Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / Производная и первообразная

 

Задание 901

На графике производной функции у = f ' / (x) отмечены семь точек: х1,…, х7. Найдите все отмеченные точки, в которых функция f (x) возрастает. В ответе укажите количество этих точек.

Ответ: 4
Скрыть
Так как дан график производной, то мы будем искать точки над осью OX (функция возрастает, производная положительна)

 

Задание 937

На графике производной функции у = f' / (x) отмечены семь точек: х1,…, х7. Найдите все отмеченные точки, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции f (x) положительный. В ответе укажите количество этих точек.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Угловой коэффициент касательной к графику это и есть значение производной, следовательно, мы ищем, где производная положительная. Так как дан нам график производной, то мы просто найдем количество точек, которые располагаются над осью ОХ: x1,x3,x4,xвсего 4

 

Задание 973

Прямая y=3х+4 является касательной к графику функции у=х2‐3x‐c. Найдите c.

Ответ: -13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Так как прямая является касательной, то мы можем приравнять производные данных функций, чтобы найти абсциссу точки касания: 3 = 2x - 3. Отсюда x = 3. Так же мы можем приравнять сами функции и подставить найденную абсциссу:

3x+4=х2‐3x‐c

3*3+4=32-3*3-с

13=-c, отсюда с = -13

 

Задание 1013

Производная непрерывной функции f (x) равна нулю в каждой точке отрезка [‐5; 4]. Известно, что f (– 5) = – 5. Найдите f (4)

Ответ: -5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Раз производная равна нулю на всем промежутке и функция непрерывна, то функция не возрастает и не убывает, то есть сохраняет свое значение. Значит  f(– 5) =f(4)= – 5

Задание 1043

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну  $$x(t)=6t^{2}-48t+17$$ (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 9 с.

Ответ: 60

Задание 1044

Мате­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну $$x(t)=\frac{1}{2}t^{3}-3t^{2}+2t$$ (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 6 с.

Ответ: 20

Задание 1045

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну $$x(t)=-t^{4}+6t^{3}+5t+23$$ (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 3 с.

Ответ: 59

Задание 1046

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну $$x(t)=t^{2}-13t+23$$ (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 3 м/с?

Ответ: 8

Задание 1047

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну $$x(t)=\frac{1}{3}t^{3}-3t^{2}-5t+3$$ (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 2 м/с?

Ответ: 7

Задание 1048

На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля по марш­ру­ту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время (в часах), на оси ор­ди­нат — прой­ден­ный путь (в ки­ло­мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния ав­то­мо­би­ля на дан­ном марш­ру­те. Ответ дайте в км/ч.

 

Ответ: 40
 

Задание 1097

К графику функции у = f (x) в точке с абсциссой х0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; ‐1) этого графика. Найдите f / (x0).

Ответ: -0,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть прямая, проходящая через точки (4; 3) и (3; ‐1) задается формулой y = k1x+b. Найдем k1, подставив имеющиеся координаты в уравнение прямой:

$$\left\{\begin{matrix}3=4*k_{1}+b\\ -1=3*k_{1}+b\end{matrix}\right.$$ Найдем $$k_{1}$$. Решив систему получим, что $$k_{1}=4$$ Далее воспользуемся свойством: если k1 и k2 угловые коэффициенты двух линейных функций, то их графики буду перпендикулярны в том случае, когда k1k2=-1. Получаем, что k2=-1/k1=-1/4=-0.25. А значение производной в точке и есть величина углового коэффициента.

 

Задание 1175

Функция у = f (x) определена на отрезке [‐4; 4]. На рисунке приведен график её производной. Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите сумму всех целых x, входящих в эти промежутки.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Функция убывает, когда производная отрицательная. То есть мы смотрим, где график производной лежит под осью оХ, и выбираем оттуда целые значения Х (в задании надо сумму целых чисел). Важно выбрать значения, где производная равна 0, так как считается, что если функция определена в точках максимума или минимума, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания. Получаем точки -2; -1; 0 ; 1 ; 2 ;3

-2-1+0+1+2+3=3

 

Задание 1236

По графику функции у = f (x) определите количество точек на интервале (4;5), в которых касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Если касательная параллельна оси ОХ, то производная равна 0. Производная равна нулю на данном графике функции в точках максимума и минимума ( они отмечены жирной точкой ). Их всего 7

 

Задание 1277

На рисунке приведен график f ' (x) – производной функции у = f (x). Определите абсциссу точки графика функции у = f (x), в которой касательная параллельна прямой у = 2х – 1 или совпадает с ней.

Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Так как касательная к графику параллельна или совпадает с прямой y = 2x - 1, и при этом значение производной равно коэффициенту k линейной функции ( в нашем случае этот коэффициент равен 2 ), то и значение производной, которое мы ищем, равно 2. А так как нам дан график производной, то мы смело находим точку с ординатой (ось Оу) равную 2 и ищем абсциссу этой точки. Она равна -3

 

Задание 1290

На рисунке изображён график функции y=F(x) − одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (‐7;4). Пользуясь рисунком, определите значение функции f(x) в точке х=1.

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Нам дана первообразная F, нам необходимо найти значение функции f в точке. При подобном задании можно рассматривать следующую ситуацию, вместо F - рассматривается функция g, вместо функции f - производная g'. То есть нам дан график функции g(x), а надо найти значение производной g'(x) в точке x = 1. Как видим на графике, данная точка - точка минимум, значит значение производной и ответ - 0

 

Задание 2350

На рисунке изображен график $$y={f}'(x)$$ – производной функции f (x), определенной на интервале (‐6; 5). Найдите точку экстремума функции f (x), принадлежащую отрезку [-5; 4]

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Точка экстремума там, где производная равна 0. Т. к. нам дан график производной, то она равна 0 там, где пересекает ось Ох, т. е. в точке -2.
 

Задание 2365

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек этого интервала, в которых производная функции f (х) положительна.

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2492

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции у=f (x) в точке x0.

Ответ: -0.25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2732

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=\frac{1}{6}t^{3}-2t^{2}-4t+3$$, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 38 м/с?

Ответ: 14
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$${x}'(t)=\frac{1}{2}t^{2}-4t-4=38$$

$$\frac{1}{2}t^{2}-4t-42=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$t^{2}-8t-84=0$$

$$D=64+336=20^{2}$$

$$t_{1}=\frac{8+20}{2}=14$$

$$t_{2}<0$$

 

Задание 2784

На рисунке изображён график $$y={f}'x$$ – производной функции f (x). На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 . Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f (x)?

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Промежутки возрастания функции там, где график производной над осью Ox: x1; x2 $$\Rightarrow$$ 2 точки.

 

Задание 2823

На рисунке изображён график функции $$y=f(x)$$. На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите
эту точку.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

2 - т.к. там функция возрастает $$\Rightarrow$$ производная положительная; в -1 тоже возрастает, но если провести касательную, то угол будет меньше, чем в $$x=2$$.

 

Задание 2860

На рисунке изображён график y=f′(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8;4). В какой точке отрезка [-7;-3] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Ответ: -7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

На всем отрезке [-7; -3] f'(x) $$\Rightarrow$$ функция возрастает минимальное значение в начале отрезка $$\Rightarrow$$ -7

 

Задание 2899

Прямая $$y=-4x-11$$ является касательной к графику функции $$y=x^{3}+7x^{2}+7x-6$$. Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: -1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f'=-4x-11x^{3}+7x^{2}+7x-6=g$$ $$f'=-4$$ $$g'=3x^{2}+14x+7$$ $$f'=g'$$ $$\Rightarrow$$ $$3x^{2}+14x+7=-4$$ $$3x^{2}+14x+11=0$$ $$D=196-132=64$$ $$x_{1}=\frac{-14+8}{6}=-1$$ $$x_{1}=\frac{-14-8}{6}=-\frac{11}{3}$$ $$f(-1)=-4(-1)-11=-7$$ $$g(-1)=(-1)^{3}+7\cdot (-1)^{2}+7\cdot (-1)-6=-7$$ $$f(-1)=g(-1)$$ $$\Rightarrow$$ абсцисса -1

 

Задание 2938

На рисунке изображен график y=f′(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-12;5). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-10;4].

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$-7; 2$$ $$\Rightarrow$$ 2 точки

 

Задание 2985

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Производная положительная в том случае, когда функция возрастает. Целые абсциссы на графики, где функция возрастает отмечены жирными точками. Их 4

 

Задание 3028

Прямая $$y=7x-5$$ параллельна касательной к графику функции $$y=x^{2}+6x-8$$. Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: 0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}7x-5=x^{2}+6x-8\\7=2x+6\end{matrix}\right.$$ $$2x=1$$ $$x=0,5$$

 

Задание 3070

На рисунке приведен график производной $${g}'(x)$$, на графике отмечены шесть точек: х1, х2, …, х6. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции g(x)?

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Функция возрастает там, где $${g}'(x)>0$$ $$\Rightarrow$$ $$x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};x_{6}$$

 

Задание 3111

Функция у = f (x) определена на отрезке [-2; 4]. На рисунке приведен график ее производной. Укажите абсциссу точки графика функции у = f (x), в которой она принимает наименьшее значение.

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Производная $$>0$$ $$\Rightarrow$$ f всегда возрастает $$\Rightarrow$$ в начале промежутка

 

Задание 3152

На рисунке приведен график функции у=g(x). На графике отмечены шесть точек: х1, х2, …, х6. В скольких из этих точек производная g/(x) принимает положительные значения?

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Производная принимает положительные значения там, где функция возрастает: на рисунке это точки х25 и х6

 

Задание 3197

Прямая $$y=-9x+5$$ является касательной к графику функции $$f(x)=ax^{2}+15x+11$$. Найдите a.

Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}-9=2ax+15\\-9x+5=ax^{2}+15x+11\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac{12}{a}$$ $$-9x+5-ax^{2}-15x-11=0$$ $$ax^{2}+24x+6=0$$ $$a\cdot\frac{144}{a^{2}}-\frac{288}{a}+6$$ $$-\frac{144}{a}=-6$$ $$a=\frac{144}{6}=24$$

 

Задание 3242

Функция у = f (x) определена на промежутке [‐4; 5]. На рисунке приведен график её производной. Найдите количество точек графика функции у = f (x), касательная в которых параллельна прямой 5х – 2у = 1 или совпадает с ней.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$5x-2y=1$$ $$5x-1=2y$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y=\frac{5x}{2}-\frac{1}{2}$$ $$y'=\frac{5}{2}$$ $$\Rightarrow$$ 4 точки

 

Задание 3283

На рисунке изображен график производной функции y=f′(x), определенной на интервале (−3;9). Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Ответ: 19
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Раз изображен график производной, то мы должны смотреть промежутки, где этот график находится над осью Ох (так как функция возрастает тогда, когда значение производной положительно). На этих промежутках абсциссы (координаты Х) целые: -2 ; -1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 (-2) + (-1) + 4 + 5 + 6 + 7 = -3 + 22 = 19

 

Задание 3323

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Значение производной отрицательное в том случае, если функция убывает. Функция убывает на промежутке от -2 до 0, причем -2 и 0 это точки экстремума, и, следовательно, там производная равна 0, а значит отрицательна она только в -1 (если рассматривать только целые абсциссы), на промежутке от 2 до 5,5 (примерно), 2 так же точка экстремума, значит мы считаем только 3; 4; 5 и на промежутке от 7 до 8, где 7 и 8 точки экстремум, то есть нас устраивающих точек нет. В итоге всего 4 точки

 

Задание 3370

На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ – производной непрерывной функции $$f(x)$$ , определенной на интервале (-4; 7). Найдите количество точек минимума функции $$f(x)$$ , принадлежащих отрезку [-3; 6].

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Первая точка, когда график пересекает ось Ох в точке -2 (значение производной было отрицательным, стало положительным), вторая в точке 2, так как функция по условию непрерывна, а значение производной до этого было отрицательным, значит в этой точке хоть производная и не найдена, но значение функции минимальное на отрезке) и третья в точке 5.

 

Задание 3418

На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (- 8; 4). В какой точке отрезка [- 2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

На отрезке [- 2; 3] везде $$f'(x)>0$$ $$\Rightarrow$$ $$f(x)$$ везде возрастает $$\Rightarrow$$ $$f_{min}$$ в начале отрезка, т.е. в т. -2

Задание 3597

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

Ответ: 2

Задание 3598

Ма­те­ри­аль­ная точка M на­чи­на­ет дви­же­ние из точки A и дви­жет­ся по пря­мой на про­тя­же­нии 12 се­кунд. Гра­фик по­ка­зы­ва­ет, как ме­ня­лось рас­сто­я­ние от точки A до точки M со вре­ме­нем. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время t в се­кун­дах, на оси ор­ди­нат — рас­сто­я­ние s.

Опре­де­ли­те, сколь­ко раз за время дви­же­ния ско­рость точки M об­ра­ща­лась в ноль (на­ча­ло и конец дви­же­ния не учи­ты­вай­те).

Ответ: 6

Задание 3599

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f(x) и от­ме­че­ны семь точек на оси абс­цисс: x1x2x3x4x5x6x7. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции f(x) от­ри­ца­тель­на?

Ответ: 3

Задание 3600

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y = f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

Ответ: -0,25

Задание 3601

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y = f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

Ответ: -0,5

Задание 3602

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

Ответ: 0,25

Задание 3603

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

Ответ: -2

Задание 3604

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x0. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x0.

Ответ: -0,25

Задание 3605

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x). Пря­мая, про­хо­дя­щая через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ка­са­ет­ся гра­фи­ка этой функ­ции в точке с абс­цис­сой 8. Най­ди­те f'(8).

Ответ: 1,25

Задание 3606

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции $$fy=(x)$$ и во­семь точек на оси абс­цисс: $$x_{1}$$, $$x_{2}$$, $$x_{3}$$, ..., $$x_{8}$$. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции $$f(x)$$ по­ло­жи­тель­на?

Ответ: 4

Задание 3607

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции $$y=f(x)$$ и две­на­дцать точек на оси абс­цисс: $$x_{1}$$, $$x_{2}$$, $$x_{3}$$, ..., $$x_{12}$$. В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции $$f(x)$$ от­ри­ца­тель­на?

Ответ: 7

Задание 3608

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции $$y=f(x)$$ и от­ме­че­ны точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­боль­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

Ответ: -2

Задание 3609

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции $$f(x)$$. Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку $$y=f(x)$$ па­рал­лель­на пря­мой $$y=2x-2$$ или сов­па­да­ет с ней.

Ответ: 5

Задание 3610

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции $$f(x)$$. Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку $$y=f(x)$$ па­рал­лель­на оси абс­цисс или сов­па­да­ет с ней.

Ответ: -3

Задание 3611

Пря­мая $$y=7x-5$$ па­рал­лель­на ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции $$y=x^{2}+6x-8$$. Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

Ответ: 0,5

Задание 3612

Пря­мая $$y=-4x-11$$ яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции $$y=x^{3}+7x^{2}+7x-6$$. Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

Ответ: -1

Задание 3613

Прямая $$y=3x+1$$ является касательной к графику функции $$ax^{2}+2x+3$$. Найдите а.

Ответ: 0,125

Задание 3614

Прямая $$y=3x+4$$ является касательной к графику функции $$3x^{2}-3x+c$$. Найдите c.

Ответ: 7

Задание 3615

Пря­мая $$y=-5x+8$$ яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции $$28x^{2}+bx+15$$. Най­ди­те $$b$$, учи­ты­вая, что абс­цис­са точки ка­са­ния боль­ше 0.

Ответ: -33

Задание 3616

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции $$f(x)$$, опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле $$(-6;6)$$. Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции $$f(x)$$. В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Ответ: 14

Задание 3617

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 7). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции y = f(x).

Ответ: 7,2| 7,1| 7,3

Задание 3618

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 8). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на.

Ответ: 4

Задание 3619

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции $$y=f(x)$$, опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции $$f(x)$$ от­ри­ца­тель­на.

Ответ: 7

Задание 3620

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 6 или сов­па­да­ет с ней

Ответ: 4

Задание 3621

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x).

Ответ: 44

Задание 3622

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик y=f'(x) — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-8; 3). В какой точке от­рез­ка [-3; 2 ] функ­ция f(x) при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

Ответ: -3

Задание 3623

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−8; 4). В какой точке от­рез­ка [−7; −3] f(x) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние?

Ответ: -7

Задание 3624

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 14). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−6; 9].

Ответ: 1

Задание 3625

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−18; 6). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−13;1].

Ответ: 1

Задание 3626

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 11). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−10; 10].

Ответ: 5

Задание 3627

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Ответ: -3

Задание 3628

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 7). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Ответ: 18

Задание 3629

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−11; 3). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

Ответ: 6

Задание 3630

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них.

Ответ: 6

Задание 3631

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−10; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f(x) па­рал­лель­на пря­мой y = −2x − 11 или сов­па­да­ет с ней.

Ответ: 5

Задание 3632

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−4; 8). Най­ди­те точку экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−2; 6].

Ответ: 4

Задание 3633

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x) , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 9) . Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0.

Ответ: 5

Задание 3634

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик $$y=f'(x)$$- про­из­вод­ной функ­ции f(x).На оси абс­цисс от­ме­че­ны во­семь точек: x1, x2, x3, ..., x8. Сколь­ко из этих точек лежит на про­ме­жут­ках воз­рас­та­ния функ­ции f(x) ?

Ответ: 3

Задание 3635

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик $$y=f'(x)$$ про­из­вод­ной функ­ции $$f(x)$$ и во­семь точек на оси абс­цисс: $$x_{1}$$, $$x_{2}$$, $$x_{3}$$, ..., $$x_{8}$$. В сколь­ких из этих точек функ­ция $$f(x)$$ убы­ва­ет?

Ответ: 5

Задание 3636

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции $$f(x)$$ и от­ме­че­ны точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­мень­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

Ответ: 4

Задание 3637

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции у = f'(x) — про­из­вод­ной функ­ции f(x) опре­делённой на ин­тер­ва­ле (1; 10). Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции f(x).

Ответ: 9

Задание 3638

Функ­ция y = f (x) опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на от­рез­ке [−5; 5]. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик её про­из­вод­ной. Най­ди­те точку x0, в ко­то­рой функ­ция при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, если  f (−5) ≥ f (5).

Ответ: 3

Задание 3639

Функ­ция $$f(x)$$ опре­де­ле­на на про­ме­жут­ке $$(-6;4)$$. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик ее про­из­вод­ной. Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой функ­ция $$y=f(x)$$ при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние.

Ответ: -2

Задание 3640

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = −6.

Ответ: 7

Задание 3641

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся от на­чаль­но­го до ко­неч­но­го по­ло­же­ния. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик её дви­же­ния. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в се­кун­дах, на оси ор­ди­нат — рас­сто­я­ние от на­чаль­но­го по­ло­же­ния точки (в мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния точки. Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.

Ответ: 1,6

Задание 3642

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = F(x) — одной из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−3; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f(x)=0 на от­рез­ке [−2; 4].

Ответ: 10

Задание 3643

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции $$f(x)$$ (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те F(8) − F(2), где F(x) — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x).

