Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Наибольшее и наименьшее значение функций

Исследование показательных и логарифмических функций

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12913

Найдите значение функции $$f(x)=4^{\log_{4}\frac{(x+3)^2}{x^{3}+12x}+\log_{0,5}(x+3)}$$ в точке минимума

Ответ: 0,0625
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11418

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=\log_{7}(\frac{1}{x^{3}-12x^{2}+45x-1})$$ на отрезке [3;6].

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11339

Найдите наименьшее значение функции $$y=e^{2x}-6e^{x}+3$$ на отрезке $$[1;2]$$

Ответ: -6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10690

Найдите точку минимума функции $$f\left(x\right)={\ln (\frac{x^2+4}{x})\ }$$

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$f'\left(x\right)=\frac{1}{\frac{x^2+4}{x}}\cdot {\left(\frac{x^2+4}{x}\right)}'=$$$$\frac{x}{x^2+4}{\left(x+\frac{4}{x}\right)}'=$$$$\frac{x}{x^2+4}\left(1-\frac{4}{x^2}\right)=$$ $$=\frac{x^2-4}{x(x^2+4)}=0\to \left[ \begin{array}{c} x=\pm 2 \\ x\ne 0 \end{array} \right.$$ Учтем, что по $$D\left(f\right):\ \frac{x^2+4}{x}>0\to x>0\to x=2$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10654

Найдите точку минимума функции $$f\left(x\right)=\frac{5^{{{\log }_5 \left(2-x\right)\ }}}{5^{{{\log }_5 \left(x+4\right)\ }}}+6x$$
Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f\left(x\right)=\frac{5^{{{\log }_5 \left(2-x\right)\ }}}{5^{{{\log }_5 \left(x+4\right)\ }}}+6x\to g\left(x\right)=\frac{2-x}{x+4}+6x$$ при $$x\in \left(-4;2\right)\ (M(x))$$

$$g'\left(x\right)=\frac{{\left(2-x\right)}'\left(x+4\right)-(x+4)'(2-x)}{{\left(x+4\right)}^2}+6=\frac{-x-4-2+x}{{\left(x+4\right)}^2}+6=0$$

$$\to {\left(x+4\right)}^2=1\to \left[ \begin{array}{c} x=-5\ \\ x=-3 \end{array} \right.$$, где $$x=-5$$ не принадлежит $$M\left(x\right)\to x=-3-min$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10594

Найдите точку минимума функции $$y=\left(73-x\right)*e^{73-x}$$

Ответ: 74
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$y'={(73-x)}'e^{73-x}+\left(73-x\right){\left(e^{73-x}\right)}'=$$$$\left(-1\right)e^{73-x}+\left(73-x\right)\left(-1\right)e^{73-x}=0\to$$ $$\to\left(-1\right)-73+x=0\to x=74$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10574

Найдите наименьшее значение функции $$y={{\log }_2 x\ }\cdot {{\log }_2 \left(16\cdot x\right)\ }+14$$

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$y={{\log }_2 x\ }\cdot {{\log }_2 \left(16\cdot x\right)\ }+14={{\log }_2 x\ }\cdot \left(4+{{\log }_2 x\ }\right)+14=$$$${{{{\rm (log}}_2 x\ })}^2+4\cdot {{\log }_2 x\ }+14$$ Пусть $${{\log }_2 x\ }=m$$, получим $$f\left(m\right)=m^2+4\cdot m+14$$. Тогда $$f_{{\rm min}}\left(m\right)=f(m_0)$$, где $$m_0=\frac{-4}{2}=-2$$ (вершина параболы) $$\to y_{min}={\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+14=10$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10526

Найдите точку минимума функции $$y=5x-5\ln(x+7)+7$$

Ответ: -6
Скрыть

По области определения натурального логарифма получим: $$x+7>0\Leftrightarrow x>-7$$

Найдем производную функции и приравняем к нулю: $$y'=5-5\cdot \frac{1}{x+7}=0\Leftrightarrow$$$$\frac{5x+35-5}{x+7}=0$$ .Получим, что $$x=-6$$, $$x\neq 7$$.

На промежутке $$(-7;-6)$$ производная имеет знак "-", далее "+", то есть "-6" - точка минимума.

