Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C3) Неравенства

Неравенства с логарифмами по переменному основанию

 

Задание 2993

Решите неравенство $$\log_{\frac{5-x}{4}}(x-2)\cdot \log_{x-2}(6x-x^{2})\geq \log_{\frac{5-x}{4}}(3x^{2}-10x+15)$$

Ответ: [2,5; 3) $$\cup$$ (3; 5)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}\frac{5-x}{4}>0\\\frac{5-x}{4}\neq1\\x-2\neq1\\x-2>0\\6x-x^{2}>0\\3x^{2}-10x+15>0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}5-x>0\Rightarrow x<5\\x\neq1; x\neq3\\x>2\\x\in(0;6)\end{matrix}\right.$$ $$3x^{2}-10x+15>0$$ $$D=100-12\cdot15>0$$ $$x\in(2; 5)$$ $$\log_{\frac{5-x}{4}}(x-2)\cdot \log_{x-2}(6x-x^{2})\geq \log_{\frac{5-x}{4}}(3x^{2}-10x+15)$$ $$\frac{1}{\log_{x-2}\frac{5-x}{4}}\cdot \log_{x-2}(6x-x^{2})\geq \log_{\frac{5-x}{4}}(3x^{2}-10x+15)$$ $$\log_{\frac{5-x}{4}}(6x-x^{2})\geq \log_{\frac{5-x}{4}}(3x^{2}-10x+15)$$ $$(\frac{5-x}{4}-1)(6x-x^{2}-(3x^{2}-10x+15))\geq0$$ $$\frac{5-x-4}{4}\cdot(6x-x^{2}-3x^{2}+10x-15))\geq0$$ $$(1-x)\cdot(-4x^{2}+16x-15)\geq0$$ $$(x-1)\cdot(4x^{2}-16x+15)\geq0$$ $$D=256-240=16$$ $$x_{1}=\frac{16+4}{8}=2,5$$ $$x_{2}=\frac{16-4}{8}=1,5$$

 

Задание 3036

Решите неравенство $$\log_{3}(2^{x}+1)+\log_{2^{x}+1}3\geq 2,5$$

Ответ: $$x\in(-\infty;\log_{2}(\sqrt{3}-1)]\cup [3;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\log_{3}(2^{x}+1)+\log_{2^{x}+1}3\geq 2,5$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x}+1>0\\2^{x}+1\neq1\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x}>-1\\2^{x}\neq0\end{matrix}\right.$$ $$x\in R$$ $$\log_{3}(2^{x}+1)=y$$ $$y+\frac{1}{y}\geq\frac{5}{2}$$ $$\frac{y^{2}+1}{y}-\frac{5}{2}\geq0$$ $$\frac{2y^{2}+2-5y}{2y}\geq0$$ $$y\neq0$$ $$D=25-16=9$$ $$y_{1}=\frac{5+3}{4}=2$$ $$y_{2}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$$ $$\left\{\begin{matrix}y>0\\y\leq\frac{1}{2}\\y\geq2\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{3}(2^{x}+1)>0\\\log_{3}(2^{x}+1)\leq\frac{1}{2}\\\log_{3}(2^{x}+1)\geq2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x}+1>1\\2^{x}+1\leq\sqrt{3}\\2^{x}+1\geq9\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x\in R\\x\leq\log_{2}(\sqrt{3}-1)\\x\geq3\end{matrix}\right.$$

 

Задание 3160

Решите неравенство $$x\log_2 \frac{x}{2}+\log_x 4 \leq 2$$

Ответ: (0;1); {2}
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3206

Решите неравенство: $$\log_{x^{4}}(2x-1)\geq\log_{2x-1}(2-\frac{1}{x})$$

Ответ: $$(0,5;1) \cup (1; \infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3378

Решите неравенство: $$\log_{|x+6|}2\cdot\log_{2}(x^{2}-x-2)\geq1$$

Ответ: $$(-\infty ;-7)\cup(-5;-2]\cup[4;\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3426

Решите неравенство: $$\frac{(2\cdot2^{-\log_{x}3}-4)\sqrt{2-\sqrt{\log_{x}3+2}}}{1+\sqrt{\log_{x}3+5}}>\frac{(2^{-\log_{x}3}-2)\sqrt{2-\sqrt{\log_{x}3+2}}}{\sqrt{\log_{x}3+5}-2}$$

Ответ: $$(0;\frac{1}{3});(\frac{1}{3};\frac{1}{\sqrt{3}}];(\sqrt{3};\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4397

Решите неравенство: $$-3\log_{(x-1)}\frac{1}{3}+\log_{\frac{1}{3}}(x-1)>2|\log_{\frac{1}{3}}(x-1)|$$

Ответ: (2;4)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x-1>0\\x-1\neq1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in(1;2)\cup(2;+\infty)$$

$$\frac{-3}{\log_{\frac{1}{3}}(x-1)}+\log_{\frac{1}{3}}(x-1)-2|\log_{\frac{1}{3}}(x-1)|>0$$. Пусть $$\log_{\frac{1}{3}}(x-1)=y$$;

$$-\frac{3}{y}+y-2|y|>0$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y\geq0\\-\frac{3}{y}-y>0\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}y<0\\-\frac{3}{y}+3y>0\end{matrix}\right.(2)\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

1) $$\left\{\begin{matrix}y\geq0\\\frac{-3-y^{2}}{y}>0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y\geq0\\-y^{2}>3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ нет решений

2) $$\left\{\begin{matrix}y<0\\\frac{-1+y^{2}}{y}>0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y<0\\y^{2}<1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y<0\\y\in(-1;0)\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{\frac{1}{3}}(x-1)>-1\\\log_{\frac{1}{3}}(x-1)<0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x-1<3\\x-1>1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<4\\x>2\end{matrix}\right.$$

Задание 4485

Решите неравенство: $$\left | \log_{x} \frac{x}{4}\right |\cdot \log_{4x} (2x^{2})\leq \left | \log_{x} \frac{x}{4}\right |$$

Ответ:

Задание 4486

Решите неравенство: $$\log_{\frac{25-x^{2}}{16}}\frac{24+2x-x^{2}}{14}> 1$$

Ответ:

