ЕГЭ Профиль
Задание 942
Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=(x^{2}-8x+8)*e^{2-x}$$ на отрезке [1; 7].
Найдем производную функции: $$f^{'}(x)=(2x-8)e^{2-x}+(-1)e^{2-x}(x^{2}-8x+8)=$$
$$=e^{2-x}(2x-8-x^{2}+8x-8)=e^{2-x}(-x^{2}+10x-16)$$
Приравняем производную к нулю:
$$e^{2-x}(-x^{2}+10x-16)=0$$ $$e^{2-x}=0$$
решений не имеет $$(-x^{2}+10x-16)=0$$ x1=2 и x2 =8
Отметим эти точки на координатной прямой и расставим знаки производной:
 |
Точка минимума там, где производная меняет знак с - на +, то есть в точке 2
Подставим данное значение в первоначальную функцию и получим:
$$f(2)=(2^{2}-8*2+8)*e^{2-2}=(4-16+8)*1=-4$$
Задание 979
Найдите точку максимума функции $$f(x)=\ln (x+5)-2x+9$$
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю: $$f^{'}(x)=\frac{1}{x+5}-2=0\Leftrightarrow \frac{1-2x-10}{x+5}=0\Leftrightarrow$$ $$ \frac{-2x-9}{x+5}=0\Leftrightarrow x=-4.5 ; x\neq -5 $$ Отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной. Получим, что точка -4,5 - точка максимума
Задание 1241
Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=2^{x}(x+1)$$ , на отрезке [-1;2]
Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:
$$f'(x)=2^{x}\ln 2(x+1)+2^{x}$$
$$2^{x}(\ln 2(x+1)+1)=0$$
$$\ln 2 * x+ \ln 2 + 1 = 0$$
$$x = -1 - \frac{1}{\ln 2}$$
Данное значение меньше -1, значит точка экстремума левее нашего промежутка, а это означает, в свою очередь, что на заданном промежутке функция монотонна. Если мы подставим ноль в производную, то получим, что на промежутке, где расположен ноль, производная больше нуля, значит функция возрастает. Поэтому наибольшее значение функции будет в конце промежутка.
$$f(2)=2^{2}(2+1)=4*3=12$$
Задание 1295
Найдите точку минимума функции $$f(x) =x^{2}-3.75x- \ln (x+2)$$
Задание 2737
Найдите точку минимума функции: $$y=(73-x)\cdot e^{73-x}$$
$$y=(73-x)\cdot e^{73-x}$$
$${y}'={(73-x)}'\cdot e^{73-x}+(73-x){(e^{73-x})}'=$$ $$=- e^{73-x}+(73-x)\cdot(-e^{73-x})=$$ $$-e^{73-x}(1+73-x)=0$$
$$x=74$$
Задание 2789
Найдите наибольшее значение функции $$y=10\cdot \ln(x+5)-10x-21$$ на отрезке [‐4,5; 0].
$${y}'=\frac{10}{x+5}-10=0$$ $$\frac{10-10x-50}{x+5}=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{-10x-40}{x+5}=0$$ $$x=4$$ $$x\neq -5$$ $$y=10\cdot \ln(-4+5)-10\cdot(-4)-21=19$$
Задание 3117
Найдите точку максимума функции: $$y=(x^{2}-15x+15)\cdot e^{x+3}$$
$$y'=(2x-15)\cdot\exp^{x+3}+(x^{2}-15x+15)\cdot\exp^{x+3}=\exp^{x+3}(x^{2}-13x)=0$$ $$x=0$$ $$x=13$$
Задание 3288
Найдите точку максимума функции $$y=0,5x^{2}-11x+28*\ln x + 9$$
$$y'=x-11+\frac{28}{x}=0$$ $$\frac{x^{2}-11x+28}{x}=0$$ $$x=7 ; x=4 ; x\neq 0$$ Начертим координатную прямую и отметим полученные точки. На интервале от 0 до 4 производная имеет положительные значения, от 4 до 7 - отрицательные и от 7 до плюс бесконечности - положительные, значит: 7 - точка минимума 4 - точка максимума
Задание 3375
Найдите точку минимума функции $$f(x)=x^{8}\cdot e^{5x+6}$$
$$f'(x)=(x^{8})'\cdot\exp^{5x+6}+x^{8}\cdot(\exp^{5x+6})'=$$ $$=8x^{7}\cdot\exp^{5x+6}+x^{8}\cdot\exp^{5x+6}\cdot5=$$ $$=\exp^{5x+6}\cdot x^{7}\cdot(8+5x)=0$$ $$x=0$$ или $$x=-\frac{8}{5}=-1,6$$
Задание 5239
Найдите наименьшее значение функции $$y=(x^{2}-4x+4)\cdot e^{2}$$ на отрезке $$[-1;3]$$
