ЕГЭ Профиль
Задание 14422
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
$$\left\{\begin{matrix} y+2-\frac{4}{x}=\left|y+\frac{2}{x}-3\right|\\ 2y(y+2)+3x(ax-2)=xy(2x+3) \end{matrix}\right.$$
имеет больше трёх решений.
Рассмотрим первое уравнение:
$$y+2-\frac{4}{x}=\left|y+\frac{2}{x}-3\right|\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} y+\frac{2}{x}-3=\pm(y+2-\frac{4}{x})\\ y+2-\frac{4}{x}\geq0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} \frac{6}{x}=5\\ 2y=\frac{2}{x}+1 \end{matrix}\right.\\ y\geq\frac{4}{x}-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x=\frac{6}{5}\\ y=\frac{1}{x}+\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\\ y\geq\frac{4}{x}-2 \end{matrix}\right.$$
При $$x=\frac{6}{5},$$ получаем $$y\geq\frac{4}{3}.$$ А при $$y=\frac{1}{x}+\frac{1}{2}$$ имеем:
$$\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2}\geq\frac{4}{x} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\\ \frac{3}{x}\leq\frac{5}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\\ x<0 or x\geq\frac{6}{5} \end{matrix}\right.$$
Рассмотрим второе уравнение:
$$2y(y+2)+3x(ax-2)=xy(2a+3)\Leftrightarrow 2y^2+4y+3ax^2-6x=$$
$$=2axy+3xy\Leftrightarrow 2y^2+(4-2ax-3x)y+3x(ax-2)=0\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow (2y-3x)(y-ax+2)=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} 2y=3x\\ y=ax-2 \end{matrix}\right.$$
График первого уравнения — объединение луча $$x=\frac{6}{5}$$ при $$y\geq\frac{4}{3}$$ и части гиперболы $$y=\frac{1}{x}+2$$ при $$x\in (-\infty;0)\cup[\frac{6}{5};+\infty).$$ График второго уравнения — объединение прямой $$y=\frac{3}{2}x$$ (1) и некоторой прямой (2), проходящей через точку A(0; −2). Построим эскизы графиков (см. рис.).
Абсцисса точки C — отрицательное решение уравнения $$\frac{1}{x}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}x.$$
При $$a>0$$ прямая (2) пересекает обе ветви графика первого уравнения. Следовательно, более трех решений система имеет при всех таких a, кроме a, соответствующих положению прямой (2), при котором она проходит через точку B. Это реализуется при:
$$\frac{9}{5}=a\frac{6}{5}-2\Leftrightarrow a=\frac{19}{6}.$$
Найдем a, при котором прямая (2) касается левой ветви графика первого уравнения:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{2}=ax-2\Leftrightarrow 1+\frac{1}{2}x=ax^2-2x\Leftrightarrow ax^2-\frac{5}{2}-1=0.$$
Уравнение имеет единственное решение при $$D=\frac{25}{4}+4a=0,$$ значит, $$a=-\frac{25}{16}.$$
Окончательно, при $$\frac{25}{16}<a<0$$ прямая (2) пересекает левую ветвь графика первого уравнения в двух точках, следовательно, система имеет более трех решений при всех таких a, кроме a, соответствующей прямой (2), при котором она проходит через точку C. Это реализуется при:
$$-1=a(-\frac{2}{3})-2\Leftrightarrow a=-\frac{3}{2}.$$
При $$a=0$$ прямая (2) пересекает график первого уравнения только в одной точке.