$
$$\sqrt{x+3}(x^{2}+7x+10)=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+3\geq 0\\\left[\begin{matrix}x+3=0\\x^{2}+7x+10=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq -3\\\left[\begin{matrix}x=-3\\x=-2\\x=-5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=-3\\x=-2\end{matrix}\right.$$
Задание 22
Две машинистки напечатали 250 страниц рукописи. Первая работала 5 дней, вторая – 6 дней. Сколько страниц в день печатала каждая машинистка, если первая напечатала за три дня на 40 страниц меньше, чем вторая за 4 дня?
Пусть х страниц в день печатает первая, у -вторая, тогда :$$\left\{\begin{matrix}5x+6y=250\\4y-3x=40\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}15x+18y=750\\20y-15x=200\end{matrix}\right.$$
Сложим первое и второе: $$38y=950\Rightarrow$$ $$y=25$$
Тогда: $$4*25-3x=40\Leftrightarrow$$ $$100-40=3x\Rightarrow$$ $$x=20$$
Задание 23
Постройте график функции $$y=|2|x|-6|$$ и найдите все значения а при которых прямая $$y=a$$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Раскроем внутренний модель : $$\left\{\begin{matrix}y=\left | 2x-6 \right |,x>0(1)\\y=\left | -2x-6 \right |, x<0 (2)\end{matrix}\right.$$
1) Если $$2x-6\geq 0$$ (или $$x\geq 3$$), то $$y=2x-6$$ ,если $$x<3$$, то $$y=-2x+6$$
2) Если $$-2x-6\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x\leq -3$$, то $$y=-2x-6$$, если $$x\geq -3$$, то $$y=2x+6$$
Тогда получим следующую совокупность :
$$\left[\begin{matrix}\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq 3 & & \\y=2x-6 & &\end{matrix}\right. & & \\\left\{\begin{matrix}0\leq x<3 & & \\y=-2x+6& &\end{matrix}\right.& &\end{matrix}\right. & & \\\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\leq -3 & & \\y=-2x-6& &\end{matrix}\right. & & \\\left\{\begin{matrix}-3<x<0 & & \\y=2x+6& &\end{matrix}\right. & &\end{matrix}\right.& &\end{matrix}\right.$$
Прямая y=a имеет с графиком 3 общие точки при a=6
Задание 24
В треугольнике с основанием 15 см проведен отрезок, параллельный основанию. Площадь полученной трапеции составляет ¾ площади треугольника. Найдите длину этого отрезка.
1) Пусть $$A_{1}C_{1}\left | \right |AC$$, тогда $$S_{AA_{1}C_{1}C}=\frac{3}{4} S_{ABC}$$$$\Rightarrow$$ $$S_{A_{1}BC_{1}}=\frac{1}{4} S_{ABC}$$
2) $$\frac{S_{A_{1}BC_{1}}}{S_{ABC}}=$$$$(\frac{A_{1}C_{1}}{AC})^{2}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C_{1}}{AC}=\frac{1}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$A_{1}C_{1}=7,5$$
Задание 25
Докажите, что длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе этого треугольника.
Площадь данного треугольника:$$S=\frac{1}{2}ab$$ или $$S=\frac{1}{2} h*c$$, тогда: $$\frac{1}{2} ab=\frac{1}{2}hc\Rightarrow$$ $$h=\frac{ab}{c}$$, где a,b-катеты ,c-гипотенуза, h-высота
Задание 26
Через точку $$O$$ пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию. Найдите длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции, если средняя линия трапеции равна $$\frac{4}{3}$$, а точка $$O$$ делит диагональ трапеции на части, отношение которых равно $$1:3$$.
1) т.к. средняя линия равна $$\frac{4}{3}$$, то $$\frac{BC+AD}{2}=\frac{4}{3}\Rightarrow$$ $$BC+AD=\frac{8}{3}$$
2) $$\Delta BOC\sim \Delta AOD$$ ($$\angle BCO=\angle OAD$$ - накрест лежащие , $$\angle BOC=\angle AOD$$ - вертикальные )$$\Rightarrow$$ $$\frac{BC}{AD}=\frac{CO}{OA}=\frac{1}{3}$$$$\Rightarrow$$ пусть $$BC=x\Rightarrow$$ $$AD=\frac{8}{3}-x$$ тогда $$\frac{x}{\frac{8}{3}-x}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$3x=\frac{8}{3}-x\Rightarrow$$ $$x=\frac{2}{3}$$$$\Rightarrow$$ $$AD=2$$
3) $$\Delta BOM \sim \Delta ABD$$ ($$MO\left | \right |AD$$) $$\Rightarrow$$ $$\frac{MO}{AD}=\frac{BO}{BD}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$MO=\frac{1}{4}*2=\frac{1}{2}$$. Аналогично, $$ON=\frac{1}{4}AD=\frac{1}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$MN=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$