Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C5) Финансовая математика

Банки, вклады, кредиты

 

Задание 2502

1 апреля 2017 года Юрий открыл в банке счёт «Пополняй», вложив 6 млн. рублей сроком на 4 года под 10% годовых. По договору с банком проценты по вкладу должны начисляться 31 марта каждого последующего года.
1 апреля 2018 года и 1 апреля 2020 года Юрий решил пополнять счёт на п тысяч рублей (п – целое число).
1 апреля 2021 года Юрий собирается закрыть счёт в банке и забрать все причитающиеся ему деньги.
Найдите наибольшее значение п, при котором доход Юрия от вложений в банк за эти 4 года окажется не более 3 млн. рублей.

Ответ: 499
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3162

1 июня планируется в банке взять в кредит некоторую сумму денег на срок 12 месяцев. Условия возврата таковы:

— 15 числа каждого месяца долг возрастает на r % (r – целое число) по сравнению с началом текущего месяца;  
— с 16 по 28 число необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало каждого следующего месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим месяцем.

Найдите наименьшую возможную ставку r, если известно, что за вторую половину года было выплачено более, чем на 30% меньше, нежели за первую половину. 

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3208

Петр Иванович взял кредит на несколько лет и выплатил его равными ежегодными платежами по 200000 руб. При этом в начале каждого года сумма кредита увеличивалась на 10 %, а в конце года производился платёж. Если бы Петр Иванович не делал платежей, то за это время вследствие начисления процентов сумма кредита составила бы 928200 руб. На сколько лет был взят кредит?

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3428

Брокерская фирма выставила на торги пакет акций, состоящий из акций двух компаний: нефтяной компании (по 100 долларов за акцию) и газовой компании (по 65 долларов 60 центов за акцию). Всего было выставлено 200 акций. Все акции газовой компании были проданы, а часть акций нефтяной компании осталась непроданной. Общая сумма выручки оказалась равной 13120 долларов. Определите процент акций газовой компании в выставленном на продажу пакете и найдите сумму выручки, полученной за акции газовой компании.

Ответ: 37,5%; 4920
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3665

1 июля планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:

‐ 15 числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с началом текущего месяца;
‐ с 16 по 28 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга.
‐ 1 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 1 число предыдущего месяца.

На сколько месяцев был взят кредит, если известно, что сумма выплат за первый год оказалась на 144 тыс. рублей больше, чем сумма выплат за второй год? Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Ответ: 30, 765 тыс.руб.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4021

В январе 2014 года Аристарх Луков‐Арбалетов взял в кредит 1 млн. рублей под 12% годовых на четыре года. Часть денег Аристарх закопал в огороде, чтобы ежегодно гасить проценты по кредиту. На оставшиеся деньги Аристарх купил доллары США по курсу 33 рубля за один доллар, а на половину этих долларов ‐ биткоины (BTC) по курсу 750 долларов за 1 BTC. 1 января 2018 года Аристарх продал биткоины по цене 13800 долларов США за один BTC и доллары по курсу 69 рублей за один доллар. Найдите доход, полученный Аристархом, округлив его до целого числа млн. рублей.

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$S=10^{6}$$ руб, тогда каждый год %: $$10^{6}\cdot0,12=120000$$ $$v$$

$$4\cdot120000=480000$$ закопал.

Осталось $$520000$$ $$\Rightarrow$$

$$\frac{120000}{33}=15757$$ долларов и 19 рублей.

На половину суммы биткоины: $$\frac{15757}{2}=7878,5$$ $$\Rightarrow$$

$$\frac{7878,5}{750}=10$$ биткоинов и $$7878,5+378,5$$ долларов $$\Rightarrow$$ 10 биткоинов и 8257 долларов.

После продажи: $$(10\cdot13800+8257)\cdot69=10091733$$ рублей

$$10091733-1000000\approx9$$ млн

 

Задание 4399

Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в банке?

Ответ: 120
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть S - начальная сумма, n-% тогда через год: $$S+S\cdot\frac{n}{100}=S(1+\frac{n}{100}$$ - сумма долга через 2 года с учетом оплаты $$\frac{3}{4}$$: $$\frac{1}{4}S(1+\frac{n}{100})\cdot S(1+\frac{n}{100})$$ - сумма долга и она же конечная выплата: $$\frac{1}{4}S(1+\frac{n}{100})^{2}=1,21S$$; $$(1+\frac{n}{100})^{2}=4,84$$; $$1+\frac{n}{100}=2,2$$; $$\frac{n}{100}=1,2$$ $$\Rightarrow$$ $$n=120$$ %

 

Задание 4576

1 июля гражданка взяла в кредит S млн. рублей. Условия его возврата таковы:
‐ 15 числа каждого месяца сумма долга увеличивается на 10% по сравнению с началом текущего месяца;
‐ с 16 по 28 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 1 числа каждого месяца долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Месяц 07 08 09 10 11 12 01 ...  
Долг (млн.руб.) S S-0,5 S-0,9 S-1,2 S-1,4 S-1,5 S-1,6 ... 0

(начиная с декабря, долг равномерно уменьшался на 100 тыс. руб.)
Определите: а) размер кредита; б) через сколько месяцев он был полностью погашен, если известно, что за все время кредитования было выплачено 4,16 млн. рублей.

Ответ: а) 2,6 млн. руб.; б) 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4764

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Ответ:

Задание 4765

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом $$11\frac{1}{9}$$% и, наконец, 12,5% в месяц. известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на $$104\frac{1}{6}$$% Определите срок хранения вклада.

Ответ:

Задание 4766

Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.

Ответ:

Задание 4767

В одной стране в обращении находилось 1 000 000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5%?

Ответ:

Задание 4768

Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% — в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект — от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

Ответ:

Задание 4769

В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год, после начисления процентов, хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?

Ответ:

Задание 4770

При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того за весь колодец дополнительно было уплачено 10 000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца.

Ответ:

Задание 4771

Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?

Ответ:

Задание 4772

Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

Ответ:

Задание 4773

1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?

Ответ:
 

Задание 4866

Руслан вложил 1 млн. в банк под 14% годовых (начисление в конце года на общую сумму). При этом каждый месяц он снимает по Х тыс. рублей на проживание (начиная со 2 года) в течении 4 лет, и в конце 5 года после начисления процентов сумма оказалась не менее 1 млн. Определите какую максимальную сумму он мог снимать ежемесячно. В ответе укажите целочисленное значение в тысячах рублей?

Ответ: 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть начальная сумма $$S=10^{6}$$, процент $$a=14% , b =1 +\frac{a}{100}=\frac{57}{50}$$, M - сумма, которую снимал.

После 1го года на счет: Sb.

После 2го: Sb-12M - до начисления процента; (Sb-12M)b - после начисления процента.

После 3го: (Sb-12M)b-12M - до начисления процента; ((Sb-12M)b-12M)b - после начисления процента.

После 4го: ((Sb-12M)b-12M)b-12M - до начисления процента; (((Sb-12M)b-12M)b-12M)b - после начисления процента.

После 5го: (((Sb-12M)b-12M)b-12M)b-12M - до начисления процента; ((((Sb-12M)b-12M)b-12M)b-12M)b - после начисления процента.

Раскроем скобки и сделаем группировку слагаемых с 12M и запишем условие, сумма на счету больше первоначальной:

$$Sb^{5}-12M(b^{4}+b^{3}+b^{2}+b)> S$$

Вынесем еще b за скобки, и воспользуемся формулой:

$$b^{n-1}+b^{n-2}+b^{n-3}+....+1=\frac{b^{n}-1}{b-1}$$ $$Sb^{5}-12Mb(\frac{b^{4}-1}{b-1})> S$$

Подставим наши данные:

$$10^{6}(\frac{57}{50})^{5}-12M*\frac{57}{50}*(\frac{(\frac{57}{50})^{4}-1}{\frac{57}{50}-1})> 10^{6}$$

$$M< \frac{10^{6}*7(57^{5}-50^{5})}{12*15*50(57^{4}-50^{4})}$$

$$M< 13746,25...$$ Так как требуется наибольшее целое, то получаем M=13

 

Задание 4917

Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух  пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза  дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со  стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из  первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тысяч рублей до 20 тысяч  рублей, а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тысяч рублей и не больше 60  тысяч рублей. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего  количества акций может содержаться в первом пакете.  

Ответ: 12,5%; 15%
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
№ полета 1 2 3
Цена одной, тыс. руб. x $$\frac{4x}{l}$$ $$\frac{5x}{l+1}$$
Кол-во акций, шт. y $$ly$$ $$y(l+1)$$
Цена пакета, тыс. руб. xy $$4xy$$ $$5xy$$

Цена второй: $$\frac{4xy}{ly}=\frac{4x}{l}$$

Кол-во акций в третьем: $$y+ly=y(l+1)$$

Цена третьей: $$\frac{5xy}{y(l+1)}=\frac{5x}{l+1}$$

Всего акций: $$y+ly+y(l+1)=2y(l+1)$$

Найти: $$\frac{y}{2y(l+1)}=\frac{1}{2(l+1)}$$

Имеем условия: $$\left\{\begin{matrix}16\leq\frac{4x}{l}-x\leq20\\42\leq\frac{5x}{l+1}\leq60\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}16\leq\frac{x(4-l}{l}\leq20\\42\leq\frac{5x}{l+1}\leq60\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{16l}{4-l}\leq x\leq \frac{10l}{4-l}\\\frac{42}{5}(l+1)\leq x\leq12(l+1)\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}a_{1}\leq x\leq b_{1}\\a_{2}\leq x\leq b_{2}\end{matrix}\right.$$ Пересения будут, если: $$\left\{\begin{matrix}a_{1}\leq b_{2}\\a_{2}\leq b_{1}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{16l}{4-l}\leq 12(l+1)\\\frac{42}{5}(l+1)\leq\frac{10l}{4-l}\end{matrix}\right.$$

 

Задание 5013

Олигарх Аристарх Луков‐Арбалетов имеет в собственности три частных банка. Активы первого банка состоят на 70% из рублей и на 30% из долларов. Во втором банке 80% активов составляют рубли и 20% – евро; в третьем банке 50% активов в рублях, 10% – в долларах и 40% – в евро. Аристарх планирует открыть 4‐й банк, направив туда часть активов из каждого банка так, чтобы доля каждой валюты в каждом из них сохранилась, а активы нового банка состояли бы ровно на 15% в долларах. Какой наименьший процент рублей могут содержать активы нового банка?  

Ответ: 55
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть х - объем денег с первого, тогда рубли $$0,7x$$; доллары - $$0,3x$$. Второй - $$y$$; тогда рубли - $$0,8y$$; $$0,2y$$ - евро, третий - $$z$$, тогда $$0,5z$$ - рубли, доллары - $$0,1z$$, евро - $$0,4z$$. Т.к. во втором долларов нет, то при внесении денег оттуда добавятся только рубли и евро, а т.к. процент рублей больше, чем евро, то по отношению  к общей массе денег в четвертом процент рублей увеличится. Тогда из 2го лучше не брать, раз надо минимальный процент рублей в четвертом: 

Всего: $$x+y+z$$

Рубли: $$0,7x+0,8y+0,5z$$

Доллары: $$0,3x+0,1z$$

Евро: $$0,2y+0,4z$$

$$\frac{0,3x+0,1z}{x+y+z}=0,15$$ - (15% долларов); $$x+y+z=\frac{0,3x+0,1z}{0,15}$$; $$x+y+z=2x+\frac{2}{3}z$$; $$z=3x-3y$$ $$\Rightarrow$$ $$x>y$$

Функция процента рублей: $$f(x;y;z)=\frac{0,7x+0,8y+0,5z}{x+y+z}=\frac{(0,7x+0,8y+0,5z)\cdot0,15}{0,3x+0,1z}=$$ $$\frac{0,15(0,7x+0,8y+1,5x-1,5y)}{0,3x+0,1(3x-3y)}=\frac{0,15(2,2x-0,7y)}{0,3x+0,3x-0,3y}=$$ $$\frac{2,2x-0,7y}{4x-2y}=0,55+\frac{0,4y}{4x-2y}$$

 

Задание 5144

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4 млн рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $$r$$% по сравнению с концом предыдущего года;  
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;  
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на  июль предыдущего года. 

Найдите $$r$$%, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,16 млн рублей, а наименьший — не менее 0,476 млн рублей.