Задание 4487

Решите неравенство: $$\frac{\log_{2} 2x\cdot \log_{0,5x} 2}{\log_{0,125x} 2}\leq 1$$

Ответ:

Задание 4488

Решите неравенство: $$\log_{6x^{2}+5x+1} 2> \log_{\sqrt{6x^{2}+5x+1}} 2$$

Ответ:

Задание 4489

Решите неравенство:$$\log_{2}^{2} (3x-1)+\log_{(3x-1)}^{2} 2 -\log_{2} (3x-1)^{2}-\log_{(3x-1)} 4 +2\leq 0$$

Ответ:

Задание 4490

Решите неравенство: $$(x-1)\log_{x+3} (x+2)\cdot \log_{3} (x+3)^{2}\leq 0$$

Ответ:

Задание 4491

Решите неравенство: $$\log_{x+1}(2x-5)+\log_{2x-5}(x+1)\leq 2$$

Ответ:

Задание 4492

Решите неравенство:$$\log_{\log_{x}2x} (9x-4)\geq 0$$

Ответ:

Задание 4493

Решите неравенство:$$\log_{x^{2}} (x-1)^{2}\leq 1$$

Ответ:

Задание 4494

Решите неравенство:$$\log_{\frac{x}{3}} (3x^{2}-2x+1)\geq 0$$

Ответ:

Задание 4495

Решите неравенство:$$\frac{\log_{x+3}(x^{2}-x+30)}{\log_{x+3}(x^{2}-x-1)}\geq \frac{\lg (x^{4}-2x^{3}+x^{2})}{\lg (x^{2}-x-1)}$$

Ответ:

Задание 4496

Решите неравенство:$$\log_{4-x}\frac{(x-4)^{8}}{(x+5)}\geq 8$$

Ответ:

Задание 4497

Решите неравенство: $$\log_{x+6} (\frac{x-4}{x})^{2}+\log_{x+6} (\frac{x}{x-4})\leq 1$$

Ответ:

Задание 4498

Решите неравенство: $$\log_{(\sqrt{7})^{x+0,5}} 7^{\frac{2}{x^{2}+x}}\leq \frac{4}{2x+1}$$

Ответ:

Задание 4499

Решите неравенство: $$\log_{1-\frac{x^{2}}{37}} (x^{2}-12|x|+37)-\log_{1+\frac{x^{2}}{37}} (x^{2}-12|x|+37)\geq 0$$

Ответ:

Задание 4500

Решите неравенство: $$\frac{\log_{1-2x} ((x+1)(1-4x+4x^{2}))}{\log_{x+1} (1-2x)}\leq -1$$

Ответ:

Задание 4501

Решите неравенство:$$0,5\log_{x-2} (x^{2}-10x+25)+\log_{5-x}(-x^{2}+7x-10)\geq 3$$

Ответ:

Задание 4502

Решите неравенство: $$\log_{x} 3+2\log_{3x} 3-6\log_{9x}3\leq 0$$

Ответ:

Задание 4503

Решите неравенство: $$7^{\ln(x^{2}-2x)}\leq (2-x)^{\ln7}$$

Ответ:

Задание 4506

Решите неравенство: $$3|x+3|-3x\leq 14-|2-x|$$

Ответ:

Задание 4508

Решите неравенство:$$|\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}|^{x-1,2}+|\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}|^{1,2-x}\leq 2$$

Ответ:
 

Задание 4574

Решите неравенство: $$\frac{\log_{x}32}{\log_{2}x-\log_{x}4+1}\leq\log_{\frac{x}{2}}8-\log_{4x}x$$

Ответ: (0;0,25);{0,5};(2;$$\infty $$)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4820

Решите неравенство: $$\log_{10-x^{2}} (\frac{16}{5}x-x^{2})< 1$$

Ответ: $$(0;3)\cup (\frac{25}{8};\sqrt{10})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Область допустимых значений неравенства задаётся системой :

   $$\left\{\begin{matrix}10-x^{2}>0\\10-x^{2}\neq 1\\\frac{16}{5}x-x^{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\\x\neq \pm 3\\x(x-\frac{16}{5})<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\\x\neq \pm 3\\0<x<\frac{16}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (0;3)\cup (3;\sqrt{10})$$

   Решение: $$\log_{10-x^{2}}(\frac{16}{5}x-x^{2})<1\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}10-x^{2}>1\\\frac{16}{5}x-x^{2}<10-x^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0<10-x^{2}<1\\\frac{16}{5}x-x^{2}>10-x^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}-3<x<3\\\frac{16}{5}x<10\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\\\left\{\begin{matrix}x>3\\x<-3\end{matrix}\right.\\\frac{16}{5}x>10\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}-3<x<3\\x<\frac{25}{8}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\\\left\{\begin{matrix}x>3\\x<-3\end{matrix}\right.\\x>\frac{25}{8}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}-3<x<\frac{25}{8}\\\frac{25}{8}<x<\sqrt{10}\end{matrix}\right.$$

      С учетом области допустимых значений неравенства получаем $$x \in (0;3)\cup (\frac{25}{8};\sqrt{10})$$

 

Задание 4864

Решите неравенство : $$\log_{4} (x-1) * \log_{x-1} (x+2)> \log_{4}^{2} (x+2)$$

Ответ: (1;2)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем ОДЗ:$$\left\{\begin{matrix}x-1> 0\\ x-1 \neq 1\\ x+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$ x\in (1;2)\cup (2;+\infty )$$

Далее преобразуем неравенство используя свойства логарифмов:

$$\frac{1}{\log_{(x-1)} (4)} * \log_{x-1} (x+2)-\log_{4}^{2} (x+2)> 0\Leftrightarrow $$$$\frac{ \log_{x-1} (x+2)}{\log_{(x-1)} (4)}-\log_{4}^{2} (x+2)> 0 \Leftrightarrow $$$$\log_{4} (x+2)-\log_{4}^{2} (x+2)> 0 \Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}\log_{4} (x+2)> 0\\ \log_{4} (x+2)< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x> -1\\x< 2\end{matrix}\right.$$

