Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C2) Стереометрическая задача

Сечения многогранников

 

Задание 2438

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ:В1М=1:3.
Через точки М и С1 параллельно BD1 проведена плоскость β.
А) Докажите, что плоскость β проходит через середину ребра АА1.
Б) Найдите площадь сечения куба плоскостью β, если известно, что АВ=12.

Ответ: $$30\sqrt{26}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2830

Дана правильная пирамида PABCD с вершиной в точке Р. Через точку В
перпендикулярно прямой DP проведена плоскость Ω, которая пересекает DP в точке К.
А) Докажите, что прямые ВК и АС перпендикулярны.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна 6 и высота пирамиды равна 6.

Ответ: $$12\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2867

Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам АD, AB и BC тетраэдра ABCD, причем АМ : МD = 2 :3, ВN : АN = 1 : 2, ВК = КС.
а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K.
б) Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

Ответ: $$3:1$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) В и М $$\in$$ (ABD) - соединяем В и K $$\in$$ (ABC) - соединяем $$BK\cap AC=P$$ M и P $$\in$$ (ADC) - соединяем $$\Rightarrow$$ $$MP\cap DC=Q$$ $$\Rightarrow$$ MQKN - искомая плоскость.

б) 1. Проведем  $$CO\parallel AB\Rightarrow \bigtriangleup BKN\sim \bigtriangleup COK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BN}{CO}=\frac{BK}{CK}=\frac{NK}{KO}$$ $$\bigtriangleup POK\sim \bigtriangleup PNA$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PC}{CA}=\frac{CO}{AN}=\frac{PO}{PN}$$

2. Возьмем $$\frac{BN}{CO}=\frac{BK}{CK}$$ и $$\frac{PC}{PA}=\frac{CO}{AN}$$ и умножим $$\frac{BN}{CO}\cdot\frac{CO}{AN}=\frac{BK}{CK}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$frac{BN}{AN}=\frac{BK}{CK}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{y}{2y}=\frac{z}{z}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PC}{AP}=\frac{1}{2}$$

3. Аналогично $$\frac{DM}{AM}=\frac{CP}{AP}\cdot\frac{DQ}{QC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{3x}{2x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{DQ}{QC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{DQ}{QC}=\frac{3}{1}$$

 

Задание 2945

На диагонали АВ1 грани АВВ1А1 треугольной призмы взята точка М так, что АМ : МВ1 = 5 : 4.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку М, параллельно диагоналям А1С и ВС1 двух других граней.
б) Найдите в каком отношении плоскость сечения делит ребро СС1
Ответ: 2 : 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3330

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.

а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания, равен 450.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC. 
Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4188

На боковых ребрах DB и DC треугольной пирамиды ABCD расположены точки М и N так, что ВМ=MD и CN:ND=2:3. Через вершину А основания пирамиды и точки М и N проведена плоскость $$\alpha$$ , пересекающая медианы боковых граней в точках К, R и Т.

А) Докажите, что площадь треугольника KTR составляет 5/22 от площади сечения пирамиды плоскостью $$\alpha$$
Б) Найти отношение объемов пирамид KRTC и ABCD.
Ответ: $$\frac{1}{22}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$AM$$ и $$DR_{1}$$ - медианы $$\Rightarrow$$ $$\frac{AR}{RM}=\frac{2}{1}$$

2) $$\bigtriangleup DAC$$: по т. Менелая $$\frac{CT_{1}}{T_{1}A}\cdot\frac{AT}{TN}\cdot\frac{DN}{DC}=1$$; $$\frac{1}{1}\cdot\frac{AT}{TN}\cdot\frac{3}{5}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AT}{TN}=\frac{5}{3}$$

3) $$\bigtriangleup CDB$$: построим $$MK_{1}$$; т.к. $$DM=MB$$; $$CK_{1}=K_{1}B$$ $$\Rightarrow$$ $$MK_{1}$$ - средняя линия; $$MK_{1}=\frac{1}{2}CD=2,5x$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup NDK\sim\bigtriangleup KK_{1}M$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ND}{mk_{1}}=\frac{NK}{KM}=\frac{3x}{2,5x}=\frac{6}{5}$$

Рассмотрим  $$\bigtriangleup NMA$$: пусть $$S_{NMA}=S$$, тогда $$S_{ATR}=\frac{AT}{AN}\cdot\frac{AR}{AM}\cdot S=$$ $$\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{3}S=\frac{5}{12}S$$; $$S_{NTK}=\frac{NT}{NA}\cdot\frac{NK}{NM}S=$$ $$\frac{3}{8}\cdot\frac{6}{11}S=\frac{9}{44}S$$; $$S_{KMR}=\frac{KM}{MN}\cdot\frac{MR}{MA}S=$$ $$\frac{5}{11}\cdot\frac{1}{3}S=\frac{5}{33}S$$; $$S_{TKR}=S-S_{ATR}-S_{NTK}-S_{KMR}=$$ $$S-\frac{5}{12}S-\frac{9}{44}S-\frac{5}{33}S=$$ $$\frac{132S-55S-27S-20S}{4\cdot3\cdot11}=\frac{5S}{22}$$

ч.т.д.

б) $$\frac{V_{KRTC}}{V_{ABCD}}=?$$; $$V_{KRTC}=(V_{ABCD}-V_{DAMN}-V_{ABCM})\cdot\frac{S_{KTR}}{S_{NMA}}$$

1) Пусть $$V_{ABCD}=V$$; $$V_{DAMN}=\frac{DN}{DC}\cdot\frac{DM}{DB}\cdot\frac{DA}{DA}\cdot V=$$ $$\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{3}{10}V$$; $$V_{ABCM}=\frac{MB}{DB}V=\frac{1}{2}V$$; $$V_{KRTC}=(V-\frac{3}{10}V-\frac{1}{2}V)\cdot\frac{2}{22}=$$ $$\frac{2V}{10}\cdot\frac{5}{22}=\frac{V}{22}$$; $$\frac{V_{KRTC}}{V_{ABCD}}=\frac{\frac{V}{22}}{V}=\frac{1}{22}$$

Задание 4336

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN: NC = 2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.

Ответ:

Задание 4337

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 8, AD = 7, AA1 = 5. Точка W принадлежит ребру DD1 и делит его в отношении 1 : 4, считая от вершины D. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C W и A1.

Ответ:

Задание 4338

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.

Ответ:

Задание 4339

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC. Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна $$25\sqrt{3}$$. Найдите сторону основания.

Ответ:

Задание 4340

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

Ответ:

Задание 4341

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 9, а боковые рёбра равны 15. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и BC параллельно прямой MB.

Ответ:

Задание 4342

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины S.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.
Ответ:

Задание 4343

Точка E — середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью A1BE, если ребра куба равны 2.

Ответ:

Задание 4344

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A1C1. Найдите его площадь.

Ответ:

Задание 4345

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

Ответ:

Задание 4346

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA1 = 7. Точка M принадлежит ребру A1D1 и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины D1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M.

Ответ:

Задание 4347

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC .

Ответ:

Задание 4348

В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 10. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AE = LM = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Ответ:

Задание 4349

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

Ответ:

Задание 4350

Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 3. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

Ответ:

Задание 4351

В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MA = 6. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AL = 2, и BE = 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Ответ:

Задание 4352

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

Ответ:

Задание 4353

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона основания равна 8, а угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B.

Ответ:

Задание 4354

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11.

а) Докажите, что прямые CA1 и C1D1 перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины C, A1 и F1.
Ответ:

Задание 4355

Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно.

а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 10.
Ответ:
 

Задание 4396

В основании пирамиды TABCD лежит трапеция ABCD , в которой $$BC\parallel AD$$ и AD:BC=2. Через вершину Т пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой ВС и пересекающая отрезок АВ в точке М такой, что АМ:MB=2. Площадь получившегося сечения равна 10, а расстояние от ребра ВС до плоскости сечения равно 4.

А) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении 7:20
Б) Найдите объем пирамиды.
Ответ: 90
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1) Построим через М прямую $$\parallel BC$$ $$\Rightarrow$$ $$MN\parallel BC$$ $$\Rightarrow$$ $$(TMN)$$ - сечение

2) Опустим высоту ВН в трапеции ABCD: $$BH\cap MN=O$$ $$\Rightarrow$$ $$BO=h$$; $$\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABH$$ (по острому углу и прямому) $$\Rightarrow$$ $$\frac{BO}{OH}=\frac{BM}{AM}=\frac{1}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$OH-2BO=2h$$

3) Опустим $$CK\perp CD$$; $$CK\cap MN=R$$: $$BC=OR=HK=x$$ $$\Rightarrow$$ Пусть $$CH=a$$ $$\Rightarrow$$ $$KD=x-a$$. Тогда из подобия $$\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABH$$: $$MO=\frac{1}{3}CH=\frac{1}{3}a$$; аналогично $$RN=\frac{1}{3}KD=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}a$$. Tогда $$MN=MO+OR+RN=\frac{1}{3}a+x+\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}a=\frac{4}{3}x$$

4) $$S_{MBCN}=\frac{BC+MN}{2}\cdot BO=$$ $$\frac{x+\frac{4}{3}x}{2}\cdot h=\frac{7xh}{6}$$; $$S_{AMND}=\frac{AD+MN}{2}\cdot OH=$$ $$\frac{2x+\frac{4}{3}x}{2}\cdot2h=\frac{20xh}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{V_{MBCNT}}{V_{AMNDT}}=\frac{S_{MBCN}}{S_{AMND}}=$$ $$\frac{7xh}{6}\div\frac{20xh}{6}=\frac{7}{20}$$

б) 1) Пусть расстояние от ВС до $$MTN=d$$  (т.к. у них общая вершина): $$V_{BMNT}=\frac{1}{3}S_{MTN}\cdot d=\frac{1}{3}\cdot10\cdot4=\frac{40}{3}$$

2) $$\frac{V_{BNMT}}{V_{BCNMT}}=\frac{S_{BNM}}{S_{BCNM}}=$$ $$\frac{\frac{1}{2}\cdot MN\cdot BO}{\frac{MN+BC}{2}\cdot BO}=$$ $$\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{4x}{3}}{\frac{x+\frac{4x}{3}}{2}}=\frac{4}{7}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{BCNMT}=\frac{7}{4}V_{BNMT}=\frac{70}{3}$$