Ответ: 7

Задание 3644

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f(x). Функ­ция $$F(x)=x^{3}+30x^{2}+302x-\frac{15}{8}$$ — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции y = f(x). Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Ответ: 6

Задание 3645

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f(x). Функ­ция $$F(x)=-x^{3}-27x^{2}-240x-8$$ — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции y = f(x). Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Ответ:

Задание 3646

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции y = f(x). Функ­ция  — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x). Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Ответ: 4

Задание 3647

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик не­ко­то­рой функ­ции $$y=f(x)$$. Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те опре­де­лен­ный ин­те­грал $$\int_{5}^{1}f(x)dx$$

Ответ: 12
 

Задание 3655

$$f(x)=3^{x}-3^{-x}$$. Найдите значение выражения $$f(-4)+f(4)$$

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f(x)=3^{x}-3^{-x}$$

$$f(-4)=3^{-4}-3^{4}$$

$$f(4)=3^{4}-3^{-4}$$

$$f(-4)+f(4)=3^{-4}-3^{4}+3^{4}-3^{-4}=0$$

 

Задание 3854

Прямая, изображенная на рисунке, является графиком одной из первообразных функции $$y=f(x)$$. Найдите $$f(2)$$.

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Достроим прямоугольный треугольник, вычислим тангенс угла:
$$\tan\alpha=-\frac{4}{2}=-2$$

 

Задание 4011

На рисунке изображен график функции f (x). Касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой 4, проходит через начало координат. Найдите f ′(4).

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f'(4)=\frac{6}{4}=1,5$$

 

Задание 4181

Прямая $$y=-4x+15$$ является касательной к графику функции $$y=x^{3}-6x^{2}+8x+7$$. Найдите абсциссу точки касания

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}-4x+15=x^{3}-6x^{2}+8x+7(1)\\(-4x+15)'=(x^{3}-6x^{2}+8x+7)'(2)\end{matrix}\right.$$

2) $$-4=3x^{2}-12x+8$$

$$3x^{2}-12x+12=0$$

$$x^{2}-4x+x=0$$

$$(x-2)^{2}=0$$

$$x=2$$

 

Задание 4389

На рисунке изображен график движения точки по прямой. По горизонтали отложено время, по вертикали—расстояние до точки отсчета. Сколько раз за наблюдаемый период точка останавливалась?

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Точка останавливалась там, где на графике точки максимума и минимума

 

Задание 4566

Дан график производной функции $$y=f'(x)$$ и отмечены семь точек: $$x_{1},...,...,x_{7}$$. В скольких из этих точек функция $$y=f(x)$$ возрастает?

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Функция возрастает там, где производная положительна (график над осью Ох): $$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{6}$$ - 5 точек

 

Задание 4662

Прямая $$y=3x+4$$ является касательной к графику функции $$y=3x^{2}-3x+c$$. Найдите c.

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Раз она является касательной, то производные данных функций равны: $$3=6x-3 \Leftrightarrow $$$$x=1$$ Но и значение этих функций в точке 1 так же должны быть равны: $$3*1+4=3*1^{2}-3*1+c \Leftrightarrow $$$$7=c$$

 

Задание 4812

На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$ , определенной на интервале (−4; 9). Определите количество целых чисел $$(x_{i}$$ , для которых $$f'(x_{i})$$ отрицательно.

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Производная отрицательно там, где функция убывает. На всех промежутках целую абсциссу имеет только одна точка (2;0)

 

Задание 4856

На рисунке изображен график $$y=F(x)$$ одной из первообразных некоторой функции $$f(x)$$, определенной на интервале (‐1;13). Определите количество целых чисел $$x_{i}$$, для которых $$f(x_{i})$$ отрицательно.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Следует понимать, что фразу первообразная F(x) для функции f(x), можно переделывать для себя, как функция g(x) для производной g'(x). И тогда нам необходимо найти все целые абсциссы, где производная отрицательная, а отрицательная он там , где функция убывает. Данные точки отмечены на графике:

 

Задание 4907

На рисунке изображен график  производной функции $$y=f'(x)$$,  определенной на интервале (−3; 9). В  какой точке отрезка [−2; 3] $$f(x)$$  принимает наибольшее значение?  

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

В данном задании необходимо помнит следующее: производная отрицательна, значит функция убывает. В нашем случае график произвольной находится под осью Ох на всем отрезке [-2;3] (то, что он "скачет" никак не убывание функции не влияет: она просто убывает где-то быстрее, где-то медленнее). Раз функция на всем отрезке убывает, то ее наибольшее значение будет в начале отрезка.

 

Задание 4954

На рисунке изображен график  производной функции f (x), определенной  на интервале (−2; 11). Найдите точку  экстремума функции f (x), принадлежащую  отрезку [1; 6].

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Точка экстремума функции там, где производная равна нулю. Так как нам дан график производной, то мы просто ищем пересечение графика с осью Ох. Эта точка с абсциссой 3

 

Задание 5002

На графике производной функции $$y=f'(x)$$ отмечены семь точек: х1,…, х7. Найдите все отмеченные точки, в которых функция f (x) убывает. В ответе укажите количество этих точек.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 5050

Прямая $$y=-5x+8$$ является касательной к графику функции $$y=28x^{2}+bx+15$$. Найдите $$b$$, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Ответ: -33
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}y_{1_{'}}=y_{2_{'}}\\y_{1}=y_{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-5x+8=28x^{2}+bx+15\\-5=56x+b\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$b=-5-56x$$; $$-5x+8=28x^{2}+x(-5-56x)+15$$; $$28x^{2}-5x-56x^{2}+15+5x-8=0$$; $$-28x^{2}=-7$$; $$x^{2}=\frac{1}{4}$$; $$x=\pm\frac{1}{2}$$; $$b=-5-56\cdot\frac{1}{2}=-5-28=-33$$

 

Задание 5097

На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$, определенной на интервале$$(-1;13)$$. Определите количество целых чисел $$x_{1}$$, для которых $$f'(x_{1})$$ отрицательно.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

{f}'x<0 тогда, когда f(x) убывает : (0;15)-одно целое (5;9)- три целых (12;13)-ноль целых Всего 4 целых

 

Задание 5134

На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$, определенной на интервале $$(-10;3)$$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $$y=-3$$

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 5187

На рисунке изображен график $$y=F(x)$$ одной из первообразных некоторой функции $$f$$, определенной на интервале $$(-2;11)$$. Определите количество целых чисел $$x_{i}$$, для которых $$f(x_{i})$$ отрицательно.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 5234

На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ – производной функции у = f (x), определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции у = f (x), принадлежащих отрезку [−14; 2].

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Экстремумы функции расположены там, где производная функции равна 0, то есть там, где график производной пересекает ось Ох. На заданном отрезке таких точек 4 (с абсциссами: -13 ; -11 ; -9 ; -7)

 

Задание 5282

На рисунке изображены график функции $$y=f(x)$$ и касательная к нему в точке с абсциссой $$x_{0}$$. Найдите значение производной функции $$y'=f(x)$$ в точке $$x_{0}$$.

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Значение производной в точке равно значению тангенса угла между касательной, проведенной в эту точку, и осью ОХ. Достроим треугольник прямоугольный как показано на рисунке:

$$tg \angle BAC = \frac{BC}{AC}=\frac{9}{6}=1,5$$

 

Задание 5330

На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ — производной функции $$f(x)$$ , определённой на интервале (-4;10) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=x или совпадает с ней.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Раз касательная к графику параллельна графику функции y=x, то значения коэффициента при х у нее должно быть равно 1 (Графики линейных функций $$y=k_{1}x+b_{1} ; y=k_{2}x+b_{2}$$ параллельны при $$k_{1}=k_{2}$$. А это значение и есть значение производной. То есть необходимо найти количество точек, где значение производной равно 1 (чертим прямую y=1 и находим количество пересечений с графиком функции). Их будет 4

 

Задание 5377

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (–2; 10). Определите количество точек с целыми абсциссами, в которых производная функции отрицательна.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Производная функции отрицательна там, где сама функция убывает. На данном рисунке это промежутки $$x \in (-2;0)\cup (4;6)\cup (9,5;10)$$. Целых значений, входящих в эти промежутки всего два : -1 ; 5.

 

Задание 6034

Функция $$y=f(x)$$ определена на интервале (‐5;6). На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$. Найдите среди точек $$x_{1}, x_{2},...,x_{7}$$ те точки, в которых производная функции $$f(x)$$ равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Дан график функции, следовательно ищем точки максимума и минимума ( в них $${f}'\left ( x \right )=0$$: $$x_{2};x_{5};x_{7}$$

 

Задание 6081

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Значение производной есть тангенс угла между касательной, проведенной в заданную точку и осью Ох. Достроим $$\Delta ABC$$ : $$tg\angle ABC=\frac{AC}{CB}=\frac{2}{1}=2$$. Так как функция убывает, то значение производной будет отрицательное, то есть -2

 
 

Задание 6128

На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки ‐7, ‐3, 1, 5. В какой из этих точек значение производной этой функции наибольшее? В ответе укажите эту точку

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Если f(x) возрастает , то f'(x)> 0 , если f(x) убывает, то f'(x)< 0 . В точках -3; 1; 5 f'(x)> 0. При этом касательная в точке 5 имеет большой угол $$\Rightarrow f'_{max}=f'(5).$$

 

Задание 6176

На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику $$f(x)$$ параллельна оси абсцисс.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Касательная к графику функции параллельна оси Ох, если производная в точке касания равна 0. Так как нам дан график производной, то находим точку, где график пересекается ось Ох : x=2

 

Задание 6223

На рисунке изображен график производной $$y=f'(x)$$ функции $$y=f(x)$$ , определенной на интервале (-4;8) . В какой точке отрезка [-3;1] функция $$y=f(x)$$ принимает наименьшее значение?

