ЕГЭ Профиль
Задание 906
Найти наибольшее значение функции f(x) = cos πx - 6x на отрезке [-2/3 ; 1]
Производная данной функции равна: $$ f^{'}\left(x\right)=-\pi{}*\sin{\pi{}x}-6 $$ С учетом того, что sin x принадлежит промежутку [-1;1], данная производная имеет максимальное значение -π*(-1)-6=π-6. Данное значение отрицательное, значит функция убывает на всей области определения. Значит ее максимальное значение в начале промежутка. $$ f\left(-2/3\right)=\cos{\pi{}(-\frac{2}{3})}-6*\left(-\frac{2}{3}\right)=-0.5+4=3.5 $$
Задание 942
Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=(x^{2}-8x+8)*e^{2-x}$$ на отрезке [1; 7].
Найдем производную функции: $$f^{'}(x)=(2x-8)e^{2-x}+(-1)e^{2-x}(x^{2}-8x+8)=$$
$$=e^{2-x}(2x-8-x^{2}+8x-8)=e^{2-x}(-x^{2}+10x-16)$$
Приравняем производную к нулю:
$$e^{2-x}(-x^{2}+10x-16)=0$$ $$e^{2-x}=0$$
решений не имеет $$(-x^{2}+10x-16)=0$$ x1=2 и x2 =8
Отметим эти точки на координатной прямой и расставим знаки производной:
 |
Точка минимума там, где производная меняет знак с - на +, то есть в точке 2
Подставим данное значение в первоначальную функцию и получим:
$$f(2)=(2^{2}-8*2+8)*e^{2-2}=(4-16+8)*1=-4$$
Задание 979
Найдите точку максимума функции $$f(x)=\ln (x+5)-2x+9$$
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю: $$f^{'}(x)=\frac{1}{x+5}-2=0\Leftrightarrow \frac{1-2x-10}{x+5}=0\Leftrightarrow$$ $$ \frac{-2x-9}{x+5}=0\Leftrightarrow x=-4.5 ; x\neq -5 $$ Отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной. Получим, что точка -4,5 - точка максимума
Задание 1018
Найдите критическую (стационарную) точку функции $$y=3x^{4}+8x^{3}+6x^{2}+1$$ , которая не является точкой экстремума.
Найдем производную данной функции: $$y=3x^{4}+8x^{3}+6x^{2}+1\Leftrightarrow y^{'}=12x^{3}+24x^{2}+12x\Leftrightarrow$$ Приравняем производную к нулю:
$$12x^{3}+24x^{2}+12x=0 \Leftrightarrow x(12x^{2}+24x+12)=0 \Leftrightarrow $$
$$\left\{\begin{matrix}x = 0\\ 12(x^{2}+2x+1)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$
$$\left\{\begin{matrix}x = 0\\ (x+1)^{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x = 0\\ x=-1\end{matrix}\right.$$
| Начертим координатную прямую и отметим полученные точки на ней. Подставим в производную значения с каждого интервала, чтобы определеить знаки. Как видим, слева и справа от x = -1 одинаковые значения производной, значит это и есть критическая точка не являющаяся экстремумом |
|
Задание 1102
Найдите точку минимума функции $$\sqrt[3]{(x+5)^{2}}-\sqrt[3]{(x+5)^{5}}$$
Найдем производную этой функции. Представим, что
$$\sqrt[3]{(x+5)^{2}}=(x+5)^{\frac{2}{3}}$$
$$ \sqrt[3]{(x+5)^{5}}=(x+5)^{\frac{5}{3}}$$
Тогда $$f_{'}(x)=\frac{2}{3}*(x+5)^{-\frac{1}{3}}-\frac{5}{3}*(x+5)^{\frac{2}{3}}=0$$
$$0=\frac{1}{3}*(2(x+5)^{-\frac{1}{3}}-5*(x+5)^{\frac{2}{3}})$$
$$0=2(x+5)^{-\frac{1}{3}}-5*(x+5)^{\frac{2}{3}}$$ Вынесем $$(x+5)^{-\frac{1}{3}}$$ за скобки:
$$(x+5)^{-\frac{1}{3}}(2-5*(x+5))=0$$
Получаем, что x = -4.6 и x = -5.
Если начертить координатную прямую и расставить на ней знаки производной, то увидим, что на промежутках (-∞;-5] и [-4.6;+∞) производная отрицательна, а на промежутке [-5;-4.6] - положительна. Значит x = -5 точка минимума