Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / (C2) Стереометрическая задача

Задание 1154

Длина ребра пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра ABCD равна 1. Най­ди­те угол между пря­мы­ми DM и CL, где M — се­ре­ди­на ребра BC, L — се­ре­ди­на ребра AB.

Ответ: $$\arccos \frac{1}{6}$$

Задание 1155

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми SB и AD.

Ответ: $$\frac{1}{4}$$

Задание 1156

Сто­ро­на пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 равна 8. Вы­со­та этой приз­мы равна 6. Найти угол между пря­мы­ми CA1 и AB1.

Ответ: $$ \arccos 0.04$$

Задание 1157

В пи­ра­ми­де DABC пря­мые, со­дер­жа­щие ребра DC и AB, пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а) По­строй­те се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку E — се­ре­ди­ну ребра DB, и па­рал­лель­но DC и AB. До­ка­жи­те, что по­лу­чив­ше­е­ся се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б) Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка, если DC = 24, AB =10.

Ответ: $$ \arccos \frac{119}{169} $$

Задание 1158

Точка E — се­ре­ди­на ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и B1D.

Ответ: $$ \arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$$

Задание 1159

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $$8\sqrt{2}$$. Высота призмы равна 6. Найдите угол между прямыми AC1 и CB1.

Ответ:

Задание 1160

На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 от­ме­че­на точка E так, что CE : EC1 = 1 : 2. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и AC1.

Ответ: $$ \arccos \frac {2\sqrt{30}}{15}$$

Задание 1161

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равно 6, а ко­си­нус угла ASB при вер­ши­не бо­ко­вой грани равен   $$\frac{1}{9}$$  Точка M — се­ре­ди­на ребра SC. Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми BM и SA.

Ответ: $$\frac{1}{3\sqrt{41}}$$

Задание 1162

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD най­ди­те угол между вы­со­той тет­ра­эд­ра DH и ме­ди­а­ной BM бо­ко­вой грани BCD.

Ответ: $$\arccos \frac{\sqrt{2}}{3}$$

Задание 1163

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те угол между пря­мы­ми SB и CD.

Ответ: 60°
 

Задание 2438

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ:В1М=1:3.
Через точки М и С1 параллельно BD1 проведена плоскость β.
А) Докажите, что плоскость β проходит через середину ребра АА1.
Б) Найдите площадь сечения куба плоскостью β, если известно, что АВ=12.

Ответ: $$30\sqrt{26}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2499

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 $$AB=2$$, $$AD=1$$, $$AA_{1}=3$$. Точка К лежит на ребре СС1 так, что $$CK\div C_{1}K=5\div 4$$.

А) Докажите,что прямые DB1 и D1K перпендикулярны.

Б) Найдите расстояние от точки D1 до полоски KA1D.

Ответ: $$\frac{18}{\sqrt{385}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
A) введем ортогональную систему координат: B1(0;0;3); D(1;2;0); K(1;0;$$\frac{5}{9}\cdot3$$); D1(1;2;3); $$\vec{B_{1}D}\left \{ 1;2;-3\right\}$$; $$\vec{K_{1}D}\left \{ 0;2;\frac{4}{3}\right\}$$; 

 

 

Задание 2830

Дана правильная пирамида PABCD с вершиной в точке Р. Через точку В
перпендикулярно прямой DP проведена плоскость Ω, которая пересекает DP в точке К.
А) Докажите, что прямые ВК и АС перпендикулярны.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна 6 и высота пирамиды равна 6.

Ответ: $$12\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2867

Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам АD, AB и BC тетраэдра ABCD, причем АМ : МD = 2 :3, ВN : АN = 1 : 2, ВК = КС.
а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K.
б) Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

Ответ: $$3:1$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) В и М $$\in$$ (ABD) - соединяем В и K $$\in$$ (ABC) - соединяем $$BK\cap AC=P$$ M и P $$\in$$ (ADC) - соединяем $$\Rightarrow$$ $$MP\cap DC=Q$$ $$\Rightarrow$$ MQKN - искомая плоскость.

б) 1. Проведем  $$CO\parallel AB\Rightarrow \bigtriangleup BKN\sim \bigtriangleup COK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BN}{CO}=\frac{BK}{CK}=\frac{NK}{KO}$$ $$\bigtriangleup POK\sim \bigtriangleup PNA$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PC}{CA}=\frac{CO}{AN}=\frac{PO}{PN}$$

2. Возьмем $$\frac{BN}{CO}=\frac{BK}{CK}$$ и $$\frac{PC}{PA}=\frac{CO}{AN}$$ и умножим $$\frac{BN}{CO}\cdot\frac{CO}{AN}=\frac{BK}{CK}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$frac{BN}{AN}=\frac{BK}{CK}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{y}{2y}=\frac{z}{z}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PC}{AP}=\frac{1}{2}$$

3. Аналогично $$\frac{DM}{AM}=\frac{CP}{AP}\cdot\frac{DQ}{QC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{3x}{2x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{DQ}{QC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{DQ}{QC}=\frac{3}{1}$$

 

Задание 2945

На диагонали АВ1 грани АВВ1А1 треугольной призмы взята точка М так, что АМ : МВ1 = 5 : 4.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку М, параллельно диагоналям А1С и ВС1 двух других граней.
б) Найдите в каком отношении плоскость сечения делит ребро СС1
Ответ: 2 : 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2992

Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.
а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.
б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.

Ответ: $$\frac{13\sqrt{3}}{2+2\sqrt{3}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) Пусть шар с центром в точке $$O_1$$ касается граней $$ABCD,AA_1D_1D,AA_1B_1B$$, соответственно шар с центром в точке $$O_2$$ касается граней $$A_1B_1C_1D_1,BB_1C_1C,DD_1C_1C$$.

Так как первый шар касается граней $$AA_1B_1B,AA_1D_1D$$, то его центр $$O_1$$ равноудален от указанных граней, то есть лежит на биссекторной плоскости двугранного угла c ребром $$AA_1$$, то есть на плоскости $$AA_1C_1C$$ (с учетом того, что $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ – куб).

Так первый шар касается граней $$ABCD,AA_1D_1D$$, то его центр $$O_1$$ равноудален от указанных граней, то есть лежит на биссекторной плоскости двугранного угла c ребром $$AD$$, то есть на плоскости $$AB_1C_1D$$ (с учетом того, что $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ – куб).

Но тогда точка $$O_1$$ лежит на прямой пересечения плоскостей $$AA_1C_1C,AB_1C_1D$$, то есть на $$AC_1$$ (естественно, раз шар находится внутри куба, то $$O_1$$ – точка отрезка $$AC_1$$).

Рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что и точка $$O_2$$ лежит на отрезке $$AC_1$$.

б) Очевидно, $$A_1C_1=13\sqrt2$$, $$AC_1=13\sqrt3$$. Очевидно, в силу симметрии, $$AO_1=C_1O_2$$ и $$AO_1=C_1O_2=\frac{13\sqrt3-2r}{2}$$, где $$r$$ – радиусы шаров.

Пусть, например, $$K_2$$ – точка касания второго шара с гранью $$A_1B_1C_1D_1$$ ($$K_2$$ принадлежит $$A_1C_1$$).

Треугольники $$AA_1C_1,O_2K_2C_1$$ подобны по двум углам, тогда $$\frac{AA_1}{O_2K_2}=\frac{AC_1}{O_2C_1}$$; $$\frac{13}{r}=\frac{13\sqrt2}{\frac{13\sqrt3-2r}{2}}$$; $$\frac{1}{r}=\frac{2\sqrt2}{13\sqrt3-2r}$$; $$2\sqrt2 r=13\sqrt3-2r$$; $$r(2\sqrt2+2)=13\sqrt3$$; $$r=\frac{13\sqrt3}{2\sqrt2+2}$$.

 

Задание 3035

Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна $$4\sqrt{2}$$ . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.
а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра AB равен 45°.
б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми.

Ответ: $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Введем ортогональную систему координат: $$CM=CB\cdot\sin60^{\circ}=4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}$$

$$\left.\begin{matrix}S(0;0;2)\\L(\sqrt{2};\sqrt{6};0)\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$SL \left \{ \sqrt{2};\sqrt{6};-2 \right \}$$

$$\left.\begin{matrix}C(0;0;0)\\M(0;2\sqrt{6};0)\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$CM\left\{0;2\sqrt{6};0\right\}$$

$$\cos(SL;CM)=\frac{|\sqrt{2}\cdot0+\sqrt{6}\cdot2\sqrt{6}+(-2)\cdot0|}{\sqrt{2+6+4}\cdot\sqrt{4\cdot6}}=$$

$$=\frac{2\sqrt{36}}{\sqrt{12}\cdot\sqrt{24}}=\frac{2\cdot6}{2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\angle (SL;CM)=45^{\circ}$$ ч.т.д.

2) Пусть $$LK\parallel CM\Rightarrow d(SL;CM)=d(C;(SLK))$$

$$K(\sqrt{2}; 2\sqrt{6}; 0)$$ Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение $$(SLK)$$

$$\left\{\begin{matrix}0\cdot a+0\cdot b+2\cdot c+d=0\\\sqrt{2}a+\sqrt{6}b+0\cdot c+d=0\\\sqrt{2}a+2\sqrt{6}b+0\cdot c+d=0\end{matrix}\right.$$

$$b=0;c=-\frac{d}{2};a=-\frac{\sqrt{2}d}{2}$$ $$-\frac{\sqrt{2}d}{2}x+0y-\frac{d}{2}z+d=0$$ $$\Rightarrow$$<

$$-\frac{\sqrt{2}}{2}x+0y-\frac{1}{2}z+1=0$$

$$d(C;(SLK))=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$<

$$=\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot0+0\cdot0-\frac{1}{2}\cdot0+1|}{\sqrt{\frac{2}{4}+0+\frac{1}{4}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

 

Задание 3077

В прямоугольном параллелепипде ABCDA1B1C1D1 на ребре C1D взята точка К так, что KC1=3KD1
А) Докажите, что плоскость АСК делит диагональ BD1 в отношении 4:1, считая от точки В.
Б) Найдите расстояние от точки D до плоскости ACK, если известно, что АВ=4, ВС=3,
СС1=2.

Ответ: $$\frac{24\sqrt{181}}{181}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) Построим через К прямую $$a\parallel AC$$ ($$a\cap A_{1}D_{1}=M$$) $$\Rightarrow$$ (АМКС) - искомая плоскость 1) Построим ($$BB_{1}D_{1}D$$) $$\Rightarrow$$ HN - линия пересечения ($$BB_{1}D_{1}D$$) и (АМКС) Пусть $$HN\cap BD_{1}=0$$ $$\Rightarrow$$ доказать $$\frac{BO}{OD_{1}}=\frac{4}{1}$$ Пусть $$B_{1}D_{1}\cap C_{1}A_{1}=Z$$ 2) $$A_{1}C_{1}\parallel KM$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MD_{1}K\sim \bigtriangleup A_{1}C_{1}D_{1}$$ $$\frac{D_{1}K}{D_{1}C_{1}}=\frac{D_{1}H}{D_{1}Z}=\frac{1}{4}$$ 3) $$\bigtriangleup BON\sim \bigtriangleup HOD_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BN}{HD_{1}}=\frac{BO}{OD_{1}}$$ $$BN=ZD_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ZD_{1}}{HD_{1}}=\frac{BO}{OD_{1}}=\frac{4}{1}$$ Ч.Т.Д Б) Введем ортогональную систему координат: пусть $$XA+BY+CZ+D=0$$ - уравнение (АМКС): $$A(0;4;0); C(3;0;0); K(3;3;2)$$ $$\left\{\begin{matrix}0\cdot a+4\cdot b+0\cdot c+d=0\\3a+0\cdot b+0\cdot c+d=0\\3a+3b+2c+d=0\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}4b+d=0\\3a+d=0\\3a+3b+2c+d=0\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}b=-\frac{d}{4}\\a=-\frac{d}{3}\\-d-\frac{3d}{4}2c+d=0\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}b=-\frac{d}{4}\\a=-\frac{d}{3}\\c=\frac{3d}{8}\end{matrix}\right.$$ $$-\frac{d}{3}x-\frac{d}{4}y+\frac{3d}{8}z+d=0$$ $$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y+\frac{3}{8}z+1=0$$ $$D(3;4;0)$$ $$d(D:(AMKC))=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$ $$=\frac{|-\frac{1}{3}\cdot3+-\frac{1}{4}\cdot4+\frac{3}{8}\cdot0+1|}{\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{9}{64}}}=$$ $$=\frac{|-1-1+1|}{\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{13}{64}}}=$$ $$=\frac{1}{\sqrt{\frac{181}{9\cdot64}}}=$$ $$=\frac{3\cdot8}{\sqrt{181}}=\frac{24\sqrt{181}}{181}$$

 

Задание 3159

В правильной треугольной пирамиде SABC точка К – середина ребра АВ. На ребре SC взята точка М так, что SM : СМ = 1:3. 

а) Докажите, что прямая МК пересекает высоту SО пирамиды в её середине.  
б) Найдите расстояние между прямыми МК и АС, если известно, что АВ=6, SA=4. 
Ответ: $$\frac{3\sqrt{21}}{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3205

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ=ВС=4, СС1=8. Точка К – середина ребра АВ, точка М – середина ребра ВС. Точка Р лежит на ребре DD1 так, что DP:PD1=3:5.
А) Докажите, что плоскость КМР перпендикулярна прямой DВ1.
Б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью КМР, а вершиной – точка D.

Ответ: 14
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3249

В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 точка К – середина ребра АВ.
а) Докажите, что плоскость СКD1 делит объем параллелепипеда в отношении 7:17.
Б) Найдите расстояние от точки D до плоскости СКD1, если известно, что ребра АВ, АD и АА1 попарно перпендикулярны и равны соответственно 6, 4 и 6.

Ответ: $$\frac{24\sqrt{41}}{41}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) 1) C и K соединим, C и D1 соединим

2) т.к. $$(ABB_{1})\parallel(DCC_{1})$$ $$\Rightarrow$$ $$CD_{1}\parallel a$$, а через точку К $$a\cap AA_{1}=M$$ $$\Rightarrow$$ $$D_{1}$$ и М соединим $$\Rightarrow$$ $$CD_{1}MK$$ - сечение

3) Продолжим $$D_{1}M$$ и $$CK$$ до пересечения в Н.

4) Пусть $$DD_{1}=x$$ $$DC=y$$ $$AD=z$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=x\cdot y\cdot z$$

$$V_{AMKDD_{1}C}=\frac{1}{3}AD(S_{AMK}+\sqrt{S_{AMK}\cdot S_{DD_{1}C}}+S_{DD_{1}C})$$

т.к. $$AK=\frac{1}{2}DC$$  и $$AK\parallel CD$$, $$CD_{1}\parallel KM$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMK\sim \bigtriangleup DD_{1}C$$

$$S_{DD_{1}C}=\frac{1}{2}x\cdot y$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{AMK}=\frac{1}{4}S_{DD_{1}C}=\frac{1}{8}x\cdot y$$

$$V_{AMKDD_{1}C}=\frac{1}{3}z\cdot(\frac{1}{8}xy+\sqrt{\frac{1}{8}xy\cdot\frac{1}{2}xy}+\frac{1}{2}xy)=$$

$$=\frac{1}{3}z\cdot(\frac{1}{8}xy+\frac{1}{4}xy+\frac{1}{2}xy)=\frac{1}{3}z\cdot\frac{7}{8}xy=$$

$$={7}{24}xyz$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{ocm}=xyz-\frac{7}{24}xyz=\frac{17}{24}xyz$$

5) $$\frac{V_{AMKDD_{1}C}}{V_{ocm}}=\frac{\frac{7}{24}xyz}{\frac{17}{24}xyz}=\frac{7}{17}$$

ч.т.д.

б) Вводим ортгональную систему координат:

$$C(6;0;0)$$

$$K(3;4;0)$$

$$D_{1}(0;0;6)$$

Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ уравнение $$(CKD_{1})$$:

$$\left\{\begin{matrix}6a+0b+0c+d=0\\3a+4b+0c+d=0\\0a+0b+6c+d=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}6a+d=0\\3a+4b+d=0\\6c+d=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{d}{6}\\-\frac{d}{6}+4b+d=0\\c=-\frac{d}{6}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{d}{6}\\b=-\frac{d}{8}\\c=-\frac{d}{6}\end{matrix}\right.$$

$$-\frac{d}{6}x-\frac{d}{8}y-\frac{d}{6}z+d=0$$

$$-\frac{1}{6}x-\frac{1}{8}y-\frac{1}{6}z+1=0$$

$$D(0;0;0)$$

$$d(D;(CKD_{1}))=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$

$$=\frac{|-\frac{1}{6}\cdot0-\frac{1}{8}\cdot0-\frac{1}{6}\cdot0+1|}{\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{1}{64}+\frac{1}{36}}}=$$

$$=\frac{1}{\sqrt{\frac{41}{64\cdot9}}}=\frac{3\cdot8}{\sqrt{41}}=\frac{24\sqrt{41}}{41}$$

 

Задание 3330

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.

а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания, равен 450.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC. 
Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3377

Основание и высота правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны AB=6, AA1=4.
а) Найдите угол между прямыми AB1 и B1C .
б) Найдите расстояние между прямыми A1B и B1C .

Ответ: а) $$\alpha = arccos(\frac{1}{26});$$ б) 2,4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3425

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Ответ: $$144+72\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а)

1) Опустим $$BN\perp$$ основанию $$\Rightarrow$$ $$BN\perp CD$$

2) Проведем $$MN\parallel AB$$ $$\Rightarrow$$ $$CD\parallel MN$$ $$\Rightarrow$$ $$(ABNM)$$ - ИСКОМАЯ

3) т.к. $$MN\parallel AB$$ и $$AB=MN$$ $$\Rightarrow$$ ABNM - прямоугольник $$\Rightarrow$$ $$MB=AN$$ ч.т.д.

б) $$V_{CABNM}=\frac{1}{3}CR\cdot S_{ABNM}=\frac{1}{3}(CO+OR)\cdot AB\cdot BN$$

$$AB=CO=6$$; $$BN=12$$

 из $$\bigtriangleup OMN$$ - равносторонний:

$$OR=\frac{\sqrt{3}}{2}OM$$ $$(\angle M=60^{\circ})$$ $$\Rightarrow$$ $$OR=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot6=3\sqrt{3}$$

$$V_{CABNM}=\frac{1}{3}\cdot(6+3\sqrt{3})\cdot6\cdot12=144+72\sqrt{3}$$

 

Задание 3662

В кубе $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ точка О1 – центр квадрата АВСD, точка О2 – центр квадрата $$CC_{1}D_{1}D$$

а) Докажите, что прямые А1О1 и В1О2 – скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми А1О1 и В1О2, если ребро куба равно 2.
Ответ: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Опустим $$O_{2}M\perp C_{1}D_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}M$$ - проекция $$B_{1}O_{2}$$ на $$(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})\Rightarrow(B_{1}MO_{2})$$ плоскость $$B_{1}O_{2}$$; достроим её до $$(B_{1}MM_{1}B)$$

2) Опустим $$O_{1}L\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}L$$ - проекция $$A_{1}O_{1}$$ на $$(AA_{1}D_{1}D)\Rightarrow(A_{1}O_{1}L)$$ плоскость $$A_{1}O_{1}$$; достроим её до $$(A_{1}LL_{1}B_{1})$$

3) $$BM_{1}\cap LL_{1}=H$$ $$B_{1}$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$B_{1}H$$ -линия пересечения $$(A_{1}LL_{1}B_{1})$$ и $$(B_{1}MM_{1}B)$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}O_{1}\cap(B_{1}MM_{1}B)$$ по $$B_{1}H$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}O_{1}$$ не пересекает $$B_{1}O_{2}$$ и $$A_{1}O_{1}$$ не параллельна $$B_{1}O_{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}O_{2}$$ и $$A_{1}O_{1}$$ - скрещивающиеся

б) 1) Введем ортогональную систему координат как на рисунке: $$B_{1}(0;0;2)$$; $$O_{2}(2;1;1)$$; $$A_{1}(0;2;2)$$

2) Пусть $$B_{1}L_{2}\parallel A_{1}L$$, тогда $$(B_{1}O_{2}L_{2})\parallel A_{1}L$$, $$d(A_{1}L; B_{1}O_{2})=d((B_{1}O_{2}L_{2});A_{1})$$

$$L_{2}(1;-1;0)$$

3) Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение $$(B_{1}O_{2}L_{2})$$

$$\left\{\begin{matrix}0\cdot x+0\cdot y+2z+d=0\\2x+1y+1z+d=0\\1x+(-1)\cdot y+0\cdot z+d=0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}2z+d=0\\2x+y+z+d=0\\x-y+d=0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}z=-\frac{d}{2}\\3x+z+2d=0\\x-y+d=0\end{matrix}\right.$$

$$3x-0,5d+2d=0$$

$$3x=-1,5d$$

$$x=-0,5d$$

$$-y+0,5d=0$$

$$y=0,5d$$

$$d((B_{1}O_{2}L_{2});A_{1})=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$

$$=\frac{|1\cdot0-1\cdot2+1\cdot2-2}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

 

Задание 3861

Основание пирамиды DABC - прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Высота пирамиды проходит через середину ребра AC, а боковая грань ACD - равносторонний треугольник.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро BC и произвольную точку M ребра AD, - прямоугольный треугольник.
б) Найдите расстояние от вершины D до этой плоскости, если M - середина ребра AD, а высота пирамиды ровна 6.
Ответ: $$2\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

 

а) 1) Пусть $$DH$$ - высота; $$\Rightarrow DH\perp ABC$$

2) Пусть $$MC\cap DH=N\Rightarrow NH\perp AC$$

$$\Rightarrow CH$$ - проекция $$NC$$ на $$(ABC)$$

3) т.к. $$AC\perp CB$$, то по теореме о трех перпендикулярах $$NC\perp CB$$

$$\Rightarrow$$ $$MC\perp CB$$

$$\Rightarrow\bigtriangleup MCB$$ - прямоугольный

б) 1) т.к. $$AC\perp CB$$ и $$CB\perp MC$$ $$\Rightarrow CB\perp(ADC)$$

$$\Rightarrow(BCM)\perp(ACD)$$

$$\Rightarrow$$ расстояние от D до $$(CBM)$$ - перпендикуляр $$DL\in(ADC)$$

2) т.к. $$\bigtriangleup ACD$$ - равносторонний и $$AM-MD, то $$CM\perp AD$$ 

$$\Rightarrow DM$$  - искомое расстояние

3) $$DC=\frac{DH}{\sin C}=\frac{6}{\sin60^{\circ}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$

$$\Rightarrow$$ $$MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}DC=2\sqrt{3}$$

 

Задание 4018

Куб целиком находится в правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S так, что одна грань куба принадлежит основанию, одно ребро целиком принадлежит грани SBC, а грани SAB и SAC содержат по одной вершине куба. Известно, что ребро АВ в 2 раза больше высоты пирамиды.

А) Докажите, что плоскость, проходящая через вершины куба, принадлежащие граням SAB и SAC, и вершину пирамиды, перпендикулярна плоскости ASD, где D – середина стороны ВС.
Б) Найдите отношение объемов пирамиды и куба.
Ответ: $$\frac{(2+3\sqrt{3})^{3}}{72}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть h - высота пирамиды, тогда $$AB=CB=AC=2h$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot2h\cdot2h\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}h^{2}$$ $$\Rightarrow$$

$$V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot h\cdot\sqrt{3}h^{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}h^{3}$$

2) Пусть KL - ребро куба; $$KL\in(SBC)$$;

$$(NMLK)\parallel(N_{1}M_{1}L_{1}K_{1})\cap SBC\Rightarrow KL\parallel CB$$;

аналогично: $$C_{1}B_{1}\parallel CB$$; $$A_{1}B_{1}\parallel B$$;$$A_{1}C_{1}\parallel AC$$

3) Пусть ребро куба - x $$\Rightarrow$$

$$d((ABC);(A_{1}B_{1}C_{1}))=x$$ - расстояние $$\Rightarrow$$

высота $$SA_{1}B_{1}C_{1}=h-x$$

4) Пусть $$SO_{1}$$- высота $$SABC$$, $$SO_{2}$$ - высота $$SA_{1}B_{1}C_{1}$$

$$\bigtriangleup SO_{2}B_{1}\sim\bigtriangleup SO_{1}B\Rightarrow\frac{SB_{1}}{SB}=\frac{SO_{2}}{SO_{1}}=\frac{h-x}{h}$$

$$\bigtriangleup SB_{1}A_{1}\sim\bigtriangleup SBA\Rightarrow\frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{SB_{1}}{SB}=\frac{h-x}{h}$$ $$\Rightarrow$$

$$A_{1}B_{1}=AB\cdot\frac{h-x}{h}=2h\cdot\frac{h-x}{h}=2(h-x)$$

5) $$\bigtriangleup NMA_{1}$$ - правильный; $$NA_{1}=NM=x$$ $$\Rightarrow$$

из $$C_{1}NK$$: $$C_{1}N=\frac{NK}{\sin 60}=\frac{2x}{\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$

$$C_{1}A_{1}=C_{1}N+NA_{1}=x(1+\frac{2}{\sqrt{3}})$$

6) $$\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$$ - правильный  $$\Rightarrow$$

$$2(h-x)=x(1+\frac{2}{\sqrt{3}})$$

$$2h-2x=x(1+\frac{2}{\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$

$$x(3+\frac{2}{\sqrt{3}})=2h$$ $$\Rightarrow$$

$$x=\frac{2h\sqrt{3}}{3\sqrt{3}+2}$$ $$\Rightarrow$$

$$V_{KLMNK_{1}L_{1}N_{1}M_{1}}=x^{3}=(\frac{2h\sqrt{3}}{3\sqrt{3}+2})^{3}$$

7) $$\frac{V_{ABCD}}{V_{KLMNK_{1}L_{1}N_{1}M_{1}}}=\frac{\sqrt{3}h^{3}}{3}\cdot\frac{(2+3\sqrt{3})^{3}}{2^{3}h^{3}\sqrt{3}^{3}}=$$

$$=\frac{(2+3\sqrt{3})^{3}}{9\cdot8}=\frac{(2+3\sqrt{3})^{3}}{72}$$

Задание 4121

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $$8\sqrt{2}$$. Высота призмы равна 6. Найдите угол между прямыми AC1 и CB1.

Ответ:

Задание 4122

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Найдите угол между прямыми DM и CL, где M — середина ребра BC, M — середина ребра AB

Ответ:

Задание 4123

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8. Высота этой призмы равна 6. Найти угол между прямыми CA1 и AB1.

Ответ:

Задание 4124

Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми PH и BM, если отрезок PH — высота данной пирамиды, точка M — середина ее бокового ребра AP.

Ответ:

Задание 4125

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что прямая AB1 параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AC и BC1.
б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Ответ:

Задание 4126

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью AA1C и прямой A1B, если AA1 = 3, AB = 4, BC = 4.

Ответ:

Задание 4127

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостью ABC и прямой EF, проходящей через середины ребер AA1 и C1D1.

Ответ:

Задание 4128

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: AB=$$21\sqrt{3}$$, SC=29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и BC.

Ответ:

Задание 4129

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, AB=AC=5, BC=8. Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой A1B и плоскостью BCC1

Ответ:

Задание 4130

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB=5 и катетом BC=$$\sqrt{5}$$. Высота призмы равна $$\sqrt{3}$$. Найдите угол между прямой C1B и плоскостью ABB1.

Ответ:

Задание 4131

Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC  составляет  $$\frac{5}{7}$$ от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.

Ответ:

Задание 4132

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1. Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'

Ответ:

Задание 4133

В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.

Ответ:

Задание 4134

Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.

Ответ:

Задание 4135

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и BA1D1.

Ответ:

Задание 4136

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1  равна 2, а диагональ боковой грани равна $$\sqrt{5}$$. Найдите угол между плоскостью A1BC  и плоскостью основания призмы.

Ответ:

Задание 4137

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. На стороне ВВ1 отмечена точка К так, что ВК = 3. Плоскость α проходит через точки С1 и К и параллельна прямой BD1. Плоскость α пересекает ребро А1В1 в точке Р.
а) Докажите, что А1Р : РВ1 = 2 : 1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к грани ВВ1С1С.
Ответ:

Задание 4138

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 4 . Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 9, AD = 6 , AA1 = 14 .
а) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.
Ответ:
 

Задание 4188

На боковых ребрах DB и DC треугольной пирамиды ABCD расположены точки М и N так, что ВМ=MD и CN:ND=2:3. Через вершину А основания пирамиды и точки М и N проведена плоскость $$\alpha$$ , пересекающая медианы боковых граней в точках К, R и Т.

А) Докажите, что площадь треугольника KTR составляет 5/22 от площади сечения пирамиды плоскостью $$\alpha$$
Б) Найти отношение объемов пирамид KRTC и ABCD.
Ответ: $$\frac{1}{22}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$AM$$ и $$DR_{1}$$ - медианы $$\Rightarrow$$ $$\frac{AR}{RM}=\frac{2}{1}$$

2) $$\bigtriangleup DAC$$: по т. Менелая $$\frac{CT_{1}}{T_{1}A}\cdot\frac{AT}{TN}\cdot\frac{DN}{DC}=1$$; $$\frac{1}{1}\cdot\frac{AT}{TN}\cdot\frac{3}{5}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AT}{TN}=\frac{5}{3}$$

3) $$\bigtriangleup CDB$$: построим $$MK_{1}$$; т.к. $$DM=MB$$; $$CK_{1}=K_{1}B$$ $$\Rightarrow$$ $$MK_{1}$$ - средняя линия; $$MK_{1}=\frac{1}{2}CD=2,5x$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup NDK\sim\bigtriangleup KK_{1}M$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ND}{mk_{1}}=\frac{NK}{KM}=\frac{3x}{2,5x}=\frac{6}{5}$$

Рассмотрим  $$\bigtriangleup NMA$$: пусть $$S_{NMA}=S$$, тогда $$S_{ATR}=\frac{AT}{AN}\cdot\frac{AR}{AM}\cdot S=$$ $$\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{3}S=\frac{5}{12}S$$; $$S_{NTK}=\frac{NT}{NA}\cdot\frac{NK}{NM}S=$$ $$\frac{3}{8}\cdot\frac{6}{11}S=\frac{9}{44}S$$; $$S_{KMR}=\frac{KM}{MN}\cdot\frac{MR}{MA}S=$$ $$\frac{5}{11}\cdot\frac{1}{3}S=\frac{5}{33}S$$; $$S_{TKR}=S-S_{ATR}-S_{NTK}-S_{KMR}=$$ $$S-\frac{5}{12}S-\frac{9}{44}S-\frac{5}{33}S=$$ $$\frac{132S-55S-27S-20S}{4\cdot3\cdot11}=\frac{5S}{22}$$

ч.т.д.

б) $$\frac{V_{KRTC}}{V_{ABCD}}=?$$; $$V_{KRTC}=(V_{ABCD}-V_{DAMN}-V_{ABCM})\cdot\frac{S_{KTR}}{S_{NMA}}$$

1) Пусть $$V_{ABCD}=V$$; $$V_{DAMN}=\frac{DN}{DC}\cdot\frac{DM}{DB}\cdot\frac{DA}{DA}\cdot V=$$ $$\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{3}{10}V$$; $$V_{ABCM}=\frac{MB}{DB}V=\frac{1}{2}V$$; $$V_{KRTC}=(V-\frac{3}{10}V-\frac{1}{2}V)\cdot\frac{2}{22}=$$ $$\frac{2V}{10}\cdot\frac{5}{22}=\frac{V}{22}$$; $$\frac{V_{KRTC}}{V_{ABCD}}=\frac{\frac{V}{22}}{V}=\frac{1}{22}$$

Задание 4195

 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S — вершина. Точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 10, SC = 8.

Ответ:

Задание 4196

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB=4, AD=3. Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.

Ответ:

Задание 4197

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4, точка — середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

Ответ:

Задание 4198

SABC — правильная треугольная пирамида с вершиной S,M — середина BC. Косинус угла между боковой гранью и основанием пирамиды равен $$\frac{\sqrt{3}}{4}$$. Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды, если SM=4.

Ответ:

Задание 4199

Дана прямая призма ABCDA1B1C1D1. Основание призмы — ромб со стороной 4 и острым углом 45°. Высота призмы равна 3. Найдите угол между плоскостью AC1B и плоскостью ABD.

Ответ:

Задание 4200

В пра­виль­ной четырехугольной пи­ра­ми­де PABCD, все ребра ко­то­рой равны 100, точка K ― се­ре­ди­на бокового ребра AP.

