Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Наибольшее и наименьшее значение функций

Исследование показательных и логарифмических функций

 

Задание 942

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=(x^{2}-8x+8)*e^{2-x}$$ на отрезке [1; 7].

Ответ: -4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную функции: $$f^{'}(x)=(2x-8)e^{2-x}+(-1)e^{2-x}(x^{2}-8x+8)=$$

$$=e^{2-x}(2x-8-x^{2}+8x-8)=e^{2-x}(-x^{2}+10x-16)$$

Приравняем производную к нулю:

$$e^{2-x}(-x^{2}+10x-16)=0$$ $$e^{2-x}=0$$

решений не имеет $$(-x^{2}+10x-16)=0$$ x1=2 и x2 =8

Отметим эти точки на координатной прямой и расставим знаки производной:

Точка минимума там, где производная меняет знак с - на +, то есть в точке 2

Подставим данное значение в первоначальную функцию и получим:

$$f(2)=(2^{2}-8*2+8)*e^{2-2}=(4-16+8)*1=-4$$

 

Задание 979

Найдите точку максимума функции $$f(x)=\ln (x+5)-2x+9$$

Ответ: -4.5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю: $$f^{'}(x)=\frac{1}{x+5}-2=0\Leftrightarrow \frac{1-2x-10}{x+5}=0\Leftrightarrow$$ $$ \frac{-2x-9}{x+5}=0\Leftrightarrow x=-4.5 ; x\neq -5 $$ Отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной. Получим, что точка -4,5 - точка максимума

 

Задание 1241

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=2^{x}(x+1)$$ , на отрезке [-1;2]

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:

$$f'(x)=2^{x}\ln 2(x+1)+2^{x}$$

$$2^{x}(\ln 2(x+1)+1)=0$$

$$\ln 2 * x+ \ln 2 + 1 = 0$$

$$x = -1 - \frac{1}{\ln 2}$$

Данное значение меньше -1, значит точка экстремума левее нашего промежутка, а это означает, в свою очередь, что на заданном промежутке функция монотонна. Если мы подставим ноль в производную, то получим, что на промежутке, где расположен ноль, производная больше нуля, значит функция возрастает. Поэтому наибольшее значение функции будет в конце промежутка.

$$f(2)=2^{2}(2+1)=4*3=12$$

 

Задание 1295

Найдите точку минимума функции $$f(x) =x^{2}-3.75x- \ln (x+2)$$

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Найдем производную этой функции и приравняем к нулю:
$$f'(x) =2x-3.75- \frac{1}{x+2}=0 $$
$$\frac{2x^{2}+4x-3.75x-7.5-1}{x+2}=0$$
$$2x^{2}+0.25x-8.5=0 $$
$$x_{1}=\frac{-34}{16}$$
$$x_{2}=2 $$
Начертим координатную прямую и посмотрим какие знаки принимает производная на полученных интервалах и получим, что точка 2 - точка минимума
 

Задание 2737

Найдите точку минимума функции: $$y=(73-x)\cdot e^{73-x}$$

Ответ: 74
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=(73-x)\cdot e^{73-x}$$

$${y}'={(73-x)}'\cdot e^{73-x}+(73-x){(e^{73-x})}'=$$ $$=- e^{73-x}+(73-x)\cdot(-e^{73-x})=$$ $$-e^{73-x}(1+73-x)=0$$

$$x=74$$

 

Задание 2789

Найдите наибольшее значение функции $$y=10\cdot \ln(x+5)-10x-21$$ на отрезке [‐4,5; 0].

