Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / (C2) Стереометрическая задача

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 14030

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1точка К — середина ребра АА1, a АВ=АА1. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки К и В1 параллельно прямой ВС1.

а) Докажите, что плоскость а делит ребро А1С1 в отношении 1:2 .
б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости $$\alpha$$, если АВ=6.
Ответ: $$\frac{3\sqrt{30}}{10}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13901

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.

а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS=АС.
Ответ: $$45^{\circ}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13797

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.

а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS=2АС.
Ответ: $$arctg 0,5$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13775

В правильной призме ABCDA1B1C1D1с основанием ABCD боковое ребро равно 2, а сторона основания равна $$\sqrt{6}$$. Через точку А1 перпендикулярно плоскости AB1D1 проведена прямая I.

а) Докажите, что прямая I пересекает отрезок АС и делит его в отношении 2:1 .
б) Найдите угол между прямыми I и CD1.
Ответ: $$\arccos \frac{2\sqrt{210}}{35}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13692

В правильной призме ABCDA1B1C1D1с основанием ABCD боковое ребро равно $$\sqrt{3}$$, а сторона основания равна 2. Через точку А1 перпендикулярно плоскости AB1D1проведена прямая I.

а) Докажите, что прямая I пересекает отрезок АС и делит его в отношении 3:1.
б) Найдите угол между прямыми I и СВ1.
Ответ: $$arccos \frac{2\sqrt{210}}{35}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13561

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС=CN:BN=2:1, точка K - середина ребра A1C1.

а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину B1.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости KMN, если AB=6, AA1=2,4.
Ответ: $$\frac{24}{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13543

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС=CN:BN=2:1, точка K - середина ребра A1C1.

а) Докажите, что плоскость MNB1 проходит через середину ребра A1C1
б) Найдите площадь сечения призмы АВСА1В1С1плоскостью MNB1 если АВ=6, $$AA_{1}=\sqrt{3}$$.
Ответ: $$5\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13391

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка К — середина бокового ребра SD. Плоскость АКB пересекает боковое ребро SC в точке Р.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет $$\frac{3}{4}$$ треугольника SCD.
б) Найдите объём пирамиды ACDKP.
Ответ: 150
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13372

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 16, высота SH равна 10. Точка К — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку К и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и Р соответственно.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет $$\frac{3}{4}$$ треугольника SBC.
б) Найдите объём пирамиды KBCPQ.
Ответ: $$80\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12915

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки М и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость $$\alpha$$ содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью $$\alpha$$.
Ответ: $$8+2\sqrt{2}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12894

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра AS.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.

Ответ: $$\arccos{\frac{1}{\sqrt{33}}}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12875

Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер $$AB,\ B_1C_1,\ AD.$$

б) Найдите угол между плоскостью $$A_1BD$$ и плоскостью, проходящей через середины рёбер $$AB,\ B_1C_1,\ AD.$$

Ответ: $$\arctg{2\sqrt{2}}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12853

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $$AB\ =\ BC\ =AC\ =\ 10.$$

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём $$DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 3:2.\ $$Найдите площадь сечения MNB.

Ответ: $$3\sqrt{59}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12834

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $$AB\ =\ BC\ =\ AC\ =9\sqrt{2}.$$

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём $$DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 2:7.$$ Найдите площадь сечения MNB.

Ответ: $$\sqrt{166}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12814

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $$AB=BC=AC=\ 14.$$

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки М и N соответственно, причём $$DM\ :\ MA\ =\ DN\ :\ NC\ =\ 6:1.$$ Найдите площадь сечения MNB.

Ответ: $$6\sqrt{134}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12794

В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ все рёбра равны 5. На его ребре $$BB_1$$ отмечена точка К так, что $$KB=4.$$ Через точки $$K$$ и $$C_1$$ проведена плоскость $$\alpha $$, параллельная прямой $$BD_1$$

а) Докажите, что $$A_1P:PB_1=3:1$$, где Р - точка пересечения плоскости $$\alpha $$ с ребром $$A_1B_1$$.

б) Найдите угол наклона плоскости $$\alpha $$ к плоскости грани $$BB_1C_1C$$

Ответ: $$arctg\frac{\sqrt{26}}{4}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12773

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём $$SM:\ MA=1:2.$$ Точки Р и Q - середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Ответ: 7:11
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12752

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём $$SM:\ MA=5:1.$$ Точки Р и Q - середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Ответ: 17:127
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12733

Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.

а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.