а) По­строй­те сечение пи­ра­ми­ды плоскостью, про­хо­дя­щей через точку K и па­рал­лель­ной плоскости BCP.
б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью сечения и плос­ко­стью основания пирамиды.
Ответ:

Задание 4201

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, BC = 6, CC= 4, найдите тангенс угла между плоскостями CDDи BDA1.

Ответ:

Задание 4202

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 6, BC = 6, CC= 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACDи A1B1C1.

Ответ:

Задание 4203

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка — середина ребра SA, точка — середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями CMK и ABC, если S= 6, BC = 4.

Ответ:

Задание 4204

Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен $$\frac{\sqrt{6}}{6}$$. Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.

Ответ:

Задание 4205

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной сторона основания AB равна 6. На ребре AB отмечена точка K. Сечение MKC является равнобедренным треугольником  с основанием MC. Найдите угол между плоскостями MLC и MBC, где — середина AB.

Ответ:

Задание 4206

Высота цилиндра равна 3. Равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной 10 и ∠= 120° расположен так, что его вершина лежит на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины и — на окружности верхнего основания. Найдите угол между плоскостью ABC и плоскостью основания цилиндра.

Ответ:

Задание 4207

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной сторона основания AB равна 6. На ребре AB отмечена точка так, что AK KB = 5 : 1. Сечение MKC является равнобедренным треугольником с основанием MK. Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.

Ответ:

Задание 4208

В правильной треугольной призме ABCA1B1Cсторона основания AB=$$7\sqrt{3}$$ а боковое ребро AA1=8.

а) Докажите, что плоскость BCAперпендикулярна плоскости, проходящей через ребро AAи середину ребра B1C1.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCAи BB1C1.
Ответ:

Задание 4209

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1Dизвестны длины рёбер AA= 7, AB = 16, AD = 6. Точка — середина ребра C1D1.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку перпендикулярно прямой AK, пересекает отрезок A1K.
б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.
Ответ:

Задание 4210

Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D— прямоугольник ABCD, в котором AB=12, AD=$$\sqrt{31}$$. Расстояние между прямыми AC и B1Dравно 5.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку перпендикулярно прямой BD1, делит отрезок BDв отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
Ответ:

Задание 4211

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка M — середина ребра AB, точка O — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC.
Ответ:

Задание 4212

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, C1 и середину T ребра A1B1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC
Ответ:

Задание 4213

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1взята точка E так, что A1E:EA=2:5, на ребре BB1— точка F так, что B1F:FB=1:6, а точка T — середина ребра B1C1Известно, что AB=5, AD=6, AA1=14

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1
Ответ:

Задание 4214

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки C до прямой BD1.

Ответ:

Задание 4215

Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Боковое ребро пирамиды равно $$\sqrt{43}$$ высота равна $$\sqrt{31}$$. Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой MT, где точки M и T — середины ребер AC и AD соответственно.

Ответ:

Задание 4216

Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, у которого AB = 10 BD = 12. Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани A1B1C1D1 до плоскости BDC1.

Ответ:

Задание 4217

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром $$2\sqrt{2}$$. Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер AD и A1B1 соответственно.

Ответ:

Задание 4218

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BT, где T— середина ребра AD.

Ответ:

Задание 4219

В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $$2\sqrt{10}$$ высота призмы равна $$2\sqrt{5}$$. Найдите расстояние от точки C1 до плоскости BCM, где M — середина ребра A1C1.

Ответ:

Задание 4220

Ребро основания правильной треугольной призмы LMNL1M1N1 равно её высоте и равно $$2\sqrt{5}$$. Найдите расстояние от точки L1 до плоскости LM1T, где T — середина ребра L1N1.

Ответ:

Задание 4221

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите расстояние от точки C до прямой SA.

Ответ:

Задание 4222

В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой, проходящей через точку B и середину E ребра CD.

Ответ:

Задание 4224

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 2, сторона основания равна 1. Найдите расстояние от точки B1 до прямой AC1.

Ответ:

Задание 4225

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, AC=$$10\sqrt{3}$$. Диагональ боковой грани B1C составляет угол 30° с плоскостью AA1B1. Найдите высоту призмы.

Ответ:

Задание 4226

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1.

Ответ:

Задание 4227

Отрезок AC ― диаметр основания конуса, отрезок AP ― образующая этого конуса и AP = AC . Хорда основания BC составляет с прямой AC угол 60°. Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.

Ответ:

Задание 4228

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро $$SA=\sqrt{5}$$, сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM, где M — середина ребра SC.

Ответ:

Задание 4229

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны $$5\sqrt{2}$$. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен $$\sqrt{2}$$, L — середина ребра MB. Найдите высоту данной пирамиды.

Ответ:

Задание 4230

Длины ребер AB, AA1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 12, 16 и 15. Найдите расстояние от вершины A1 до прямой BD1.

Ответ:

Задание 4231

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

Ответ:

Задание 4232

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки B до плоскости DEA1.

Ответ:

Задание 4233

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, сторона которого равна $$4\sqrt{3}$$, а угол ВАD равен 60°. Найдите расстояние от точки А до прямой C1D1, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

Ответ:

Задание 4234

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 высота равна 1, а сторона основания равна $$\sqrt{2}$$. Точка M — середина ребра AA1. Найдите расстояние от точки M до плоскости DA1C1.

Ответ:

Задание 4235

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскость основания ABC.

а) Докажите, что высота пирамиды, проведённая из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер AB,AC и SA, пополам.
б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если SA=$$\sqrt{5}$$, AB=AC=5, BC=$$2\sqrt{5}$$
Ответ:

Задание 4332

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1.

Ответ:

Задание 4333

Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расстояние между боковыми ребрами AA1 и CC1 равно 8. Найдите расстояние от прямой AA1 до плоскости BC1C, если известно, что двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.

Ответ:

Задание 4334

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра основания которой равны $$2\sqrt{7}$$. Сечение, проходящее через боковое ребро AA1 и середину M ребра B1C1, является квадратом. Найдите расстояние между прямыми A1B и AM.

Ответ:

Задание 4335

Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L — середина ребра MC O — центр грани ABC.

Ответ:

Задание 4336

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN: NC = 2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.

Ответ:

Задание 4337

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 8, AD = 7, AA1 = 5. Точка W принадлежит ребру DD1 и делит его в отношении 1 : 4, считая от вершины D. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C W и A1.

Ответ:

Задание 4338

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.

Ответ:

Задание 4339

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC. Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна $$25\sqrt{3}$$. Найдите сторону основания.

Ответ:

Задание 4340

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

Ответ:

Задание 4341

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 9, а боковые рёбра равны 15. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и BC параллельно прямой MB.

Ответ:

Задание 4342

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины S.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.
Ответ:

Задание 4343

Точка E — середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью A1BE, если ребра куба равны 2.

Ответ:

Задание 4344

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A1C1. Найдите его площадь.

Ответ:

Задание 4345

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

Ответ:

Задание 4346

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA1 = 7. Точка M принадлежит ребру A1D1 и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины D1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M.

Ответ:

Задание 4347

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC .

Ответ:

Задание 4348

В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 10. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AE = LM = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Ответ:

Задание 4349

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

Ответ:

Задание 4350

Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 3. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

Ответ:

Задание 4351

В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MA = 6. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AL = 2, и BE = 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Ответ:

Задание 4352

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

Ответ:

Задание 4353

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона основания равна 8, а угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B.

Ответ:

Задание 4354

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11.

а) Докажите, что прямые CA1 и C1D1 перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины C, A1 и F1.
Ответ:

Задание 4355

Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно.

а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 10.
Ответ:

Задание 4356

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно $$8\sqrt{3}$$, а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1. Найдите объём пятигранника ABCA1D.

Ответ:

Задание 4357

Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Ответ:

Задание 4358

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Ответ:

Задание 4359

Высота цилиндра равна 5, а радиус основания 10. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от неё.

Ответ:

Задание 4360

Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

Ответ:

Задание 4361

Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.

Ответ:

Задание 4362

Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно $$\sqrt{730}$$

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Ответ:

Задание 4363

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Ответ:

Задание 4364

Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1. Вычислите объём пирамиды MPTC.

Ответ:

Задание 4365

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер AD = 12, AB = 5, AA1 = 8. Найдите объем пирамиды MB1C1D, если M — точка на ребре AA1, причем AM = 5.

Ответ:

Задание 4366

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен $$\frac{2\sqrt{34}}{17}$$

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
Ответ:
 

Задание 4396

В основании пирамиды TABCD лежит трапеция ABCD , в которой $$BC\parallel AD$$ и AD:BC=2. Через вершину Т пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой ВС и пересекающая отрезок АВ в точке М такой, что АМ:MB=2. Площадь получившегося сечения равна 10, а расстояние от ребра ВС до плоскости сечения равно 4.

А) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении 7:20
Б) Найдите объем пирамиды.
Ответ: 90
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1) Построим через М прямую $$\parallel BC$$ $$\Rightarrow$$ $$MN\parallel BC$$ $$\Rightarrow$$ $$(TMN)$$ - сечение

2) Опустим высоту ВН в трапеции ABCD: $$BH\cap MN=O$$ $$\Rightarrow$$ $$BO=h$$; $$\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABH$$ (по острому углу и прямому) $$\Rightarrow$$ $$\frac{BO}{OH}=\frac{BM}{AM}=\frac{1}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$OH-2BO=2h$$

3) Опустим $$CK\perp CD$$; $$CK\cap MN=R$$: $$BC=OR=HK=x$$ $$\Rightarrow$$ Пусть $$CH=a$$ $$\Rightarrow$$ $$KD=x-a$$. Тогда из подобия $$\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABH$$: $$MO=\frac{1}{3}CH=\frac{1}{3}a$$; аналогично $$RN=\frac{1}{3}KD=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}a$$. Tогда $$MN=MO+OR+RN=\frac{1}{3}a+x+\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}a=\frac{4}{3}x$$

4) $$S_{MBCN}=\frac{BC+MN}{2}\cdot BO=$$ $$\frac{x+\frac{4}{3}x}{2}\cdot h=\frac{7xh}{6}$$; $$S_{AMND}=\frac{AD+MN}{2}\cdot OH=$$ $$\frac{2x+\frac{4}{3}x}{2}\cdot2h=\frac{20xh}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{V_{MBCNT}}{V_{AMNDT}}=\frac{S_{MBCN}}{S_{AMND}}=$$ $$\frac{7xh}{6}\div\frac{20xh}{6}=\frac{7}{20}$$

б) 1) Пусть расстояние от ВС до $$MTN=d$$  (т.к. у них общая вершина): $$V_{BMNT}=\frac{1}{3}S_{MTN}\cdot d=\frac{1}{3}\cdot10\cdot4=\frac{40}{3}$$

2) $$\frac{V_{BNMT}}{V_{BCNMT}}=\frac{S_{BNM}}{S_{BCNM}}=$$ $$\frac{\frac{1}{2}\cdot MN\cdot BO}{\frac{MN+BC}{2}\cdot BO}=$$ $$\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{4x}{3}}{\frac{x+\frac{4x}{3}}{2}}=\frac{4}{7}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{BCNMT}=\frac{7}{4}V_{BNMT}=\frac{70}{3}$$

3) $$V_{AMNDT}=\frac{20}{7}V_{BCNMT}=\frac{70}{3}\cdot\frac{20}{7}=\frac{200}{3}$$

4) $$V_{ABCDT}=V_{AMNDT}+V_{BCNMT}=\frac{70}{3}+\frac{200}{3}=90$$

 

Задание 4573

В правильной шестиугольной пирамиде $$PABCDEF$$ боковое ребро наклонено к основанию под углом $$\alpha=\arctan\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

А) Докажите, что плоскости АРВ и DPE перпендикулярны.
Б) Найдите отношение радиуса сферы, касающейся всех граней пирамиды, к радиусу сферы, проходящей через все вершины пирамиды.
Ответ: $$\frac{6\sqrt{2}-6}{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4669

Основанием пирамиды FABCD является квадрат ABCD. На ребре AF взята точка Е такая, что отрезок СЕ перпендикулярен ребру AF. Проекция О точки Е на основание пирамиды лежит на отрезке АС и делит его в отношении AO:OC=4:1. Угол ADF равен 900.

А) Докажите, что ребро FC перпендикулярно плоскости основания пирамиды
Б) Найдите разность объемов пирамид FABCD и EABD, если известно, что АВ=1.
Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4819

Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна $$10\sqrt{3}$$ , а высота СС1 равна 7,5. На ребре В1С1 отмечена точка Р так, что В1Р:РС1=1:3. Точки Q и М являются серединами сторон АВ и А1С1 соответственно. Плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой АС и проходит через точки Р и Q.

А) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости $$\alpha$$
Б) Найдите расстояние от точки М до плоскости $$\alpha$$
Ответ: $$\frac{9\sqrt{5}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) 1) $$a\cap (ABC)=QT\left |\right |AC$$, $$a\cap (A_{1}B_{1}C_{1})=PN\left |\right |A_{1}C_{1}$$, т.к.  $$a\left |\right |AC. a\cap (BGM)=EF$$, $$BM\cap EF=S$$( E и F-середины PN и  QT). BM-наклонная , BG-её проекция , $$BG\perp QT\Rightarrow$$  по т. о трёх перпендикулярах $$BM\perp QT(1)$$

     2) $$\angle SBF =\beta$$ , $$\angle BFS=\gamma$$ , $$\angle BSF=\varphi$$; $$BG=AB*\sin 60=10\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=15$$; $$tg\beta =\frac{MG}{BG}=\frac{7,5}{15}=\frac{1}{2}$$; $$ctg\gamma =\frac{\frac{1}{2}BF}{BB_{1}}=$$$$\frac{1}{4}*\frac{15}{7,5}=$$$$\frac{1}{2}=tg\beta \Rightarrow$$ $$\beta +\gamma =90$$, тогда  $$\varphi =90$$, $$BM\perp EF(2)$$ . Из (1) и (2) $$\Rightarrow$$ $$BM\perp \alpha$$

   Б) 1) из п. а) $$BM\perp \alpha \Rightarrow$$ $$p(Ma)=MS$$

      2) $$\Delta ESM\sim \Delta FSB$$ по двум углам $$\Rightarrow$$ $$\frac{MS}{BS}=\frac{ME}{BF}=\frac{3}{2}$$,  тогда $$MS=\frac{3}{5}BM$$; $$BM=\sqrt{BG^{2}+MG^{2}}=\sqrt{225+\frac{225}{4}}=\frac{15\sqrt{5}}{2}$$, $$MS=\frac{3}{5}*\frac{15\sqrt{5}}{2}=\frac{9\sqrt{5}}{2}$$

 

Задание 4863

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра АВ=6, AD=12, AA1=10. Точка Е принадлежит отрезку BD, причем ВЕ:ED=1:2. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки А, Е и середину ребра ВВ1
А) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью $$\alpha$$ является равнобедренным треугольником.
Б) Найдите расстояние от точки В1 до плоскости сечения
Ответ: $$\frac{30}{\sqrt{86}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1) Достроим AE до пересечения с BC в точке N. Тогда $$(AMN)=\alpha$$

2) $$\bigtriangleup AED \sim \bigtriangleup BFE$$ (по двум углам). Тогда $$\frac{BE}{ED}=\frac{BF}{AD}\Leftrightarrow $$$$BF=\frac{BE*AD}{ED}=\frac{1}{2}*12=6$$

3)$$AB=BF; BG\perp (ABC);BG$$-общая, значит $$\bigtriangleup ABG =\bigtriangleup GBF ; AG = GF$$

б)1)Расстояние от B до плоскости сечения такое же, как и от B1. Построим $$BH \perp AF$$: $$BH=\frac{1}{2}AF$$ ($$\bigtriangleup ABF$$ - прямоугольный и равнобедренный). $$BH = \frac{1}{2}*\sqrt{6^{2}+6^{2}}=3\sqrt{2}$$

2) Построим $$BF \perp GH ; BR \perp AF$$ (т.к. $$BH \perp AF$$, то по теореме о трех перпендикулярах). Тогда $$BR \perp \alpha$$, значит BR - расстояние

3) из $$\bigtriangleup GBH: BR=\frac{BG*BH}{GH}=$$$$\frac{5*3\sqrt{2}}{\sqrt{5^{2}+9*2}}=$$$$\frac{30}{\sqrt{86}}$$

 

Задание 4914

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD со  стороной АВ=4. Боковое ребро SC, равное 4, перпендикулярно основанию пирамиды.  Плоскость $$\alpha$$, проходящая через вершину С параллельно прямой BD, пересекает  ребро SA в точке М, причем SM:MA=1:2  

А) Докажите, что $$SA\perp\alpha$$
Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha$$ 
Ответ: $$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) 1) $$AS=\sqrt{16+32}=4\sqrt{3}$$; $$AM=\frac{4\sqrt{3}\cdot2}{3}$$; $$MS=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$; $$MC=\frac{4\cdot4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$$; $$4^{2}=(\frac{4\sqrt{6}}{3})^{2}+(\frac{4\sqrt{3}}{3})^{2}=\frac{16\cdot6+16\cdot3}{9}=16$$

2) $$AC\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp KN$$

б) 1) $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{MS}{SA}\cdot\frac{AO}{OC}=1$$; $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}=1$$; $$\frac{CE}{EM}=\frac{3}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$CE=\frac{3}{4}\cdot CM=\frac{3}{4}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$$

2) $$\cos ACM=\frac{CM}{AC}=\frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$; $$OE=\sqrt{OC^{2}+CE^{2}-2OC\cdot CE\cdot\cos ACM}=$$ $$\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6})^{2}-2\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}=$$ $$\sqrt{8+6-\frac{4\cdot6}{3}}=\sqrt{6}$$

3) $$SO=\sqrt{OC^{2}+SC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+4^{2}}=\sqrt{24}$$ $$\Rightarrow$$ $$SE=SO-OE=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$NK$$ - средняя линия $$\bigtriangleup SDB$$ $$\Rightarrow$$ $$NK=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$;

4) $$S_{CKMN}=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot NK=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}\cdot2\sqrt{2}=\frac{4\cdot\sqrt{12}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$$

Задание 4961

В основании треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник АВС, где АВ=ВС=5,  АС=6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом, синус которого равен $$\frac{3}{4}$$.  

А) Постройте сечение, проходящее через центр описанной окружности основания и перпендикулярное прямой BD  
Б) Найдите расстояние от прямой BD до прямой АС.  
Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
А) Если стороны наклонены под одинаковым углом в треугольной пирамиде, то проенкция вершины на основание является центром описанной окружности. Проведем выосту DO. Необходимо найти отношение BO к OH для правильного построения сечения: пусть R - радиус описанной окружности (BO), тогда:
$$R=\frac{abc}{4S}$$; $$S=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12$$; $$R=\frac{5\cdot5\cdot6}{4\cdot12}=\frac{25}{8}=BO$$; $$OH=4-\frac{25}{8}=\frac{7}{8}$$;
Получаем, что BO относится к OH как 25 к 7. Далее строим перпендикуляр OK. Проекцией DB на плоскость ABC является BH, но BH перпендикулярна AC, тогда и BD перпендикулярна AC (по теореме о трех перпендикулярах). 
Тогда через точку O проведем прямую параллельную AC ( например RQ, где R на AB, Q ну BC ) и получаем что она так же перпендикулярна BD. Тогда имеем две пересекающиеся прямые (OK и RQ) перпендикулярные третьей (BD), значит через них и пройдет искомая плоскость (RQK)
Б)  Проведем HN перпендикулярно BD. Из пункта A) получаем, что AC перпендикулярно плоскости BHD, так же H - середина AC - значит это общий перпендикуляр для AC и BD - то есть расстояние между ними.
Рассмотрим треугольник BNH: $$\sin DBO=\frac{3}{4}$$; $$BH=4$$ $$\Rightarrow$$ $$HN=BH\cdot\sin NBH=4\cdot\frac{3}{4}=3$$
 

Задание 5009

В основании прямой призмы $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ лежит прямоугольная  трапеция АВСD с основаниями ВС и АD (ВС < АD), в которой АВ=5, CD=4, ВС=6. Через  точку С и середину ребра $$BB_{1}$$ параллельно $$B_{1}D$$ проведена плоскость β.

А) Докажите, что плоскость β пересекает ребро $$AA_{1}$$ в такой точке Р, что $$A_{1}P=3AP$$.
Б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, основанием которой служит  сечение призмы плоскостью β, если известно, что $$BB_{1}=16$$.  
Ответ: a) $$\frac{A_{1}P}{PA}=\frac{3}{1}$$; б) $$48$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
a) 1) из $$\bigtriangleup LAB$$: $$LA=\sqrt{AB^{2}-BL^{2}}=3$$; $$(LB\parallel DC)$$
2) $$AL\parallel CB$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup LAN\sim\bigtriangleup CNB$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{LA}{CB}=\frac{AN}{NB}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}=\frac{AN}{NB}$$ $$\Rightarrow$$ $$AN=5$$
3) $$\bigtriangleup RBN\sim\bigtriangleup PAN$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PA}{RB}=\frac{AN}{NB}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$PA=\frac{1}{2}RB$$, но $$RB=\frac{1}{2}B_{1}B$$ $$\Rightarrow$$ $$PA=\frac{1}{4}BB_{1}=\frac{1}{4}AA_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}P=\frac{3}{4}AA_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}P}{PA}=\frac{3}{1}$$
б) 1) $$CLAB$$ - проекция $$\beta$$ на основание.
2) Введем ортогональную систему координат: центр в точке C, Ох через СВ, Оу через CD, Oz через CC1
$$C(0;0;0)$$; $$L(6;4;0;)$$; $$R(6;0;8)$$
$$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение плоскости
$$\left\{\begin{matrix}0a+0b+0c+d=0\\6a+4b+0c+d=0\\6a+0b+8c+d=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}d=0\\6a+4b=0\\6a+8c=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}d=0\\b=-\frac{3a}{2}\\c=-\frac{3a}{4}\end{matrix}\right.$$
$$ax-\frac{3a}{2}y-\frac{3a}{4}z+0=0$$ $$|\div a$$
$$x-\frac{3}{2}y-\frac{3}{4}z+0=0$$ $$\Rightarrow$$ $$\vec{n}{1;-\frac{3}{2};-\frac{3}{4}}$$ - нормаль для $$\beta$$
$$\vec{m}{0;0;1}$$ - нормаль для основания $$\Rightarrow$$ $$\cos\alpha=\frac{|1\cdot0+(-\frac{3}{2})\cdot0-\frac{3}{4}\cdot1|}{\sqrt{1+\frac{9}{4}+\frac{9}{16}}\cdot\sqrt{1}}=$$ $$\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{\frac{16+36+9}{16}}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{61}}=\frac{3}{\sqrt{61}}$$
3) $$S_{CLAB}=\frac{3+6}{2}\cdot4=9\cdot2=18$$; $$S_{\beta}=\frac{S_{CLAB}}{\cos\alpha}=\frac{18\cdot\sqrt{61}}{3}=6\sqrt{61}$$
4) $$d(B_{1};\alpha)=\frac{|6-\frac{3}{2}\cdot0-\frac{3}{4}\cdot16|}{\sqrt{1+\frac{9}{4}+\frac{9}{16}}}=\frac{|6-12|}{\frac{\sqrt{61}}{4}}=$$ $$\frac{6\cdot4}{\sqrt{61}}=\frac{24}{\sqrt{61}}$$
5) $$V=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{61}\cdot\frac{24}{\sqrt{61}}=48$$
 

Задание 5057

В основании прямой призмы $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ лежит ромб ABCD, причем AB=BD. Точки М и N – середины ребер $$B_{1}C_{1}$$ и АВ соответственно.

А) Докажите, что сечение призмы плоскостью $$MND_{1}$$ – многоугольник с прямым углом  при вершине $$D_{1}$$.
Б) Найдите площадь указанного сечения, если $$AB=8$$, $$AA_{1}=3\sqrt{2}$$
Ответ: $$33\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     А) 1) Построение сечения: $$D_{1}M\cap A_{1}B_{1}=Q$$; $$QN\cap BB_{1}=T$$; $$QN\cap AA_{1}=G$$; $$GD_{1}\cap AD=K$$, тогда $$D_{1}MTNK$$ - сечение .

     2) Так как $$AB=BD$$, то $$\Delta BDC$$ - равносторонний и $$\angle BDC=60$$. $$M_{1}$$ - середина BC (проекция M на (ABC))$$\Rightarrow$$ $$DM_{1}$$ - биссектриса $$\Delta BDC$$ и $$\angle BDM_{1}=30$$.Тогда $$\angle ADM_{1}=90$$, т.е. $$AD\perp DM_{1}$$, KD - проекция $$KD_{1}$$ на (ABC): $$KD\perp DM_{1}\Rightarrow$$ $$KD_{1}\perp DM_{1}$$ по т. Трех препендикулярах. Но  $$D_{1}M\left |  \right |DM_{1}$$ $$\Rightarrow$$  $$KD_{1}\perp D_{1}M$$ т.е. $$\angle KD_{1}M=90$$

     Б) 1) Пусть площадь сечения $$S_{1}$$, а площадь его проекции $$S_{2}$$: $$S_{1}=\frac{S_{2}}{\cos \varphi }$$, где $$DKNBM_{1}$$ - проекция сечения, а $$\angle D_{1}KD=\varphi$$ – угол между плоскостью сечении яи основанием призмы , т.к. $$D_{1}K\perp KN, DK\perp KN$$.

     2) Проведем $$BP\left | \right |M_{1}D$$. Тогда $$BM_{1}DP$$ - прямоугольник , $$M_{1}B=4$$; $$D_{1}M=DC \sin 60=4\sqrt{3}$$; $$S_{BM_{1}DP}=16\sqrt{3}$$; KPBN-прямоугольная трапеция ;$$BP=M_{1}D=4\sqrt{3}$$; $$KN=\frac{1}{2}BP=2\sqrt{3}$$ (т.к. N- середина AB); $$KP=\frac{1}{4}AD=2$$;

     3) $$S_{KPBN}=\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{2}*2=6\sqrt{3}$$; $$S_{2}=16\sqrt{3}+6\sqrt{3}=22\sqrt{3};$$ $$KD_{1}=\sqrt{KD^{2}+DD_{1}^{2}}=\sqrt{6^{2}+(3\sqrt{2})^{2}}=3\sqrt{6};$$ $$\cos \varphi =\frac{KD}{KD_{1}}=\frac{6}{3\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}};$$ $$S_{1}=22\sqrt{3}:\frac{2}{\sqrt{6}}=33\sqrt{2};$$
 

 

Задание 5141

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ $$AB=5$$, $$AD=6$$, $$AA_{1}=8$$  точка К – середина ребра $$DD_{1}$$ 

А) Докажите, что прямые $$BC$$ и $$KC_{1}$$ перпендикулярны.  
Б) Найдите отношение объемов, на которые делится прямоугольный параллелепипед  плоскостью $$BKC_{1}$$
Ответ: $$\frac{7}{17}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) т.к. $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ - прямоугол. параллелипипед, то $$BC\perp(CC_{1}D_{1}D)$$, по $$KC_{1}\in(CC_{1}D_{1}D)$$ $$\Rightarrow$$ $$BC\perp KC_{1}$$

б) 1) $$BC_{1}$$ соединяем; $$KC_{1}$$ соединяем; $$(BCC_{1})\parallel(ADD_{1})$$ $$\Rightarrow$$ через К пройдет прямая параллельная прямая $$BC_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$KM$$; из подобия $$\bigtriangleup MKD$$ $$\bigtriangleup BC_{1}C$$; М - середина AD $$\Rightarrow$$ $$(BCKD)$$ - искомая плоскость

2) $$BCC_{1}MDK$$ - усеченная пирамида: $$V=\frac{1}{3}h(S_{1}+S_{2}+\sqrt{S_{1}S_{2}})$$; $$V_{1}=\frac{1}{3}DC\cdot(S_{BCC_{1}}+S_{MDK}+\sqrt{S_{BCC_{1}}\cdot S_{MDK}})$$; $$V_{1}=\frac{1}{3}\cdot5\cdot(\frac{1}{2}\cdot6\cdot8+\frac{1}{2}\cdot3\cdot4+\sqrt{\frac{1}{2}\cdot6\cdot8\frac{1}{2}\cdot3\cdot4})=$$ $$\frac{5}{3}(24+6+\frac{1}{2}\cdot3\cdot2)=\frac{5}{3}(30+12)=70$$

3) $$V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=5\cdot6\cdot8=240$$ $$\Rightarrow$$ объем оставшейся

$$V_{2}=240-70=170$$

4) $$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{70}{170}=\frac{7}{17}$$

 

Задание 5194

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ стороны основания равны 4, а боковые ребра 5.

а) Докажите , что плоскость $$A_{1}C_{1}E$$ перпендикулярна плоскости $$BB_{1}E_{1}$$
б) Найдите угол между плоскостями $$A_{1}C_{1}E$$ и $$ABC$$ 
Ответ: $$arctg\frac{5}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

 

 a) 1) $$A_{1}$$ и $$C_{1}$$ соединяем . Пусть $$A_{1} C_{1} \cap E_{1} F_{1}=K$$, тогда E и K соединяем; $$EK\cap FD_{1}=M$$

Пусть $$A_{1} C_{1} \cap E_{1} F_{1}=R\Rightarrow ER\cap FF_{1}=N\Rightarrow (A_{1}NEMC_{1})$$- искомая $$(A_{1}C_{1}E)$$

   2) $$E_{1}B_{1}\cap A_{1}C_{1}=H\Rightarrow EH$$-линия пересечения $$(A_{1}C_{1}E)$$ и $$(BB_{1}E_{1}E)$$

   3) $$A_{1}C_{1}\perp E_{1}B_{1}$$(т.к. в основании правильной призмы) ,но $$A_{1}C_{1}\perp BB_{1}$$( т.к. призма правильная) $$\Rightarrow (A_{1}C_{1}E)\perp (BB_{1}E_{1}E)$$

   b) 1)Отпустим $$HH_{1}\perp (ABCDEF)\Rightarrow HH_{1}=AA_{1}=5$$

   2)Пусть O-центр основания $$\Rightarrow OE=AB=4$$

   3) AOCB- ромб (OC=BC=AB=AO; $$\angle AOC=\angle ABC$$)$$\Rightarrow OH_{1}-H_{1}B=\frac{1}{2}OB=2$$

   4) $$tg \angle HEH_{1}=\frac{HH_{1}}{EH_{1}}=\frac{5}{6}\Rightarrow \angle HEH_{1}-arctg\frac{5}{6}$$

 

Задание 5241

Дан куб $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$. Пусть $$l$$ – линия пересечения плоскостей $$ACD_{1}$$ и $$BDC_{1}$$

А) Докажите, что прямые $$DB_{1}$$ и $$l$$ перпендикулярны.
Б) Найдите расстояние между прямыми $$DB_{1}$$ и $$l$$, если ребро куба равно 2.  
Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{6}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)     введем систему координат. Пусть ребро куба 2. Тогда :$$H(1;1;0), M(1;0;1), D(0;0;0), B_{1}(2;2;2)$$

$$\vec{HM} (0;-1;1)$$; $$\vec{DB_{1}} (2;2;2)$$

$$\cos (HM; BD)=\frac{10*2+(-1)*2+1*2}{\sqrt{2}*\sqrt{12}}=0\Rightarrow$$ угол равен 90

Б)     Построим из H прямую $$HK\left | \right | DB_{1}$$$$\Rightarrow \Delta DB_{1}B\sim \Delta HKB$$; H-середина DB, то и K-середина

$$BB_{1}\Rightarrow K(2;2;1)$$

Зададим уравнение (HKM):

$$\left\{\begin{matrix}a+b+d-0\\a+c+d=0 \\2a+ab+c+d=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=c \\a+c+d=0 \\2a+3c+d=0\end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix}a=-c-d \\-2c-2d+3c+d=0 \\b=c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}c=d \\b=c \\a=-2c\end{matrix}\right.$$

Получим: $$-2cx+cy+cz+c=0|:c \Leftrightarrow$$$$-2x+y+z+1=0$$

Найдем расстояние от D до (HKM)

$$r=\frac{\left | -2*0+1*0+1*0+1 \right |}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$$

 

Задание 5289

В конусе с вершиной в точке Р высота $$PO=\sqrt{7}$$. В его основании проведена хорда АВ, отстоящая от точки О на расстоянии, равном 3. Известно, что радиус основания конуса равен 5.