Ответ: 19%
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Поскольку долг уменьшается на одну и ту же сумму ежегодно, то уменьшене долга за год составит 400 тыс. рублей .Следовательно: $$\left\{\begin{matrix}\frac{r}{100}*4000+400\leq 1160\\\frac{r}{100}400+400\geq 476\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4r+40\leq 116\\4r+400\geq 476\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}r\leq 19\\r\geq 19\end{matrix}\right.$$. Следовательно, r=19

 

Задание 5197

Аристарх Луков‐Арбалетов хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Аристарха совсем не было денег, а пакет стоил 100 000 рублей. В середине каждого месяца Аристарх откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце каждого месяца пакет дорожает на 20%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Аристарху каждый месяц, чтобы через некоторое время купить вожделенный пакет акций?

Ответ: 41472
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть x–сумма , которую откладывает , n- число месяцев, через которое отложенная сумма станет не меньше стоимости пакета: $$10^{5}*1,2^{n-1}\leq xn$$ $$n-1$$ Т.к. сначала он отложит и только потом зачислится процент $$x\geq \frac{10^{5}*1,2^{n-1}}{n}$$ Найдем минимум этой функции относительно n : $$(\frac{10^{5}*1,2^{n-1}}{n})^{1}=10^{5}\frac{n*1,2^{n-1}*\ln1,2-1,2^{n-1}}{n^{2}}=0\Leftrightarrow$$$$1,2^{n-1}(n*\ln1,2-1)=0\Leftrightarrow$$$$\ln 1,2^{n}=1\Leftrightarrow$$$$\ln 1,2^{n}=\ln e\Leftrightarrow$$$$1,2^{n}=e$$, следовательно, $$n \in [5; 6]$$. Найдем значения на концах данного промежутка: $$x(5)=\frac{10^{5}*1,2^{4}}{5}=41472$$ $$x(6)=\frac{10^{5}*1,2^{5}}{6}=41472$$

 

Задание 5292

В 2016 году в НИИ «Наномир» работали 20 сотрудников: директор, пять его заместителей, 12 инженеров и две уборщицы. Среднемесячная зарплата директора составляла 500 тыс. руб., зама – 200 тыс. руб., инженера 50 тыс. руб., уборщицы – 25 тыс. руб.

С 1 января 2017 года 4 инженера ушли на заслуженный отдых. Чтобы сохранить среднюю зарплату по НИИ на уровне прошлого года, директор решил изменить зарплату только у своих замов.

В конце 2017 года неожиданно выяснилось, что годовой фонд заработной платы НИИ, сформированный в объеме прошлого года, оказался выбран не полностью. В связи с этим все оставшиеся на счету фонда деньги директор перечислил себе в качестве премии.

Определите:

а) среднюю зарплату по НИИ в 2017 году;

б) на сколько % изменилась (увеличилась или уменьшилась) зарплата заместителей директора НИИ в 2017 году;

в) размер премии, полученной директором НИИ в конце 2017 года

Ответ: а) 107,5 тысяч б)23% в)5160 тысяч
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Средняя зарплата в 2016: $$\frac{500+5*200+12*50+2+25}{20}=107,5$$ тысяч. Данная зарплата сохраняется и в 2017, только меняется количество людей и зарплата замов. Пусть она составляет х тысяч рублей, тогда:

     $$\frac{500+5*x+8*50*2*25}{16}=107,5|*16$$

     $$950+5x=1720$$

     $$x=\frac{1720-950}{5}=154$$ тысячи рублей.

     То есть их зарплата уменьшилась на $$200-154=46$$ тысяч рублей, что составляет : $$\frac{46}{200}*100=23$$ процента от первоначальной.

     В 2016 году в месяц общая зарплата составляла 2150 тысяч, в 2017 стала 1720 тысяч. То есть экономия в месяц $$2150-1720=430$$ тысяч. В таком случае после распила бюджета годовая премия составила: $$430*12=5160$$ тысяч (как у наших неуважаемых госдеятелей)

 

Задание 5340

В июле планируется взять кредит банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

‐ каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
‐ в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть S-начальный кредит (S=20 млн), r - процент по кредиту (r=30%), n - количество лет. С учетом того, что сумма долга уменьшается равномерно, то ежегодный платеж будет складываться из платежа по основному долгу и начисленных процентов. Так как берется сумма S на n лет, то ежегодный платеж по основному долгу составит $$\frac{S}{n}$$. Составим таблицу платежей:

Номер года Долг на начало года Начисленный процентный долг Итоговый платеж
1 S $$\frac{r}{100}*S$$ $$\frac{r}{100}*S+\frac{S}{n}$$
2 $$\frac{n-1}{n}S$$ $$\frac{r}{100}*\frac{n-1}{n}S$$ $$\frac{r}{100}*\frac{n-1}{n}S+\frac{S}{n}$$
3 $$\frac{n-2}{n}S$$ $$\frac{r}{100}*\frac{n-2}{n}S$$ $$\frac{r}{100}*\frac{n-2}{n}S+\frac{S}{n}$$
... ... ... ...
n $$\frac{1}{n}S$$ $$\frac{r}{100}*\frac{1}{n}S$$ $$\frac{r}{100}*\frac{1}{n}S+\frac{S}{n}$$

Тогда итоговая сумма выплат составит: $$\frac{S}{n}*n+\frac{r}{100}*S(1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...\frac{1}{n})=47$$

При этом $$(1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+...\frac{1}{n})=\frac{n+1}{2}$$ (вы можете вывести эту формулу самостоятельно рассмотрев сумму чисел при n=4 и n=5, посчитав полученный суммы вы заметите данную зависимость)

Подставим имеющиеся данные в полученное уравнение:$$20+\frac{30}{100}*20*\frac{n+1}{2}=47 \Leftrightarrow$$$$6*\frac{n+1}{2}=47-20 \Leftrightarrow$$$$n+1=9\Leftrightarrow n=8$$

 

Задание 5388

Банк планирует на один год вложить 30 % имеющихся у него средств клиентов в проект А, а остальные 70 % – в проект B. В зависимости от обстоятельств проект А может принести прибыль в размере от 32 % до 37 % годовых, а проект B – от 22 % до 27 % годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им процент по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в проекты А и B может при этом получить банк.

Ответ: 20 и 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Очевидно, что наибольшую прибыль получит банк, если доход от проектов будет по процентам наибольший, а выплаты клиентам произведутся по наименьшему проекту, и наоборот, наименьшая - при меньшей доходности и максимальных выплатах. Пусть S - имеющиеся средства, тогда на проект А пойдет 0,3S, на проект Б пойдет 0,7S. Помним, что увеличение на n% суммы S можно записать, как $$S(1+\frac{n}{100})$$ max: $$0,3S*1,37+0,7S*1,27-S*1,1=0,2S$$. То есть наибольшая прибыль составит 20% min: $$0,3S*1,32+0,7S*1,22-S*1,2=0,05S$$. То есть наименьшая прибыль составит 5%

 

Задание 6044

В июле планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия возврата кредита таковы: ‐ каждый январь долг увеличивается на 22,5% по сравнению с концом предыдущего года; ‐ в июне каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; ‐ в июле каждого года величина долга задается таблицей

Год 2018 2019 2020 2021
Долг, тыс.руб S 0,7S 0,4S 0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

Ответ: 400
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Каждая выплата состоит из начисленных за текущий год процентов и разницы долга между следующими и текущими: 2018: S*0,225-начисленный процент; S-0,7; S-разница долга,тогда общий платеж; $$S*0,225+0,3*S=0,525S=\frac{21}{49}*S$$ 2019: $$0,7*S*0,225+\left ( 0,7*S-0,4*S\right )=0,1575*S+0,3S=0,4575*S=\frac{183}{400}*S$$ 2020: $$0,4*S*0,225*S+\left ( 0,4*S-0\right )=0,49*S=\frac{49}{100}*S$$ Чтобы были все целые,то S должна быть кратными для 40;100 и 400$$\Rightarrow S=400$$

 

Задание 6091

Алексей решил взять кредит в банке 100 тысяч рублей на 4 месяца под 5% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита. По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 5%), затем Алексей переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг четырьмя равными платежами. По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 5%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Алексеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Какую схему выгоднее выбрать Алексею? Сколько рублей будет составлять эта выгода?

Ответ: 2ую ; 305
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Для равных платежей:

Пусть $$S=100000$$ (руб. ) − сумма, взятая в кредит;
$$n=4$$ − количество месяцев;
$$p=5$$% − банковский процент, тогда $$k=1,05=\frac{21}{20}$$− коэффициент, на который в конце каждого месяца умножается оставшаяся сумма долга;
x (руб. ) − ежемесячный платёж.

Все преобразования с суммами долга занесём в таблицу:

n Долг после начисления процентов Сумма долга после очередной выплаты
1 $$Sk$$ $$Sk-x$$
2 $$(Sk-x)k$$ $$(Sk-x)k-x$$
3 $$((Sk-x)k-x)k$$ $$((Sk-x)k-x)k-x$$
4 $$(((Sk-x)k-x)k-x)k$$ $$(((Sk-x)k-x)k-x)k-x$$

По условию задачи через 4 месяца долг выплачен полностью, то есть:

$$(((Sk-x)k-x)k-x)k-x=0\Leftrightarrow$$$$Sk^{4}-x(k^{3}+k^{2}+k+1)=0$$

Учтем, что $$k^{n-1}+k^{n-2}+...+k+1=\frac{k^{n}-1}{k-1}$$. Получим;

$$Sk^{4}-x*\frac{k^{4}-1}{k-1}=0\Rightarrow$$$$x=\frac{Sk^{4}(k-1)}{k^{4}-1}=$$$$\frac{10^{5}*(\frac{21}{20})^{4}*(\frac{21}{20}-1)}{(\frac{21}{20})^{4}-1}=$$$$\frac{10^{5}*21^{4}}{20(21^{4}-20^{4})}$$

Вся сумма равна 4 платежам, то есть $$4*\frac{10^{5}*21^{4}}{20(21^{4}-20^{4})}\approx 112805$$ рублей

Для равномерного погашения долга:

По условию задачи каждый месяц долг уменьшается на одну и ту же сумму, равную 1000000:4 = 25000 (тыс. рублей), тогда оставшиеся суммы долга равны: 1000000; 75000; 50000 и 25000 (руб.) на начало каждого месяца кредитования соответственно. Каждый месяц Алексей выплачивает четверть суммы, взятой в кредит (фиксированная часть выплаты) + проценты, начисленные на оставшуюся на этот месяц сумму долга. Вся выплаченная банку сумма в этом случае составит: S2 = 100000 + 0,05 ∙ (100000 + 75000 + 50000 + 25000) = 100000 + 0,05 ∙ 250000 = = 100000 + 12500 = 112500 (руб. )

Так как 112805>112500, то выгоднее вторая схема, на 112805-112500=305 рублей (приближенное значение с учетом расчетов)

 

Задание 6186

15‐го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца
‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга
‐ 15 –го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?

Ответ: 800000
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть S-начальная сумма, n=24 - число месяцев; a=0,02 - процент (представлен в долях). Так как долг гасится равномерно за 24 месяца (основная его часть), то ежемесячный платеж по основному долгу: $$\frac{S}{n}=\frac{S}{24}$$. Так же к данному платежу будут прибавлять ежемесячные начисленные проценты на оставшуюся часть долга:

месяц долг на начало месяца начисленный процент итоговый платеж
1 S Sa $$\frac{S}{24}+Sa$$
2 $$S-\frac{S}{24}=\frac{23S}{24}$$ $$\frac{23S}{24}a$$ $$\frac{S}{24}+\frac{23S}{24}a$$
... ... ... ...
24 $$\frac{S}{24}$$ $$\frac{S}{24}a$$ $$\frac{S}{24}+\frac{S}{24}a$$

Сложим все выплаты и получим суммарные выплаты за 24 месяца:

$$24\frac{S}{24}+Sa(1+\frac{23}{24}+\frac{22}{24}+\frac{1}{24})=S+Sa*\frac{15}{2}=10^{6}$$

Найдем первоначальную сумму долга:

$$S(1+\frac{2}{100}*\frac{25}{2})=10^{6}$$

$$S=\frac{10^{6}*4^{4}}{5}=800000$$

 

Задание 6233

Оксана положила некоторую сумму на счет в банке на полгода. По этому вкладу установлен «плавающий» процент, то есть число начисленных процентов зависит от числа полных месяцев, которые вклад пролежал на счете. В таблице указаны условия начисления процентов.

Срок вклада 1‐2 месяца 3‐4 месяца 5‐6 месяцев
Ставка % годовых 12% 24% 18%

Начисленные проценты добавляются к сумме вклада. В конце каждого месяца, за исключением последнего Оксана после начисления процентов добавляет такую сумму, чтобы вклад ежемесячно увеличивался на 5% от первоначального. Какой процент от суммы первоначального вклада составляет сумма, начисленная банком в качестве процентов?

