Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Наибольшее и наименьшее значение функций

Исследование тригонометрических функций

 

Задание 906

Найти наибольшее значение функции  f(x) = cos πx - 6x на отрезке [-2/3 ; 1]

Ответ: 3.5
Скрыть

Производная данной функции равна: $$ f^{'}\left(x\right)=-\pi{}*\sin{\pi{}x}-6 $$ С учетом того, что sin x принадлежит промежутку [-1;1], данная производная имеет максимальное значение -π*(-1)-6=π-6. Данное значение отрицательное, значит функция убывает на всей области определения. Значит ее максимальное значение в начале промежутка. $$ f\left(-2/3\right)=\cos{\pi{}(-\frac{2}{3})}-6*\left(-\frac{2}{3}\right)=-0.5+4=3.5 $$

 

Задание 1180

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}-\cos x -\frac{\sqrt{3}}{2}x$$

Ответ: 0.5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную этой функции: $$f'(x)=\sin x -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Приравняем к нулю: $$f'(x)=\sin x -\frac{\sqrt{3}}{2}=0$$

Тогда получим корни $$ x_{1}= \frac{\pi}{3}+2\pi n $$; $$ x_{2}= \frac{2\pi}{3}+2 \pi n$$

Отметим на координатной прямой данные точки и расставим знаки производной, получим, что точка минимума $$x_{1}$$ на данном промежутке соответствует $$\frac{\pi}{3}$$

Найдем значение функции в этой точке: $$f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}-\cos \frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\pi}{3} =-\cos \frac{\pi }{3}=-0.5$$

 

Задание 2828

Найдите точку минимума функции $$y=(6-4x)\cos x+4\sin x+4$$ принадлежащую промежутку $$(0; \frac{\pi}{2})$$

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=(6-4x)\cos x+4\sin x+4$$  $${y}'={(6-4x)}'\cos x+(6-4x){(\cos x)}'+{(4\sin x)}'=$$ $$=-4cos x-\sin x(6-4x)+4cos x=-\sin x(6-4x)$$

$$\sin x=0$$ $$(6-4x)=0$$
$$x=\pi n, n\in Z$$ $$x=1,5$$
 

Задание 3660

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=9\sin^{2}x+6\sin x-1$$

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f(x)=9\sin^{2}x+6\sin x-1$$

$$f'(x)=18\sin x\cos -6\cos x=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\3\sin x-1=0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z\\x=\arcsin\frac{1}{3}+2\pi n\\x=\pi-\arcsin\frac{1}{3}+2\pi n\end{matrix}\right.$$

$$f(\arcsin\frac{1}{3})=9\sin^{2}(\arcsin\frac{1}{3})-6\sin(\arcsin\frac{1}{3})-1=$$

$$=9\cdot\frac{1}{9}-6\cdot\frac{1}{3}-1=1-2-1=-2$$

 

Задание 4394

Найдите точку максимума функции $$y=\sin x-4\cos x-4x\sin x+5$$ принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi}{2})$$

Ответ: 0,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=\cos x+4\sin x-4\sin x-4x\cos x=0$$; $$\cos x(1-4x)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\1-4x=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n\\x=0,25\end{matrix}\right.$$

$$x_{max}=0,25$$

 

Задание 4912

Найдите точку минимума функции $$y=x\sin x+\cos x-\frac{3}{4}\sin x$$,  принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi}{2})$$

Ответ: 0,75
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=\sin x+x\cos x-\sin x-\frac{3}{4}\cos x=0 \Leftrightarrow $$$$\cos x(x-\frac{3}{4})=0\Leftrightarrow $$$$x=0,75 ; x=\frac{\pi}{2}+\pi*n, n \in Z$$

отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной (сначала будет рассматривать каждый из множителей, входящих в производную, затем только знак самой производной, как произведение множителей):

Как видим по рисунку (F=0 - начало отрезка, на котором ищем) точка минимума x=0,75.

