Исследование показательных и логарифмических функций

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$f'\left(x\right)=\frac{1}{\frac{x^2+4}{x}}\cdot {\left(\frac{x^2+4}{x}\right)}'=$$$$\frac{x}{x^2+4}{\left(x+\frac{4}{x}\right)}'=$$$$\frac{x}{x^2+4}\left(1-\frac{4}{x^2}\right)=$$ $$=\frac{x^2-4}{x(x^2+4)}=0\to \left[ \begin{array}{c} x=\pm 2 \\ x\ne 0 \end{array} \right.$$ Учтем, что по $$D\left(f\right):\ \frac{x^2+4}{x}>0\to x>0\to x=2$$.

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f\left(x\right)=\frac{5^{{{\log }_5 \left(2-x\right)\ }}}{5^{{{\log }_5 \left(x+4\right)\ }}}+6x\to g\left(x\right)=\frac{2-x}{x+4}+6x$$ при $$x\in \left(-4;2\right)\ (M(x))$$

$$\to {\left(x+4\right)}^2=1\to \left[ \begin{array}{c} x=-5\ \\ x=-3 \end{array} \right.$$, где $$x=-5$$ не принадлежит $$M\left(x\right)\to x=-3-min$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$y'={(73-x)}'e^{73-x}+\left(73-x\right){\left(e^{73-x}\right)}'=$$$$\left(-1\right)e^{73-x}+\left(73-x\right)\left(-1\right)e^{73-x}=0\to$$ $$\to\left(-1\right)-73+x=0\to x=74$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$y={{\log }_2 x\ }\cdot {{\log }_2 \left(16\cdot x\right)\ }+14={{\log }_2 x\ }\cdot \left(4+{{\log }_2 x\ }\right)+14=$$$${{{{\rm (log}}_2 x\ })}^2+4\cdot {{\log }_2 x\ }+14$$ Пусть $${{\log }_2 x\ }=m$$, получим $$f\left(m\right)=m^2+4\cdot m+14$$. Тогда $$f_{{\rm min}}\left(m\right)=f(m_0)$$, где $$m_0=\frac{-4}{2}=-2$$ (вершина параболы) $$\to y_{min}={\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+14=10$$

Скрыть

По области определения натурального логарифма получим: $$x+7>0\Leftrightarrow x>-7$$

Найдем производную функции и приравняем к нулю: $$y'=5-5\cdot \frac{1}{x+7}=0\Leftrightarrow$$$$\frac{5x+35-5}{x+7}=0$$ .Получим, что $$x=-6$$, $$x\neq 7$$.

На промежутке $$(-7;-6)$$ производная имеет знак "-", далее "+", то есть "-6" - точка минимума.

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Функция логарифма, при основании больше единицы, возрастает, следовательно, наибольшее значение она будет принимать при наибольшем значение логарифмируемой функции $$f(x)=\sin x-\cos x$$

Найдем производную и приравняем ее к нулю: $$f'(x)=\cos x+\sin x=0| :\cos x\Leftrightarrow$$$$1+tg x=0\Leftrightarrow$$$$tg x=-1\Leftrightarrow$$$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z$$

При этом из множества этих точек на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$ располагается $$\frac{3\pi}{4}$$, которая является точкой максимума. Тогда $$y(max)=y(\frac{3\pi}{4})=\log_{2}(\sin \frac{3\pi}{4}-\cos \frac{3\pi}{4})=$$$$\log_{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=$$$$\log_{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2}=0,5$$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную для $$y=2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}$$: $${y}'=2,7*e^{3x^{2}-x^{2}-4}*{(3x^{2}-x^{3}-4)}'=$$$$2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}*(6x-3x^{2})$$

Приравняем производную к 0: $${y}'=0\Leftrightarrow$$ $$6x-3x^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$3x(2-x)=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.$$. x=0 - точка минимума, x=2 - максимума

$$f_{max}=f(2)=2,7*e^{3*2^{2}-2^{3}-4}=2,7$$