3) $$V_{AMNDT}=\frac{20}{7}V_{BCNMT}=\frac{70}{3}\cdot\frac{20}{7}=\frac{200}{3}$$

4) $$V_{ABCDT}=V_{AMNDT}+V_{BCNMT}=\frac{70}{3}+\frac{200}{3}=90$$

 

Задание 4914

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD со  стороной АВ=4. Боковое ребро SC, равное 4, перпендикулярно основанию пирамиды.  Плоскость $$\alpha$$, проходящая через вершину С параллельно прямой BD, пересекает  ребро SA в точке М, причем SM:MA=1:2  

А) Докажите, что $$SA\perp\alpha$$
Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha$$ 
Ответ: $$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) 1) $$AS=\sqrt{16+32}=4\sqrt{3}$$; $$AM=\frac{4\sqrt{3}\cdot2}{3}$$; $$MS=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$; $$MC=\frac{4\cdot4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$$; $$4^{2}=(\frac{4\sqrt{6}}{3})^{2}+(\frac{4\sqrt{3}}{3})^{2}=\frac{16\cdot6+16\cdot3}{9}=16$$

2) $$AC\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp KN$$

б) 1) $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{MS}{SA}\cdot\frac{AO}{OC}=1$$; $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}=1$$; $$\frac{CE}{EM}=\frac{3}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$CE=\frac{3}{4}\cdot CM=\frac{3}{4}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$$

2) $$\cos ACM=\frac{CM}{AC}=\frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$; $$OE=\sqrt{OC^{2}+CE^{2}-2OC\cdot CE\cdot\cos ACM}=$$ $$\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6})^{2}-2\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}=$$ $$\sqrt{8+6-\frac{4\cdot6}{3}}=\sqrt{6}$$

3) $$SO=\sqrt{OC^{2}+SC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+4^{2}}=\sqrt{24}$$ $$\Rightarrow$$ $$SE=SO-OE=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$NK$$ - средняя линия $$\bigtriangleup SDB$$ $$\Rightarrow$$ $$NK=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$;

4) $$S_{CKMN}=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot NK=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}\cdot2\sqrt{2}=\frac{4\cdot\sqrt{12}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$$

 

Задание 5057

В основании прямой призмы $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ лежит ромб ABCD, причем AB=BD. Точки М и N – середины ребер $$B_{1}C_{1}$$ и АВ соответственно.

А) Докажите, что сечение призмы плоскостью $$MND_{1}$$ – многоугольник с прямым углом  при вершине $$D_{1}$$.
Б) Найдите площадь указанного сечения, если $$AB=8$$, $$AA_{1}=3\sqrt{2}$$
Ответ: $$33\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     А) 1) Построение сечения: $$D_{1}M\cap A_{1}B_{1}=Q$$; $$QN\cap BB_{1}=T$$; $$QN\cap AA_{1}=G$$; $$GD_{1}\cap AD=K$$, тогда $$D_{1}MTNK$$ - сечение .

     2) Так как $$AB=BD$$, то $$\Delta BDC$$ - равносторонний и $$\angle BDC=60$$. $$M_{1}$$ - середина BC (проекция M на (ABC))$$\Rightarrow$$ $$DM_{1}$$ - биссектриса $$\Delta BDC$$ и $$\angle BDM_{1}=30$$.Тогда $$\angle ADM_{1}=90$$, т.е. $$AD\perp DM_{1}$$, KD - проекция $$KD_{1}$$ на (ABC): $$KD\perp DM_{1}\Rightarrow$$ $$KD_{1}\perp DM_{1}$$ по т. Трех препендикулярах. Но  $$D_{1}M\left |  \right |DM_{1}$$ $$\Rightarrow$$  $$KD_{1}\perp D_{1}M$$ т.е. $$\angle KD_{1}M=90$$

     Б) 1) Пусть площадь сечения $$S_{1}$$, а площадь его проекции $$S_{2}$$: $$S_{1}=\frac{S_{2}}{\cos \varphi }$$, где $$DKNBM_{1}$$ - проекция сечения, а $$\angle D_{1}KD=\varphi$$ – угол между плоскостью сечении яи основанием призмы , т.к. $$D_{1}K\perp KN, DK\perp KN$$.

     2) Проведем $$BP\left | \right |M_{1}D$$. Тогда $$BM_{1}DP$$ - прямоугольник , $$M_{1}B=4$$; $$D_{1}M=DC \sin 60=4\sqrt{3}$$; $$S_{BM_{1}DP}=16\sqrt{3}$$; KPBN-прямоугольная трапеция ;$$BP=M_{1}D=4\sqrt{3}$$; $$KN=\frac{1}{2}BP=2\sqrt{3}$$ (т.к. N- середина AB); $$KP=\frac{1}{4}AD=2$$;

     3) $$S_{KPBN}=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{2}*2=6\sqrt{3}$$; $$S_{2}=16\sqrt{3}+6\sqrt{3}=22\sqrt{3};$$ $$KD_{1}=\sqrt{KD^{2}+DD_{1}^{2}}=\sqrt{6^{2}+(3\sqrt{2})^{2}}=3\sqrt{6};$$ $$\cos \varphi =\frac{KD}{KD_{1}}=\frac{6}{3\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}};$$ $$S_{1}=22\sqrt{3}:\frac{2}{\sqrt{6}}=33\sqrt{2};$$
 

 

Задание 5141

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ $$AB=5$$, $$AD=6$$, $$AA_{1}=8$$  точка К – середина ребра $$DD_{1}$$ 

А) Докажите, что прямые $$BC$$ и $$KC_{1}$$ перпендикулярны.  
Б) Найдите отношение объемов, на которые делится прямоугольный параллелепипед  плоскостью $$BKC_{1}$$
Ответ: $$\frac{7}{17}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) т.к. $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ - прямоугол. параллелипипед, то $$BC\perp(CC_{1}D_{1}D)$$, по $$KC_{1}\in(CC_{1}D_{1}D)$$ $$\Rightarrow$$ $$BC\perp KC_{1}$$

б) 1) $$BC_{1}$$ соединяем; $$KC_{1}$$ соединяем; $$(BCC_{1})\parallel(ADD_{1})$$ $$\Rightarrow$$ через К пройдет прямая параллельная прямая $$BC_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$KM$$; из подобия $$\bigtriangleup MKD$$ $$\bigtriangleup BC_{1}C$$; М - середина AD $$\Rightarrow$$ $$(BCKD)$$ - искомая плоскость

2) $$BCC_{1}MDK$$ - усеченная пирамида: $$V=\frac{1}{3}h(S_{1}+S_{2}+\sqrt{S_{1}S_{2}})$$; $$V_{1}=\frac{1}{3}DC\cdot(S_{BCC_{1}}+S_{MDK}+\sqrt{S_{BCC_{1}}\cdot S_{MDK}})$$; $$V_{1}=\frac{1}{3}\cdot5\cdot(\frac{1}{2}\cdot6\cdot8+\frac{1}{2}\cdot3\cdot4+\sqrt{\frac{1}{2}\cdot6\cdot8\frac{1}{2}\cdot3\cdot4})=$$ $$\frac{5}{3}(24+6+\frac{1}{2}\cdot3\cdot2)=\frac{5}{3}(30+12)=70$$

3) $$V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=5\cdot6\cdot8=240$$ $$\Rightarrow$$ объем оставшейся

$$V_{2}=240-70=170$$

4) $$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{70}{170}=\frac{7}{17}$$

 

Задание 6230

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S AD=1/5 SD=1. Через точку В проведена плоскость $$\alpha$$ , пересекающая ребро SC в точке Е и удаленная от точек А и С на одинаковое расстояние, равное 1/10. Известно, что плоскость $$\alpha$$ не параллельна прямой АС.

А) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит ребро SC в отношении SE:EC = 7:1
Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha$$ .
Ответ: $$\frac{7\sqrt{2}}{400}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A)  1) из $$\Delta ABC: AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\frac{1}{5})^{2}+(\frac{1}{5})^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{5}$$, $$CH=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{10}$$

     2)из $$\Delta HMC : \sin MHC=\frac{MC}{OH}=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \angle MHC=45\Rightarrow$$ HE-биссектриса

     3) из $$\Delta SHC: SH=\sqrt{SC^{2}-HC^{2}}=\sqrt{1-\frac{2}{100}}=\frac{\sqrt{98}}{10}$$

По свойству биссектрисы : $$\frac{SH}{HC}=\frac{SE}{EC}\Rightarrow \frac{\sqrt{98}}{10}:\frac{\sqrt{2}}{10}=\sqrt{\frac{98}{2}}=\frac{7}{1}$$

  Б) 1)Пусть $$EH\perp HC$$,тогда из подобия $$\Delta SHC$$ и $$\Delta ENC :\frac{SE}{SC}=\frac{HN}{HC}\Rightarrow HN=\frac{SE*HC}{SC}=\frac{7*\frac{\sqrt{2}}{10}}{8}=\frac{7\sqrt{2}}{80}$$

     2) $$S_{DNB}=\frac{1}{2}NH*DB=\frac{1}{2}*\frac{7\sqrt{2}}{80}*\frac{\sqrt{2}}{5}=\frac{7}{400}$$

     3) $$S_{DEB}=\frac{S_{DNB}}{\cos EHC}=\frac{\frac{7}{400}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{400}$$

 

Задание 6326

Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором $$AC=CB=2$$ ,$$\angle ACB=2\arcsin \frac{4}{5}$$. Плоскость, перпендикулярная прямой А1В, пересекает ребра АВ и А1В1 в точках К и L соответственно, причем $$AK=\frac{7}{16}AB$$, $$LB_{1}=\frac{7}{16}A_{1}B_{1}$$ .