Ответ: 10,225
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решаем по простому проценту .Если первые два месяца по 12% годовых , то $$\frac{12}{12}=1$$% в месяц . Аналогично, следующие 2 месяца :$$\frac{24}{12}=2$$%, и затем $$\frac{18}{12}=1,5$$%.

Раз каждый месяц сумма увеличивается на 5 % в сравнении с напольной , то : пусть изначально S, тогда прибавится 0,05 *S. Заполним таблицу:

Месяц сумма на счету % от банка
1 S 0,01S
2 1,05S 0,01*1,05S=0,00105S
3 1,1S 0,02*1,1S=0,022S
4 1,15S 0,02*1,15S=0,023S
5 1,2S 0,015 *1,2S=0,018S
6 1,25S 0,015*1,25S=0,0187S

Итого банк начислит : (0,01+0,0105+0,022+0,023+0,08+0,01875)S=0,10225S

Данная сумма составит $$\frac{0,10225S}{S}*100=10,225$$%

 

Задание 6478

Два банка начисляют проценты по вкладам (свои в каждом банке). Причем первый из них начисляет проценты ежеквартально на всю лежащую на счете сумму, второй – начисляет проценты по вкладу в конце года. Если клиент положит на два года четверть имеющейся у него суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть – во второй, то его прибыли составит 40,08% от первоначальной суммы. Если же наоборот три четверти исходной суммы – в первый, а оставшуюся часть – во второй, то через два года прибыль составит 70%. Какова будет его прибыль в процентах от первоначальной суммы, если он положит все деньги на один год в первый банк?

Ответ: 36%
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Обозначим сумму вклада как S, а процентные ставки по кредиту в первом и втором банках соответственно $$k_{1}$$ и $$k_{2}$$.

     1) Если клиент положит на два года четверть суммы в первый банк, то сумма вклада составит $$\frac{S}{4}k_{1}^{8}$$, а если во второй банк три четверти суммы, то сумма вклада составит $$\frac{3S}{4}k_{2}^{2}$$. Прибыль составит 40,08% от первоначальной суммы, тогда получаем уравнение $$\frac{S}{4}k_{1}^{8}+\frac{3S}{4}k_{2}^{2}=1,4008S\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{4}k_{1}^{3}=1,4008$$

     2) Если клиент наоборот положит на два года три четверти суммы в первый банк, то сумма вклада составит $$\frac{3S}{4}k_{1}^{8}$$, а если во второй банк четверть суммы, то сумма вклада составит $$\frac{S}{4}k_{2}^{2}$$. Прибыль составит 70% от первоначальной суммы, отсюда получаем еще одно уравнение $$\frac{3S}{4}k_{1}^{8}+\frac{S}{4}k-{2}^{2}=1,7S\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{4}k_{1}^{8}+\frac{1}{4}k_{2}^{2}=1,7$$

     3) Получаем систему: $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{4}k_{1}^{8}+\frac{3}{4}k_{2}^{2}=1,4008\\\frac{3}{4}k_{1}^{8}+\frac{1}{4}_{2}^{2}=1,7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}k_{1}^{8}+3k_{2}^{2}=5,6032\\k_{2}^{2}=6,8-3k_{1}^{8}\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$k_{1}^{8}+3(6,8-3k_{1}^{8})=5,6032\Leftrightarrow$$ $$k_{1}^{8}+20,49k_{1}^{8}=5,6032\Leftrightarrow$$ $$8k_{1}^{8}=14,7968\Leftrightarrow$$ $$k_{1}^{8}=1,8496\Leftrightarrow$$ $$k_{1}^{4}=1,36$$

     4) Если клиент положит всю сумму в первый банк, то прибыль в процентах от первоначальной суммы составит $$\frac{Sk_{1}^{4}-S}{S}=k_{1}^{4}-1=1,36-1=0,36$$ - 36%

 

Задание 6702

Фирма планирует взять в январе кредит на целое число миллионов рублей на четыре года на следующих условиях:

   ‐ в июле каждого года действия кредита долг фирмы возрастает на 10% по сравнению с началом года
   ‐ в конце 1‐го и 3‐го годов фирма выплачивает только проценты по кредиту, начисленные за соответствующий текущий год
   ‐ в конце 2‐го и 4‐го годов фирма выплачивает одинаковые суммы, погашая к концу 4‐ го года долг полностью

Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат фирмой превысит 100 млн. рублей.

Ответ: 77
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть взяли S млн.руб ($$S \in N$$), A-сумма выплат во 2-ой и 4-ой год . Т.к. в 1-ой и 2-ой год выплачивались только проценты, то можно рассмотреть ситуацию кредита на 2 года с платежом А , процентом 10%. Составим таблицу изменения долга и платежей:

Год Долг Долг с процентом Платеж
1 S S+0,1S 0,1S
2 S S+0,1S A
3 1,1S-A 1,1S-A+0,1(1,1S-A) 0,1(1,1S-A)
4 1,1S-A 1,1S-A+0,1(1,1S-A) A

     Рассмотрим 4ый год: $$(\frac{11}{10})^{2}S-A(1,1+1)=0\Leftrightarrow$$ $$A=\frac{11^{2}S}{10^{2}*2,1}=\frac{121S}{21*10}=\frac{121S}{210}$$

Тогда процент после 1-го : S*0,1

После третьего : $$(S+0,1S-\frac{121S}{210})*0,1=\frac{11S}{210}$$

     Итоговые выплаты: $$\frac{S}{10}+\frac{11S}{210}+2*\frac{121 S}{210}>100\Leftrightarrow$$$$\frac{S}{10}+\frac{11S}{210}+\frac{242S}{210}>100\Leftrightarrow$$$$\frac{274S}{210}>100\Leftrightarrow$$$$S>76,6\Rightarrow S=77$$

 

Задание 6761

15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15‐го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца.

Известно, что в пятый месяц кредитования нужно выплатить 44 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Ответ: 396 тыс. рублей
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть S-сумма кредита в тыс. руб. , n=9-число месяцев, r=4%. Кредит на 9 месяцев, следовательно, по основной част долга ежемесячный платеж $$\frac{S}{9}$$ . Составим таблицу:

Месяц Долг на начало месяца Начисленный процент Итоговый платеж
1 S $$\frac{rS}{100}$$ $$\frac{S}{9}+\frac{rS}{100}$$
2 $$S-\frac{S}{9}=\frac{8S}{9}$$ $$\frac{r*8S}{100*9}$$

$$\frac{S}{9}+\frac{rS}{100}*\frac{8}{9}$$

3 $$\frac{8S}{9}-\frac{S}{9}=\frac{7S}{9}$$ $$\frac{rS}{100}*\frac{7}{9}$$ $$\frac{S}{9}+\frac{rS}{100}*\frac{7}{9}$$
... ... ... ...
5 $$\frac{6S}{9}-\frac{S}{9}=\frac{5S}{9}$$ $$\frac{rS}{100}*\frac{5}{9}$$ $$\frac{S}{9}+\frac{rS}{100}*\frac{5}{9}$$
... ... ... ...
9 $$\frac{2S}{9}-\frac{S}{9}=\frac{S}{9}$$ $$\frac{rS}{100}*\frac{1}{9}$$ $$\frac{S}{9}+\frac{rS}{100}*\frac{1}{9}$$

Получим $$\frac{S}{9}+\frac{4*S*5}{100*9}=44\Leftrightarrow$$ $$5S+S=44*45\Leftrightarrow$$ $$6S=44*45\Leftrightarrow$$ $$S=330 $$тыс.руб.

Тогда итоговые выплаты составят: $$S+\frac{rS}{100}(1+\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+...+\frac{1}{9})=1,2S=396$$ тыс. руб (сложили суммы с четвертого столбика)

 

 

Задание 6879

Вновь созданное акционерное общество продало населению 1000 своих акций, установив скидку 10% на каждую пятую продаваемую акцию и 25% на каждую тринадцатую продаваемую акцию. В случае, если на одну акцию выпадают обе скидки, то применяется большая из них. Определите сумму, вырученную от продажи всех акций, если цена акции составляет 1000 рублей.

Ответ: 962500
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

      Всего акций n=1000. При этом под «каждую пятую» попадает $$m=\frac{1000}{5}=200$$ акций, под каждую 13: $$h =\frac{1000}{13}\approx 76$$ акций

      При этом, так как 5 и 13 взаимопростые , то из 76 в каждой пятерке номеров один так же будет попадать в «каждую пятую» $$\frac{76}{5}\approx 15$$. Получим, что со скидкой 10% : 200-15=185  акций (так как на 15 штук будет браться большая скидка - они попадают так же под 13-е). Со скидкой 25% : 76 шт., без скидки: 1000-185-76=739 шт. Тогда выручка: $$S=739*1000+185*900+76*750=962500$$

 

Задание 6927

Тема сделал несколько мелких покупок в супермаркете, имея при себе сто рублей. Давая сдачу с этой суммы, кассир ошиблась, перепутав местами цифры, и выплатила рублями то, что должна была вернуть копейками, и, наоборот, копейками то, что должна была вернуть рублями. Купив в аптеке набор пипеток за 1 руб.40 коп., Тема обнаружил ошибку кассира и, пересчитав деньги, нашел, что оставшаяся у него сумма втрое превышает ту, которую ему должны были вернуть в супермаркете. Какова стоимость всех покупок Темы?

Ответ: 69 рублей 43 копейки
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

        Пусть правильная сдача n рублей и m копеек $$\Rightarrow$$ $$100n+m$$ копеек. Кассир не дала m рублей и n копеек $$\Rightarrow $$100m+n копеек. После покупки пипеток у Темы остается : $$(100m+n-140)$$ копеек. Эта сумма в 3 раза больше, чем $$100n+m$$:

        $$3(100n+m)=(100m+n-140)\Leftrightarrow$$$$300n+3m=100m+n-140\Leftrightarrow$$$$299n=97m-140, n,m \in N$$ и $$(n,m \leq 99)\Leftrightarrow$$$$m=\frac{299n+140}{97}=3n+1+\frac{8n+43}{97}$$

        Тогда $$\frac{8n+43}{97}\in N$$ или 0 (0 не может быть, так как тогда n отрицательное) $$\Rightarrow$$ $$\frac{8n+43}{97}=k$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{97k-43}{8}=n=12k-5+\frac{k-3}{8}$$

        Тогда $$\frac{k-3}{8}\in N$$ или 0 (то есть делится нацело на 8: $$\frac{k-3}{8}=0\Rightarrow$$ $$k=3\Rightarrow$$ $$n=12*3-5=31\Rightarrow$$ $$m=\frac{299*31+140}{97}=97$$

        Тогда правильная сдача 31 рубль 97 копеек $$\Rightarrow$$ покупка 68 рублей 3 копейки . С учетом 1 рубля 40 копеек получим , что общая покупка 69 рублей 43 копейки.

 

Задание 7183

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн. рублей на 15 лет. Условия его возврата таковы:

‐ пока долг больше половины исходной суммы, каждый январь он возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;
‐ если долг меньше половины исходной суммы, то каждый январь он в по сравнению с концом предыдущего года;
‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
‐ в июле каждого последующего года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года

Какую сумму нужно вернуть банку?

Ответ: 21728000
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$S=12*10^{6}$$ руб. –первоначальная сумма кредита, $$n=15$$ лет-срок кредита, $$a=12$$ % , $$b=4$$ % . Составим таблицу платежей (каждый платеж состоит из суммы по основному долгу $$\frac{S}{15}$$ (за 15 лет надо отдать S) и начисленные за год процентов) :

№ года Долг на начало года Сумма по начисленному проценту Итоговый платеж (по основному долгу и проценту)
1 $$S$$ $$\frac{Sa}{100}$$ $$\frac{S}{15}$$+$$\frac{Sa}{100}$$
2 $$\frac{14S}{15}$$ $$\frac{14S}{15}*\frac{a}{100}$$ $$\frac{S}{15}$$+$$\frac{14Sa}{1500}$$
... ... ... ...
8 $$\frac{8S}{15}$$ $$\frac{8S}{15}*\frac{a}{100}$$ $$\frac{S}{15}$$+$$\frac{8Sa}{1500}$$
9 $$\frac{7S}{15}$$ $$\frac{7S}{15}*\frac{b}{100}$$ $$\frac{S}{15}$$+$$\frac{7Sb}{1500}$$
... ... ... ...
15 $$\frac{S}{15}$$ $$\frac{S}{15}*\frac{b}{100}$$ $$\frac{S}{15}$$+$$\frac{Sb}{1500}$$

Итого будет выплачено : $$\frac{S}{15}*15+\frac{Sa}{100}(1+\frac{14}{15}+..+\frac{8}{15})+\frac{8b}{100}(\frac{7}{15}+\frac{6}{15}+..+\frac{1}{15})$$

Подставим известные значения: $$S+Sa*\frac{92}{15}+8b*\frac{28}{15}=$$$$S(1+\frac{92a}{15}+\frac{28b}{15})=$$$$12*10^{6}(1+\frac{91*12}{15*100}+\frac{28*4}{15*100})=21728000$$

 

Задание 7368

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 600 тыс. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

  • 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • 15‐го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца.

