Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / Наибольшее и наименьшее значение функций

 

Задание 906

Найти наибольшее значение функции  f(x) = cos πx - 6x на отрезке [-2/3 ; 1]

Ответ: 3.5
Скрыть

Производная данной функции равна: $$ f^{'}\left(x\right)=-\pi{}*\sin{\pi{}x}-6 $$ С учетом того, что sin x принадлежит промежутку [-1;1], данная производная имеет максимальное значение -π*(-1)-6=π-6. Данное значение отрицательное, значит функция убывает на всей области определения. Значит ее максимальное значение в начале промежутка. $$ f\left(-2/3\right)=\cos{\pi{}(-\frac{2}{3})}-6*\left(-\frac{2}{3}\right)=-0.5+4=3.5 $$

 

Задание 942

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=(x^{2}-8x+8)*e^{2-x}$$ на отрезке [1; 7].

Ответ: -4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную функции: $$f^{'}(x)=(2x-8)e^{2-x}+(-1)e^{2-x}(x^{2}-8x+8)=$$

$$=e^{2-x}(2x-8-x^{2}+8x-8)=e^{2-x}(-x^{2}+10x-16)$$

Приравняем производную к нулю:

$$e^{2-x}(-x^{2}+10x-16)=0$$ $$e^{2-x}=0$$

решений не имеет $$(-x^{2}+10x-16)=0$$ x1=2 и x2 =8

Отметим эти точки на координатной прямой и расставим знаки производной:

Точка минимума там, где производная меняет знак с - на +, то есть в точке 2

Подставим данное значение в первоначальную функцию и получим:

$$f(2)=(2^{2}-8*2+8)*e^{2-2}=(4-16+8)*1=-4$$

 

Задание 979

Найдите точку максимума функции $$f(x)=\ln (x+5)-2x+9$$

Ответ: -4.5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю: $$f^{'}(x)=\frac{1}{x+5}-2=0\Leftrightarrow \frac{1-2x-10}{x+5}=0\Leftrightarrow$$ $$ \frac{-2x-9}{x+5}=0\Leftrightarrow x=-4.5 ; x\neq -5 $$ Отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной. Получим, что точка -4,5 - точка максимума

 

Задание 1018

Найдите критическую (стационарную) точку функции $$y=3x^{4}+8x^{3}+6x^{2}+1$$ , которая не является точкой экстремума.

Ответ: -1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную данной функции: $$y=3x^{4}+8x^{3}+6x^{2}+1\Leftrightarrow y^{'}=12x^{3}+24x^{2}+12x\Leftrightarrow$$  Приравняем производную к нулю:

$$12x^{3}+24x^{2}+12x=0 \Leftrightarrow x(12x^{2}+24x+12)=0 \Leftrightarrow $$

$$\left\{\begin{matrix}x = 0\\ 12(x^{2}+2x+1)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$

$$\left\{\begin{matrix}x = 0\\ (x+1)^{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x = 0\\ x=-1\end{matrix}\right.$$

Начертим координатную прямую и отметим полученные точки на ней. Подставим в производную значения с каждого интервала, чтобы определеить знаки. Как видим, слева и справа от x = -1 одинаковые значения производной, значит это и есть критическая точка не являющаяся экстремумом

 

Задание 1102

Найдите точку минимума функции $$\sqrt[3]{(x+5)^{2}}-\sqrt[3]{(x+5)^{5}}$$

Ответ: -5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную этой функции. Представим, что

$$\sqrt[3]{(x+5)^{2}}=(x+5)^{\frac{2}{3}}$$

$$ \sqrt[3]{(x+5)^{5}}=(x+5)^{\frac{5}{3}}$$

Тогда $$f_{'}(x)=\frac{2}{3}*(x+5)^{-\frac{1}{3}}-\frac{5}{3}*(x+5)^{\frac{2}{3}}=0$$

$$0=\frac{1}{3}*(2(x+5)^{-\frac{1}{3}}-5*(x+5)^{\frac{2}{3}})$$

$$0=2(x+5)^{-\frac{1}{3}}-5*(x+5)^{\frac{2}{3}}$$ Вынесем $$(x+5)^{-\frac{1}{3}}$$ за скобки:

$$(x+5)^{-\frac{1}{3}}(2-5*(x+5))=0$$

Получаем, что x = -4.6 и x = -5. 

Если начертить координатную прямую и расставить на ней знаки производной, то увидим, что на промежутках (-∞;-5] и [-4.6;+∞) производная отрицательна, а на промежутке [-5;-4.6] - положительна. Значит x = -5 точка минимума

Задание 1135

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции  $$y=x^{3}-48x+17$$ .

Ответ: -4

Задание 1136

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  $$y=x^{3}-3x+4$$  на от­рез­ке  [-2;0] .

Ответ: 6

Задание 1137

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции  $$y=x^3-3x^{2}+2$$ .

Ответ: 2

Задание 1138

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции $$y=x^{3}-3x^{2}+2$$  на от­рез­ке [1;4] .

Ответ: -2

Задание 1139

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции  $$y=x^{3}+2x^{2}+x+3$$ .

Ответ: -1

Задание 1140

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  $$y=x^{3}-2x^{2}+x+3$$  на от­рез­ке  [1;4] .

Ответ: 3

Задание 1141

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции $$y=x^{3}+5x^{2}+7x-5$$

Ответ: -1

Задание 1142

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  $$y=x^{3}+2x^{2}-4x+4$$  на от­рез­ке  [-2;0]

Ответ: 12

Задание 1143

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции $$y=7+12x-x^{3}$$

Ответ: 2

Задание 1144

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  $$y=7+12x-x^{3}$$  на от­рез­ке  [-2;2]

Ответ: -9