Исследование тригонометрических функций

Производная данной функции равна: $$ f^{'}\left(x\right)=-\pi{}*\sin{\pi{}x}-6 $$ С учетом того, что sin x принадлежит промежутку [-1;1], данная производная имеет максимальное значение -π*(-1)-6=π-6. Данное значение отрицательное, значит функция убывает на всей области определения. Значит ее максимальное значение в начале промежутка. $$ f\left(-2/3\right)=\cos{\pi{}(-\frac{2}{3})}-6*\left(-\frac{2}{3}\right)=-0.5+4=3.5 $$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем производную этой функции: $$f'(x)=\sin x -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Приравняем к нулю: $$f'(x)=\sin x -\frac{\sqrt{3}}{2}=0$$

Тогда получим корни $$ x_{1}= \frac{\pi}{3}+2\pi n $$; $$ x_{2}= \frac{2\pi}{3}+2 \pi n$$

Отметим на координатной прямой данные точки и расставим знаки производной, получим, что точка минимума $$x_{1}$$ на данном промежутке соответствует $$\frac{\pi}{3}$$

Найдем значение функции в этой точке: $$f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}-\cos \frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\pi}{3} =-\cos \frac{\pi }{3}=-0.5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y=(6-4x)\cos x+4\sin x+4$$  $${y}'={(6-4x)}'\cos x+(6-4x){(\cos x)}'+{(4\sin x)}'=$$ $$=-4cos x-\sin x(6-4x)+4cos x=-\sin x(6-4x)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$f(x)=9\sin^{2}x+6\sin x-1$$

$$f'(x)=18\sin x\cos -6\cos x=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\3\sin x-1=0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z\\x=\arcsin\frac{1}{3}+2\pi n\\x=\pi-\arcsin\frac{1}{3}+2\pi n\end{matrix}\right.$$

$$f(\arcsin\frac{1}{3})=9\sin^{2}(\arcsin\frac{1}{3})-6\sin(\arcsin\frac{1}{3})-1=$$

$$=9\cdot\frac{1}{9}-6\cdot\frac{1}{3}-1=1-2-1=-2$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y'=\cos x+4\sin x-4\sin x-4x\cos x=0$$; $$\cos x(1-4x)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\1-4x=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n\\x=0,25\end{matrix}\right.$$

$$x_{max}=0,25$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y'=\sin x+x\cos x-\sin x-\frac{3}{4}\cos x=0 \Leftrightarrow $$$$\cos x(x-\frac{3}{4})=0\Leftrightarrow $$$$x=0,75 ; x=\frac{\pi}{2}+\pi*n, n \in Z$$

отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной (сначала будет рассматривать каждый из множителей, входящих в производную, затем только знак самой производной, как произведение множителей):

Как видим по рисунку (F=0 - начало отрезка, на котором ищем) точка минимума x=0,75.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y'=18\cos x-9\sqrt{3}-0$$; $$\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$$; $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$;

$$y(\frac{\pi}{6})=18\sin\frac{\pi}{6}-9\sqrt{3}\frac{\pi}{6}+1,5\sqrt{3}\pi+21=18\cdot\frac{1}{2}+21=30$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем производную данной функции:

$$y'=(10x)'\cos x + 10x(\cos x)'-7(\cos x)'-10(\sin x)'=0 \Leftrightarrow$$$$10\cos x-10x*\sin x +7\sin x -10\cos x = 0 \Leftrightarrow$$$$\sin x(7-10x)=0 \Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x =0\\ 10-7x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x =\pi*n, n\in Z\\ x=0,7\end{matrix}\right.$$

Отметим на координатной прямой полученные корни (учитываем, что корней вида $$\pi*n$$ бесконечно, потому отметим те, которые наиболее близко расположены к промежутку $$(0 ; \frac{\pi}{2})$$):

В итоге точкой максимума на данном промежутке является $$x=0,7$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y=4*\cos x+13*x+9$$ $${y}'=-4*\sin x+13$$

Минимальное значение $$-4*\sin x$$ состовляет -4, когда $$\sin x=1 \Rightarrow {y}'_{min}=-4+13=9> 0$$

Т.е. значение производной положительно на всей $$D(f) \Rightarrow y_{min}=y(0)$$. $$y_{min}=4*\cos 0+13*0+9=4+9=13$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y=(2x-3)\cos x-2\sin x+10$$

Найдем производную заданной функции:

$$y'=(2x-3)'\cos x+(2x-3)(\cos x)'-2(\sin x)'=2\cos x-\sin x(2x-3)-2\cos x=0$$

Приравняем производную к нулю:

$$\sin x(3-2x)=0$$

Найдем точки экстремума:

$$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\3-2x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{matrix}x=\pi *n, n\in Z \\x=+1,5\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим какие значения принимает производная на полученных промежутках:

Как видим, точка минимума соответсвует 1,5

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y'=\cos x+9$$ . Т.к. $$\left | \cos x \right |\leq 1$$, то $$\cos x+9>0$$, при всех x. Тогда функция возрастает на всем промежутке и $$y_{max}=y(0)$$: $$y(0)=\sin 0+9*0-9=-9$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем производную : $${y}'=12 \cos x-6\sqrt{3}$$

Приравняем к 0: $$12 \cos x=6\sqrt{3}\Leftrightarrow$$ $$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$\pm \frac{\pi}{6}+2 \pi n , n \in Z$$

Как видим $$\frac{\pi}{6}$$ - точка максимума, тогда: 

$$y_{max}=y(\frac{\pi}{6})=$$$$12 *\frac{1}{2}-6\sqrt{3}*\frac{\pi}{6}+\sqrt{3} \pi +6 =12$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!