 

Задание 4959

Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi-2\cos x-\sqrt{3}x-5$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: -6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Найдем производную и приравняем ее к нулю:
$$y'=2\sin x-\sqrt{3}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$; $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ 
Начертим координатную прямую, отметим точки экстремума ( с учетом отрезка возьмем $$\frac{\pi}{3}$$ и $$\frac{2\pi}{3}$$ ), расставим знаки производной:
 
Получаем, что $$\frac{\pi}{3}$$ - точка минимума, найдем значение функции в ней:
$$y(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}\pi}{3}-2\cos\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}\pi}{3}-5=-2\cdot\frac{1}{2}-5=-6$$
 

Задание 5007

Найдите наибольшее значение функции $$y=18\sin x-9\sqrt{3}+1,5\sqrt{3}\pi+21$$на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=18\cos x-9\sqrt{3}-0$$; $$\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$$; $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$;

$$y(\frac{\pi}{6})=18\sin\frac{\pi}{6}-9\sqrt{3}\frac{\pi}{6}+1,5\sqrt{3}\pi+21=18\cdot\frac{1}{2}+21=30$$

 

Задание 5383

Найдите точку максимума функции $$y=10x\cos x - 7\cos x -10\sin x -4$$, принадлежащую промежутку $$(0 ; \frac{\pi}{2})$$

Ответ: 0,7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную данной функции:

$$y'=(10x)'\cos x + 10x(\cos x)'-7(\cos x)'-10(\sin x)'=0 \Leftrightarrow$$$$10\cos x-10x*\sin x +7\sin x -10\cos x = 0 \Leftrightarrow$$$$\sin x(7-10x)=0 \Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x =0\\ 10-7x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x =\pi*n, n\in Z\\ x=0,7\end{matrix}\right.$$

Отметим на координатной прямой полученные корни (учитываем, что корней вида $$\pi*n$$ бесконечно, потому отметим те, которые наиболее близко расположены к промежутку $$(0 ; \frac{\pi}{2})$$):

В итоге точкой максимума на данном промежутке является $$x=0,7$$

 

Задание 6039

Найдите наименьшее значение функции $$y=4\cos x +13x +9$$ на отрезке $$[0;\frac{3\pi}{2}]$$

Ответ: 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=4*\cos x+13*x+9$$ $${y}'=-4*\sin x+13$$

Минимальное значение $$-4*\sin x$$ состовляет -4, когда $$\sin x=1 \Rightarrow {y}'_{min}=-4+13=9> 0$$

Т.е. значение производной положительно на всей $$D(f) \Rightarrow y_{min}=y(0)$$. $$y_{min}=4*\cos 0+13*0+9=4+9=13$$

 

Задание 6133

Найдите точку минимума функции $$y=(2x-3)\cos x -1-2\sin x +10$$ принадлежащую промежутку $$(0; \frac{\pi}{2})$$

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=(2x-3)\cos x-2\sin x+10$$

Найдем производную заданной функции:

$$y'=(2x-3)'\cos x+(2x-3)(\cos x)'-2(\sin x)'=2\cos x-\sin x(2x-3)-2\cos x=0$$

Приравняем производную к нулю:

$$\sin x(3-2x)=0$$

Найдем точки экстремума:

$$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\3-2x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{matrix}x=\pi *n, n\in Z \\x=+1,5\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим какие значения принимает производная на полученных промежутках:

Как видим, точка минимума соответсвует 1,5

 

Задание 6567

Найдите наибольшее значение функции $$y=\sin x +9x -9$$ на отрезке [‐ 9; 0].

Ответ: -9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=\cos x+9$$ . Т.к. $$\left | \cos x \right |\leq 1$$, то $$\cos x+9>0$$, при всех x. Тогда функция возрастает на всем промежутке и $$y_{max}=y(0)$$: $$y(0)=\sin 0+9*0-9=-9$$

 

Задание 6697

Найдите наибольшее значение функции $$y=12\sin x -6\sqrt{3}x+\sqrt{3}\pi+6$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$ .

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную : $${y}'=12 \cos x-6\sqrt{3}$$

Приравняем к 0: $$12 \cos x=6\sqrt{3}\Leftrightarrow$$ $$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$\pm \frac{\pi}{6}+2 \pi n , n \in Z$$

Как видим $$\frac{\pi}{6}$$ - точка максимума, тогда: 

$$y_{max}=y(\frac{\pi}{6})=$$$$12 *\frac{1}{2}-6\sqrt{3}*\frac{\pi}{6}+\sqrt{3} \pi +6 =12$$

 

Задание 7559

График первообразной F(x) для функции $$y=3\sin x-2\cos x$$ проходит через точку $$(-\pi;0)$$. В какой точке график первообразной пересекает ось ординат? В ответе укажите ординату этой точки.

