ЕГЭ Профиль
Задание 10998
Найдите наименьшее значение функции $$f\left(x\right)=5-{{\log }_2 (31-x^2-2x)\ }$$
Задание 10819
Задание 10690
Найдите точку минимума функции $$f\left(x\right)={\ln (\frac{x^2+4}{x})\ }$$
Задание 10654
$$f\left(x\right)=\frac{5^{{{\log }_5 \left(2-x\right)\ }}}{5^{{{\log }_5 \left(x+4\right)\ }}}+6x\to g\left(x\right)=\frac{2-x}{x+4}+6x$$ при $$x\in \left(-4;2\right)\ (M(x))$$
$$\to {\left(x+4\right)}^2=1\to \left[ \begin{array}{c} x=-5\ \\ x=-3 \end{array} \right.$$, где $$x=-5$$ не принадлежит $$M\left(x\right)\to x=-3-min$$
Задание 10614
Найдите точку максимума функции $$f\left(x\right)=x^8\cdot e^{5x+6}$$.
Задание 10594
Найдите точку минимума функции $$y=\left(73-x\right)*e^{73-x}$$
Задание 10574
Найдите наименьшее значение функции $$y={{\log }_2 x\ }\cdot {{\log }_2 \left(16\cdot x\right)\ }+14$$
Задание 10554
Найдите наименьшее значение функции $$y=\sqrt[5]{-\frac{5*x^4}{4}+4*x^5}$$ на интервале $$\left(0;;\frac{1}{2}\right)$$
Найдем производную: $$y^{'}={\left({\left(-\frac{5*x^4}{4}+4*x^5\right)}^{\frac{1}{5}}\right)}^{'}=$$$$\frac{1}{5}*{\left(-\frac{5*x^4}{4}+4*x^5\right)}^{\frac{4}{5}}*{\left(-\frac{5*x^4}{4}+4*x^5\right)}^{'}=$$$$\frac{1}{5}*\frac{1}{\sqrt[5]{{\left(-\frac{5*x^4}{4}+4*x^5\right)}^4}}*\left(-5*x^3+20*x^4\right)=0$$ $$-5*x^{3}*\left(1-4*x\right)=0\to x=0$$ и$$x=\frac{1}{4};$$ $$\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt[5]{\frac{-5*{(\frac{1}{4})}^4}{4}+4*{\left(\frac{1}{4}\right)}^5}=$$$$\sqrt[5]{-{\left(\frac{1}{4}\right)}^5}=-0,25$$
Задание 10526
Найдите точку минимума функции $$y=5x-5\ln(x+7)+7$$
По области определения натурального логарифма получим: $$x+7>0\Leftrightarrow x>-7$$
Найдем производную функции и приравняем к нулю: $$y'=5-5\cdot \frac{1}{x+7}=0\Leftrightarrow$$$$\frac{5x+35-5}{x+7}=0$$ .Получим, что $$x=-6$$, $$x\neq 7$$.
На промежутке $$(-7;-6)$$ производная имеет знак "-", далее "+", то есть "-6" - точка минимума.
Задание 8266
Функция логарифма, при основании больше единицы, возрастает, следовательно, наибольшее значение она будет принимать при наибольшем значение логарифмируемой функции $$f(x)=\sin x-\cos x$$
Найдем производную и приравняем ее к нулю: $$f'(x)=\cos x+\sin x=0| :\cos x\Leftrightarrow$$$$1+tg x=0\Leftrightarrow$$$$tg x=-1\Leftrightarrow$$$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z$$
При этом из множества этих точек на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$ располагается $$\frac{3\pi}{4}$$, которая является точкой максимума. Тогда $$y(max)=y(\frac{3\pi}{4})=\log_{2}(\sin \frac{3\pi}{4}-\cos \frac{3\pi}{4})=$$$$\log_{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=$$$$\log_{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2}=0,5$$
Задание 8235
Найдите наименьшее значение функции $$y=3-\sqrt{96-x^{2}-4x}$$ на отрезке $$[-5;8]$$
Задание 6662
Найдите наибольшее значение функции $$y=2,7e^{3x^{2}-x^{3}-4}$$ на отрезке [1;3]
Найдем производную для $$y=2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}$$: $${y}'=2,7*e^{3x^{2}-x^{2}-4}*{(3x^{2}-x^{3}-4)}'=$$$$2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}*(6x-3x^{2})$$
Приравняем производную к 0: $${y}'=0\Leftrightarrow$$ $$6x-3x^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$3x(2-x)=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.$$. x=0 - точка минимума, x=2 - максимума
$$f_{max}=f(2)=2,7*e^{3*2^{2}-2^{3}-4}=2,7$$