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

На данном промежутке график функции находится под осью Ох. Т.к. дан график производной , то это значит, что она отрицательная и функция убывает на всем данном промежутке. Тогда наименьшее значение будет в конце промежутка, то есть в точке 1

 

Задание 6271

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (‐4;20). Найдите количество точек экстремума функции f(x) , принадлежащих отрезку [0;18]

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Точки экстремума –точки максимума и минимума, то есть когда производная равна 0 (на рисунке отмечены черными точками ). Их на данном промежутке 5.

 

Задание 6319

Прямая $$y=3x+1$$ является касательной к графику функции $$y=ax^{2}+2x+3$$. Найдите a .

Ответ: 0,125
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Чтобы прямая являлась касательной, тогда производные должны быть одинаковы:
$${y_{1}}'={y_{2}}'\Leftrightarrow$$ $$3=2ax+2\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{1}{2a}(1)$$
     С другой стороны, функции тоже должны быть одинаковы:
$$y_{1}=y_{2}\Leftrightarrow$$ $$3x+1=ax^{2}+2x+3 (2)$$

     Подставим (1) в (2):

$$3*\frac{1}{2a}+1=a*(\frac{1}{2a})^{2}+2*\frac{1}{2a}+3\Leftrightarrow$$$$\frac{3}{2a}+1=\frac{a}{4a^{2}}+\frac{2}{2a}+3\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{2a}+1=\frac{1}{4a}+\frac{2}{2a}+3\Leftrightarrow$$$$\frac{3}{2a}-\frac{1}{4a}-\frac{2}{2a}=3-1\Leftrightarrow$$ $$\frac{6-1-4}{4a}=2\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{4a}=2\Leftrightarrow$$ $$a=\frac{1}{8}=0,125$$

 

Задание 6366

На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$. Найдите среди точек x1,x2,...,x6 те точки, в которых производная функции $$y=f(x)$$ отрицательна. В ответ запишите количество найденных точек.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

f'<0 если f(x)-убывает : $$x_{2};x_{4}$$ - две точки

 

Задание 6413

На рисунке изображен график функции $$f(x)$$ . Касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой ‐4 проходит через начало координат. Найдите $$f'(-4)$$

Ответ: -0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Рассмотрим $$\Delta ABC: tg\angle A=-{f}'(-4)$$

     $$tg\angle A=\frac{CB}{AB}=$$$$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $${f}'(-4)=-0,5$$

 

Задание 6461

На рисунке изображен график производной функции $$f(x)$$ , определенной на интервале (‐5;4). Найдите точку минимума функции $$f(x)$$ на этом интервале.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Точка минимума , когда {f}' переходит с «-» на «+» (был график под Ox, стал над Ox): $$x=3$$

 

Задание 6515

На графике функции у = f (x) отмечены семь точек с абсциссами ‐7, ‐5, ‐3, ‐2, 1, 2, 5. Определите по данному графику, в какой из этих точек значение производной f'(x) наибольшее. (В ответе укажите абсциссу этой точки).

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Если f(x) возрастает , то $$f}(x)>0$$. Чем быстрее возрастает, тем больше $$f'(x)\Rightarrow$$ $$f'_{max}={f}'(5)$$

 

Задание 6562

Касательная к графику функции y= f(x) проходит через начало координат и точку М (‐4; 6). Найдите значение производной этой функции в точке касания.

Ответ: -1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f'(x)=tg\angle ABD=-tg\angle ABC=$$$$-\frac{AC}{CB}=-\frac{6}{4}=-1,5$$

 

Задание 6609

Функция $$y=f(x)$$ определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 4. На рисунке изображен график этой функции при $$-1\leq x \leq 3$$ . Найдите значение выражения $$f(-3)*f(1)*f(11)$$

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

С учетом периодичности функции: $$f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-2$$; $$f(1)=-2$$; $$f(11)=f(11-4*2)=f(3)=1$$

Тогда: $$f(-3)*f(1)*f(11)=-2*(-2)*1=4$$

 

Задание 6657

Функция $$y=f(x)$$ определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 5. На промежутке $$(-1;4]$$ она задается формулой $$f(x)=3-|1-x|$$ . Найдите значение выражения $$5f(20)-3f(-12)$$.

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

С учетом периода в 5: $$f(20)=f(0)$$, $$f(-12)=f(3)$$. Получим : $$f(3)=3-(1-3)=1$$; $$f(0)=3-(1-0)=2$$.

Тогда: $$5f(20)-3f(-12)=5*2-3*1=7$$

 

Задание 6692

На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ — производной функции $$f(x)$$, определенной на интервале (‐3;14). Найдите промежутки убывания функции $$f(x)$$. В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Функция убывает там, где $${f}’ (x)<0$$. Убывает на промежутке: (-4;-3) - длина 1; (2;6) - длина 4; (11;13) - длина 2

 

Задание 6751

На рисунке изображен график функции f(x). Касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой −4, проходит через начало координат. Найдите f'(-4).

Ответ: 0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\Delta ABC$$: $${f}'(-4)=tgA=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4}=0,5$$

 

Задание 6798

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 5). В какой точке отрезка [0;4] f(x) принимает наименьшее значение?

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

т.к. дан график производной и на $$(-\infty ;-3)$$ - $${f}'<0$$, а на $$(-3; +\infty )$$ - $${f}'>0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=-3$$ - точка минимума. Но на отрезке $$[0; 4]$$ -  $$f'>0$$$$\Rightarrow$$ $$f_{min}=f(0)$$ (функция врзрастает на всем промежутке, следовательно, меньшее значение функции в начале промежутка)

 

Задание 6818

Прямая y=4x-3 является касательной к графику функции $$y=8x^{2}-12x+c$$. Найдите c .

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

          Так как является касательной, то производные данных функций равны: $${(4x-3)}'={(8x^{2}-12x+c)}'\Leftrightarrow$$ $$4=16x-12\Leftrightarrow$$ $$x=1$$

          Но значения функций в полученной точке так же равны: $$y_{1}(1)=4*1-3=1$$ ; $$y_{2}(1)=8*1^{2}-12*1+c=1$$$$\Leftrightarrow$$ $$c=5$$

 

Задание 6869

Функция y=f(x) определена на отрезке [‐2; 4]. На рисунке дан график её производной. Найдите абсциссу точки графика функции y=f(x) , в которой она принимает наименьшее значение.

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

При x=1 имеем , что $${f}'(x)=0$$, при этом на промежутке [-2; 1): $${f}'(x)<0$$, а на (1;4]: $${f}'>0$$$$\Rightarrow$$ $$x=1$$ - точка минимума и $$f_{min}=f(1)$$

 

Задание 6917

На графике дифференцируемой функции у=f (x) отмечены семь точек: х1,…, х7. Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответе укажите количество этих точек.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f'=0$$ в точках экстремума; в данном случае $$x_{4}$$ и $$x_{7}$$ - 2 точки.

 

Задание 6965

F(x) - первообразная функции f(x)=3x2+2x, причем ее график проходит через точку (2;‐3). Найдите F(-2)

Ответ: -19
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$F(x)=\int f(x) dx=x^{3}+x^{2}+c$$. Т.к. F(x) проходит через (2;-3), то F(2)=-3 $$-3=2^{3}+2^{2}+c\Leftrightarrow$$ $$c=-15$$. Тогда :$$F(-2)=(-2)^{3}+(-2)^{2}-15=-19$$

 

Задание 7012

К графику функции у = f (x) проведена касательная. Определите значение производной функции в точке х0

Ответ: -1,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

из $$\Delta ABC$$: $$tg \angle CAB =\frac{CB}{AB}=\frac{5}{4}=1,25\Rightarrow$$ $${f}'(x_{0})=-tg\angle CAB=-1,25$$ (т .к. f(x) убывает в $$x_{0}$$)

 

Задание 7032

Прямая, параллельная оси абсцисс, касается графика функции $$f(x)=-2x^{2}+6x-7$$ . Найдите ординату точки касания.

Ответ: -2,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть y=a - прямая, параллельная Ox $$\Rightarrow$$ $${y}'=0$$. Раз касается f(x) , то и $${f}'(x)=0$$ ( в точке касания ): $$-4x+6=0 \Rightarrow$$ $$x=1,5$$. Найдем ординату точки касания: $$f(1,5)=-2*1,5^{2}+6*1,5-7=-2,5$$

 

Задание 7053

Используя геометрический смысл определенного интеграла, вычислите $$\int_{-2}^{0}\frac{1}{\pi}\sqrt{4-x^{2}}dx$$

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{4-x^{2}}$$ - это полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат . При этом по $$x \in [-2; 0]$$ получим четверть данной окружности : $$S=\frac{1}{4} \pi 2^{2}=\pi$$ . Геометрический смысл интеграла в нахождении площади криволинейного трапеции, тогда: $$\int_{-2}^{0} \frac{1 }{\pi }\sqrt{4-x^{2}}dx=$$$$\frac{1}{\pi}*\int_{-2}^{0}\sqrt{4-x^{2}}dx=$$$$\frac{1}{\pi}*\pi=1$$

 

Задание 7100

Движение автомобиля во время торможения описывается формулой $$S(t)=36t-5t^{2}$$ , где S – путь в метрах, t – время в секундах. Сколько секунд автомобиль будет двигаться с момента начала торможения до его полной остановки?