Ответ: -6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7681

Найти наибольшее значение функции $$f(x)=\cos \pi x -6x$$ на отрезке $$[-\frac{2}{3};1]$$

Ответ: 3,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7729

Найдите наибольшее значение функции $$y=\sin (2x+\frac{\pi}{6})$$ на промежутке $$[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$$ .

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7780

Найдите точку максимума функции $$y=(1-2x)\sin 2x-\cos 2x$$ , принадлежащую интервалу $$(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4})$$

Ответ: 0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7892

Найдите наибольшее значение функции $$y=14\sqrt{2}\sin x-14x+3,5\pi+3$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8266

Найдите наибольшее значение функции $$y=\log_{2}(\sin x-\cos x)$$, на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$
Ответ: 0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Функция логарифма, при основании больше единицы, возрастает, следовательно, наибольшее значение она будет принимать при наибольшем значение логарифмируемой функции $$f(x)=\sin x-\cos x$$

Найдем производную и приравняем ее к нулю: $$f'(x)=\cos x+\sin x=0| :\cos x\Leftrightarrow$$$$1+tg x=0\Leftrightarrow$$$$tg x=-1\Leftrightarrow$$$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z$$

При этом из множества этих точек на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$ располагается $$\frac{3\pi}{4}$$, которая является точкой максимума. Тогда $$y(max)=y(\frac{3\pi}{4})=\log_{2}(\sin \frac{3\pi}{4}-\cos \frac{3\pi}{4})=$$$$\log_{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=$$$$\log_{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2}=0,5$$

 

Задание 8285

Найдите наименьшее значение функции $$y=3\cos x-\frac{48}{\pi}x+19$$ на отрезке $$[-\frac{2\pi}{3};0]$$

Ответ: 22
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8891

Найдите наименьшее значение функции $$y=-9-8\sqrt{3}\pi+24\sqrt{3}x-48\sqrt{3}\sin x$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: -81
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8911

Найдите точку минимума функции $$y=(3-2x)\cos x+2\sin x+4$$, принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi}{2})$$

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9526

Найдите наименьшее значение функции $$y=6+\frac{\sqrt{3}\pi}{2}-3\sqrt{3}x-6\sqrt{3}\cos x$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10051

Найдите точку максимума функции $$y=(6-4x)\cos x+4\sin x+4$$, принадлежащую промежутку $$(-\frac{\pi}{2};\pi)$$.

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10113

Найдите наименьшее значение функции $$y=\cos x-16x+9$$ на отрезке $$[-\frac{3\pi}{2};0]$$

Ответ: 11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10166

Найдите точку минимума функции $$y=(x-0,5)\cdot \sin x+\cos x$$ на промежутке $$(0;\frac{\pi}{2})$$

Ответ: 0,5
 

Задание 10634

Найдите наименьшее значение функции $$y=4x-\frac{8\sqrt{3}}{3}{\sin x\ }+2+\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{2\pi }{3}$$ на отрезке $$\left[0;\pi \right]$$.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Найдем производную: $$y'={\left(4x\right)}'-\frac{8\sqrt{3}}{3}{\left({\sin x\ }\right)}'=4-\frac{8\sqrt{3}}{3}{\cos x\ }=0\to {\cos x\ }=\frac{4\cdot 3}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\to$$ $$\to x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,\ n\in Z.$$ На $$\left[0;\pi \right]$$ имеем $$x=\frac{\pi }{6}$$. При этом это точка минимума $$\to y\left(\frac{\pi }{6}\right)=4\cdot \frac{\pi }{6}-\frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{1}{2}+2+\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{2\pi }{3}=2$$ - наименьшее значение.
 

Задание 10839

Найдите наибольшее значение функции $$y=27x+25{\cos x\ }-14$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi }{2};0\right]$$.