А) Докажите, что расстояние от точки Р до прямой АВ вдвое меньше длины отрезка АВ.
Б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды РОАВ.
Ответ: $$\frac{2}{3}\sqrt{43}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Пусть $$(PC)\perp (AB)$$, $$c \in (AB)$$, тогда по теореме о 3-х перпендикулярах: $$(OC)\perp (AB)$$, $$\left | OC \right |=3$$

   2) Из $$\Delta OPC:\left | PC \right |=\sqrt{\left | PO \right |^{2}+\left | OC \right |^{2}}=4$$

   3) С другой стороны : $$\left | AB \right |=2\left | BC \right |=8=2\left | PC \right |$$ ($$\Delta BOC$$ - равнобедренный, соедовательно, высота является еще и медианой)

Б) 1) Пусть Q-центр сферы, описанной около пирамиды  POAB . Тогда , в силу симметрии, $$Q \in (OPC)$$. Пусть $$D \in (OP)$$, $$\left | PD \right |=\left | DO \right |$$, тогда $$\left | OQ \right |:{2} (QD)\perp (PO)$$ . Так как $$(AB)\perp (OCP)$$ и $$\left | CB \right |=\left | AC \right |$$, то $$(OD)\left | \right |(CO)$$

     2) Рассмотрим систему координат :O- начало, ось Oz-вдоль [OP], (Ox) вдоль [OC), $$(Oy)\left | \right |[BA)$$. Тогда :

$$Q=(x;0;\frac{\sqrt{7}}{2})$$;$$O=(0;0;0)$$;$$A=(3;4;0)$$

Отсюда: $$x^{2}+\frac{7}{4}=R^{2}=(x-3)^{2}+4^{2}+\frac{7}{4}\Leftrightarrow$$ $$(x-x+3)(2x-3)=16\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{25}{6}\Rightarrow$$ $$R^{2}=\frac{625}{36}+\frac{7}{4}=$$$$\frac{172}{9}\Rightarrow$$ $$R=\frac{2}{3}\sqrt{43}$$

 

Задание 5337

В треугольной пирамиде ABCD длины всех рёбер равны. Точка Р равноудалена от вершин А и D, причём известно, что PB = PC и прямая РВ перпендикулярна высоте треугольника АСD, опущенной из вершины D.

а) Докажите, что точка Р лежит на пересечении высот пирамиды ABCD .
б) Вычислите объем пирамиды ABCD, если известно, что $$PB=\sqrt{\frac{3}{2}}$$
Ответ: $$\frac{\sqrt{8}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1)PA=PD, тогда NP - серединный перпендикуляр для AD

2)PB = PC, тогда MP - серединный перпендикуляр для CB.

3)AM перпендикулярно CB, тогда NM также перпендикулярно CB и значит $$P \in NM ; P \in AMD$$

4)$$PB \cap DK = L$$. $$BK \perp AC \Leftrightarrow BL \perp AC$$, но по условию $$BL \perp DL$$, значит $$BL \perp (ADC)$$, то есть BL - высота пирамиды и $$P \in DKB$$. Следовательно, точка P лежит в двух плоскостях, значит принадлежит линии пересечения. $$(AMD) \cap (DKB) = PO$$, где PO - высота пирамиды, следовательно P лежит на пересечении высот

б)1) Пусть длина ребра х, тогда из треугольника ADC: $$DK=KB=\frac{\sqrt{3}x}{2}$$, $$DL=\frac{2}{3}DK=\frac{x\sqrt{3}}{3}$$ (по свойству медиан)

2)$$\sin LBD = \frac{DL}{DB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$, тогда $$\cos LBD = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ ( по основному тригонометрическому тождеству )

3)из треугольника PQB: $$QB=PB \cos LBD $$, $$QB=\frac{1}{2}x$$ (свойство медианы). Тогда $$\frac{1}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{6}}{3}=1$$, тогда ребро равно 2

4)Из треугольника ABC :$$BK=\frac{\sqrt{3}}{2}*2=\sqrt{3}$$, $$OB = \frac{2}{3}BK = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

5)$$DO=\sqrt{DB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{\frac{8}{3}}$$, тогда $$S_{ABC}=\frac{1}{2}*2*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$, и объем пирамиды $$V=\frac{1}{3}S_{ABC}*DO=\frac{1}{3}*\sqrt{3}*\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{8}}{3}$$

 

Задание 5385

В основании SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и $$BC =\sqrt{33}$$ , все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS – точка F так, что SF=BE=3 .
А) Докажите, что плоскость CEF параллельна SB.
Б) Пусть плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от Q до плоскости АВС.
Ответ: $$\frac{2}{7}\sqrt{15}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) 1) Т.к  $$\left | SA \right |=\left | SK \right |=\left | SD \right |=\left | SC \right |$$,то если  $$(SO)\perp (ABC)$$ , то $$O\in (ABC)$$ и то  $$\Delta AOS=\Delta BOS=\Delta COS=$$$$\Delta DOS\Rightarrow O=(BD)\cap (AC)$$

     2) Из $$\Delta ABD: \left | BD \right |=\sqrt{\left | AD \right |^{2}+\left | AB \right |^{2}}=7\Rightarrow E \in [OB]$$. Пусть $$(CE)\cap (AB)=K$$.  Тогда, по теореме Менелая для $$\Delta OAB$$ и прямой  CK  имеем :$$\frac{\left | BE \right |}{\left | EO \right |}*\frac{\left | OC \right |}{\left | CA \right |}*\frac{\left | AK \right |}{\left | BK \right |}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{\frac{1}{2}}*\frac{\frac{7}{2}}{7}*\frac{\left | AK \right |}{\left | BK \right |}=1\Rightarrow$$ $$\left | BK \right |=3\left | AK \right |\Rightarrow \left | BK \right |=3, \left | AK \right |=1, \left | AF \right |=1\Rightarrow$$ $$\Delta AFK\sim \Delta ASB\Rightarrow (FK)\left | \right |(SB)\Rightarrow (EFC)\left | \right |(SB)$$.

   Б) 1) Пусть  $$(EQ)\left | \right |(SB), Q \in (DS)$$, тогда  $$Q \in (CEF)\Rightarrow$$ $$\Delta DSB\sim \Delta DEQ\Rightarrow$$ $$\frac{\left | DE \right |}{\left | DB \right |}=\frac{\left | QD \right |}{\left | SD \right |}\Leftrightarrow$$ $$\frac{4}{7}=\frac{\left | QD \right |}{4}\Rightarrow$$ $$\left \| QD \right \|=\frac{16}{7}$$

     2) Пусть  теперь $$(QL)\left | \right |(SO)$$,тогда  $$(QL)\perp (ABC)$$, $$\Delta DQL\sim \Delta DSO\Rightarrow$$ $$\frac{\left | QL \right |}{\left | SO \right |}=\frac{\left | DQ \right |}{\left | SD \right |}$$

     3) Из $$\Delta DSO$$  по теореме Пифагора : $$\left | SO \right |=\sqrt{\left | DS \right |^{2}-\left | DO \right |^{2}}=$$$$\sqrt{16-\frac{49}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$$, следовательно, из предыдущей пропорции получаем:

$$\left | QL \right |=\frac{\left | DQ \right |*\left | SO \right |}{\left | SD \right |}=\frac{2}{7}\sqrt{15}$$

 

Задание 6041

Дана четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S и прямоугольником ABCD в основании. Известно, что SA=SB=SC=SD=13, AD=BC=12, AB=CD=5. Из точки А на ребро SC опущен перпендикуляр АН.

А) Докажите, что SH=CH
Б) Найдите длину отрезка НК, где К – точка пересечения ребра SB плоскостью, проходящей через точку Н перпендикулярно ребру SB.
Ответ: $$\frac{6\sqrt{133}}{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1) $$AC=\sqrt{AD^{2}+FC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$(ABCD-прямоугольник)

2) AS=SC по b условию $$\Rightarrow AS=SC=AC\Rightarrow \Delta ASC$$-равносторонний. Тогда AH-высота, медиана $$\Rightarrow SH=HS$$.

б)1)Построим $$CM\perp SB$$ и $$HK\perp SB$$; $$CH=HS$$ и $$CM\left | \right |HK$$, то $$HK=\frac{1}{2}*CM$$

2) из $$\Delta SBC$$:

$$\cos B =\frac{SB^{2}+CB^{2}-SC^{2}}{2*SB*CD}=$$$$\frac{13^{2}+12^{2}-13^{2}}{2*12*13}=\frac{6}{13}$$

$$\sin B =\sqrt{1-\cos^{2}\beta }=\frac{\sqrt{133}}{13}$$

3) из $$\Delta BMC$$:

$$MC=CB*\sin B =\frac{12*\sqrt{133}}{13}\Rightarrow$$ $$HK=\frac{6*\sqrt{133}}{13}$$

 

Задание 6088

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания $$AB=6\sqrt{3}$$ . На ребре BC отмечена точка М так, что BC:MC=3:1, а на ребре AC отмечена точка N так, что AN:NC=2:1. Точка К середина ребра АВ.

а) Доказать что ОК параллельна плоскости MNC1 , где О‐центр вписанной окружности треугольника A1B1C1 .
б) Найти угол между прямой ОК и плоскостью основания, если площадь треугольника MNC1 равна $$6\sqrt{3}$$
Ответ: 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) $$\Delta A_{1}B_{1}C_{1}\Rightarrow C_{1}O:OL=2:1$$

2) $$BC:MC=3:1\Rightarrow BM :MC= 2:1$$, и $$AN: NC= 2: 1 \Rightarrow \Delta CNM\sim \Delta ABC$$ и $$NM\left | \right |AB$$ и $$CH:HK=1:2$$

3) $$C_{1}L=CK, C_{1}L\left | \right | CK$$ и $$KH=\frac{2}{3}CK$$ и $$OC_{1}=\frac{2}{3}C_{1}L \Rightarrow$$

$$C_{2}O=KH$$ и $$KOC_{1}H$$- параллелограмм $$\Rightarrow KO \left | \right | C_{1}H \Rightarrow KO \left | \right | NMC_{1}$$

Б) 1) $$KO \left | \right | C_{1}H \Rightarrow$$ угол между KO и $$(C_{1}NM)$$ равен углу между $$C_{1}H$$ и $$(C_{1}NM)$$

2) из $$\Delta ABC: CK=CB*\sin60=6\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=9$$.

$$CH=\frac{1}{3}CK=3$$.

3) $$NM=\frac{1}{3}AB=2\sqrt{3}; C_{1}H\perp HM\Rightarrow C_{1}H=\frac{2S_{C_{1}MN}}{NM}=\frac{2*6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=6$$.

4) $$\cos \angle C_{1}HC=\frac{HC}{HC_{1}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$. Тогда $$\angle C_{1}HC=60^{\circ}$$

 

Задание 6135

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 8. Боковое ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Точка М‐середина высоты пирамиды. Плоскость ACM составляет угол 45 с плоскостью основания.

а) Докажите, что прямая SB параллельна плоскости ACM .
б) Найдите расстояние от точки В до плоскости ACM .
Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\angle MHD=45;SD\perp (ABC)$$

a)$$1)SD\perp (ABC)\Rightarrow SD$$-высота, тогда SM=MD.

2)ABCD-квадрат $$\Rightarrow AC\perp BD$$.

Пусть $$AC\cap BD=H$$,тогда $$DH\perp AC\Rightarrow MH\perp AC$$( по теореме о 3х перпендикулярах), тогда $$\angle MHD=45$$.

3)DH=HB(свойство диагоналей квдрата), тогда $$\Delta MHD\sim \Delta BSD\Rightarrow MH || SB\Rightarrow SB\left | \right |(AMC)$$.

б) 1)т.к. $$SB\left | \right | (AMC)$$,то d-расстояние от B до (AMC) равно расстоянию от SB до MH.

2) Опустим $$DK\perp SB, DK\cap MH=L\Rightarrow d=KL=\frac{1}{2}DK$$

3)из $$\Delta ABD: BD=\sqrt{8^{2}+8^{2}}=8\sqrt{2}$$.

4) $$\angle MHD=45\Rightarrow \Delta MHD$$ и $$\Delta BSD$$-равнобедренный $$\Rightarrow KD=BD*\sin B=8\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=8$$.

5) $$KL=\frac{1}{2}KD=4.$$

 

Задание 6183

На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SАВСD отмечена точка M, причем SМ:МD=3:2. Точки P и Q – середины рёбер BC и AD соответственно

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду
Ответ: $$\frac{13}{37}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

 

а)   1)Соединяем точки Q и P и Q и M (лежат в одной плоскости). Так как Q и P середины, то $$QP\parallel DC$$, тогда построим через М прямую, параллельную DC, пусть она пересекет SC в точке L. То есть $$ML\parallel DC\parallel QP$$, значит QMLP - трапеция

      2)Из параллельности ML и DC получаем подобие SML и SDC, тогда, так как DS=CS, то и MD=LC. Так как AD=BC, то их половины QD=PC. $$\angle QDM=\angle PCM$$, тогда треугольники QDM и CPL равны по двум стороным и углу между ними и MQ=PL, то есть тапеция равнобедренная.

б)   1)Разобьем многогранник QDCPLM на четырехугольную пирамиду QDCPM и треугольную MLCP. Пусть объем пирамида SABCD равен V.

     2) Если опустить перпендикуляр из точки M к плоскости ABCD, то его длина будет относить к длине перпендикуляра из S к этой плоскости так же, как DM:DS=2:5. При этом площадь QDCP составляет половину от ABCD. Выразим объем QDCPM через V: $$V_{QDCPM}=\frac{2}{5}*\frac{1}{2}V=\frac{1}{5}V$$

     3) Аналогично рассмотрим пирамиды MLCP и DSCB. Высота первой к высоте второй, опущенный к плоскости SBC будут относиться как SM:SD=3:5. При этом площадь LCP составляет $$\frac{CL*CP}{CS*CB}$$ от площади SBC, то есть $$\frac{1}{5}$$. Тогда $$V_{MLCP}=\frac{3}{5}*\frac{1}{5}V_{DSCB}=\frac{3}{25}V_{DSCB}$$. Но если рассматривать DSCB как пирамиду с основанием DCB, то очевидно, что $$V_{DSCB}=\frac{1}{2}V$$ и тогда $$V_{MLCP}=\frac{3}{50}V$$

     4) В итоге $$V_{QDCPLM}=\frac{1}{5}V+\frac{3}{50}V=\frac{13}{50}V$$. Тогда оставшаяся часть составим $$V-\frac{13}{50}V=\frac{37}{50}V$$. И отношение частей $$\frac{13}{37}$$

 

 

 

Задание 6230

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S AD=1/5 SD=1. Через точку В проведена плоскость $$\alpha$$ , пересекающая ребро SC в точке Е и удаленная от точек А и С на одинаковое расстояние, равное 1/10. Известно, что плоскость $$\alpha$$ не параллельна прямой АС.

А) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит ребро SC в отношении SE:EC = 7:1
Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha$$ .
Ответ: $$\frac{7\sqrt{2}}{400}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A)  1) из $$\Delta ABC: AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\frac{1}{5})^{2}+(\frac{1}{5})^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{5}$$, $$CH=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{10}$$

     2)из $$\Delta HMC : \sin MHC=\frac{MC}{OH}=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \angle MHC=45\Rightarrow$$ HE-биссектриса

     3) из $$\Delta SHC: SH=\sqrt{SC^{2}-HC^{2}}=\sqrt{1-\frac{2}{100}}=\frac{\sqrt{98}}{10}$$

По свойству биссектрисы : $$\frac{SH}{HC}=\frac{SE}{EC}\Rightarrow \frac{\sqrt{98}}{10}:\frac{\sqrt{2}}{10}=\sqrt{\frac{98}{2}}=\frac{7}{1}$$

  Б) 1)Пусть $$EH\perp HC$$,тогда из подобия $$\Delta SHC$$ и $$\Delta ENC :\frac{SE}{SC}=\frac{HN}{HC}\Rightarrow HN=\frac{SE*HC}{SC}=\frac{7*\frac{\sqrt{2}}{10}}{8}=\frac{7\sqrt{2}}{80}$$

     2) $$S_{DNB}=\frac{1}{2}NH*DB=\frac{1}{2}*\frac{7\sqrt{2}}{80}*\frac{\sqrt{2}}{5}=\frac{7}{400}$$

     3) $$S_{DEB}=\frac{S_{DNB}}{\cos EHC}=\frac{\frac{7}{400}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{400}$$

 

Задание 6278

Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2, угол между боковым ребром и основанием равен $$arccos \frac{1}{\sqrt{5}}$$ . На ребрах Sa и SD расположены точки Е и F так, что АЕ=2ES, DF=8SF. Через точки Е и F проведена плоскость $$\alpha$$ , параллельная АВ.

А) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью $$\alpha$$
Б) Найдите расстояние от точки А до плоскости $$\alpha$$
Ответ: $$\frac{2\sqrt{6}}{9}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) 1) $$\Delta DCA: CA=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}\Rightarrow$$ (теорема Пифагора). Тогда $$OA =\frac{CA}{2}=\sqrt{2}$$

     2) $$\Delta SOA: \cos SAO=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow$$. Тогда по основному тригонометрическому тождеству $$\sin SAO =\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow$$ $$tg SAO=\frac{2}{\sqrt{5}}:\frac{1}{\sqrt{5}}=2$$. $$\frac{SO}{OA}=tg SAO\Rightarrow SO=OA*tg SAO=2\sqrt{2}$$

     3) $$\Delta SON: SN=\sqrt{SO^{2}+ON^{2}}=\sqrt{1+8}=3$$ (по теореме Пифаогора). По условию: $$SH=\frac{1}{3}SN=1$$; $$SL=\frac{1}{9}SN=\frac{1}{3}$$. Из подобия треугольников: $$HH_{1}=\frac{1}{3}AD=\frac{2}{3}$$, $$H_{1}L=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

     4) $$\Delta SNN_{1}: \cos S=\frac{1^{2}+1^{2}-(\frac{2}{3})^{2}}{2*1*1}=$$$$\frac{2-\frac{4}{9}}{2}=\frac{14}{2*9}=\frac{7}{9}$$ (из теоремы косинусов). $$LN=\sqrt{\frac{1}{3}^{2}+1^{2}-2*\frac{1}{3}*1*\frac{7}{9}}=$$$$\sqrt{\frac{10}{9}-\frac{14}{27}}=\sqrt{\frac{16}{27}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}$$ (из теоремы косинусов). $$\cos LHH_{1}=\frac{\frac{16}{27}+(\frac{2}{3})^{2}-(\frac{2}{3})^{2}}{2*\frac{2}{3}*\frac{4}{3\sqrt{3}}}=$$$$\frac{16}{27}:\frac{16}{9\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{27}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow$$ $$LHH_{1}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$ (из теоремы косинусов)

Б) 1)$$ZH=\frac{1}{3}ON=\frac{1}{3}$$. Из $$\Delta RZH: RZ=ZH *tg LHH_{1}=$$$$\frac{1}{3}\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$. $$ZO =\frac{2}{3}SO=\frac{2*2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$$. $$RO=ZO+RZ=\frac{5\sqrt{2}}{3}$$

     2) Из $$\Delta ROW: OW =\frac{RO}{tg LHH_{1}}=$$$$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{3}}{\sqrt{2}}=\frac{5}{3}$$

     3) $$NW=OW-ON=\frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}$$

     4) $$NO=NW*\sin LHH_{1}=$$$$\frac{2}{3}*\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{9}$$

 

Задание 6326

Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором $$AC=CB=2$$ ,$$\angle ACB=2\arcsin \frac{4}{5}$$. Плоскость, перпендикулярная прямой А1В, пересекает ребра АВ и А1В1 в точках К и L соответственно, причем $$AK=\frac{7}{16}AB$$, $$LB_{1}=\frac{7}{16}A_{1}B_{1}$$ .

А) Докажите, что плоскость сечения пересекает ребро СС1 в его середине
Б ) Найдите площадь сечения.
Ответ: 1,35
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     (Чтобы построить сечение, нужно будет проводить $$N_{1}O$$ до пересечения с $$BC$$ в точке F, и соединять KF)

A)   1)$$\angle ACB=2 \arcsin \frac{4}{5}\Rightarrow$$ $$\sin \angle ACB =\sin (2 \arcsin \frac{4}{5})=$$$$2\sin (\arcsin \frac{4}{5})\cos(\arcsin \frac{4}{5})=$$$$2\frac{4}{5}-\sqrt{1-(\frac{4}{5})^{2}}=$$$$\frac{8}{5}*\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$$. Учитываем, что угол $$\arcsin$$ которого составляет $$\frac{4}{5}$$ больше $$\in (45;90)$$. Следовательно, двойной угол будет $$\in (90;180)$$, то есть его косинус отрицательный: $$\cos \angle ACB=-\sqrt{1-(\frac{24}{25})^{2}}=-\frac{7}{25}$$

     2) $$A_{1}B_{1}=\sqrt{C_{1}A_{1}^{2}+C_{1}B_{1}^{2}-2C_{1}A_{1}*C_{1}B_{1}*\cos A_{1}C_{1}B_{1}}=$$$$\sqrt{2^{2}+2^{2}+2*2^{2}*\frac{7}{25}}=\frac{16}{5}$$

     3) $$AK=\frac{7}{16}AB=\frac{7}{16}*\frac{16}{5}=\frac{7}{5}$$; $$KB=\frac{9}{16}*\frac{16}{5}=\frac{9}{5}$$; $$B_{1}L=\frac{7}{5}$$; $$LA_{1}=\frac{9}{5}$$; $$K_{1}M_{1}=B_{1}M_{1}-LB_{1}=\frac{8}{5}-\frac{7}{5}=\frac{1}{5}=MK$$

$$LM_{1}\left | \right |KM$$ и $$MM_{1}\perp AB A_{1}B_{1}\Rightarrow$$ $$\Delta LM_{1}O_{1}=\Delta O_{1}MK\Rightarrow M_{1}O_{1}=O_{1}K$$, но $$LN_{1}\left | \right |KN\left | \right |OO_{1}\Rightarrow C_{1}O=OC$$

Б)   1) $$O_{1}L\perp N_{1}L$$ т.к. $$M_{1}L\perp N_{1}L$$ (теорема о трех перпендикулярах)

$$B_{1}L=\frac{7}{5}\Rightarrow$$ $$\frac{B_{1}L}{B_{1}M_{1}}=\frac{7}{5}*\frac{5}{8}=\frac{7}{8}\Rightarrow$$ $$N_{1}L=\frac{7}{8}C_{1}M_{1}=\frac{7}{8}OO_{1}\Rightarrow$$ $$S_{OO_{1}LN_{1}}=\frac{OO_{1}+\frac{7}{8}OO_{1}}{2}*O_{1}L=\frac{15}{16}OO_{1}*O_{1}L$$ (так как имеем прямоугольную трапецию)

$$O_{1}L\perp N_{1}L$$ т.к. $$M_{1}L\perp N_{1}L$$ (теорема о трех перпендикулярах)

     2) из $$\Delta LO_{1}A_{1}:$$ $$O_{1}M_{1}=\sqrt{LM_{1}*M_{1}A_{1}}=\sqrt{\frac{1}{5}*\frac{8}{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$$

$$K_{1}O_{1}=\sqrt{(\frac{1}{5})^{2}+(\frac{2\sqrt{2}}{5})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{8}{25}}=\frac{3}{5}$$

$$OO_{1}=C_{1}M_{1}=\sqrt{2^{2}-(\frac{8}{5})^{2}}=\sqrt{4-\frac{64}{25}}=\frac{6}{5}$$

     3) Тогда площадь всего сечения есть удвоенная $$S_{OO_{1}LN_{1}}$$: $$S=\frac{15}{16}*\frac{6}{5}*\frac{3}{5}*2=1,35$$

 

Задание 6373

Через середину ребра АС правильной треугольной пирамиды SABC (S – вершина) проведены плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ , каждая из которых образует угол 300 с плоскостью АВС. Сечения пирамиды этими плоскостями имеют общую сторону длины 1, лежащую в грани АВС, а плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна ребру SA.

А) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $$\alpha$$
Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $$\beta$$
Ответ: $$\frac{3}{8}; \frac{54}{49}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)   1) AE- медиана $$\Rightarrow AE\perp NM\Rightarrow$$ $$NM\perp AS$$(теорема о трёх перпендикулярах )$$\Rightarrow (MNK)=\alpha$$

     2) $$S_{MNC}=S_{NMA}*\cos30$$

$$MN=1\Rightarrow$$ $$CB=2\Rightarrow$$ $$S_{AMN}=\frac{1}{4}*S_{ABC}=$$$$\frac{1}{4}*\frac{1}{2}*2*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$

$$S_{MNK}=\frac{\sqrt{3}}{4}*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}$$

Б)   1) $$\beta \cap ABC=MN\Rightarrow$$ т.к. $$(BSK)\cap ABC=BC$$, то $$MN\left | \right |QP\Rightarrow QPMN$$ - равнобокая трапеция

     2) $$\angle SAE=90-30=60(\Delta KLA)$$

$$\Delta ABC:AE=AC*\sin 60=$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}*2=\sqrt{3}$$

$$AD=\frac{2}{3}AE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$, $$\Delta ASO:AS=\frac{AO}{\cos 60}=$$ $$\frac{2\sqrt{3}}{3}*2=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

     3) $$\angle LRE=30$$, пусть AF –биссектриса $$SAE\Rightarrow AF\left | \right |LR$$, $$LR=\frac{1}{2}AF(\Delta AFE)$$

$$AF=\frac{2*AE*AS}{AE+AS}*\cos \frac{SAE}{2}=$$$$\frac{2\sqrt{3}*\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}}*\frac{\sqrt{3}}{2}=$$$$\frac{12}{7}\Rightarrow LR=\frac{6}{7}$$

     4) По свойству биссектрисы: $$\frac{SF}{FE}=\frac{SA}{AE}=\frac{4}{3}$$

$$RE=FR=\frac{1}{2}FE=$$$$\frac{1}{2}*\frac{3}{7}AE=$$$$\frac{3}{14}SE$$

$$PQ=\frac{11}{12}BC=\frac{11}{7}\Rightarrow$$ $$S_{\beta}=\frac{1+\frac{11}{7}}{2}*\frac{6}{7}=\frac{54}{49}$$

 

Задание 6420

Основание прямой призмы KLMNK’L’M’N’ – ромб KLMN с углом 600 при вершине К. Точки Е и F – середины ребер LL’ и LM призмы. Ребро SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S – вершина) лежит на прямой LN, вершины D и B – на прямых MM’ и EF соответственно. Известно, что SA=2AB.

А) Докажите, что точка В лежит на прямой ММ’
Б) Найти отношение объемов призмы и пирамиды.
Ответ: $$\frac{\sqrt{21}}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) 1) $$\left.\begin{matrix}LN\perp KM\\LN\perp LL_{1}\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow$$ $$LN\perp MM_{1}K_{1}K\Rightarrow$$ $$SA\perp MM_{1}K_{1}K$$

     2) т.к. BD-диагональ основания , то $$AS\perp BD$$ (в правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро перпендикулярно скрещивающейся с ней диагональю основания ), $$\Rightarrow AS\perp MM_{1}K_{1}K AS\perp BD$$, то $$BD \in (MM_{1}K_{1}K)$$ или $$BD\left | \right |(MM_{1}K_{1}K)$$, но по условию $$BD\cap MM_{1}=D$$, следовательно, $$BD\in (MM_{1}K_{1}K)$$ и $$B \in MM_{1}$$

   Б) 1) $$\Delta ELF=\Delta FMB$$($$LF=FM, \angle LEF=\angle MBF$$- накрест лежащие , $$\angle L=\angle M$$)$$\Rightarrow MB=EL=\frac{1}{2}LL_{1}=\frac{1}{2}MM_{1}$$

     2) т.к. $$SA\perp ( MM_{1}K_{1}K)$$, то $$SA\perp KM$$ , но т.е. $$KM\perp BD$$, то, т.к. ABCD - квадрат, а диагонали квадрата перпендикулярны, то M-точка пересечения диагоналей . $$MO \perp SA$$

     3) Пусть AB=a, тогда SA=2a, $$AM=MD=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$

$$SM=\sqrt{SA^{2}-AM^{2}}=$$$$\sqrt{4a^{2}-\frac{a^{2}}{2}}=$$$$\frac{a\sqrt{14}}{2}$$

$$MO=\frac{AM*SM}{SA}=$$$$\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}*\frac{a\sqrt{14}}{2}}{2a}=$$$$\frac{a\sqrt{7}}{4}$$

$$LO=MO tg\angle LMO=MO*tg30=$$$$\frac{a\sqrt{7}}{4}*\frac{\sqrt{3}}{3}=$$$$\frac{a\sqrt{21}}{12}$$

$$S_{KMMN}=\frac{1}{2}KM*LN=$$$$\frac{1}{2}*2*MO*2*LO=$$$$2*\frac{a\sqrt{7}}{4}*\frac{a\sqrt{21}}{12}=$$$$\frac{7a^{2}\sqrt{3}}{24}$$

     4) $$\Delta BMF=\Delta ELF\Rightarrow$$ $$EL=MB=MD=\frac{\sqrt{2}a}{2}\Rightarrow$$ $$LL_{1}=2EL=a\sqrt{2}$$, пусть $$V_{1}$$ и $$V_{2}$$ объемы $$KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}$$ и $$SABCD$$, тогда:

$$V_{1}=S_{KLMN}*LL_{1}=$$$$\frac{7a^{2}\sqrt{3}}{24}*a\sqrt{2}=$$$$\frac{7a^{3}\sqrt{6}}{24}$$

$$V_{2}=\frac{1}{3}s_{ABCD}*SM=$$$$\frac{1}{3}a^{2}*\frac{a\sqrt{14}}{2}=$$$$\frac{a^{3}\sqrt{14}}{6}$$

$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{7a^{3}\sqrt{6}}{24}*\frac{6}{a^{3}\sqrt{14}}$$$$=\frac{7\sqrt{6}}{4\sqrt{14}}=$$$$\frac{\sqrt{21}}{4}$$

 

Задание 6468

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 1. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Через вершину А параллельно диагонали BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 1:2, считая от вершины.

А) Докажите, что плоскость сечения проходит через середину отрезка SO, где О – центр основания.
Б) Найдите площадь сечения.
Ответ: $$\frac{1}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) по т. Менелая из $$\Delta CLA:$$ $$\frac{SK}{KO}*\frac{OA}{AC}*\frac{CL}{LS}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SK}{KO}*\frac{1}{2}*\frac{2}{1}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SK}{KO}=1\Leftrightarrow$$ $$SK=KO$$

    Б) 1) $$AC\perp BD$$( ABCD - квадрат), но AC-проекция AL на (ABCD)$$\Rightarrow$$ $$AL\perp BD$$

     2) $$MN\left | \right |BD\Rightarrow$$ $$AL\perp MN$$, $$S_{AMLN}=\frac{1}{2}AL*MN$$

     3) из $$\Delta ACD$$: $$AC=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$$

Из $$\Delta ACS$$: $$CS=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+2^{2}}=\sqrt{6}$$

Тогда $$\cos \angle SCA=\frac{AC}{CS}=$$$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$LC=\frac{2}{3}CS=\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

Из $$\Delta ACL$$: $$AL=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\frac{2\sqrt{6}}{3})^{2}-2\sqrt{2}*\frac{2\sqrt{6}}{3}*\frac{1}{\sqrt{3}}}=$$$$\sqrt{2+\frac{8}{3}-\frac{8}{3}}=\sqrt{2}$$

Из $$\Delta SBD\sim \Delta SNM$$: $$\frac{MN}{BD}=\frac{SK}{SO}=$$$$\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$MN=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

4) $$S_{AMLN}=\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{2}}{1}*\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$$

 

Задание 6475

На ребрах NN1 и KN куба KLMNK1L1M1N1 отмечены такие точки P и Q, что $$\frac{KQ}{QN}=\frac{1}{4}$$, $$\frac{NP}{PN_{1}}=4$$&. Через точки M1,P,Q проведена плоскость. 1

А) Докажите, что плоскость делит объем куба в отношении 61:89
Б) Найдите расстояние от точки K до плоскости сечения, если ребро куба равно 3.
Ответ: $$\frac{3}{\sqrt{51}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) Пусть KQ=t и QN=4t . Поскольку $$NN_{1}=KN$$, то $$PN=QN=4t$$ и $$N_{1}P=KQ=t$$.