А) Докажите, что плоскость сечения пересекает ребро СС1 в его середине
Б ) Найдите площадь сечения.
Ответ: 1,35
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     (Чтобы построить сечение, нужно будет проводить $$N_{1}O$$ до пересечения с $$BC$$ в точке F, и соединять KF)

A)   1)$$\angle ACB=2 \arcsin \frac{4}{5}\Rightarrow$$ $$\sin \angle ACB =\sin (2 \arcsin \frac{4}{5})=$$$$2\sin (\arcsin \frac{4}{5})\cos(\arcsin \frac{4}{5})=$$$$2\frac{4}{5}-\sqrt{1-(\frac{4}{5})^{2}}=$$$$\frac{8}{5}*\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$$. Учитываем, что угол $$\arcsin$$ которого составляет $$\frac{4}{5}$$ больше $$\in (45;90)$$. Следовательно, двойной угол будет $$\in (90;180)$$, то есть его косинус отрицательный: $$\cos \angle ACB=-\sqrt{1-(\frac{24}{25})^{2}}=-\frac{7}{25}$$

     2) $$A_{1}B_{1}=\sqrt{C_{1}A_{1}^{2}+C_{1}B_{1}^{2}-2C_{1}A_{1}*C_{1}B_{1}*\cos A_{1}C_{1}B_{1}}=$$$$\sqrt{2^{2}+2^{2}+2*2^{2}*\frac{7}{25}}=\frac{16}{5}$$

     3) $$AK=\frac{7}{16}AB=\frac{7}{16}*\frac{16}{5}=\frac{7}{5}$$; $$KB=\frac{9}{16}*\frac{16}{5}=\frac{9}{5}$$; $$B_{1}L=\frac{7}{5}$$; $$LA_{1}=\frac{9}{5}$$; $$K_{1}M_{1}=B_{1}M_{1}-LB_{1}=\frac{8}{5}-\frac{7}{5}=\frac{1}{5}=MK$$

$$LM_{1}\left | \right |KM$$ и $$MM_{1}\perp AB A_{1}B_{1}\Rightarrow$$ $$\Delta LM_{1}O_{1}=\Delta O_{1}MK\Rightarrow M_{1}O_{1}=O_{1}K$$, но $$LN_{1}\left | \right |KN\left | \right |OO_{1}\Rightarrow C_{1}O=OC$$

Б)   1) $$O_{1}L\perp N_{1}L$$ т.к. $$M_{1}L\perp N_{1}L$$ (теорема о трех перпендикулярах)

$$B_{1}L=\frac{7}{5}\Rightarrow$$ $$\frac{B_{1}L}{B_{1}M_{1}}=\frac{7}{5}*\frac{5}{8}=\frac{7}{8}\Rightarrow$$ $$N_{1}L=\frac{7}{8}C_{1}M_{1}=\frac{7}{8}OO_{1}\Rightarrow$$ $$S_{OO_{1}LN_{1}}=\frac{OO_{1}+\frac{7}{8}OO_{1}}{2}*O_{1}L=\frac{15}{16}OO_{1}*O_{1}L$$ (так как имеем прямоугольную трапецию)

$$O_{1}L\perp N_{1}L$$ т.к. $$M_{1}L\perp N_{1}L$$ (теорема о трех перпендикулярах)

     2) из $$\Delta LO_{1}A_{1}:$$ $$O_{1}M_{1}=\sqrt{LM_{1}*M_{1}A_{1}}=\sqrt{\frac{1}{5}*\frac{8}{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$$

$$K_{1}O_{1}=\sqrt{(\frac{1}{5})^{2}+(\frac{2\sqrt{2}}{5})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{8}{25}}=\frac{3}{5}$$

$$OO_{1}=C_{1}M_{1}=\sqrt{2^{2}-(\frac{8}{5})^{2}}=\sqrt{4-\frac{64}{25}}=\frac{6}{5}$$

     3) Тогда площадь всего сечения есть удвоенная $$S_{OO_{1}LN_{1}}$$: $$S=\frac{15}{16}*\frac{6}{5}*\frac{3}{5}*2=1,35$$

 

Задание 6373

Через середину ребра АС правильной треугольной пирамиды SABC (S – вершина) проведены плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ , каждая из которых образует угол 300 с плоскостью АВС. Сечения пирамиды этими плоскостями имеют общую сторону длины 1, лежащую в грани АВС, а плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна ребру SA.

А) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $$\alpha$$
Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $$\beta$$
Ответ: $$\frac{3}{8}; \frac{54}{49}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)   1) AE- медиана $$\Rightarrow AE\perp NM\Rightarrow$$ $$NM\perp AS$$(теорема о трёх перпендикулярах )$$\Rightarrow (MNK)=\alpha$$

     2) $$S_{MNC}=S_{NMA}*\cos30$$

$$MN=1\Rightarrow$$ $$CB=2\Rightarrow$$ $$S_{AMN}=\frac{1}{4}*S_{ABC}=$$$$\frac{1}{4}*\frac{1}{2}*2*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$

$$S_{MNK}=\frac{\sqrt{3}}{4}*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}$$

Б)   1) $$\beta \cap ABC=MN\Rightarrow$$ т.к. $$(BSK)\cap ABC=BC$$, то $$MN\left | \right |QP\Rightarrow QPMN$$ - равнобокая трапеция

     2) $$\angle SAE=90-30=60(\Delta KLA)$$

$$\Delta ABC:AE=AC*\sin 60=$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}*2=\sqrt{3}$$

$$AD=\frac{2}{3}AE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$, $$\Delta ASO:AS=\frac{AO}{\cos 60}=$$ $$\frac{2\sqrt{3}}{3}*2=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

     3) $$\angle LRE=30$$, пусть AF –биссектриса $$SAE\Rightarrow AF\left | \right |LR$$, $$LR=\frac{1}{2}AF(\Delta AFE)$$

$$AF=\frac{2*AE*AS}{AE+AS}*\cos \frac{SAE}{2}=$$$$\frac{2\sqrt{3}*\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}}*\frac{\sqrt{3}}{2}=$$$$\frac{12}{7}\Rightarrow LR=\frac{6}{7}$$

     4) По свойству биссектрисы: $$\frac{SF}{FE}=\frac{SA}{AE}=\frac{4}{3}$$

$$RE=FR=\frac{1}{2}FE=$$$$\frac{1}{2}*\frac{3}{7}AE=$$$$\frac{3}{14}SE$$

$$PQ=\frac{11}{12}BC=\frac{11}{7}\Rightarrow$$ $$S_{\beta}=\frac{1+\frac{11}{7}}{2}*\frac{6}{7}=\frac{54}{49}$$

 

Задание 6468

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 1. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Через вершину А параллельно диагонали BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 1:2, считая от вершины.

А) Докажите, что плоскость сечения проходит через середину отрезка SO, где О – центр основания.
Б) Найдите площадь сечения.
Ответ: $$\frac{1}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) по т. Менелая из $$\Delta CLA:$$ $$\frac{SK}{KO}*\frac{OA}{AC}*\frac{CL}{LS}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SK}{KO}*\frac{1}{2}*\frac{2}{1}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SK}{KO}=1\Leftrightarrow$$ $$SK=KO$$

    Б) 1) $$AC\perp BD$$( ABCD - квадрат), но AC-проекция AL на (ABCD)$$\Rightarrow$$ $$AL\perp BD$$

     2) $$MN\left | \right |BD\Rightarrow$$ $$AL\perp MN$$, $$S_{AMLN}=\frac{1}{2}AL*MN$$

     3) из $$\Delta ACD$$: $$AC=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$$

Из $$\Delta ACS$$: $$CS=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+2^{2}}=\sqrt{6}$$

Тогда $$\cos \angle SCA=\frac{AC}{CS}=$$$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$LC=\frac{2}{3}CS=\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

Из $$\Delta ACL$$: $$AL=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\frac{2\sqrt{6}}{3})^{2}-2\sqrt{2}*\frac{2\sqrt{6}}{3}*\frac{1}{\sqrt{3}}}=$$$$\sqrt{2+\frac{8}{3}-\frac{8}{3}}=\sqrt{2}$$

Из $$\Delta SBD\sim \Delta SNM$$: $$\frac{MN}{BD}=\frac{SK}{SO}=$$$$\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$MN=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

4) $$S_{AMLN}=\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{2}}{1}*\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$$

 

Задание 6522

Правильная треугольная призма АВСА1В1С1 пересечена плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, А1С1, ВВ1. Сторона основания призмы равна 2, а высота призмы равна $$\frac{\sqrt{7}}{7}$$ .

А) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы.
Б) Найдите площадь сечения.
Ответ: $$\frac{13}{12}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Введем ортогональную систему координат, как на рисунке .

     2) Зададим уравнение плоскости сечения. Для этого найдем координаты трех точек, лежащих в данной плоскости:

$$N_{x}=-\frac{1}{2}KA=-\frac{1}{2};$$ $$N_{y}=\frac{1}{2}KB=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; $$N_{z}=0$$

$$K_{x}=0$$; $$K_{y}=0$$; $$K_{z}=CC_{1}=\frac{\sqrt{7}}{7}$$

$$M_{x}=0$$; $$M_{y}=KB=\sqrt{3}$$; $$M_{z}=\frac{1}{2}CC_{1}=\frac{\sqrt{7}}{14}$$

     Тогда : $$\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+d=0\\\frac{\sqrt{7}}7{c+d=0}\\\sqrt{3}b+\frac{\sqrt{7}}{14}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}2{b+d=0}\\c=-\sqrt{7}d\\\sqrt{3}b-\frac{7d}{14}+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{4}d+d=0\\c=-\sqrt{7}d\\b=-\frac{1}{2\sqrt{3}}d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a=\frac{3}{2}d\\b=-\frac{1}{2\sqrt{3}}d\\c=-\sqrt{7}d\end{matrix}\right.$$

     Тогда нормаль-вектор для $$(NMK_{1})$$: $$\bar{n}(\frac{3}{2};-\frac{1}{2\sqrt{3}}; -\sqrt{7})$$

      Нормаль-вектор для (ABC)-ось OZ: $$\bar{m}(0;0;1)$$

     3) $$\cos(\bar{n},\bar{m})=\frac{\left | \frac{3}{2}*0-\frac{1}{2\sqrt{3}}*0-\sqrt{7}*1 \right |}{\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+(-\frac{1}{2\sqrt{3}})^{2}+(-\sqrt{7})^{2}}\sqrt{1^{2}}}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$$ $$\angle (\bar{n},\bar{m})=30$$, что так же является углом между плоскостями

   Б) 1) AN=NB; $$\angle ANE=\angle MNB\Rightarrow$$ $$\Delta ANE=\Delta NMB$$ и $$AE=MB=\frac{1}{2} BB_{1}=\frac{\sqrt{7}}{14}$$