С учетом ОДЗ получаем: $$\left\{\begin{matrix}x> 1\\x< 2\end{matrix}\right.$$

 

Задание 4915

 Решите неравенство $$\log_{x-2}\frac{1}{5}\geq\log_{\frac{x-3}{x-5}}\frac{1}{5}$$

Ответ: $$x\in[4-\sqrt{3};3)\cup[4+\sqrt{3};+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x-2>0\\x-2\neq1\\\frac{x-3}{x-5}>0\\\frac{x-3}{x-5}\neq1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{matrix}x>2\\x\neq3\\x\in(-\infty;3)\cup(5;+\infty)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$x\in(2;3)\cup(5;+\infty)$$
$$\frac{1}{\log_{0,2}(x-2)}\geq\frac{1}{\log_{0,2}\frac{x-3}{x-5}}\Leftrightarrow $$$$\frac{\log_{0,2}\frac{x-3}{x-5}-\log_{0,2}(x-2)}{\log_{0,2}(x-2)\cdot\log_{0,2}\frac{x-3}{x-5}}\geq0\Leftrightarrow $$$$\frac{\log_{0,2}\frac{x-3}{(x-5)(x-2)}}{\log_{0,2}(x-2)\log_{0,2}\frac{x-3}{x-5}}\geq0\Leftrightarrow $$$$\frac{(0,2-1)(\frac{x-3}{(x-5)(x-2)}-1)}{(0,2-1)(x-2-1)(0,2-1)(\frac{x-3}{x-5}-1)}\geq0\Leftrightarrow $$$$\frac{\frac{x-3-(x-5)(x-2)}{(x-5)(x-2)}}{(x-3)\cdot\frac{x-3-x+5}{x-5}}\leq0\Leftrightarrow $$$$\frac{\frac{x-3-x^{2}+2x+5x-10}{x-2}}{x-3}\leq0\Leftrightarrow $$$$\frac{-x^{2}+8x-13}{(x-2)(x-3)}\leq0\Leftrightarrow $$$$\frac{x^{2}-8x+13}{(x-2)(x-3)}\geq 0$$
$$x^{2}-8x+13=0$$
$$D=64-52=12\Leftrightarrow $$$$x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{12}}{2}=4\pm\sqrt{3}$$
Начертим координатную прямую, отметим полученные точки, расставим знаки и сравним результаты с ОДЗ:
 

Задание 5142

Решите неравенство $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq\log_{x^{2}-3}7+\log_{x^{2}-3}x$$

Ответ: $$x\in(\sqrt{3};2)\cup(2;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Область допустимых значений неравенства задается системой:

$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x^{2}-3>0\\x^{2}-3\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\\left[\begin{matrix}x>\sqrt{3}\\x<-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\x\neq \pm 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (\sqrt{3}2)\cup (2+\infty )$$

     Решение: $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq \log_{x^{2}-3}7+\log_{x^{2}-3}x\Leftrightarrow$$ $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq \log_{x^{3}-3}(7x)\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}-3>1\\x^{2}+6\geq 7x\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0<x^{2}-3<1\\x^{2}+6\leq 7x\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}-4>0\\x^{2}-7x+6\geq 0(1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x^{2}-3>0\\x^{2}-4<0\\x^{2}-7x+6\leq 0(2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     Решим каждую из систем (1) ,(2) в отдельности:

(1): $$\left\{\begin{matrix}(x-2)(x+2)>0\\(x-1)(x-6)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x>2\\x<-2\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x\geq 6\\x\leq 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x<-2\\x\geq 6\end{matrix}\right.$$

(2): $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x>\sqrt{3}\\x<-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\-2<x<2\\1\leq x\leq 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{3}<x<2$$

     В итоге решением будет ялвяться: $$\left[\begin{matrix}x<-2\\x\geq 6\\\sqrt{3}<x<2\end{matrix}\right.$$

     С учетом области допустимых значений неравенства окончательно получим : $$x \in (\sqrt{3}; 2)\cup [6;+\infty )$$

 

Задание 5195

Решите неравенство $$\log_{64x}4\cdot\log^{2}_{0,5}(8x)\leq3$$

Ответ: $$x\in (0 ;\frac{1}{64})\cup [\frac{1}{16\sqrt{2}};1]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\log_{64x}4*\log_{0,5}^{2}(8x)\leq 3$$

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}64x>0\\64x\neq 1\\8x>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x \neq \frac{1}{64}\\\end{matrix}\right.$$$$x\in (10 \frac{1}{64})\cup (\frac{1}{64}+\infty)$$

$$\frac{1}{\log_{4}64} +\log_{2}^{2}(8x)\leq 3\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{\log_{4}64+\log_{4}x}*(\log_{2}8+\log_{2}x)^{2}\leq 3\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{3+\frac{1}{2}\log_{2}x}*(3+\log_{2}x)^{2}\leq 3$$

Замена $$\log_{2}x=y$$

$$\frac{1}{3+0,5 y}(3+y)^{2}-3\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{9+6y+y^{2}-9-1,5y}{3+0,5 y}\leq 0\Leftrightarrow \frac{y^{2}+4,5 y}{0,5y+3}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{y(y+4,5)}{0,5y+3}\leq 0\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}y<-6\\\left\{\begin{matrix}y\geq -4,5\\y\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}\log_{2}x<-6\\\left\{\begin{matrix}\log_{2}x\geq -4,5\\log_{2}x\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x<\frac{1}{64}\\\left\{\begin{matrix}x\geq \frac{1}{\sqrt{512}}\\x\leq 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

С учетом ОДЗ:

$$x\in (0 ;\frac{1}{64})\cup [\frac{1}{16\sqrt{2}};1]$$

 

Задание 5242

Решите неравенство $$\log_{x^{2}}(3-x)\leq\log_{x+2}(3-x)$$

Ответ: $$x \in (-1;0)\cup (0;1)\cup 2$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\log _{x^{2}}(3-x)\leq \log_{x+2}(3-x)$$