Найдем производную данной функции и приравняем ее к нулю: $$y'=(2x-4)e^{x}+e^{x}*(x^{2}-4x+4)=0$$ $$e^{x}(2x-4+x^{2}-4x+4)=0$$ Число $$e^{x}$$ всегда положительно, поэтому можем его убрать: $$x^{2}-2x=0$$ Тогда $$x=0 ; x=2$$ Начертим координатную прямую, расставим знаки производной и получим, что $$x=2$$ - точка минимума, то есть в ней будет наименьшее значение функции на заданном в условии отрезке: $$y(2)=(2^{2}-4*2+4)e^{2}=0$$
Задание 5287
Найдите точку максимума функции $$y=(x-4)^{2}\cdot e^{x}$$
Задание 6181
Найдите наименьшее значение функции $$y=\log_{3} (x^{2}-6x+10)+2$$
$$y=log_{3}(x^{2}-6x+10)+2$$ Найдем минимальное значение функции; $$y_{min}$$ при $$x^{2}-6x+10\rightarrow min$$ Минимальное значение квадратичная функция принимает в вершине параболы (ветви вверх): $$x_{0}=-\frac{-6}{2}=3\Rightarrow$$ $$y_{0}=9-6*3+10=1$$ Тогда минимальное значение функции: $$y_{min}=log_{3}(1)+2=2$$
Задание 6276
Найдите наибольшее значение функции $$y=\sqrt{2\lg x-1}-\lg x$$
$${y}'=\frac{1}{2\sqrt{2\lg x-1}}*\frac{2}{x\ln 10}-\frac{1}{x\ln10}=0$$
$$\frac{1}{x\ln 10}(\frac{1}{2\sqrt{2\lg x-1}})=0$$
$$\left\{\begin{matrix}x\neq 0 \\\sqrt{2\lg x-1}=1(1)\end{matrix}\right.$$
$$(1): \sqrt{2\lg x-1}=1\Leftrightarrow$$ $$2\lg x-1\leq 1\Leftrightarrow$$ $$2\lg x=2\Leftrightarrow$$ $$\lg x=1\Leftrightarrow x=10$$
$$y(10)=y=\sqrt{2\lg 10-1}-\lg 10=1-1=0$$
Задание 6466
Найдите точку максимума функции $$y=6\ln x - (x-2)^{2}$$
Так как дан логарифм, то будет ОДЗ: $$x>0$$
Найдем производную данной функции: $${y}'=\frac{6}{x}-2(x-2)$$
Приравняем производную к нулю: $$\frac{6-2x^{2}+4x}{x}=0$$
$$2x^{2}-4x+6=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}-2x+3=0\Leftrightarrow$$$$(x-3)(x+1)=0$$
Тогда производная имеет вид: $${y}'=\frac{-2(x-3)(x+1)}{x}$$. При этом, с учетом ОДЗ и знаков производной на полученных промежутках ((0;3) и $$(3;\infty)$$) получим, что $$x(3)=x_{max}$$
Задание 6614
Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{50}{2^{x}+3^{x}}$$ на промежутке [1;7]
Функция $$f(x)=2^{x}$$ - возрастает, $$g(x)=3^{x}$$ - возрастает, тогда $$m(x)=2^{x}+3^{x}$$ - возрастает на всем промежутке, тогда $$y=\frac{40}{2^{x}+3^{x}}$$ - убывает. Следовательно, $$y_{max}=y(1)=\frac{40}{2+3}=8$$
Задание 6662
Найдите наибольшее значение функции $$y=2,7e^{3x^{2}-x^{3}-4}$$ на отрезке [1;3]
Найдем производную для $$y=2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}$$: $${y}'=2,7*e^{3x^{2}-x^{2}-4}*{(3x^{2}-x^{3}-4)}'=$$$$2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}*(6x-3x^{2})$$
Приравняем производную к 0: $${y}'=0\Leftrightarrow$$ $$6x-3x^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$3x(2-x)=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.$$. x=0 - точка минимума, x=2 - максимума
$$f_{max}=f(2)=2,7*e^{3*2^{2}-2^{3}-4}=2,7$$
Задание 6823
Найдите наименьшее значение функции $$y=7^{5x-2}+9*7^{4-5x}-41$$
Пусть $$7^{5x}=m>0$$, тогда: $$f(m)=\frac{m}{7^{2}}+\frac{9*7^{4}}{m}-41$$
Найдем производную данной функции: $${f}'(m)=\frac{1}{7^{2}}-\frac{9*7^{4}}{m^{2}}=0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{m^{2}-9*7^{6}}{(7m)^{2}}=0$$$$\Leftrightarrow$$$$m=\pm 3*7^{3}$$
Так как $$m>0$$ $$\Rightarrow$$ $$m=7^{5x}=3*7^{3}$$ - при данном значении и будет наименьшее значение функции:
$$y=\frac{3*7^{3}}{7^{2}}+\frac{9*7^{4}}{3*7^{3}}-41=42-41=1$$
Задание 7037
Найдите точку максимума функции $$y=x^{2}e^{x}$$
$$y=x^{2}*e^{x}\Rightarrow$$ $${y}'={(x^{2})}'e^{x}+{e^{x}}'*x^{2}=$$$$2xe^{x}+e^{x}*x^{2}\Leftrightarrow$$ $$e^{x}(2x+x^{2})=0$$