Ответ: 3,6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Производная функции расстояния есть функция скорости, найдем ее и приравняем к 0: $${S}'(t)=v(t)=36-10t\Rightarrow$$ $$v(t)=0$$ или $$t=3,6$$

 

Задание 7173

По графику функции у = f(x) определите количество точек на интервале (‐3; 4), в которых касательная к графику параллельна прямой у = 0,3х – 4 или совпадает с ней.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Если параллельна или совпадает , то $$f^{'}=(0,3x-4)^{'}=0,3$$. Тогда точки (отмечены на рисунке) находятся на промежутке возрастания , и их количество 5. (Можно построить схематичный график производной)

 

Задание 7193

Функция $$f(x)$$ определена на отрезке [‐4; 5]. На рисунке приведен график ее производной $$f'(x)$$. По графику определите количество критических точек функции $$y=f(x)$$.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Необходимо определить точки , где производная равна 0 или не существует : $$-3;-1; \approx 0,4 ; 2$$ - 4 штуки (т.к. дан график производной, то смотрим , где он пересекает ось Ox или значение по х, где $$f^{'}(x)$$ не существует – пустая точка)

 

Задание 7214

Функция у = f (x) определена на отрезке [‐3; 5]. На рисунке дан график её производной. Найдите количество точек минимума функции у = f (x).

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Точка минимума на графике производной это точка, где производная равна нулю и график производной убывает $$\Rightarrow$$ есть на (-3; -2) и на $$(2; 3)\Rightarrow$$ 2 точки

 

Задание 7316

На рисунке изображен график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых чисел xi, для которых f(xi) положительно.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Если y=F(x)-первообразная для y=f(x), то y=f(x)-производная для y=F(x). Тогда f(x)>0 если F(x) –возрастает $$\Rightarrow$$ $$x\in (-3 ;0)\cup (3,5; 6)$$ .На этих промежутках 4 целых значений (-2; -1; 4; 5)

 

Задание 7356

Прямая, изображенная на рисунке, является графиком одной из первообразных функции y=f(x). Найдите f(2).

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7405

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=\frac{t^{3}}{3}-\frac{3t^{2}}{2}-3t+17$$ (где x —расстояние от точки отсчета в метрах, —время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени ее скорость была равна 15 м/с?

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7434

Прямая $$y=-3x+8$$ параллельна касательной к графику функции $$y=x^{2}+7x-6$$ . Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: -5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7507

Прямая, изображенная на рисунке, является графиком одной из первообразных функции y=f(x). Найдите f(2).

Ответ: 0,75
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Для функции первообразной, изначальная функция является производной. То есть, можно перефразировать задание следующим образом: Дан график функции g(x), найдите значение производной g'(2).
Графиком функции является прямая, следовательно, производная имеет постоянное значение независимо от абсциссы, и вычисляется как тангенс угла между прямой и осью Ох (коэффициент k из уравнения прямой y=kx+b).
Тогда $$tg \alpha=\frac{3}{4}$$
 

Задание 7554

Прямая $$y=2x+37$$ является касательной к графику функции $$y=x^{3}+3x^{2}-7x+10$$ . Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7628

На рисунке изображён график функции y=F(x) − одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (‐7;4). Пользуясь рисунком, определите значение функции f(x) в точке х=1.

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7676

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=\frac{1}{3}x^{3}-3t^{2}-5t+3$$ , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7724

Материальная точка движется вдоль прямой от начального до конечного положения. На рисунке изображен график ее движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат – расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.

Ответ: 1,8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

При решении данного задания важно помнить, что средняя скорость есть отношение всего пройденного пути, к всему затраченному времени. При этом пройденный пусть и перемещение не является одинаковой величиной. Для того чтобы найти весь пройденный путь необходимо считать каждое перемещение до момента смены направления движения и суммировать полученные значения. То есть до 4 секунды тело прошло 10 метров, затем поменяло направление движения и прошло еще 8 метров за 6 секунд до остановки. Тогда средняя скорость составит $$\frac{10+8}{4+6}=1,8$$ метров в секунду

 

Задание 7775

На рисунке изображен график $$y=F(x)$$ одной из первообразных некоторой функции $$f(x)$$ определенной на интервале (‐7;5). Пользуясь рисунком, найдите количество решений уравнения $$f(x)=0$$ на отрезке [‐5;2].

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7871

На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$‐ производной функции $$f(x)$$, определенной на интервале $$(-6;5)$$ . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $$f(x)$$ параллельна прямой $$y=-3x+7$$ или совпадает с ней.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7887

На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ ‐ производной функции $$f(x)$$, определенной на интервале $$(-10;10)$$. Найдите количество точек максимума функции $$f(x)$$ , принадлежащих отрезку $$[-9;8]$$

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7936

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=-t^{3}+9t^{2}-7t+6$$ где x ‐ расстояние от точки отсчета в метрах, t ‐ время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=3 c.

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8230

На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ ‐ производной функции $$f(x)$$, определенной на интервале (-12;9). Найдите количество точек максимума функции $$f(x)$$, принадлежащих отрезку [-9;8]

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Так как дан график производной, то точки экстремума находятся там, где график пересекает ось Ох, при этом максимум, если пересекает с положительной полуплоскости по у на отрицательную, то есть в точке х=-8. На данном графике точка максимума единственная
 

Задание 8261

Функция $$y=f(x)$$ определена на интервале (‐5;6). На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$. Найдите среди точек $$x_{1}, x_{2},...,x_{7}$$ те точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Производная равна 0 на графике функции там, где находятся точки экстремума (максим и минимум): x2, x5, x- всего три точки. 

 

Задание 8280

На рисунке изображен график функции $$y=f'(x)$$ , где $$f'(x)$$ ‐ производная функции $$y=f(x)$$. В какой из точек ‐3; ‐2; ‐1; 0; 1 значение функции наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8299

На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$. На оси абсцисс отмечены точки ‐2, ‐1, 1, 4. Какое из значений выражений

  1. $$f'(-2)-f'(-1)-f'(-4)$$
  2. $$f'(-1)\cdot f'(-4)+f'(1)$$
  3. $$f'(-1)-f'(1)-f'(-2)$$
  4. $$f'(-1)\cdot f'(4)+f'(-2)$$

является наименьшим? В ответе укажите номер этого выражения.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8318

На рисунке изображен график функции $$y=f'(x)$$ , где $$f'(x)$$ ‐ производная функции $$y=f(x)$$, и отмечены 7 точек: A, B, C, D, E, F, G. Сколько из этих точек принадлежат промежуткам возрастания функции?

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8336

Когда Хакер Zero занят делом, температура его процессора растёт. Справа представлен график производной от функции температуры процессора за сутки, длящиеся от ‐12 до 12 по оси абсцисс. Определите, сколько часов за эти сутки хакер был занят делом?

Ответ: 11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8674

На рисунке изображен график функции $$y=f'(x)$$, где $$f'(x)$$ ‐ производная функции $$y=f(x)$$, определенной на интервале (‐19;2) Найдите наибольшую из точек экстремума функции $$y=f(x)$$.

Ответ: -6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8691

На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-4;7). В какой точке отрезка [-2; 2] функция $$f(x)$$ принимает наименьшее значение?

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8711

На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-3;8). В какой точке отрезка [-2; 3] функция $$f(x)$$ принимает наименьшее значение?

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8734

На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ — производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-1;13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $$f(x)$$ параллельна прямой $$y=x+18$$ или совпадает с ней.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8753

На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-2;11). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $$f(x)$$ параллельна прямой $$y=-2x-5$$ или совпадает с ней.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8772

Прямая $$y=8x+11$$ параллельна касательной к графику функции $$y=x^{2}+7x-7$$. Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: 0,5
 

Задание 8791

Прямая у=6х+7 параллельна касательной к графику функции у=х2-5х+6. Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: 5,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8865

На рисунке изображен график неравномерного прямолинейного движения тела и касательная к этому графику в точке с абсциссой $$t_{0}$$. По оси абсцисс откладывается время в секундах, по оси ординат – расстояние в метрах. Найдите мгновенную скорость этого тела в момент времени $$t_{0}$$. Ответ дайте в м/с.

Ответ: 0,625
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8885

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=t^{2}-9t-22$$, где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 3 м/с?

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8905

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=\frac{1}{3}x^{3}-6t+20$$, где х-расстояние от точки отсчёта в метрах, t-время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 3 м/с?

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9037

Функция задана графиком, изображенном на рисунке 1. Один из графиков, изображенных на рисунке 2 является графиком ее производной. Какой это график? В ответе укажите его номер.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9058

На рисунке изображён график функции $$y=F(x)$$-одной из первообразных функции f(х), определённой на интервале (-3;6). Найдите количество решений уравнения f(х)=0 на отрезке [-2; 5].

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9104

На рисунке изображён график функции y=F(x) одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (-3;6). Найдите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-2; 5].

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9141

Прямая $$y=5-x$$ является касательной к графику функции $$y=ax^{2}+5x+3$$. Найдите a

Ответ: -4,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9153

На рисунке изображены график функции $$y=f(x)$$ и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции $$f(x)$$ в точке х0.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9239

На рисунке изображён график функции $$y=f(x)$$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: x1, x2, ... , x8. Найдите количество точек, в которых производная функции $$f(x)$$ положительна.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9336

На рисунке изображен график функции $$y=f'(x)$$ , где $$f'(x)$$ ‐ производная функции $$y=f(x)$$, определенной на интервале (‐2;9). В какой из точек 4, 5, 6, 7 значение функции $$y=f(x)$$ будет наибольшим? В ответе укажите эту точку.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9356

На рисунке изображён график функции $$y=f'(x)$$, определённой на интервале (-7; 8). F(х) - одна из первообразных функции $$y=f(x)$$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции F(х) параллельна прямой у=-х+2 или совпадает с ней.

 

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9376

На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-19; 3). Найдите количество точек экстремума функции $$f(x)$$, принадлежащих отрезку [-17;-4].

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9481

На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ - производной функции f(х). На оси абсцисс отмечено девять точек: х1 х2, ..., х9. Найдите количество точек, лежащих на промежутках возрастания функции f(х).

