ЕГЭ Профиль
Задание 3862
Решите неравенство: $$\frac{3\log_{0,5}x}{2-\log_{0,5}x}\geq2\log_{0,5}x+1$$
$$\frac{3\log_{0,5}x}{2-\log_{0,5}x}\geq2\log_{0,5}x+1$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x>0\\\log_{0,5}x\neq2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$
Пусть $$\log_{0,5}x=y$$
$$\frac{3y}{2-y}\geq2y+1$$
$$\frac{3y-(2y+1)(2-y)}{2-y}\geq0$$
$$\frac{3y-4y+2y^{2}-2+y}{2-y}\geq0$$
$$\frac{2y^{2}-2}{2-y}\geq0$$
$$\Leftrightarrow\frac{(y-1)(y+1)}{2-y}\geq0$$
$$\left\{\begin{matrix}y\leq-1\\\left\{\begin{matrix}y\geq1\\y<2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}\log_{0,5}x\leq-1\\\left\{\begin{matrix}\log_{0,5}x\geq1\\\log_{0,5}x<2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}x\geq2\\\left\{\begin{matrix}x\leq\frac{1}{2}\\x>\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
Задание 4670
Решите неравенство: $$2\log _{25}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}\log _{\sqrt{5}}(1+x)> \log _{ \frac{1}{5}} \frac{1}{2}$$
Напишем ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}(1+x)(3-x)> 0\\ 1+x> 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix} -1< x< 3\\ x> -1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$-1< x< 3$$
$$2\log _{25}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}\log _{\sqrt{5}}(1+x)> \log _{ \frac{1}{5}} \frac{1}{2}\Leftrightarrow $$$$2\log _{5^{2}}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}\log _{5^{\frac{1}{2}}}(1+x)> \log _{ 5^{-1}} 2^{-1}\Leftrightarrow $$$$2*\frac{1}{2}\log _{5}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}*2\log _{5}(1+x)> (-1)*(-1)\log _{ 5} 2\Leftrightarrow $$$$\log _{5}(1+x)(3-x)-\log _{5}(1+x)> \log _{ 5} 2\Leftrightarrow $$$$\log _{5} \frac{(1+x)(3-x)}{(1+x)}> \log _{ 5} 2\Leftrightarrow $$$$(3-x)> 2\Leftrightarrow x< 1$$
C учетом ОДЗ : $$-1< x< 1$$
Задание 4962
Решите неравенство $$\log_{3}\log_{\frac{9}{16}}(x^{2}-4x+3)\leq0$$
Задание 5290
Решите неравенство $$\frac{(\log_{2}x^{4}+1)\cdot(\log_{2}x-3)-\log_{2}x+2}{\log_{2}^{2}x-5\cdot\log_{2}x+6}\geq\frac{\log_{2}^{2}x-\log_{2}x^{3}+1}{3-\log_{2}x}$$
Найдем ОДЗ:
$$\left\{\begin{matrix}\log_{2}^{2}x-5\cdot\log_{2}x+6\neq 0\\3-\log_{2}x\neq 0\\ x> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix} \log_{2}x\neq 2\\ \log_{2}x\neq 3\\ x> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x\neq 4\\ x\neq 8\\ x> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$x\in(0;4)\cup (4;8)\cup (8;+\infty )$$
Введем замену: $$\log_{2} x = y$$. Тогда неравенство примет вид:
$$\frac{(4y+1)\cdot(y-3)-y+2}{y^{2}-5y+6}\geq\frac{y^{2}-3y+1}{3-y}\Leftrightarrow $$$$\frac{4y^{2}-12y+y-3-y+2}{(y-3)(y-2)}-\frac{y^{2}-3y+1}{-(y-3)}\geq0\Leftrightarrow $$$$\frac{4y^{2}-12y-1}{(y-3)(y-2)}+\frac{(y^{2}-3y+1)(y-2)}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{4y^{2}-12y-1+y^{3}-2y^{2}-3y^{2}+6y+y-2}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{y^{3}-y^{2}-5y-3}{(y-3)(y-2)}\geq 0$$
Рассмотрим числитель данной дроби. Методом подбора найдем корень (рассматривая целочисленные делители свободного члена, то есть (-3): получим, что $$y=-1$$ является корнем, выделим данный множитель (метод деления вы можете найти в видео, прикрепленному к данному варианту):
$$\frac{(y+1)(y^{2}-2y-3)}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{(y+1)(y-3)(y+1)}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y+1)^{2}}{y-2}\geq 0\Leftrightarrow$$$$\left [ \begin{matrix}y\geq 2\\ y=-1\end{matrix}\right.$$
Вернемся к обратной замене:
$$\left [ \begin{matrix}\log_{2}x \geq 2\\ \log_{2}x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left [ \begin{matrix}x \geq 4\\ x=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$
C учетом ОДЗ получаем: $$x \in \left \{ \frac{1}{2} \right \} \cup (4;8) \cup (8; +\infty)$$