Ответ: 19
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$${y}'=\frac{10}{x+5}-10=0$$ $$\frac{10-10x-50}{x+5}=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{-10x-40}{x+5}=0$$ $$x=4$$ $$x\neq -5$$ $$y=10\cdot \ln(-4+5)-10\cdot(-4)-21=19$$

 

Задание 3117

Найдите точку максимума функции: $$y=(x^{2}-15x+15)\cdot e^{x+3}$$

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=(2x-15)\cdot\exp^{x+3}+(x^{2}-15x+15)\cdot\exp^{x+3}=\exp^{x+3}(x^{2}-13x)=0$$ $$x=0$$ $$x=13$$

 

Задание 3288

Найдите точку максимума функции $$y=0,5x^{2}-11x+28*\ln x + 9$$

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=x-11+\frac{28}{x}=0$$ $$\frac{x^{2}-11x+28}{x}=0$$ $$x=7 ; x=4 ; x\neq 0$$ Начертим координатную прямую и отметим полученные точки. На интервале от 0 до 4 производная имеет положительные значения, от 4 до 7 - отрицательные и от 7 до плюс бесконечности - положительные, значит: 7 - точка минимума 4 - точка максимума

 

Задание 3375

Найдите точку минимума функции $$f(x)=x^{8}\cdot e^{5x+6}$$

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f'(x)=(x^{8})'\cdot\exp^{5x+6}+x^{8}\cdot(\exp^{5x+6})'=$$ $$=8x^{7}\cdot\exp^{5x+6}+x^{8}\cdot\exp^{5x+6}\cdot5=$$ $$=\exp^{5x+6}\cdot x^{7}\cdot(8+5x)=0$$ $$x=0$$ или $$x=-\frac{8}{5}=-1,6$$

 

Задание 5239

Найдите наименьшее значение функции $$y=(x^{2}-4x+4)\cdot e^{2}$$ на отрезке $$[-1;3]$$

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную данной функции и приравняем ее к нулю: $$y'=(2x-4)e^{x}+e^{x}*(x^{2}-4x+4)=0$$ $$e^{x}(2x-4+x^{2}-4x+4)=0$$ Число $$e^{x}$$ всегда положительно, поэтому можем его убрать: $$x^{2}-2x=0$$ Тогда $$x=0 ; x=2$$ Начертим координатную прямую, расставим знаки производной и получим, что $$x=2$$ - точка минимума, то есть в ней будет наименьшее значение функции на заданном в условии отрезке: $$y(2)=(2^{2}-4*2+4)e^{2}=0$$

 

Задание 5287

Найдите точку максимума функции $$y=(x-4)^{2}\cdot e^{x}$$

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:
$$y'=((x-4)^{2})'e^{x}+(e^{x})'(x-4)^{2}=0$$
$$y'=2(x-4)e^{x}+e^{x}(x-4)^{2}=0$$
$$e^{x}(x-4)(2+x-4)=0$$
$$x=4 ; x=2$$
Начертим координатную прямую, отметим полученные точки и расставим знаки, которые принимает производная на полученных промежутках.
Тогда x=2 - точка максимума
 

Задание 6181

Найдите наименьшее значение функции $$y=\log_{3} (x^{2}-6x+10)+2$$

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=log_{3}(x^{2}-6x+10)+2$$ Найдем минимальное значение функции; $$y_{min}$$ при $$x^{2}-6x+10\rightarrow min$$ Минимальное значение квадратичная функция принимает в вершине параболы (ветви вверх): $$x_{0}=-\frac{-6}{2}=3\Rightarrow$$ $$y_{0}=9-6*3+10=1$$ Тогда минимальное значение функции: $$y_{min}=log_{3}(1)+2=2$$

 

Задание 6276

Найдите наибольшее значение функции $$y=\sqrt{2\lg x-1}-\lg x$$

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$${y}'=\frac{1}{2\sqrt{2\lg x-1}}*\frac{2}{x\ln 10}-\frac{1}{x\ln10}=0$$

$$\frac{1}{x\ln 10}(\frac{1}{2\sqrt{2\lg x-1}})=0$$

$$\left\{\begin{matrix}x\neq 0 \\\sqrt{2\lg x-1}=1(1)\end{matrix}\right.$$

$$(1): \sqrt{2\lg x-1}=1\Leftrightarrow$$ $$2\lg x-1\leq 1\Leftrightarrow$$ $$2\lg x=2\Leftrightarrow$$ $$\lg x=1\Leftrightarrow x=10$$

$$y(10)=y=\sqrt{2\lg 10-1}-\lg 10=1-1=0$$

 