Найдем область определения функции:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}>0 \\x^{2}\neq1 \\3-x>0\\x+2>0\\x+2 \neq1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x\neq 0 \\x \neq \pm 1 \\x<3 \\x>-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$x \in (-2-;1)\cup (-1;0)\cup (0;1)\cup (1;3)$$

$$\frac{1}{\log _{3-x}x^{2}}-\frac{1}{\log_{3-x}(x+2)}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{3-x}(x+2)-\log_{3-x}x^{2}}{\log_{3-x}x^{2}*\log_{3-x}(x+2)}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{3-x}\frac{x+2}{x^{2}}}{\log_{3-x}x^{2}*\log_{3-x}(x+2)}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{x^{2}} \frac{x+2}{x^{2}}}{\log_{3-x}(x+2)}\leq 0$$

Воспользуемся методом рационализации:

$$(\frac{x+2}{x^{2}}-1)(x^{2}-1)(3-x-1)(x+2-1)\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x+2-x^{2}-1}{x^{2}}*(x-1)(x+1)(2-x)(x+1)\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{-(x+1)(x-2)}{x^{2}}*(x-1)(x+1)^{2}(2-x)\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{(x+1)^{3}(x-2)^{2}(x-1)}{x^{2}}\leq 0$$

С учетом области определения: $$x \in (-1;0)\cup (0;1)\cup 2$$

 

Задание 5338

Решите неравенство $$(\log_{x} 2 -1)\log_{2} 2x \leq \frac{3}{2}$$

Ответ: $$x \in \left [\frac{1}{4};1 \right )\cup \left [ \sqrt{2};+\infty \right )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x> 0\\ x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ x \in (0;1)\cup (1;+\infty )$$

Выполним преобразования, используя формулы: $$\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} ; log_{c} ab = \log_{c}a + \log_{c} b$$ $$(\frac{1}{\log_{2}x}-1)(\log_{2}2+\log_{2}x)\leq \frac{3}{2}$$

Введем замену $$\log_{2}x=y$$

$$(\frac{1}{y}-1)(1+y)\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow$$$$ \frac{2(1-y)(y+1)-3y}{2y}\leq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{-2y^{2}-3y+2}{2y}\leq 0 |\cdot (-1) \Leftrightarrow$$$$ \frac{2y^{2}+3y-2}{y}\geq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{2(y-0,5)(y+2)}{y}\geq 0\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y\geq -2\\ y< 0\end{matrix}\right.\\ y\geq 0,5\end{matrix}\right.$$

Найдем промежутки, на которых будут положительные значения:

Выполним обратную замену:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\log_{2}x\geq -2\\ \log_{2}x< 0\end{matrix}\right.\\ \log_{2}x\geq 0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq \frac{1}{4}\\x< 1\end{matrix}\right.\\x\geq \sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$

С учетом ОДЗ получим: $$x \in \left [\frac{1}{4};1 \right )\cup \left [ \sqrt{2};+\infty \right )$$

 

Задание 6136

Решите неравенство $$\log_{\frac{1}{3}} \frac{x-4}{x+4}-\log_{\frac{x+4}{x-4}} 3> 0$$

Ответ: $$(-\infty ; -8)\cup (4;8)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$log_{\frac{1}{3}}\frac{x-4}{x+4}-log_{\frac{x+4}{x-4}}3> 0$$

ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}\frac{x-4}{x+4} > 0& & \\\frac{x-4}{x+4}\neq 1 & &\end{matrix}\right.x\in (-\infty ;-4)\cup (4; +\infty )$$

$$log_{3}\frac{x+4}{x-4}-\frac{1}{log_{3}\frac{x+4}{x-4}}> 0$$

Введем замену:

$$log_{3}\frac{x+4}{x-4}=a$$

Получим:

$$a-\frac{1}{a}> 0\Rightarrow \frac{a^{2}-1}{a}> 0$$

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>-1\\ a<0\end{matrix}\right.\\ a>1\end{matrix}\right.$$

Тогда:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\log_{3} \frac{x+4}{x-4}>-1\\ log_{3}\frac{x+4}{x-4}<0\end{matrix}\right.\\ log_{3}\frac{x+4}{x-4}>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\frac{x+4}{x-4}>\frac{1}{3}\\ \frac{x+4}{x-4}<1\end{matrix}\right.\\ \frac{x+4}{x-4}>3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\frac{2x+16}{x-4}>0\\ \frac{8}{x-4}<0\end{matrix}\right.\\ \frac{-2x+16}{x-4}>0\end{matrix}\right.$$

Отметим решение внутренней системы (первые два неравенства):

Отметим решение третьего неравенства:

Отметим решение всей совокупности:

С учетом ОДЗ видим, что конечное решение будет: $$(-\infty ; -8)\cup (4;8)$$

 

Задание 6327

Решите неравенство: $$\log_{8} (\frac{1}{3}-x) \log_{|2x+\frac{1}{3}|} (\frac{1}{3}-x) > \log_{2} \frac{\frac{1}{3}-x}{\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^{2}}}$$

Ответ: $$(-\infty;-\frac{2}{3})\cup(0;\frac{1}{12})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\log_{8}(\frac{1}{3}-x)\log_{12x+\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)>\log_{2}\frac{(\frac{1}{3}-x)}{\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^{2}}}$$

     С учетом того, что $$\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^{2}} \geq 0$$ получаем следующую область определения $$D(x)$$:

$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{3}-x>0\\ |2x+\frac{1}{3}|>0\\ |2x+\frac{1}{3}|\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x<\frac{1}{3}\\ 2x+\frac{1}{3}\neq 0\\ 2x+\frac{1}{3}\neq 1\\ 2x+\frac{1}{3}\neq -1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x<\frac{1}{3}\\ x\neq -\frac{1}{6}\\ x\neq -\frac{1}{3}\\ x\neq -\frac{2}{3}\end{matrix}\right.$$

     Преобразуем правую часть неравенства: $$\log_{2}\frac{(\frac{1}{3}-x)}{\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^{2}}}=$$$$\log_{2}(\frac{1}{3}-x)-\log_{2}\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^{2}}=$$$$\log_{2}(\frac{1}{3}-x)-\frac{2}{3}\log_{2}|2x+\frac{1}{3}|$$