Задание 6089
Решите неравенство: $$\frac{\log_{9} x-\log_{18} x}{\log_{18} (2-x)-\log_{36} (2-x)}=\log_{36} 9$$
$$\frac{\log_{9}x-\log_{18}x}{\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)}\leq \log_{36} 9$$
$$\left\{\begin{matrix}x> 0 & \\2-x> 0 \\ \log_{18} (2-x)-\log_{36}(2-x)\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x> 0 \\x< 2 \\2-x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x> 0 & \\x< 2\\x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in ( 0; 1)\cup (1;2)$$
Рассмотрим промежутки по отдельности и воспользуемся свойствами логарифмических функций:
При $$x\in (0; 1) : (a)\log_{9}x-\log_{18}x< 0$$, $$(b)\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)> 0\Rightarrow$$ $$(f)\frac{\log_{9}x-\log_{18}x}{\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)}< 0$$.
Аналогично $$x\in (1;2) (a) > 0; (b) < 0\Rightarrow f< 0$$, но $$\log_{36}9 >0$$ при всех х из полученных промежутков, следовательно, неравенство выполняется в обоих случаях и $$\Rightarrow x\in (0;1)\cup (1;2)$$.
Задание 6421
Решите неравенство $$\log_{\frac{1}{3}}\log_{2} \frac{x^{2}-|x|-12}{x+3}>0$$
ОДЗ : $$\left\{\begin{matrix}\log_{2}\frac{x-\left | x \right |-12}{x+3}>0(1)\\\frac{x^{2}-\left | x \right |-12}{x+3}>0(2)\end{matrix}\right.$$
(1): $$\frac{x^{2}-\left | x \right |-12}{x+3}>1\Leftrightarrow$$ $$\frac{(\left | x \right |+3)(\left | x \right |-4)-(x+3)}{x+3}>0$$
При $$x\geq 0:\frac{(x+3)(\left | x \right |-4-1)}{x+3}>0\Leftrightarrow$$ $$\left | x \right |-5>0\Leftrightarrow$$ $$x \in (-\infty; -5)\cup (5 ;+\infty )$$. С учетом $$x\geq 0: x\in (5;+\infty )$$
При $$x<0:\frac{x^{2}+x-12-x-3}{x+3}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}-15}{x+3}>0$$.
С учетом $$x<0:x \in (-\sqrt{15}; -3)$$
(2): $$\frac{(\left | x \right |+3)(\left | x \right |-4)}{x+3}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{\left | x \right |-4}{x+3}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-4)(x+4)}{x+3}>0$$
Итоговое ОДЗ:
$$x \in (-\sqrt{15} ;-3)\cup (5; +\infty )$$
Решение:
$$\log_{2}\frac{(\left | x \right |+3)(\left | x \right |-4)}{x+3}<1\Leftrightarrow$$ $$\frac{(\left | x \right |+3)(\left | x \right |-4)}{x+3}<2\Leftrightarrow$$ $$\frac{(\left | x \right |+3)(\left | x \right |-4)-2(x+3)}{x+3}<0$$
При $$x\geq 0 : \frac{(x+3)(\left | x \right |-6)}{x+3}<0\Leftrightarrow$$ $$(x-6)(x+6)<0$$.С учетом $$x\geq 0: [0;6)$$
При $$x<0:\frac{x^{2}+x-12-2x-6}{x+3}<0 \Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}-x-18}{x+3}<0$$
Рассмотрим числитель дроби: $$x^{2}-x-18=0$$, тогда $$D=1+72=73$$ и $$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{73}}{2}$$
C учетом $$x<0: (-\infty ;\frac{1-\sqrt{73}}{2})\cup (-3;0) $$
Итоговое решение $$x \in (-\infty ;\frac{1-\sqrt{73}}{2})\cup (-3; 6)$$
С учетом ОДЗ:
$$x \in (-\sqrt{15} ;\frac{1-\sqrt{73}}{2})\cup (5; 6)$$
Задание 6523
Решите неравенство: $$\frac{1}{4}x^{\frac{1}{2}\log_{2} x}\geq 2^{\frac{1}{4}\log_{2} ^{2} x}$$
ОДЗ: $$x>0$$
$$\frac{1}{4} * x^{\frac{1}{2}\log_{2}x}\geq 2 ^{\frac{1}{4} \log_{2}^{2}x}|:\frac{1}{4}\Leftrightarrow$$$$x^{\frac{1}{2}\log_{2}x}\geq 2^{2+\frac{1}{4}\log_{2}^{2}x}$$
Введем замену: $$\frac{1}{2}\log_{2}x=y\Rightarrow \log_{2}x=2y\Rightarrow x=2^{2y}$$
$$(2^{2y})^{y}\geq 2^{2+y^{2}}\Leftrightarrow 2^{2y^{2}}\geq 2^{2+y^{2}}\Leftrightarrow 2y^{2}\geq 2+y^{2}\Leftrightarrow y^{2}\geq 2\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y\geq \sqrt{2}\\y\leq -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\log_{2}x\geq \sqrt{2}\\\frac{1}{2}\log_{2}x\leq -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\log_{2}x\geq 2\sqrt{2}\\\log_{2} x \leq -2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x \geq 2^{2\sqrt{2}}\\x \leq \frac{1}{2^{2\sqrt{2}}}\end{matrix}\right.$$