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9501

На рисунке изображен график функции $$y=f'(x)$$ , где $$f'(x)$$ ‐ производная функции $$y=f(x)$$, определенной на интервале (‐18;4). Найдите точки максимума функции $$y=f(x)$$. В ответ запишите их сумму.

Ответ: -12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9521

Прямая $$y=-5x+6$$ является касательной к графику функции $$28x^2+23x+c$$. Найдите с.

Ответ: 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9626

Функция задана графиком. Какой из представленных ниже графиков является графиком ее производной? В ответе укажите его номер.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9654

На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ - производной функции f(х), определённой на интервале (-4;8). Найдите точку экстремума функции f(х), принадлежащую отрезку [1;6].

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9673

Функция у = f (x) определена на промежутке [‐4;4]. На рисунке приведен график её производной. Найдите количество точек графика функции у=f(x), касательная в которых образует с положительным направлением оси Ох угол $$50^{\circ}$$ .

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9774

На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определенной на интервале (‐5;19). Найдите количество точек максимума функции $$f(x)$$, принадлежащих отрезку [‐3;15].

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9794

На рисунке изображены график функции $$y=f(x)$$ и касательная к нему в точке с абсциссой $$x_{0}$$. Найдите значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_{0}$$.

Ответ: 1,6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9869

На рисунке изображён график производной функции y = f'(x), определённой на интервале (–4; 5). Найдите сумму абсцисс точек экстремума функции f(x).

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9894

На рисунке изображен график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки ‐2;2;3;4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9941

На рисунке изображен график функции f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке x0. Уравнение касательной дано на рисунке. Найдите значение производной функции y=2f(x)-1 в точке x0

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10045

На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ производной функции f(x). На графике отмечены семь точек. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10066

Ракета движется прямолинейно по закону $$x=0,25e^{4t}+12$$ (где x ‐ расстояние от поверхности Земли в метрах, t ‐ время в секундах). С какой скоростью (в м/с) стартовала ракета?

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10089

На рисунке изображен график первообразной $$y=F(x)$$ некоторой функции $$y=f(x)$$, определенной на интервале (-16;2). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $$f(x)$$ на отрезке [-10;4]

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10108

Материальная точка М начинает движение из точки А и движется по прямой на протяжении 10 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки А до точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат S – расстояние в метрах. Определите, сколько раз за время движения скорость точки М обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10127

На рисунке изображен график некоторой функции $$y=f(x)$$. Одна из первообразных этой функции равна $$F(x)=-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^2-4x+2$$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Ответ: 4,5
 

Задание 10146

На рисунке изображен график некоторой функции $$y=f(x)$$. Пользуясь графиком, вычислите интеграл $$\int_{0}^{3}f(x)dx$$

Ответ: 13,5
 

Задание 10161

Функция $$y=f(x)$$ определена на промежутке (‐2;7). На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.

Ответ: 3
 

Задание 10186

Наблюдение за космическим телом показало, что расстояние (в километрах) между этим телом и Землей увеличивается по закону $$S=1,8\cdot 10^{5}+0,5\cdot10^{5}\sqrt{t}$$, где t — время в секундах от момента начала наблюдения. Через сколько секунд после начала наблюдения скорость удаления тела от Земли составит 103 км/с?

Ответ: 625
 

Задание 10207

Найдите значение функции $$y=\frac{3f(x)-2f(-x)}{2g(x)-3g(-x)}$$ в точке x0, если известно, что функция $$y=f(x)$$ четная, функция $$y=g(x)$$ нечетная, $$f(x_0)=5$$, $$g(x_0)=1$$

Ответ: 1
 

Задание 10254

На рисунке изображен график производной функции $$y=f(x)$$, заданной на отрезке [‒ 2; 6]. Найдите число точек на этом отрезке, в которых касательная к графику функции $$f(x)$$ параллельна биссектрисе первой четверти.

Ответ: 4
 

Задание 10280

Точка движется по координатной прямой согласно закону $$x(t)=3+2t+t^{2}$$, где $$x(t)$$ ‐ координата точки в момент времени t . В какой момент времени скорость точки будет равна 5?

Ответ: 1,5
 

Задание 10384

Под каким углом пересекаются касательные к графикам функций $$y=\cos x$$ в точке $$x_{0}=\frac{3\pi}{2}$$ и $$y=\sqrt{3}\cos x$$ в точке $$x_{0}=\frac{\pi}{2}$$ ? Ответ запишите в градусах.

Ответ: 15
 

Задание 10434

На рисунке изображен график производной функции $$y=f(x)$$ на отрезке [-4;4]. Определите количество касательных к графику функции $$y=f(x)$$, угловой коэффициент которых равен ‐2.

Ответ: 2
 

Задание 10480

На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$. Пользуясь графиком, вычислите $$F(10)-F(2)$$, где $$F(x)$$ ‐ одна из первообразных функции $$y=f(x)$$.

Ответ: 20
 

Задание 10490

На рисунке изображен график четной функции $$y=g(x)$$ на отрезке [-4;0]. Функция определена на всей числовой оси. Вычислите $$g(4)+2g(1)-\frac{g(0)}{g(2)}$$

Ответ: -1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10521

На рисунке изображён график функции у = f(x) и одиннадцать точек на оси абсцисс: x1, х2, х3, х4, x5, х6, х7, x8, x9, x10, х11. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Производная принимает отрицательное значение в точках, в окрестности которых функция f(x) убывает. Выберем такие точки функции, имеем: x1, х2, x3, x5, x10, x11 , то есть в 6 точках

 

Задание 10549

Найдите координату $$x$$ точки, в которой касательная к графику функции $$y=\frac{x^2}{2}$$ точке $$x_0=4$$ пересекает ось абсцисс.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$y^{'}={\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{'}=$$$$\frac{2*x}{2}=x\to y^{'}\left(4\right)=4\to k=4,$$ где$$\ y_1=k*x+b\ \ $$- уравнение касательной. $$y\left(4\right)=\frac{4^2}{2}=8\to y_1=8+4*\left(x-4\right)=$$$$4*x-8\to 4*x-8=0\to x=2$$ - касательная пересекает $$Ox$$
 

Задание 10569

Функция $$y=f\left(x\right)$$ определена на промежутке $$\left(-2;7\right)$$. На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку $$x_0$$, в которой функция $$f\left(x\right)$$ принимает наибольшее значение.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть На графике производной $$f'\left(3\right)=0$$, при этом при $$x<3:f'(x)>0$$, при $$x>3:f'\left(x\right)<0\to x=3$$ - точка максимума и в ней на данном промежутке наибольшее значение функции.
 

Задание 10589

На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$, определенной на интервале $$(-6;8)$$. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$f'\left(x\right)>0$$ на промежутках возрастания $$f(x)$$ т.е. $$x\in \ \left[-3;0\right]\cup \left[\approx 4,5;7\right]$$ без учета точек максимума и минимума, т.е. -3;0 и 7. Тогда целые $$x:\ -2;-1;5;6\to $$ 4 целых точки
 

Задание 10609

На рисунке изображен график $$y=f'\left(x\right)$$ - производной непрерывной функции $$f(x)$$, определенной на интервале $$\left(-4;7\right)$$. Найдите количество точек минимума функции $$f(x)$$, принадлежащих отрезку $$\left[-3;6\right]$$.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Точка минимума там, где график переходит с отрицательной полуоси $$O_y$$, в положительную: -2 и 5; т.к. $$f(x)$$ - непрерывная и $$f'(x)<0$$ при $$x\to 2$$, а далее $$f'(x)>0$$ то $$x=2$$ тоже точка минимума $$\to $$ 3 точки.
 

Задание 10629

Функция $$y=f\left(x\right)$$ определена на промежутке $$(-4;4)$$. На рисунке изображен её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой $$x_0=1$$. Вычислите значение производной функции $$g\left(x\right)=16\cdot f\left(x\right)-6$$ в точке $$x_0=1$$.

Ответ: 0,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$g'\left(x\right)=16f'\left(x\right)=16\cdot \frac{1}{4}=4$$. Найдем $$f'\left(x\right):{\ f}'\left(x\right)={\tan \alpha \ }=\frac{1}{4}=0,25$$
 

Задание 10649

При движении тела по прямой расстояние S (в метрах) до точки отсчета изменялось по закону: $$S\left(t\right)=5t^2-t^3+9t$$, где t - время в секундах, прошедшее от начала движения. Через сколько секунд после начала движения ускорение тела было равно 1 м/с$${}^{2}$$?

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S'\left(t\right)=V\left(t\right);$$

$$V'\left(t\right)=a\left(t\right)\to$$ $$S''\left(t\right)=a(t)$$

$${\left(5t^2-t^3+9t\right)}'=10t-3t^2+9;$$
$${\left(10t-3t^2+9\right)}'=10-6t$$

Тогда $$10-6t=1\to 6t=9\to t=1,5$$

 

Задание 10685

Прямая $$y=7x+28$$ является касательной к графику функции $$y=ax^2-21x+3a$$. Найдите значение коэффициента $$a$$, если известно, что абсцисса точки касания положительна.

Ответ: 14
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Т. к. касательная, то $$(7x+28)'=(ax^2-21x+3a)'$$ и $$7x+28=ax^2-21x+3a$$.

Получим: $$\left\{ \begin{array}{c} 7=2ax-21 \\ ax^2-28x+3a-28=0 \\ x>0 \end{array} \right.\to $$$$\left\{ \begin{array}{c} a=\frac{14}{x} \\ 14x-28x+\frac{42}{x}-28=0 \\ x>0 \end{array} \right.$$; $$\frac{42}{x}-14x-28=0\to$$$$ -14x^2-28x+42=0\to$$$$ x^2+2x-3=0\to$$

$$\to \left[ \begin{array}{c} x_1=-3<0 \\ x_2=1\to a=\frac{14}{1}=14 \end{array} \right.$$

 

Задание 10725

На рисунке изображён график функции $$у = f(x)$$. На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: -1
Скрыть

1. Значение производной положительно в некоторой точке x, если в окрестности этой точки функция возрастает. Наоборот, если в окрестности точки x функция убывает, то производная в ней отрицательна. Причем значение производной тем больше, чем сильнее изменение функции в окрестности точки x.