     Пусть $$a=\frac{1}{3}-x$$ и $$b=|2x+\frac{1}{3}|$$, тогда:

$$\frac{1}{3}\log_{2}a\log_{b}a-\log_{2}a+\frac{2}{3}\log_{2}b>0\Leftrightarrow$$$$\log_{2}a\log _{b}a(1-\frac{3}{\log_{b}a}+\frac{2 \log_{2}b}{\log_{2}a \log_{b}a})>0\Leftrightarrow$$$$\log_{2}a \log_{b}a(\frac{\log_{b}^{2}a-3\log_{b}a+2}{\log_{b}^{2}a})>0\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{2}a}{\log_{b}a}(\log_{b}^{2}a-3\log_{b}a+2)>0\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{a}b}{\log_{a}2}(\log_{b}a-2)(\log_{b}a-1)>0\Leftrightarrow$$$$\log_{2}b(\log_{b}a-\log_{b}b^{2})(\log_{b}a-\log_{b}b)>0\Leftrightarrow$$

     Воспользуемся методами рационализации для логарифмов:

$$(b-1)(a-b^{2})(b-1)(a-b)(b-1)>0\Leftrightarrow$$$$(b-1)(a-b^{2})(a-b)>0$$

     Вернемся обратно к заменам:

$$(\left | 2x+\frac{1}{3} \right |-1)(\frac{1}{3}-x-(2x+\frac{1}{3})^{2})(\frac{1}{3}-x-\left | 2x+\frac{1}{3} \right |)\Leftrightarrow$$$$(\left | 2x+\frac{1}{3} \right |-1)(36x^{2}+21x-2)(\left | 2x+\frac{1}{3} \right |-\left | \frac{1}{3}-x \right |)>0$$

     С учетом D(f): $$\frac{1}{3}-x>0$$, при всех Х. Тогда $$\frac{1}{3}-x$$ мы можем представить, как $$|\frac{1}{3}-x|$$, а так же $$1=|1|$$ и воспользоваться методами рационализации для модулей:

$$(2x+\frac{1}{3}-1)(2x+\frac{1}{3}+1)(x-\frac{1}{12})(x+\frac{2}{3})(2x+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+x)(2x+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-x)>0\Leftrightarrow$$$$(2x-\frac{2}{3})(2x+\frac{4}{3})(x-\frac{1}{2})(x+\frac{2}{3})(3x)(x+\frac{2}{3})>0\Leftrightarrow$$$$(x+\frac{2}{3})(x-\frac{1}{3})(x-\frac{1}{12})x>0$$

     Получаем, что (промежутки выделены синим цветом): $$\left[\begin{matrix}x< -\frac{2}{3}\\ \left\{\begin{matrix}x> 0\\ x<\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\\ x> \frac{1}{3}\end{matrix}\right.$$

     С учетом $$D(x)$$: $$\left[\begin{matrix}x< -\frac{2}{3}\\\left\{\begin{matrix}x>0\\x<\frac{1}{12} \end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

 

Задание 6374

Решите неравенство: $$\log_{x}\frac{x+1}{12x}> 2\log_{\frac{x+1}{12x}} x$$

Ответ: $$(\frac{1}{3};1)\cup (3 ;11)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Область определения D(x):

$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\\frac{x+1}{12x}>0\\\frac{x+1}{12}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\x+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\x>-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x\in (0;1)\cup (1;+\infty )$$

     Разложим данные логарифмы:

$$\log_{x}(x+1)-(\log_{x}12+\log_{x}x)-\frac{2}{\log_{x}\frac{x+1}{12}}>0$$

$$\log_{x}(x+1)-\log_{x}12-1-\frac{2}{\log_{x}}\frac{x+1}{12}>0$$

$$\log_{x}\frac{x+1}{12}-\frac{2}{\log\frac{x+1}{12}}-1>0$$

$$\frac{\log_{x}^{2}\frac{+1}{12}-\log_{x}\frac{x+1}{12}-2}{\log_{x}\frac{x+1}{12}}>0$$

$$\frac{(\log_{x}\frac{+1}{12}-2)(\log_{x}\frac{x+1}{12}-1)}{\log_{x}\frac{x+1}{12}}>0$$

     Воспользуемся методом рационализации:

$$\frac{(x-1)(x+1-12x^{2})(x^{2}+x-12)}{(x+1-12)}>0$$

$$\frac{(x-1)(x-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{4})(x-2)(x+4)}{x-11}<0$$

     С учетом области определения:

$$x \in (\frac{1}{3};1)\cup (3 ;11)$$

 

Задание 6469

Решите неравенство $$(\log_{2} x)\sqrt{\log_{x} (\frac{\sqrt{x}}{2}}) \leq 1$$

Ответ: $$x \in (0;1)\cup [4;2^{1+\sqrt{3}}]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x>0\\\frac{\sqrt{x}}{2}>0\\x\neq 1\\\log_{x}\frac{\sqrt{x}}{2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\(x-1)(\frac{\sqrt{x}}{2}-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\x \in (-\infty;1]\cup [4; +\infty )\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (0;1)\cup [4; +\infty )$$

     Решение: $$\log_{2}x\sqrt{\log_{x}\sqrt{x}-\log_{x}2}\leq 1\Leftrightarrow$$$$\log_{2}x\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{\log_{2}x}}\leq 1$$

     1) При $$x\in (0;1)$$: $$\log_{2}x<0\Rightarrow \log_{2}x\sqrt{\log_{x}\frac{\sqrt{x}}{2}}\leq 1$$ при всех x

     2) При $$x [4; +\infty )$$: $$\log_{2}x \geq 2$$. Замена $$\log_{2}x=y\geq 2$$. Получим: $$y\sqrt{\frac{y-2}{2y}}\leq 1$$. С учетом того, что $$y\geq 2$$ поделим обе части на $$y$$: $$\sqrt{\frac{y-2}{2y}}\leq \frac{1}{y}$$

     При $$y\geq 2$$, $$\frac{y-2}{2y}\geq 0$$ и $$\frac{1}{y}>0$$ при всех y,тогда: $$\frac{y-2}{2y}\leq \frac{1}{y^{2}}\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-2y-2}{2y^{2}}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$y^{2}-2y-2\leq 0\Leftrightarrow$$ $$y\in [1-\sqrt{3};1+\sqrt{3}]$$. С учетом $$y\geq 2$$: $$y\in [2;1+\sqrt{3}]$$