С учетом ОДЗ: $$x \in (0, \frac{1}{2^{2\sqrt{2}}}]\cup [2^{2\sqrt{2}}, +\infty )$$
Задание 6570
Решите неравенство: $$x\log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3}-x)\geq |x|$$
ОДЗ: $$\frac{1}{3}-x>0\Leftrightarrow$$ $$-x>-\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$x<\frac{1}{3}$$
1) При $$x \in (-\infty ;0)$$
$$x \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)\geq -x\Leftrightarrow$$ $$x(\log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)+1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x(\log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)*\frac{1}{3})\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}(\frac{1}{3}-x)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(\frac{1}{9}-\frac{1}{3}x-1)(\frac{1}{3}-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(-\frac{1}{3}x-\frac{8}{9})\geq 0\Leftrightarrow$$$$-\frac{1}{3}x\geq \frac{8}{9}\Leftrightarrow$$ $$x\leq -\frac{8}{3}$$
2)При $$x \in (0; +\infty )$$
$$x \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)\geq x\Leftrightarrow$$ $$x(\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{3}-x)-1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x (\log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)*3)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)3\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(1-3x-1)(\frac{1}{3}-1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(-3x)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x\geq 0$$
3) При x=0 неравенство выполняется
Тогда решение: $$(-\infty ;-\frac{8}{3})\cup [0;+\infty )$$
С учетом ОДЗ: $$(-\infty;-\frac{1}{3}]\cup [0;\frac{1}{3})$$
Задание 7061
Решите неравенство $$\log_{2} (1-\frac{1}{x})+\log_{2} (10-x) \leq 2$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}1-\frac{1}{x}>0\\10-x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x-1}{x}>0\\x<10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x>1\\x<0\end{matrix}\right.\\x<10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (-\infty ;0)\cup (1;10)$$
Решение: $$\log_{2}(1-\frac{1}{x})*(10-x)\leq \log_{2}4\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-1)(10-x)}{x}\leq 4\Leftrightarrow$$ $$\frac{10x-x^{2}-10+x-4x}{x}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{-x^{2}+7x-10}{x}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}-7x+10}{x}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-2)(x-5)}{x}\geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x>0\\x\leq 2\end{matrix}\right.\\x\geq 5\end{matrix}\right.$$
С учетом ОДЗ: $$x \in (1; 2]\cup [5; 10)$$
Задание 7108
Решите неравенство $$\log_{\frac{1}{4}} (\sqrt{x+3}-x+3) \geq -2+\log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$$
$$\log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x+3}-x+3)\geq -2+\log_{\frac{1}{4}} \frac{3}{8}$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+3\geq 0\\\sqrt{x+3}-x+3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq -3\\\sqrt{x+3}>x-3 (1)\end{matrix}\right.$$
(1) :решим графически: $$x \in [-3 ; 6]$$
Решение: $$\log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x+3}-x+3)\geq \log_{\frac{1}{4}}16+\log_{\frac{1}{4}}\frac{3}{8}\Leftrightarrow$$
$$\log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x+3}-x+3)\geq \log_{\frac{1}{4}}16*\frac{3}{8}\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{x+3}-x+3\leq 6\Leftrightarrow \sqrt{x+3}\leq x+3$$
Пусть $$\sqrt{x+3}=y\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x+3=y^{2}$$:$$\left\{\begin{matrix}y\leq y^{2}\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y^{2}-y\geq 0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}(y-1)y\geq 0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y\geq 0\\\left\{\begin{matrix}y\leq 0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=0\\y\geq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+3}=0\\\sqrt{x+3}\geq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=-3\\x\geq -2\end{matrix}\right.$$