Т.к. $$e^{x}>0$$ при любом x $$\Rightarrow$$ $$x(2+x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0 \rightarrow min\\x=-2\rightarrow max\end{matrix}\right.$$
Задание 7058
Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=(x^{2}-4)e^{x}$$ на отрезке [0;2]
Найдем производную данной функции и приравняем к 0: $${f}'(x)={(x^{2}-4)}'e^{x}+{(e^{x})}'(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow$$ $$2xe^{x}+e^{x}(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow$$ $$e^{x}(x^{2}+2x-4)=0\Leftrightarrow$$ $$D=4+16=20$$; $$x_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2}=-1 \pm \sqrt{5}$$
на отрезке [0; 2] есть точка минимума ($$x=-1+\sqrt{5}$$), следовательно, наибольшее значение функция принимает в одном из концов:
Задание 7178
Найдите наибольшее значение функции $$y=(x-1)*2^{x}$$ на отрезке [2; 6]
1) Найдем производную функции и приравняем к 0 : $$y^{'}=(x-1)^{'}2^{x}+(x-1)(2^{x})^{'}=2^{x}+(x-1)2^{x}\ln 2=0\Leftrightarrow$$$$2^{x}(1+(x-1)\ln 2)=0\Leftrightarrow$$ $$1+(x-1)\ln 2=0\Leftrightarrow$$ $$x-1=\frac{-1}{\ln 2}\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac{1}{\ln 2}-1=-\log_{2}e-1=$$$$\log_{2}\frac{1}{e}-1=$$$$\log_{2}\frac{1}{2e}<0\Rightarrow$$ на промежутке [2 ;6] $$y_{max}=y(6)=(6-1)2^{6}=320$$
2) Можно решить рассуждением:
На промежутке [2; 6] : y=(x-1) и возрастает $$y=2^{x} \Rightarrow$$ $$y=(x-1)2^{x}\Rightarrow$$ $$y_{max}=y(6)$$
Задание 7219
Найдите точку минимума функции $$y=x^{3}\cdot e^{x}$$
Найдем производную данной функции и приравняем к 0 : $$y^{'}=(x^{3})^{'}e^{x}+(e^{x})^{'}x^{3}=0\Leftrightarrow$$ $$3x^{2}e^{x}+e^{x}x^{3}=0\Leftrightarrow$$ $$x^{2}e^{x}(3+x)=0\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0\\x=-3\end{matrix}\right.$$
x=-3 точка минимума
Задание 7512
В какой точке отрезка [12;22] первообразная F(x) для функции $$f(x)=-1-\ln^{2}(x-2)$$ достигает своего наименьшего значения на этом отрезке?
Заметим, что функция $$g(x)=-\ln^{2}(x-2)$$ меньше или равна при любых значениях х (так как натуральный логарифм в квадрате и перед ним стоит знак "-"), следовательно, $$f(x)=-1-\ln^{2}(x-2)$$ отрицательна при любом х. При этом данная функция является функцией производной для первообразной F(x). То есть производная отрицательна на всем промежутке по х, следовательно, сама функция F(x) убывает на нем. Тогда наименьшее значение будет в конце промежутка, то есть в точке 22
Задание 8266
Функция логарифма, при основании больше единицы, возрастает, следовательно, наибольшее значение она будет принимать при наибольшем значение логарифмируемой функции $$f(x)=\sin x-\cos x$$
Найдем производную и приравняем ее к нулю: $$f'(x)=\cos x+\sin x=0| :\cos x\Leftrightarrow$$$$1+tg x=0\Leftrightarrow$$$$tg x=-1\Leftrightarrow$$$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z$$
При этом из множества этих точек на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$ располагается $$\frac{3\pi}{4}$$, которая является точкой максимума. Тогда $$y(max)=y(\frac{3\pi}{4})=\log_{2}(\sin \frac{3\pi}{4}-\cos \frac{3\pi}{4})=$$$$\log_{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=$$$$\log_{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2}=0,5$$
Задание 10526
Найдите точку минимума функции $$y=5x-5\ln(x+7)+7$$
По области определения натурального логарифма получим: $$x+7>0\Leftrightarrow x>-7$$
Найдем производную функции и приравняем к нулю: $$y'=5-5\cdot \frac{1}{x+7}=0\Leftrightarrow$$$$\frac{5x+35-5}{x+7}=0$$ .Получим, что $$x=-6$$, $$x\neq 7$$.