Задание 6466

Найдите точку максимума функции $$y=6\ln x - (x-2)^{2}$$

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Так как дан логарифм, то будет ОДЗ: $$x>0$$

     Найдем производную данной функции: $${y}'=\frac{6}{x}-2(x-2)$$

     Приравняем производную к нулю: $$\frac{6-2x^{2}+4x}{x}=0$$

$$2x^{2}-4x+6=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}-2x+3=0\Leftrightarrow$$$$(x-3)(x+1)=0$$

     Тогда производная имеет вид: $${y}'=\frac{-2(x-3)(x+1)}{x}$$. При этом, с учетом ОДЗ и знаков производной на полученных промежутках ((0;3) и $$(3;\infty)$$) получим, что $$x(3)=x_{max}$$

 

Задание 6614

Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{50}{2^{x}+3^{x}}$$ на промежутке [1;7]

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Функция $$f(x)=2^{x}$$ - возрастает, $$g(x)=3^{x}$$ - возрастает, тогда $$m(x)=2^{x}+3^{x}$$ - возрастает на всем промежутке, тогда $$y=\frac{40}{2^{x}+3^{x}}$$ - убывает. Следовательно, $$y_{max}=y(1)=\frac{40}{2+3}=8$$

 

Задание 6662

Найдите наибольшее значение функции $$y=2,7e^{3x^{2}-x^{3}-4}$$ на отрезке [1;3]

Ответ: 2,7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную для $$y=2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}$$: $${y}'=2,7*e^{3x^{2}-x^{2}-4}*{(3x^{2}-x^{3}-4)}'=$$$$2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}*(6x-3x^{2})$$

Приравняем производную к 0: $${y}'=0\Leftrightarrow$$ $$6x-3x^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$3x(2-x)=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.$$. x=0 - точка минимума, x=2 - максимума

$$f_{max}=f(2)=2,7*e^{3*2^{2}-2^{3}-4}=2,7$$

 

Задание 6823

Найдите наименьшее значение функции $$y=7^{5x-2}+9*7^{4-5x}-41$$

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

          Пусть $$7^{5x}=m>0$$, тогда: $$f(m)=\frac{m}{7^{2}}+\frac{9*7^{4}}{m}-41$$

          Найдем производную данной функции: $${f}'(m)=\frac{1}{7^{2}}-\frac{9*7^{4}}{m^{2}}=0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{m^{2}-9*7^{6}}{(7m)^{2}}=0$$$$\Leftrightarrow$$$$m=\pm 3*7^{3}$$

          Так как $$m>0$$ $$\Rightarrow$$ $$m=7^{5x}=3*7^{3}$$ - при данном значении и будет наименьшее значение функции:

          $$y=\frac{3*7^{3}}{7^{2}}+\frac{9*7^{4}}{3*7^{3}}-41=42-41=1$$

 

Задание 7037

Найдите точку максимума функции $$y=x^{2}e^{x}$$

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=x^{2}*e^{x}\Rightarrow$$ $${y}'={(x^{2})}'e^{x}+{e^{x}}'*x^{2}=$$$$2xe^{x}+e^{x}*x^{2}\Leftrightarrow$$ $$e^{x}(2x+x^{2})=0$$

Т.к. $$e^{x}>0$$ при любом x $$\Rightarrow$$ $$x(2+x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0 \rightarrow min\\x=-2\rightarrow max\end{matrix}\right.$$

 

Задание 7058

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=(x^{2}-4)e^{x}$$ на отрезке [0;2]

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   Найдем производную данной функции и приравняем к 0: $${f}'(x)={(x^{2}-4)}'e^{x}+{(e^{x})}'(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow$$ $$2xe^{x}+e^{x}(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow$$ $$e^{x}(x^{2}+2x-4)=0\Leftrightarrow$$ $$D=4+16=20$$; $$x_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2}=-1 \pm \sqrt{5}$$