Ответ: 5
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12713

Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём А и С диаметрально противоположны. Точка М - середина ВС.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью АВС такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если $$AB=\ 6,\ BC\ =\ 10,\ SC\ =\ 4\sqrt{3}.$$

Ответ: $$arcsin\sqrt{\frac{21}{46}}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12693

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка $$C_1$$, причём $$CC_1$$ - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB=\ 30{}^\circ $$, $$AB=\sqrt{2}$$ , $${CC}_1=4$$

а) Докажите, что угол между прямыми $$AC_1$$ и ВС равен 60$${}^\circ$$.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Ответ: $$8\sqrt{2} \pi $$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12672

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка $$C_1$$, причём $$CC_1$$ - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB\ =\ 45{}^\circ ,\ AB=З\sqrt{2},\ CC_1\ =\ 6.$$

а) Докажите, что угол между прямыми $$AC_1$$ и ВС равен 60$${}^\circ$$. 

б) Найдите расстояние от точки В до прямой $$AC_1$$

Ответ: $$1,5\sqrt{6}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12653

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра SB, G - середина ребра SC.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF.

б) Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.

Ответ: $$\pi -arccos\frac{9}{11}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11853

Основание АВС правильной треугольной пирамиды SABC вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси О1О2цилиндра (точка О1– центр верхнего основания). Объем цилиндра равен $$21\pi$$, а объем пирамиды 33 .

а) Докажите, что SO1:SO2=3:4
б) Найдите расстояние между прямыми АС и SB, если радиус основания цилиндра равен 32 .
Ответ: $$\frac{3\sqrt{39}}{13}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11768

Точка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.

а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.
б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.
Ответ: $$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11749

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M –середина ребра СС1, на ребре BB1отмечена точка N, такая, что BN:NB1 =1:2.

а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD1?

б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.

Ответ: А)1:2 Б)$$\arctg \frac{\sqrt{5}}{4}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11730

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S – вершина , BD – диагональ основания) образует угол 45о c плоскостью основания, а сторона равна 4. Через среднюю линию треугольника ABD, не пересекающую BD и середину высоты пирамиды, проведена плоскость $$\alpha$$.

А) Постройте сечение пирамиды плоскостью $$\alpha$$ и докажите, что плоскость  $$\alpha$$ перпендикулярна ребру SC.
Б) Найдите объем пирамиды SKLM, где K, L и M точки пересечения плоскости α соответственно с ребрами SB, SD и SC.
Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{3}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11711

Основанием пирамиды SABC является треугольник АВС, в котором АВ=5, ВС=12 и $$\angle ABC=90^{\circ}$$. Ребро AS перпендикулярно основанию АВС и равно $$2\sqrt{14}$$. Точки L и M расположены на ребрах SC и SB. При этом $$\frac{CL}{SL}=\frac{SL}{SC}$$, $$SM\cdot MB=\frac{SB^{2}}{9}$$ причем точка М расположена ближе к В, чем к S.

а) Докажите, что прямая ВС перпендикулярна АМ
б) Найдите объем пирамиды АМLC.
Ответ: $$\frac{20\sqrt{14}}{3}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11467

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S стороны основания равны 18, а боковые ребра 15. Точка R принадлежит ребру SB, причем SR:RB=2:1.

А) Докажите, что плоскость, проходящая через точки С и R параллельно BD делит ребро SA пополам.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Ответ: $$117\sqrt{2}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11448

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD через середины сторон АВ и AD параллельно боковому ребру АМ проведена плоскость. Сторона основания пирамиды равна 20 , а боковое ребро $$20\sqrt{2}$$ .

А) Докажите, что сечение пирамиды этой плоскостью является пятиугольником с тремя прямыми углами.
Б) Найдите площадь этого сечения
Ответ: 250
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11420

В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD сторона основания АВ равна 16, а высота пирамиды равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM=DN=4 и АК=3.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.
Ответ: $$\frac{12\sqrt{5}}{5}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11376

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро АА1равно $$5\sqrt{3}$$. На ребре DD1отмечена точка М так, что DM:MD1=3:2. Плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой A1F1и проходит через точки М и Е.

а) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1Fплоскостью $$\alpha$$ — равнобедренная трапеция.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием — сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1Fплоскостью а.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11275

В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит параллелограмм АВСD c центром О. Точка N – середина ребра SC, точка L – середина ребра SA.

а) Докажите, что плоскость BNL делит ребро SD отношении 1 : 2, считая от вершины S.
б) Найдите угол между плоскостями BNL и ABC, если пирамида правильная, SA = 8, а тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен $$\frac{\sqrt{7}}{5}$$
Ответ: $$arctg \frac{\sqrt{7}}{10}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11086

В основании прямой призмы $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ лежит равнобедренная трапеция АВСD c основаниями AD и ВС. Известно, что $$AD:BC\ =\ 2:1$$ и $$АВ\ =\ ВС.$$

а) Докажите, что $$DB_1\bot A_1B_1$$.

б) Найдите угол между прямыми $$CD_1$$ и $$DB_1$$, если боковая грань $$AA_1D_1D$$ - квадрат.

Ответ: $$arccos\frac{\sqrt{35}}{14}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11000

Дан прямой круговой конус с вершиной М. Осевое сечение конуса - треугольник с углом $$120{}^\circ $$ при вершине М. Образующая конуса равна $$2\sqrt{3}$$. Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.