     Построим сечение плоскостью $$M_{1}PQ$$. Соединим отрезки $$QP, PM_{1}$$. Через точку $$M_{1}$$ проводим прямую $$M_{1}R\left |\right |PQ$$. Поскольку $$\Delta QPN\sim \Delta M_{1}RM$$, $$\frac{QN}{MR}=\frac{PN}{M_{1}M}=\frac{4}{5}\Rightarrow$$ $$MR=ML=5t$$, тогда точки R и L совпадают . Соединим точки L,Q и получаем сечение плоскостью - четырехугольник $$M_{1}LQP$$. Проведём $$M_{1}P LQ\cap M_{1}P=T$$. $$\Delta MTL\sim \Delta NQT$$, откуда $$\frac{ML}{QN}=\frac{MT}{NT}\Rightarrow$$ $$\frac{MN}{NT}=\frac{1}{4}$$ и $$NT=20t$$.

     $$V_{LQNPM_{1}M}=V_{M_{1}LMT}-V_{PNQT}=$$$$\frac{1}{3}S_{MLT}*MM_{1}*PN=$$$$\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*5t*25t*5t-\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*4t*20t*4t=$$$$\frac{1}{6}(625t^{3}-320t^{3})=$$$$\frac{305}{6}t^{3}$$

     $$V_{ost}=V_{KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}}-V_{LQNPM_{1}M}=$$$$125t^{3}-\frac{305}{6}t^{3}=$$$$\frac{750t^{3}-305t^{3}}{6}=$$$$\frac{445}{6}t^{3}$$ и $$\frac{V_{LQNPM_{1}M}}{V_{ost}}=$$$$\frac{305}{405}=\frac{61}{89}$$

   Б) Введем систему координат XYZ с центром в точке K(0;0;0), тогда соответственно Q(t;0;0),L(0;5t;0),P(5t;0;4t).

     Составляем уравнение плоскости: $$ax+by+cz+d=0$$

     $$\left\{\begin{matrix}at+d=0\\5bt+d=0\\5at+4ct+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{d}{t}\\b=-\frac{d}{5t}\\4ct=-5at-d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{d}{t}\\b=-\frac{d}{5t}\\c=\frac{d}{t}\end{matrix}\right.$$ , тогда уравнение плоскости примет вид :

     $$-\frac{d}{t}x-\frac{d}{5t}y+\frac{d}{t}z+d=0\Leftrightarrow$$ $$5x+y-5z=0$$ , вектор нормали $$\bar{n}(5,1,-5)$$. Применяем формулу расстояния от точки $$(x_{0}, y_{0},z_{0})$$ до плоскости $$ax+by+cz+d=0$$

     $$p=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+C^{2}}}$$, откуда $$p=\frac{\left | 5*0-1*0-5*0-5r \right |}{\sqrt{5^{2}+1^{2}+5^{2}}}=\frac{5t}{\sqrt{51}}$$. Поскольку ребро куба равно 3,т.е. 5t=3, тогда искомое расстояние $$p=\frac{3}{\sqrt{51}}$$

Ответ: $$p=\frac{3}{\sqrt{51}}$$

 

Задание 6522

Правильная треугольная призма АВСА1В1С1 пересечена плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, А1С1, ВВ1. Сторона основания призмы равна 2, а высота призмы равна $$\frac{\sqrt{7}}{7}$$ .

А) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы.
Б) Найдите площадь сечения.
Ответ: $$\frac{13}{12}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Введем ортогональную систему координат, как на рисунке .

     2) Зададим уравнение плоскости сечения. Для этого найдем координаты трех точек, лежащих в данной плоскости:

$$N_{x}=-\frac{1}{2}KA=-\frac{1}{2};$$ $$N_{y}=\frac{1}{2}KB=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; $$N_{z}=0$$

$$K_{x}=0$$; $$K_{y}=0$$; $$K_{z}=CC_{1}=\frac{\sqrt{7}}{7}$$

$$M_{x}=0$$; $$M_{y}=KB=\sqrt{3}$$; $$M_{z}=\frac{1}{2}CC_{1}=\frac{\sqrt{7}}{14}$$

     Тогда : $$\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+d=0\\\frac{\sqrt{7}}7{c+d=0}\\\sqrt{3}b+\frac{\sqrt{7}}{14}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}2{b+d=0}\\c=-\sqrt{7}d\\\sqrt{3}b-\frac{7d}{14}+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{4}d+d=0\\c=-\sqrt{7}d\\b=-\frac{1}{2\sqrt{3}}d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a=\frac{3}{2}d\\b=-\frac{1}{2\sqrt{3}}d\\c=-\sqrt{7}d\end{matrix}\right.$$

     Тогда нормаль-вектор для $$(NMK_{1})$$: $$\bar{n}(\frac{3}{2};-\frac{1}{2\sqrt{3}}; -\sqrt{7})$$

      Нормаль-вектор для (ABC)-ось OZ: $$\bar{m}(0;0;1)$$

     3) $$\cos(\bar{n},\bar{m})=\frac{\left | \frac{3}{2}*0-\frac{1}{2\sqrt{3}}*0-\sqrt{7}*1 \right |}{\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+(-\frac{1}{2\sqrt{3}})^{2}+(-\sqrt{7})^{2}}\sqrt{1^{2}}}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$$ $$\angle (\bar{n},\bar{m})=30$$, что так же является углом между плоскостями

   Б) 1) AN=NB; $$\angle ANE=\angle MNB\Rightarrow$$ $$\Delta ANE=\Delta NMB$$ и $$AE=MB=\frac{1}{2} BB_{1}=\frac{\sqrt{7}}{14}$$

     2) $$\Delta ALE\sim \Delta A_{1}EK_{1}\Rightarrow$$ $$\frac{AL}{A_{1}K_{1}}=\frac{AE}{A_{1}E}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$AL=\frac{1}{3}\Rightarrow$$$$S_{\Delta ALN}=\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*1*\frac{\sqrt{3}}{2}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{12}(\frac{1}{2}AL*AN\sin A)$$

     3)Проведем из B прямую $$\left | \right |NL\Rightarrow BQ$$: $$\frac{AN}{NB}=\frac{AL}{LQ}\Rightarrow$$ $$LQ=AL=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$QK=1-2*\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

     4) $$\Delta KCR\sim \Delta QCB($$R-проекция $$R_{1}$$, $$K_{1}R_{1}\left | \right |KR$$, но $$K_{1}R_{1}\left | \right |LN\Rightarrow$$ $$K_{1}R_{1}\left | \right |QB\Leftrightarrow$$ $$KR\left | \right |QB$$)$$\Rightarrow S_{KCR}=S_{QCB}$$($$\frac{CK}{CQ})^{2}$$. $$S_{QCB}=\frac{1}{2}*\frac{4}{3}*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$. $$(\frac{CK}{CQ})^{2}=(\frac{1}{\frac{4}{3}})^{2}=\frac{9}{16}$$. $$S_{KCR}=\frac{2\sqrt{3}}{3}*\frac{9}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$$

    5) $$S_{\angle NBRK}=S_{ABC}-S_{ALN}-S_{CKR}$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}*2*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$

$$S_{\angle NBRK}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{13\sqrt{3}}{24}$$

Но LNBRK-проекция $$K_{1}LNMR_{1}$$ на $$(ABC)\Rightarrow S_{K_{1}LNMR_{1}}=$$$$\frac{S_{\angle NBRK}}{\cos\alpha }$$,где $$\alpha =30$$

$$S_{K_{1}LNMR_{1}}=\frac{13\sqrt{3}}{24}:\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{13}{12}$$

 

Задание 6569

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости АВС, ,AB=2, AC=1, $$\angle BAC=120^{\circ}, SA=3\sqrt{2}$$ . Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку С и середину ребра АВ, а другая – через точку В, имеют равные площади.

А) Найти объемы многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости сечений
Б) Найти расстояние между секущими плоскостями.
Ответ: А)$$\frac{\sqrt{6}}{12};\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{12}$$ Б)$$\frac{\sqrt{2}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Пусть E-середина $$AB\Rightarrow$$ пусть $$CE\in \alpha$$ и $$\alpha \cap AD=F$$, тогда $$\alpha =(CEF)$$

     2)Пусть $$B \in \beta$$ и $$\alpha \left | \right |\beta$$ и $$\beta \cap AD=G$$; $$\beta \cap CD=J$$. Тогда : $$EF\left | \right |BG$$ и т.к. $$\Delta AEF\sim \Delta ABG$$, то $$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BG}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$BG=2 EF(1)$$

     3) $$S_{CFE}=S_{JGB}\Rightarrow$$$$\frac{1}{2}CF*FE*\sin F=\frac{1}{2}JG*GB \sin F$$; $$\angle F=\angle G\Rightarrow$$$$CF*FE=JG*GB$$. С учетом (1) получаем, что $$JG=\frac{1}{2}CF$$. Но $$\Delta SGT\sim \Delta SFC\Rightarrow$$ $$\frac{GT}{CF}=\frac{SG}{SF}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$AF=FG=GS=\frac{1}{3}AS=\sqrt{2}$$

     4) $$V_{FACE}=\frac{1}{3}S_{AEC}*AF=$$$$\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*S_{ABC}*\frac{1}{3}AS=$$$$\frac{1}{6}V_{SABC}$$;

$$\frac{V_{SGBJ}}{V_{SABC}}=\frac{SG*SJ*SB}{SA*SC*SB}=$$$$\frac{1}{3}*\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\Rightarrow$$ $$V_{SGBJ}=\frac{1}{6}V_{SABC}$$, $$V _{FECGBJ}=\frac{4}{6} V_{SABC}$$; $$V_{SABC}=\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*2*1*\frac{\sqrt{3}}{2}*3\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

Найдем $$V_{FACE}=V_{SGJB}=\frac{\sqrt{6}}{12}$$; $$V_{FCEGBJ}=\frac{4}{6}*\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{2\sqrt{6}}{6}$$

   Б) 1)Построим $$AN\perp EC$$ . Опустим перпендикуляр из G на FN :$$GM\perp FN$$ и $$GM\cap FN=G$$. Тогда GMFи FNAявляются одной плоскостью

     2) FN\perp CE(по построению) , AN- проекция FN на $$(ABC)\Rightarrow$$ $$CE\perp (FCE)\Rightarrow$$ $$CE\perp MG$$ с учетом , что $$GM\perp FN$$, то $$GM\perp (CEF)\Rightarrow$$ GM - расстояние от (GJB) до (CEF)

     3) $$\Delta GFM$$: $$GM=FG \sin \angle MFG$$

$$\angle MFG=\angle AFN$$( вертикальные ), тогда $$\sin \angle MFG=\sin \angle AFN=\frac{AN}{FN}$$

$$\Delta ANC$$: $$AN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$$

$$\Delta AFN$$: $$FN=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$$

$$\sin \angle AFN=\frac{1}{2}:\frac{3}{2}=\frac{1}{3}$$

$$GM=\sqrt{2}*\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$

 

Задание 6616

Точки M,N и P лежат на боковых ребрах правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 и делят их в отношении $$AM:MA_{1}=1:2$$, $$BN:NB_{1}=1:3$$, $$CP:PC_{1}=2:3$$

А) В каком отношении делит объем призмы плоскость, проходящая через точки M,N и P ?
Б) Докажите, что MNP ‐ прямоугольный треугольник, если сторона основания призмы равна $$2\sqrt{10}$$ , а боковое ребро равно 60 .
Ответ: $$\frac{59}{121}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Пусть a - ребро основания, b - боковое ребро. Тогда: $$AM=\frac{1}{3}b$$, $$NB=\frac{1}{4}b$$, $$CP=\frac{2}{5}b$$

     2) Разобъем многогранник ABCMNP на пирамиды : PABNM и PABC

     3) Пусть $$CH\perp AB$$ и h - перпендикуляр из P. Тогда $$CH=h\Rightarrow$$ $$V_{PABNM}=\frac{1}{3}S_{ABNM}*CH$$. Из $$\Delta ABC$$: $$CH=AB *\sin 60=\frac{\sqrt{3}a}{2}$$

  $$S_{ABNM}=\frac{AM+NB}{2}*AB=$$$$\frac{\frac{1}{3}b+\frac{1}{4}b}{2}*a=\frac{7ab}{24}$$

  $$V_{PABNM}=\frac{1}{3}*\frac{7ab}{24}*\frac{\sqrt{3}a}{2}=$$$$\frac{7a^{2}b\sqrt{3}}{144}$$

     4) $$V_{PABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}*CP$$

  $$S_{ABC}=\frac{1}{2}*AB*BC*\sin 60=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}$$

  $$V_{PABC}=\frac{1}{3}*\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}*\frac{2}{5}b=$$$$\frac{2\sqrt{3}a^{2}b}{60}$$

Тогда $$V_{ABCMNP}=\frac{7a^{2}b\sqrt{3}}{144}=$$$$\frac{2\sqrt{3}a^{2}b}{60}=$$$$\frac{(35+24)\sqrt{3}a^{2}b}{720}=\frac{59\sqrt{3}a^{2}b}{720}$$

     5) $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=S_{ABC}*CC_{1}=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}*b=\frac{\sqrt{3}a^{2}b}{4}$$

      6) $$V_{A_{1}B_{1}C_{1}MNP}=$$$$\frac{\sqrt{3}a^{2}b}{4}-\frac{59\sqrt{3}a^{2}b}{720}=$$$$\frac{121\sqrt{3}a^{2}b}{720}$$

Тогда: $$\frac{V_{ABCMNP}}{V_{A_{1}B_{1}C_{1}MNP}}=\frac{59}{121}$$

   Б) 1) $$MN=AM-NB=5$$. $$NM_{1}\perp AM\Rightarrow$$ $$NM_{1}=AB=2\sqrt{10}$$

     2) $$\Delta MNM_{1} MN=\sqrt{5^{2}+(2\sqrt{10}^{2})}=\sqrt{25+40}=\sqrt{65}$$

     3) Аналогично $$PP_{1}=PC-NB=9$$. $$PN=\sqrt{81+40}=\sqrt{121}$$

     4) Аналогично : $$PM_{1}=24-20=4$$. $$MP=\sqrt{16+40}=\sqrt{56}$$

     5) $$MN^{2}+MP^{2}=65+56=121=PN$$ - выполнилась теорема Пифагора

 

Задание 6664

В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6, точки М и N – середины ребер АВ и В1С1 соответственно, а точка К расположена на ребре DC так, что DK=2KC.

А) Найдите расстояние между прямыми MN и AK
Б) Расстояние от точки А1 до плоскости треугольника MNK.
Ответ: А) $$\frac{18}{\sqrt{53}}$$ Б) $$\frac{66}{\sqrt{173}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Введем ортогольную систему координат , как показано на рисунке. Найдем координаты : M,N,A,K.

$$M(0;\frac{1}{2}A;0)\Rightarrow$$ $$M(0;3;0)$$

$$N(\frac{1}{2}B_{1}C_{1}; 0;BB_{1})\Rightarrow$$ $$N(3;0;6)$$

$$K(BC;\frac{1}{3}CD; 0)\Rightarrow$$ $$K(6;2;0)$$

$$A(0;AB;0)\Rightarrow$$ $$A(0;6;0)$$

     2) Построим $$MK_{1}\left | \right |AK$$ : $$\Delta M_{1}BK_{1}\sim \Delta AKD$$ и $$\frac{M_{1}B}{KD}=\frac{BK_{1}}{AD}\Rightarrow$$ $$BK_{1}=\frac{3*6}{4}=4,5$$

Тогда : $$K_{1}(4,5 , 0,0)$$

     3) Расстояние между MN и AK равно расстоянию от A до ($$MNK_{1}$$). Зададим уравнение ($$MNK_{1}$$):

$$\left\{\begin{matrix}a*0+b*3+c*0+d=0\\a*3+b*0+c*6+d=0\\a*4,5+b*0+c*0+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{2d}{9}\\b=-\frac{d}{3}\\c=-\frac{d}{8}\end{matrix}\right.$$

($$MNK_{1}$$) : $$-\frac{2}{9}x-\frac{1}{3}y-\frac{1}{18}z+1=0$$

Тогда расстояние: $$r=\frac{\left | -\frac{2}{9}*0-\frac{1}{43*6}-\frac{1}{18*0}+1 \right |}{\sqrt{(-\frac{2}{9})^{2}+(-\frac{1}{3})^{2}+(-\frac{1}{18})^{2}}}=$$$$\frac{1}{\frac{\sqrt{55}}{18}}=\frac{18}{\sqrt{53}}$$

   Б) 1)Зададим уравнение (MNK):

$$\left\{\begin{matrix}a*0+b*3+c*0+d=0\\a*3+b*0+c*6+d=0\\a*6+B*2+c*0+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{d}{8}\\b=-\frac{d}{3}\\c=-\frac{5d}{36}\end{matrix}\right.$$

(MNK) : $$-\frac{1}{18}x-\frac{1}{3}y-\frac{5}{36}z+1=0$$

     2) Найдем координаты $$A_{1}(0;6;6)$$. Тогда расстояние от $$A_{1}$$ до (MNK): $$\frac{\left | -\frac{1}{18}*0-\frac{1}{3}*6-\frac{5}{36}*6+1 \right |}{\sqrt{(-\frac{1}{18}^{2})+(-\frac{1}{3})^{2}+(-\frac{5}{36})^{2}}}=$$$$\frac{11}{6}*\frac{36}{\sqrt{173}}=\frac{66}{\sqrt{173}}$$

 

Задание 6699

В треугольной пирамиде ABCD ребра АВ и CD взаимно перпендикулярны, AD=BC, 4 , $$\angle DAC=\frac{\pi}{2},\angle ACD=\frac{\pi}{4}$$ , угол между ребром DC и гранью АВС равен $$\frac{\pi}{6}$$.

А) Докажите, что середина ребра АВ равноудалена от плоскости ACD и плоскости BCD
Б) Найдите угол между ребром АВ и гранью ACD.
Ответ: $$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) $$\angle ACD=\frac{\pi}{4}$$; $$\angle A=\frac{\pi}{2}\Rightarrow$$ $$\angle ADC=\frac{\pi}{4}\Rightarrow$$ $$AD=AC$$

     2) Пусть AH-проекция AB на $$(ACD)\Rightarrow$$ по теореме о трех перпендикулярах $$AH\perp CD$$, тогда $$\Delta ADH=\Delta AHC$$(по гипотенузе и катету )$$\Rightarrow DH=HC\Rightarrow$$ BH-медиана

     3) $$AB\perp DC$$ и $$AH\perp CD\Rightarrow$$ $$(ABH)\perp CD\Rightarrow$$ $$BH\perp CD$$ , но тогда BH-высота $$\Rightarrow \Delta DBC$$ –равнобедренный и $$DB=BC$$

     4) $$AD=AC=CB=DB\Rightarrow$$ $$\Delta DBC=\Delta DAC$$ (DC-общая, $$\angle DBC=90$$)

     5) $$OM\perp AB$$, $$CD\perp AB\Rightarrow$$ $$(DMC)\perp AB\Rightarrow$$ $$\angle DCM=\frac{\pi}{6}$$

     6) $$CM=DM$$(высота в равных треугольниках ) $$\Rightarrow$$ $$\Delta DMC$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ MH-медиана и высота (т.к. $$(AHB)\perp CD$$ и DH=HC). Следовательно, точка располагается на биссектрисе угла, потому она равноудалена от его сторон

   Б) 1) Пусть $$AC=x\Rightarrow$$ $$\Delta ACD$$ : $$CD=x\sqrt{2}$$$$\Rightarrow$$ $$HC=\frac{x\sqrt{2}}{2}$$. Из $$\Delta MHC$$: $$MH=HC*tgC=\frac{x\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x\sqrt{6}}{6}$$

     2) $$\Delta AHM$$ – прямоугольный , $$AH=HC=\frac{x\sqrt{2}}{2}$$. $$\sin \angle MAN=\frac{MH}{AH}=$$$$\frac{x\sqrt{6}}{6}*\frac{\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$$$\Rightarrow$$ $$\angle MAH=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$$

 

Задание 6758

Основание прямой призмы ABCA1B1C равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=BC=5, AC=6 . Высота призмы равна $$\sqrt{6}$$ . На сторонах A1C1, A1B1 и AC выбраны соответственно точки D1, E1 и D так, что , $$A_{1}D_{1}=\frac{A_{1}C_{1}}{4}$$, $$A_{1}E_{1}=B_{1}E_{1}$$, $$CD=\frac{AC}{3}$$, и через эти точки проведена плоскость.

     А) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью
     Б) Найдите расстояние от точки A до плоскости сечения
Ответ: а) $$\frac{329}{30}$$; б) $$\frac{3\sqrt{6}}{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А)   1) Соединим $$D_{1}E_{1}$$, т.к. $$(ABC) \left | \right |(A_{1}B_{1}C_{1})$$, то из D пойдет прямая DH ($$DH\cap BC=H$$) и $$D_{1}C_{1}\left | \right |DH$$

     2) Пусть $$D_{1}E_{1}\cap C_{1}B_{1}=Q$$. Соединим $$QH\cap BB_{1}=N$$, соединим $$DD_{1}\Rightarrow$$ $$D_{1}D+NE_{1}$$ - искомое сечение

     3) $$A_{1}D_{1}=D_{1}L_{1}$$($$B_{1}L_{1}$$ - высота ), $$A_{1}E_{1}=E_{1}B_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$D_{1}E_{1}=\frac{1}{2}B_{1}L_{1}$$ и $$D_{1}E_{1}\left | \right |B_{1}L_{1}$$; $$B_{1}L_{1}=\sqrt{B_{1}C_{1}^{2}-L_{1}C_{1}^{2}}=4$$$$\Rightarrow$$ $$E_{1}D_{1}=2$$

     4) $$DH\left | \right |D_{1}E_{1}\Rightarrow$$ $$DH\left | \right |BL$$ (BL - высота) $$\Rightarrow$$ $$\frac{DH}{LB}=\frac{CD}{CL}$$; $$CD=\frac{AC}{3}=2$$, $$CL=3\Rightarrow$$ $$DH=\frac{2*4}{3}=\frac{8}{3}$$

     5) $$S_{D_{1}N_{1}NE_{1}}=\frac{D_{1}E_{1}*N_{1}N}{2}*DN_{1}$$; $$S_{NN_{1}DH}=\frac{DH*NN_{1}}{2}*DN_{1}$$ ($$AA_{1}\perp DH$$, $$AD\perp DH$$$$\Rightarrow$$ $$D_{1}D\perp DH$$); $$NK_{1}=BL=4;D_{1}B_{1}=\sqrt{D_{1}L_{1}^{2}+L_{1}N_{1}^{2}}$$$ $$D_{1}L=1,5 ; LD=1$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{L_{1}N_{1}}{M_{1}L}=\frac{3}{2}$$ ($$\Delta D_{1}L_{1}N_{1}\sim \Delta N_{1}LD)$$$$\Rightarrow$$ $$L_{1}L=AA_{1}=\sqrt{6}=5x$$$$\Rightarrow$$ $$x=\frac{\sqrt{6}}{5}\Rightarrow$$ $$L_{1}N_{1}=\frac{3\sqrt{6}}{5}$$, $$N_{1}L=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$)

$$D_{1}B_{1}=\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+(\frac{3\sqrt{6}}{5})^{2}}=\frac{21}{10}$$

$$D{1}D=\frac{7}{2}$$

$$DN_{1}=\sqrt{1^{2}+(\frac{2\sqrt{6}}{5})^{2}}=\frac{7}{5}$$

$$S_{D_{1}N_{1}NE_{1}}=\frac{2+4}{2}*\frac{21}{10}=\frac{63}{10}$$

$$S=\frac{63}{10}+\frac{14}{3}=\frac{329}{30}$$

$$S_{DHN_{1}N}=\frac{\frac{8}{3}+4}{2}*\frac{7}{5}=\frac{14}{3}$$

Б)   1) Пусть $$DD_{1}\cap AA_{1}=K$$ $$\Delta KD_{1}A_{1}\sim \Delta KAD$$; $$\frac{A_{1}D}{AD}=\frac{KD_{1}}{KD}=\frac{KA_{1}}{KA}=\frac{1,5}{4}=\frac{3}{8}$$. Пусть $$KA_{1}=x\Rightarrow$$ $$KA=x+\sqrt{6}\Rightarrow$$ $$\frac{x}{x+\sqrt{6}}=\frac{3}{8}\Leftrightarrow$$ $$8x=3x+3\sqrt{6}\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{3\sqrt{6}}{5}$$. Пусть $$KD_{1}=y\Rightarrow$$ $$KD=y+\frac{7}{2}\Rightarrow$$ $$\frac{y}{y+\frac{7}{2}}=\frac{3}{8}\Rightarrow$$ $$y=\frac{21}{10}$$

     2) Пусть $$A_{1}R\perp KD_{1}$$, но $$A_{1}D_{1}D_{1}E_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$A_{1}R\perp D_{1}E_{1}$$ и $$A_{1}R\perp KD_{1}E_{1}$$.

$$A_{1}R=\frac{A_{1}K*A_{1}D_{1}}{KD_{1}}=$$$$\frac{\frac{3\sqrt{6}}{5}*\frac{3}{2}}{\frac{21}{10}}=$$$$\frac{9\sqrt{6}*10}{5*2*21}=\frac{3\sqrt{6}}{7}$$

 

Задание 6805

Апофема правильной пирамиды SABCD равна 2, боковое ребро образует с основанием ABCD угол, равный $$arctg \sqrt{\frac{3}{2}}$$. Точки E, F, K выбраны соответственно на ребрах АВ, AD и SC так, что $$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}=\frac{SK}{KS}=\frac{1}{2}$$

А) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью EFK
Б) Найдите угол между прямой SD и плоскостью EFK
Ответ: А)$$\frac{14\sqrt{5}}{9\sqrt{3}}$$ Б)$$\arcsin \frac{3}{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1)Соединим EF. Построим $$EF\cap CD=R$$. Соединим RK; $$RK\cap SD=N$$. Аналогично $$EF\cap CB=R_{1}$$; $$R_{1}K\cap SB=H\Rightarrow$$ (FNKHE) - искомая площадь

     2) Опустим проекцию $$K$$ на (ABCD) $$\Rightarrow$$ $$K_{1}$$

     3) Пусть SZ –апофема и AB=x $$\Rightarrow$$ $$OZ=\frac{AB}{2}=\frac{x}{2}$$; $$OB=\frac{BD}{2}=\frac{x\sqrt{2}}{2}$$

Из $$\Delta SOB$$: $$SO=OB*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{3}}{2}$$

Из $$\Delta SOZ$$: $$SO^{2}+OZ^{2}=SZ^{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{3x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}=4\Leftrightarrow$$ $$x=2\Rightarrow$$ $$SO=\sqrt{3}$$ ; $$BO=\sqrt{2}$$

     4) $$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EB}\Rightarrow$$ $$\Delta AFE\sim \Delta ADB$$ и $$FE\left | \right |BD$$ $$\Rightarrow$$ $$VK\perp N_{1}H_{1} VK_{1}\perp FE$$; $$VK\perp NH$$

     5) $$\Delta SOC$$: $$KK_{1}=\frac{2}{3}SO=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$; $$OK_{1}=\frac{1}{3}OC$$

Из $$\Delta ADB$$: $$VO=\frac{2}{3}AO\Rightarrow$$ $$VK_{1}=AO=\sqrt{2}$$

Из $$\Delta VKK_{1}$$: $$VK=\sqrt{VK_{1}^{2}+KK_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{10}{3}}$$

     6) По т. Менелая из VKC : $$\frac{SL}{LO}*\frac{OV}{VC}*\frac{CK}{KS}=1\Rightarrow$$ $$\frac{SL}{LO}=\frac{5}{4}\Rightarrow$$ $$NH=\frac{5}{9}BD=\frac{10\sqrt{2}}{9}$$

Из $$\Delta VLO$$: $$VL=\sqrt{VO^{2}+OL^{2}}=$$$$\sqrt{(\frac{2\sqrt{2}}{3})^{2}+(\frac{4\sqrt{3}}{9})^{2}}=$$$$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{10}{3}}\Rightarrow$$ $$LK=VK-VL=\frac{1}{3}*\sqrt{\frac{10}{3}}$$; $$FE=\frac{1}{3} BD=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

     7) $$S_{FNKHE}=\frac{NH+EF}{2}*VL+\frac{NH*KL}{2}=$$$$\frac{14\sqrt{5}}{9\sqrt{3}}$$

   Б) 1) из $$\Delta SOC$$: $$SC=\sqrt{SO^{2}+OC^{2}}=\sqrt{5}\Rightarrow$$ $$KC=\frac{2\sqrt{5}}{3}$$; $$SK=\frac{\sqrt{5}}{3}$$

     2) из $$\Delta VKC$$ : $$\cos VKC=\frac{VK^{2}+KC^{2}-VC^{2}}{2 VK*KC}=0\Rightarrow$$ $$\angle VKC=90$$ $$\Rightarrow$$ $$SC\perp VK$$

     3) $$OC\perp BD\Rightarrow$$ $$OC\perp NH$$ , но OC - проекция $$SC\Rightarrow$$ $$SC\perp NH\Rightarrow$$ $$SC\perp (FNKHE)\Rightarrow$$ $$\angle SHK=\angle (SB; (FNKHE))$$

     4) $$SH=\frac{5}{9}SB=$$$$\frac{5\sqrt{5}}{9}\Rightarrow$$ из $$\Delta SHK$$: $$\sin \angle SHK=\frac{SK}{SH}=\frac{3}{5}\Rightarrow$$ $$\angle SHK=\arcsin \frac{3}{5}$$

 

Задание 6825

Диагональ основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 8, высота пирамиды SO равна 1. Точка М – середина ребра SC, точка К – середина ребра CD.

А) Найдите угол между прямыми ВМ и SK
Б) Найдите расстояние между прямыми ВМ и SK
Ответ: А)$$arccos \frac{23}{27}$$ Б) $$\frac{4\sqrt{2}}{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)     1) Зададим ортогальную систему координат как показано на рисунке:

          2)из $$\Delta ABD$$: $$AB=BD \sin D=8*\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$

          3) Найдем координаиты точек:

$$B (-\frac{BC}{2}; -\frac{AB}{2},0)\Rightarrow$$ $$B(-2\sqrt{2};-2\sqrt{2},0)$$

$$S(0;0; SO)$$$$\Rightarrow$$ $$S(0;0;1)$$

$$K (\frac{AD}{2};0;0)\Rightarrow$$ $$k(2\sqrt{2};0;0)$$

          Опустим $$MM_{1}\perp (ABC)$$, $$\Delta SOC \sim \Delta MM_{1}C$$, тогда:

$$M(\frac{AD}{4};-\frac{CD}{4};\frac{SO}{2})\Rightarrow$$ $$M (\sqrt{2};-\sqrt{2};\frac{1}{2})$$

          Тогда: $$\bar{BM} (3\sqrt{2}; \sqrt{2};\frac{1}{2})$$, $$\bar{SK}(2\sqrt{2};0;-1)$$

          Найдем угол между данными векторами:

$$\cos \angle (\bar{BM}, \bar{SK})=$$$$\frac{3\sqrt{2}*2\sqrt{2}+\sqrt{2}*0+\frac{1}{2}(-1)}{\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}* \sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}}=$$$$\frac{23}{27}\Rightarrow$$ $$\angle (\bar{BM}; \bar{SK})=arccos \frac{23}{27}$$

Б)     1) Построим $$MN \left | \right |SK (MN\cap DC=N)\Rightarrow$$ $$(BMN)\left | \right |SK\Rightarrow$$ $$\rho (SK; (BMN))=\rho (BM; SK)$$

          2) $$N (\frac{AD}{2}; -\frac{CD}{4};0) \Rightarrow$$ $$N (2\sqrt{2}; -\sqrt{2},0)$$

          Зададим уравнение (BMN):

$$\left\{\begin{matrix}-2\sqrt{2}a-2\sqrt{2}b +d=0\\\sqrt{2}a -\sqrt{2}b +\frac{1}{2}c+d=0\\2\sqrt{2}a-\sqrt{2}b +d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=\frac{\sqrt{2}d}{3}\\c=-\frac{d}{3}\\a=-\frac{\sqrt{2}d}{12}\end{matrix}\right.$$

          Тогда уравнение (BMN): $$-\frac{\sqrt{2}}{12}x+\frac{\sqrt{2}}{3}y-\frac{1}{3}z+1=0$$

          Тогда расстояние между прямыми: $$\rho (BM, SK) =\frac{\left | -\frac{\sqrt{2}}{12}*2\sqrt{2}+1 \right |}{\sqrt{(-\frac{\sqrt{2}}{12})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{3})^{2}+(-\frac{1}{2})^{2}}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$$

 

Задание 6876

В кубе ABCDA1B1C1D1 сечение проходит через вершину А и середины граней A1B1C1D1 и B1C1CB.