   на отрезке [0; 2] есть точка минимума ($$x=-1+\sqrt{5}$$), следовательно, наибольшее значение функция принимает в одном из концов:

$$f(0)=(0^{2}-4)e^{0}=-4$$
$$f(2)=(4-4)e^{2}=0\Rightarrow$$ $$f_{max}=0$$
 

Задание 7178

Найдите наибольшее значение функции $$y=(x-1)*2^{x}$$ на отрезке [2; 6]

Ответ: 320
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Найдем производную функции и приравняем к 0 : $$y^{'}=(x-1)^{'}2^{x}+(x-1)(2^{x})^{'}=2^{x}+(x-1)2^{x}\ln 2=0\Leftrightarrow$$$$2^{x}(1+(x-1)\ln 2)=0\Leftrightarrow$$ $$1+(x-1)\ln 2=0\Leftrightarrow$$ $$x-1=\frac{-1}{\ln 2}\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac{1}{\ln 2}-1=-\log_{2}e-1=$$$$\log_{2}\frac{1}{e}-1=$$$$\log_{2}\frac{1}{2e}<0\Rightarrow$$ на промежутке [2 ;6] $$y_{max}=y(6)=(6-1)2^{6}=320$$

     2) Можно решить рассуждением:

На промежутке [2; 6] : y=(x-1) и возрастает $$y=2^{x} \Rightarrow$$ $$y=(x-1)2^{x}\Rightarrow$$ $$y_{max}=y(6)$$

 

Задание 7219

Найдите точку минимума функции $$y=x^{3}\cdot e^{x}$$

Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную данной функции и приравняем к 0 : $$y^{'}=(x^{3})^{'}e^{x}+(e^{x})^{'}x^{3}=0\Leftrightarrow$$ $$3x^{2}e^{x}+e^{x}x^{3}=0\Leftrightarrow$$ $$x^{2}e^{x}(3+x)=0\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0\\x=-3\end{matrix}\right.$$

x=-3 точка минимума

 

Задание 7361

Найдите наименьшее значение функции $$y=7^{x-3}+7^{5-x}$$

Ответ: 14
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7410

Найдите наименьшее значение функции $$y=\log_{\sqrt{3}} (x-4\sqrt{x-2}+5)$$ на отрезке [5;10].

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7512

В какой точке отрезка [12;22] первообразная F(x) для функции $$f(x)=-1-\ln^{2}(x-2)$$ достигает своего наименьшего значения на этом отрезке?

Ответ: 22
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Заметим, что функция $$g(x)=-\ln^{2}(x-2)$$ меньше или равна при любых значениях х (так как натуральный логарифм в квадрате и перед ним стоит знак "-"), следовательно, $$f(x)=-1-\ln^{2}(x-2)$$ отрицательна при любом х. При этом данная функция является функцией производной для первообразной F(x). То есть производная отрицательна на всем промежутке по х, следовательно, сама функция F(x) убывает на нем. Тогда наименьшее значение будет в конце промежутка, то есть в точке 22

 

Задание 7634

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=(x^{2}-8x+8)e^{2-x}$$ на отрезке [1;7]

Ответ: -4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8266

Найдите наибольшее значение функции $$y=\log_{2}(\sin x-\cos x)$$, на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$
Ответ: 0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Функция логарифма, при основании больше единицы, возрастает, следовательно, наибольшее значение она будет принимать при наибольшем значение логарифмируемой функции $$f(x)=\sin x-\cos x$$

Найдем производную и приравняем ее к нулю: $$f'(x)=\cos x+\sin x=0| :\cos x\Leftrightarrow$$$$1+tg x=0\Leftrightarrow$$$$tg x=-1\Leftrightarrow$$$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z$$

При этом из множества этих точек на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$ располагается $$\frac{3\pi}{4}$$, которая является точкой максимума. Тогда $$y(max)=y(\frac{3\pi}{4})=\log_{2}(\sin \frac{3\pi}{4}-\cos \frac{3\pi}{4})=$$$$\log_{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=$$$$\log_{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2}=0,5$$

 

Задание 8341

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=(x+2)\cdot \log_{\frac{1}{2}}(x+2)$$ на отрезке [0;2].