На сколько рублей увеличится сумма выплат, если взять кредит с такими же условиями на 30 месяцев?

Ответ: 36000
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7517

Вкладчик разместил в банке 32 тысячи рублей. Несколько лет он получал то 5%, то 10% годовых, а за последний год получил 25% годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого года и добавлялись к сумме вклада. В результате его вклад стал равен 53361 рублю. Сколько лет пролежал вклад?

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7639

Иван Васильевич по случаю рождения сына открыл 1 апреля 2000 года счёт в банке, на который он ежегодно вносит 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 10% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у Ивана Васильевича родилась дочь, и 1 апреля 2006 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно вносит по 2100 рублей, а банк начисляет 21% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравнялись, если деньги со счетов не снимались?

Ответ: 2011
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7686

Два участника создали общество с ограниченной ответственностью, при этом каждый внёс определенную сумму денег в уставный капитал общества. Через некоторое время один из участников внёс дополнительно в уставный капитал 4 млн. рублей, в результате его доля возросла на 6%. А когда он внёс в уставный капитал ещё 4 млн. рублей, его доля возросла ещё на 2%. Какую сумму ему нужно внести, чтобы увеличить свою долю ещё на 3%?

Ответ: 36 млн.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7785

Александр Сергеевич взял ипотечный кредит суммой 2 млн. рублей на 20 лет. Условия выплаты кредита таковы:

– в начале каждого года долг увеличивается на 10%,
– после начисления процентов выплачивается некоторая часть долга,
– после выплаты долг должен быть на одну и ту же величину меньше, чем в аналогичном периоде прошлого года.

После 8‐й выплаты Александру Сергеевичу удалось произвести реструктуризацию кредита, в результате чего процент, начисляемый в последующие годы, уменьшился до 8%. Какую сумму сэкономил Александр Сергеевич?

Ответ: 156 т.р.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7878

В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере 880 000 рублей. Условия его возврата таковы:

   ‐ каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с долгом на конец предыдущего года;
   ‐ с февраля по июнь ежегодно необходимо выплатить по 250 000 рублей;
   ‐ в 2024 и 2025 годах дополнительно производятся выплаты по S рублей;
   ‐ к июлю 2025 года долг будет выплачен полностью

Найдите S.

Ответ: 65993,6 руб.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7897

В июле 2019 года планируется взять кредит на 1 000 000 рублей. Условия возврата таковы:

   ‐ каждый январь долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего года
   ‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
   ‐ в 2020, 2022, 2024, 2026 годах надо выплатить 100 000 рублей;
   ‐ в остальные годы необходимо выплатить суммы, отличающиеся друг от друга на 50 000 рублей (в 2021 самая крупная выплата, в 2023 – на 50 000 рублей меньше и т.д.)
   ‐ в июле 2027 года сумма долга должна равняться нулю.

Какую сумму необходимо выплатить банку в течение всего срока кредитования?

Ответ: 1205
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

По условию задания уменьшается долг на 100 тыс. или на сумму $$x$$ (которая понижается затем на 50 тыс. в год платежа). Т.е. сумма каждого платежа включает не только сумму в 100 или $$x$$ тыс, но и начисленные проценты за текущий год. Составим таблицу (лучше сначала заполнить "долг на начало")

Год Долг на начало (тыс.руб.) Начисленный % Итого выплачено
2020 1000 50 100+(50)
2021 900 45 45+($$x$$)
2022 $$900-x$$ $$45-0,05x$$ $$100+(45-0,05x)$$
2023 $$800-x$$ $$40-0,05x$$ $$x-50+(40-0,05x)$$
2024 $$850-2x$$ $$4,25-0,1x$$ $$100+(4,25-0,1x)$$
2025 $$750-2x$$ $$37,5-0,1x$$ $$x-100+(37,5-0,1x)$$
2026 $$850-3x$$ $$42,5-0,15x$$ $$100+(42,5-0,15x)$$
2027 $$750-3x$$ $$37,5-0,15x$$ $$x-150+(37,5-0,15x)$$
июль 2027 0    

Получим,что $$750-3x=x-150$$ $$\Rightarrow$$ $$x=225$$. Сложим все суммы платежа: $$440+3,4x=440+3,4\cdot225=1205$$ тыс. было выплачено

 

Задание 7946

В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4 200 000 рублей. Условия его возврата таковы:

‐ каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
‐ с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
‐ в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4 200 000 рублей;
‐ суммы выплат 2020 и 2021 годов равны

Найдите r , если долг выплачен полностью в 2021 году и общие выплаты составили 6 100 000 рублей.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8240

Клиент оформил ипотеку в банке на 1 000 000 рублей 1 июля 2019 года на 3 года. Начиная с 1 августа 2019 года он должен выплачивать ежемесячно одну и ту же сумму. 15 июля 2019 года сумма долга увеличивается на 10%, 15 июля 2020 года – на 20%, а 15 июля 2021 года – на 30%. Найти сумму ежемесячной платы. Ответ округлите до 1 руб в большую сторону.

Ответ: 37047
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$S=10^{6}$$; $$n=3$$ года, $$x$$ - месячная выплата $$\Rightarrow$$ $$12x$$ - годовая. Распишем таблицу: 

Год Долг на начало Начисленный процент Выплата
2019 $$S$$ $$0,1S$$ $$12x$$
2020 $$1,1S-12x$$ $$0,2(1,1S-12x)$$ $$12x$$
2021 $$((1,1S-12x)1,2-12x)$$ $$0,3((1,1S-12x)1,2-12x)$$ $$12x$$

Получим: $$((1,1S-12x)1,2-12x)1,3-12x=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{11\cdot12\cdot13}{10^{3}}S-\frac{12\cdot12\cdot13x}{10^{2}}-\frac{12\cdot13x}{10}-12x=0|\cdot10^{3}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$11\cdot12\cdot13S-12^{2}\cdot13\cdot10x-12\cdot13\cdot10^{2}x-12\cdot10^{3}x=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{11\cdot12\cdot13S}{10(156+130+100)}=\frac{11\cdot12\cdot13\cdot10^{6}}{10\cdot386}\approx37047$$

 

 

Задание 8271

Клиент оформил ипотеку в банке на 1 000 000 руб 1 июля 2019 года сроком на 5 лет. Начиная с 1 августа 2019 года, он должен выплачивать ежемесячно одну и ту же сумму. 15 июля каждого года величина долга увеличивается на 10%. Найдите сумму ежемесячной выплаты в рублях. Ответ округлите до 1 рубля в большую сторону.

Ответ: 21984
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$S=10^{6}$$ - сумма ипотеки (руб) $$n=5$$ лет, $$x$$ - сумма ежемесячной выплаты (тогда $$12x$$ в год), $$a=10$$%; $$b=1+\frac{a}{100}=\frac{11}{10}$$. Составим таблицу выплат: 

Год Сумма долга на начало Сумма долга с %
2019 $$S$$ $$S+\frac{S\cdot a}{100}=S(1+\frac{a}{100})=S\cdot b$$
2020 $$S\cdot b-12x$$ $$(S\cdot b-12x)\cdot b=S\cdot b^{2}-12xb$$
2021 $$S\cdot b^{2}-12xb-12x$$ $$S\cdot b^{3}-12x\cdot b^{2}-12xb-12x$$
....... ........ ...........
2022 $$S\cdot b^{4}-12x\cdot\frac{b^{4}-1}{b-1}$$ $$S\cdot b^{5}-12xb\cdot\frac{b^{4}-1}{b-1}$$

Заметим, что $$b^{n-1}+b^{n-2}+b^{n-3}+...+b^{0}=\frac{b^{n}-1}{b-1}$$. Тогда после 5ой выплаты имеем: $$Sb^{5}-12x\cdot\frac{b^{5}-1}{b-1}=0$$, т.к.долг был погашен. Тогда $$x=\frac{Sb^{5}(b-1)}{12(b^{5}-1)}$$. Подставим значения: $$x=\frac{10^{6}\cdot\frac{11^{5}}{10^{5}}\cdot\frac{1}{10}}{12\cdot(\frac{11^{5}}{10^{5}}-1)}\approx219,83=21984$$

 

Задание 8290

Сумма вклада в банке увеличивалась 1‐го числа каждого месяца на 8% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца. Аналогично, цена на кирпич убывала на 10% ежемесячно. Отсрочив покупку кирпича, 1 сентября в банк положили некоторую сумму. На сколько процентов больше в этом случае можно было купить кирпича 1 ноября того же года на всю сумму, полученную из банка вместе с процентами?

Ответ: 44%
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8309

Александра взяла в банке кредит на 3 года, который ей предстоит погасить тремя равными платежами. В конце каждого года банк начисляет 10% на оставшуюся часть долга, после чего наша героиня в тот же день вносит очередной платеж в банк. Как известно, часть такого платежа идет на погашение суммы начисленных процентов, а вторая часть идет на уменьшение основного долга. Оказалось, что наименьшая из трех сумм, направленных на погашение основного долга, составила ровно 2 млн. рублей. Определите наименьшую из трех сумм, направленных на погашение процентов за пользование кредитом.

Ответ: 242000
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть сумма кредита $$S$$, $$x$$ - выплата годовая (состоит из процентной части и части, гасящей основную часть $$x_{i}$$, где $$i\in[1...3]\in N$$). В певрый год начислится $$0,1S$$ процентов, т.е. $$X=x_{i}+0,1S$$. Тогда на второй год должны банку: $$S+0,1S-x_{1}-0,1S=S-x_{1}$$. Тогда начислится $$0,1(S-x_{1})$$ процента $$\Rightarrow$$

 

Задание 8327

20 февраля планируется взять кредит в банке на 600 тысяч рублей на n+1 месяц. Условия его возврата таковы:

‐первого числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца
‐ со 2 по 19 число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга
‐ 20 числа каждого с 1 по n ‐й месяц долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 20 число предыдущего месяца
‐ за n+1 ‐ й месяц долг должен быть погашен полностью.

Найдите n, если банку было выплачено 691 тыс. рублей, а долг на 20‐е число n‐го месяца составлял 100 тыс. рублей.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$S$$ - сумма кредита $$S=600$$т.р., $$a=2$$% - процент банка. За первые $$n$$ месяцев долг уменьшился на $$600-100=500$$т.р., следовательно, т.к. он уменьшался равномерно, то каждый месяц платим $$x=\frac{500}{n}$$т.р. по соновному долгу и весь начисленный за месяц процент.

Месяц Сумма долга на 1ое число Начисленный процент
1 $$S$$ $$Sa$$
2 $$S-x$$ $$\frac{a}{10}(S-x)$$
3 $$S-2x$$ $$\frac{a}{10}(S-2x)$$
... ... ....
$$n$$ $$S-(n-1)x$$ $$\frac{a}{10}(S-(n-1)x)$$
$$n+1$$ $$100$$ $$\frac{a}{10}\cdot100$$

Переплата составила $$691-600=91$$т.р. - сумма третьего столбца: $$\frac{a}{100}(S+S-x+S-2x+...+S-(n-1)x)+100a=91$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{a}{100}(S_{n}-x(1+2+3+...+(n-1)))+\frac{100a}{100}=91$$, т.к. $$1+2+3+...+n-1=\frac{1+(n-1)}{2}(n-1)$$, $$a=2$$, $$x=\frac{500}{n}$$; $$S=600$$ $$\Rightarrow$$ $$0,02(600n-\frac{500}{n}\cdot\frac{n(n-1)}{2})+2=91$$ $$\Rightarrow$$ $$350n+250=4450$$ $$\Rightarrow$$ $$350n=4200$$ $$n=12$$

 

Задание 8684

Александре и Всеволоду 1 сентября неимоверно повезло открыть в банке по вкладу на одинаковые суммы и на один и тот же срок, меньший одного года. У Александры первые несколько месяцев процентная ставка составила 81,44% в месяц, а на оставшийся срок – 5% в месяц. У Всеволода на протяжении всего срока ставка составила 26% в месяц. Суммы накопленных процентов в конце каждого месяца добавляются к остатку на счете, при этом клиент может снять деньги только в конце срока. Какое наибольшее количество месяцев у Александры могла действовать ставка 81,44%, если к моменту закрытия вкладов суммы на счетах обоих героев оказались одинаковыми?