А) Докажите, что получившийся в сечении треугольник - тупоугольный

Б) Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения.

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10821

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой АС, проходит через точку В и середину высоты пирамиды.

а) Доказать, что плоскость $$\alpha $$ делит ребро SD в отношении $$2 : 1$$, считая от точки D.

б) Найдите синус угла между плоскостью $$\alpha $$ и плоскостью ASC, если угол SAC равен $$30{}^\circ $$.

Ответ: $$\frac{2\sqrt{39}}{13}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10692

В треугольной пирамиде SABC точка Е - середина ребра SA, точка F - середина ребра SB, О - точка пересечения медиан треугольника АВС

а) Докажите, что плоскость CEF делит отрезок SO в отношении 3:2, считая от вершины S

б) Найдите косинус угла между плоскостями CEF и EFT, если точка Т - середина SC, а пирамида SABC правильная, площадь треугольника АВС равна $$27\sqrt{3},\ SB=10$$.

Ответ: $$\frac{15}{17}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10656

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ все ребра равны 1.

а) Докажите, что точки F и С равноудалены от плоскости $$BED_1$$
б) Найдите расстояние между прямыми $$ED_1$$ и $$FE_1$$
Ответ: $$\frac{\sqrt{21}}{7}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10616

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Точка Р - середина ВС, на ребре AS отмечена точка N, причем PN перпендикулярна AS.

а) Доказать, что $${\sin \angle ASO\ }=\frac{NO}{PS}$$

б) Найдите расстояние от точки О до плоскости SBC, если $$AB=12\sqrt{3},\ {\sin \angle ASO\ }=\frac{3}{\sqrt{13}}$$

Ответ: б) 4,8
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10596

Дана правильная призма $$ABCA_1B_1C_1$$, у которой сторона основания $$AB=4$$, а боковое ребро $$AA_1=9$$, Точка М - середина ребра АС, а на ребре $$AA_1$$ взята точка Т так, что $$AT=3$$.

а) Докажите, что плоскость $$BB_1M$$ делит отрезок $$C_1T$$ пополам.

б) Плоскость $$BTC_1$$ делит отрезок $$MB_1$$ на две части. Найти длину большей из них. 

Ответ: $$\frac{3\sqrt{93}}{5}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10576

На боковом ребре $$SA$$ правильной треугольной пирамиды $$SABC$$ взята точка $$D$$, через которую проведено сечение пирамиды, пересекающее апофемы граней $$SAC$$ и $$SAB$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Известно, что прямые $$DM$$ и $$DN$$ образуют углы $$\beta $$ с плоскостью основания пирамиды, а величины углов $$DMS$$ и $$DNS$$ равны $$\alpha $$, $$\left(\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$$

а) Докажите, что секущая плоскость параллельна ребру $$BC$$

б) Найдите угол $$MDN$$, если $$\alpha =30{}^\circ ,\ \beta =45{}^\circ $$

Ответ: $$arccos \frac{2-\sqrt{3}}{4}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10556

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ через середину $$D$$ ребра $$CC_1$$ проведено сечение $$ADB_1$$.

а) Найдите, в каком отношении сечение делит объем призмы.

б) Найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$, если боковые ребра равны 2, а стороны основания равны 5.

Ответ: а)1:1 б)$$arctg \frac{2}{5}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10528

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА =1:2. Точки Р и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
Ответ: 7:11
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10508

Основание ABCD призмы ABCDA1B1C1D1 – трапеция с основаниями $$AB=2\cdot CD$$

а) Докажите, что плоскость BA1D1 проходит через середину бокового ребра CC1
б) Найдите угол между боковым ребром AA1 и этой плоскостью, если призма прямая, трапеция ABCD прямоугольная с прямым углом при вершине B , а BC=CD и $$AA_{1}=\sqrt{6}CD$$
Ответ: $$30^{\circ}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10497

В основании треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. На ребре ВС взята точка L, причем BL:LC=1:2

а) Докажите, что плоскость проходящая через точку N пересечения медиан грани А1В1С1 и точку пересечения диагоналей грани ВВ1С1С параллельно АС, проходит через точку L
б) Пусть Q – середина ребра А1С1. Найдите угол между прямыми BQ и LN, если призма АВСА1В1С1 прямая, АВ=ВС=6, ВВ1=6
Ответ: $$\arccos \frac{7\sqrt{15}}{30}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10441

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ – точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что CD=BE=AL=2.

а) В каком отношении плоскость EDL делит объем пирамиды МАВС?
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Ответ: А)1:8 Б)$$\arctg \frac{\sqrt{39}}{9}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10391

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 4. Точка N – середина отрезка АС.

а) Докажите, что плоскость NA1D делит сторону АВ основания призмы в отношении 2:1
б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости NA1D.
Ответ: $$\frac{4\sqrt{93}}{31}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10287

В правильной четырехугольной пирамиде плоскость $$\alpha$$, проведенная через сторону основания, делит двухгранный угол при основании пирамиды и боковую поверхность пирамиды пополам.