     2) $$\Delta ALE\sim \Delta A_{1}EK_{1}\Rightarrow$$ $$\frac{AL}{A_{1}K_{1}}=\frac{AE}{A_{1}E}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$AL=\frac{1}{3}\Rightarrow$$$$S_{\Delta ALN}=\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*1*\frac{\sqrt{3}}{2}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{12}(\frac{1}{2}AL*AN\sin A)$$

     3)Проведем из B прямую $$\left | \right |NL\Rightarrow BQ$$: $$\frac{AN}{NB}=\frac{AL}{LQ}\Rightarrow$$ $$LQ=AL=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$QK=1-2*\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

     4) $$\Delta KCR\sim \Delta QCB($$R-проекция $$R_{1}$$, $$K_{1}R_{1}\left | \right |KR$$, но $$K_{1}R_{1}\left | \right |LN\Rightarrow$$ $$K_{1}R_{1}\left | \right |QB\Leftrightarrow$$ $$KR\left | \right |QB$$)$$\Rightarrow S_{KCR}=S_{QCB}$$($$\frac{CK}{CQ})^{2}$$. $$S_{QCB}=\frac{1}{2}*\frac{4}{3}*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$. $$(\frac{CK}{CQ})^{2}=(\frac{1}{\frac{4}{3}})^{2}=\frac{9}{16}$$. $$S_{KCR}=\frac{2\sqrt{3}}{3}*\frac{9}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$$

    5) $$S_{\angle NBRK}=S_{ABC}-S_{ALN}-S_{CKR}$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}*2*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$

$$S_{\angle NBRK}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{13\sqrt{3}}{24}$$

Но LNBRK-проекция $$K_{1}LNMR_{1}$$ на $$(ABC)\Rightarrow S_{K_{1}LNMR_{1}}=$$$$\frac{S_{\angle NBRK}}{\cos\alpha }$$,где $$\alpha =30$$

$$S_{K_{1}LNMR_{1}}=\frac{13\sqrt{3}}{24}:\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{13}{12}$$

 

Задание 6616

Точки M,N и P лежат на боковых ребрах правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 и делят их в отношении $$AM:MA_{1}=1:2$$, $$BN:NB_{1}=1:3$$, $$CP:PC_{1}=2:3$$

А) В каком отношении делит объем призмы плоскость, проходящая через точки M,N и P ?
Б) Докажите, что MNP ‐ прямоугольный треугольник, если сторона основания призмы равна $$2\sqrt{10}$$ , а боковое ребро равно 60 .
Ответ: $$\frac{59}{121}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Пусть a - ребро основания, b - боковое ребро. Тогда: $$AM=\frac{1}{3}b$$, $$NB=\frac{1}{4}b$$, $$CP=\frac{2}{5}b$$

     2) Разобъем многогранник ABCMNP на пирамиды : PABNM и PABC

     3) Пусть $$CH\perp AB$$ и h - перпендикуляр из P. Тогда $$CH=h\Rightarrow$$ $$V_{PABNM}=\frac{1}{3}S_{ABNM}*CH$$. Из $$\Delta ABC$$: $$CH=AB *\sin 60=\frac{\sqrt{3}a}{2}$$

  $$S_{ABNM}=\frac{AM+NB}{2}*AB=$$$$\frac{\frac{1}{3}b+\frac{1}{4}b}{2}*a=\frac{7ab}{24}$$

  $$V_{PABNM}=\frac{1}{3}*\frac{7ab}{24}*\frac{\sqrt{3}a}{2}=$$$$\frac{7a^{2}b\sqrt{3}}{144}$$

     4) $$V_{PABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}*CP$$

  $$S_{ABC}=\frac{1}{2}*AB*BC*\sin 60=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}$$

  $$V_{PABC}=\frac{1}{3}*\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}*\frac{2}{5}b=$$$$\frac{2\sqrt{3}a^{2}b}{60}$$

Тогда $$V_{ABCMNP}=\frac{7a^{2}b\sqrt{3}}{144}=$$$$\frac{2\sqrt{3}a^{2}b}{60}=$$$$\frac{(35+24)\sqrt{3}a^{2}b}{720}=\frac{59\sqrt{3}a^{2}b}{720}$$

     5) $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=S_{ABC}*CC_{1}=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}*b=\frac{\sqrt{3}a^{2}b}{4}$$

      6) $$V_{A_{1}B_{1}C_{1}MNP}=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}b}{4}-\frac{59\sqrt{3}a^{2}b}{720}=$$$$\frac{121\sqrt{3}a^{2}b}{720}$$

Тогда: $$\frac{V_{ABCMNP}}{V_{A_{1}B_{1}C_{1}MNP}}=\frac{59}{121}$$

   Б) 1) $$MN=AM-NB=5$$. $$NM_{1}\perp AM\Rightarrow$$ $$NM_{1}=AB=2\sqrt{10}$$

     2) $$\Delta MNM_{1} MN=\sqrt{5^{2}+(2\sqrt{10}^{2})}=\sqrt{25+40}=\sqrt{65}$$

     3) Аналогично $$PP_{1}=PC-NB=9$$. $$PN=\sqrt{81+40}=\sqrt{121}$$

     4) Аналогично : $$PM_{1}=24-20=4$$. $$MP=\sqrt{16+40}=\sqrt{56}$$

     5) $$MN^{2}+MP^{2}=65+56=121=PN$$ - выполнилась теорема Пифагора

 

Задание 7019

В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания АВС равна 12, $$\angle ADB=2 arctg \frac{3}{4}$$ . В треугольнике ABD проведена биссектриса ВА1, а в треугольнике BCD проведены медиана ВС1 и высота СВ1.

А) Найдите объем пирамиды А1В1C1D
Б) Найдите площадь проекции треугольника А1В1C1 на плоскость АВС.
Ответ: А)$$\frac{84\sqrt{39}}{55}$$ Б)$$\frac{1632\sqrt{3}}{275}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) 1) Пусть DH-высота в $$\Delta ADB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle HDB =arctg\frac{3}{4}\Rightarrow$$ $$tg\angle HDB =\frac{3}{4}=\frac{HB}{DH}$$; $$HB=\frac{AB}{2}=6\Rightarrow$$ $$DH=8\Rightarrow$$ из $$\Delta DHB$$: $$DB=\sqrt{DH^{2}+HB^{2}}=10$$

     2) $$\frac{V_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}{V_{ABCD}}=$$$$\frac{A_{1}D*B_{1}D*C_{1}D}{AD*BD*CD}(1)$$

     3) из $$\Delta ABD$$: $$\frac{AB}{BD}=\frac{AA_{1}}{A_{1}D}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\Rightarrow$$ $$A_{1}D=\frac{5}{11}AD$$(по свойству биссектрисы)

     4) $$DC_{1}=\frac{1}{2}DC$$ (медиана)

   Из $$\Delta BCD$$: $$\cos D=\frac{BD^{2}+CD^{2}-BC^{2}}{2 *BD*CD}=0,28$$$$\Rightarrow$$

   Из $$\Delta DB_{1}C$$: $$DB_{1}=0,28 DC\Rightarrow$$ $$DB_{1}=0,28DB$$

     5) Пусть DO – высота ABCD.

   Из $$\Delta ABC$$: $$CH=CB \sin B=12\frac{\sqrt{3}}2{}=6\sqrt{3}\Rightarrow$$ $$CO=\frac{2}{3} CH=4\sqrt{3}$$

   Из $$\Delta DOC$$: $$DO=\sqrt{CD^{2}-OC^{2}}=\sqrt{10^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{52}$$

   $$S_{ABC}=\frac{1}{2} *12^{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}=36 \sqrt{3}$$

   $$V_{ABCD}=\frac{1}{3}*36\sqrt{3}*\sqrt{52}=12\sqrt{156}$$

   $$V_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{5}{11}*\frac{1}{2}*\frac{28}{100}*12\sqrt{156}=$$$$\frac{42}{55}\sqrt{156}=\frac{84\sqrt{39}}{55}$$

Б) Пусть $$A_{1}^{'}$$, $$B_{1}^{'}$$, $$C_{1}^{'}$$ проекция $$A_{1}$$, $$B_{1}$$ и $$C_{1}$$ на (ABC). Тогда :

     1) из $$\Delta DAO$$: $$\frac{DA_{1}}{DA}=\frac{OA_{1}^{'}}{OA}=\frac{5}{11}$$

     2)из $$\Delta DOC$$: $$\frac{DC_{1}}{DC}=\frac{OC_{1}^{'}}{OC_{1}}=\frac{1}{2}$$

     3) из $$\Delta DOB$$: $$\frac{DB_{1}}{DB}=\frac{DB_{1}^{'}}{OB}=\frac{28}{100}=\frac{7}{25}$$

     4) $$\frac{S_{A_{1}^{'}OC_{1}^{'}}}{S_{AOC}}=$$$$\frac{OA_{1}^{'}*OC_{1}^{'}}{OA*OC}=$$$$\frac{5}{11}*\frac{1}{2}=\frac{5}{22}$$

   $$\frac{S_{OC_{1}^{'}B_{1}^{'}}}{S_{OCB}}=\frac{OC_{1}^{'}*OB_{1}^{'}}{OC* OB}=$$$$\frac{1}{2}*\frac{7}{25}=\frac{7}{50}$$

   $$\frac{S_{OA_{1}^{'}B_{1}^{'}}}{S_{OAB}}=\frac{OB_{1}^{'}*OA_{1}^{'}}{OB*OA}=$$$$\frac{7}{25}*\frac{5}{11}=\frac{7}{55}$$

   $$S_{AOC}=S_{BOC}=S_{AOB}=\frac{1}{3}S_{ABC}\Rightarrow$$ $$S_{A_{1}^{'}B_{1}^{'}C_{1}^{'}}=\frac{1}{3}(\frac{5}{22}+\frac{7}{50}+\frac{7}{55})*36\sqrt{3}=$$$$12\sqrt{3}*\frac{125+77+70}{550}=$$$$12\sqrt{3}*\frac{272}{550}=\frac{1632\sqrt{3}}{275}$$

 

Задание 7107

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания ABCDEF равна 2, а боковое ребро 3.