С учетом ОДЗ : $$x \in$$ $${-3}\cup [-2 ;6)$$
Задание 7201
Решите неравенство $$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (6^{x+1}-36^{x})\geq -2$$
ОДЗ: $$6^{x+1}-36^{x}>0\Leftrightarrow$$ $$6*6^{x}-6^{2x}>0\Leftrightarrow$$ $$6^{x}(6-6^{x})>0\Leftrightarrow$$ $$6>6^{x}\Leftrightarrow$$ $$x<1$$
Решение: $$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+2}-36^{x})\geq -2\Leftrightarrow$$ $$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6*6^{x}-6^{2x})\geq \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}5\Leftrightarrow$$ $$(6*6^{x}-6^{2x}-5)(\frac{1}{\sqrt{5}}-1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(6^{2x}-6*6^{x}+5)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(6^{x}-5)(6^{x}-1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(x-\log_{6}5)(x-0)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\geq \log_{6} 5\\x\leq 0\end{matrix}\right.$$
С учетом ОДЗ: $$x \in (-\infty ; 0]\cup [\log_{6}5; 1)$$
Задание 7895
Решите неравенство $$\log_{3}(1+\frac{1}{x})-2\log_{9}(x-1)\leq \log_{3}(3x+4)-\log_{27} x^{6}$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+\frac{1}{x}>0&\\x-1>0&\\3x+4>0&\\x^{6}>0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}+1}{x}>0&\\x>1&\\x>-\frac{3}{4}&\\x\neq0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0&\\x>1&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$x>1$$
Решение: $$\log_{3}(x+\frac{1}{x})-2\cdot\frac{1}{2}\log_{3}(x-1)\leq\log_{3}(3x-4)-3\cdot\frac{1}{3}\log_{3} x^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\log_{3}\frac{x^{2}+1}{x})-\log_{3}(x-1)\leq\log_{3}(3x-4)-\log_{3} x^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}+1}{x(x-1)}\leq\frac{3x-4}{x^{2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{x(x^{2}+1)-(3x-4)x}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{3}-3x^{2}+4}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+1)(x^{2}-4x+4)}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+1)(x-2)^{2}}{x^{2}(x-1)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x+1}{x-1}\leq0&\\x-2=0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x\geq-1&\\x<1&\end{matrix}\right.&\\x=2&\end{bmatrix}$$
С учетом ОДЗ: $$x=2$$
Задание 8325
$$x^{2}\log_{4}^{2}x+10\log_{3}^{2}x\leq x\log_{4}\cdot\log_{3}x^{7}$$
ОДЗ: $$x^{2}\log_{4}^{2}x-7x\log_{4}x\cdot\log_{3}x+10\log_{3}^{2}x\leq0$$
$$\left[\begin{matrix}(\frac{x\cdot\log_{4}x}{\log_{3}x})^{2}-7\cdot\frac{x\cdot\log_{4}x}{\log_{3}x}+10\leq0&\\\log_{3}x=0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}(x\cdot\frac{\log_{x}3}{\log_{x}4})^{2}-7\cdot x\cdot\frac{x\cdot\log_{x}3}{\log_{x}4}+10\leq0&\\x=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(x\cdot\log_{4}^{3})^{2}-7(x\cdot\log_{4}^{3})+10\leq0$$
Замена: $$x\cdot\log_{4}^{3}=y$$ $$\Rightarrow$$ $$y^{2}-7y+10\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(y-2)(y-5)\leq0$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y\geq2&\\y\leq5&\end{matrix}\right.$$
Получим: $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\cdot\log_{4}^{3}\geq2&\\x\cdot\log_{4}^{3}\leq5&\end{matrix}\right.&\\x=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq\frac{2}{\log_{4}^{3}}&\\x\leq\frac{5}{\log_{4}^{3}}&\end{matrix}\right.&\\x=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq\log_{3}16&\\x\leq\log_{3}1024&\end{matrix}\right.&\\x=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$x\in{1}\cup[\log_{3}16;\log_{3}1024]$$
Задание 10733
Решите неравенство $$1+\frac{9}{{{\log }_2 x\ }-5}+\frac{18}{{{\log }^2_2 x\ }-{{\log }_2 \left(\frac{x^{10}}{4}\right)\ }+23}\ge 0$$.