      Обратная замена: $$\left\{\begin{matrix}y\geq 2\\y\leq 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{2}x\geq 2\\\log_{2}x\leq 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq 4\\x\leq 2^{1+\sqrt{3}}\end{matrix}\right.$$

     Итого, объеденив решения (1) и (2): $$x \in (0;1)\cup [4;2^{1+\sqrt{3}}]$$

 

Задание 6476

Решите неравенство: $$\log_{10} |2x+3|^{3}+2\log_{(2x+3)^{3}} 10<3$$

Ответ: $$(-\frac{3}{2};-1) \cup(\frac{\sqrt[3]{10}-3}{2};\frac{\sqrt[3]{100}-3}{2})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Обозначим $$y=(2x+3)^{3}>0$$. Тогда исходное неравенство примет вид: $$\lg y +\frac{2}{\lg y}<3$$

     Снова заменим переменную: $$\lg y=t$$. Тогда $$y+\frac{2}{5}-3<0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(t-1)(y-2)}{t}<0$$

     Отберем решения последнего неравенства с помощью метода интервалов. Получаем: $$\left\{\begin{matrix}t<0\\1<t<2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}lg y<0\\1<lg y <2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}0<y<1\\10<y<100\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}0<(2x+3)^{3}<1\\10<(2x+3)^{3}<100\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}0<2x+3<1\\\sqrt[3]{10}<2x+3<\sqrt[3]{100}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{3}{2}<x<-1\\\frac{\sqrt[3]{10}-3}{2}<x<\frac{\sqrt[3]{100}-3}{2}\end{matrix}\right.$$

 

Задание 6617

Решите неравенство $$2+\log_{\sqrt{x^{2}-2x-3}}\frac{x+4}{x+1}\geq \log_{\sqrt{x^{2}-2x-3}}(x^{2}-2x-2)^{2}$$

Ответ: $$(3; 1+\sqrt{5})\cup [\frac{10}{3};+\infty ]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x+4}{x+1}>0\\x^{2}-2x-3>0\\x^{2}-2x-3\neq 1\\x^{2}-2x-2\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in(-\infty ;-4)\cup (-1;+\infty )\\x \in (-\infty ; -1)\cup (3;+\infty )\\x \neq 1\pm \sqrt{3}\\x \neq 1\pm \sqrt{5}\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow x \in (-\infty ;-4)\cup (3;1+\sqrt{5})\cup(1+\sqrt{5};+\infty )$$

     При данном ОДЗ: $$2+2\log_{x^{2}-2x-3}\frac{x+4}{x+1}\geq \log_{x^{2}-2x-3}(x^{2}-2x-2)$$

$$\log_{x^{2}-2x-3} (x^{2}-2x-3)*(\frac{x+4}{x+1})\geq \log_{x^{2}-2x-3}(x-2x-2)$$

$$(x^{2}-2x-3-1)((x^{2}-2x-3)*\frac{x+4}{x+1}-(x^{2}-2x-2))\geq 0$$

$$(x^{2}-2x-4)(\frac{(x+1)(x-3)(x+4)}{x+1}-x^{2}+2x+2)\geq 0$$

$$(x^{2}-2x-4)(x^{2}+x-12-x^{2}+2x+2)\geq 0$$

$$(x^{2}-2x-4)(x-\frac{10}{3})\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x \in [1-\sqrt{5}; 1+\sqrt{5}]\cup [\frac{10}{3};+\infty ]$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in (3; 1+\sqrt{5})\cup [\frac{10}{3};+\infty ]$$

 

Задание 6665

Решите неравенство $$2\log_{x+1} (1-2x)+\log_{1-4x+4x^{2}} (x+3) +\log_{\frac{1}{x+1}} (x^{2}+7x+12) \leq 0$$

Ответ: $$(0; \frac{1}{2})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+1>0\\x+1\neq 1\\1-2x>0\\x+3>0\\x^{2}+7x+12>0\\1-4x+4x^{2}\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>-1\\x\neq 0\\x<\frac{1}{2}\\x>-3\\x\in (-\infty ,-4)\cup (-3,+\infty )\\x\neq 0, x\neq 1\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow x \in (-1,0)\cup (0, \frac{1}{2})$$

     На данном ОДЗ: $$2\log_{x+1} (1-2x)=$$$$\log_{(x+1)^{2}} (1-2x)=$$$$\frac{1}{\log_{(1-2x)^{2}}(x+1)}$$ и $$\log_{\frac{1}{x+1}} (x^{2}+7x+12)=-\log_{x+1} (x^{2}+7x+12)$$

     $$\frac{1}{\log_{(1-2x)^{2}}(x+1)}*\log_{(1-2x)^{2}}(x+3)-\log_{x+1}(x+3)(x+4)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\log_{x+1}(x+3)\leq \log_{x+1}(x+3)(x+4)\Leftrightarrow$$ $$(x+1-1)((x+3)-(x+3)(x+4))\leq 0\Leftrightarrow$$

     $$x(x+3)(1-x-4)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x(x+3)^{2}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\geq 0\\x=-3\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОДЗ : $$(0; \frac{1}{2})$$

 

Задание 6826

Решите неравенство $$\log_{2} (5-x)*\log_{x+1} 8 \geq -6$$

Ответ: $$(-1;0)\cup [1;5)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

          ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}5-x>0\\x+1>0\\x+1\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<5\\x>-1\\x\neq 0\end{matrix}\right.$$

          Решение:

$$\log_{2}(5-x)*(-3)*\log_{x+1}2\geq -6\Leftrightarrow$$ $$\log_{2}(5-x)*\frac{1}{\log_{2}(x+1)}\leq 2\Leftrightarrow$$ $$\log_{(x+1)}(5-x)\leq 2\Leftrightarrow$$ $$\log_{(x+1)}(5-x)\leq \log_{(x+1)}(x+1)^{2}\Leftrightarrow$$ $$(5-x-(x+1))((x+1)-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(-x^{2}-3x+4)*x\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x(x+4)(x-1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq -4\\x\leq 0 \end{matrix}\right.\\ x\geq 1\end{matrix}\right..$$