2. Выберем точку на графике, в которой функция возрастает наибольшим образом. Это точка -1.

 

Задание 10745

На рисунке изображён график функции $$у = f(x)$$. На оси абсцисс отмечены точки -2, 1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: 1
Скрыть

Значение производной положительно в некоторой точке $$x$$, если в окрестности этой точки функция возрастает. Наоборот, если в окрестности точки $$x$$ функция убывает, то производная в ней отрицательна. Причем значение производной тем больше, чем сильнее изменение функции в окрестности точки $$x$$.

Выберем точку на графике, в которой функция возрастает наибольшим образом. Это точка 1.

 

Задание 10814

Функция $$f(x)$$ определена при всех действительных $$x$$. На рисунке изображен график $$f'(x)$$ её производной. Найдите значение выражения $$f\left(3\right)-f(1)$$.

Ответ: 6
Скрыть $$f'\left(x\right)=2x-1\to f\left(x\right)=x^2-x+C$$. Тогда $$f\left(3\right)-f\left(1\right)=9-3+C-1+1-C=6$$.
 

Задание 10834

На рисунке изображён график $$у\ =\ f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$. На оси абсцисс отмечены девять точек: $$x_1,\ x_2,\dots ,x_9$$. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции $$f(x)$$?

Ответ: 4
Скрыть При возрастании функции значение производной положительно. Следовательно, чтобы определить точки, в которых производная возрастает, нужно выбрать те из них, которые находятся выше оси OX. Анализ рисунка показывает, что это точки $$x_1,x_2,x_5,x_6$$, т.е. 4 точки.
 

Задание 10853

На рисунке изображён график функции $$у\ =\ f(x)$$, определённой на интервале $$(-7;\ 7)$$. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ: 8
Скрыть Положительный знак производной означает, что в точке взятия производной функция возрастает. Проанализируем график, представленный на рисунки из которого следует, что производная будет положительная в целых точках: $$x=-6;-5;-3;-1;2;3;4;5$$, т.е. в 8 точках.
 

Задание 10872

На рисунке изображён график $$у=f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале$$\ (-3;\ 19)$$. Найдите количество точек максимума функции $$f(х)$$, принадлежащих отрезку $$[-2;\ 15]$$

Ответ: 1
Скрыть Функция $$f(x)$$ принимает минимумы или максимумы в точках, где производная равна нулю, т.е. пересекает ось Ox. Чтобы определить только точки максимума нужно выбрать точку $$f'\left(x\right)=0$$, которой предшествует положительное значение производной, т.е. когда график производной пересекает ось Ox из положительной области в отрицательную. Анализ рисунка показывает, что на интервале от -2 до 15 это точка $$x=10$$, т.е. одна точка.
 

Задание 10891

На рисунке изображён график функции $$y =\ f(x)$$, определённой на интервале (-3;10). Найдите количество точек, в которых производная функции $$f(x)$$ равна 0.

Ответ: 10
Скрыть Значение производной в точке - это тангенс угла наклона касательной к оси OX, проведенной в этой точке. Производная будет принимать нулевые значения в точках максимума и минимума функции $$f(x)$$. Анализируя рисунок, видим, что это точки $$x=-2;-1;0;1;2;3;6;7;8;9$$, т.е. 10 точек.
 

Задание 10929

На рисунке изображён график функции $$у = f(x)$$, определённой на интервале (-5; 9). Найдите количество решений уравнения $$f'(x) = 0$$ на отрезке [-2; 8].

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$f'(x)\ =\ 0$$ там, где точки перегиба (отмечены на рисунке) $$\to $$ 8 точек, но на интервале [-2; 8] их 7 штук.
 

Задание 10993

На графике функции $$у\ =\ f\ (x)$$ отмечены четыре точки с абсциссами $$-3,\ -1,\ 1,\ 3.$$ По данному графику определите, в какой из этих точек значение производной $$f'(x)$$ будет наибольшим. (В ответе укажите абсциссу этой точки).

Ответ: -3
Скрыть $$f'\left(x\right)={\tan \alpha \ }$$, где $$\alpha$$ - угол м/у $$Ox$$ и касательной. При этом при $$\alpha \to 90{}^\circ \left(\alpha <90{}^\circ \right),\ {\tan \alpha \ }\to max\to -3$$
 

Задание 11013

На рисунке изображены график функции $$y=f(x)$$ и касательная к этому графику, проведённая в точке $$x_0$$. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции $$y=4f\left(x\right)-3$$ в точке $$x_0$$

Ответ: -3
Скрыть Сначала найдем значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$. Как известно значение производной равно тангенсу угла наклона касательной к оси OX. Найдем его из уравнения касательной, имеем: $$x_1=-2:y_1=-\frac{3}{4}\cdot \left(-2\right)+6,5=8$$; $$x_2=2:y_2=-\frac{3}{4}\cdot 2+6,5=5$$ и тангенс угла наклона к оси OX есть $${\tan \alpha \ }=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{5-8}{2-(-2)}=-\frac{3}{4}.$$ Функция $$y=4f\left(x\right)-3$$ масштабирует начальную функцию по оси OY в 4 раза, следовательно, и производная также возрастет в 4 раза. Смещение -3 не оказывает на значение производной никакого влияния, получим: $$4{\tan \alpha \ }=-\frac{3}{4}\cdot 4=-3.$$
 

Задание 11079

В точке А графика функции $$y=x^3+4x+2$$ проведена касательная к нему, параллельная прямой $$y=4x+5.$$ Найдите сумму координат точки А.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $${\left(x^3+4x+2\right)}'={\left(4x+5\right)}'\leftrightarrow 3x^2+4=4\to x=0.$$ $$y\left(0\right)=0^3+4\cdot 0+2=2\to x+y=0+2=2.$$
 

Задание 11098

На рисунке изображён график функции $$у=f(x)$$, определённой на интервале $$(-8;\ 3)$$. Найдите количество точек, в которых производная функции $$f(x)$$ равна 0.

Ответ: 7
Скрыть Производная - это тангенс угла наклона касательной к оси OX и в точках максимума и минимума функции $$f(x)$$ она равна нулю. Подсчитаем число точек экстремума функции $$f(x)$$ на интервале от -8 до 3, получим 7 точек.
 

Задание 11118

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+2t-15$$, где х - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $$t\ =\ 7$$ с.

Ответ: 9
Скрыть

Как известно, скорость равна производной от пути, т.е. закон изменения скорости будет равен $$v\left(t\right)=\frac{dx\left(t\right)}{dt}=t+2.$$

В момент времени $$t=7$$, скорость будет равна $$v\left(t=7\right)=7+2=9$$ м/с.

 

Задание 11137

На рисунке изображены график дифференцируемой функции $$у\ =\ f(х)$$ и касательная к нему в точке с абсциссой $$x_0$$. Найдите значение производной функции $$f(х)$$ в точке $$x_0$$.

Ответ: -0,5
Скрыть

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к оси OX. Рассмотрим прямоугольный треугольник, показанный на рисунке ниже и найдем из него тангенс угла наклона касательной в точке $$x_0$$.

Противолежащий катет равен -3, прилежащий равен 6, следовательно, производная равна $$f'\left(x_0\right)={\tan \alpha \ }=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}=-0,5.$$

 

Задание 11268

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $$f(x)=2e^{5x-2}+5x^{3}$$ в точке с абсциссой $$x_{0}=0,4$$.

Ответ: 12,4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11334

На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ ‐ производной функции $$f(x)$$, определенной на интервале $$(-6;7)$$. В какой точке отрезка $$[-4;2]$$ функция $$f(x)$$ принимает наименьшее значение?

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 11369

На рисунке изображён график функции у=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции в точке х0=5

Ответ: -0,2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11413

Прямая, заданная уравнением $$y=bx+1$$ при некотором значении b является касательной к графику функции $$f(x)=\frac{1}{x+1}$$. Найдите b

Ответ: -1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11460

На рисунке изображен график функции у = f(x) и отмечены точки – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11704

Для четной функции f(x) и нечетной функции g(x) для всех действительных значений аргумента выполнено равенство $$f(x)+g(x)=x^{2}+3x-2$$. Найдите значения выражения $$f'(2)-4g'(3)$$

Ответ: -8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11723

На рисунке показан график функции $$f(x)$$. Найдите на отрезке [‐15; 17] наименьшую длину промежутка, на котором совпадают знаки функции $$g(x)=f(x)+333$$ и её производной.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11742

На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$, определенной и дифференцируемой на интервале $$(-10;2)$$. Найдите наименьшую из длин промежутков, в каждой точке каждого из которых производная этой функции неположительна.

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11761

На рисунке изображен график функции $$y=f'(x)$$ , где $$f'(x)$$ ‐ производная функции $$y=f(x)$$ , определенной на интервале $$(-1;12)$$ .

Значение какой из сумм:

  1. $$f(8)+f(10)$$
  2. $$f(5)+f(7)$$
  3. $$f(6)+f(8)$$
  4. $$f(7)+f(9)$$

будет наименьшим? В ответе укажите номер этой суммы.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11846

Движение двух материальных точек вдоль одной прямой заданы уравнениями $$S_{1}=4t^{2}+2$$, $$S_{2}=3t^{2}+4t-1$$, ( $$S_{1},S_{2}$$–пройденный путь в метрах, t ‐ время в секундах). Найдите скорости движения точек в те моменты, когда пройденные ими расстояния равны. В ответе укажите сумму всех полученных значений скоростей.

Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12289

На рисунке изображён график функции у = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой -4. Найдите значение производной функции в точке $$x_0\ =\ -4$$.

Ответ: -0,75
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12305

На рисунке изображён график $$y\ =\ f(x)$$ - производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены 10 точек: $$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10}.$$ Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции f(x)?

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12325

На рисунке изображён график $$y\ =\ f(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале $$(-8;\ 3).$$ В какой точке отрезка$$\ [-5;\ 0]$$ функция $$f(x)$$ принимает наибольшее значение?

Ответ: -3
 

Задание 12345

На рисунке изображён график функции $$y\ =\ f(x)$$, определённой на интервале (-9; 2). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Ответ: 4
 

Задание 12366

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x\left(t\right)=\frac{1}{2}t^3-2t^2+6t+25$$, где х - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $$t\ =\ 4.$$

Ответ: 14
 

Задание 12386

На рисунке изображён график $$y\ =\ f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-4; 7). В какой точке отрезка [-2; 2] функция $$f(x)$$ принимает наименьшее значение?

Ответ: 2
 

Задание 12406

На рисунке изображён график $$y=\ f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-3; 8). В какой точке отрезка [-2; 3] функция $$f(x)$$ принимает наименьшее значение?

Ответ: 3

Задание 12426

На рисунке изображён график $$y\ =\ f(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-1; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $$f(x)$$ параллельна прямой $$y\ =\ x\ +\ 18$$ или совпадает с ней.

Ответ: 3
 

Задание 12445

На рисунке изображён график $$y\ =\ f(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-2; 11). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $$f(x)$$параллельна прямой $$y\ =\ -2x\ -\ 5\ $$или совпадает с ней.

Ответ: 6
 

Задание 12464

Прямая $$y\ =\ 8x+11$$ параллельна касательной к графику функции $$y\ =\ x^2\ +\ 7x-7.$$ Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: 0,5
 

Задание 12486

Прямая $$y\ =\ 6x\ +\ 7$$ параллельна касательной к графику функции $$y=\ x^2\ -5x\ +\ 6.$$ Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: 5,5
 

Задание 12506

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x\left(t\right)=\ t^2\ -\ 9t\ -\ 22$$, где x - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 3 м/с?

Ответ: 6
 

Задание 12525

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x\left(t\right)=\frac{1}{3}t^3-6t\ +\ 20$$, где х - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 3 м/с?

Ответ: 3
 

Задание 12544

На рисунке изображён график функции $$y\ =\ F(x)$$ - одной из первообразных функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-3; 6). Найдите количество решений уравнения $$f(x)\ =\ 0$$ на отрезке [-2; 5].

Ответ: 11
 

Задание 12566

На рисунке изображён график функции $$y\ =\ F(x)$$ - одной из первообразных функции $$f(x)$$, определённой на интервале $$(-3;\ 6).$$

Найдите количество решений уравнения $$f(x)\ =\ 0$$ на отрезке $$[-2;\ 5].$$

Ответ: 7
 

Задание 12586

На рисунке изображены график функции $$y\ =\ f(x)$$ и касательная к нему в точке с абсциссой $$x_0$$. Найдите значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$

Ответ: -2
 

Задание 12606

На рисунке изображён график функции $$y=\ f(x).$$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $$x_1,\ x_2,\ ...\ x_8.$$ Найдите количество точек, в которых производная функции $$f(x)$$ положительна.

Ответ: 7

Задание 12626

На рисунке изображён график функции $$y\ =\ f(x),$$ определённой на интервале (-7; 8). $$F(x)$$ - одна из первообразных функции $$y\ =\ f(x).$$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $$F(x)$$ параллельна прямой $$y=-x+2$$ или совпадает с ней.

Ответ: 7
 

Задание 12646

Прямая $$y=-5x+6$$ является касательной к графику функции $$28x^2+23x+c.$$ Найдите $$c.$$

 

Ответ: 13
 

Задание 12666

На рисунке изображён график $$y=\ f'(x)$$ - производной функции $$f\left(x\right),$$ определённой на интервале (-4; 8). Найдите точку экстремума функции $$f\left(x\right),$$ принадлежащую отрезку [1; 6].

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12686

На рисунке изображены график функции $$y=f(x)$$ и касательная к нему в точке с абсциссой $$x_0.$$ Найдите значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0.$$

Ответ: 1,6
 

Задание 12706

На рисунке изображён график $$y\ =\ f'(x)$$ - производной функции $$f\left(x\right)$$, определённой на интервале (-6; 9). Найдите количество точек максимума функции $$f\left(x\right)$$, принадлежащих отрезку [-3; 7]. 

Ответ: 1
 

Задание 12726

На рисунке изображён график $$y\ =\ f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-9; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику $$y\ =\ f(x)$$ параллельна прямой $$y=-x+2$$ или совпадает с ней.

Ответ: 6
 

Задание 12745

На рисунке изображён график функции $$y\ =\ f(x)$$ и восемь точек на оси абсцисс: $$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8.$$ В скольких из этих точек производная функции $$f(x)$$ отрицательна?

Ответ: 5
 

Задание 12766

На рисунке изображён график функции $$y=\ f(x)$$ и одиннадцать точек на оси абсцисс: $$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11}.$$ В скольких из этих точек производная функции $$f(x)$$ отрицательна?

Ответ: 6
 

Задание 12786

На рисунке изображён график некоторой функции $$y\ =\ f(x).$$ Одна из первообразных этой функции равна $$F\left(x\right)=\ -\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2-\ 4x\ +\ 2.$$

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Ответ: 4,5
 

Задание 12807

На рисунке изображён график некоторой функции $$y\ =\ f(x).$$ Одна из первообразных этой функции равна $$F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2+2x-3$$

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Ответ: 6
Скрыть

Площадь фигуры, ограниченной по оси OY графиком функции f(x), а по оси OX диапазоном значений от 0 до 3, можно вычислить с помощью определенного интеграла вида:

$$\int_{0}^{3}f(x)dx=F(3)-F(0)$$, где F(x) - первообразная от f(x) .

Значение первообразной дано по условию задачи, получаем значение площади

$$F(3)=\frac{1}{3}3^3-3^2+2\cdot 3-3=$$
$$F(0)=\frac{1}{3}0^3-0^2+0x-3=-3$$
$$F(3)-F(0)=3-(-3)=6$$
 

Задание 12827

На рисунке изображён график функции $$y\ =\ f(x).$$ На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: -1
Скрыть

1. Значение производной положительно в некоторой точке x, если в окрестности этой точки функция возрастает. Наоборот, если в окрестности точки x функция убывает, то производная в ней отрицательна. Причем значение производной тем больше, чем сильнее изменение функции в окрестности точки x.

2. Выберем точку на графике, в которой функция возрастает наибольшим образом. Это точка -1.

 

Задание 12846

На рисунке изображён график функции $$y\ =\ f(x).$$ На оси абсцисс отмечены точки -2, 1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: 1
Скрыть

1. Значение производной положительно в некоторой точке x, если в окрестности этой точки функция возрастает. Наоборот, если в окрестности точки x функция убывает, то производная в ней отрицательна. Причем значение производной тем больше, чем сильнее изменение функции в окрестности точки x.

2. Выберем точку на графике, в которой функция возрастает наибольшим образом. Это точка 1.

 

Задание 12868

На рисунке изображён график $$y\ =\ f'(x)$$- производной функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-19; 3). Найдите количество точек экстремума функции $$f(x)$$, принадлежащих отрезку [-17; -4].

 

Ответ: 4
 

Задание 12887

На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$. На оси абсцисс отмечено девять точек: $$x_1,x_2,\dots ,x_9.$$ Найдите количество точек, лежащих на промежутках возрастания функции $$f(x)$$.

Ответ: 6
 

Задание 12908

На рисунке изображен график функции $$y=F(x)$$ одной из первообразных некоторой функции $$f$$, определенной на интервале $$(-3;8)$$. Определите количество целых чисел $$x_{i}$$, для которых $$f(x_{i})$$ отрицательно.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13365

На рисунке изображён график y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: -1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13384

На рисунке изображён график y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13535

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=-\frac{1}{3}t^{3}+4t^{2}-3t+15$$ , где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=7 с.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13554

Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t)=-\frac{1}{2}t^{4}+4t^{3}-t^{2}-t+14$$ , где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=5 с.
Ответ: 39
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13685

На рисунке изображён график y=f’(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 6). Найдите промежутки убывания функции f(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13768

На рисунке изображён график у=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-1; 17). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13790

Прямая $$y=9x+6$$ является касательной к графику функции $$y=ax^{2}-19x+13$$. Найдите а.

Ответ: 28
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13894

Прямая $$y=5x+11$$ является касательной к графику функции $$y=x^{3}+4x^{2}+9x+11$$. Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14023

На рисунке изображены график функции $$y=f(x)$$ и касательная к нему в точке с абсциссой $$x_{0}$$. Найдите значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_{0}$$.

Ответ: 0,2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14354

На рисунке изображен график неравномерного прямолинейного движения тела и касательная к этому графику в точке с абсциссой $$t_{0}=6$$. По оси абсцисс откладывается время в секундах, по оси ординат – расстояние в метрах. Найдите мгновенную скорость этого тела в момент времени $$t_{0}$$. Ответ дайте в км/час.

Ответ: 4,2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14373

На рисунке изображен график неравномерного прямолинейного движения тела (материальной точки). По оси абсцисс откладывается время в секундах, по оси ординат – расстояние в метрах. Найдите среднюю скорость этого тела на участке АВ (т.е. с 11‐й по 15‐ю секунду его движения включительно). Ответ дайте в км/час.

Ответ: 6,3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!