1. Запишем ОДЗ: $$x>0$$.
2. Преобразуем неравенство, учитывая, что $${{\log }_2 \left(\frac{x^{10}}{4}\right)\ }={{{\log }_2 x\ }}^{10}-{{\log }_2 4\ }=10{{\log }_2 x\ }-2$$ и $${{\log }^2_2 x\ }-{{\log }_2 \left(\frac{x^{10}}{4}\right)\ }+23={{\log }^2_2 x\ }-10{{\log }_2 x\ }+25={\left({{\log }_2 x\ }-5\right)}^2$$ получим: $$1+\frac{9}{{{\log }_2 x\ }-5}+\frac{18}{{\left({{\log }_2 x\ }-5\right)}^2}\ge 0$$. Пусть $${{\log }_2 x\ }-5=t$$, тогда: $$1+\frac{9}{t}+\frac{18}{t^2}\ge 0\to \frac{t^2+9t+18}{t^2}\ge 0\to \frac{(t+3)(t+6)}{t^2}\ge 0$$.
Имеем следующие точки, делящие числовую ось: $$t=-3;t=-6;t\ne 0$$.
Рассмотрим два случая: $$1) t\le -6\to {{\log }_2 x\ }-5\le -6\to {{\log }_2 x\ }\le {{\log }_2 \frac{1}{2}\ }\to x\le \frac{1}{2}$$ $$2) \left\{ \begin{array}{c} t\ge -3 \\ t\ne 0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} {{\log }_2 x\ }-5\ge -3 \\ {{\log }_2 x\ }-5\ne 0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} x\ge 4 \\ x\ne 32 \end{array} \right.$$ $$x\in (0;\left.\frac{1}{2}\right]\cup \left[4\right.;32)\cup (32;+\infty )$$
Задание 10753
Решите неравенство $$1+\frac{13}{{{\log }_3 x\ }-4}+\frac{42}{{{\log }^2_3 x\ }-{{\log }_3 \left(\frac{x^8}{81}\right)\ }+12}\ge 0$$
ОДЗ: $$x>0$$.
Преобразуем неравенство, учитывая, что $${{\log }_3 \left(\frac{x^8}{81}\right)\ }={{\log }_3 x^8\ }-{{\log }_3 81\ }=8{{\log }_3 \left|x\right|\ }-4=8{{\log }_3 x\ }-4$$ и $${{\log }^2_3 x\ }-{{\log }_3 \left(\frac{x^8}{81}\right)\ }+12={{\log }^2_3 x\ }-8{{\log }_3 x\ }+16={\left({{\log }_3 x\ }-4\right)}^2$$ получим: $$1+\frac{13}{{{\log }_3 x\ }-4}+\frac{42}{{\left({{\log }_3 x\ }-4\right)}^2}\ge 0$$.