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8696

Найдите точку минимума функции $$y=x^{2}-28x+96\ln x-5$$
Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8739

Найдите наибольшее значение функции $$y=(x^{2}+22x-22)e^{2-x}$$ на отрезке [0;5]
Ответ: 26
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8758

Найдите наименьшее значение функции $$y=(1-x)e^{2-x}$$ на отрезке [0,5;5].
Ответ: -1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9042

Найдите наибольшее значение функции $$y=\log_{3}x \cdot \log_{3}\frac{9}{x}+1$$ на отрезке [1;9]

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9063

Найдите наименьшее значение функции $$y=2x^{2}-5x+\ln x-5$$ на отрезке$$[\frac{5}{6};\frac{7}{6}]$$

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9109

Найдите наименьшее значение функции $$y=4x^{2}-12x+4\ln x-10$$ на отрезке $$[\frac{12}{13};\frac{14}{13}]$$

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9244

Найдите наименьшее значение функции $$y=5x-\ln(5x)+12$$ на отрезке $$[\frac{1}{10};\frac{1}{2}]$$

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9361

Найдите наибольшее значение функции $$y=\ln(8x)-8x+7$$ на отрезке $$[\frac{1}{16};\frac{5}{16}]$$

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9381

Найдите наибольшее значение функции $$y=\ln (x+9)^{5}-5x$$ на отрезке [-8,5;0]

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9486

Найдите точку максимума функции $$y=(x+7)^{2}\cdot e^{-1-x}$$

Ответ: -5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9659

Найдите наименьшее значение функции $$y=9x-\ln (x+5)^{9}$$ на отрезке [-4,5;0]

Ответ: -36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9779

Найдите точку максимума функции $$f(x)=2x^{2}-5x+\ln x-5$$

Ответ: 0,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9799

Найдите наименьшее значение функции $$y=12x-\ln(12x)+4$$ на отрезке $$[\frac{1}{24};\frac{5}{24}]$$

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10259

Найдите наибольшее значение функции $$y=3x-e^{3x}$$ на отрезке $$[-1;1]$$

Ответ: -1
 

Задание 10285

Найдите точку минимума функции $$y=\ln(2x+5)+\frac{2}{(2x+5)^2}$$

Ответ: -1,5
 

Задание 10389

Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{\ln(2x-3)}{2}+3x-x^{2}$$

Ответ: 2
 

Задание 10439

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=e^{2x-6}(x-2)$$ на отрезке [1;3]

Ответ: 1
 

Задание 10526

Найдите точку минимума функции $$y=5x-5\ln(x+7)+7$$

Ответ: -6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

По области определения натурального логарифма получим: $$x+7>0\Leftrightarrow x>-7$$

Найдем производную функции и приравняем к нулю: $$y'=5-5\cdot \frac{1}{x+7}=0\Leftrightarrow$$$$\frac{5x+35-5}{x+7}=0$$ .Получим, что $$x=-6$$, $$x\neq 7$$.

На промежутке $$(-7;-6)$$ производная имеет знак "-", далее "+", то есть "-6" - точка минимума.

 

Задание 10574

Найдите наименьшее значение функции $$y={{\log }_2 x\ }\cdot {{\log }_2 \left(16\cdot x\right)\ }+14$$

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$y={{\log }_2 x\ }\cdot {{\log }_2 \left(16\cdot x\right)\ }+14={{\log }_2 x\ }\cdot \left(4+{{\log }_2 x\ }\right)+14=$$$${{{{\rm (log}}_2 x\ })}^2+4\cdot {{\log }_2 x\ }+14$$ Пусть $${{\log }_2 x\ }=m$$, получим $$f\left(m\right)=m^2+4\cdot m+14$$. Тогда $$f_{{\rm min}}\left(m\right)=f(m_0)$$, где $$m_0=\frac{-4}{2}=-2$$ (вершина параболы) $$\to y_{min}={\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+14=10$$
 