а) Докажите, что двухгранный угол при основании пирамиды равен 45o.
б) Найдите расстояние от плоскости $$\alpha$$ до вершины пирамиды, если сторона основания пирамиды равна 1.
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10261

Основание пирамиды SABCD – квадрат ABCD, боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. BC=2SA. Точка М – середина ребра АВ.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую SM параллельно BD, ‐ равносторонний треугольник
б) Найдите расстояние между прямыми SM и BD, если $$AB=6\sqrt{3}$$
Ответ: 3
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10214

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной $$3\sqrt{2}$$. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 8. Через вершину А параллельно BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 3:2, считая от вершины.

а) Докажите, что плоскость сечения делит отрезок SO в отношении 3:1, где О ‐ центр основания
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды
Ответ: $$arctg \frac{8}{9}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10193

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S через сторону основания АВ проведена плоскость, делящая боковые ребра противоположной грани пополам.

а) Докажите, что плоскость сечения делит грань SCD на части, площади которых относятся как 1:2
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если сторона основания равна 1, а высота пирамиды равна 3/2
Ответ: 13/8
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10168

Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания О равен 6, а его высота равна $$\sqrt{33}$$. Точка М – середина образующей SA конуса, а точки N и В лежат на основании конуса, причем MN параллельна образующей конуса SB.

а) Докажите, что ON – биссектриса угла АОВ
б) Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью основания конуса, если AB=$$4\sqrt{3}$$
Ответ: $$arctg \frac{1}{2}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10153

Длина высоты правильной треугольной пирамиды SABC ( S – вершина) в $$\frac{5}{\sqrt{6}}$$ раз больше длины стороны основания. Точка D – cередина апофемы SN, где N – середина АС.

а) Докажите, что угол между прямой BD и плоскостью $$\alpha$$, проходящей через ребро SC и середину ребра АВ равен 300
б) Найдите расстояние между BD и SC, если сторона основания равна 3.
Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10134

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ:BC:CC1=1:2:3

а) Найдите угол между прямой BD1 и плоскостью ВС1D
б) Найдите угол между плоскостями АА1D и ВС1D
Ответ: А)$$arcsin (\frac{3\sqrt{2}}{7\sqrt{7}})$$ Б)$$arccos(\frac{6}{7})$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10115

В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N – середины ребер АВ и CD.

а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 450
б) Найдите расстояние между прямыми MN и AD.
Ответ: $$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10096

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания в два раза меньше высоты призмы.

а) Докажите, что расстояние от точки О1 ‐ пересечения диагоналей основания A1B1C1D1 до плоскости BDC1 в три раза меньше высоты призмы
б) Найдите расстояние между прямыми С1О и АВ, если сторона основания призмы равна 1, где О ‐ пересечения диагоналей основания ABCD
Ответ: $$\frac{2}{\sqrt{17}}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10073

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 АВ=4, АА1= 6. На ребрах АВ и В1С1 оснований взяты соответственно точки М и N так, что ВМ:АВ=В1N:B1C1=1:4. Через середину Р бокового ребра ВВ1 проведено сечение призмы, перпендикулярное прямой MN

а) В каком отношении плоскость сечения делит ребро АА1?
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: А)5:1 Б)$$2\sqrt{14}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10053

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка К – середина ребра АВ, точка Р – середина ребра ВС. Через точки К, Р, D1 проведена плоскость $$\alpha$$.

А) Докажите, что сечение призмы плоскостью $$\alpha$$ можно разбить на две части, одна из которых равнобедренный треугольник, а другая – равнобокая трапеция.
Б) Найдите периметр сечения призмы плоскостью $$\alpha$$ , если известно, что сторона основания призмы равна 8, а боковое ребро равно 6.
Ответ: $$12\sqrt{5}+4\sqrt{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 9948

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром длины 1. Точка Р – середина А1D1, точка Q делит отрезок АВ1 в отношении 2:1, считая от вершины А, R – точка пересечения отрезков ВС1 и В1С.

а) Найдите площадь сечения куба плоскостью PQR
б) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ АС1 куба
Ответ: а) $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$; б) 2:1
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9928

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС=2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.

а) Докажите, что BP:PQ=1:3
б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB=BC.
Ответ: $$\arccos (-\frac{\sqrt{5}}{15})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9876

Объем куба ABCDA1B1C1D1 с нижним основанием ABCD равен 27. Над плоскостью верхнего основания отмечена точка Е такая, что BE=$$\sqrt{41}$$ и CE=$$5\sqrt{2}$$.

а) Докажите, что плоскость АВВ1 проходит через точку Е
б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости ЕВС, если объем ЕА1В1С1 в 2 раза меньше объема ЕВСС1
Ответ: а) $$\frac{3}{\sqrt{41}}$$; б) $$\frac{27}{\sqrt{41}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 9801

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1 причём СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB$$=30°, АВ=$$\sqrt{2}$$ , СС1=4.