А) Найдите, в каком отношении секущая плоскость делит объем куба
Б) Найдите угол между плоскостью грани ABCD и плоскостью сечения.
Ответ: А) $$\frac{1}{2}$$ Б) $$arccos \frac{1}{\sqrt{11}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)      1) Пусть $$B_{1}D_{1}\cap A_{1}C_{1}=K$$ $$\Rightarrow$$ K - середина ($$A_{1} B_{1}C_{1}D_{1}$$). Тогда $$K \in (A_{1} C_{1} C A)$$$$\Rightarrow$$ $$AK\cap CC_{1}=M$$

        2) Пусть $$B_{1}C\cap BC_{1}=N$$$$\Rightarrow$$ N - середина $$(B_{1}C_{1}CB)$$ и $$M, N \in (B_{1}C_{1}CB)$$$$\Rightarrow$$ соединяем MN, $$MN\cap B_{1}C_{1}=L_{1}$$; $$MN\cap BC=L$$

        3) Соединим $$L_{1}K ; L_{1}K\cap A_{1}D_{1}=R_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$AR_{1}L_{1}L$$ - искомое сечение

        4) Рассмотрим $$\Delta AMC$$: $$KC_{1}=\frac{A_{1}C_{1}}{2}$$;. Пусть сторона квадрата равна 1, тогда: 

$$A_{1}C_{1}=\sqrt{2}$$$$\Rightarrow$$ $$KC_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$; $$CC_{1}=1$$; $$\Delta MKC_{1}\sim \Delta AMC$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{MC_{1}}{MC}=\frac{KC_{1}}{AC}$$$$\Rightarrow$$ $$MC_{1}=1$$

         5) $$\Delta MCL\sim MNN_{1}(NN_{1}\left | \right |LC)$$, $$CN_{1}=\frac{1}{2}CC_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$CN_{1}=\frac{1}{4}CM$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{MN_{1}}{MC}=\frac{NN_{1}}{CL}=\frac{3}{4}$$; $$NN_{1}=\frac{1}{2}$$, $$LC=\frac{2}{3}$$$$\Rightarrow$$ $$BL=\frac{1}{3}$$, $$L_{1}C_{1}=\frac{1}{3}$$, $$B_{1}L_{1}=\frac{2}{3}$$

        6) Пусть $$A_{1}H\left | \right |L_{1}R_{1}$$; тогда $$\Delta A_{1}B_{1}H=\Delta ABL$$$$\Rightarrow$$ $$V_{A_{1}B_{1}HABL}=\frac{1}{2}S_{ABL}*BB_{1}=\frac{1}{2} *1*\frac{1}{3}*1=\frac{1}{6}$$

        7) $$\Delta A_{1}AR_{1}=HLL_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$V_{A_{1}R_{1}ALHL_{1}}=S_{AA_{1}R_{1}}*h$$, где h - высота призмы $$A_{1}R_{1}ALHL_{1}$$; $$A_{1}B_{1}(A_{1}B_{1}\perp (B_{1}C_{1}CB))$$$$\Rightarrow$$ $$V_{A_{1}R_{1}ALHL_{1}}=\frac{1}{2}*1*\frac{1}{3}*1=\frac{1}{6}$$

Тогда $$V_{A_{1}B_{1}L_{1}R_{1}ABL}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}=V_{1}$$; $$V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=1^{3}=1$$$$\Rightarrow$$ $$V_{ALCDR_{1}L_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{2}{3}=V_{2}$$ ;$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$$

Б)       введем ортогальную систему координат: $$A(0;1;0)$$; $$R_{1}(0;\frac{2}{3};1)$$; $$L(1; \frac{2}{3}; 0)$$. Зададим уравнение ($$ALL_{1}R_{1}$$): $$\left\{\begin{matrix}0*a+1*b+0*c+d=0\\0*a+\frac{2}{3} b+1*c+d=0\\1*a+\frac{2}{3}b+0*c+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=-d\\a=-\frac{d}{3}\\c=-\frac{d}{3}\end{matrix}\right.$$$$\Rightarrow$$ $$(ALL_{1}R_{1})$$:$$-\frac{1}{3}x-1*y-\frac{1}{3}z+1=0$$ и нормаль-вектор к этой плоскости: $$\bar{n}(-\frac{1}{3},-1,-\frac{1}{3})$$. Нормаль-вектор к (ABCD): $$\tilde{m} (0,0,1)$$ (ось OZ): тогда косинус угла м\у ($$ALL_{1}R_{1}$$) и (ABCD) равен $$\cos (\bar{m}, \bar{n})$$:

$$\cos (\bar{m}, \bar{n})=\frac{\left | -\frac{1}{3}*0+(-1)*0+(-\frac{1}{3})*1 \right |}{\sqrt{(-\frac{1}{3})^{2}+(-1)^{2}+(-\frac{1}{3})^{2}} \sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{11}}$$$$\Rightarrow$$ $$\angle (\bar{m}, \bar{n})=arccos \frac{1}{\sqrt{11}}$$

 

Задание 6924

В треугольной пирамиде SABC плоские углы АВС и SAB прямые, двугранный угол между плоскостями ABS и АВС равен $$arcctg(\frac{2\sqrt{10}}{3})$$ . BC=7, AB=4 

А) Найдите косинус угла между гранями ASC и АВС
Б) Найдите длину высоты пирамиды, опущенной из вершины В на плоскость ASC.
Ответ: А) $$\frac{8\sqrt{10}}{35}$$ Б)$$\frac{12}{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Пусть $$SE \perp (ABC)$$, т.к. $$SA\perp AB$$, то по теореме о трех перпендикулярах : $$AE\perp AB\Rightarrow$$ $$ctg \angle SAE=\frac{2\sqrt{10}}{3}$$. Пусть $$EG\perp AC\Rightarrow$$ $$SG\perp AC$$ (по теореме о 3-x перпендикулярах )$$\Rightarrow$$ $$\angle SGE$$ - искомый

       2) $$ctg ^{2}\angle SAE+1=\frac{1}{\sin ^{2}\angle SAE}$$$$\Rightarrow$$ $$\sin \angle SAE=\frac{3}{7}$$. Пусть SE=3x, тогда AS=7x; из $$\Delta ASE$$: $$AE=\sqrt{AS^{2}-SE^{2}}=\sqrt{40}x$$

       3) $$\Delta ABC \sim \Delta AGE$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{GE}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{AG}{BC}(1)$$

Из $$\Delta ABC$$: $$AC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{65}$$

Из (1): $$AG=\frac{AE*BC}{AC}=\frac{7\sqrt{40}x}{\sqrt{65}}$$; $$GE=\frac{AE*AB}{AC}=\frac{4\sqrt{40}x}{\sqrt{65}}=\frac{8\sqrt{10}x}{\sqrt{65}}$$

       4) из $$\Delta ASG$$: $$SG=\sqrt{AS^{2}-AG^{2}}=\frac{35 x}{\sqrt{65}}$$

      5) $$\cos \angle SGE=\frac{GE}{SG}=\frac{8\sqrt{10}}{35}$$

    Б) Пусть h-высота из B к (ASC) , тогда : $$V_{ABCS}=\frac{1}{3} S_{ASC}*h=\frac{1}{3}*S_{ABC}*SE$$$$\Leftrightarrow$$ $$h=\frac{S_{ABC}*SE}{S_{ASC}}=\frac{\frac{1}{2} *AB*BC*SE}{\frac{1}{2}*SG*AC}=$$$$\frac{AB*BC*SE}{SG*AC}=\frac{4*7*3x}{\frac{35x}{\sqrt{65}}*\sqrt{65}}=\frac{12}{5}$$

 

Задание 6972

В пирамиде SBCD каждое ребро равно 3. На ребре SB взята точка А так, что SA:AB=1:2.

А) В каком отношении плоскость ACD делит объем пирамиды?
Б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SACD.
Ответ: А)2:1 Б)$$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Пусть SO - высота SBCD. Опустим $$AM\perp (BCD)$$, тогда $$\DeltaAMB\sim \Delta SOB$$: $$\frac{AM}{SO}=\frac{AB}{SB}=\frac{2}{3}$$

        2) $$V_{SBCD}=\frac{1}{3} SO*S_{BCD}$$; $$V_{ABCD}=\frac{1}{3} AM*S_{BCD}\Rightarrow$$$$V_{ABCD}=\frac{AM}{SO}*V_{SBCD}=\frac{2}{3}V_{SBCD}\Rightarrow$$, пусть V - оставшаяся часть: $$V=\frac{1}{3}V_{SBCD}\Rightarrow$$ $$\frac{V_{ABCD}}{V}=\frac{2}{1}$$

      Б) 1) $$CA=AD\Rightarrow$$ $$\Delta ACD$$ - равнобедренный. Из $$\Delta SAC$$: $$CA=\sqrt{CS^{2}+SA^{2}-2 CS*SA *\cos S}=\sqrt{7}$$

        2) Рассмотрим пирамиду SADC, введем ортогальную систему координат , как показано на рисунке, где N - центр, описанной окружности около $$\Delta SCD$$

        3) Центр сферы будет лежать на оси Oz. Пусть Q - центр сферы, тогда $$Q (0;0;z)$$ и QS=QA (как радиусы сферы). Зададим координаты QS и QA; $$A(NA_{x}; O; AA_{x})$$, где $$A_{x}$$ - проекция A на (SDC) ; $$S(NS;0;0)$$

        4) из $$\Delta CSD$$: $$SH=SD* \sin D=3*\frac{\sqrt{3}}{2}$$; $$SN=\frac{2}{3} SH=\sqrt{3}\Rightarrow$$ $$S(\sqrt{3}; 0;0)$$

   Из $$\Delta ADC$$: $$AH=\sqrt{AD^{2}-HD^{2}}=\frac{\sqrt{19}}{2}$$; Из $$\Delta ASH$$: $$\cos S=\frac{AS^{2}+SH^{2}-AH^{2}}{2 AS*SH}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$\sin S=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$SA_{x}=AS*\cos S=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$NA_{x}=NS-SA_{x}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$; $$AA_{x}=SA*\sin S=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$. Тогда A $$(\frac{2\sqrt{3}}{3};0; \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})$$, следовательно:

   $$QS(\sqrt{3}-0;0-0; 0-z)=(\sqrt{3};0;-z)$$ и $$QA(\frac{2\sqrt{3}}{3}-0;0-0;\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+z)=(\frac{2\sqrt{3}}{3};0; \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+z)$$

   Тогда длины: $$\left | QS \right |=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-z)^{2}}$$ и $$\left | QA \right |=\sqrt{(\frac{2\sqrt{3}}{3})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+z)^{2}}$$. В итоге получим: 

   $$QS^{2}=QA^{2}\Leftrightarrow$$ $$3+z^{2}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}z+z^{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}z=1\Leftrightarrow$$ $$z=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$$

   Тогда $$QS=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})^{2}}=$$$$\sqrt{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$$

 

Задание 7019

В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания АВС равна 12, $$\angle ADB=2 arctg \frac{3}{4}$$ . В треугольнике ABD проведена биссектриса ВА1, а в треугольнике BCD проведены медиана ВС1 и высота СВ1.

А) Найдите объем пирамиды А1В1C1D
Б) Найдите площадь проекции треугольника А1В1C1 на плоскость АВС.
Ответ: А)$$\frac{84\sqrt{39}}{55}$$ Б)$$\frac{1632\sqrt{3}}{275}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) 1) Пусть DH-высота в $$\Delta ADB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle HDB =arctg\frac{3}{4}\Rightarrow$$ $$tg\angle HDB =\frac{3}{4}=\frac{HB}{DH}$$; $$HB=\frac{AB}{2}=6\Rightarrow$$ $$DH=8\Rightarrow$$ из $$\Delta DHB$$: $$DB=\sqrt{DH^{2}+HB^{2}}=10$$

     2) $$\frac{V_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}{V_{ABCD}}=$$$$\frac{A_{1}D*B_{1}D*C_{1}D}{AD*BD*CD}(1)$$

     3) из $$\Delta ABD$$: $$\frac{AB}{BD}=\frac{AA_{1}}{A_{1}D}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\Rightarrow$$ $$A_{1}D=\frac{5}{11}AD$$(по свойству биссектрисы)

     4) $$DC_{1}=\frac{1}{2}DC$$ (медиана)

   Из $$\Delta BCD$$: $$\cos D=\frac{BD^{2}+CD^{2}-BC^{2}}{2 *BD*CD}=0,28$$$$\Rightarrow$$

   Из $$\Delta DB_{1}C$$: $$DB_{1}=0,28 DC\Rightarrow$$ $$DB_{1}=0,28DB$$

     5) Пусть DO – высота ABCD.

   Из $$\Delta ABC$$: $$CH=CB \sin B=12\frac{\sqrt{3}}2{}=6\sqrt{3}\Rightarrow$$ $$CO=\frac{2}{3} CH=4\sqrt{3}$$

   Из $$\Delta DOC$$: $$DO=\sqrt{CD^{2}-OC^{2}}=\sqrt{10^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{52}$$

   $$S_{ABC}=\frac{1}{2} *12^{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}=36 \sqrt{3}$$

   $$V_{ABCD}=\frac{1}{3}*36\sqrt{3}*\sqrt{52}=12\sqrt{156}$$

   $$V_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{5}{11}*\frac{1}{2}*\frac{28}{100}*12\sqrt{156}=$$$$\frac{42}{55}\sqrt{156}=\frac{84\sqrt{39}}{55}$$

Б) Пусть $$A_{1}^{'}$$, $$B_{1}^{'}$$, $$C_{1}^{'}$$ проекция $$A_{1}$$, $$B_{1}$$ и $$C_{1}$$ на (ABC). Тогда :

     1) из $$\Delta DAO$$: $$\frac{DA_{1}}{DA}=\frac{OA_{1}^{'}}{OA}=\frac{5}{11}$$

     2)из $$\Delta DOC$$: $$\frac{DC_{1}}{DC}=\frac{OC_{1}^{'}}{OC_{1}}=\frac{1}{2}$$

     3) из $$\Delta DOB$$: $$\frac{DB_{1}}{DB}=\frac{DB_{1}^{'}}{OB}=\frac{28}{100}=\frac{7}{25}$$

     4) $$\frac{S_{A_{1}^{'}OC_{1}^{'}}}{S_{AOC}}=$$$$\frac{OA_{1}^{'}*OC_{1}^{'}}{OA*OC}=$$$$\frac{5}{11}*\frac{1}{2}=\frac{5}{22}$$

   $$\frac{S_{OC_{1}^{'}B_{1}^{'}}}{S_{OCB}}=\frac{OC_{1}^{'}*OB_{1}^{'}}{OC* OB}=$$$$\frac{1}{2}*\frac{7}{25}=\frac{7}{50}$$

   $$\frac{S_{OA_{1}^{'}B_{1}^{'}}}{S_{OAB}}=\frac{OB_{1}^{'}*OA_{1}^{'}}{OB*OA}=$$$$\frac{7}{25}*\frac{5}{11}=\frac{7}{55}$$

   $$S_{AOC}=S_{BOC}=S_{AOB}=\frac{1}{3}S_{ABC}\Rightarrow$$ $$S_{A_{1}^{'}B_{1}^{'}C_{1}^{'}}=\frac{1}{3}(\frac{5}{22}+\frac{7}{50}+\frac{7}{55})*36\sqrt{3}=$$$$12\sqrt{3}*\frac{125+77+70}{550}=$$$$12\sqrt{3}*\frac{272}{550}=\frac{1632\sqrt{3}}{275}$$

 

Задание 7039

Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник, длина стороны которого равна $$\sqrt{3}$$. Основанием высоты, опущенной из вершины S, является точка О, лежащая внутри треугольника АВС. Расстояние от точки О до стороны АС равно 1. Синус угла ОВА относится к синусу угла ОВС как 2:1. Площадь грани SAB равна $$\sqrt{\frac{5}{6}}$$.

А) Найдите объем пирамиды
Б) Найдите расстояние от точки А до плоскости SBC
Ответ: $$\frac{9}{\sqrt{37}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) Пусть $$OL \perp CB$$; $$OM\perp AB$$; $$OK\perp AC$$ .

Из $$\Delta MOB$$: $$\sin \angle OBA=\frac{OM}{OB}$$

Из $$\Delta OLB$$: $$\sin \angle OBL =\frac{OL}{OB}$$

По условию $$\frac{\sin \angle OBA}{\sin \angle OBL}=2\Rightarrow$$ $$OM=2OL$$. Пусть $$OM=2x\Rightarrow$$ $$OL=x$$

        2) $$S_{ABC}=S_{AOB}+S_{AOC}+S_{COB}\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{2} AC^{2} \sin 60=\frac{1}{2} AB(OM+OL+OK)\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}=1+x+2x\Leftrightarrow$$ $$3x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{1}{6}\Rightarrow$$ $$OM=\frac{1}{3}; OL=\frac{1}{6}$$

        3) $$S_{ABS}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{2}AB*SM$$ ($$OM\perp AB$$; $$SO\perp (ABC)$$$$\Rightarrow$$ $$AM\perp AB$$), тогда : $$SM=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}*\frac{2}{1}*\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{10}}{3}$$

        4) из $$\Delta MOS$$: $$SO=\sqrt{SM^{2}-OM^{2}}=1$$

        5) $$V_{ABC}=\frac{1}{3} S_{ABC}*SO=$$$$\frac{1}{3}*\frac{3\sqrt{3}}{4}*1=\frac{\sqrt{3}}{4}$$

     Б) 1) Аналогично (3): $$SL\perp CB$$. Пусть $$ON\perp SL\Rightarrow$$ $$ON$$ – расстояние от O до (SBC). Пусть $$AL_{1}\left | \right |AL$$ и $$AN_{1}$$ - расстояние от A до (SBC) , тогда $$\Delta AL_{1}N_{1}\sim \Delta OLN$$ и $$\frac{AN_{1}}{ON}=\frac{AL_{1}}{OL}$$

        2) из $$\Delta OSL$$: $$SL=\sqrt{OS^{2}+OL^{2}}=\frac{\sqrt{37}}{6}$$; $$ON=\frac{OS*OL}{SL}=\frac{1}{\sqrt{37}}$$

        3) из $$\Delta ABC$$ : $$AL_{1} =AB \sin 60=\frac{3}{2}\Rightarrow$$ $$AN_{1} :\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{3}{2}:\frac{1}{6}\Rightarrow$$ $$AN_{1}=\frac{9}{\sqrt{37}}$$

 

Задание 7060

В правильной треугольной пирамиде SABC точка Е – середина ребра АС, точка Р – середина ребра SВ.

а) Докажите, что прямая РЕ делит высоту SН пирамиды в отношении 1:3.
б) Найдите тангенс угла между прямой РЕ и плоскостью АSС, если известно, что $$AB=6\sqrt{3}$$, $$SA=10$$.
Ответ: $$\frac{18}{25}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть SH\cap PE=N

     A) 1) H-центр $$\Delta ABC \Rightarrow$$ $$BH: HE=2: 1\Rightarrow$$ $$\frac{HE}{EB}=\frac{1}{3}$$

   2) для $$\Delta BPE$$ по т. Минелая : $$\frac{SN}{NH}*\frac{HE}{EB}*\frac{BP}{PS}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SN}{NH}*\frac{1}{3}*\frac{1}{1}=1\Rightarrow$$ $$\frac{SN}{NH}=\frac{3}{1}$$

     Б) 1) $$BE\perp AC\Rightarrow$$ $$PE\perp AC$$ (по т. о трех перпендикулярах ), аналогично $$SE\perp AC \Rightarrow$$ $$\angle PES$$ – искомый

   2) из $$\Delta ABC$$: $$BE=BC*\sin C=6\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=9$$. Из $$\Delta ASE$$: $$SE=\sqrt{AS^{2}-AE^{2}}=$$$$\sqrt{100-27}=\sqrt{73}$$

   3) из $$\Delta BSE$$: $$\cos S=\frac{BS^{2}+SE^{2}-BE^{2}}{2 BS*SE}=$$$$\frac{23}{5\sqrt{73}}$$

   Из $$\Delta SPE$$: $$PE=\sqrt{SP^{2}+SE^{2}-2 SP*SE*\cos S}=\sqrt{52}$$

   Из $$\Delta SPE$$: $$\cos PES=\frac{PE^{2}+SE^{2}-SP^{2}}{2 PE*SE}=$$$$\frac{25}{\sqrt{949}}$$

   $$\sin PES=\sqrt{1-\cos ^{2}PES}=$$$$\frac{18}{\sqrt{949}}\Rightarrow$$ $$tg PES=\frac{\sin PES}{\cos PES}=\frac{18}{25}$$

 

Задание 7107

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания ABCDEF равна 2, а боковое ребро 3.

а) Докажите, что плоскость AFM , где M ‐ середина ребра SC, делит ребро SB в отношении 2:1, считая от вершины S.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCDEF плоскостью AFM .
Ответ: А)2:1 Б) $$\frac{13\sqrt{2}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) Соединим AM , через M проведем прямую $$a\left | \right |AF$$; $$a\cap SD=N\Rightarrow$$ $$MN\left | \right |AF$$

     2) AC-проекция AM ; Пусть SR-высота в $$\Delta ASC$$; $$SR\cap AM =K \Rightarrow$$ через K пойдет прямая , параллельная AF ( по ней пересекаются сечение и (SEB) ); пусть она пересекает SE и SB в H и G соответственно , тогда (AGMNF)-искомое сечение

     3) из $$\Delta AMC$$ и точки $$S \in GM$$ по т. Менелая : $$\frac{SK}{KR}=\frac{RA}{AC}*\frac{CM}{MS}=1$$; $$\Delta SAC$$ равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$AR=RC\Rightarrow$$ $$\frac{SK}{KR}*\frac{1}{2}*\frac{1}{1}=1\Rightarrow$$ $$\frac{SC}{KR}=\frac{2}{1}(*)$$ ( можно сразу сказать , что K-точка пересечения медиан $$\Rightarrow$$ 2: 1)

     4) $$\Delta SHG\sim \Delta SEB\Rightarrow$$ $$\Delta SGK\sim \Delta SBK\Rightarrow$$ $$\frac{SK}{KR}=\frac{SC}{SB}=\frac{2}{1}$$

     Б) 1) Пусть SO-высота пирамиды $$\Rightarrow$$ из $$\Delta SOB$$: $$SO=\sqrt{SB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{5}\Rightarrow$$ $$YO=\frac{1}{3} SO=\frac{\sqrt{5}}{3}$$;

     2) из $$\Delta FOA$$: $$OZ=OA*\sin A=2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow$$ из $$\Delta ZOY$$: $$ZY=\sqrt{ZO^{2}+OY^{2}}=\frac{\sqrt{32}}{3}\Rightarrow$$ $$\cos YZO=\frac{ZO}{ZY}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{32}}$$

     3) Пусть $$AG^{'}M^{'}N^{'}H^{'}F$$- проекция сечения на (ABC) и $$S _{AC_{1}^{'}M^{'}N^{'}H^{'}F}=S_{1}$$. Пусть S-площадь сечения $$\Rightarrow$$ $$S=\frac{S_{1}}{\cos YZO}$$

     4) $$S_{ZOA}=x=\frac{1}{2} *2*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$;

     $$S_{AOC_{1}^{'}}=S_{ZOH^{'}}=$$$$\frac{OC_{1}^{'}}{OB}*x=$$$$\frac{SC_{1}}{SB}*x=\frac{2}{3}x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Аналогично: $$S_{G^{'}OM^{'}}=S_{H^{'}ON^{'}}=$$$$\frac{2}{3}*\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}x$$ и $$S_{N^{'}OM^{'}}=\frac{1}{4}x$$

Тогда $$S_{1}=\sqrt{3} (1+2*\frac{2}{3}+2*\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=\frac{13\sqrt{3}}{4}$$

$$S=\frac{13\sqrt{3}}{4} :\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{32}}=$$$$\frac{13\sqrt{3}*4\sqrt{2}}{4*3\sqrt{3}}=$$$$\frac{13\sqrt{2}}{3}$$

 

Задание 7180

В основании пирамиды с вершиной S лежит прямоугольник, центр которого находится на высоте пирамиды. Плоскость пересекает боковые ребра пирамиды в точках P, Q, M и N так, что Р и М – противоположные вершины четырехугольника PQMN. Известно, что $$SP=7$$, $$SM=\frac{7}{6}$$, $$SQ+SN=\frac{25}{6}$$, $$SQ>SN$$

А) Найдите SQ и SN
Б) Найдите, в каком отношении плоскость делит высоту пирамиды, если дополнительно известно, что боковое ребро пирамиды равно 10.
Ответ: А)$$\frac{5}{2};\frac{5}{3}$$ Б)$$\frac{1}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1)Через P проведем плоскость параллельную (ABC): $$PQ_{1}M_{1}N{1})$$$$\Rightarrow$$ $$SP=SQ=SM_{1}=SN_{1}=7$$. Пусть H –центр ABCD $$\Rightarrow$$ SH –высота пирамиды; $$SH\cap (PQMN)=O$$, $$SH\cap (PQ_{1}M_{1}N_{1})=O_{1}$$ ; $$MM_{1}=SM_{1}-SM=\frac{35}{6}$$

     2) Из $$\Delta SM_{1}P$$: $$M_{1}Q_{1}=O_{1}P\Rightarrow$$ по т. Менелая для $$\Delta MPM_{1}$$ : $$\frac{SO}{OO_{1}}*\frac{O_{1}P}{PM_{1}}*\frac{M_{1}M}{MS}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SO}{OO_{1}}*\frac{1}{2}*\frac{35}{6}:\frac{7}{6}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SO}{OO_{1}}=\frac{2}{5}$$

     3) Рассмотрим $$\Delta SQ_{1}N_{1}$$: пусть $$SQ=x\Rightarrow$$ $$SN=\frac{25-x}{6}$$; Построим $$N_{2}Q_{2}\left | \right |N_{1}Q_{1}\Rightarrow$$ $$\Delta SON_{2}\sim \Delta SO_{1}N_{1}\Rightarrow$$ $$\frac{SN_{2}}{N_{2}N_{1}}=\frac{SO}{OO_{1}}=\frac{2}{5}$$. Т.е. $$SN_{1}=7$$, то $$SN_{2}=2=SQ_{2}$$, тогда $$N_{2}N=SN_{2}-SN=2-(\frac{25}{6}-x)=x-\frac{13}{6}$$; $$Q_{2}Q=SQ-SQ_{2}=x-2$$

   По т. Менелая для $$\Delta NSQ$$: $$\frac{N_{2}O}{OQ_{2}}*\frac{Q_{2}Q}{QS}*\frac{SN}{NN_{2}}=1$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{1}*\frac{x-2}{x}*\frac{\frac{25}{6}-x}{x-\frac{13}{6}}=1$$$$\Leftrightarrow$$ $$(x-2)(\frac{25}{6}-x)=x(x-\frac{13}{6})|*6$$$$\Leftrightarrow$$ $$12x^{2}-50x+50=0\Leftrightarrow$$ $$6x^{2}-25x+25=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=\frac{5}{2}\\x_{2}=\frac{5}{3}\end{matrix}\right.$$

$$\frac{5}{3}$$ не подходит, т.к. $$\frac{25}{6}-\frac{5}{3}=\frac{5}{2}$$ и $$\frac{5}{3}<\frac{5}{2}$$, а по условию $$SQ>SN\Rightarrow$$ $$SQ=\frac{5}{2}$$; $$SN=\frac{5}{3}$$

     Б) 1) Рассмотрим $$\Delta SHD$$: $$SQ_{2}=2$$; $$Q_{2}Q_{1}=5$$; $$Q_{1}D=SD-SQ_{1}=10-7=3\Rightarrow$$ $$Q_{2}D=5+3=8$$

     2) $$\Delta SOQ_{2}\sim \Delta SHD\Rightarrow$$ $$\frac{SO}{OH}=\frac{SQ_{2}}{Q_{2}D}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$

 

Задание 7200

Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На ребре АА1 взята точка Е так, что длина отрезка АЕ равна 1/3. На ребре ВС взята точка F так, что длина отрезка BF равна 1/4. Через центр куба и точки Е и F проведена плоскость $$\alpha$$.

А) Найдите угол между плоскостью АВС и $$\alpha$$
Б) Найдите расстояние от вершины В1 до плоскости $$\alpha$$.
Ответ: А) $$\arccos \frac{9}{\sqrt{170}}$$ Б) $$\frac{11}{\sqrt{170}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) Пусть $$A_{1}C\cap B_{1}D=M\Rightarrow$$ M –центр куба; через E и M проведем прямую (они лежат в плоскости ($$AA_{1}C$$) )$$\cap CC_{1}=I$$

     2) $$I$$ и $$F \in (BB_{1}C_{1})\Rightarrow$$ проведем прямую; $$IF\cap BB_{1}=K$$; $$E$$ и $$K \in (BB_{1}A_{1})\Rightarrow$$ соединяем , $$EK\cap AB=J$$; $$F$$ и $$J \in (ABC)\Rightarrow$$ соединяем .

    3) $$(BB_{1}C_{1}) \left | \right |(AA_{1}D_{1})\Rightarrow$$ из E прямую, параллельную IF; она $$\cap A_{1}D_{1} =G$$. Аналогично из G прямую параллельную $$JF\Rightarrow \cap C_{1}D_{1}=H$$; соединим H и I $$\Rightarrow$$ (EGHIFJ)-искомое сечение ($$\alpha$$)

     4) Введем отртогональную систему координат как показано на рисунке и зададим уравнение $$(\alpha )$$: $$E(0;0;\frac{1}{3})$$;

$$F(1; \frac{1}{4} ;0)$$; $$M(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$$. Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ уравнение ($$\alpha$$), тогда:

$$\left\{\begin{matrix}a*0+b*0+c*\frac{1}{3}+d=0 & & & \\a*1+b*\frac{1}{4}+c*0+d=0\\a*\frac{1}{2}+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}c=-3d\\4a+b+4d=0\\a+b+c+2d=0\end{matrix}\right.$$

   Подставим из первого в третье: $$a+b-3d+2d=0\Rightarrow$$ $$a+b-d=0\Rightarrow$$ $$a=d-b$$

   Подставим во второе: $$4d-4b+b+4d=0\Rightarrow$$ $$-3b=-8d\Rightarrow$$ $$b=\frac{8d}{3}\Rightarrow$$ $$a=-\frac{5d}{3}$$

   Тогда уравнение плоскости $$(\alpha)$$: $$\frac{-5d}{3}x+\frac{8d}{3}y-3dz+d=0$$ $$\Rightarrow$$ $$-5x+8y-9z+3=0\Rightarrow$$ нормаль вектора для (EGH): $$\bar{n}(-5 ;8; -9)$$. Для (ABC): $$\bar{AA_{1}}(0; 0; 1)$$ (ось Oz)

   Тогда $$\cos (\alpha ; (ABC))=\cos (\bar{n}$$; $$\bar{AA_{1}})=\frac{\left | -5*0+8*0-9*1 \right |}{\sqrt{(-5)^{2}+8^{2}+(-9)^{2}}*\sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{1}}}=$$$$\frac{9}{\sqrt{170}}\Rightarrow$$ угол между $$\alpha$$ и (ABC) : $$\arccos \frac{9}{\sqrt{170}}$$

     Б) Найдем расстояние от $$B_{1}(1; 0; 1)$$ до $$\alpha$$: $$r=\frac{\left | -5*1+8*0+(-9)*1+3 \right |}{\sqrt{(-5)^{2}+8^{2}+(-9)^{2}}}=\frac{11}{\sqrt{170}}$$

 

Задание 7221

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=4, AD=6, AA1=8 . Точка К, лежащая на ребре АА1, удалена от вершины А на 4, расстояние от точки L, лежащей на ребре DD1 до вершины D равно 2. Точка М лежит на отрезке В1С, длина МС вдвое больше длины В1М.

А) Найдите угол между плоскостью KLM и плоскостью DCC1
Б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью KLM.
Ответ: А) $$arccos \frac{2}{7}$$ Б) 28
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) K и L лежат в одной плоскости $$\Rightarrow$$ соединяем .

     2) $$(ADD_{1}) \left | \right |(BCC_{1})\Rightarrow$$ через M пройдет прямая , параллельная KL . Пусть она пересекает $$BB_{1}$$ , в N и $$CC_{1}$$ в R $$\Rightarrow$$ (KNRL)-искомое сечение.