а) Докажите, что плоскость AFM , где M ‐ середина ребра SC, делит ребро SB в отношении 2:1, считая от вершины S.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCDEF плоскостью AFM .
Ответ: А)2:1 Б) $$\frac{13\sqrt{2}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) Соединим AM , через M проведем прямую $$a\left | \right |AF$$; $$a\cap SD=N\Rightarrow$$ $$MN\left | \right |AF$$

     2) AC-проекция AM ; Пусть SR-высота в $$\Delta ASC$$; $$SR\cap AM =K \Rightarrow$$ через K пойдет прямая , параллельная AF ( по ней пересекаются сечение и (SEB) ); пусть она пересекает SE и SB в H и G соответственно , тогда (AGMNF)-искомое сечение

     3) из $$\Delta AMC$$ и точки $$S \in GM$$ по т. Менелая : $$\frac{SK}{KR}=\frac{RA}{AC}*\frac{CM}{MS}=1$$; $$\Delta SAC$$ равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$AR=RC\Rightarrow$$ $$\frac{SK}{KR}*\frac{1}{2}*\frac{1}{1}=1\Rightarrow$$ $$\frac{SC}{KR}=\frac{2}{1}(*)$$ ( можно сразу сказать , что K-точка пересечения медиан $$\Rightarrow$$ 2: 1)

     4) $$\Delta SHG\sim \Delta SEB\Rightarrow$$ $$\Delta SGK\sim \Delta SBK\Rightarrow$$ $$\frac{SK}{KR}=\frac{SC}{SB}=\frac{2}{1}$$

     Б) 1) Пусть SO-высота пирамиды $$\Rightarrow$$ из $$\Delta SOB$$: $$SO=\sqrt{SB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{5}\Rightarrow$$ $$YO=\frac{1}{3} SO=\frac{\sqrt{5}}{3}$$;

     2) из $$\Delta FOA$$: $$OZ=OA*\sin A=2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow$$ из $$\Delta ZOY$$: $$ZY=\sqrt{ZO^{2}+OY^{2}}=\frac{\sqrt{32}}{3}\Rightarrow$$ $$\cos YZO=\frac{ZO}{ZY}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{32}}$$

     3) Пусть $$AG^{'}M^{'}N^{'}H^{'}F$$- проекция сечения на (ABC) и $$S _{AC_{1}^{'}M^{'}N^{'}H^{'}F}=S_{1}$$. Пусть S-площадь сечения $$\Rightarrow$$ $$S=\frac{S_{1}}{\cos YZO}$$

     4) $$S_{ZOA}=x=\frac{1}{2} *2*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$;

     $$S_{AOC_{1}^{'}}=S_{ZOH^{'}}=$$$$\frac{OC_{1}^{'}}{OB}*x=$$$$\frac{SC_{1}}{SB}*x=\frac{2}{3}x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Аналогично: $$S_{G^{'}OM^{'}}=S_{H^{'}ON^{'}}=$$$$\frac{2}{3}*\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}x$$ и $$S_{N^{'}OM^{'}}=\frac{1}{4}x$$

Тогда $$S_{1}=\sqrt{3} (1+2*\frac{2}{3}+2*\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=\frac{13\sqrt{3}}{4}$$

$$S=\frac{13\sqrt{3}}{4} :\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{32}}=$$$$\frac{13\sqrt{3}*4\sqrt{2}}{4*3\sqrt{3}}=$$$$\frac{13\sqrt{2}}{3}$$

 

Задание 7180

В основании пирамиды с вершиной S лежит прямоугольник, центр которого находится на высоте пирамиды. Плоскость пересекает боковые ребра пирамиды в точках P, Q, M и N так, что Р и М – противоположные вершины четырехугольника PQMN. Известно, что $$SP=7$$, $$SM=\frac{7}{6}$$, $$SQ+SN=\frac{25}{6}$$, $$SQ>SN$$

А) Найдите SQ и SN
Б) Найдите, в каком отношении плоскость делит высоту пирамиды, если дополнительно известно, что боковое ребро пирамиды равно 10.
Ответ: А)$$\frac{5}{2};\frac{5}{3}$$ Б)$$\frac{1}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1)Через P проведем плоскость параллельную (ABC): $$PQ_{1}M_{1}N{1})$$$$\Rightarrow$$ $$SP=SQ=SM_{1}=SN_{1}=7$$. Пусть H –центр ABCD $$\Rightarrow$$ SH –высота пирамиды; $$SH\cap (PQMN)=O$$, $$SH\cap (PQ_{1}M_{1}N_{1})=O_{1}$$ ; $$MM_{1}=SM_{1}-SM=\frac{35}{6}$$

     2) Из $$\Delta SM_{1}P$$: $$M_{1}Q_{1}=O_{1}P\Rightarrow$$ по т. Менелая для $$\Delta MPM_{1}$$ : $$\frac{SO}{OO_{1}}*\frac{O_{1}P}{PM_{1}}*\frac{M_{1}M}{MS}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SO}{OO_{1}}*\frac{1}{2}*\frac{35}{6}:\frac{7}{6}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SO}{OO_{1}}=\frac{2}{5}$$

     3) Рассмотрим $$\Delta SQ_{1}N_{1}$$: пусть $$SQ=x\Rightarrow$$ $$SN=\frac{25-x}{6}$$; Построим $$N_{2}Q_{2}\left | \right |N_{1}Q_{1}\Rightarrow$$ $$\Delta SON_{2}\sim \Delta SO_{1}N_{1}\Rightarrow$$ $$\frac{SN_{2}}{N_{2}N_{1}}=\frac{SO}{OO_{1}}=\frac{2}{5}$$. Т.е. $$SN_{1}=7$$, то $$SN_{2}=2=SQ_{2}$$, тогда $$N_{2}N=SN_{2}-SN=2-(\frac{25}{6}-x)=x-\frac{13}{6}$$; $$Q_{2}Q=SQ-SQ_{2}=x-2$$

   По т. Менелая для $$\Delta NSQ$$: $$\frac{N_{2}O}{OQ_{2}}*\frac{Q_{2}Q}{QS}*\frac{SN}{NN_{2}}=1$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{1}*\frac{x-2}{x}*\frac{\frac{25}{6}-x}{x-\frac{13}{6}}=1$$$$\Leftrightarrow$$ $$(x-2)(\frac{25}{6}-x)=x(x-\frac{13}{6})|*6$$$$\Leftrightarrow$$ $$12x^{2}-50x+50=0\Leftrightarrow$$ $$6x^{2}-25x+25=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=\frac{5}{2}\\x_{2}=\frac{5}{3}\end{matrix}\right.$$

$$\frac{5}{3}$$ не подходит, т.к. $$\frac{25}{6}-\frac{5}{3}=\frac{5}{2}$$ и $$\frac{5}{3}<\frac{5}{2}$$, а по условию $$SQ>SN\Rightarrow$$ $$SQ=\frac{5}{2}$$; $$SN=\frac{5}{3}$$

     Б) 1) Рассмотрим $$\Delta SHD$$: $$SQ_{2}=2$$; $$Q_{2}Q_{1}=5$$; $$Q_{1}D=SD-SQ_{1}=10-7=3\Rightarrow$$ $$Q_{2}D=5+3=8$$

     2) $$\Delta SOQ_{2}\sim \Delta SHD\Rightarrow$$ $$\frac{SO}{OH}=\frac{SQ_{2}}{Q_{2}D}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$

 

Задание 7221

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=4, AD=6, AA1=8 . Точка К, лежащая на ребре АА1, удалена от вершины А на 4, расстояние от точки L, лежащей на ребре DD1 до вершины D равно 2. Точка М лежит на отрезке В1С, длина МС вдвое больше длины В1М.

А) Найдите угол между плоскостью KLM и плоскостью DCC1
Б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью KLM.
Ответ: А) $$arccos \frac{2}{7}$$ Б) 28
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) K и L лежат в одной плоскости $$\Rightarrow$$ соединяем .

     2) $$(ADD_{1}) \left | \right |(BCC_{1})\Rightarrow$$ через M пройдет прямая , параллельная KL . Пусть она пересекает $$BB_{1}$$ , в N и $$CC_{1}$$ в R $$\Rightarrow$$ (KNRL)-искомое сечение.

     3) Зададим уравнение (KNRL) : введем ортогональную систему координат, тогда: $$K(0;0;4)$$; $$L(6; 0; 2)$$; $$M(\frac{1}{3} AD; AB ; \frac{2}{3} BB_{1})$$$$\Rightarrow$$ $$M(2 ;4; \frac{16}{3})$$

     Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение (KNRL), тогда: $$\left\{\begin{matrix}a*0+b*0+c*4+d=0\\a*6+b*0+c*2+d=0\\a*2+b*4+c*\frac{16}{3}+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4c+d=0\\6a+2c+d=0\\2a+4b+\frac{16c}{3}+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}c=-\frac{d}{4}\\a=-\frac{d}{12}\\b=\frac{d}{8}\end{matrix}\right.$$

     Получим : $$-\frac{d}{12}x+\frac{d}{8}y-\frac{d}{4}z+d=0$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x-3y+6z-24=0$$. Следовательно, нормаль-вектор для (KNRL) : $$\bar{n}(2; -3; 6)$$ . Для ($$DCC_{1}$$) : $$\bar{AD}$$ или $$\bar{Ox}(1 ;0;0)$$

     $$\cos (\bar{n};\bar{Ox})=\cos ((KNRL);(DCC_{1}))=$$$$\frac{\left | 2*1+(-3)*0+6*0 \right |}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}}=$$$$\frac{2}{7}\Rightarrow$$ угол между этими плоскостями $$\alpha =arccos \frac{2}{7}$$

     Б) 1) Пусть S - площадь (KLM), $$S_{1}$$ - площадь ее проекции на (ABC)-это и будет ABCD. Найдем $$\cos ((KLM ); (ABC))$$: нормаль вектора для (ABC) - $$\vec{Oz}(0;0;1)$$, тогда $$\cos ((KLM) ;(ABC))=\cos (\vec{n}; \vec{Oz})=$$$$\frac{\left | 2*0+(-3)*0+6*1 \right |}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}\sqrt{1^{2}}}=$$$$\frac{6}{7}=\cos \beta$$

     2) $$S=\frac{S_{1}}{\cos \beta }=$$$$\frac{AB*AD}{\cos \beta }=$$$$\frac{6*4}{\frac{6}{7}}=28$$

 

Задание 7561

Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребром длины 1. Точка Р – середина ребра А1D1, точка Q делит отрезок АВ1 в отношении 2:1, считая от вершины А, R – точка пересечения отрезков ВС1 и В1С.

А) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС1 куба.
Б) Найдите периметр сечения куба плоскостью PQR.
Ответ: а) 2:1; б) $$2+\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7864

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а  боковое ребро SA равно 4. Точки M и N – середины рёбер SA и SB соответственно.  Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания  пирамиды.  

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1,  считая от точки C.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC  плоскостью α.

Ответ: а) $$\frac{5}{1}$$; б) $$8+2\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) 1) Пусть $$SO$$ - высота пирамиды, $$\bigtriangleup SOB$$ - прямоугольный. Пусть $$NH\parallel SO$$ $$\Rightarrow$$ $$NH\cap OB=H$$ и $$OH=HB$$ (т.к. $$NH$$ - средняя линия)

2) Проведем через $$H$$ прямую,параллельную $$MN$$ (т.к. плоскость пересекает двугранный угол). Пусть прямая пересекает $$CB$$ и $$CA$$ в $$L$$ и $$K$$ соответственно $$\Rightarrow$$ $$(MNLK)$$ - искомое сечение.

3) $$MN\parallel AB$$; $$MN\parallel LK$$ $$\Rightarrow$$ $$LK\parallel AB$$. Пусть $$LK\cap OE=R$$, тогда $$\frac{OR}{RE}=\frac{OH}{HB}=\frac{1}{1}$$. Но $$\frac{CO}{OE}=\frac{2}{1}$$ ($$CE$$ - середина) $$\Rightarrow$$ $$\frac{CR}{RE}=\frac{2OE+\frac{1}{2}OE}{\frac{1}{2}OE}=\frac{5}{1}$$

б) 1) $$MN=\frac{1}{2}AB=3$$; $$KL=\frac{5}{6}AB=5$$; 

2) из $$\bigtriangleup SBC$$: $$\cos B=\frac{SB^{2}+CB^{2}-SC^{2}}{2SB\cdot CB}=\frac{4^{2}+6^{2}-4^{2}}{2\cdot6\cdot4}=\frac{3}{4}$$

3) $$HB=\frac{1}{6}CB=1$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup NBL$$: $$NH=\sqrt{NB^{2}+BL^{2}-2NB\cdot BL\cdot\cos B}=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2\cdot2\cdot1\cdot\frac{3}{4}}=\sqrt{4+1-3}=\sqrt{2}$$ $$\bigtriangleup AMK=\bigtriangleup NLB$$ по двум сторонам и углу между ними $$\Rightarrow$$ $$MK=NL$$

4) $$P=MN+KL+MK+NL=5+3+2\sqrt{2}=8+2\sqrt{2}$$

 

Задание 8237

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ребро основания АВ=2, высота АА1=6, точка М – середина F1E1, проведено сечение через точки А, С и М.

а) Докажите, что сечение проходит через середину ребра D1E1
б) Найдите площадь этого сечения
Ответ: б) $$\frac{247\sqrt{3}}{20}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) 1) Построим сечение: через $$M$$ проведем прямую $$a\parallel AC$$; $$a\cap E_{1}D_{1}=N$$ $$\Rightarrow$$ $$MN\parallel AC$$.

$$MN\cap C_{1}D_{1}=O_{2}$$; $$MN\cap A_{1}F_{1}=O_{1}$$; $$CO_{2}=\cap DD_{1}=K$$; $$AO_{1}\cap FF_{1}=L$$ $$\Rightarrow$$ $$(ACKNML)$$ - сечение

2) $$A_{1}C_{1}\parallel AC$$; $$AC\parallel MN$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}C_{1}\parallel MN$$; $$F_{1}D_{1}\parallel MN$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup F_{1}E_{1}D_{1}\sim\bigtriangleup ME_{1}N$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{F_{1}N}{ME_{1}}=\frac{D_{1}N}{NE_{1}}=\frac{1}{1}$$

Б) 1) Опустим из $$R$$ перпендикуляр $$PR'$$ на $$(ABC)$$. Из $$\bigtriangleup HBC$$: $$\angle C=30^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$HB=\frac{BC}{2}=1$$; $$HC=\sqrt{3}$$; $$ER'=\frac{HB}{2}=0,5$$. $$EB=2AB=4$$ $$\Rightarrow$$ $$R'H=4-1-0,5=2,5$$

2) Из $$\bigtriangleup RR'H$$: $$RR'=DD_{1}=6$$ $$\Rightarrow$$  по т. Пифагора: $$RH=\sqrt{6^{2}+2,5^{2}}=6,5=CO_{2}$$

3) $$S_{ACKNML}=S=S_{CO_{2}O_{1}A}-2S_{NO_{2}K}$$ (т.к. $$\bigtriangleup NO_{2}K=\bigtriangleup MO_{1}L$$ по катету $$NO_{2}=MO_{1}$$ и острому углу $$\angle N=\angle M$$)

4) $$NO_{2}=RN=\frac{1}{2}HC=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; $$O_{2}D_{1}=E_{1}R=\frac{1}{2}$$ $$\bigtriangleup O_{2}D_{1}K\sim\bigtriangleup DKC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{D_{1}K}{KD}=\frac{O_{2}D_{1}}{DC}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$D_{1}K=\frac{DD_{1}}{5}=\frac{6}{5}$$

Из $$\bigtriangleup O_{2}DK$$: $$O_{2}K=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{6}{5})^{2}}=\frac{13}{10}$$

Из $$\bigtriangleup NO_{2}K$$: $$S_{NO_{2}K}=\frac{1}{2}\cdot\frac{13}{10}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{13\sqrt{3}}{40}$$

5) $$AC=2HC=2\sqrt{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$S=2\sqrt{3}\cdot6,5-\frac{13\sqrt{3}}{40}\cdot2=\frac{247\sqrt{3}}{20}$$

 

Задание 8287

В правильной пирамиде SABC точки M и N –середины ребер АВ и ВС соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка К, SK:KA=1:3. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q.

а) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.
Ответ: $$\frac{21\sqrt{3}}{16}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Отрезок $$MN$$ является средней линией треугольника $$ABC$$, следовательно, $$MN||AC$$. Таким образом, сечение пересекает грань $$SAC$$ по прямой, также параллельной $$AC$$. Пусть $$L$$ — точка пересечения сечения с ребром $$SC$$, тогда $$KL||AC$$, а сечение $$KLMN$$ — равнобедренная трапеция.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью $$BSH$$, где $$H$$ — середина стороны $$AC$$. Пусть $$R$$ и $$T$$ — середины оснований $$MN$$ и $$KL$$ трапеции соответственно. Тогда высота трапеции $$RT$$ проходит через точку $$Q$$ пересечения диагоналей трапеции, причём так как $$MN=\frac{1}{2}AC$$, а $$KL=\frac{1}{4}AC$$, из подобия треугольников $$KLQ$$ и $$MNQ$$, получаем $$\frac{TQ}{QR}=\frac{KL}{MN}=\frac{1}{2}$$. Отрезок $$TR$$ и высота пирамиды $$SO$$ лежат в плоскости $$BSH$$. Пусть они пересекаются в точке $$Q'$$. Докажем, что она совпадает с точкой $$Q$$.

В сечении $$BSH$$ проведём отрезок $$TW$$ параллельно $$BH$$, где $$W$$ — точка на высоте пирамиды. Треугольники $$TQ'W$$ и $$RQ'O$$ подобны.

При этом $$k'=\frac{TQ'}{Q'R}=\frac{TW}{RO}=\frac{\frac{1}{4}OH}{\frac{2}{3}BH-\frac{1}{2}BH}=\frac{\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}BH}{\frac{1}{6}BH}=\frac{1}{2}$$.

Таким образом, дробь: $$\frac{TQ'}{Q'R}=\frac{TQ}{QR}$$ , а, значит, точки $$Q'$$ и $$Q$$ совпадают, и $$Q$$ лежит на высоте пирамиды $$SO$$.

б) Так как $$AC=2$$, то $$MN=1$$, а $$KL=\frac{1}{2}$$ .

Осталось найти высоту трапеции $$RT$$. Из пункта а) получаем, что $$\frac{WQ}{QO}=\frac{1}{2}$$ , при этом $$\frac{SW}{WO}=\frac{1}{3}$$ .

Следовательно, $$WQ=1$$, $$WT=\frac{1}{12}BH=\frac{\sqrt{3}}{12}$$.

Тогда $$RT=3QT=3\sqrt{1+\frac{3}{144}}=\frac{7\sqrt{3}}{4}$$.

Откуда $$S_{KLMN}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2})\frac{7\sqrt{3}}{4}=\frac{21\sqrt{3}}{16}$$.

 

Задание 8343

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD с равными боковыми ребрами является прямоугольник ABCD площадь которого равна 25. Плоскость, параллельная плоскости основания пересекает ребро AS в точке А1, а высоту пирамиды ‐ в середине О. Угол между гранями ADS и BCS равен 60 градусов.

а) Докажите, что сечение пирамиды OABCD плоскостью BCA1 делит ее высоту в отношении 1:2, считая от вершины.
б) Найдите площадь сечения пирамиды OABCD плоскостью BCA1
Ответ: $$6\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Пусть $$AC\cap BD=Q$$ $$\Rightarrow$$ по свойствам прямоугольника $$AQ=QC=QD=QB$$/ $$SA=SB=SC=SD$$; $$SQ$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup SAQ=\bigtriangleup SBQ=\bigtriangleup SCQ=\bigtriangleup SDQ$$ по трем сторонам $$\Rightarrow$$ $$\angle SQD=\angle SQB=\angle SQA=\angle SQC=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$SQ$$ - высота $$SABCD$$

2) $$AD=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup SDA=\bigtriangleup SBC$$ $$\Rightarrow$$ $$SL=SK$$ (где $$L$$ и $$K$$ - середины $$AD$$ и $$BC$$), но $$SL\perp AD$$ и $$LK\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$AD\perp(SLK)$$ и $$(ADS)\perp(SLK)$$, аналогично $$(SBC)\perp(SLK)$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle LSK=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup SLK$$ - равносторонний

3) $$SO=OQ$$ $$\Rightarrow$$ $$SL_{1}=L_{1}L$$ ($$\bigtriangleup SL_{1}K_{1}\sim\bigtriangleup SLK$$); $$L_{1}K_{1}$$ - средняя линия $$SLK$$ $$\Rightarrow$$ $$SQ$$ - медиана; $$KL_{1}$$ - медиана $$\Rightarrow$$ $$KL_{1}\cap SQ=H$$; $$\frac{SH}{HQ}=\frac{2}{1}$$, но $$\frac{SO}{OQ}=\frac{1}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$OH=\frac{2}{3}SQ-\frac{1}{2}SQ=\frac{1}{6}SQ$$, а $$HQ=\frac{1}{3}SQ$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{OH}{HQ}=\frac{1}{2}$$

Б) 1) Пусть $$N$$ - середина $$AB$$: в $$\bigtriangleup OQN$$ проведем $$HY\parallel QN$$. Через $$Y$$ построим $$BY\cap AO=R$$; из $$R$$ проведем $$RZ\parallel BC$$ $$\Rightarrow$$ $$(BRZC)$$ - сечение.