а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Ответ: $$8\sqrt{2}\pi$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9781

В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобедренная трапеция KLMN, описанная около окружности и такая, что KN=LM=4, MN>KL и угол между прямыми KN и LM равен 600. Две противоположные грани этой пирамиды перпендикулярны основанию и SM=12.

а) Найдите объем пирамиды SKLMN
б) Найдите расстояние от точки М до плоскости SKL.
Ответ: а) 48; б) $$\frac{36}{\sqrt{111}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9680

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка О1 – центр квадрата ABCD, точка О2 – центр квадрата СC1D1D.

а) Докажите, что прямые A1О1 и B1О2 скрещиваются.
б) Найдите расстояние между прямыми A1О1 и B1О2 , если ребро куба равно 1.
Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9661

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка C1, причём СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB$$=45°, $$AB=3\sqrt{2}$$, СС1=6.

а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 60°.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой АС1
Ответ: $$1,5\sqrt{6}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9633

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 5, AA1 = 5, AD = 3.

а) Докажите, что прямые A1B и B1D перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми A1B и B1D.
Ответ: $$\frac{15}{\sqrt{118}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9528

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра SB, G - середина ребра SC.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF.
б) Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.
Ответ: $$arccos \frac{9}{11}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9508

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2.

а) Докажите, что плоскости А1BD и В1D1С параллельны.
б) Найдите расстояние между плоскостями А1BD и В1D1С.
Ответ: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9488

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра AS.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF. 

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9383

Дан куб АВСВА1В1С1D1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер АВ, В1С1, АD.

б) Найдите угол между плоскостью А1BО и плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, В1С1, АD.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9363

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки В, A1 и B1<\div>
б) Найдите угол между плоскостями ВА1С1 и ВА1D1<\div>
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9343

В правильном тетраэдре ABCD точка К – центр грани ABD, точка М – центр грани ACD.

а) Докажите, что прямые ВС и КМ параллельны.

б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью ABD.

Ответ: $$\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9246

Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной 8, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M - середина BC.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB=4, BC=6 и SC=$$4\sqrt{2}$$.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9229

Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной 8, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M - середина BC.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB=6, BC=8 и SC=$$5\sqrt{2}$$.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9162

В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 1, боковое ребро равно 2. Плоскость сечения проходит через середины ребер AD и СС1 параллельно диагонали B1D.

а) Докажите, что плоскость сечения делит ребро ВВ1 в отношении 1:5, считая от точки В1

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания параллелепипеда.

Ответ: $$arctg \frac{2\sqrt{5}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9111

Основание пирамиды SABC-равносторонний треугольник ABC. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N — середины рёбер BC и AB соответственно, причём SN=AM.

а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60°.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если BC=6.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9046

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 2. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 1. Точка F – середина АВ.

а) Найдите угол между прямыми SF и AC

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку F параллельно прямым BD и SС.

Ответ: а) 60 градусов; б) $$\frac{3\sqrt{2}}{8}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 8913

Основанием пирамиды TABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB=26 и BC=18. Все боковые рёбра пирамиды равны $$10\sqrt{5}$$. На рёбрах AB и CD отмечены соответственно точки N и M так, что BN=DM=12. Через точки N и M проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная ребру TA.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ проходит через точку K - середину ребра TA.

б) Найдите расстояние между прямыми TC и KN.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8893

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB=15 и BC=25. Все боковые рёбра пирамиды равны $$5\sqrt{17}$$. На рёбрах AB и BC отмечены соответственно точки K и N так, что AK=CN=8. Через точки K и N проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная ребру SB.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ проходит через точку M-середину ребра SB.

б) Найдите расстояние между прямыми DS и KM

Ответ: $$\frac{5\sqrt{17}}{2}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8872

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М – середина стороны ВС.

а) Докажите, что прямая А1С параллельна плоскости, проходящей через точки А, М и В1

б) Найдите расстояние от прямой А1С до плоскости АМВ1, если параллелепипед прямоугольный и АВ=5, AD=4, AA1=2.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{6}}{9}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 8798

Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник ABC со стороной 48. Все боковые рёбра пирамиды равны 40. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки K и N так, что FK=FN=10. Через точки K и N проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная плоскости ABC.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит медиану AM в отношении 1:3.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости $$\alpha$$.
Ответ: $$6\sqrt{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8779

Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник ABC со стороной 36. Все боковые рёбра пирамиды равны 30. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки K и N так, что BK=CN=20. Через точки K и N проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная плоскости ABC.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит медиану AM в отношении 2:7.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $$\alpha$$
Ответ: $$4\sqrt{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8760

В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A1B1C1. Через ребро AB проведена плоскость $$\alpha$$, которая пересекает ребро CC1 в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка N делит ребро CC1 в отношении 5:13, считая от точки С1
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью $$\alpha$$, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
Ответ: 48,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 8741