Задание 10594

Найдите точку минимума функции $$y=\left(73-x\right)*e^{73-x}$$

Ответ: 74
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$y'={(73-x)}'e^{73-x}+\left(73-x\right){\left(e^{73-x}\right)}'=$$$$\left(-1\right)e^{73-x}+\left(73-x\right)\left(-1\right)e^{73-x}=0\to$$ $$\to\left(-1\right)-73+x=0\to x=74$$
 

Задание 10654

Найдите точку минимума функции $$f\left(x\right)=\frac{5^{{{\log }_5 \left(2-x\right)\ }}}{5^{{{\log }_5 \left(x+4\right)\ }}}+6x$$
Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f\left(x\right)=\frac{5^{{{\log }_5 \left(2-x\right)\ }}}{5^{{{\log }_5 \left(x+4\right)\ }}}+6x\to g\left(x\right)=\frac{2-x}{x+4}+6x$$ при $$x\in \left(-4;2\right)\ (M(x))$$

$$g'\left(x\right)=\frac{{\left(2-x\right)}'\left(x+4\right)-(x+4)'(2-x)}{{\left(x+4\right)}^2}+6=\frac{-x-4-2+x}{{\left(x+4\right)}^2}+6=0$$

$$\to {\left(x+4\right)}^2=1\to \left[ \begin{array}{c} x=-5\ \\ x=-3 \end{array} \right.$$, где $$x=-5$$ не принадлежит $$M\left(x\right)\to x=-3-min$$

 

Задание 10690

Найдите точку минимума функции $$f\left(x\right)={\ln (\frac{x^2+4}{x})\ }$$

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$f'\left(x\right)=\frac{1}{\frac{x^2+4}{x}}\cdot {\left(\frac{x^2+4}{x}\right)}'=$$$$\frac{x}{x^2+4}{\left(x+\frac{4}{x}\right)}'=$$$$\frac{x}{x^2+4}\left(1-\frac{4}{x^2}\right)=$$ $$=\frac{x^2-4}{x(x^2+4)}=0\to \left[ \begin{array}{c} x=\pm 2 \\ x\ne 0 \end{array} \right.$$ Учтем, что по $$D\left(f\right):\ \frac{x^2+4}{x}>0\to x>0\to x=2$$.
 

Задание 10730

Найдите точку минимума функции $$y={\left(x^2-7x+7\right)}^{e^{\left(x-17\right)}}$$
Ответ: 5
Скрыть

1. Вычислим производную функции, получим: $$y'={\left(2x-7\right)}^{e^{(x-17)}}+{\left(x^2-7x+7\right)}^{e^{\left(x-17\right)}}\to y'=e^{\left(x-17\right)}(x^2-5x)$$

2. Приравняем производную нулю и найдем точки экстремума функции: $$e^{\left(x-17\right)}\left(x^2-5x\right)=0$$, так как $$e^{x-17}>0$$, то $$x^2-5x=0\to \left[ \begin{array}{c} x_1=0 \\ x_2=5 \end{array} \right.$$

3. Точкой минимума будет являться та точка экстремума, в окрестности которой производная меняет свой знак с «-» на «+». Получаем точку x = 5.

 

Задание 10750

Найдите точку минимума функции $$y=\left(2x^2-26x+26\right)e^{x-17}$$

Ответ: 11
Скрыть

Вычислим производную функции: $$y'=\left(4x-26\right)e^{x-17}+\left(2x^2-26x+26\right)e^{x-17}\to y'=e^{x-17}(2x^2-22x)$$

Приравняем производную нулю и найдем точки экстремума: $$e^{x-17}\left(2x^2-22x\right)=0$$, так как $$e^{x-17}>0$$, то $$2x^2-22x=0\to x-11x=0\to \left[ \begin{array}{c} x_1=0 \\ x_2=11 \end{array} \right.$$

Найдем точку минимума функции. В окрестности этой точки производная должна менять свой знак с «-» на «+». Анализ показывает, что это точка $$x=11$$.