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8701

15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Ответ: 39
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8721

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2 млн рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Ответ: 1,6 млн. руб.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8744

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1,587 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Ответ: 2,58
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8763

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,523 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Ответ: 4,05
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8782

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8801

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1 378 тысяч рублей.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8875

19 января планируется взять в кредит некоторую сумму на 16 месяцев. Условия кредита таковы:

‐ 1 числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца
‐ со 2 по 18 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга
‐ 19‐го числа каждого месяца с 1‐й по 15‐й месяц долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 19‐е число предыдущего месяца
‐ к 19‐му числу 16‐го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 19‐го числа 15‐го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 914 тыс. рублей?

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть долг 19‐го числа 15‐го месяца будет равен S тыс. рублей. Тогда, сумма кредита больше S на 30 умножить на 15=450 тыс. рублей. В соответствии с условием задачи заполним таблицу:

  долг на 1-е число, тыс. руб. выплата, тыс. руб. долг на 19-е число, тыс. руб.
      $$S+450$$
1-ый месяц $$1,1\cdot(S+450)$$ $$0,1S+75$$ $$S+420$$
2-ой месяц $$1,1\cdot(S+420)$$ $$0,1S+72$$ $$S+390$$
$$...$$ $$...$$ $$...$$ $$...$$
14-ый месяц $$1,1\cdot(S+60)$$ $$0,1S+36$$ $$S+30$$
15-ый месяц $$1,1\cdot(S+30)$$ $$0,1S+33$$ $$S$$
16-ый месяц $$1,1S$$ $$1,1S$$ 0

сумма выплат в тыс. руб. равна:

$$0,1S+75+0,1S+72+...+0,1S+33+1,1S=$$$$15\cdot 0,1S+\frac{75+33}{2}\cdot 15+1,1S=$$$$2,6S+810=915$$

Откуда $$S=40$$

 

Задание 8896

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение — 25 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число п млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число т млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение п, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение т, такое, что при найденном ранее значении п первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.

Ответ: 7 и 3 млн.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8916

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение — 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9049

Всеволод и Александра в один день открыли в банке по вкладу с возможностью частичного снятия средств. Размер каждого вклада составил 1 000 000 рублей. В конце очередного месяца банк увеличивает размер вклада на некоторую фиксированную сумму, но только в том случае, если клиент в течение данного месяца не снимал деньги со счета. Всеволод попал под условия бонусной акции, поэтому его ежемесячная прибавка оказалась выше, чем у Александры. Некоторое время наши герои не обращались в банк. Но когда вклад Всеволода достиг суммы 1 200 000 рублей, он каждый месяц с марта по август 2019 года снимал со счета по 25 000 рублей, а вклад Александры продолжал ежемесячно расти. При этом в конце июля 2019 года суммы на вкладах наших героев оказались одинаковыми, а спустя некоторое время сравнялись повторно. Определите размер вкладов Всеволода и Александры, когда они сравняются повторно, если после августа 2019 года наши герои не будут снимать деньги со счетов?

Ответ: 1090000
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9095

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 3,249 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9114

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение — 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 12 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года вырастут как минимум в полтора раза, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9165

Александр Сергеевич взял ипотечный кредит суммой 2 млн. рублей на 20 лет. Условия выплаты кредита таковы:

– в начале каждого года долг увеличивается на 10%,
– после начисления процентов выплачивается некоторая часть долга,
– после выплаты долг должен быть на одну и ту же величину меньше, чем в аналогичном периоде прошлого года.

После 8‐й выплаты Александру Сергеевичу удалось произвести реструктуризацию кредита, в результате чего процент, начисляемый в последующие годы, уменьшился до 8%. Какую сумму сэкономил Александр Сергеевич?

Ответ: 156000
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9232

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8 млн рублей.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9249

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн рублей.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9346

1 апреля 2017 г. Андрей Петрович положил 10000 рублей на банковский вклад сроком на 1 год с ежемесячным начислением процентов и капитализацией под a % годовых. Это означает, что первого числа каждого месяца сумма вклада увеличивается на одно и то же количество процентов, рассчитанное таким образом, что за 12 месяцев она увеличится ровно на a %. Через 6 месяцев сумма вклада составила 10500 рублей. Найдите a.

Ответ: 10,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9366

15 июня планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

-  со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

-  15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

-  15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

-  к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9386

15 мая планируется взять кредит в банке на 17 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 16-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- к 15-му числу 17-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1472 тысячи рублей?

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9387

Найдите все значения и, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} a(x^2+y^2)-ax+(a-3)y+1=0\\xy-1=y-x \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9491

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 339 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9511

1 апреля 2019 г. Андрей Петрович положил 10000 рублей на банковский вклад сроком на 1 год с ежемесячным начислением процентов и капитализацией под 21% годовых. Это означает, что первого числа каждого месяца сумма вклада увеличивается на одно и то же количество процентов, рассчитанное таким образом, что за 12 месяцев она увеличится ровно на 21%. Через сколько месяцев сумма вклада впервые превысит 11000 рублей?

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9531

31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Михаил переводит в банк 2 928 200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Ответ: 9282000 рублей
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9636

Андрей Петрович взял кредит на несколько лет и выплатил его равными ежегодными платежами по 200000 руб. При этом в начале каждого года сумма кредита увеличивалась на 10%, а в конце года производился платёж. Если бы Андрей Петрович не делал платежей, то за это время вследствие начисления процентов сумма кредита составила бы 928200 руб. На сколько лет был взят кредит?

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9664

15-го марта планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тысячи рублей?

Ответ: 1300000 рублей
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9683

1 февраля 2018 года планируется взять кредит на сумму 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

‐ 1 марта каждого года сумма долга увеличивается на 2% по сравнению с началом года
‐ с 1 мая по 1 августа необходимо выплатить часть долга
‐ 1 марта каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей
Год 2018 2019 2020 2018+n 2019+n 2020+n 2018+2n 2019+2n
Долг (тыс. руб) 1000 985 970 1000-15n 1000‐15n‐x 1000‐15n‐2x 600 0

Начиная с 2018 года долг уменьшался равномерно на 15 тысяч рублей, а начиная с (2018+n)‐го по (2018+2n)‐й год, долг уменьшался равномерно на x тысяч рублей. В каком году планируется совершить последний платеж, если общая сумма выплат равна 1 346 000 рублей?

Ответ: 2038
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9804

15 июля планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа 30-го месяца долг составит 500 тысяч рублей;
- к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите г, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1989 тысяч рублей.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9879

Наш добрый герой В. взял в банке кредит в размере 20192020 рублей по очень знакомой схеме:

  • в конце очередного месяца пользования кредитом банк начисляет проценты за пользование заемными средствами по специальной ставке данного варианта 2,96%
  • в этот же день клиент выплачивает часть долга и сумму начисленных процентов
  • после выплаты долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего месяца

Но дальше все пошло не по сценарию. Наш герой решил каждый месяц, начиная с первого, платить банку сверх прочего дополнительную сумму на погашение долга, при этом долг по‐прежнему ежемесячно уменьшался на одну и ту же величину (бóльшую, чем планировалось изначально) до полного погашения. В итоге срок кредита сократился на 52%. На какое наименьшее число процентов могла уменьшиться при этом переплата банку?

Ответ: 50
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10056

15‐го декабря 2018 года Саша и Паша взяли в банке одинаковые суммы в кредит на 12 месяцев. Банк предложил им похожие схемы погашения долга. Условия возврата кредита у Саши оказались следующие:

‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ со 2‐го по 14‐е число месяца необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
‐ на 15‐е числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга, чем на 15‐е число предыдущего месяца.

У Паши условия возврата кредита были таковы:

‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ со 2‐го по 14‐е число месяца необходимо выплачивать одним платежом часть долга. ‐ на 15‐е число каждого месяца с января по ноябрь включительно долг должен уменьшаться на 50 тыс. руб.
‐ в декабре 2019 года весь оставшийся на тот момент долг должен быть полностью погашен.

Когда в декабре 2019 года Саша и Паша рассчитались со своими кредитами, выяснилось, что один из них выплатил за год банку на 429 тыс. руб. больше, нежели другой. Определите, какая сумма была взята каждым в кредит.

Ответ: 1,38 млн. руб.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10118

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5% в месяц, затем $$11\frac{1}{9}$$% , потом $$7\frac{1}{7}$$% и, наконец, 12% в месяц. Известно, что под действием каждой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 180% . Определите срок хранения вклада.

Ответ: 12 месяцев
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10137

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 600000 рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐15‐го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца.

На сколько рублей увеличится сумма выплат, если взять кредит с теми же условиями на 30 месяцев?

Ответ: 36000
 

Задание 10171

В июле планируется взять кредит на срок 6 лет. Условия его возврата таковы:

‐ каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года ‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга
‐ в июле первых трех лет погашения кредита долг должен быть в два раза меньше долга на июль предыдущего года
‐ в июль последних трех лет долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года

Чему был равен изначальный кредит, если общая сумма выплат равна 1,6 млн. рублей?

Ответ: 1280000 рублей
 

Задание 10217

Клиент планирует положить определенную сумму денег в банки под некоторые проценты. $$\frac{1}{3}$$ этой суммы он помещает на вклад А под r % процентов годовых, а оставшуюся часть денег на вклад Б под годовых (про начисляются в конце года и добавляются к сумме вклада). Через год сумма вклада (с учетом процентов) увеличилась на $$\frac{2}{15}$$ от первоначального значения, а через два года стала составлять 463 200 рублей. Если бы клиент изначально положил бы $$\frac{1}{3}$$ суммы вклада на вклад Б, а оставшиеся средства – на вклад А, то через год сумма вкладов (с учетом добавленных процентов) увеличилась бы на $$\frac{1}{6}$$ от первоначальной. Чему в этом случае была бы равна сумма вкладов через два года?

Ответ: 490800 рублей
 

Задание 10290

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1,6 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

‐ каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;
‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга
‐ в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж в 2 раза больше наименьшего?

Ответ: 2,7 млн. руб.
 

Задание 10500

15 декабря планируется взять кредит в банке на 2400 тыс. рублей на (n+2) месяца. Условии его возврата таковы:

‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2,5% по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐го числа первого и последнего месяца долг должен уменьшиться на 400 тыс. рублей, а во все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца на a тыс. рублей.

Найдите n, если всего было выплачено банку 3690 тыс. рублей.

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10511

Клиент положил в банк некоторую сумму денег. Через год, после начисления процентов, он добавил на свой счет сумму, составляющую 0,9 исходной, в результате чего остаток на счете стал равен 3,4 млн. рублей. А еще через год, после начисления процентов, остаток на его счете увеличился в 2,2 раза по сравнению с исходной суммой. Какую сумму клиент положил в банк первоначально, если в конце каждого года банк начислял один и тот же процент годовых?

Ответ: 1,7 млн. руб.
 

Задание 10531

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 600 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 360 000 рублей, а во второй год — 330 000 рублей.

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10559

В декабре 2020 года планируется взять кредит в банке в размере $$S$$ млн рублей сроком на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

-- 1-го числа каждого месяца, начиная с января 2021 года, долг возрастает на $$0,8\%$$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

-- со 2-го по 14 число каждого месяца, начиная с января 2021 года, необходимо выплатить часть долга;

-- 15-го числа каждого месяца, начиная с января 2021 года, долг должен уменьшиться на одну и ту же величину.

Известно, что в период с 02.12.2021 по 14.08.2022 включительно, нужно выплатить банку 1,752 млн рублей. Найдите S. Какая сумма будет выплачена банку в период по 14.12.2021 включительно?

Ответ: 6 млн. руб; 2,488 млн. руб
 

Задание 10579

15 декабря планируется взять кредит в банке на 480 тысяч рублей на 27 месяцев.

Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $$3\%$$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа первые два месяца и последний месяц долг должен уменьшиться на $$a$$ тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на $$b$$ тысяч рублей.

Найдите $$a$$, если всего было выплачено банку 656,4 тысяч рублей?

Ответ: 80
 

Задание 10599

15 декабря планируется взять кредит в банке на $$S$$ тысяч рублей на 52 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа первый и второй месяцы долг должен уменьшиться на 600 тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на $$a$$ тысяч рублей.

Ответ: 3700
 

Задание 10619

В феврале планируется взять кредит в банке в размере 3,6 млн рублей сроком на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $$r\%$$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждый месяц долг должен уменьшиться на одну и ту же величину.