          С учетом ОДЗ: $$x \in (-1;0)\cup [1;5)$$

 

Задание 6877

Решите неравенство $$\log_{x} (x+\frac{1}{3}) \leq \log_{\sqrt{2x+3}} (x+\frac{1}{3})$$

Ответ: $$[\frac{2}{3};1)\cup [3; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\log_{x} (x+\frac{1}{3})\leq \log_{\sqrt{2x+3}}(x+\frac{1}{3})$$

        ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+\frac{1}{3}>0\\x>0\\2x+3>0\\x\neq 1\\2x+3\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>-\frac{1}{3}\\x>0\\x>-1,5\\x\neq 1\\x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (0;1)\cup (1; +\infty )$$

Решение : воспользуемся формулой : $$\log_{g}f=\frac{1}{\log_{f}g}$$

$$\frac{1}{\log_{(x+\frac{1}{3})}x}\leq \frac{1}{\log_{(x+\frac{1}{3})\sqrt{2x+3}}}$$$$\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{(x+\frac{1}{3})}\sqrt{2x+3}-\log_{(x+\frac{1}{3})}x}{\log_{(x+\frac{1}{3})}x*\log_{(x+\frac{1}{3})}\sqrt{2x+3}}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{(x+\frac{1}{3})}\frac{\sqrt{2x+3}}{x}}{\log_{(x+\frac{1}{3})}x*\log_{(x+\frac{1}{3})}\sqrt{2x+3}}\leq 0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\log_{x} \frac{\sqrt{2x+3}}{x}*\log_{\sqrt{2x+3}}(x+\frac{1}{3})\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$(\frac{\sqrt{2x+3}}{x}-1)(x-1)(x+\frac{1}{3}-1)(\sqrt{2x+3}-1)\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt{2x+3}-x}{x}(x-1)(x-\frac{2}{3})(2x+3-1)\leq 0$$

        Рассмотрим $$\sqrt{2x+3}-x$$. С учетом ОДЗ: $$\sqrt{2x+3}-x$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x+3-x^{2}$$$$\Leftrightarrow$$ $$-(x-3)(x+1)$$. Получим : $$\frac{-(x-3)(x+1)(x-1)(x-\frac{2}{3})(2x+2)}{x}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+1)^{2}(x-1)(x-\frac{2}{3})(x-3)}{x}\geq 0$$

        С учетом ОДЗ : $$(x+1)^{2}$$ можно убрать (поделить на него): $$\frac{(x-1)(x-\frac{2}{3})(x-3)}{x}\geq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\geq 3\\\left\{\begin{matrix}x\geq \frac{2}{3}\\x<1\end{matrix}\right.\\x<0\end{matrix}\right.$$

        Но т.к. $$x>0$$ , то $$x \in [\frac{2}{3};1)\cup [3; +\infty )$$

 

Задание 6925

Решите неравенство $$\log_{2}(x+1)>\log_{x+1}16$$

Ответ: $$(-\frac{3}{4};0)\cup (3;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

      ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+1>0\\x+1\neq 1\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>-1\\x\neq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$x \in (-1;0)\cup (0; +\infty )$$

      Решение: $$\log_{2}(x+1)>4\log_{(x+1)}2$$$$\Leftrightarrow$$ $$\log_{2}(x+1)>\frac{4}{\log_{2}(x+1)}$$

      Пусть $$\log_{2}(x+1)=y$$: $$y>\frac{4}{y}\Leftrightarrow$$ $$y-\frac{4}{y}>0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-4}{y}>0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y-2)(y+2)}{y}>0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y>2\\\left\{\begin{matrix}y>-2\\y<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\log_{2}(x+1)>2\\\left\{\begin{matrix}\log_{2}(x+1)>-2\\\log_{2}(x+1)<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x+1>4\\\left\{\begin{matrix}x+1>\frac{1}{4}\\x+1<1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x>3\\\left\{\begin{matrix}x>-\frac{3}{4}\\x<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

      С учетом ОДЗ: $$x \in (-\frac{3}{4};0)\cup (3;+\infty )$$

 

Задание 6973

Решите неравенство: $$(\log_{x+2} 4)(\log_{4}(x^{2}+x-2))\leq 1$$

Ответ: $$\in (1; 2]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+2>0\\x+2\neq 1\\x^{2}+x-2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+2>0\\x+2\neq 1\\(x+2)(x-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x>-2\\x\neq -1\\x>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x>1$$

     Решение: $$(\log_{x+2}4)(\log_{4}(x+2)(x-1))\leq 1\Leftrightarrow$$ $$(\log_{x+2}4)(\log_{4}(x+2)+\log_{4}(x-1))\leq 1\Leftrightarrow$$ $$\frac{\log_{4}(x+2)}{\log_{4}(x+2)}+\frac{\log_{4}(x-1)}{\log_{4}(x+2)}\leq 1\Leftrightarrow$$ $$1+\log_{(x+2)}(x-1)\leq 1\Leftrightarrow$$ $$\log_{(x+2)}(x-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(x-1-1)(x+2-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(x-2)(x+1)\leq 0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x\geq -1\\x\leq 2\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОДЗ: x $$\in (1; 2]$$

 

Задание 7020

Решите неравенство $$\log_{\frac{x-1}{2x-8}} (\frac{x+7}{6})\leq 1$$

Ответ: $$[-5; 1)\cup (4 ;5]\cup (7; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x-1}{2x-8}>0\\\frac{x-1}{2x-8}\neq 1\\\frac{x+7}{6}>0\\2x-8\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x-1}{x-4}>0\\x-1\neq 2x-8\\x+7>0\\2x\neq 8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>4\\x<1\\x\neq 7\\x>-7\\x\neq 4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (-7 ;1)\cup (4 ;7)\cup (7;+\infty )$$