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10439

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=e^{2x-6}(x-2)$$ на отрезке [1;3]

Ответ: 1
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10389

Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{\ln(2x-3)}{2}+3x-x^{2}$$

Ответ: 2
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10285

Найдите точку минимума функции $$y=\ln(2x+5)+\frac{2}{(2x+5)^2}$$

Ответ: -1,5
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10259

Найдите наибольшее значение функции $$y=3x-e^{3x}$$ на отрезке $$[-1;1]$$

Ответ: -1
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9799

Найдите наименьшее значение функции $$y=12x-\ln(12x)+4$$ на отрезке $$[\frac{1}{24};\frac{5}{24}]$$

Ответ: 5
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9779

Найдите точку максимума функции $$f(x)=2x^{2}-5x+\ln x-5$$

Ответ: 0,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9659

Найдите наименьшее значение функции $$y=9x-\ln (x+5)^{9}$$ на отрезке [-4,5;0]

Ответ: -36
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9486

Найдите точку максимума функции $$y=(x+7)^{2}\cdot e^{-1-x}$$

Ответ: -5
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9381

Найдите наибольшее значение функции $$y=\ln (x+9)^{5}-5x$$ на отрезке [-8,5;0]

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9361

Найдите наибольшее значение функции $$y=\ln(8x)-8x+7$$ на отрезке $$[\frac{1}{16};\frac{5}{16}]$$

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9244

Найдите наименьшее значение функции $$y=5x-\ln(5x)+12$$ на отрезке $$[\frac{1}{10};\frac{1}{2}]$$

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9109

Найдите наименьшее значение функции $$y=4x^{2}-12x+4\ln x-10$$ на отрезке $$[\frac{12}{13};\frac{14}{13}]$$

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9063

Найдите наименьшее значение функции $$y=2x^{2}-5x+\ln x-5$$ на отрезке$$[\frac{5}{6};\frac{7}{6}]$$

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9042

Найдите наибольшее значение функции $$y=\log_{3}x \cdot \log_{3}\frac{9}{x}+1$$ на отрезке [1;9]

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 8758

Найдите наименьшее значение функции $$y=(1-x)e^{2-x}$$ на отрезке [0,5;5].
Ответ: -1
Аналоги к этому заданию:

Задание 8739

Найдите наибольшее значение функции $$y=(x^{2}+22x-22)e^{2-x}$$ на отрезке [0;5]
Ответ: 26
Аналоги к этому заданию:

Задание 8696

Найдите точку минимума функции $$y=x^{2}-28x+96\ln x-5$$
Ответ: 8
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8341

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=(x+2)\cdot \log_{\frac{1}{2}}(x+2)$$ на отрезке [0;2].

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8266

Найдите наибольшее значение функции $$y=\log_{2}(\sin x-\cos x)$$, на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$
Ответ: 0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Функция логарифма, при основании больше единицы, возрастает, следовательно, наибольшее значение она будет принимать при наибольшем значение логарифмируемой функции $$f(x)=\sin x-\cos x$$

Найдем производную и приравняем ее к нулю: $$f'(x)=\cos x+\sin x=0| :\cos x\Leftrightarrow$$$$1+tg x=0\Leftrightarrow$$$$tg x=-1\Leftrightarrow$$$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z$$

При этом из множества этих точек на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$ располагается $$\frac{3\pi}{4}$$, которая является точкой максимума. Тогда $$y(max)=y(\frac{3\pi}{4})=\log_{2}(\sin \frac{3\pi}{4}-\cos \frac{3\pi}{4})=$$$$\log_{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=$$$$\log_{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2}=0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6662

Найдите наибольшее значение функции $$y=2,7e^{3x^{2}-x^{3}-4}$$ на отрезке [1;3]

Ответ: 2,7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную для $$y=2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}$$: $${y}'=2,7*e^{3x^{2}-x^{2}-4}*{(3x^{2}-x^{3}-4)}'=$$$$2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}*(6x-3x^{2})$$

Приравняем производную к 0: $${y}'=0\Leftrightarrow$$ $$6x-3x^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$3x(2-x)=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.$$. x=0 - точка минимума, x=2 - максимума

$$f_{max}=f(2)=2,7*e^{3*2^{2}-2^{3}-4}=2,7$$