     3) Зададим уравнение (KNRL) : введем ортогональную систему координат, тогда: $$K(0;0;4)$$; $$L(6; 0; 2)$$; $$M(\frac{1}{3} AD; AB ; \frac{2}{3} BB_{1})$$$$\Rightarrow$$ $$M(2 ;4; \frac{16}{3})$$

     Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение (KNRL), тогда: $$\left\{\begin{matrix}a*0+b*0+c*4+d=0\\a*6+b*0+c*2+d=0\\a*2+b*4+c*\frac{16}{3}+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4c+d=0\\6a+2c+d=0\\2a+4b+\frac{16c}{3}+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}c=-\frac{d}{4}\\a=-\frac{d}{12}\\b=\frac{d}{8}\end{matrix}\right.$$

     Получим : $$-\frac{d}{12}x+\frac{d}{8}y-\frac{d}{4}z+d=0$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x-3y+6z-24=0$$. Следовательно, нормаль-вектор для (KNRL) : $$\bar{n}(2; -3; 6)$$ . Для ($$DCC_{1}$$) : $$\bar{AD}$$ или $$\bar{Ox}(1 ;0;0)$$

     $$\cos (\bar{n};\bar{Ox})=\cos ((KNRL);(DCC_{1}))=$$$$\frac{\left | 2*1+(-3)*0+6*0 \right |}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}}=$$$$\frac{2}{7}\Rightarrow$$ угол между этими плоскостями $$\alpha =arccos \frac{2}{7}$$

     Б) 1) Пусть S - площадь (KLM), $$S_{1}$$ - площадь ее проекции на (ABC)-это и будет ABCD. Найдем $$\cos ((KLM ); (ABC))$$: нормаль вектора для (ABC) - $$\vec{Oz}(0;0;1)$$, тогда $$\cos ((KLM) ;(ABC))=\cos (\vec{n}; \vec{Oz})=$$$$\frac{\left | 2*0+(-3)*0+6*1 \right |}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}\sqrt{1^{2}}}=$$$$\frac{6}{7}=\cos \beta$$

     2) $$S=\frac{S_{1}}{\cos \beta }=$$$$\frac{AB*AD}{\cos \beta }=$$$$\frac{6*4}{\frac{6}{7}}=28$$

 

Задание 7323

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S длина перпендикуляра, опущенного из основания Н высоты пирамиды SH на грань SDC равна $$\sqrt{6}$$ , а угол наклона бокового ребра SB к плоскости основания равен 60.

А) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD
Б) Через середину высоты SH пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию ABCD. Найдите отношение площади сечения описанного около пирамиды шара к площади сечения пирамиды этой плоскостью.
Ответ: А)$$\frac{2\sqrt{42}}{3}$$ Б)$$\frac{5 \pi}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)  1) Пусть $$AB=x$$,  $$\Delta ADC$$: $$AC=\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}=x\sqrt{2}\Rightarrow$$ $$AH=\frac{x\sqrt{2}}{2}$$

     2) из $$\Delta SAH$$: $$\angle ASH=90-\angle SAH=30\Rightarrow$$ $$AS=2AH=x\sqrt{2}\Rightarrow$$ $$\Delta SAC$$ - равносторонний

     3) Пусть O - центр сферы $$\Rightarrow$$ OA – радиус , но это и радиус описанной около $$\Delta ASC$$.

     4) из $$\Delta SAH$$: $$SH=SA*\sin SAH=x\sqrt{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{6}}{2}$$; $$SO=\frac{2}{3}SH$$ $$\Rightarrow$$ $$SO=\frac{2}{3}*\frac{x\sqrt{6}}{2}=\frac{x\sqrt{6}}{3}$$

     5) из $$\Delta SHF$$: $$HF=\frac{1}{2} AD=\frac{x}{2}\Rightarrow$$ $$SF=\sqrt{SH^{2}+HF^{2}}=$$$$\sqrt{\frac{x^{2}*6}{4}+\frac{x^{2}}{4}}=$$$$\frac{x}{2}*\sqrt{7}$$

     6) $$HM*SF=SH*HF\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{6}*\frac{x\sqrt{7}}{2}=$$$$\frac{x\sqrt{6}}{2}*\frac{x}{2}\Rightarrow$$ $$\frac{x}{2}=\sqrt{7}\Rightarrow$$ $$x=2\sqrt{7}$$

     7) $$SO=\frac{2\sqrt{7}*\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{42}}{3}$$

Б)  1) Пусть $$A _{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ – сечение пирамиды, т.к. проведено через середину высоты и параллельно основанию, то $$\frac{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{4}$$; $$S_{ABCD}=x^{2}=28\Rightarrow$$ $$S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=7$$

     2) $$SO=\frac{2}{3} SH$$; $$SL=\frac{1}{2}SH$$ , где L-середина SH , тогда $$SL=\frac{3}{4} SO$$. Пусть S-площадь диаметрального сечения сферы, $$S_{1}$$-сечение через L. Пусть ON-радиус , при этом $$LN\perp OS$$ , тогда $$OL=SO-SL =\frac{1}{4} SO\Rightarrow$$ из $$\Delta OLN$$: $$LN=\sqrt{ON^{2}-OL^{2}}=$$$$\sqrt{SO^{2}-(\frac{SO}{4})^{2}}=$$$$\frac{\sqrt{15}}{4}SO\Rightarrow$$ $$LN=\frac{\sqrt{15}}{4}*\frac{2\sqrt{42}}{3}=$$$$\frac{\sqrt{5}*\sqrt{14}}{2\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{1}=\frac{15*14 \pi}{4*3}=\frac{35 \pi}{2}$$

     3) $$\frac{S_{1}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{35 \pi}{2}:7=\frac{5 \pi}{2}$$

 

Задание 7364

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка Р – середина ребра SA, точка Q – середина ребра SC.

А) Докажите, что расстояние между прямыми ВР и DQ не зависит от высоты пирамиды.
Б) Найдите это расстояние, если площадь основания пирамиды равна 5.
Ответ: $$\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7412

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. На ребре BC взята точка M, причём BM : CM=1 : 2.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через центры граней A1B1C1 и BB1C1C параллельно ребру AC, проходит через точку M.
б) Пусть K —середина ребра A1C1, N —центр грани BB1C1C. Найдите угол между прямыми B1K и MN, если AC=$$18\sqrt{3}$$; AA1=$$\sqrt{13}$$
Ответ: $$arccos\frac{9}{11}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7422

Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания О равен 5, а его высота равна $$\sqrt{51}$$ . Точка М – середина образующей SA конуса, а точки N и В лежат на основании конуса, причем прямая MN параллельна образующей конуса SB.

А) Докажите, что угол ANO – прямой
Б) Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью основания конуса, если АВ=8
Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7441

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребре В1С1 отмечена точка L так, что В1L=1. Точки К и М – середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Плоскость $$\gamma$$ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

А) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости $$\gamma$$ 
Б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение данной призмы плоскостью $$\gamma$$.
Ответ: $$5\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7514

Точка О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD является основанием высоты SO пирамиды SABCD. Плоскость, параллельная плоскости АВС пересекает ребра AS, BS, CS и DS в точках А1, В1, С1и D1соответственно.

   А) Докажите, что $$\Delta A_{1}B_{1}O=\Delta C_{1}D_{1}O$$
   Б) Найдите объем пирамиды АА1В1BO, если AS=15, BS=13, AB=6, SO=12 и плоскость А1В1С1делит SO в отношении 3:2, считая от вершины S.
Ответ: $$25,6\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7561

Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребром длины 1. Точка Р – середина ребра А1D1, точка Q делит отрезок АВ1 в отношении 2:1, считая от вершины А, R – точка пересечения отрезков ВС1 и В1С.

А) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС1 куба.
Б) Найдите периметр сечения куба плоскостью PQR.
Ответ: а) 2:1; б) $$2+\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7636

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD имеют длину 2. Точки М и N – середины рёбер AS и АВ соответственно. Через точку М перпендикулярно прямой CN проходит сечение.

А) Найдите площадь этого сечения.
Б) Найдите, в каком отношении сечение делит объем пирамиды SABCD
Ответ: а) $$\frac{3\sqrt{10}}{16}$$; б)$$\frac{119}{9}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7683

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ АС1 и пересекающая ребра ВВ1 и DD1 в точках F и E соответственно. Известно, что AFC1E – ромб и АВ=3, ВС=2, АА1=5

А) Найдите площадь сечения AFC1E
Б) Найдите расстояние от точки В до плоскости сечения.
Ответ: а) $$\sqrt{133}$$; б)$$\frac{12}{\sqrt{133}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7731

В правильном тетраэдре ABCD точка К – центр грани ABD, точка М – центр грани ACD.

а) Докажите, что прямые ВС и КМ параллельны.
б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью ABD.
Ответ: $$arccos\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7782

В правильной треугольной пирамиде ABCD угол ADC равен $$2arcsin\frac{1}{6}$$ , а сторона основания АВС равна 2. Точки K, M, N – середины ребер АВ, CD и АС соответственно. Точка Е лежит на отрезке КМ и 3ME=KE . Через точку Е проходит плоскость $$\alpha$$ перпендикулярно отрезку КМ.

А) Найдите, в каком отношении плоскость $$\alpha$$ делит ребра пирамиды?
Б) Найдите расстояние от точки N до плоскости $$\alpha$$ .
Ответ: а)$$\frac{7}{5};\frac{7}{5};\frac{21}{11}$$; б) $$\frac{13\sqrt{10}}{20}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7864

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а  боковое ребро SA равно 4. Точки M и N – середины рёбер SA и SB соответственно.  Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания  пирамиды.  

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1,  считая от точки C.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC  плоскостью α.

Ответ: а) $$\frac{5}{1}$$; б) $$8+2\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) 1) Пусть $$SO$$ - высота пирамиды, $$\bigtriangleup SOB$$ - прямоугольный. Пусть $$NH\parallel SO$$ $$\Rightarrow$$ $$NH\cap OB=H$$ и $$OH=HB$$ (т.к. $$NH$$ - средняя линия)

2) Проведем через $$H$$ прямую,параллельную $$MN$$ (т.к. плоскость пересекает двугранный угол). Пусть прямая пересекает $$CB$$ и $$CA$$ в $$L$$ и $$K$$ соответственно $$\Rightarrow$$ $$(MNLK)$$ - искомое сечение.

3) $$MN\parallel AB$$; $$MN\parallel LK$$ $$\Rightarrow$$ $$LK\parallel AB$$. Пусть $$LK\cap OE=R$$, тогда $$\frac{OR}{RE}=\frac{OH}{HB}=\frac{1}{1}$$. Но $$\frac{CO}{OE}=\frac{2}{1}$$ ($$CE$$ - середина) $$\Rightarrow$$ $$\frac{CR}{RE}=\frac{2OE+\frac{1}{2}OE}{\frac{1}{2}OE}=\frac{5}{1}$$

б) 1) $$MN=\frac{1}{2}AB=3$$; $$KL=\frac{5}{6}AB=5$$; 

2) из $$\bigtriangleup SBC$$: $$\cos B=\frac{SB^{2}+CB^{2}-SC^{2}}{2SB\cdot CB}=\frac{4^{2}+6^{2}-4^{2}}{2\cdot6\cdot4}=\frac{3}{4}$$

3) $$HB=\frac{1}{6}CB=1$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup NBL$$: $$NH=\sqrt{NB^{2}+BL^{2}-2NB\cdot BL\cdot\cos B}=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2\cdot2\cdot1\cdot\frac{3}{4}}=\sqrt{4+1-3}=\sqrt{2}$$ $$\bigtriangleup AMK=\bigtriangleup NLB$$ по двум сторонам и углу между ними $$\Rightarrow$$ $$MK=NL$$

4) $$P=MN+KL+MK+NL=5+3+2\sqrt{2}=8+2\sqrt{2}$$

 

Задание 7894

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребрах AB и В1С1 отмечены точки K и L соответственно, причём АК=В1L= 2. Точка M – середина ребра A1C1. Плоскость $$\gamma$$ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости $$\gamma$$ .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой – точка M, а основание – сечение данной призмы плоскостью $$\gamma$$
Ответ: $$6\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) 1) Пусть $$KR\parallel AC$$; через $$L$$ проведем прямую $$\parallel KR=LH$$ $$\Rightarrow$$ $$LHKR=\gamma$$

2) $$B_{1}M\perp A_{1}C_{1}$$; $$BN\perp AC$$; $$(B_{1}MNB)\cup\gamma=QO$$; $$MB\cup QO=z$$

3) $$\bigtriangleup KRB\sim\bigtriangleup ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BO}{BN}=\frac{BK}{BA}=\frac{2}{3}$$ $$(KR\parallel AC)$$, аналогично $$\bigtriangleup B_{1}HL\sim\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{B_{1}Q}{B_{1}M}=\frac{B_{1}L}{b_{1}C_{1}}=\frac{1}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$MQ=\frac{2}{3}B_{1}M$$; $$BO=\frac{2}{3}BN_{1}$$, но $$B_{1}M=BN$$ $$\Rightarrow$$ $$MQ=B_{1}M$$. $$MB_{1}\parallel NB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle QMZ=\angle ZBO$$; $$\angle MQZ=\angle ZOB$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MQZ=\bigtriangleup OZB$$ $$\Rightarrow$$ $$MZ=ZB=\frac{1}{2}BM$$

4) $$BM=\sqrt{NM^{2}+NB^{2}}$$; $$NB=BC\cdot\sin C=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$MB=6$$ $$\Rightarrow$$ $$MZ=3$$; $$MQ=\frac{2}{3}MB_{1}=2\sqrt{3}$$

$$OQ=\sqrt{(OB-QB_{1})^{2}+MN^{2}}=\sqrt{12}$$

$$\cos\angle MZQ=\frac{MZ^{2}+ZQ^{2}-MQ^{2}}{2MZ\cdot ZQ}=0$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle MZQ=90^{\circ}$$

5) $$NB\perp KR$$ $$\Rightarrow$$ по теореме о трех перпендикулярах $$MB\perp KR$$ $$\Rightarrow$$ $$M\perp\gamma$$

Б) 1) $$MZ$$ - высота пирамиды $$HL=\frac{1}{3}A_{1}C_{1}=2$$; $$KR=\frac{2}{3}AC=4$$; $$QO=\sqrt{12}$$ и $$QO\perp KR$$ $$\Rightarrow$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot S_{HLRK}\cdot MZ=\frac{1}{3}\cdot\frac{2+4}{2}\cdot\sqrt{12}\cdot3=6\sqrt{3}$$

 

Задание 7943

Плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны АВ и ВС основания пополам.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит боковое ребро в отношении 1:3, считая от вершины S
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость $$\alpha$$ разбивает пирамиду.
Ответ: $$\frac{3}{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8237

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 ребро основания АВ=2, высота АА1=6, точка М – середина F1E1, проведено сечение через точки А, С и М.

а) Докажите, что сечение проходит через середину ребра D1E1
б) Найдите площадь этого сечения
Ответ: б) $$\frac{247\sqrt{3}}{20}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) 1) Построим сечение: через $$M$$ проведем прямую $$a\parallel AC$$; $$a\cap E_{1}D_{1}=N$$ $$\Rightarrow$$ $$MN\parallel AC$$.

$$MN\cap C_{1}D_{1}=O_{2}$$; $$MN\cap A_{1}F_{1}=O_{1}$$; $$CO_{2}=\cap DD_{1}=K$$; $$AO_{1}\cap FF_{1}=L$$ $$\Rightarrow$$ $$(ACKNML)$$ - сечение

2) $$A_{1}C_{1}\parallel AC$$; $$AC\parallel MN$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}C_{1}\parallel MN$$; $$F_{1}D_{1}\parallel MN$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup F_{1}E_{1}D_{1}\sim\bigtriangleup ME_{1}N$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{F_{1}N}{ME_{1}}=\frac{D_{1}N}{NE_{1}}=\frac{1}{1}$$

Б) 1) Опустим из $$R$$ перпендикуляр $$PR'$$ на $$(ABC)$$. Из $$\bigtriangleup HBC$$: $$\angle C=30^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$HB=\frac{BC}{2}=1$$; $$HC=\sqrt{3}$$; $$ER'=\frac{HB}{2}=0,5$$. $$EB=2AB=4$$ $$\Rightarrow$$ $$R'H=4-1-0,5=2,5$$

2) Из $$\bigtriangleup RR'H$$: $$RR'=DD_{1}=6$$ $$\Rightarrow$$  по т. Пифагора: $$RH=\sqrt{6^{2}+2,5^{2}}=6,5=CO_{2}$$

3) $$S_{ACKNML}=S=S_{CO_{2}O_{1}A}-2S_{NO_{2}K}$$ (т.к. $$\bigtriangleup NO_{2}K=\bigtriangleup MO_{1}L$$ по катету $$NO_{2}=MO_{1}$$ и острому углу $$\angle N=\angle M$$)

4) $$NO_{2}=RN=\frac{1}{2}HC=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; $$O_{2}D_{1}=E_{1}R=\frac{1}{2}$$ $$\bigtriangleup O_{2}D_{1}K\sim\bigtriangleup DKC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{D_{1}K}{KD}=\frac{O_{2}D_{1}}{DC}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$D_{1}K=\frac{DD_{1}}{5}=\frac{6}{5}$$

Из $$\bigtriangleup O_{2}DK$$: $$O_{2}K=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{6}{5})^{2}}=\frac{13}{10}$$

Из $$\bigtriangleup NO_{2}K$$: $$S_{NO_{2}K}=\frac{1}{2}\cdot\frac{13}{10}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{13\sqrt{3}}{40}$$

5) $$AC=2HC=2\sqrt{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$S=2\sqrt{3}\cdot6,5-\frac{13\sqrt{3}}{40}\cdot2=\frac{247\sqrt{3}}{20}$$

 

Задание 8268

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ=1, высота SO=2, точка М‐середина ребра BS.

а) Докажите, что АМ параллельна FN, где N – середина ребра SE
б) Найдите расстояние от точки Е до прямой АМ
Ответ: $$\frac{5\sqrt{21}}{14}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) По свойству правильного шестиугольника: $$AF\parallel BE$$; $$AF=\frac{BE}{2}$$

2) Из $$\bigtriangleup BSE$$: $$MN$$ - средняя линия $$\Rightarrow$$ $$MN\parallel BE$$; $$MN=\frac{BE}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AF=MN$$; $$AF\parallel MN$$ $$\Rightarrow$$ $$AFNM$$ - параллелограм $$\Rightarrow$$ $$AM\parallel FN$$

Б) 1) Пусть $$MM'\perp BE$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup BMM'$$: $$BM=\frac{BO}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$M'E=\frac{3}{2}$$; $$MM'=\frac{SO}{2}=1$$ $$\Rightarrow$$ По т. Пифагора: $$ME=\sqrt{M'E^{2}-M'M^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$$

2) из $$\bigtriangleup AFE$$: $$AE=\sqrt{AF^{2}+FE^{2}-2AF\cdot FE\cos F}=\sqrt{1+1-2\cdot1\cdot1\cdot(-\frac{1}{2})}=\sqrt{3}$$

3) из $$\bigtriangleup AMM'$$: $$AM=\sqrt{M'A^{2}+M'M^{2}}$$; $$M'A=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=\sqrt{\frac{3}{4}+1}=\frac{\sqrt{7}}{2}$$

4) из $$\bigtriangleup AME$$: $$\cos M=\frac{AM^{2}+ME^{2}-AE^{2}}{2\cdot AM\cdot ME}=\frac{\frac{7}{4}+\frac{13}{4}-3}{2\cdot\frac{\sqrt{7}}{2}\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{13\cdot7}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin M=\sqrt{1-\cos^{2}M}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{7\cdot13}}$$

5) Пусть $$EH\perp AM$$ $$\Rightarrow$$ $$EH=ME\cdot\sin M=\frac{\sqrt{13}}{2}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{7\cdot13}}=2,5\sqrt{\frac{3}{7}}$$

 

Задание 8287

В правильной пирамиде SABC точки M и N –середины ребер АВ и ВС соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка К, SK:KA=1:3. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q.

а) Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна 2, а высота пирамиды равна 4.
Ответ: $$\frac{21\sqrt{3}}{16}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Отрезок $$MN$$ является средней линией треугольника $$ABC$$, следовательно, $$MN||AC$$. Таким образом, сечение пересекает грань $$SAC$$ по прямой, также параллельной $$AC$$. Пусть $$L$$ — точка пересечения сечения с ребром $$SC$$, тогда $$KL||AC$$, а сечение $$KLMN$$ — равнобедренная трапеция.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью $$BSH$$, где $$H$$ — середина стороны $$AC$$. Пусть $$R$$ и $$T$$ — середины оснований $$MN$$ и $$KL$$ трапеции соответственно. Тогда высота трапеции $$RT$$ проходит через точку $$Q$$ пересечения диагоналей трапеции, причём так как $$MN=\frac{1}{2}AC$$, а $$KL=\frac{1}{4}AC$$, из подобия треугольников $$KLQ$$ и $$MNQ$$, получаем $$\frac{TQ}{QR}=\frac{KL}{MN}=\frac{1}{2}$$. Отрезок $$TR$$ и высота пирамиды $$SO$$ лежат в плоскости $$BSH$$. Пусть они пересекаются в точке $$Q'$$. Докажем, что она совпадает с точкой $$Q$$.

В сечении $$BSH$$ проведём отрезок $$TW$$ параллельно $$BH$$, где $$W$$ — точка на высоте пирамиды. Треугольники $$TQ'W$$ и $$RQ'O$$ подобны.

При этом $$k'=\frac{TQ'}{Q'R}=\frac{TW}{RO}=\frac{\frac{1}{4}OH}{\frac{2}{3}BH-\frac{1}{2}BH}=\frac{\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}BH}{\frac{1}{6}BH}=\frac{1}{2}$$.

Таким образом, дробь: $$\frac{TQ'}{Q'R}=\frac{TQ}{QR}$$ , а, значит, точки $$Q'$$ и $$Q$$ совпадают, и $$Q$$ лежит на высоте пирамиды $$SO$$.

б) Так как $$AC=2$$, то $$MN=1$$, а $$KL=\frac{1}{2}$$ .

Осталось найти высоту трапеции $$RT$$. Из пункта а) получаем, что $$\frac{WQ}{QO}=\frac{1}{2}$$ , при этом $$\frac{SW}{WO}=\frac{1}{3}$$ .

Следовательно, $$WQ=1$$, $$WT=\frac{1}{12}BH=\frac{\sqrt{3}}{12}$$.

Тогда $$RT=3QT=3\sqrt{1+\frac{3}{144}}=\frac{7\sqrt{3}}{4}$$.

Откуда $$S_{KLMN}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2})\frac{7\sqrt{3}}{4}=\frac{21\sqrt{3}}{16}$$.

 

Задание 8306

В окружность нижнего основания цилиндра с высотой 2 вписан правильный треугольник АВС со стороной $$\sqrt{3}$$. В окружность верхнего основания вписан правильный треугольник А1В1С1 так, что он повернут относительно треугольника АВС на угол 600

а) Докажите, что четырехугольник АВВ1С1 ‐ прямоугольник
б) Найдите объем многогранника АВСА1В1С1
Ответ: $$2\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Рассмотрим переход точек на примере нижнего основания. Т.к. $$\bigtriangleup ABC$$ - правильный, то $$\angle C=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\smile AB=120^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ точка $$A$$ переходит в середину $$\smile AB$$, аналогично $$B$$ в середину $$\smile BC$$, $$C$$ - $$\smile AC$$: Получим $$\bigtriangleup ABC\Rightarrow\bigtriangleup LKH$$. При этом получим 6 равных дуг $$\Rightarrow$$ хорды, их стягивающие, тоже равны $$\Rightarrow$$ $$ALBKCH$$ - правильный шестиугольник

2) Посмотрим на цилиндр. $$K$$ - проекция $$B_{1}$$, $$H$$ - проекция $$C_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$HK$$ - проекция $$C_{1}B_{1}$$,но $$HK\parallel AB$$ и $$HK=AB$$ $$\Rightarrow$$ $$C_{1}B_{1}=AB$$ и $$C_{1}B_{1}=AB$$.

3) $$BK\perp AB$$; $$B_{1}K\perp(ABC)$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}B\perp AB$$ $$\Rightarrow$$ $$ABB_{1}C_{1}$$ - прямоугольник

Б) $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=V_{AKBLCHA_{1}K_{1}...H_{1}}-6V_{HCAC_{1}}$$ т.к. $$V_{HCAC_{1}}=\frac{1}{3}CH_{1}\cdot S_{CHA}$$, высоты в шести отсеченных пирамидах $$(CHAC_{1};ALBA_{1};BKCB_{1};C_{1}H_{1}A_{1}A;A_{1}B_{1}L_{1}B;B_{1}K_{1}C_{1}C)$$ одинаковы, основания тоже.

2) из $$\bigtriangleup ACH$$: Пусть $$CH=HA=x$$, по т. косинусов: $$3=x^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot x\cdot\cos120^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=1$$

3) $$S_{AL...H_{1}}=\frac{\sqrt{3}x^{2}}{4}\cdot6=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{AL...H_{1}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot2=3\sqrt{3}$$

4) $$V_{HCAC_{1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin120^{\circ}\cdot2=\frac{\sqrt{3}}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=3\sqrt{3}-6\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}$$

 

Задание 8324

Дана треугольная пирамида ABCD объемом 40. Через вершину А и середину М ребра ВС проведена плоскость, пересекающая ребро BD в точке N. Расстояние от вершины В до этой плоскости равно 4, а площадь треугольника AMN равна 5.

а) Докажите, что точка N делит ребро BD в отношении 1:2, считая от точки В.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС пирамиды, если дополнительно известно, что ребро BD перпендикулярно плоскости АВС и равно 3.
Ответ: 0,8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Пусть $$h$$ - высота $$BNAM$$ (из $$B\perp AMN$$) $$\Rightarrow$$ $$h=4$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{BNAM}=\frac{1}{3}\cdot5\cdot4=\frac{20}{3}$$

2) $$\frac{V_{ABCD}}{V_{BNAM}}=\frac{BD\cdot BA\cdot BC}{BN\cdot BA\cdot BM}=\frac{2BD}{BN}=\frac{40}{\frac{20}{3}}=\frac{6}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BD}{BN}=\frac{3}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$BN=\frac{1}{3}BD$$; $$ND=\frac{2}{3}BD$$ $$\Rightarrow$$ $$BN\div ND=1\div2$$

Б) 1) Пусть $$BF\perp AM$$; т.к. $$NB\perp(ABC)$$, то $$BF$$ - проекция $$NF$$ на $$(ABC)$$ $$\Rightarrow$$ $$NF\perp AM$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle NFB$$ - между $$(NAM)$$ и $$(ABC)$$ $$AM\perp(NFB)$$

2) $$BN=\frac{1}{3}BD=5$$. Пусть $$BE\perp NF$$, но $$BE\perp AM$$ $$\Rightarrow$$ $$BE\perp(NAM)$$ $$\Rightarrow$$ $$BE=h=4$$

3) Из $$\bigtriangleup NBF$$: $$BE$$ - высота $$\Rightarrow$$ $$\angle NBF=\angle NFB$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos\angle NBE=\cos\angle NFB=\frac{BE}{BN}=0,8$$

 

Задание 8343

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD с равными боковыми ребрами является прямоугольник ABCD площадь которого равна 25. Плоскость, параллельная плоскости основания пересекает ребро AS в точке А1, а высоту пирамиды ‐ в середине О. Угол между гранями ADS и BCS равен 60 градусов.

а) Докажите, что сечение пирамиды OABCD плоскостью BCA1 делит ее высоту в отношении 1:2, считая от вершины.
б) Найдите площадь сечения пирамиды OABCD плоскостью BCA1
Ответ: $$6\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Пусть $$AC\cap BD=Q$$ $$\Rightarrow$$ по свойствам прямоугольника $$AQ=QC=QD=QB$$/ $$SA=SB=SC=SD$$; $$SQ$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup SAQ=\bigtriangleup SBQ=\bigtriangleup SCQ=\bigtriangleup SDQ$$ по трем сторонам $$\Rightarrow$$ $$\angle SQD=\angle SQB=\angle SQA=\angle SQC=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$SQ$$ - высота $$SABCD$$

2) $$AD=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup SDA=\bigtriangleup SBC$$ $$\Rightarrow$$ $$SL=SK$$ (где $$L$$ и $$K$$ - середины $$AD$$ и $$BC$$), но $$SL\perp AD$$ и $$LK\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$AD\perp(SLK)$$ и $$(ADS)\perp(SLK)$$, аналогично $$(SBC)\perp(SLK)$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle LSK=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup SLK$$ - равносторонний

3) $$SO=OQ$$ $$\Rightarrow$$ $$SL_{1}=L_{1}L$$ ($$\bigtriangleup SL_{1}K_{1}\sim\bigtriangleup SLK$$); $$L_{1}K_{1}$$ - средняя линия $$SLK$$ $$\Rightarrow$$ $$SQ$$ - медиана; $$KL_{1}$$ - медиана $$\Rightarrow$$ $$KL_{1}\cap SQ=H$$; $$\frac{SH}{HQ}=\frac{2}{1}$$, но $$\frac{SO}{OQ}=\frac{1}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$OH=\frac{2}{3}SQ-\frac{1}{2}SQ=\frac{1}{6}SQ$$, а $$HQ=\frac{1}{3}SQ$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{OH}{HQ}=\frac{1}{2}$$

Б) 1) Пусть $$N$$ - середина $$AB$$: в $$\bigtriangleup OQN$$ проведем $$HY\parallel QN$$. Через $$Y$$ построим $$BY\cap AO=R$$; из $$R$$ проведем $$RZ\parallel BC$$ $$\Rightarrow$$ $$(BRZC)$$ - сечение.

2) Пусть $$BR\cap CZ=L_{1}$$; $$LO\cap KL_{1}=I$$

3) $$\bigtriangleup L_{1}OI\sim\bigtriangleup LIK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{L_{1}O}{LK}=\frac{L_{1}I}{IK}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$L_{1}I=\frac{1}{5}L_{1}K$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{L_{1}RZ}=\frac{1}{25}S_{L_{1}BC}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{RZCB}=\frac{24}{25}S_{L_{1}BC}$$

4) Пусть $$L_{2}$$ - проекция $$L_{1}$$ на $$(ABCD)$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{L_{1}BC}=\frac{S_{L_{2}BC}}{\cos\angle L_{1}KL}(*)$$

5) $$S_{L_{2}BC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{L_{2}K}{LK}S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot25=\frac{75}{8}$$

$$\angle SKL=60^{\circ}$$,т.к. $$SL=SK$$, а $$\angle SLK=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle L_{1}KL=30^{\circ}$$. С учетом $$(*)$$: $$S_{L_{1}BC}=\frac{75}{8}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{RZCB}=\frac{25\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{24}{25}=6\sqrt{3}$$

 

Задание 8681

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 на боковом ребре ВВ1 взята точка M так, что ВМ:МВ1=2:5. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки M и D и параллельна прямой А1С1. Плоскость $$\alpha$$ пересекает ребро СС1 в точке Q.

а) Докажите, что ребро СС1 делится точкой Q в отношении 1:6
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $$\alpha$$, если CD=12, AA1=14
Ответ: $$24\sqrt{38}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8698

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SC отмечены точки К и М соответственно, причём АК:КВ = SM:МС = 1:5. Плоскость $$\alpha$$ содержит прямую КМ и параллельна прямой ВС.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой SА.
б) Найдите угол между плоскостями $$\alpha$$ и SВС.
Ответ: $$arccos \frac{31\sqrt{10}}{140}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8718

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка K, причём SK:KC=1:3. Плоскость а содержит точку K и параллельна плоскости SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды SACD плоскостью $$\alpha$$ — трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием — сечение пирамиды SABCD Б плоскостью $$\alpha$$.
Ответ: $$\frac{5\sqrt{17}}{8}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8741

В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в четыре раза больше площади меньшего основания A1B1C1. Через ребро AC проведена плоскость $$\alpha$$, которая пересекает ребро BB1 в точке K и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка K делит ребро BB1 в отношении 7:1, считая от точки B.
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью $$\alpha$$, если высота пирамиды равна $$2\sqrt{2}$$, а ребро меньшего основания равно $$2\sqrt{6}$$.
Ответ: $$13\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8760

В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A1B1C1. Через ребро AB проведена плоскость $$\alpha$$, которая пересекает ребро CC1 в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка N делит ребро CC1 в отношении 5:13, считая от точки С1
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью $$\alpha$$, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
Ответ: 48,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8779

Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник ABC со стороной 36. Все боковые рёбра пирамиды равны 30. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки K и N так, что BK=CN=20. Через точки K и N проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная плоскости ABC.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит медиану AM в отношении 2:7.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $$\alpha$$
Ответ: $$4\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8798

Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник ABC со стороной 48. Все боковые рёбра пирамиды равны 40. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки K и N так, что FK=FN=10. Через точки K и N проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная плоскости ABC.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит медиану AM в отношении 1:3.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости $$\alpha$$.
Ответ: $$6\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8872

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М – середина стороны ВС.