В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в четыре раза больше площади меньшего основания A1B1C1. Через ребро AC проведена плоскость $$\alpha$$, которая пересекает ребро BB1 в точке K и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка K делит ребро BB1 в отношении 7:1, считая от точки B.
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью $$\alpha$$, если высота пирамиды равна $$2\sqrt{2}$$, а ребро меньшего основания равно $$2\sqrt{6}$$.
Ответ: $$13\sqrt{6}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8718

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка K, причём SK:KC=1:3. Плоскость а содержит точку K и параллельна плоскости SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды SACD плоскостью $$\alpha$$ — трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием — сечение пирамиды SABCD Б плоскостью $$\alpha$$.
Ответ: $$\frac{5\sqrt{17}}{8}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8698

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SC отмечены точки К и М соответственно, причём АК:КВ = SM:МС = 1:5. Плоскость $$\alpha$$ содержит прямую КМ и параллельна прямой ВС.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой SА.
б) Найдите угол между плоскостями $$\alpha$$ и SВС.
Ответ: $$arccos \frac{31\sqrt{10}}{140}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 7864

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а  боковое ребро SA равно 4. Точки M и N – середины рёбер SA и SB соответственно.  Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания  пирамиды.  

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1,  считая от точки C.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC  плоскостью α.

Ответ: а) $$\frac{5}{1}$$; б) $$8+2\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) 1) Пусть $$SO$$ - высота пирамиды, $$\bigtriangleup SOB$$ - прямоугольный. Пусть $$NH\parallel SO$$ $$\Rightarrow$$ $$NH\cap OB=H$$ и $$OH=HB$$ (т.к. $$NH$$ - средняя линия)

2) Проведем через $$H$$ прямую,параллельную $$MN$$ (т.к. плоскость пересекает двугранный угол). Пусть прямая пересекает $$CB$$ и $$CA$$ в $$L$$ и $$K$$ соответственно $$\Rightarrow$$ $$(MNLK)$$ - искомое сечение.

3) $$MN\parallel AB$$; $$MN\parallel LK$$ $$\Rightarrow$$ $$LK\parallel AB$$. Пусть $$LK\cap OE=R$$, тогда $$\frac{OR}{RE}=\frac{OH}{HB}=\frac{1}{1}$$. Но $$\frac{CO}{OE}=\frac{2}{1}$$ ($$CE$$ - середина) $$\Rightarrow$$ $$\frac{CR}{RE}=\frac{2OE+\frac{1}{2}OE}{\frac{1}{2}OE}=\frac{5}{1}$$

б) 1) $$MN=\frac{1}{2}AB=3$$; $$KL=\frac{5}{6}AB=5$$; 

2) из $$\bigtriangleup SBC$$: $$\cos B=\frac{SB^{2}+CB^{2}-SC^{2}}{2SB\cdot CB}=\frac{4^{2}+6^{2}-4^{2}}{2\cdot6\cdot4}=\frac{3}{4}$$

3) $$HB=\frac{1}{6}CB=1$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup NBL$$: $$NH=\sqrt{NB^{2}+BL^{2}-2NB\cdot BL\cdot\cos B}=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2\cdot2\cdot1\cdot\frac{3}{4}}=\sqrt{4+1-3}=\sqrt{2}$$ $$\bigtriangleup AMK=\bigtriangleup NLB$$ по двум сторонам и углу между ними $$\Rightarrow$$ $$MK=NL$$

4) $$P=MN+KL+MK+NL=5+3+2\sqrt{2}=8+2\sqrt{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4366

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен $$\frac{2\sqrt{34}}{17}$$

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4365

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер AD = 12, AB = 5, AA1 = 8. Найдите объем пирамиды MB1C1D, если M — точка на ребре AA1, причем AM = 5.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4364

Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1. Вычислите объём пирамиды MPTC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4363

В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4362

Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно $$\sqrt{730}$$

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4361

Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4360

Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4359

Высота цилиндра равна 5, а радиус основания 10. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от неё.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4358

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4357

Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4356

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно $$8\sqrt{3}$$, а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1. Найдите объём пятигранника ABCA1D.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4355

Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно.

а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 10.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4354

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11.

а) Докажите, что прямые CA1 и C1D1 перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины C, A1 и F1.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4353

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона основания равна 8, а угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4352

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4351

В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MA = 6. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AL = 2, и BE = 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4350

Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 3. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4349

Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4348

В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 10. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AE = LM = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4347

В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC .

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4346

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA1 = 7. Точка M принадлежит ребру A1D1 и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины D1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4345

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4344

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A1C1. Найдите его площадь.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4343

Точка E — середина ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью A1BE, если ребра куба равны 2.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4342

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины S.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4341

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 9, а боковые рёбра равны 15. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и BC параллельно прямой MB.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4340

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4339

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC. Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна $$25\sqrt{3}$$. Найдите сторону основания.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4338

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4337

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 8, AD = 7, AA1 = 5. Точка W принадлежит ребру DD1 и делит его в отношении 1 : 4, считая от вершины D. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C W и A1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4336

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN: NC = 2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4335

Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L — середина ребра MC O — центр грани ABC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4334

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра основания которой равны $$2\sqrt{7}$$. Сечение, проходящее через боковое ребро AA1 и середину M ребра B1C1, является квадратом. Найдите расстояние между прямыми A1B и AM.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4333

Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расстояние между боковыми ребрами AA1 и CC1 равно 8. Найдите расстояние от прямой AA1 до плоскости BC1C, если известно, что двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4332

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4235

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскость основания ABC.

а) Докажите, что высота пирамиды, проведённая из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер AB,AC и SA, пополам.
б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если SA=$$\sqrt{5}$$, AB=AC=5, BC=$$2\sqrt{5}$$
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4234

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 высота равна 1, а сторона основания равна $$\sqrt{2}$$. Точка M — середина ребра AA1. Найдите расстояние от точки M до плоскости DA1C1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4233

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, сторона которого равна $$4\sqrt{3}$$, а угол ВАD равен 60°. Найдите расстояние от точки А до прямой C1D1, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4232

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки B до плоскости DEA1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4231

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4230

Длины ребер AB, AA1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 12, 16 и 15. Найдите расстояние от вершины A1 до прямой BD1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4229

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны $$5\sqrt{2}$$. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен $$\sqrt{2}$$, L — середина ребра MB. Найдите высоту данной пирамиды.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4228

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро $$SA=\sqrt{5}$$, сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM, где M — середина ребра SC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4227

Отрезок AC ― диаметр основания конуса, отрезок AP ― образующая этого конуса и AP = AC . Хорда основания BC составляет с прямой AC угол 60°. Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4226

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4225

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, AC=$$10\sqrt{3}$$. Диагональ боковой грани B1C составляет угол 30° с плоскостью AA1B1. Найдите высоту призмы.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4224

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 2, сторона основания равна 1. Найдите расстояние от точки B1 до прямой AC1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4222

В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой, проходящей через точку B и середину E ребра CD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4221

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите расстояние от точки C до прямой SA.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4220

Ребро основания правильной треугольной призмы LMNL1M1N1 равно её высоте и равно $$2\sqrt{5}$$. Найдите расстояние от точки L1 до плоскости LM1T, где T — середина ребра L1N1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4219

В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $$2\sqrt{10}$$ высота призмы равна $$2\sqrt{5}$$. Найдите расстояние от точки C1 до плоскости BCM, где M — середина ребра A1C1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4218

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BT, где T— середина ребра AD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4217

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром $$2\sqrt{2}$$. Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер AD и A1B1 соответственно.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4216

Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, у которого AB = 10 BD = 12. Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани A1B1C1D1 до плоскости BDC1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4215

Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Боковое ребро пирамиды равно $$\sqrt{43}$$ высота равна $$\sqrt{31}$$. Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой MT, где точки M и T — середины ребер AC и AD соответственно.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4214

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки C до прямой BD1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4213

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1взята точка E так, что A1E:EA=2:5, на ребре BB1— точка F так, что B1F:FB=1:6, а точка T — середина ребра B1C1Известно, что AB=5, AD=6, AA1=14

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4212

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, C1 и середину T ребра A1B1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4211

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка M — середина ребра AB, точка O — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4210

Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D— прямоугольник ABCD, в котором AB=12, AD=$$\sqrt{31}$$. Расстояние между прямыми AC и B1Dравно 5.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку перпендикулярно прямой BD1, делит отрезок BDв отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4209

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1Dизвестны длины рёбер AA= 7, AB = 16, AD = 6. Точка — середина ребра C1D1.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку перпендикулярно прямой AK, пересекает отрезок A1K.
б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4208

В правильной треугольной призме ABCA1B1Cсторона основания AB=$$7\sqrt{3}$$ а боковое ребро AA1=8.

а) Докажите, что плоскость BCAперпендикулярна плоскости, проходящей через ребро AAи середину ребра B1C1.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCAи BB1C1.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4207

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной сторона основания AB равна 6. На ребре AB отмечена точка так, что AK KB = 5 : 1. Сечение MKC является равнобедренным треугольником с основанием MK. Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4206

Высота цилиндра равна 3. Равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной 10 и ∠= 120° расположен так, что его вершина лежит на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины и — на окружности верхнего основания. Найдите угол между плоскостью ABC и плоскостью основания цилиндра.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4205

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной сторона основания AB равна 6. На ребре AB отмечена точка K. Сечение MKC является равнобедренным треугольником  с основанием MC. Найдите угол между плоскостями MLC и MBC, где — середина AB.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4204

Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен $$\frac{\sqrt{6}}{6}$$. Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4203

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка — середина ребра SA, точка — середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями CMK и ABC, если S= 6, BC = 4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4202

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 6, BC = 6, CC= 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACDи A1B1C1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4201

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, BC = 6, CC= 4, найдите тангенс угла между плоскостями CDDи BDA1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4200

В пра­виль­ной четырехугольной пи­ра­ми­де PABCD, все ребра ко­то­рой равны 100, точка K ― се­ре­ди­на бокового ребра AP.