2) Пусть $$BR\cap CZ=L_{1}$$; $$LO\cap KL_{1}=I$$

3) $$\bigtriangleup L_{1}OI\sim\bigtriangleup LIK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{L_{1}O}{LK}=\frac{L_{1}I}{IK}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$L_{1}I=\frac{1}{5}L_{1}K$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{L_{1}RZ}=\frac{1}{25}S_{L_{1}BC}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{RZCB}=\frac{24}{25}S_{L_{1}BC}$$

4) Пусть $$L_{2}$$ - проекция $$L_{1}$$ на $$(ABCD)$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{L_{1}BC}=\frac{S_{L_{2}BC}}{\cos\angle L_{1}KL}(*)$$

5) $$S_{L_{2}BC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{L_{2}K}{LK}S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot25=\frac{75}{8}$$

$$\angle SKL=60^{\circ}$$,т.к. $$SL=SK$$, а $$\angle SLK=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle L_{1}KL=30^{\circ}$$. С учетом $$(*)$$: $$S_{L_{1}BC}=\frac{75}{8}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{RZCB}=\frac{25\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{24}{25}=6\sqrt{3}$$

 

Задание 8681

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 на боковом ребре ВВ1 взята точка M так, что ВМ:МВ1=2:5. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки M и D и параллельна прямой А1С1. Плоскость $$\alpha$$ пересекает ребро СС1 в точке Q.

а) Докажите, что ребро СС1 делится точкой Q в отношении 1:6
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $$\alpha$$, если CD=12, AA1=14
Ответ: $$24\sqrt{38}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8698

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SC отмечены точки К и М соответственно, причём АК:КВ = SM:МС = 1:5. Плоскость $$\alpha$$ содержит прямую КМ и параллельна прямой ВС.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой SА.
б) Найдите угол между плоскостями $$\alpha$$ и SВС.
Ответ: $$arccos \frac{31\sqrt{10}}{140}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8718

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка K, причём SK:KC=1:3. Плоскость а содержит точку K и параллельна плоскости SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды SACD плоскостью $$\alpha$$ — трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием — сечение пирамиды SABCD Б плоскостью $$\alpha$$.
Ответ: $$\frac{5\sqrt{17}}{8}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8741

В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в четыре раза больше площади меньшего основания A1B1C1. Через ребро AC проведена плоскость $$\alpha$$, которая пересекает ребро BB1 в точке K и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка K делит ребро BB1 в отношении 7:1, считая от точки B.
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью $$\alpha$$, если высота пирамиды равна $$2\sqrt{2}$$, а ребро меньшего основания равно $$2\sqrt{6}$$.
Ответ: $$13\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8760

В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A1B1C1. Через ребро AB проведена плоскость $$\alpha$$, которая пересекает ребро CC1 в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка N делит ребро CC1 в отношении 5:13, считая от точки С1
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью $$\alpha$$, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
Ответ: 48,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9046

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 2. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 1. Точка F – середина АВ.

а) Найдите угол между прямыми SF и AC

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку F параллельно прямым BD и SС.

Ответ: а) 60 градусов; б) $$\frac{3\sqrt{2}}{8}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9363

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки В, A1 и B1<\div>
б) Найдите угол между плоскостями ВА1С1 и ВА1D1<\div>
Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9383

Дан куб АВСВА1В1С1D1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер АВ, В1С1, АD.

б) Найдите угол между плоскостью А1BО и плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, В1С1, АD.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9488

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра AS.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF. 

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9876

Объем куба ABCDA1B1C1D1 с нижним основанием ABCD равен 27. Над плоскостью верхнего основания отмечена точка Е такая, что BE=$$\sqrt{41}$$ и CE=$$5\sqrt{2}$$.

а) Докажите, что плоскость АВВ1 проходит через точку Е
б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости ЕВС, если объем ЕА1В1С1 в 2 раза меньше объема ЕВСС1
Ответ: а) $$\frac{3}{\sqrt{41}}$$; б) $$\frac{27}{\sqrt{41}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9948

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длины 1. Точка Р – середина А1D1, точка Q делит отрезок АВ1 в отношении 2:1, считая от вершины А, R – точка пересечения отрезков ВС1 и В1С.

а) Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR
б) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС1 куба
Ответ: а) $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$; б) 2:1

Задание 10053

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка К – середина ребра АВ, точка Р – середина ребра ВС. Через точки К, Р, D1 проведена плоскость $$\alpha$$.

А) Докажите, что сечение призмы плоскостью $$\alpha$$ можно разбить на две части, одна из которых равнобедренный треугольник, а другая – равнобокая трапеция.
Б) Найдите периметр сечения призмы плоскостью $$\alpha$$ , если известно, что сторона основания призмы равна 8, а боковое ребро равно 6.
Ответ: $$12\sqrt{5}+4\sqrt{2}$$
 

Задание 10073

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 АВ=4, АА1= 6. На ребрах АВ и В1С1 оснований взяты соответственно точки М и N так, что ВМ:АВ=В1N:B1C1=1:4. Через середину Р бокового ребра ВВ1 проведено сечение призмы, перпендикулярное прямой MN

а) В каком отношении плоскость сечения делит ребро АА1?
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: А)5:1 Б)$$2\sqrt{14}$$
 

Задание 10193

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S через сторону основания АВ проведена плоскость, делящая боковые ребра противоположной грани пополам.

а) Докажите, что плоскость сечения делит грань SCD на части, площади которых относятся как 1:2
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если сторона основания равна 1, а высота пирамиды равна 3/2
Ответ: 13/8
 

Задание 10576

На боковом ребре $$SA$$ правильной треугольной пирамиды $$SABC$$ взята точка $$D$$, через которую проведено сечение пирамиды, пересекающее апофемы граней $$SAC$$ и $$SAB$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Известно, что прямые $$DM$$ и $$DN$$ образуют углы $$\beta $$ с плоскостью основания пирамиды, а величины углов $$DMS$$ и $$DNS$$ равны $$\alpha $$, $$\left(\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$$

а) Докажите, что секущая плоскость параллельна ребру $$BC$$

б) Найдите угол $$MDN$$, если $$\alpha =30{}^\circ ,\ \beta =45{}^\circ $$

Ответ: $$arccos \frac{2-\sqrt{3}}{4}$$
 

Задание 10596

Дана правильная призма $$ABCA_1B_1C_1$$, у которой сторона основания $$AB=4$$, а боковое ребро $$AA_1=9$$, Точка М - середина ребра АС, а на ребре $$AA_1$$ взята точка Т так, что $$AT=3$$.

а) Докажите, что плоскость $$BB_1M$$ делит отрезок $$C_1T$$ пополам.

б) Плоскость $$BTC_1$$ делит отрезок $$MB_1$$ на две части. Найти длину большей из них. 

Ответ: $$\frac{3\sqrt{93}}{5}$$
 

Задание 10732

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $${\rm АВ\ =\ ВС\ =\ АС\ =}9\sqrt{2}$$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём $${\rm DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 2:7}$$. Найдите площадь сечения MNB.
Ответ: $$\sqrt{166}$$
Скрыть

а) По условию $$AB\ =\ BC\ =\ AC\ =\ 9\sqrt{2}$$, следовательно, основание пирамиды - правильный треугольник $$\triangle АВС$$.

Треугольники $$\triangle ABD\ =\ \triangle ACD$$ (АВ = АС, АD - общая), $$\triangle ACD\ =\ \triangle BCD$$ (ВС = АС, СD - общая), $$\triangle BCD\ =\ \triangle AВD$$ (ВС = АВ, ВD - общая).

Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD.

Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пирамида ABCD - правильная пирамида.

б) Так как AD = BD и $$\angle ADB\ =\ 90{}^\circ $$, то треугольник $$\triangle ADB$$ - равнобедренный прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем AD: $$AD^2+BD^2=AB^2\to 2AD^2=AB^2\to AD^2=\frac{AB^2}{2}\to AD=\frac{AB}{\sqrt{2}}=9$$.

Треугольники $$\triangle MDN$$ и $$\triangle ADC$$ подобны ($$\angle D$$ - общий угол, $$DM\ :\ DA\ =\ DN\ :\ DC\ =\ 6\ :\ 7$$). Тогда $$\frac{MN}{AC}=\frac{2}{9}\to MN=\frac{2}{9}\cdot 9\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$.

Так как $$\frac{AM}{AD}=\frac{7}{9}\to AM=\frac{7}{9}\cdot 9=7$$

Рассмотрим $$\triangle АВМ$$, в котором $$\angle МAB=45{}^\circ $$. По теореме косинусов, найдем ВМ:

$$BM^2=AM^2+AB^2-2AM\cdot AB\cdot {\cos \angle MAB\ }=49+162-2\cdot 7\cdot 9\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=85.$$ $$BM=\sqrt{85}.$$

Треугольник $$\triangle MNB$$ - равнобедренный треугольник, в котором BM = BN. Тогда медиана BK является высотой треугольника $$\triangle MNB$$, т. е. $$BK\ \bot \ MN$$.

Из прямоугольного треугольника $$\triangle ВМK\ $$($$\angle ВKM\ =\ 90{}^\circ $$) найдем BK:

$$BK^2=BM^2-MK^2\ (MK=\frac{1}{2}\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{2}).$$ $$BK^2={\left(\sqrt{85}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2=83\to BK=\sqrt{83}.$$ Площадь треугольника $$\Delta MNB$$ равна половине произведения основания MN на высоту BK: $$S_{MNB}=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot BK=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{83}=\sqrt{166}$$.