 

Задание 11018

Найдите наименьшее значение функции $$y=\left(x-22\right)e^{x-21}$$ на отрезке $$[20;\ 22].$$

Ответ: -1
Скрыть Вычислим производную $$y'=e^{x-21}+{\left(x-22\right)}^{e^{x-21}}=e^{x-21}\left(x-21\right).$$ В точках экстремума производная равна нулю, получим уравнение $$e^{x-21}\left(x-21\right)=0\to x=21\in \left[20;22\right].$$ Для определения наименьшего значения функции, вычислим ее значение на краях диапазона и в точке экстремума, получим: $$y\left(20\right)=-2e^{-1}$$ данное значение не может быть выражено конечной десятичной дробью, а значит не является ответом в ЕГЭ; $$y\left(21\right)=-1;y\left(22\right)=0.$$ Наименьшее значение равно -1.
 

Задание 11084

Найдите наибольшее значение функции $$y={{\log }_{\frac{1}{3}} \sqrt{x^3}\ }$$ на отрезке $$[\frac{1}{3};3]$$

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$y={{\log }_{\frac{1}{3}} \sqrt{x^3}\ }$$ т.к. $$f\left(x\right)=x^3$$ - возрастает, то $$y={{\log }_{\frac{1}{3}} f(x)\ }$$ - убывает на $$\left[\frac{1}{3};3\right]\to y_{max}=y\left(\frac{1}{3}\right)={{\log }_{\frac{1}{3}} \sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^3}\ }=\frac{3}{2}{{\log }_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}\ }=1,5.$$
 

Задание 11142

Найдите наименьшее значение функции $$f\left(x\right)=e^{2x}-4e^x+7$$ на отрезке $${\rm [-1};{\rm \ 1].}$$

Ответ: 3
Скрыть Вычислим производную от функции, получим: $$f'\left(x\right)=2e^{2x}-4e^x.$$ В точках экстремума функции производная равна нулю, имеем уравнение $$2e^{2x}-4e^x=0\to 2e^x\left(e^x-2\right)=0.$$ Учитываем, что $$2e^x\ne 0,$$ и рассматриваем уравнение $$e^x-2=0\to e^x=2\to x={\ln 2\ }\in \left[-1;1\right].$$ Найдем значение функции в точке экстремума и на краях диапазона, получим: $$f\left(-1\right)=e^{-2}-4e^{-1}+7;f\left(1\right)=e^2-4e+7$$ данные значения не могут быть выражены конечными десятичными дробями, а значит не являются ответами в ЕГЭ. $$f\left({\ln 2\ }\right)={\left(e^{{\ln 2\ }}\right)}^2-4e^{{\ln 2\ }}+7=4-8+7=3.$$
 

Задание 11339

Найдите наименьшее значение функции $$y=e^{2x}-6e^{x}+3$$ на отрезке $$[1;2]$$

Ответ: -6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11418

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=\log_{7}(\frac{1}{x^{3}-12x^{2}+45x-1})$$ на отрезке [3;6].

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12295

Найдите наибольшее значение функции $$y\ =\ \left(x-6\right)е^{7-x}$$ на отрезке [2; 15].

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12310

Найдите точку минимума функции $$y=11x-{{\ln \left(x+4\right)\ }}^{11}-3$$

Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12330

Найдите наибольшее значение функции $$y=\ 7\ln(x\ +\ 5)-7x\ +\ 10$$ на отрезке $$[-4,5;\ 0].$$

Ответ: 38
 

Задание 12371

Найдите точку минимума функции $$y={\left(x+8\right)}^2\cdot e^{-x-3}$$

Ответ: -8
 

Задание 12391

Найдите точку минимума функции $$y\ =\ x^2\ -\ 28x\ +\ 96\lnx\ -\ 5.$$

Ответ: 8
 

Задание 12431

Найдите наибольшее значение функции $$y\ =\ \left(x^2+\ 22x-22\right)е^{2-x}$$ на отрезке [0; 5].

Ответ: 26
 

Задание 12450

Найдите наименьшее значение функции $$y\ =\ \left(1-x\right)е^{2-x}$$ на отрезке [0,5; 5].