а) По­строй­те сечение пи­ра­ми­ды плоскостью, про­хо­дя­щей через точку K и па­рал­лель­ной плоскости BCP.
б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью сечения и плос­ко­стью основания пирамиды.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4199

Дана прямая призма ABCDA1B1C1D1. Основание призмы — ромб со стороной 4 и острым углом 45°. Высота призмы равна 3. Найдите угол между плоскостью AC1B и плоскостью ABD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4198

SABC — правильная треугольная пирамида с вершиной S,M — середина BC. Косинус угла между боковой гранью и основанием пирамиды равен $$\frac{\sqrt{3}}{4}$$. Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды, если SM=4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4197

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4, точка — середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4196

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB=4, AD=3. Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4195

 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S — вершина. Точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 10, SC = 8.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4138

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 4 . Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 9, AD = 6 , AA1 = 14 .
а) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4137

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. На стороне ВВ1 отмечена точка К так, что ВК = 3. Плоскость α проходит через точки С1 и К и параллельна прямой BD1. Плоскость α пересекает ребро А1В1 в точке Р.
а) Докажите, что А1Р : РВ1 = 2 : 1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к грани ВВ1С1С.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4136

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1  равна 2, а диагональ боковой грани равна $$\sqrt{5}$$. Найдите угол между плоскостью A1BC  и плоскостью основания призмы.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4135

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и BA1D1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4134

Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4133

В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4132

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1. Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4131

Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC  составляет  $$\frac{5}{7}$$ от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4130

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB=5 и катетом BC=$$\sqrt{5}$$. Высота призмы равна $$\sqrt{3}$$. Найдите угол между прямой C1B и плоскостью ABB1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4129

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, AB=AC=5, BC=8. Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой A1B и плоскостью BCC1

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4128

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: AB=$$21\sqrt{3}$$, SC=29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и BC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4127

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостью ABC и прямой EF, проходящей через середины ребер AA1 и C1D1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4126

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью AA1C и прямой A1B, если AA1 = 3, AB = 4, BC = 4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4125

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что прямая AB1 параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AC и BC1.
б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4124

Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми PH и BM, если отрезок PH — высота данной пирамиды, точка M — середина ее бокового ребра AP.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4123

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8. Высота этой призмы равна 6. Найти угол между прямыми CA1 и AB1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4122

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Найдите угол между прямыми DM и CL, где M — середина ребра BC, M — середина ребра AB

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4121

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $$8\sqrt{2}$$. Высота призмы равна 6. Найдите угол между прямыми AC1 и CB1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 1163

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те угол между пря­мы­ми SB и CD.

Ответ: 60°
Аналоги к этому заданию:

Задание 1162

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD най­ди­те угол между вы­со­той тет­ра­эд­ра DH и ме­ди­а­ной BM бо­ко­вой грани BCD.

Ответ: $$\arccos \frac{\sqrt{2}}{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1161

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равно 6, а ко­си­нус угла ASB при вер­ши­не бо­ко­вой грани равен   $$\frac{1}{9}$$  Точка M — се­ре­ди­на ребра SC. Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми BM и SA.

Ответ: $$\frac{1}{3\sqrt{41}}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1160

На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 от­ме­че­на точка E так, что CE : EC1 = 1 : 2. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и AC1.

Ответ: $$ \arccos \frac {2\sqrt{30}}{15}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1159

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $$8\sqrt{2}$$. Высота призмы равна 6. Найдите угол между прямыми AC1 и CB1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 1158

Точка E — се­ре­ди­на ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и B1D.

Ответ: $$ \arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1157

В пи­ра­ми­де DABC пря­мые, со­дер­жа­щие ребра DC и AB, пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а) По­строй­те се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку E — се­ре­ди­ну ребра DB, и па­рал­лель­но DC и AB. До­ка­жи­те, что по­лу­чив­ше­е­ся се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б) Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка, если DC = 24, AB =10.

Ответ: $$ \arccos \frac{119}{169} $$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1156

Сто­ро­на пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 равна 8. Вы­со­та этой приз­мы равна 6. Найти угол между пря­мы­ми CA1 и AB1.

Ответ: $$ \arccos 0.04$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1155

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми SB и AD.

Ответ: $$\frac{1}{4}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1154

Длина ребра пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра ABCD равна 1. Най­ди­те угол между пря­мы­ми DM и CL, где M — се­ре­ди­на ребра BC, L — се­ре­ди­на ребра AB.

Ответ: $$\arccos \frac{1}{6}$$