Известно, что с 5 по 10 месяц включительно, нужно выплатить банку 1,089 млн рублей.

Найдите процент банка $$r$$. Сколько будет выплачено банку за первые 12 месяцев?

Ответ: $$r=1,2$$; 2,1996 млн. руб.
 

Задание 10639

Петр Иванович получил кредит в банке под определенный процент годовых. Ровно через год (после начисления процентов) Петр Иванович в счет погашения кредита вернул $$\frac{2}{13}$$ той суммы, которую задолжал к тому моменту. А еще через год он внес сумму, на $$43\%$$ превышающую величину займа, и тем самым полностью погасил кредит. Каков был процент годовых?

Ответ: 30
 

Задание 10659

Банк предоставляет кредит сроком на 10 лет под 19% годовых на следующих условиях: ежегодно заемщик возвращает банку 19% от непогашенной части кредита и 1/10 суммы кредита. Так, в первый год, заемщик выплачивает 1/10 суммы кредита и 19% от всей суммы кредита, во второй год заемщик выплачивает 1/10 суммы кредита и 19% от 9/10 суммы кредита и т.д. Во сколько раз сумма, которую выплатит банку заемщик, будет больше суммы кредита, если заемщик не воспользуется досрочным погашением кредита?

Ответ: 2,045
 

Задание 10695

Борис и Иван вложили деньги в общий бизнес. После этого один из них добавил еще 1 миллион рублей, в результате чего его доля в бизнесе увеличилась на 0,05, а когда он добавил еще 1 миллион рублей, его доля увеличилась еще на 0,04. Сколько миллионов рублей ему еще нужно добавить, чтобы увеличить свою долю еще на 0,06?

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Пусть x - сумма того, кто увеличивает, S - начальная сумма: $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+1}{S+1}-\frac{x}{S}=0,05 \\ \frac{x+2}{S+2}-\frac{x+1}{S+1}=0,04 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{Sx+S-Sx-x}{S(S+1)}=\frac{5}{100} \\ \frac{Sx+x+2S+2-Sx-S-2x-2}{(S+1)(S+2)}=\frac{4}{100} \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{S-x}{S(S+1)}=\frac{5}{100} \\ \frac{S-x}{(S+1)(S+2)}=\frac{4}{100} \end{array} \right.$$ Поделим первое на второе: $$\frac{S+2}{S}=\frac{5}{4}\to 4S+8=5S\to S=8\to$$ $$\frac{x+1}{9}-\frac{x}{8}=\frac{5}{100}\to $$ $$\to 8x+8-9x=3,6\to x=4,4\to \frac{4,4}{8}=0,55$$. Тогда y - третья сумма добавления: $$\frac{6,4+y}{10+y}=0,55+0,05+0,04+0,06=0,7\to$$ $$64+10y=70+7y\to 3y=6\to y=2$$ миллиона надо добавить.
 

Задание 10735

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 928 200 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Ответ: 1171280
Скрыть

Пусть $$x$$ рублей требуется платить каждый год для погашения кредита. Тогда, в первый год изначальная сумма 928200 рублей увеличивается в 1,1 раза (на 10%), а затем, уменьшается на величину $$x$$: $${\rm 928200}{\rm \cdot }{\rm 1,1}{\rm -}x$$ рублей.

Во второй год выполняется та же процедура: $$\left({\rm 928200}{\rm \cdot }{\rm 1,1}{\rm -}x\right)\cdot 1,1-x={\rm 928200}{\rm \cdot }{{\rm 1,1}}^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 1,}1x-x$$.

Соответственно, для третьего и четвертого годов, имеем: $${\rm 928200\cdot }{{\rm 1,1}}^{{\rm 3}}{\rm -}{{\rm 1,1}}^{{\rm 2}}x-1,1x-x$$; $$928200\cdot {1,1}^4-{1,1}^3x-{1,1}^2x-1,1x-x=0.$$

Равенство нулю означает, что за 4 года кредит был полностью погашен.

Найдем сумму платежа, получим: $$x\left({1,1}^3+{1,1}^2+1,1+1\right)=928200\cdot {1,1}^4\to x=292820$$ и банку за 4 года было выплачено $$292820\cdot 4=1171280$$ рублей.

 

Задание 10755

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 427 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Ответ: 656250
Скрыть

Пусть $$S=427000$$ рублей, $$k=1,25$$ - процент, $$x$$ - ежегодный платеж по кредиту.

Тогда: $$k\left(k\left(Sk-x\right)-x\right)-x=0\to Sk^3-xk^2-xk-x=0\to $$ $$\to Sk^3=x(k^2+k+1)$$;

$$x=\frac{Sk^3}{k^2+k+1}=\frac{427000\cdot {1,25}^3}{{1,25}^2+1,25+1}=\frac{833984,375}{3,8125}=218750$$ рублей.

Банку будет выплачено за 3 года: $$218750\cdot 3={\rm 656250}$$.

 

Задание 10824

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок. Условия возврата таковы:

- в январь n-го года после взятия кредита долг возрастает на $$5(n-1)\%$$ по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный и максимальный срок следует взять кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 3 млн рублей?

Ответ: 4 и 20 лет
Скрыть

Распишем платежи долга для кредита на m лет:

1 год: долг в январе - 10; выплата - $$\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-1\right)}{m}$$.

2 год: долг в январе - $$\frac{10\left(m-1\right)}{m}\cdot 1,05$$; выплата - $$\frac{10\left(m-1\right)}{m}\cdot 0,05+\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-2\right)}{m}$$.

3 год: долг в январе - $$\frac{10\left(m-2\right)}{m}\cdot 1,1$$; выплата - $$\frac{10\left(m-2\right)}{m}\cdot 0,1+\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-3\right)}{m}$$.

$$n$$ год: долг в январе - $$\frac{10\left(m-(n-1)\right)}{m}\cdot (1+\frac{\left(n-1\right)5}{100})$$; выплата - $$\frac{10\left(m-(n-1)\right)}{m}\cdot \frac{5\left(n-1\right)}{100}+\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-n\right)}{m}$$.

$$n+1$$ год: долг в январе - $$\frac{10\left(m-n\right)}{m}\cdot (1+\frac{5n}{100})$$; выплата - $$\frac{10\left(m-n\right)}{m}\cdot \frac{5n}{100}+\frac{10}{m}$$; долг в июле $$\frac{10\left(m-n-1\right)}{m}$$.

Видим, что платеж меняется. Найдем, когда платёж в предыдущий год $$(n)$$ будет больше (или равен), чем в последующий (n+1). Это и будет максимальная выплата: $$\frac{10\left(m+1-n\right)}{m}\cdot \frac{n-1}{20}+\frac{10}{m}-\frac{10\left(m-n\right)}{m}\cdot \frac{n}{20}-\frac{10}{m}\ge 0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left(m+1-n\right)\left(n-1\right)-\left(m-n\right)\cdot n\ge 0\leftrightarrow mn-m+n-1-n^2+n-mn+n^2\ge 0$$ $$\leftrightarrow 2n-m-1\ge 0\to n\ge \frac{m+1}{2}$$.

Подставим $$n=\frac{m+1}{2}$$ в n-ый год: $$\frac{10\left(m+1-\frac{m+1}{2}\right)}{m}\cdot \frac{\frac{m+1}{2}-1}{20}+\frac{10}{m}\le 3$$.

$$\frac{\left(2m+2-m-1\right)\left(m+1-2\right)}{2m\cdot 4}+\frac{10}{m}-3\le 0\leftrightarrow \left(m+1\right)\left(m-1\right)+80-24m\le 0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow m^2-24m+79\le 0:D=576-316=260\to m_{1,2}=\frac{24\pm \sqrt{260}}{2}=12\pm \sqrt{65}$$. Т.е. $$m\in [12-\sqrt{65};12+\sqrt{65}]$$, т.к $$m\in N$$ и $$12-\sqrt{65}$$ чуть меньше 4, а $$12+\sqrt{65}$$ чуть больше 20, то $$m\in [4;20]\to $$ на 4 и 20 лет.

 

Задание 10844

В начале 2001 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 11 000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 4000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Ответ: 2009
Скрыть

Чтобы извлечь наибольшую прибыль, Алексей должен воспользоваться банковским депозитом, когда 10% от суммы, вырученной за ценную бумагу, превысит 4000 руб.

Найдем значение суммы, от которой 10% будут равны 4000, получим: $$x\cdot 0,1=4000\to x=40000$$.

То есть ценную бумагу в 11000 рублей нужно довести до суммы большей или равной 40000 рублей и полученную сумму положить в банк. Ценная бумага дойдет до этого уровня через $$40000-11000=4000\cdot m\to m=\frac{29000}{4000}=7,25$$ то есть через 8 лет, и в начале 2009-го года полученную сумму нужно положить на банковский депозит.

 

Задание 10863

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Ответ: 10
Скрыть

Взятый в первый год кредит в сумме 16 млн рублей, на следующий год сначала увеличивается на 25%, т.е. становится равный $$1,25\cdot 16$$ млн рублей, а затем, идет погашение таким образом, чтобы выплаты были равными каждый год. Предположим, что долг выплачивается $$x$$ лет, тогда после первого года выплата составит $$\frac{16}{x}+\frac{25}{100}\cdot 16$$ и сумма долга будет равна $$1,25\cdot 16-\frac{16}{x}-0,25\cdot 16=\frac{x-1}{x}\cdot 16$$ млн рублей.

После второго года следует сделать выплату в размере $$\frac{16}{x}+\frac{25}{100}\cdot \frac{x-1}{x}\cdot 16$$ и сумма долга будет равна $$1,25\cdot \frac{x-1}{x}\cdot 16-\frac{16}{x}-0,25\cdot \frac{\left(x-1\right)}{x}\cdot 16=\frac{x-2}{x}\cdot 16$$.

Таким образом, после $$x$$ лет сумма долга будет равна $$\frac{x-x}{x}\cdot 16=0$$, а размер выплат составит $$16+\frac{0,25\cdot 16}{x}\cdot \left(x+x-1+x-2+\dots +1\right)=38$$, так как по условию задачи общая сумма выплат составила 38 млн рублей. Учитывая, что $$\left(x+\left(x-1\right)+\left(x-2\right)+\dots +1\right)=\frac{\left(x+1\right)\cdot x}{2}$$, получим $$16+\frac{0,25\cdot 16}{x}\cdot \frac{x\left(x+1\right)}{2}=38\to 16+2x+2=38\to x=10$$. То есть на 10 лет.

 

Задание 10882

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший - не менее 0,6 млн рублей.

Ответ: 20%
Скрыть

Обозначим через $$x$$ размер кредита, т.е. $$x=4,5$$ млн рублей. По условию задачи каждый год кредит увеличивается на r%, т.е. становится равный $$\frac{100+r}{100}x$$, а затем, делается платеж так, чтобы сумма долга уменьшалась на одну и ту же величину, т.е. в первый раз платеж должен быть равен $$\frac{x}{9}+\frac{r}{100}x$$ и долг становится $$\frac{100+r}{100}x-\frac{x}{9}+\frac{r}{100}x=\frac{8}{9}x$$.

На следующий год осуществляются подобные действия, долг увеличивается на r%, а платеж вносится в размере $$\frac{x}{9}+\frac{r}{100}\cdot \frac{8}{9}x$$: $$\frac{100+r}{100}\cdot \frac{8}{9}x-\frac{x}{9}+\frac{r}{100}\cdot \frac{8}{9}x=\frac{7}{9}x$$.

В последний год сумма платежа будет равна $$\frac{x}{9}+\frac{r}{100}\cdot \frac{1}{9}x$$.

Из этих выражений видно, что максимальная сумма платежа приходится на 1-й год, а минимальная - на последний. Следовательно, получаем два неравенства: $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{9}+\frac{r}{100}x\le 1,4 \\ \frac{x}{9}+\frac{r}{100}\cdot \frac{1}{9}x\ge 0,6 \end{array} \right.$$.

Выражаем неизвестное r, подставляем вместо $$x=4,5$$, получим $$\left\{ \begin{array}{c} r\le \frac{140}{x}-\frac{100}{9}=20 \\ r\ge \frac{60\cdot 9}{x}-100=20 \end{array} \right.$$. Следовательно, $$r=20\%$$ годовых.

 

Задание 10901

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Ответ: 2928200
Скрыть

Условно обозначим через $$S=928000$$ сумму кредита, процентную ставку через $$p=10\%$$, а сумму выплат через $$x$$. Каждый год сумма долга увеличивается на 10\%. Это можно выразить формулой $$S\left(1+\frac{p}{100}\right)=S\cdot m$$, где $$m=(1+\frac{p}{100})$$. Так как сумма выплат в год составляет $$x$$, то долг после первого года будет равен $$S\cdot m-x$$.