На промежутке $$(-7;-6)$$ производная имеет знак "-", далее "+", то есть "-6" - точка минимума.
Задание 10574
Найдите наименьшее значение функции $$y={{\log }_2 x\ }\cdot {{\log }_2 \left(16\cdot x\right)\ }+14$$
Задание 10594
Найдите точку минимума функции $$y=\left(73-x\right)*e^{73-x}$$
Задание 10654
$$f\left(x\right)=\frac{5^{{{\log }_5 \left(2-x\right)\ }}}{5^{{{\log }_5 \left(x+4\right)\ }}}+6x\to g\left(x\right)=\frac{2-x}{x+4}+6x$$ при $$x\in \left(-4;2\right)\ (M(x))$$
$$\to {\left(x+4\right)}^2=1\to \left[ \begin{array}{c} x=-5\ \\ x=-3 \end{array} \right.$$, где $$x=-5$$ не принадлежит $$M\left(x\right)\to x=-3-min$$
Задание 10690
Найдите точку минимума функции $$f\left(x\right)={\ln (\frac{x^2+4}{x})\ }$$
Задание 10730
1. Вычислим производную функции, получим: $$y'={\left(2x-7\right)}^{e^{(x-17)}}+{\left(x^2-7x+7\right)}^{e^{\left(x-17\right)}}\to y'=e^{\left(x-17\right)}(x^2-5x)$$
2. Приравняем производную нулю и найдем точки экстремума функции: $$e^{\left(x-17\right)}\left(x^2-5x\right)=0$$, так как $$e^{x-17}>0$$, то $$x^2-5x=0\to \left[ \begin{array}{c} x_1=0 \\ x_2=5 \end{array} \right.$$
3. Точкой минимума будет являться та точка экстремума, в окрестности которой производная меняет свой знак с «-» на «+». Получаем точку x = 5.
Задание 10750
Найдите точку минимума функции $$y=\left(2x^2-26x+26\right)e^{x-17}$$
Вычислим производную функции: $$y'=\left(4x-26\right)e^{x-17}+\left(2x^2-26x+26\right)e^{x-17}\to y'=e^{x-17}(2x^2-22x)$$
Приравняем производную нулю и найдем точки экстремума: $$e^{x-17}\left(2x^2-22x\right)=0$$, так как $$e^{x-17}>0$$, то $$2x^2-22x=0\to x-11x=0\to \left[ \begin{array}{c} x_1=0 \\ x_2=11 \end{array} \right.$$
Найдем точку минимума функции. В окрестности этой точки производная должна менять свой знак с «-» на «+». Анализ показывает, что это точка $$x=11$$.
Задание 11018
Найдите наименьшее значение функции $$y=\left(x-22\right)e^{x-21}$$ на отрезке $$[20;\ 22].$$
Задание 11084
Найдите наибольшее значение функции $$y={{\log }_{\frac{1}{3}} \sqrt{x^3}\ }$$ на отрезке $$[\frac{1}{3};3]$$
Задание 11142
Найдите наименьшее значение функции $$f\left(x\right)=e^{2x}-4e^x+7$$ на отрезке $${\rm [-1};{\rm \ 1].}$$
Задание 12851
Найдите точку минимума функции $$y\ =\ \left(2x^2\ -\ 26x\ +\ 26\right)e^{x-17}.$$
1. Вычислим производную функции, получим: $$y'=(4x-26)e^{x-17}+(2x^{2}-26x+26)e^{x-17}=$$$$e^{x-17}(2x^{2}-22x)$$
2. Приравняем производную нулю и найдем точки экстремума функции: $$e^{x-17}(2x^{2}-22x)=0\Leftrightarrow$$$$$$
так как $$e^{x-17}>0, x\in R$$, то $$x_{1}=0, x_{2}=11$$
3. Точкой минимума будет являться та точка экстремума, в окрестности которой производная меняет свой знак с «-» на «+». Получаем точку $$x = 11$$.
Задание 12861
Найдите точку минимума функции $$y\ =\ \left(x^2\ -\ 7x\ +\ 7\right)e^{x-17}.$$
Точка минимума функции – это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с отрицательного на положительный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.
Область определения функции: все числа.
Найдем производную функции: $$y'=(2x-7)e^{x-17}+(x^{2}-7x+7)e^{x-17}$$ $$y'=e^{x-17}(x^{2}-5x)$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е. $$e^{x-17}>0, x\in R$$, $$x^{2}-5x=0$$, $$x_{1}=0, x_{2}=5$$
Отметим точки 0 и 5 на числовой прямой и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)
В точке x = 5 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это искомая точка минимума.