Ответ: 11
Скрыть

Вычислим производную от функции y, получим: $$y'=27-25{\sin x\ }$$. В точках экстремума производная равна нулю, т.е. $$25{\sin x\ }=27\to {\sin x\ }=\frac{27}{25}\notin [-1;1]$$ следовательно, максимальное и минимальное значение функции находятся на границах диапазона $$\left[-\frac{\pi }{2};0\right]$$.

Вычислим значение функции в этих точках, получим: $$y\left(-\frac{\pi }{2}\right)=27\cdot \left(-\frac{\pi }{2}\right)+25{\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)\ }-14$$ данное значение не может быть выражено конечной десятичной дробью, а значит не является ответом в ЕГЭ;

$$y\left(0\right)=27\cdot 0+25{\cos 0\ }-14=11$$ точка максимума функции на отрезке.

 

Задание 10858

Найдите наибольшее значение функции $$y=20{\tan x\ }-20x+5\pi -6$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$$

Ответ: 14
Скрыть

Вычислим производную, получим: $$y'=\frac{20}{{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }}-20$$.

Приравняем производную нулю для поиска точек экстремума функции, получим уравнение $$\frac{20}{{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }}=20\to {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }=1$$ откуда имеем $${\cos x\ }=1\to x=0\in \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$$ и $${\cos x\ }=-1\to x=\pi \notin \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$$.

Дополнительно нужно оценить значение функции в граничных точках диапазона $$y\left(-\frac{\pi }{4}\right)=20{\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)\ }-20\left(-\frac{\pi }{4}\right)+5\pi -6$$ и $$y\left(0\right)=20{\tan \left(0\right)\ }+5\pi -6$$ данные значения не могут быть выражены конечными десятичными дробями, а значит не являются ответами в ЕГЭ; $$y\left(\frac{\pi }{4}\right)=14$$ - точка максимума.

 

Задание 10934

Найдите точку максимума функции $$y=\left(5x-6\right){\cos x\ }-5{\sin x\ }-8$$, принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi }{2})$$

Ответ: 1,2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Найдем производную $$y'=(5x-6)' {\cos x\ }+(5x-6)({\cos x\ })'-5{\cos x\ }\to $$ $$\to 5{\cos x\ }-5x{\sin x\ }+6{\sin x\ }-5{\cos x\ }=0\to {\sin x\ }\left(6-5x\right)=0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\sin x\ }=0 \\ 6-5x=0 \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} x=\pi n,n\in Z \\ x=1,2 \end{array} \right.\right.$$. На $$(0;\frac{\pi }{2})$$ точка максимума $$x=1,2$$
 

Задание 11273

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=\cos^{2}x+\sin x$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{4}]$$.

Ответ: 1,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11709

Найдите наибольшее значение функции: $$y=4(12\sin^{2}x+15\cos x-4\cos^{3}x)$$

Ответ: 64
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11728

Найдите сумму значений функции $$y=4\cos^{3}x-3\cos x$$ в точках экстремума принадлежащих промежутку $$[0;11\pi)$$.

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11851

Найдите наименьшее значение функции $$y=x+\cos^{2}x$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12511

Найдите наименьшее значение функции $$y=-9-8\sqrt{3}\pi +24\sqrt{3}x-48\sqrt{3}\sin x$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi }{2}]$$

Ответ: -81
 

Задание 12530

Найдите точку минимума функции $$y=\ (3\ -\ 2x)\cos x\ +\ 2\sin x\ +\ 4$$, принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi }{2})$$

Ответ: 1,5
 

Задание 12651

Найдите наименьшее значение функции $$y=6+\frac{\sqrt{3}\pi }{2}-3\sqrt{3}x-6\sqrt{3}\cos x$$ на отрезке $$[0;\ \frac{\pi }{2}]$$

Ответ: -3
 

Задание 13541

Найдите наименьшее значение функции $$y=42\cos x-45x+35$$ на отрезке $$[-\frac{3\pi}{2};0]$$.

Ответ: 77
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13559

Найдите наибольшее значение функции $$y=49x-46\sin x+37$$ на отрезке $$[-\frac{\pi}{2};0]$$

Ответ: 37
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!