а) Докажите, что прямая А1С параллельна плоскости, проходящей через точки А, М и В1

б) Найдите расстояние от прямой А1С до плоскости АМВ1, если параллелепипед прямоугольный и АВ=5, AD=4, AA1=2.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{6}}{9}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8893

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB=15 и BC=25. Все боковые рёбра пирамиды равны $$5\sqrt{17}$$. На рёбрах AB и BC отмечены соответственно точки K и N так, что AK=CN=8. Через точки K и N проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная ребру SB.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ проходит через точку M-середину ребра SB.

б) Найдите расстояние между прямыми DS и KM

Ответ: $$\frac{5\sqrt{17}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8913

Основанием пирамиды TABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB=26 и BC=18. Все боковые рёбра пирамиды равны $$10\sqrt{5}$$. На рёбрах AB и CD отмечены соответственно точки N и M так, что BN=DM=12. Через точки N и M проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная ребру TA.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ проходит через точку K - середину ребра TA.

б) Найдите расстояние между прямыми TC и KN.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9046

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 2. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 1. Точка F – середина АВ.

а) Найдите угол между прямыми SF и AC

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку F параллельно прямым BD и SС.

Ответ: а) 60 градусов; б) $$\frac{3\sqrt{2}}{8}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9111

Основание пирамиды SABC-равносторонний треугольник ABC. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N — середины рёбер BC и AB соответственно, причём SN=AM.

а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60°.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если BC=6.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9162

В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 1, боковое ребро равно 2. Плоскость сечения проходит через середины ребер AD и СС1 параллельно диагонали B1D.

а) Докажите, что плоскость сечения делит ребро ВВ1 в отношении 1:5, считая от точки В1

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания параллелепипеда.

Ответ: $$arctg \frac{2\sqrt{5}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9229

Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной 8, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M - середина BC.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB=6, BC=8 и SC=$$5\sqrt{2}$$.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9246

Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной 8, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M - середина BC.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB=4, BC=6 и SC=$$4\sqrt{2}$$.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9343

В правильном тетраэдре ABCD точка К – центр грани ABD, точка М – центр грани ACD.

а) Докажите, что прямые ВС и КМ параллельны.
б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью ABD.
Ответ: $$\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9363

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки В, A1 и B1<\div>
б) Найдите угол между плоскостями ВА1С1 и ВА1D1<\div>
Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9383

Дан куб АВСВА1В1С1D1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер АВ, В1С1, АD.

б) Найдите угол между плоскостью А1BО и плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, В1С1, АD.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9488

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра AS.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF. 

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9508

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2.

а) Докажите, что плоскости А1BD и В1D1С параллельны.
б) Найдите расстояние между плоскостями А1BD и В1D1С.
Ответ: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через вершины $$A1$$, $$B$$ и $$D$$ куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Ортогональная проекция AC диагонали AC_1 куба на плоскость основания $$ABCD$$ перпендикулярна прямой $$BD$$, поэтому $$AC_1$$ и $$BD$$ перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах. Аналогично, $$AC_1$$ перпендикулярна $$DA_1$$. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, диагональ $$AC_1$$ перпендикулярна плоскости треугольника $$DA1B$$. Аналогично докажем, что плоскость треугольника $$D_1B_1C$$ перпендикулярна диагонали $$AC_1$$. Плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой. Это и требовалось доказать.

б) Рассмотрим сечение $$AA_1C_1C$$, пусть $$Е$$ и $$F$$ — основания высот $$AE$$ и $$C_1F$$ прямоугольных треугольников $$A_1AO$$ и $$СС_1O_1$$ соответственно. Тогда искомое расстояние между плоскостями равно длине отрезка $$EF$$. Катетами указанных треугольников являются ребро куба и половина диагонали грани куба. Тем самым, эти треугольники равны, а тогда равны и их высоты, проведенные к гипотенузам.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу, поэтому $$C_{1}F=AE=\frac{AA_{1}\cdot AO}{A_{1}O}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$,

а тогда $$EF=AC_{1}-AE-C_{1}F=2\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$.

 

Задание 9528

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра SB, G - середина ребра SC.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF.
б) Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.
Ответ: $$arccos \frac{9}{11}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9633

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 5, AA1 = 5, AD = 3.

а) Докажите, что прямые A1B и B1D перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми A1B и B1D.
Ответ: $$\frac{15}{\sqrt{118}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9661

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка C1, причём СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB$$=45°, $$AB=3\sqrt{2}$$, СС1=6.

а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 60°.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1
Ответ: $$1,5\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9680

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка О1 – центр квадрата ABCD, точка О2 – центр квадрата СC1D1D.

а) Докажите, что прямые A1О1 и B1О2 скрещиваются.
б) Найдите расстояние между прямыми A1О1 и B1О2 , если ребро куба равно 1.
Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9781

В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобедренная трапеция KLMN, описанная около окружности и такая, что KN=LM=4, MN>KL и угол между прямыми KN и LM равен 600. Две противоположные грани этой пирамиды перпендикулярны основанию и SM=12.

а) Найдите объем пирамиды SKLMN
б) Найдите расстояние от точки М до плоскости SKL.
Ответ: а) 48; б) $$\frac{36}{\sqrt{111}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9801

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1 причём СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB$$=30°, АВ=$$\sqrt{2}$$ , СС1=4.

а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Ответ: $$8\sqrt{2}\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9876

Объем куба ABCDA1B1C1D1 с нижним основанием ABCD равен 27. Над плоскостью верхнего основания отмечена точка Е такая, что BE=$$\sqrt{41}$$ и CE=$$5\sqrt{2}$$.

а) Докажите, что плоскость АВВ1 проходит через точку Е
б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости ЕВС, если объем ЕА1В1С1 в 2 раза меньше объема ЕВСС1
Ответ: а) $$\frac{3}{\sqrt{41}}$$; б) $$\frac{27}{\sqrt{41}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9928

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС=2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.

а) Докажите, что BP:PQ=1:3
б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB=BC.
Ответ: $$\arccos (-\frac{\sqrt{5}}{15})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9948

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длины 1. Точка Р – середина А1D1, точка Q делит отрезок АВ1 в отношении 2:1, считая от вершины А, R – точка пересечения отрезков ВС1 и В1С.

а) Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR
б) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС1 куба
Ответ: а) $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$; б) 2:1

Задание 10053

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка К – середина ребра АВ, точка Р – середина ребра ВС. Через точки К, Р, D1 проведена плоскость $$\alpha$$.

А) Докажите, что сечение призмы плоскостью $$\alpha$$ можно разбить на две части, одна из которых равнобедренный треугольник, а другая – равнобокая трапеция.
Б) Найдите периметр сечения призмы плоскостью $$\alpha$$ , если известно, что сторона основания призмы равна 8, а боковое ребро равно 6.
Ответ: $$12\sqrt{5}+4\sqrt{2}$$
 

Задание 10073

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 АВ=4, АА1= 6. На ребрах АВ и В1С1 оснований взяты соответственно точки М и N так, что ВМ:АВ=В1N:B1C1=1:4. Через середину Р бокового ребра ВВ1 проведено сечение призмы, перпендикулярное прямой MN

а) В каком отношении плоскость сечения делит ребро АА1?
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: А)5:1 Б)$$2\sqrt{14}$$
 

Задание 10096

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания в два раза меньше высоты призмы.

а) Докажите, что расстояние от точки О1 ‐ пересечения диагоналей основания A1B1C1D1 до плоскости BDC1 в три раза меньше высоты призмы
б) Найдите расстояние между прямыми С1О и АВ, если сторона основания призмы равна 1, где О ‐ пересечения диагоналей основания ABCD
Ответ: $$\frac{2}{\sqrt{17}}$$
 

Задание 10115

В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N – середины ребер АВ и CD.

а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 450
б) Найдите расстояние между прямыми MN и AD.
Ответ: $$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$
 

Задание 10134

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ:BC:CC1=1:2:3

а) Найдите угол между прямой BD1 и плоскостью ВС1D
б) Найдите угол между плоскостями АА1D и ВС1D
Ответ: А)$$arcsin (\frac{3\sqrt{2}}{7\sqrt{7}})$$ Б)$$arccos(\frac{6}{7})$$
 

Задание 10153

Длина высоты правильной треугольной пирамиды SABC ( S – вершина) в $$\frac{5}{\sqrt{6}}$$ раз больше длины стороны основания. Точка D – cередина апофемы SN, где N – середина АС.

а) Докажите, что угол между прямой BD и плоскостью $$\alpha$$, проходящей через ребро SC и середину ребра АВ равен 300
б) Найдите расстояние между BD и SC, если сторона основания равна 3.
Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$
 

Задание 10168

Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания О равен 6, а его высота равна $$\sqrt{33}$$. Точка М – середина образующей SA конуса, а точки N и В лежат на основании конуса, причем MN параллельна образующей конуса SB.

а) Докажите, что ON – биссектриса угла АОВ
б) Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью основания конуса, если AB=$$4\sqrt{3}$$
Ответ: $$arctg \frac{1}{2}$$
 

Задание 10193

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S через сторону основания АВ проведена плоскость, делящая боковые ребра противоположной грани пополам.

а) Докажите, что плоскость сечения делит грань SCD на части, площади которых относятся как 1:2
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если сторона основания равна 1, а высота пирамиды равна 3/2
Ответ: 13/8
 

Задание 10214

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной $$3\sqrt{2}$$. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 8. Через вершину А параллельно BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 3:2, считая от вершины.

а) Докажите, что плоскость сечения делит отрезок SO в отношении 3:1, где О ‐ центр основания
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды
Ответ: $$arctg \frac{8}{9}$$
 

Задание 10261

Основание пирамиды SABCD – квадрат ABCD, боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. BC=2SA. Точка М – середина ребра АВ.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую SM параллельно BD, ‐ равносторонний треугольник
б) Найдите расстояние между прямыми SM и BD, если $$AB=6\sqrt{3}$$
Ответ: 3
 

Задание 10287

В правильной четырехугольной пирамиде плоскость $$\alpha$$, проведенная через сторону основания, делит двухгранный угол при основании пирамиды и боковую поверхность пирамиды пополам.

а) Докажите, что двухгранный угол при основании пирамиды равен 45o.
б) Найдите расстояние от плоскости $$\alpha$$ до вершины пирамиды, если сторона основания пирамиды равна 1.
Ответ: $$\frac{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{4}$$
 

Задание 10391

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 4. Точка N – середина отрезка АС.

а) Докажите, что плоскость NA1D делит сторону АВ основания призмы в отношении 2:1
б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости NA1D.
Ответ: $$\frac{4\sqrt{93}}{31}$$
 

Задание 10441

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ – точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что CD=BE=AL=2.

а) В каком отношении плоскость EDL делит объем пирамиды МАВС?
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Ответ: А)1:8 Б)$$\arctg \frac{\sqrt{39}}{9}$$
 

Задание 10497

В основании треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. На ребре ВС взята точка L, причем BL:LC=1:2

а) Докажите, что плоскость проходящая через точку N пересечения медиан грани А1В1С1 и точку пересечения диагоналей грани ВВ1С1С параллельно АС, проходит через точку L
б) Пусть Q – середина ребра А1С1. Найдите угол между прямыми BQ и LN, если призма АВСА1В1С1 прямая, АВ=ВС=6, ВВ1=6
Ответ: $$\arccos \frac{7\sqrt{15}}{30}$$
 

Задание 10508

Основание ABCD призмы ABCDA1B1C1D1 – трапеция с основаниями $$AB=2\cdot CD$$

а) Докажите, что плоскость BA1D1 проходит через середину бокового ребра CC1
б) Найдите угол между боковым ребром AA1 и этой плоскостью, если призма прямая, трапеция ABCD прямоугольная с прямым углом при вершине B , а BC=CD и $$AA_{1}=\sqrt{6}CD$$
Ответ: $$30^{\circ}$$
 

Задание 10528

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА =1:2. Точки Р и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
Ответ: 7:11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10556

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ через середину $$D$$ ребра $$CC_1$$ проведено сечение $$ADB_1$$.

а) Найдите, в каком отношении сечение делит объем призмы.

б) Найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$, если боковые ребра равны 2, а стороны основания равны 5.

Ответ: а)1:1 б)$$arctg \frac{2}{5}$$
 

Задание 10576

На боковом ребре $$SA$$ правильной треугольной пирамиды $$SABC$$ взята точка $$D$$, через которую проведено сечение пирамиды, пересекающее апофемы граней $$SAC$$ и $$SAB$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Известно, что прямые $$DM$$ и $$DN$$ образуют углы $$\beta $$ с плоскостью основания пирамиды, а величины углов $$DMS$$ и $$DNS$$ равны $$\alpha $$, $$\left(\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$$

а) Докажите, что секущая плоскость параллельна ребру $$BC$$

б) Найдите угол $$MDN$$, если $$\alpha =30{}^\circ ,\ \beta =45{}^\circ $$

Ответ: $$arccos \frac{2-\sqrt{3}}{4}$$
 

Задание 10596

Дана правильная призма $$ABCA_1B_1C_1$$, у которой сторона основания $$AB=4$$, а боковое ребро $$AA_1=9$$, Точка М - середина ребра АС, а на ребре $$AA_1$$ взята точка Т так, что $$AT=3$$.

а) Докажите, что плоскость $$BB_1M$$ делит отрезок $$C_1T$$ пополам.

б) Плоскость $$BTC_1$$ делит отрезок $$MB_1$$ на две части. Найти длину большей из них. 

Ответ: $$\frac{3\sqrt{93}}{5}$$
 

Задание 10616

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Точка Р - середина ВС, на ребре AS отмечена точка N, причем PN перпендикулярна AS.

а) Доказать, что $${\sin \angle ASO\ }=\frac{NO}{PS}$$

б) Найдите расстояние от точки О до плоскости SBC, если $$AB=12\sqrt{3},\ {\sin \angle ASO\ }=\frac{3}{\sqrt{13}}$$

Ответ: б) 4,8
 

Задание 10636

В правильной четырехугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ на боковых ребрах $$AA_1$$ и $$DD_1$$ взяты соответственно точки K и М так, что $$AK:A_1K=2:3,\ DM:D_1M=4:1$$.

а) Докажите, что плоскость ВМК параллельна прямой АС.

б) Найдите расстояние от точки А до плоскости ВМК, если $$AB=8,AA_1=10.$$

Ответ: $$\frac{4\sqrt{6}}{3}$$
 

Задание 10656

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ все ребра равны 1.

а) Докажите, что точки F и С равноудалены от плоскости $$BED_1$$
б) Найдите расстояние между прямыми $$ED_1$$ и $$FE_1$$
Ответ: $$\frac{\sqrt{21}}{7}$$
 

Задание 10692

В треугольной пирамиде SABC точка Е - середина ребра SA, точка F - середина ребра SB, О - точка пересечения медиан треугольника АВС

а) Докажите, что плоскость CEF делит отрезок SO в отношении 3:2, считая от вершины S

б) Найдите косинус угла между плоскостями CEF и EFT, если точка Т - середина SC, а пирамида SABC правильная, площадь треугольника АВС равна $$27\sqrt{3},\ SB=10$$.

Ответ: $$\frac{15}{17}$$
 

Задание 10732

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $${\rm АВ\ =\ ВС\ =\ АС\ =}9\sqrt{2}$$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём $${\rm DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 2:7}$$. Найдите площадь сечения MNB.
Ответ: $$\sqrt{166}$$
Скрыть

а) По условию $$AB\ =\ BC\ =\ AC\ =\ 9\sqrt{2}$$, следовательно, основание пирамиды - правильный треугольник $$\triangle АВС$$.

Треугольники $$\triangle ABD\ =\ \triangle ACD$$ (АВ = АС, АD - общая), $$\triangle ACD\ =\ \triangle BCD$$ (ВС = АС, СD - общая), $$\triangle BCD\ =\ \triangle AВD$$ (ВС = АВ, ВD - общая).

Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD.

Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пирамида ABCD - правильная пирамида.

б) Так как AD = BD и $$\angle ADB\ =\ 90{}^\circ $$, то треугольник $$\triangle ADB$$ - равнобедренный прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем AD: $$AD^2+BD^2=AB^2\to 2AD^2=AB^2\to AD^2=\frac{AB^2}{2}\to AD=\frac{AB}{\sqrt{2}}=9$$.

Треугольники $$\triangle MDN$$ и $$\triangle ADC$$ подобны ($$\angle D$$ - общий угол, $$DM\ :\ DA\ =\ DN\ :\ DC\ =\ 6\ :\ 7$$). Тогда $$\frac{MN}{AC}=\frac{2}{9}\to MN=\frac{2}{9}\cdot 9\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$.

Так как $$\frac{AM}{AD}=\frac{7}{9}\to AM=\frac{7}{9}\cdot 9=7$$

Рассмотрим $$\triangle АВМ$$, в котором $$\angle МAB=45{}^\circ $$. По теореме косинусов, найдем ВМ:

$$BM^2=AM^2+AB^2-2AM\cdot AB\cdot {\cos \angle MAB\ }=49+162-2\cdot 7\cdot 9\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=85.$$ $$BM=\sqrt{85}.$$

Треугольник $$\triangle MNB$$ - равнобедренный треугольник, в котором BM = BN. Тогда медиана BK является высотой треугольника $$\triangle MNB$$, т. е. $$BK\ \bot \ MN$$.

Из прямоугольного треугольника $$\triangle ВМK\ $$($$\angle ВKM\ =\ 90{}^\circ $$) найдем BK:

$$BK^2=BM^2-MK^2\ (MK=\frac{1}{2}\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{2}).$$ $$BK^2={\left(\sqrt{85}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2=83\to BK=\sqrt{83}.$$ Площадь треугольника $$\Delta MNB$$ равна половине произведения основания MN на высоту BK: $$S_{MNB}=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot BK=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{83}=\sqrt{166}$$.

 

Задание 10752

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $${\rm АВ\ =\ ВС\ =\ АС\ =}10$$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём $${\rm DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 3:2}$$. Найдите площадь сечения MNB.
Ответ: $$3\sqrt{59}$$
Скрыть

а) По условию $$AB\ =\ BC\ =\ AC\ =\ 10$$, следовательно, основание пирамиды - правильный треугольник $$\triangle АВС$$.

Треугольники $$\triangle ABD\ =\ \triangle ACD$$ (АВ = АС, АD - общая), $$\triangle ACD\ =\ \triangle BCD$$ (ВС = АС, СD - общая), $$\triangle BCD\ =\ \triangle AВD$$ (ВС = АВ, ВD - общая).

Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD.

Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пирамида ABCD - правильная пирамида.

б) Рассмотрим $$\triangle ADC$$. $$AD=DC$$ как ребра правильной пирамиды, значит $$\triangle ADC$$ - равнобедренный. $$DM:MA=DN:NC=3:2$$, значит $$\triangle DMN$$ подобен $$\triangle ADC$$.

$$DN:MN=DC:AC\to \frac{3}{MN}=\frac{5}{10}\to MN=6$$; $$AC^2=2DC^2\to DC=\sqrt{\frac{AC^2}{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$, тогда $$DN=\frac{5\sqrt{2}}{5}\cdot 3=3\sqrt{2}$$. $$BC=DC\to BN=\sqrt{(BD^2+DN^2)}=2\sqrt{17}$$

Опустим высоту ВН на основание MN: $$BH=\sqrt{(BN^2+HN^2)}=\sqrt{(4\cdot 17-3^2)}=\sqrt{59}$$. Тогда $$S_{BMN}=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{59}=3\sqrt{59}$$.

 

Задание 10821

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой АС, проходит через точку В и середину высоты пирамиды.

а) Доказать, что плоскость $$\alpha $$ делит ребро SD в отношении $$2 : 1$$, считая от точки D.

б) Найдите синус угла между плоскостью $$\alpha $$ и плоскостью ASC, если угол SAC равен $$30{}^\circ $$.

Ответ: $$\frac{2\sqrt{39}}{13}$$
 

Задание 10841

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.
Ответ: $$\frac{5\sqrt{119}}{13}$$
Скрыть

а) Взаимно перпендикулярные образующие дают прямой угол, следовательно, искомое сечение - прямоугольный треугольник ASB с гипотенузой AB и катетами AS и BS (см. рисунок).

б) Расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса O есть отрезок OK (см. рисунок). Сначала найдем длину отрезка AB из прямоугольного треугольника ABS. Отрезки $$AS=SB=13$$ и по теореме Пифагора имеем: $$AB=\sqrt{2\cdot {13}^2}=13\sqrt{2}$$.

Теперь найдем длину ON из прямоугольного треугольника AON. Так как треугольник AOB равнобедренный, то высота ON также является медианой, следовательно, катет $$AN=AB:2$$, и ON равна: $$ON=\sqrt{AO^2-\frac{AB^2}{4}}=\sqrt{144-\frac{169}{2}}=\sqrt{\frac{119}{2}}$$.

Найдем длину отрезка SN из прямоугольного треугольника ASB. Можно заметить, что SN - это высота, проведенного из прямого угла, а отрезки AN и BN - это радиусы описанной окружности вокруг треугольника. Следовательно, SN - это тоже радиус и $$SN=NB=\frac{13\sqrt{2}}{2}$$.

Отрезок OK является высотой прямоугольного треугольника SON. Найдем его высоту из формулы площади $$S=\frac{1}{2}\cdot OK\cdot SN\to OK=\frac{2S}{SN}$$, где $$S=\frac{1}{2}OS\cdot ON$$ - формула площади для прямоугольного треугольника, т.е. $$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \sqrt{\frac{119}{2}}=\frac{5\sqrt{119}}{2\sqrt{2}}$$ и расстояние OK равно $$OK=\frac{5\sqrt{119}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{13\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{119}}{13}$$.

 

Задание 10860

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки М и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость $$\alpha $$ содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha $$ делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием - сечение пирамиды SABC плоскостью $$\alpha $$.
Ответ: $$\frac{80\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проекция высоты S пирамиды на основание дает точку O, которая лежит на пересечении медиан. Таким образом, точка O делит медианы в отношении 2:1, то есть $$OC=\frac{2}{3}CE$$.

Рассмотрим высоту SE. Точка $$F_1$$, расположена точно по центру высоты SE. Следовательно, ее проекция на медиану CE делит отрезок OE пополам. В свою очередь отрезок $$OE=\frac{1}{3}CE$$, тогда $$EF=OF=\frac{\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{6}$$.

В итоге получаем, что точка F делит медиану CE как $$CF=\frac{5}{6}CE$$ или в соотношении 5:1, начиная от точки C.

б) Найдем высоту пирамиды CF, которая равна $$\frac{5}{6}CE$$. Длину медианы СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE: $$CE=\sqrt{{12}^2-6^2}=6\sqrt{3}$$ и $$OC=\frac{2}{3}\cdot 6\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$. Следовательно, $$CF=\frac{5}{6}\cdot 6\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$.

Вычислим площадь основания пирамиды (площадь трапеции MNZK). Отрезок $$KZ=\frac{5}{6}\cdot 12=10$$, отрезок $$MN=\frac{12}{2}=6$$ (так как это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции $$FF_1=\frac{1}{2}\cdot SO$$. Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC: $$SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{64-48}=4$$, тогда $$FF_1=\frac{4}{2}=2$$.

Площадь трапеции (основания пирамиды) равна $$S=\frac{10+6}{2}\cdot 2=16$$.

Объем пирамиды найдем по формуле $$V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 5\sqrt{3}=\frac{80\sqrt{3}}{3}$$.

 

Задание 10879

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки М и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость $$a$$ содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $$a$$ делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью $$a$$.
Ответ: $$8+2\sqrt{2}$$
Скрыть

а) Сечение (плоскость $$a$$) проходит через точки M и N, причем $$MN$$ - средняя линия. Это означает, что отрезок $$MN\parallel AB\to MN\parallel ABC$$. По условию секущая плоскость перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает плоскость ABC по уровню PQ, причем $${\rm PQ}\parallel MN$$. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO - высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2:1, то есть $$CO=\frac{2}{3}CE$$.

Точка K является серединой отрезка MN, причем $$KZ\bot CE$$, откуда следует, что $$KZ\parallel SO\to ZE=ZO$$. Так как $$EO=\frac{1}{3}CE$$, $$ZE=\frac{\frac{1}{3}}{2}\cdot CE=\frac{1}{6}CE$$. Таким образом, получаем, что $$CZ:ZE=5:1$$.

б) Найдем периметр трапеции MNPQ: $$P=MN+NQ+PQ+NP$$, где $$MN=\frac{1}{2}AB=3;PQ=\frac{5}{6}AB=5$$.

Для вычисления сторон $$MP=NQ$$, найдем высоту $$KZ=\frac{1}{2}SO=1$$ (величина $$SO=2$$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOC, учитывая, что OC - радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника и равен $$OC=\frac{6}{\sqrt{3}}$$). Длину отрезка NQ найдем из прямоугольного треугольника NHQ (см. рисунок ниже).

Катет $$NH=KZ=1$$, а катет HQ равен $$HQ=\frac{PQ-MN}{2}=\frac{5-3}{2}=1$$ и $$NQ=\sqrt{2}$$. Получаем значение периметра $$P=5+3+\sqrt{2}+\sqrt{2}=8+2\sqrt{2}$$.

 

Задание 10898

В правильной четырехугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре $$AA_1$$отмечена точка E так, что $$AE:EA_1=1:2$$.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и $$BED_1$$.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и $$BED_1$$.
Ответ: $$arctg\frac{\sqrt{5}}{2}$$
Скрыть

а) Построение. Точка пересечения N прямых AD и $$D_1E:N=AD\cap D_1E$$, показана на рисунке ниже. Точка $$B$$ - общая точка плоскостей ABC и $$BED_1$$. Плоскости ABC и $$BED_1$$ пересекаются по прямой NB (см. рисунок).

б) На прямой NB отметим точку F такую, что $$AF\bot NB$$. Учитывая, что $$EA\bot ABC$$, следует $$EF\bot NB$$ (по теореме о трех перпендикулярах). Необходимо найти угол AFE.

Тангенс угла AFE найдем из прямоугольного треугольника AFE как $${\tan \angle AFE\ }=\frac{AE}{AF}$$.

По условию задачи $$AE:EA_1=1:2$$, следовательно, $$AE=1$$, а $$EA_1=2$$. Треугольник $$D_1A_1E$$ подобен треугольнику с коэффициентом подобия . Следовательно, отрезок . Найдем длину отрезка из прямоугольного треугольника ANB: $$NB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$.

Найдем отрезок AF из формулы площади треугольника ANB: $$S_{ANB}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=\frac{1}{2}\cdot NB\cdot AF$$, откуда $$AF=\frac{2}{\sqrt{5}}$$.

Таким образом, $$tg\angle AFE=\frac{\sqrt{5}}{2}$$ и $$\alpha =\angle AFE=arctg\frac{\sqrt{5}}{2}$$.

 

Задание 10936

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды $$SA=\sqrt{21},\ SB=\sqrt{85},\ SD=\sqrt{57}$$.

а) Докажите, что SA - высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Ответ: $$arccos\frac{14}{55}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Заметим, что $$SA^2+AB^2=21+64=85=SA^2\to SA\bot AB$$. $$SA^2+AD^2=21+36=57=SD^2\to SA\bot AD\to SA\bot \left(ABCD\right).$$

б) Пусть $$AC\cap DB=H$$. Т.к. $$ABCD$$ - прямоугольник, то $$AH=HC$$. $$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=10\to AH=5$$. Из $$H$$ проведем среднюю линию $$\triangle SAC\to HK\parallel SC\to SC\wedge BD=HK\wedge BD$$. $$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{21+100}=\sqrt{121}\to KH=\frac{\sqrt{121}}{2}=\frac{11}{2}.$$ $$DH=\frac{DB}{2}=\frac{AC}{2}=5. DK=\sqrt{DA^2+AK^2}=\sqrt{36+\frac{21}{4}}=\frac{\sqrt{165}}{2}. $$ $${\cos KHD\ }=\frac{KH^2+DH^2-DK^2}{2\cdot KH\cdot DH}=\frac{\frac{121}{4}+25-\frac{165}{4}}{2\cdot \frac{11}{2}\cdot 5}=\frac{221-165}{4\cdot 11\cdot 5}=\frac{14}{55}\to $$ $$\to \angle KHD=arccos\frac{14}{55}.$$

 

Задание 11000

Дан прямой круговой конус с вершиной М. Осевое сечение конуса - треугольник с углом $$120{}^\circ $$ при вершине М. Образующая конуса равна $$2\sqrt{3}$$. Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.

А) Докажите, что получившийся в сечении треугольник - тупоугольный

Б) Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения.

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
 

Задание 11020

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды $$SA\ =\ \sqrt{21},\ SB=\sqrt{85}\ ,\ SD\ =\ \sqrt{57}.$$

а) Докажите, что SA - высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Ответ: $${\arccos \frac{14}{55}\ }.$$
Скрыть

а) Рассмотрим треугольник SAB. Из значения его сторон следует, что $$SB^2=SA^2+AB^2$$, Следовательно, SB - гипотенуза и угол SAB - прямой. Аналогично для треугольника SAD: $${SD}^2=AD^2+SA^2$$, получаем, что SD - гипотенуза и угол SAD - прямой. В результате получаем, что при $$SA\bot AB,\ SA\bot AD$$, следует $$SA\bot ABC$$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), и следовательно, SA - высота пирамиды.

б) Угол между прямыми SC и BD - это угол между двумя скрещивающимися прямыми, который соответствует углу $$\alpha $$ между прямыми NO и OD (см. рисунок). Так как прямая $$ON\parallel SC$$ и точка O делит прямую AC пополам, то и точка N будет делить AS пополам. Следовательно, ON - это средняя линия треугольника ASC и равна $$ON=\frac{1}{2}SC.$$

Вычислим диагональ AC из прямоугольного треугольника ACD: $$AC=\sqrt{36+64}=10.$$

Тогда длина ребра SC будет равна (учитывая, что треугольник SAC прямоугольный): $$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{21+100}=11$$ и $$ON=\frac{11}{2}=5,5.$$

Так как диагонали в прямоугольнике равны, то $$BD=AC$$. Тогда $$OD=\frac{1}{2}AC=\frac{10}{2}=5.$$

Найдем длину отрезка DN. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAD, в котором катет $$DA=6$$, катет $$AN=\frac{1}{2}SA=\frac{\sqrt{21}}{2}$$ и по теореме Пифагора имеем $$DN=\sqrt{36+\frac{21}{4}}=\frac{\sqrt{165}}{2}.$$

По теореме косинусов находим косинус угла $$\alpha $$, получаем: $${\cos \alpha \ }=\frac{OD^2+ON^2-DN^2}{2\cdot OD\cdot ON}=\frac{25+30,25-41,25}{2\cdot 5\cdot 5,5}=\frac{14}{55}$$ откуда $$\alpha ={\arccos \frac{14}{55}\ }.$$

 

Задание 11086

В основании прямой призмы $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ лежит равнобедренная трапеция АВСD c основаниями AD и ВС. Известно, что $$AD:BC\ =\ 2:1$$ и $$АВ\ =\ ВС.$$

а) Докажите, что $$DB_1\bot A_1B_1$$.

б) Найдите угол между прямыми $$CD_1$$ и $$DB_1$$, если боковая грань $$AA_1D_1D$$ - квадрат.

Ответ: $$arccos\frac{\sqrt{35}}{14}$$
 

Задание 11105

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка E, а на ребре AM - точка L. Известно, что $$CD\ =\ BE\ =\ AL\ =\ 2.$$

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
Ответ: $$arctg\frac{\sqrt{39}}{9}.$$
Скрыть

а) Так как пирамида МАВС - правильная пирамида, то высота пирамиды проходит через центр О основания. Точка О - является точкой пересечения медиан и высот равностороннего треугольника $$\triangle АВС.$$ Точка О делит медиану, проведенную из вершины А, в отношении $$2:1.$$ В треугольнике $$\triangle АВС$$ имеем $$АЕ\ :\ ЕВ\ =\ AD\ :\ DC\ =\ 4\ :\ 2\ =\ 2\ :\ 1.$$ Значит, отрезок DE содержит точку О.