Ответ: -1
 

Задание 12549

Найдите наименьшее значение функции $$y\ =\ 2x^2-\ 5x\ +\ \ln x\ -\ 5$$ на отрезке $$[\frac{5}{6};\frac{7}{6}]$$

Ответ: -8
 

Задание 12571

Найдите наименьшее значение функции $$y\ =\ 4x^2-\ 12x\ +\ 4lnx\ -\ 10$$ на отрезке $$[\frac{12}{13};\frac{14}{13}]$$

Ответ: -18
 

Задание 12611

Найдите наименьшее значение функции $$y\ =\ 5x-\ln(5x)\ +\ 12$$ на отрезке $$[\frac{1}{10};\frac{1}{2}]$$

Ответ: 13

Задание 12631

Найдите наибольшее значение функции $$y={\ln \left(8x\right)\ }-8x+7$$ на отрезке $$[\frac{1}{16};\frac{5}{16}]$$

Ответ: 6
 

Задание 12670

Найдите наименьшее значение функции $$y=9x-{{\ln \left(x+5\right)\ }}^9$$ на отрезке [-4,5; 0].

Ответ: -36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12691

Найдите наименьшее значение функции $$y\ =\ 12x-\ln(12x)\ +\ 4$$ на отрезке $$[\frac{1}{24};\frac{5}{24}]$$

Ответ: 5
 

Задание 12711

Найдите точку максимума функции $$y\ =\ 2x^2-57x\ +\ 203\ln x\ +\ 28.$$

Ответ: 7
 

Задание 12750

Найдите точку минимума функции $$y=x-\ \ln(x\ +\ 6)\ +\ 3.$$

Ответ: -5
 

Задание 12771

Найдите точку минимума функции $$y\ =\ 5x\ -\ 5\ln(x+\ 7)\ +\ 7.$$

Ответ: -6
 

Задание 12851

Найдите точку минимума функции $$y\ =\ \left(2x^2\ -\ 26x\ +\ 26\right)e^{x-17}.$$

Ответ: 11
Скрыть

1. Вычислим производную функции, получим: $$y'=(4x-26)e^{x-17}+(2x^{2}-26x+26)e^{x-17}=$$$$e^{x-17}(2x^{2}-22x)$$

2. Приравняем производную нулю и найдем точки экстремума функции: $$e^{x-17}(2x^{2}-22x)=0\Leftrightarrow$$$$$$

так как $$e^{x-17}>0, x\in R$$, то $$x_{1}=0, x_{2}=11$$

3. Точкой минимума будет являться та точка экстремума, в окрестности которой производная меняет свой знак с «-» на «+». Получаем точку $$x = 11$$.

 

Задание 12861

Найдите точку минимума функции $$y\ =\ \left(x^2\ -\ 7x\ +\ 7\right)e^{x-17}.$$

Ответ: 5
Скрыть

Точка минимума функции – это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с отрицательного на положительный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Область определения функции: все числа.

Найдем производную функции: $$y'=(2x-7)e^{x-17}+(x^{2}-7x+7)e^{x-17}$$ $$y'=e^{x-17}(x^{2}-5x)$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е. $$e^{x-17}>0, x\in R$$, $$x^{2}-5x=0$$, $$x_{1}=0, x_{2}=5$$

Отметим точки 0 и 5 на числовой прямой и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке x = 5 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это искомая точка минимума.

 

Задание 12873

Найдите наибольшее значение функции $$y\ =\ {\ln {\left(x\ +\ 9\right)}^5\ }\ -5x$$ на отрезке [-8,5; 0].

Ответ: 40
 

Задание 12892

Найдите точку максимума функции $$y=\ {\left(x+\ 7\right)}^2-е^{-1-x}$$

Ответ: -5
 

Задание 12913

Найдите значение функции $$f(x)=4^{\log_{4}\frac{(x+3)^2}{x^{3}+12x}+\log_{0,5}(x+3)}$$ в точке минимума

Ответ: 0,0625
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13795

Найдите наибольшее значение функции $$y=2x^{2}-12x+8\ln x-5$$ на отрезке $$[\frac{12}{13};\frac{14}{13}]$$.

Ответ: -15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14028

Найдите точку максимума функции $$y=(x+35)e^{35-x}$$

Ответ: -34
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!