Пусть $${{\log }_3 x\ }-4=t$$, имеем: $$1+\frac{13}{t}+\frac{42}{t^2}\ge 0\to \frac{t^2-13t+42}{t^2}\ge 0\to \frac{(t+6)(t+7)}{t^2}\ge 0$$
Имеем следующие точки, делящие числовую ось: $$t=-6;t=-7;t\ne 0$$
Рассмотрим два случая: $$1: t\le -7\to {{\log }_3 x\ }-4\le -7\to {{\log }_3 x\ }\le -3\to x\le \frac{1}{27}$$
$$2: \left\{ \begin{array}{c} t\ge -6 \\ t\ne 0 \end{array} \to \left\{ \begin{array}{c} {{\log }_3 x\ }-4\ge -6 \\ {{\log }_3 x\ }-4\ne 0 \end{array} \right.\right.\to \left\{ \begin{array}{c} x\ge \frac{1}{9} \\ x\ne 81 \end{array} \right.$$ $$x\in \left(0;\frac{1}{27}\right]\cup [\frac{1}{9};81)\cup (81;+\infty )$$
Задание 10842
1. Упрощаем выражение, получаем: $${\left({{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }\right)}^2+45<18\left({{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }\right)$$.
2. Делаем замену $${{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }=t$$: $$t^2-18t+45<0$$.
Решаем неравенство относительно $$t$$, имеем: $$t_1=3;\ t_2=15$$. $$\left\{ \begin{array}{c} {{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }>3 \\ {{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }<15 \end{array} \right.$$
3. Находим решения неравенств
1: Для $${{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }-3>0$$ - делаем замену $${{\log }_2 x\ }=m$$, получаем: $$m^2-2m-3>0$$ - решаем уравнение, имеем: $$m_1=-1,\ m_2=3$$ т.е. $$\left\{ \begin{array}{c} m<-1 \\ m>3 \end{array} \right.$$ - находим $$x$$: $$x\in (0;1)\cup (8;+\infty )$$
2: Для $${{\log }^2_2 x\ }-2{{\log }_2 x\ }-15<0$$ - делаем замену $${{\log }_2 x\ }=m$$, получаем: $$m^2-2m-15<0$$ - решаем уравнение, имеем: $$m_1=-3,\ m_2=5$$ т.е. $$-3<m<5$$
- находим $$x$$: $$x\in (\frac{1}{8};32)$$
4. Пересечение полученных множеств дает окончательный ответ: $$x\in (\frac{1}{8};\frac{1}{2})\cup (8;32)$$.
Задание 10937
Решите неравенство $$x^2{{\log }_{243} (-x-3)\ }\ge {{\log }_3 (x^2+6x+9)\ }$$
Задание 11087
Решите неравенство: $$x^2{{\log }_{4096} (3-x)\ }\ge {{\log }_8 (x^2-6x+9)\ }$$
Задание 14315
Решите неравенство $$\frac{1}{\log_3(2x-1)\cdot \log_{x-1}9}< \frac{\log_3\sqrt{2x-1}}{\log_3(x-1)}$$.
$$\frac{1}{log_3(2x-1)\cdot log_{x-1}9}< \frac{log_3\sqrt{2x-1}}{log_3(x-1)}$$;
$$\frac{1}{2log_3(2x-1)\cdot log_{x-1}3}< \frac{\frac{1}{2}\cdot log_3(2x-1)}{log_3(x-1)}$$;
$$\frac{1}{log_{x-1}(2x-1)}< log_{x-1}(2x-1)$$;
$$\frac{log^2_{x-1}(2x-1)-1}{log_{x-1}(2x-1)}>0$$;
Готовимся применить метод замены множителей:
$$\frac{(log_{x-1}(2x-1)-log_{x-1}(x-1))(log_{x-1}(2x-1)-log_{x-1}\frac{1}{x-1})}{log_{x-1}(2x-1)-log_{x-1}1}>0$$;
$$\left\{\begin{matrix} \frac{(x-1-1)(2x-1-(x-1))((x-1-1)(2x-1-\frac{1}{x-1})}{(x-1-1)(2x-1-1)}>0,\\ x-1>0,\\ x-1\neq 1\\ 2x-1>0; \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} \frac{x(x-2)^2((2x-1)(x-1)-1)}{2(x-2)(x-1)^2}>0\\ x>1,\\ x\neq 2; \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} \frac{x(x-2)(2x^2-3x)}{2(x-2)^2}>0,\\ x>1\\ x\neq 2 \end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2(x-2)(2x-3)}{(x-1)^2}>0\\ x>1,\\ x\neq 2; \end{matrix}\right.$$
$$x\in (1;1,5)\cup (2;+\infty)$$.