б) Построим сечение плоскостью, проходящей через точки E, D и L, соединив их попарно. Искомое сечение DLE - равнобедренный треугольник. Прямая DE перпендикулярна LО и АО, поэтому искомый угол $$\angle \alpha $$ между плоскостями равен углу $$\angle AOL.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ?АОМ. Опустим из точки L перпендикуляр LK на сторону АО, тогда $${\tan \alpha \ }=\frac{LK}{OK}(1)$$.

Из прямоугольного треугольника $$\triangle ABN$$ найдем AN: $$AN^2=AB^2-BN^2=6^2-3^2=27\to AN=3\sqrt{3}.\to \frac{AO}{AN}=\frac{2}{3}\to AO=2\sqrt{3}.$$

Из прямоугольного треугольника $$\triangle AOM$$ найдем MO: $$MO^2=AM^2-AO^2=8^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=52\to MO=2\sqrt{13}$$.

Треугольники $$\triangle ALK$$ и $$\triangle AMO$$ - подобные треугольники, получим: $$\frac{AL}{AM}=\frac{AK}{AO}\to \frac{2}{8}=\frac{AK}{2\sqrt{3}}\to AK=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ $$OK=AO-AK=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$.

Треугольники $$\triangle ALK$$ и $$\triangle AMO$$ - подобные треугольники, получим: $$\frac{AL}{AM}=\frac{LK}{MO}\to \frac{2}{8}=\frac{LK}{2\sqrt{13}}\to LK=\frac{\sqrt{13}}{2}.$$

Подставим полученные данные в формулу (1), получим: $${\tan \alpha \ }=\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{39}}{9}\to \alpha =arctg\frac{\sqrt{39}}{9}.$$

 

Задание 11125

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка $$D$$ - середина ребра $$CC_1$$.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
б) Найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
Ответ: $$arctg\frac{2}{5}.$$
Скрыть

а) Построение. Отметим точку K как результат пересечения прямой BC и прямой $$B_1D$$: т.е. $$K=BC\cap B_1D$$ (см. рисунок). Точка A является общей точкой для плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$. Следовательно, указанные плоскости пройдут через линию AK (см. рисунок). Данная линия и будет прямой пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.

б) Необходимо найти угол DHC (см. рисунок). Рассмотрим треугольник $$B_1C_1D$$ и подобный ему треугольник $$KCD$$ с коэффициентом подобия $$k=1$$ (то есть они равны между собой). Отсюда получаем, что $$CK=5$$. Имеем равнобедренный треугольник с углом $$\angle ACK=120{}^\circ $$ (так как угол $$ACB=60{}^\circ $$ у равностороннего треугольника $$ABC$$). В равнобедренном треугольнике высота $$CH$$, проведенная к основанию, является также и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHK, у которого гипотенуза $$CK=5$$ и прилегающий к ней угол $$KCH=60{}^\circ $$. Тогда катет $$CH$$ можно найти как $$CH={\cos 60{}^\circ \ }\cdot CK=\frac{5}{2}=2,5.$$ Найдем тангенс угла $$DHC$$ между плоскостями из прямоугольного треугольника $$DCH$$, получим: $${\tan \angle \ }DHC=\frac{DC}{CH}=\frac{1}{2,5}=\frac{2}{5}$$ и угол между плоскостями равен $$\alpha =\angle DHC=arctg\frac{2}{5}.$$

 

Задание 11144

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ стороны основания равны 3, боковые ребра равны 1, точка D - середина ребра $$CC_1$$.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
б) Найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
Ответ: $$arctg\frac{1}{3}.$$
Скрыть

а) Построение. Плоскости $$ABC$$ и $$ADB_1$$ будут иметь две общие точки: точка N, лежащая на пересечении отрезков $$BC$$ и $$B_1D$$ и точка $$A$$, находящаяся в основании призмы (см. рисунок). Отрезок $$AN$$, соединяющий эти две точки, будет образовывать прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.

б) Угол между плоскостями будет соответствовать углу $$DHC$$, причем отрезок $$CH$$ будет являться высотой треугольника ACN. Из рисунка видно, что треугольники $$B_1C_1D$$ и $$CDN$$ подобны друг другу с коэффициентом подобия $$k=1$$. Отсюда следует, что отрезок $$CN=B_1C_1=3$$. Сторона $$AC=3$$. Следовательно, треугольник ACN равнобедренный с углом $$\angle ACN=120{}^\circ $$ (так как угол $$\angle ACB=60{}^\circ $$ в силу того, что треугольник ABC - равносторонний). В равнобедренном треугольнике высота CH будет являться также и биссектрисой. Высоту CH вычислим из прямоугольного треугольника CHN, в котором CN - гипотенуза с прилежащим к ней углом $$\angle NCH=60{}^\circ $$: $$CH={\cos 60{}^\circ \ }\cdot CN=1,5.$$

Учитывая, что точка D лежит точно посередине отрезка $$CC_1$$, получаем длину отрезка $$CD=\frac{1}{2}=0,5$$.

Найдем тангенс угла $$\alpha $$ между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$ из прямоугольного треугольника $$CDH$$, получим: $${\tan \alpha \ }=\frac{CD}{CH}=\frac{0,5}{1,5}=\frac{1}{3}$$ и $$\alpha =arctg\frac{1}{3}.$$

 

Задание 11275

В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит параллелограмм АВСD c центром О. Точка N – середина ребра SC, точка L – середина ребра SA.

а) Докажите, что плоскость BNL делит ребро SD отношении 1 : 2, считая от вершины S.
б) Найдите угол между плоскостями BNL и ABC, если пирамида правильная, SA = 8, а тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен $$\frac{\sqrt{7}}{5}$$
Ответ: $$arctg \frac{\sqrt{7}}{10}$$
 

Задание 11376

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро АА1равно $$5\sqrt{3}$$. На ребре DD1отмечена точка М так, что DM:MD1=3:2. Плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой A1F1и проходит через точки М и Е.

а) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1Fплоскостью $$\alpha$$ — равнобедренная трапеция.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием — сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1Fплоскостью а.

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11420

В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD сторона основания АВ равна 16, а высота пирамиды равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM=DN=4 и АК=3.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.
Ответ: $$\frac{12\sqrt{5}}{5}$$
 

Задание 11448

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD через середины сторон АВ и AD параллельно боковому ребру АМ проведена плоскость. Сторона основания пирамиды равна 20 , а боковое ребро $$20\sqrt{2}$$ .

А) Докажите, что сечение пирамиды этой плоскостью является пятиугольником с тремя прямыми углами.
Б) Найдите площадь этого сечения
Ответ: 250
 

Задание 11467

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S стороны основания равны 18, а боковые ребра 15. Точка R принадлежит ребру SB, причем SR:RB=2:1.

А) Докажите, что плоскость, проходящая через точки С и R параллельно BD делит ребро SA пополам.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Ответ: $$117\sqrt{2}$$
 

Задание 11711

Основанием пирамиды SABC является треугольник АВС, в котором АВ=5, ВС=12 и $$\angle ABC=90^{\circ}$$. Ребро AS перпендикулярно основанию АВС и равно $$2\sqrt{14}$$. Точки L и M расположены на ребрах SC и SB. При этом $$\frac{CL}{SL}=\frac{SL}{SC}$$, $$SM\cdot MB=\frac{SB^{2}}{9}$$ причем точка М расположена ближе к В, чем к S.

а) Докажите, что прямая ВС перпендикулярна АМ
б) Найдите объем пирамиды АМLC.
Ответ: $$\frac{20\sqrt{14}}{3}$$
 

Задание 11730

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S – вершина , BD – диагональ основания) образует угол 45о c плоскостью основания, а сторона равна 4. Через среднюю линию треугольника ABD, не пересекающую BD и середину высоты пирамиды, проведена плоскость $$\alpha$$.

А) Постройте сечение пирамиды плоскостью $$\alpha$$ и докажите, что плоскость  $$\alpha$$ перпендикулярна ребру SC.
Б) Найдите объем пирамиды SKLM, где K, L и M точки пересечения плоскости α соответственно с ребрами SB, SD и SC.
Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{3}$$
 

Задание 11749

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M –середина ребра СС1, на ребре BB1отмечена точка N, такая, что BN:NB1 =1:2.

а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD1?

б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.

Ответ: А)1:2 Б)$$\arctg \frac{\sqrt{5}}{4}$$
 

Задание 11768

Точка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.

а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.
б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.
Ответ: $$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$$
 

Задание 11853

Основание АВС правильной треугольной пирамиды SABC вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси О1О2цилиндра (точка О1– центр верхнего основания). Объем цилиндра равен $$21\pi$$, а объем пирамиды 33 .

а) Докажите, что SO1:SO2=3:4
б) Найдите расстояние между прямыми АС и SB, если радиус основания цилиндра равен 32 .
Ответ: $$\frac{3\sqrt{39}}{13}$$
 

Задание 12297

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро $${AA}_1$$ равно 573. На ребре $${DD}_1$$ отмечена точка М так, что $$DM:\ MD_1=\ 2:3.$$ Плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой $$A_1F_1$$ и проходит через точки М и В.

а) Докажите, что сечение призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ плоскостью $$\alpha$ - равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка $$A_1$$, а основанием - сечение призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ плоскостью $$\alpha $$.
Ответ: 189
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12312

В правильной четырёхугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ сторона основания АВ равна 2V3, а боковое ребро $$AA_1$$ равно 3. На рёбрах $$A_1D_1$$ и $$DD_1$$ отмечены соответственно точки К и М так, что $$A_1K\ =\ KD_1$$, a$$\ DM\ :\ MD_1\ =\ 2:1.$$

а) Докажите, что прямые МК и ВК перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями ВМК и $$BCC_1$$
Ответ: 45 градусов
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12332

В правильной четырёхугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1\ $$сторона основания АВ равна 3, а боковое ребро $${AA}_1$$ равно $$\sqrt{3}.$$ На рёбрах $$C_1D_1$$ и $$DD_1$$ отмечены соответственно точки К и М так, что $$D_1K\ =\ KC_1$$ a $$DM:\ MD_1\ =\ 1:3.$$

а) Докажите, что прямые МК и ВК перпендикулярны
б) Найдите угол между плоскостями ВМК и $$ABB_1$$
Ответ: $$arctg \frac{2\sqrt{21}}{7}$$
 

Задание 12352

В правильной восьмиугольной призме $$ABCDEFGHA_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$$ сторона основания АВ равна $$3\sqrt{2}$$, а боковое ребро $$AA_1$$ равно 6. На ребре $$CC_1$$ отмечена точка М так, что $$CM:MC_1\ =\ 1:2.$$ Плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой $$H_1E_1$$ и проходит через точки М и А.

а) Докажите, что сечение призмы $$ABCDEFGHA_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$$ плоскостью $$\alpha $$ - равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка $$F_1$$, а основанием - сечение призмы $$ABCDEFGHA_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$$ плоскостью $$\alpha $$.
Ответ: $$36+30\sqrt{2}$$
 

Задание 12373

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.
Ответ: $$\frac{5\sqrt{119}}{13}$$
 

Задание 12393

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SC отмечены точки К и М соответственно, причём $$AK\ :\ KB\ =\ SM\ :\ MC=1\ :\ 5.$$ Плоскость $$\alpha $$ содержит прямую КМ и параллельна прямой ВС.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями $$\alpha $$ и SBC.
Ответ: $$\arccos\frac{31\sqrt{10}}{140}$$
 

Задание 12413

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка К, причём $$SK:\ KC=1:3.$$ Плоскость $$\alpha $$ содержит точку К и параллельна плоскости SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha $$ - трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием - сечение пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha $$.
Ответ: $$\frac{5\sqrt{17}}{8}$$

Задание 12433

В правильной треугольной усечённой пирамиде $$ABCA_1B_1C_1$$ площадь нижнего основания АВС в четыре раза больше площади меньшего основания $$A_1B_1C_1$$. Через ребро АС проведена плоскость $$\alpha $$, которая пересекает ребро $$BB_1$$ в точке К и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка К делит ребро $$BB_1$$ в отношении 7:1, считая от точки В.
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью $$\alpha $$, если высота пирамиды равна $$2\sqrt{2}$$, а ребро меньшего основания равно $$2\sqrt{6}$$
Ответ: $$13\sqrt{6}$$
 

Задание 12452

В правильной треугольной усечённой пирамиде $$ABCA_1B_1C_1$$ площадь нижнего основания АВС в девять раз больше площади меньшего основания $$A_1B_1C_1$$. Через ребро АВ проведена плоскость $$\alpha $$, которая пересекает ребро $$CC_1$$ в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка N делит ребро $$CC_1$$ в отношении 5 : 13, считая от точки $$C_1$$
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью $$\alpha $$, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
Ответ: 48,5
 

Задание 12471

Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник АВС со стороной 36. Все боковые рёбра пирамиды равны 30. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки К и N так, что $$BK\ =\ CN\ =\ 20.$$ Через точки К и N проведена плоскость $$\alpha $$, перпендикулярная плоскости АВС.

а) Докажите, что плоскость$$\ \alpha $$ делит медиану AM в отношении $$2\ :\ 7.$$
б) Найдите расстояние от точки В до плоскости $$\alpha $$
Ответ: $$4\sqrt{3}$$
 

Задание 12493

Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник АВС со стороной 48. Все боковые рёбра пирамиды равны 40. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки К и N так, что $$FK=\ FN\ =10.$$ Через точки К и N проведена плоскость $$\alpha $$, перпендикулярная плоскости АВС.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha $$ делит медиану AM в отношении 1:3.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости $$\alpha $$.
Ответ: $$6\sqrt{3}$$
 

Задание 12513

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами $$AB\ =15$$ и $$BC\ =\ 25$$. Все боковые рёбра пирамиды равны $$5\sqrt{17}$$. На рёбрах AD и ВС отмечены соответственно точки К и N так, что $$AK\ =\ CN\ =\ 8$$. Через точки К и N проведена плоскость $$\alpha $$, перпендикулярная ребру SB.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ проходит через точку M - середину ребра SB.
б) Найдите расстояние между прямыми DS и KM.
Ответ: $$\frac{5\sqrt{17}}{2}$$
 

Задание 12532

Основанием пирамиды TABCD является прямоугольник ABCD со сторонами $$AB\ =\ 26$$ и $$BC\ =18$$. Все боковые рёбра пирамиды равны $$10\sqrt{5}.$$ На рёбрах АВ и CD отмечены соответственно точки N и М так, что $$BN\ =\ DM\ =12.$$ Через точки N и М проведена плоскость $$\alpha $$, перпендикулярная ребру ТА.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ проходит через точку K - середину ребра TA.
б) Найдите AD.
Ответ: $$5\sqrt{}5$$
 

Задание 12551

Основание пирамиды SABC - равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N - середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём $$SN\ =\ AM.$$

а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60$${}^\circ$$.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $$BC\ =3\sqrt{2}.$$

Ответ: 1
 

Задание 12573

Основание пирамиды SABC - равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N - середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём $$SN\ =\ AM.$$

а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60$${}^\circ$$.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $$BC\ =\ 6.$$

Ответ: $$\sqrt{2}$$
 

Задание 12593

Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём А и С диаметрально противоположны. Точка М - середина ВС.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью АВС такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если $$AB\ =\ 6,\ BC\ =\ 8\ и\ SC\ =\ 5\sqrt{2}.$$

Ответ: $$arcsin\frac{3}{\sqrt{17}}$$
 

Задание 12613

Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём А и С диаметрально противоположны. Точка М - середина ВС.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью АВС такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если $$AB=\ 4,\ BC=\ 6\ и\ SC\ =\ 4\sqrt{2}.$$

Ответ: $$arcsin\sqrt{\frac{19}{46}}$$

Задание 12633

Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки $$B,\ A_1,\ D_1$$.

б) Найдите угол между плоскостями $$BA_1C_1$$ и $$BA_1D_1$$

Ответ: $$arccos\sqrt{\frac{2}{3}}$$
 

Задание 12653

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра SB, G - середина ребра SC.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF.

б) Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.

Ответ: $$\pi -arccos\frac{9}{11}$$
 

Задание 12672

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка $$C_1$$, причём $$CC_1$$ - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB\ =\ 45{}^\circ ,\ AB=З\sqrt{2},\ CC_1\ =\ 6.$$

а) Докажите, что угол между прямыми $$AC_1$$ и ВС равен 60$${}^\circ$$. 

б) Найдите расстояние от точки В до прямой $$AC_1$$

Ответ: $$1,5\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12693

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка $$C_1$$, причём $$CC_1$$ - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB=\ 30{}^\circ $$, $$AB=\sqrt{2}$$ , $${CC}_1=4$$

а) Докажите, что угол между прямыми $$AC_1$$ и ВС равен 60$${}^\circ$$.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Ответ: $$8\sqrt{2} \pi $$
 

Задание 12713

Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём А и С диаметрально противоположны. Точка М - середина ВС.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью АВС такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если $$AB=\ 6,\ BC\ =\ 10,\ SC\ =\ 4\sqrt{3}.$$

Ответ: $$arcsin\sqrt{\frac{21}{46}}$$
 

Задание 12733

Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.

а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.

Ответ: 5
 

Задание 12752

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём $$SM:\ MA=5:1.$$ Точки Р и Q - середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Ответ: 17:127
 

Задание 12773

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём $$SM:\ MA=1:2.$$ Точки Р и Q - середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Ответ: 7:11
 

Задание 12794

В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ все рёбра равны 5. На его ребре $$BB_1$$ отмечена точка К так, что $$KB=4.$$ Через точки $$K$$ и $$C_1$$ проведена плоскость $$\alpha $$, параллельная прямой $$BD_1$$

а) Докажите, что $$A_1P:PB_1=3:1$$, где Р - точка пересечения плоскости $$\alpha $$ с ребром $$A_1B_1$$.

б) Найдите угол наклона плоскости $$\alpha $$ к плоскости грани $$BB_1C_1C$$

Ответ: $$arctg\frac{\sqrt{26}}{4}$$
 

Задание 12814

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $$AB=BC=AC=\ 14.$$

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём $$DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 6:1.$$ Найдите площадь сечения MNB.

Ответ: $$6\sqrt{134}$$
 

Задание 12834

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $$AB\ =\ BC\ =\ AC\ =9\sqrt{2}.$$

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём $$DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 2:7.$$ Найдите площадь сечения MNB.

Ответ: $$\sqrt{166}$$
 

Задание 12853

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $$AB\ =\ BC\ =AC\ =\ 10.$$

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём $$DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 3:2.\ $$Найдите площадь сечения MNB.

Ответ: $$3\sqrt{59}$$
 

Задание 12875

Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер $$AB,\ B_1C_1,\ AD.$$

б) Найдите угол между плоскостью $$A_1BD$$ и плоскостью, проходящей через середины рёбер $$AB,\ B_1C_1,\ AD.$$

Ответ: $$\arctg{2\sqrt{2}}$$
 

Задание 12894

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра AS.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.

Ответ: $$\arccos{\frac{1}{\sqrt{33}}}$$
 

Задание 12915

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки М и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость $$\alpha$$ содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью $$\alpha$$.
Ответ: $$8+2\sqrt{2}$$
 

Задание 13372

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 16, высота SH равна 10. Точка К — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку К и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и Р соответственно.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет $$\frac{3}{4}$$ треугольника SBC.
б) Найдите объём пирамиды KBCPQ.
Ответ: $$80\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13391

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка К — середина бокового ребра SD. Плоскость АКB пересекает боковое ребро SC в точке Р.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет $$\frac{3}{4}$$ треугольника SCD.
б) Найдите объём пирамиды ACDKP.
Ответ: 150
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13543

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС=CN:BN=2:1, точка K - середина ребра A1C1.

а) Докажите, что плоскость MNB1 проходит через середину ребра A1C1
б) Найдите площадь сечения призмы АВСА1В1С1плоскостью MNB1 если АВ=6, $$AA_{1}=\sqrt{3}$$.
Ответ: $$5\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13561

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС=CN:BN=2:1, точка K - середина ребра A1C1.

а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину B1.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости KMN, если AB=6, AA1=2,4.
Ответ: $$\frac{24}{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13692

В правильной призме ABCDA1B1C1D1с основанием ABCD боковое ребро равно $$\sqrt{3}$$, а сторона основания равна 2. Через точку А1 перпендикулярно плоскости AB1D1проведена прямая I.

а) Докажите, что прямая I пересекает отрезок АС и делит его в отношении 3:1.
б) Найдите угол между прямыми I и СВ1.
Ответ: $$arccos \frac{2\sqrt{210}}{35}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13775

В правильной призме ABCDA1B1C1D1с основанием ABCD боковое ребро равно 2, а сторона основания равна $$\sqrt{6}$$. Через точку А1 перпендикулярно плоскости AB1D1 проведена прямая I.

а) Докажите, что прямая I пересекает отрезок АС и делит его в отношении 2:1 .
б) Найдите угол между прямыми I и CD1.
Ответ: $$\arccos \frac{2\sqrt{210}}{35}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13797

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.

а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS=2АС.
Ответ: $$arctg 0,5$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13901

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.

а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS=АС.
Ответ: $$45^{\circ}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14030

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1точка К — середина ребра АА1, a АВ=АА1. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки К и В1 параллельно прямой ВС1.

а) Докажите, что плоскость а делит ребро А1С1 в отношении 1:2 .
б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости $$\alpha$$, если АВ=6.
Ответ: $$\frac{3\sqrt{30}}{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14213

Дана правильная шестиугольная призма $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$

а) Докажите, что прямые $$CF$$ и $$AE_{1}$$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $$CF$$ и $$AE_{1}$$, если $$AA_{1}=8, AB=2\sqrt{3}$$ .
Ответ: 2,4
 

Задание 14220

На продолжении высоты $$PO$$ правильной четырехугольной пирамиды $$PABCD$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$OP=OK$$.

а) Докажите, что плоскости $$PBC$$ и $$KAD$$ параллельны.
б) Найдите расстояние между плоскостями $$PBC$$ и $$KAD$$ , если $$AB=2, PO=2\sqrt{2}$$.
Ответ: $$\frac{4\sqrt{2}}{3}$$
 

Задание 14227

В основании прямой призмы $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ лежит равнобокая трапеция $$ABCD$$ с основаниями $$AD=30$$, $$BC=12$$ и боковой стороной $$AB=15$$. Через точки $$A_{1}$$, $$B_{1}$$ и $$C$$ проведена плоскость $$\beta$$. 

А) Докажите, что плоскость $$\beta$$ делит объем призмы в отношении 2:5.
Б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке $$A$$, основанием которой является сечение призмы плоскостью $$\beta$$, если известно, что $$CC_{1}=16$$.
Ответ: 768
 

Задание 14234

В правильной четырехугольной призме $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ $$AB=BC=8$$, $$AA_{1} = 6$$. Через точки $$A$$ и $$C$$ перпендикулярно $$BD_{1}$$ проведена плоскость Ω.

а) Докажите, что плоскость Ω пересекает ребро $$B_{1}C_{1}$$ в такой точке $$M$$, что $$MB_{1}:MC_{1}=7:9$$.
б) Найдите угол между плоскостями Ω и $$ACC_{1}$$.
Ответ: $$arctg \frac{3\sqrt{2}}{8}$$
 

Задание 14241

Дан куб $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ .

А) Докажите, что плоскость $$ACD_{1}$$ делит диагональ $$B_{1}D$$ куба в отношении 1:2.
Б) Найдите объем пирамиды $$B_{1}ACD_{1}$$, если известно, что ребро куба равно 2.
Ответ: $$\frac{8}{3}$$
 

Задание 14248

В основании пирамиды $$PABC$$ лежит равнобедренный треугольник $$ABC$$ $$(AC=BC)$$. Все боковые ребра пирамиды попарно равны. Точка $$K$$ – середина $$AB$$. В эту пирамиду вписана сфера.

а) Докажите, что точка касания сферы с гранью $$APB$$ лежит на прямой $$PK$$.
б) Найдите радиус сферы, если известно, что $$AB=6$$, $$BC=5$$, $$KP=4$$.
Ответ: $$\frac{15\sqrt{39}}{48+25\sqrt{3}}$$.
 

Задание 14255

В конусе с вершиной в точке $$P$$ высота равна 1, а образующая равна 2. В основании конуса провели диаметр $$CD$$ и перпендикулярную ему хорду $$AB$$. Известно, что хорда $$AB$$ удалена от центра основания на расстояние, равное 1.

а) Докажите, что треугольник $$PAB$$ прямоугольный.
б) Найдите сумму объемов пирамид $$CAPB$$ и $$DAPB$$.
Ответ: $$\frac{2\sqrt6}{3}$$.
 

Задание 14262

Дана прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$.

а) Докажите, что линия пересечения плоскостей $$ABC_1$$ и $$A_1B_1C$$ параллельна основаниям призмы.
б) Найдите угол между плоскостями $$ABC_1$$ и $$A_1B_1C$$, если известно, что $$AC=1, BC=2$$, $$AB=\sqrt5, CC_1=3$$.
Ответ: $$\arccos\frac{41}{49}$$.
 

Задание 14268

В основании пирамиды $$SABC$$ лежит равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором $$B=4$$, $$\angle BAC=120^{\circ}$$. Известно, что боковая грань $$SBC$$ перпендикулярна основанию $$ABC$$, $$SB=SC$$, а высота пирамиды, проведенная из точки $$S$$, равна $$2\sqrt{11}$$ . На ребрах $$SB$$ и $$SC$$ отмечены соответственно точки $$K$$ и $$P$$ так, что $$BK:SK=CP=SP=1:3$$.

а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью $$APK$$ является прямоугольный треугольник.
б) Найдите объем меньшей части пирамиды, на которые её делит плоскость $$APK$$.
Ответ: $$\frac{7\sqrt{33}}{6}$$.
 

Задание 14275

В основании прямой призмы $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$ лежит равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором $$AB=AC$$.

А) Докажите, что объем пирамиды $$A_{1}BCC_{1}B_{1}$$ составляет 2/3 объема призмы.
Б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды $$A_{1}BCC_{1}B_{1}$$, если известно, что $$AB=5$$, $$BC=6$$, $$AA_{1}=15$$.
Ответ: $$\frac{65}{8}$$
 

Задание 14282

В основании прямой призмы $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$ лежит прямоугольный треугольник $$ABC$$ с гипотенузой $$AB$$, причем $$AB=AA_{1}$$. Через точку $$B_{1}$$ перпендикулярно $$CA_{1}$$ проведена плоскость $$\alpha$$.

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $$\alpha$$ является прямоугольный треугольник.
б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее делит плоскость $$\alpha$$, если известно, что $$AC=8$$, $$BC=6$$.
Ответ: 188,8
 

Задание 14292

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ на ребре $$BB_{1}$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$BK:B_{1}K=1:2$$. Через точку $$K$$ параллельно $$(BDA_{1})$$ проведена плоскость $$\beta$$.

А) Докажите, что плоскость $$\beta$$ пересекает ребро $$CD$$ в такой точке $$M$$, что $$CM=2MD$$.
Б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $$\beta$$, если известно, что $$AB=6$$, $$BC=8$$, $$BB_{1}=12$$.
Ответ: $$\frac{52\sqrt{29}}{3}$$
 

Задание 14314

В основании треугольной пирамиды $$ABCD$$ лежит правильный треугольник $$ABC$$. Боковая грань пирамиды $$BCD$$ перпендикулярна основанию, $$BD=DC$$.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро $$BC$$ перпендикулярно ребру $$AD$$.
б) Найдите объём пирамиды $$BCPD$$, где $$M$$ – точка пересечения ребра $$AD$$ и плоскости сечения, если сторона основания пирамиды $$ABCD$$ равна $$8\sqrt3$$ , а боковое ребро $$AD$$ наклонено к плоскости основания под углом $$60^{\circ}$$.
Ответ: 432
Скрыть

a) Пусть $$H$$ – середина $$BC$$. Так как треугольник $$BDC$$ равнобедренный, то прямая $$DH$$ перпендикулярна $$BC$$.

По условию боковая грань $$BCD$$ перпендикулярна основанию $$ABC$$, а значит по свойству перпендикулярных плоскостей перпендикуляр $$DH$$ к $$BC$$ является и перпендикуляром к плоскости $$ABC$$, то есть $$DH$$ – высота пирамиды $$ABCD$$.

Если в плоскости $$AHD$$ построить перпендикуляр $$HM$$ к $$AD$$, то поскольку $$AD$$, как наклонная к плоскости $$ABC$$, чья проекция $$AH$$ перпендикулярна $$BC$$, перпендикулярна $$BC$$, то $$AD$$ (будучи перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $$BCM$$), перпендикулярна ($$BCM$$) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Как построить перпендикуляр $$MH$$ к $$AD$$?

Для этого следует взять точку $$M$$ так, что $$AM:AD=1:4$$.

Действительно, как мы замечаем,

1) угол $$DAH$$ – и есть угол в $$60^{\circ}$$ между прямой $$AD$$ и плоскостью основания $$ABC$$, а значит $$AH$$ – половина $$AD$$ по свойству прямоугольного треугольника с углом в $$30^{\circ}$$;

2) $$AM$$ – половина $$AH$$, так как и в прямоугольном треугольнике $$AMH$$ есть угол в $$30^{\circ}$$. То есть $$AM$$ – половина половины $$AD$$.

Итак, искомое сечение – $$BMC$$, где $$M$$ – такая, что $$AM:AD=1:4$$.

б) Найдем объем пирамиды $$ACBM$$ с основанием $$ABC$$. $$V_{ABCM}=\frac{S_{ABC}\cdot MQ}{3}$$, где $$MQ$$ – высота указанной пирамиды. При этом, очевидно, проекция $$Q$$ точки $$M$$ на плоскость $$ABC$$ – такова, что $$AQ:AH=1:4$$ и $$MQ=\frac{DH}{4}$$.

$$MQ=\frac{DH}{4}=\frac{tg60^{\circ}\cdot AH}{4}=\frac{\sqrt3\cdot 12}{4}=3\sqrt3$$.

Итак, $$V_{ABCM}=\frac{\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{4}\cdot 3\sqrt3}{3}=144$$.

А поскольку $$V_{ABCD}=\frac{S_{ABC}\cdot DH}{3}=\frac{\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{4}\cdot 12\sqrt3}{3}=576$$, то $$V_{BCDM}=V_{ABCD}-V_{ABCM}=576-144=432$$.

 

Задание 14330

В правильной пирамиде $$PABCD$$ на ребрах $$AB$$ и $$PD$$ взяты точки $$M$$ и $$K$$ соответственно, причем $$AM:BM=1:3$$, $$DK:PK=4:3$$.

а) Докажите, что прямая $$BP$$ параллельна плоскости $$MCK$$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $$MCK$$, если известно, что все ребра пирамиды равны 4.
Ответ: $$\frac{57\sqrt{11}}{28}$$.
 

Задание 14342

На боковых ребрах $$EA, EB, EC$$ правильной четырехугольной пирамиды $$ABCDE$$расположены точки $$M, N, K$$ соответственно, причем $$EM:EA=1:2$$, $$EN:EB=2:3$$, $$EK:EC=1:3$$.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $$M, N, K.$$
б) В каком отношении плоскость $$MNK$$ делит объем пирамиды?
Ответ: $$5:58$$
 

Задание 14361

В правильном тетраэдре $$MNPQ$$ через биссектрисы $$NA$$ и $$QB$$ граней $$MNP$$ и $$QNP$$ проведены параллельные плоскости.

а) Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от $$MNPQ$$ тетраэдров к объему $$MNPQ$$
б) Найдите расстояние между $$NA$$ и $$QB$$, если ребро тетраэдра равно 1.
Ответ: А)$$\frac{11}{24}$$ Б)$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{35}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14380

В правильном тетраэдре $$ABCD$$ точка $$K$$ – середина ребра $$АВ$$, точка $$E$$ лежит на ребре $$CD$$ и $$EC:ED=1:2$$.

а) Найдите угол между прямыми $$BC$$ и $$KE$$.
б) Найдите расстояние между прямыми $$BC$$ и $$KE$$, если сторона тетраэдра равна $$\sqrt{6}$$
Ответ: А)$$\arccos \frac{7}{2\sqrt{19}}$$ Б) $$\frac{2}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!