Для второго года долг увеличивается на ту же величину и становится равный $$\left(S\cdot m-x\right)\cdot m=Sm^2-xm$$, а долг после двух лет $$Sm^2-xm-x$$.

Для третьего года сумма долга будет равна $$\left(Sm^2-xm-x\right)m=Sm^3-xm^2-xm-x$$. И для четвертого $$Sm^4-xm^3-xm^2-xm-x=0$$ откуда $$x=\frac{Sm^4}{m^3+m^2+m+1}$$. Учитывая, что $$m^3+m^2+m+1=\frac{m^4-1}{m-1}$$, окончательно имеем $$x=\frac{Sm^4\left(m-1\right)}{m^4-1}$$.

Величина m при процентной ставке$$\ p=10\%$$ будет равна $$m=1+\frac{10}{100}=1,1$$ и ежегодные выплаты должны составлять $$x=\frac{9282000\cdot {1,1}^4\cdot 0,1}{{1,1}^4-1}=2928200$$ рублей.

 

Задание 10939

В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 220 тыс. рублей;
- выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
- к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.

Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тыс. рублей.

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Т.к. в первые три года долг не меняется, то выплачивали только проценты.

Т.е. $$\frac{220}{100}\cdot r$$ тыс. р. Пусть платежи в последние два года по $$x$$ тыс. руб. Тогда: $$\left\{ \begin{array}{c} \left(220\left(1+\frac{r}{100}\right)-x\right)\left(1+\frac{r}{100}\right)-x=0 \\ \frac{220}{100}r\cdot 3+2x=420 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \left(\left(220+\frac{22r}{10}\right)-210+\frac{33r}{10}\right)\left(1+\frac{r}{100}\right)-210+\frac{33r}{10}=0 \\ x=210-\frac{33r}{10} \end{array} \right.$$. Пусть $$\frac{r}{10}=a:\left(220+22a-210+33a\right)\left(1+\frac{a}{10}\right)-210+33a=0$$. $$\left(10+55a\right)\left(1+\frac{a}{10}\right)-210+33a=0\leftrightarrow 10+a+55a+5,5a^2-210+33a=0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 5,5a^2+89a-200=0\to D=111\to \left[ \begin{array}{c} a_1=\frac{-89+111}{11}=2 \\ a_2<0 \end{array} \right.\leftrightarrow r=20$$.

 

Задание 11003

5-го января 2020-го года Андрей планирует положить на депозит вклад размером 3 миллиона рублей. Первые три года 2-го января банк начисляет 10% на сумму вклада, а в последующие годы банк начисляет 5% на сумму вклада.

4-го января каждого года Андрей делает дополнительный взнос на вклад так, чтобы после этого величина вклада на 5 января была больше величины вклада на 5 января прошлого года на одно и то же число. Определить общий размер начислений банка, если 3-го января 2031-го года на вкладе будет лежать 24,15 миллиона рублей.

Ответ: 7,9 млн. руб.
Скрыть

3 января 2031 года на вкладе будет сумма на 5 января 2030 года, увеличенная на 5%: $$S\cdot 1,05=24,15\to S=23$$ млн. Т.к. вклад на 5% увеличивается равномерно, то каждый год будет в сумме расти на $$\frac{23-3}{2030-2020}=2$$ млн.

2020: № года: - ; вклад 2 января: - ; добавил на вклад 4 января: - ; вклад 5-го января: 3

2021: № года: 1; вклад 2 января: $$3+0,1\cdot 3$$; добавил на вклад 4 января: $$5-3,3=1,7$$; вклад 5-го января: $$5$$

2022: № года: 2; вклад 2 января: $$5+0,1\cdot 5$$; добавил на вклад 4 января: $$7-5,5=1,5$$; вклад 5-го января: $$7$$

2023: № года: 3; вклад 2 января: $$7+0,1\cdot 7$$; добавил на вклад 4 января: $$9-7,7=1,3$$; вклад 5-го января: $$9$$

2024: № года: 4; вклад 2 января: $$9+0,05\cdot 9$$; добавил на вклад 4 января: $$1,55$$; вклад 5-го января: $$11$$

2025: № года: 5; вклад 2 января: $$11+0,05\cdot 11$$; добавил на вклад 4 января: $$1,45$$; вклад 5-го января: $$13$$

2026: № года: 6; вклад 2 января: $$13+0,05\cdot 13$$; добавил на вклад 4 января: $$1,35$$; вклад 5-го января: $$15$$

$$\dots $$

2030: № года: 10; вклад 2 января: $$21+0,05\cdot 21$$; добавил на вклад 4 января: $$0,95$$; вклад 5-го января: $$23$$

2031: № года: 11; вклад 2 января: $$23+0,05\cdot 23=24,15$$;

Начисления банка составят: $$0,1\left(3+5+7\right)+0,05(9+11+13+15+17+19+21+23)=$$ $$=0,1\cdot 15+0,05\cdot \frac{9+23}{2}\cdot 8=1,5+6,4=7,9\ $$млн. руб.

 

Задание 11023

15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Ответ: 932400
Скрыть

Пусть $$x$$ тыс. рублей сумма взятого кредита в банке. В первый месяц сумма долга увеличивается на 1%, что составит $$1,01x$$ тыс. рублей. Долг выплачивается в течение 21 месяца так, чтобы долг на одну и ту же величину был меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. То есть, после первого месяца нужно выплатить $$\frac{x}{21}+0,01x$$ тыс. рублей. Оставшаяся сумма долга будет равна $$1,01x-\frac{x}{21}-0,01x=\frac{20}{21}x$$ тыс. рублей.

После второго месяца сумма долга будет равна $$1,01\cdot \frac{20}{21}x$$, а выплата составит $$\frac{x}{21}+0,01\cdot \frac{20}{21}x$$. Сумма долга будет равна $$1,01\cdot \frac{20}{21}x-\frac{x}{21}-0,01\cdot \frac{20}{21x}=\frac{19}{21}x.$$

Таким образом, на 11-й месяц нужно выплатить $$\frac{x}{21}+0,01\cdot \frac{11}{21}x$$ или в виде $$x\left(\frac{1}{21}+\frac{0,11}{21}\right)=x\cdot \frac{1,11}{21}.$$

По условию задачи выплата на 11-й месяц кредитования составила 44,4 тыс. рублей. Получаем уравнение $$x\cdot \frac{1,11}{21}=44,4\to x=840.$$ Имеем кредит, равный 840 тыс. рублей. Тогда общая сумма выплат в течение 21 месяца составит $$840+\frac{0,01\cdot 840}{21}\cdot \left(21+20+\dots +1\right)=840+\frac{0,01\cdot 840\cdot 231}{21}=932,4.$$ То есть 932,4 тыс. рублей или 932400 рублей.

 

Задание 11108

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Ответ: 600000
Скрыть

Пусть $$x$$ тыс. рублей требуется взять в кредит. В начале второго месяца сумма кредита увеличивается на 3%, т.е. становится равной $$1,03x$$. После этого идет погашение части кредита так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину, т.е. во втором месяце погашается $$\frac{x}{24}+0,03x$$ тыс. рублей. Таким образом, сумма долга в конце второго месяца составляет $$1,03x-\frac{x}{24}-0,03x=\frac{23}{24}x.$$

По аналогии в третьем месяце сумма кредита увеличивается на 3\%, т.е. равна $$1,03\cdot \frac{23}{24}x$$ и уменьшается на величину $$\frac{x}{24}+0,03\cdot \frac{23}{24}x.$$ Сумма долга становится равной $$1,03\cdot \frac{23}{24}x-\frac{x}{24}-0,03\cdot \frac{23}{24}=\frac{22}{24}x.$$

Таким образом, через 12 месяцев (1 год) выплаченная сумма долга составит $$\frac{12}{24}x+\frac{0,03x}{24}\left(24+2+\dots +13\right)=\frac{1}{2}x+\frac{0,03x}{24}\cdot \frac{\left(24+13\right)\cdot 12}{2}=$$ $$=x\left(\frac{1}{2}+\frac{0,03\cdot 222}{24}\right)=0,7775x$$ которая по условию задачи равна 466,5 тыс. рублей. Получаем уравнение $$0,7775x=466,5\to x=\frac{466,5}{0,7775}=600.$$

То есть кредит составлял 600 тыс. рублей.

 

Задание 11278

В начале месяца Артем взял в банке кредит 2,4 млн рублей с месячной процентной ставкой 5% на 12 месяцев с погашением кредита по следующей схеме:

– в начале каждого месяца банк увеличивает долг на 5%;
– выплаты производятся в конце каждого месяца;
– каждая следующая выплата на 5% больше предыдущей.

Сколько рублей должна составлять первая выплата, чтобы Артем погасил свой кредит по указанной схеме за 12 месяцев?

Ответ: 210 тыс. рублей
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11379

15 января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за 15-й месяц кредитования нужно выплатить 44 тыс. рублей. Сколько рублей нужно будет вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Ответ: 1 080 000 рублей
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11423

Егор положил в банк некоторую сумму денег. Через год, после начисления процентов, он добавил на свой счет сумму, составляющую 0,9 исходной, в результате чего остаток на счете стал равен 3,4 млн.рублей. А еще через год, после начисления процентов, остаток на его счете увеличился 2,2 раза по сравнению с исходной суммой. Какую сумму (в млн.руб.) Егор положил в банк первоначально, если в конце каждого года банк начислял один и тот же процент годовых ?

Ответ: 1,7 млн. руб.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11451

3‐го января 2020 года Георгий планирует положить на депозит вклад размером 2 миллиона рублей. 1 января каждого года банк начисляет 10% на сумму вклада, 2 января каждого года Георгий делает дополнительный взнос на вклад так, чтобы после этого разности между величиной вклада на 3 января и величиной вклада на 3 января прошлого года образовывали арифметическую прогрессию с разностью 1 млн рублей. Определить общий размер начислений банка, если 2‐го января 2027 года на вкладе будет лежать 30 млн рублей.

Ответ: 7 млн. руб.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11470

В июле 2019 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей (где S – натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:

‐ каждый январь долг увеличивается на 17,5% по сравнению с концом предыдущего года

‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга

‐ в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей

Месяц и год Июль 2019 Июль 2020 Июль 2021 Июль 2022
Долг (в тыс. рублей) S 0,9S 0,4S 0

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

Ответ: 400
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11714

Михаил приобрел ценную бумагу за 9000 рублей. Ее стоимость в конце каждого года, последующего за годом покупки, возрастает на 2500 рублей. Однако в конце каждого года, последующего за годом покупки, Михаил может продать эту ценную бумагу и вложить вырученные деньги в банк под 15% годовых (это означает, что в конце каждого года хранения денег в банке их сумма увеличивается на 15%). В конце какого года, последующего за годом покупки, Михаил должен продать ценную бумагу и вложить деньги в банк, чтобы на банковском счете через 28 лет после года приобретения была наибольшая сумма?

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11733

В 33‐ем году нашей эры в Иерусалимском банке был открыт вклад на 33 серебренника под 10% вековых. В пятом веке сразу после начисления процентов из‐за нестабильной политической обстановки Иерусалимский банк вводит ежегодную пошлину на хранение любого вклада, зафиксировав размер пошлины как 0,1% от величины вклада на момент введения пошлины. В 15 веке сразу после начисления процентов за вычетом пошлины из‐за девальвации (обесценивания) серебренника пошлину отменили, а вклад конвертировали (перевели) в золото по ставке 10 серебренников за один золотой, округлив получившееся число золотых до ближайшего целого. Процентную ставку для золотых повысили до 20% вековых, однако первое начисление состоялось только век спустя после конвертации (перевода). Сколько золотых удалось снять со счёта при его закрытии из‐за Первой Мировой войны 1914‐1918 годов 20 века?

Ответ: 10
 

Задание 12285

15 января планируется взять кредит в банке на 3 года.

Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за 24-й месяц кредитования нужно выплатить 45,2 тыс. рублей. Сколько рублей нужно будет вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Ответ: 1706400
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12315

Александр хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Александра не было денег на покупку акций, а пакет стоил 100 000 рублей. В середине каждого месяца Александр откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 30 %. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Александру каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?

Ответ: 54925
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12335

Сергей хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Сергея не было денег на покупку акций, а пакет стоил 160 000 рублей. В середине каждого месяца Сергей откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 25 \%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Сергею каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?