 

Задание 10752

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $${\rm АВ\ =\ ВС\ =\ АС\ =}10$$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём $${\rm DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 3:2}$$. Найдите площадь сечения MNB.
Ответ: $$3\sqrt{59}$$
Скрыть

а) По условию $$AB\ =\ BC\ =\ AC\ =\ 10$$, следовательно, основание пирамиды - правильный треугольник $$\triangle АВС$$.

Треугольники $$\triangle ABD\ =\ \triangle ACD$$ (АВ = АС, АD - общая), $$\triangle ACD\ =\ \triangle BCD$$ (ВС = АС, СD - общая), $$\triangle BCD\ =\ \triangle AВD$$ (ВС = АВ, ВD - общая).

Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD.

Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пирамида ABCD - правильная пирамида.

б) Рассмотрим $$\triangle ADC$$. $$AD=DC$$ как ребра правильной пирамиды, значит $$\triangle ADC$$ - равнобедренный. $$DM:MA=DN:NC=3:2$$, значит $$\triangle DMN$$ подобен $$\triangle ADC$$.

$$DN:MN=DC:AC\to \frac{3}{MN}=\frac{5}{10}\to MN=6$$; $$AC^2=2DC^2\to DC=\sqrt{\frac{AC^2}{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$, тогда $$DN=\frac{5\sqrt{2}}{5}\cdot 3=3\sqrt{2}$$. $$BC=DC\to BN=\sqrt{(BD^2+DN^2)}=2\sqrt{17}$$

Опустим высоту ВН на основание MN: $$BH=\sqrt{(BN^2+HN^2)}=\sqrt{(4\cdot 17-3^2)}=\sqrt{59}$$. Тогда $$S_{BMN}=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{59}=3\sqrt{59}$$.

 

Задание 10860

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки М и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость $$\alpha $$ содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha $$ делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием - сечение пирамиды SABC плоскостью $$\alpha $$.
Ответ: $$\frac{80\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проекция высоты S пирамиды на основание дает точку O, которая лежит на пересечении медиан. Таким образом, точка O делит медианы в отношении 2:1, то есть $$OC=\frac{2}{3}CE$$.

Рассмотрим высоту SE. Точка $$F_1$$, расположена точно по центру высоты SE. Следовательно, ее проекция на медиану CE делит отрезок OE пополам. В свою очередь отрезок $$OE=\frac{1}{3}CE$$, тогда $$EF=OF=\frac{\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{6}$$.

В итоге получаем, что точка F делит медиану CE как $$CF=\frac{5}{6}CE$$ или в соотношении 5:1, начиная от точки C.

б) Найдем высоту пирамиды CF, которая равна $$\frac{5}{6}CE$$. Длину медианы СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE: $$CE=\sqrt{{12}^2-6^2}=6\sqrt{3}$$ и $$OC=\frac{2}{3}\cdot 6\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$. Следовательно, $$CF=\frac{5}{6}\cdot 6\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$.

Вычислим площадь основания пирамиды (площадь трапеции MNZK). Отрезок $$KZ=\frac{5}{6}\cdot 12=10$$, отрезок $$MN=\frac{12}{2}=6$$ (так как это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции $$FF_1=\frac{1}{2}\cdot SO$$. Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC: $$SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{64-48}=4$$, тогда $$FF_1=\frac{4}{2}=2$$.

Площадь трапеции (основания пирамиды) равна $$S=\frac{10+6}{2}\cdot 2=16$$.

Объем пирамиды найдем по формуле $$V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 5\sqrt{3}=\frac{80\sqrt{3}}{3}$$.

 

Задание 10879

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки М и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость $$a$$ содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $$a$$ делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью $$a$$.
Ответ: $$8+2\sqrt{2}$$
Скрыть

а) Сечение (плоскость $$a$$) проходит через точки M и N, причем $$MN$$ - средняя линия. Это означает, что отрезок $$MN\parallel AB\to MN\parallel ABC$$. По условию секущая плоскость перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает плоскость ABC по уровню PQ, причем $${\rm PQ}\parallel MN$$. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO - высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2:1, то есть $$CO=\frac{2}{3}CE$$.

Точка K является серединой отрезка MN, причем $$KZ\bot CE$$, откуда следует, что $$KZ\parallel SO\to ZE=ZO$$. Так как $$EO=\frac{1}{3}CE$$, $$ZE=\frac{\frac{1}{3}}{2}\cdot CE=\frac{1}{6}CE$$. Таким образом, получаем, что $$CZ:ZE=5:1$$.

б) Найдем периметр трапеции MNPQ: $$P=MN+NQ+PQ+NP$$, где $$MN=\frac{1}{2}AB=3;PQ=\frac{5}{6}AB=5$$.

Для вычисления сторон $$MP=NQ$$, найдем высоту $$KZ=\frac{1}{2}SO=1$$ (величина $$SO=2$$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOC, учитывая, что OC - радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника и равен $$OC=\frac{6}{\sqrt{3}}$$). Длину отрезка NQ найдем из прямоугольного треугольника NHQ (см. рисунок ниже).

Катет $$NH=KZ=1$$, а катет HQ равен $$HQ=\frac{PQ-MN}{2}=\frac{5-3}{2}=1$$ и $$NQ=\sqrt{2}$$. Получаем значение периметра $$P=5+3+\sqrt{2}+\sqrt{2}=8+2\sqrt{2}$$.

 

Задание 11448

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD через середины сторон АВ и AD параллельно боковому ребру АМ проведена плоскость. Сторона основания пирамиды равна 20 , а боковое ребро $$20\sqrt{2}$$ .

А) Докажите, что сечение пирамиды этой плоскостью является пятиугольником с тремя прямыми углами.
Б) Найдите площадь этого сечения
Ответ: 250
 

Задание 11467

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S стороны основания равны 18, а боковые ребра 15. Точка R принадлежит ребру SB, причем SR:RB=2:1.

А) Докажите, что плоскость, проходящая через точки С и R параллельно BD делит ребро SA пополам.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Ответ: $$117\sqrt{2}$$

Задание 12433

В правильной треугольной усечённой пирамиде $$ABCA_1B_1C_1$$ площадь нижнего основания АВС в четыре раза больше площади меньшего основания $$A_1B_1C_1$$. Через ребро АС проведена плоскость $$\alpha $$, которая пересекает ребро $$BB_1$$ в точке К и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка К делит ребро $$BB_1$$ в отношении 7:1, считая от точки В.
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью $$\alpha $$, если высота пирамиды равна $$2\sqrt{2}$$, а ребро меньшего основания равно $$2\sqrt{6}$$
Ответ: $$13\sqrt{6}$$
 

Задание 12452

В правильной треугольной усечённой пирамиде $$ABCA_1B_1C_1$$ площадь нижнего основания АВС в девять раз больше площади меньшего основания $$A_1B_1C_1$$. Через ребро АВ проведена плоскость $$\alpha $$, которая пересекает ребро $$CC_1$$ в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка N делит ребро $$CC_1$$ в отношении 5 : 13, считая от точки $$C_1$$
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью $$\alpha $$, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
Ответ: 48,5
 

Задание 12513

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами $$AB\ =15$$ и $$BC\ =\ 25$$. Все боковые рёбра пирамиды равны $$5\sqrt{17}$$. На рёбрах AD и ВС отмечены соответственно точки К и N так, что $$AK\ =\ CN\ =\ 8$$. Через точки К и N проведена плоскость $$\alpha $$, перпендикулярная ребру SB.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ проходит через точку M - середину ребра SB.
б) Найдите расстояние между прямыми DS и KM.
Ответ: $$\frac{5\sqrt{17}}{2}$$
 

Задание 12532

Основанием пирамиды TABCD является прямоугольник ABCD со сторонами $$AB\ =\ 26$$ и $$BC\ =18$$. Все боковые рёбра пирамиды равны $$10\sqrt{5}.$$ На рёбрах АВ и CD отмечены соответственно точки N и М так, что $$BN\ =\ DM\ =12.$$ Через точки N и М проведена плоскость $$\alpha $$, перпендикулярная ребру ТА.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ проходит через точку K - середину ребра TA.
б) Найдите AD.
Ответ: $$5\sqrt{}5$$
 

Задание 12752

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём $$SM:\ MA=5:1.$$ Точки Р и Q - середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Ответ: 17:127
 

Задание 12814

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $$AB=BC=AC=\ 14.$$

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём $$DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 6:1.$$ Найдите площадь сечения MNB.

Ответ: $$6\sqrt{134}$$
 

Задание 12834

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $$AB\ =\ BC\ =\ AC\ =9\sqrt{2}.$$

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём $$DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 2:7.$$ Найдите площадь сечения MNB.

Ответ: $$\sqrt{166}$$
 

Задание 12853

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $$AB\ =\ BC\ =AC\ =\ 10.$$

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём $$DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 3:2.\ $$Найдите площадь сечения MNB.

Ответ: $$3\sqrt{59}$$
 

Задание 12915

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки М и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость $$\alpha$$ содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью $$\alpha$$.
Ответ: $$8+2\sqrt{2}$$
 

Задание 13543

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС=CN:BN=2:1, точка K - середина ребра A1C1.

а) Докажите, что плоскость MNB1 проходит через середину ребра A1C1
б) Найдите площадь сечения призмы АВСА1В1С1плоскостью MNB1 если АВ=6, $$AA_{1}=\sqrt{3}$$.
Ответ: $$5\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14292

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ на ребре $$BB_{1}$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$BK:B_{1}K=1:2$$. Через точку $$K$$ параллельно $$(BDA_{1})$$ проведена плоскость $$\beta$$.

А) Докажите, что плоскость $$\beta$$ пересекает ребро $$CD$$ в такой точке $$M$$, что $$CM=2MD$$.
Б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $$\beta$$, если известно, что $$AB=6$$, $$BC=8$$, $$BB_{1}=12$$.
Ответ: $$\frac{52\sqrt{29}}{3}$$
 

Задание 14330

В правильной пирамиде $$PABCD$$ на ребрах $$AB$$ и $$PD$$ взяты точки $$M$$ и $$K$$ соответственно, причем $$AM:BM=1:3$$, $$DK:PK=4:3$$.

а) Докажите, что прямая $$BP$$ параллельна плоскости $$MCK$$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $$MCK$$, если известно, что все ребра пирамиды равны 4.
Ответ: $$\frac{57\sqrt{11}}{28}$$.