Ответ: 78125
 

Задание 12355

Цена ценной бумаги на конец года вычисляется по формуле $$S=1,1S_0+2000$$, где $$S_0$$ - цена этой ценной бумаги на начало года в рублях. Максим может приобрести ценную бумагу, а может положить деньги на банковский счёт, на котором сумма увеличивается за год на 12 \%. В начале любого года Максим может продать бумагу и положить все вырученные деньги на банковский счёт, а также снять деньги с банковского счёта и купить ценную бумагу. В начале 2021 года у Максима было 80 тысяч рублей, которые он может положить на банковский счёт или может приобрести на них ценную бумагу. Какая наибольшая сумма может быть у Максима через четыре года? Ответ дайте в рублях.

Ответ: 126694,4
 

Задание 12396

15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Ответ: 39
 

Задание 12416

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2 млн рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Ответ: 1,6 млн. руб.
 

Задание 12436

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1,587 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Ответ: 2,58
 

Задание 12455

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,523 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Ответ: 4,05
 

Задание 12474

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на $$(n+1)$$ месяц. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу $$(n\ +\ 1)$$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.

Ответ: 20
 

Задание 12496

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей на $$(n\ +\ 1)$$ месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу $$(n\ +\ 1)$$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1 378 тысяч рублей.

Ответ: 3
 

Задание 12516

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение - 25 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.

Ответ: 7 и 12 млн. руб.
 

Задание 12535

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение - 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.

Ответ: 7 и 3 млн. руб.
 

Задание 12554

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 3,249 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Ответ: 5,35
 

Задание 12576

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение - 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 12 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года вырастут как минимум в полтора раза, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.

Ответ: 2 и 5 млн. руб.
 

Задание 12596

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8 млн рублей.

Ответ: 5000000
 

Задание 12616

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн рублей.

Ответ: 5000000 рублей

Задание 12636

15 июня планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 11-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

- к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.

Ответ: 3
 

Задание 12656

31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Михаил переводит в банк 2 928 200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Ответ: 9282000
 

Задание 12675

15-го марта планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тысячи рублей?

Ответ: 1300000 рублей
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12696

15 июля планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- 15-го числа 30-го месяца долг составит 500 тысяч рублей;

- к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1989 тысяч рублей.

Ответ: 2
 

Задание 12716

1 января 2015 года Иван Сергеевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 % на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2 %), затем Иван Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Иван Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 200 тыс. рублей?

Ответ: 6
 

Задание 12755

В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год - 240 000 рублей.

Ответ: 20
 

Задание 12776

В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на сумму 600 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 360 000 рублей, а во второй год - 330 000 рублей.

Ответ: 10
 

Задание 12797

В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на сумму 640 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 320 000 рублей, а во второй год - 450 000 рублей.

Ответ: 12,5
 

Задание 12817

В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 40 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Ответ: 1029000
 

Задание 12837

В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на сумму 928 200 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Ответ: 1171280
 

Задание 12856

В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на сумму 427 000 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Ответ: 656250
 

Задание 12878

15 мая планируется взять кредит в банке на 17 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 16-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- к 15-му числу 17-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1472 тысячи рублей?

Ответ: 1200000
 

Задание 12897

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 339 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?

Ответ: 411000
 

Задание 12918

15 декабря планируется взять кредит в банке на 61 месяц. Условия его возврата таковы:

– 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2‐го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15‐го числа первого месяца долг должен уменьшиться на 900 тысяч рублей, все следующие месяцы долг должен быть меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца на 30 тысяч рублей. Найдите r , если переплата по кредиту составила 1152 тыс. рублей?
Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13374

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:

- в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?

Ответ: 600 тыс. руб.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13393

В июле 2023 года планируется взять кредит на 10 лет на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

- каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
- каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите сумму, которую планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тыс. рублей.

Ответ: 750 тыс. руб.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13545

По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 12 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».

Ответ: 37
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13563

По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 14 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет более выгоден, чем вклад «А».

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13694

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:

- в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на г % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть , долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тысяч рублей. Найдите г.

Ответ: 16
Скрыть

В видео в самом конце поделил 48 на 3 неверно, конечно, там получится 16, а не 3.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13777

В июле 2023 года планируется взять кредит на 8 лет в размере 800 тыс. рублей. Условия возврата таковы:

- каждый январь с 2024 по 2027 год долг возрастает на г% по сравнению с концом предыдущего года;
- каждый январь с 2028 по 2031 год долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите г, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1444 тыс. рублей.

Ответ: 19
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14032

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 10 лет. Условия его возврата таковы:

- в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов на сумму 650 тыс. рублей долг возрастает на 19 % по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Ответ: 1300 тыс. руб.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14216

1 апреля 2017 года Иван Арнольдович открыл в банке счёт «Управляй», вложив 1 млн. рублей сроком на 4 года под 10% годовых. По договору с банком проценты по вкладу должны начисляться 31 марта каждого последующего года.

1 апреля 2018 года и 1 апреля 2019 года Иван Арнольдович решил пополнять счёт на n тысяч рублей (n – целое число).
1 апреля 2020 года Иван Арнольдович планирует снять со своего счета все набежавшие к тому времени проценты.
1 апреля 2021 года Иван Арнольдович собирается закрыть счёт в банке и забрать все причитающиеся ему деньги.

Найдите наименьшее значение п, при котором доход Ивана Арнольдовича от вложений в банк за эти 4 года окажется не менее 500 тыс. рублей.

Ответ: 136
 

Задание 14251

Роман Абрамович внес в банк «Альфа» S тысяч рублей (S – целое число) под 10% годовых сроком на три года. Одновременно с ним Абрам Романович внес в банк «Бетта» такую же сумму на год под 15% годовых с возможностью пролонгировать (продлить) вклад на второй год под 10% годовых, а на третий – под 5% годовых. Найдите наименьшее значение S, при котором суммы на счетах Романа Абрамовича и Абрама Романовича спустя три года будут отличаться более, чем на 300 тысяч рублей.

Ответ: 109091
 

Задание 14258

Гражданка Васильева вложила 44 млрд. рублей в два оффшорных банка на 3 года: часть денег в банк А, остальное в банк Б. Известно, что банк А ежегодно начисляет 10% годовых; банк Б в первый год начисляет 5% годовых, во второй – 10%, а в третий – 15%. Сколько рублей было вложено в каждый из банков, если через три года доход гражданки Васильевой от вложения денег составил 14520 млн. рублей.

Ответ: 28;16 млрд.
 

Задание 14265

В июне планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

‐ каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
‐ с февраля по май каждого года необходимо выплачивать часть долга.
‐ в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что сумма выплат банку сверх взятого кредита после его полного погашения составила 3 млн. рублей?

Ответ: 11
 

Задание 14271

В начале января 2018 года планируется взять кредит в банке на 4 года на S млн. рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:

‐ каждый июль долг возрастает на 10% по сравнению с началом текущего года;
- с августа по декабрь каждого года необходимо выплатить часть долга;
‐ в январе каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
Начало года 2018 2019 2020 2021 2022
Долг (в млн. рублей) S 0,8S 0,5S 0,3S 0

Найдите наименьшее значение S, при котором сумма выплат банку за все 4 года составит не менее 10 млн. рублей.

Ответ: 8
 

Задание 14278

1 мая 2017 г. Татьяна Константиновна положила 10 000 000 рублей в банк сроком на 1 год с ежемесячным начислением процентов и капитализацией под а % годовых. Это означает, что первого числа каждого месяца сумма вклада увеличивается на одно и то же количество процентов, рассчитанное таким образом, что за 12 месяцев она увеличится ровно на $$a$$ %. Найдите $$a$$, если известно, что через 6 месяцев сумма вклада Татьяны Константиновны составила 10 400 000 рублей.

Ответ: 8,16
 

Задание 14285

1 июня планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн. рублей на срок 12 месяцев. Условия возврата таковы:

— 15 числа каждого месяца долг возрастает на r % (r – целое число) по сравнению с началом текущего месяца;
— с 16 по 28 число необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало каждого следующего месяца долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим месяцем.

Найдите наименьшую возможную ставку r, если известно, что в декабре банку будет выплачено более, чем на 100 тыс. руб. больше, нежели в марте.

Ответ: 7
 

Задание 14300

В августе планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

‐ каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
‐ с февраля по июль каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1080 тыс. рублей.

Сколько тысяч рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Ответ: 2275
 

Задание 14308

Митрофан хочет взять в кредит 1,7 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Митрофан взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 300 тысяч рублей?

Ответ: 9
 

Задание 14317

Джим Хокинс планирует найти сокровища стоимостью 300 тыс. фунтов стерлингов, которые спрятал капитан Флинт. Перед началом поисков он взял кредит в размере 10 тыс. фунтов стерлингов у состоятельного сквайера Трелони, чтобы снарядить шхуну «Испаньола» для поиска сокровищ. Условия кредитования таковы, что ежемесячно за пользование денежными средствами Джим Хокинс должен заплатить Трелони 40% от суммы долга, ежемесячные проценты начисляются на тело долга (каждый месяц Джим платит проценты от 10 тыс. фунтов стерлингов). Через сколько полных месяцев Джим Хокинс гарантированно планирует найти сокровища, если после выплаты долга он хочет получить на руки не менее 230 тыс. фунтов стерлингов? (Джим Хокинс во время поиска сокровищ не может выплачивать долг, а платит его вместе с процентами после нахождения сокровищ).

Ответ: 15
Скрыть

Пусть Джим планирует найти сокровища через n полных месяцев. Джим должен будет выплатить Трелони за $$n$$ месяцев $$0,4\cdot 10\cdot n$$ тысяч фунтов стерлингов. Траты Джима: $$10+4n$$ тысяч фунтов. Так как после выплаты долга по кредиту Джим Хокинс хочет получить на руки не менее 230 тыс. фунтов стерлингов, то, учитывая, что он нашел через n месяцев сокровища в 300 тысяч фунтов, получаем: $$300-4n\geq 230$$; $$4n\leq 60$$; $$n\leq 15$$; Джим Хокинс может позволить себе искать сокровища 15 полных месяцев.

 

Задание 14321

Иван Петрович получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год в счет погашения кредита он вернул в банк 1/6 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени. А еще через год в счет полного погашения кредита Иван Петрович внес в банк сумму, на 20% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Ответ: 20
 

Задание 14326

16 ноября Никита взял в банке в кредит 1 млн. руб. на шесть месяцев. Условия возврата кредита таковы:

- 28‐го числа каждого месяца долг увеличивается на 10 % по сравнению с 16‐м числом текущего месяца;
- с 1‐го по 10‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- в случае задержки выплат (от 1 до 5 дней) дополнительно взимаются ка дые просроченные сутки 1% от суммы, которую необходимо было в пени: за каждые просроченные сутки 1% от суммы, которую необходимо  выплатить в текущем месяце;
- 16‐го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей:
 
Дата 16.11 16.12 16.01 16.02 16.03 16.04 16.05
Долг, тыс. руб 1000 800 700 500 300 200 0

Определите, сколько тысяч рублей Никита выплатит банку сверх взятого кредита, если известно, что он осуществлял выплаты 7 декабря, 12 января, 10 февраля, 9 марта, 1 апреля и 15 мая.

Ответ: 364,6
 

Задание 14333

1 ноября 2017 года Николай открыл в банке счёт «Управляй», вложив S тысяч рублей (S – целое число) сроком на 4 года под 10% годовых. По договору с банком проценты по вкладу должны начисляться 31 октября каждого последующего года.

1 ноября 2019 года и 1 ноября 2020 года Николай планирует снять со счёта 100 тысяч и 50 тысяч рублей соответственно.
1 ноября 2021 года Николай собирается закрыть счёт в банке и забрать все причитающиеся ему деньги.

Найдите наименьшее значение S, при котором доход Николая от вложений в банк за эти 4 года окажется более 70 тысяч рублей.

Ответ: 207 тысяч рублей.
 

Задание 14345

Сумма вклада увеличивалась первого числа каждого месяца на 2% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца. Аналогично, цена на кирпич возрастала на 36% ежемесячно. Отсрочив покупку кирпича, 1 мая в банк положили некоторую сумму. На сколько процентов меньше в этом случае можно купить кирпича на 1 июля того же года на всю сумму, полученную из банка вместе с процентами?

Ответ: 43,75
 

Задание 14383

В аграрной стране А производство пшеницы на душу населения в 2015 году составляло 192 кг и ежегодно увеличивалось на 20%. В аграрной стране В производство пшеницы на душу населения в 2015 году составляло 375 кг. В течение трех лет производство зерна в стране В увеличивалось на 14% ежегодно, а ее население увеличивалось на m% ежегодно. В 2018 году производство зерна на душу населения в странах А и В стало одинаковым. Найдите m.

Ответ: 18,75
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!