     Решение: $$\log_{\frac{x-1}{2x-8}}\frac{x+7}{6}\leq \log_{\frac{x-1}{2x-8}}(\frac{x-1}{2x-8})\Leftrightarrow$$ $$(\frac{x+7}{6}-\frac{x-1}{2x-8})(\frac{x-1}{2x-8}-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{2x^{2}-50}{6(2x-8)}*\frac{-x+7}{2x-8}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-5)(x+5)(x-7)}{(2x-8)}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-5)(x+5)(x-7)\geq 0\\2x-8\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq -5\\x\leq 5\end{matrix}\right.\\x\geq 7\end{matrix}\right.\\x\neq 4\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in [-5; 1)\cup (4 ;5]\cup (7; +\infty )$$

 

Задание 7040

Решите неравенство $$\log_{(x+1)^{2}}8+3\log_{4}(x+1)\geq \frac{37}{4}$$

Ответ: $$(0; \sqrt[6]{2}-1]\cup [63; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}(x+1)^{2}>0\\(x+1)^{2}\neq 1\\x+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+1\neq 0\\x+1\neq 1\\x\neq 1=-1\\x>-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq -1\\x\neq 0\\x\neq -2\\x>-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$x \in (-1; 0)\cup (0; +\infty )$$

     Решение: $$\log_{(x+1)^{2}}2^{3}+3\log_{2^{2}}(x+1)\geq \frac{37}{4}\Leftrightarrow$$$$\frac{3}{2}\log_{\left | x+1 \right |}2+\frac{3}{2}\log_{2}(x+1)\geq \frac{37}{4}$$

     С учетом, что $$x+1>0$$: $$\left | x+1 \right |=x+1$$: $$\frac{1}{\log_{2}(x+1)}+\log_{2}(x+1)\geq \frac{37}{6}$$

     Пусть $$\log_{2}(x+1)=y$$: $$\frac{1}{y}+y-\frac{37}{6}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{6y^{2}-37y+6}{y}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{6(y-6)(y-\frac{1}{6})}{y}\geq 0$$

     $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y>0\\x\leq \frac{1}{6}\end{matrix}\right.\\y\geq 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\log_{2}(x+1)>0\\\log_{2}(x+1)\leq \frac{1}{6}\end{matrix}\right.\\\log_{2}(x+1)\geq 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x+1>1\\x+1\leq \sqrt[6]{2}\end{matrix}\right.\\x+1\geq 64\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x>0\\x\leq \sqrt[6]{2}-1\end{matrix}\right.\\x\geq 63\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in (0; \sqrt[6]{2}-1]\cup [63; +\infty )$$

 

Задание 7181

Решите неравенство $$(\log_{3+x} (1-2x))(\log_{1-2x} x^{2})\leq (\log_{3+x} (1-3x))(\log_{1-3x} (2-x))$$

Ответ: $$(-3; -2) \cup (-2; 0)\cup (0; \frac{1}{3})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(\log_{3+x}(1-2x))(\log_{1-2x}x^{2})\leq (\log_{3+x}(1-3x))(\log_{1-3x}(2-x))$$

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}1-2x>0\\3+x>0\\3+x\neq 1\\1-2x\neq 1\\x^{2}>0\\1-3x>0\\2-x>0\\1-3x\neq 1\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<0,5\\x>-3\\x\neq -2\\x\neq 0\\x<\frac{1}{3}\\x<2\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$x \in (-3; -2)\cup (-2; 0)\cup (0; \frac{1}{3})$$

     Решение: $$\frac{1}{\log_{1-2x}(3+x)}*\log_{1-2x}x^{2}\leq \frac{1}{\log_{1-3x}(3+x)}*\log_{1-3x}(2-x)\Leftrightarrow$$ $$\log_{3+x}x^{2}\leq \log_{3+x}(2-x)\Leftrightarrow$$ $$(3+x-1)(x^{2}-2+x)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(x+2)(x+2)(x-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x+2=0\\x\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=-2\\x\leq 1\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in (-3; -2) \cup (-2; 0)\cup (0; \frac{1}{3})$$

 

Задание 7222

Решите неравенство $$\frac{1}{2}\log_{x-1}(x^{2}-8x+16)+\log_{4-x} (-x^{2}+5x-4)>3$$

Ответ: $$(2 ;2,5)\cup (2,5; 3)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-8x+16>0\\x-1>0\\x-1\neq 1\\-x^{2}+5x-4>0\\4-x>0\\4-x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-4)^{2}>0\\x>1\\x\neq 2\\x>1\\x<4\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (1;2)\cup (2;3) \cup (3;4)$$

     Решение: $$\frac{1}{2} \log_{x-1}(x-4)^{2}+\log_{(4-x)}(-(x-1)(x-4))>3$$ $$\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{2} *2 \log_{x-1}\left | x-4 \right |+\log_{4-x}(4-x)+\log_{4-x}(x-1)>3$$$$\Leftrightarrow$$ С учетом , что $$x<4$$ : $$\left | x-4 \right |=4-x$$ . Тогда: $$\log_{x-1}(4-x) +1+\log_{4-x} (x-1)-3>0\Leftrightarrow$$ $$\log_{x-1}(4-x)+\frac{1}{\log_{x-1}(4-x)}-2>0$$

     Пусть $$\log_{x-1}(4-x)=y$$, тогда : $$y+\frac{1}{y}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-2y+1}{y}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y-1)^{2}}{y}>0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y>0\\y-1\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{x-1}(4-x)>0\\\log_{x-1}(4-x) \neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>2\\x<3\\x\neq 2,5\end{matrix}\right.$$

   С учетом ОДЗ: $$x \in (2 ;2,5)\cup (2,5; 3)$$

 

Задание 7324

Решите неравенство $$\log_{5-4x-x^{2}}(5-9x-2x^{2})\leq \log_{1-x}(1-2x)$$

Ответ: $$(-5; -2-2\sqrt{2})\cup [-4 ;\frac{1}{2})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}5-9x-2x^{2}>0\\1-2x>0\\5-4x-x^{2}>0\\5-4x-x^{2}\neq 1\\1-x >0\\1-x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>-5\\x<\frac{1}{2}\\x>-5\\x<1\\x\neq -2 \pm 2\sqrt{2}\\x<1\\x\neq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$x \in (-5; -2 -2\sqrt{2})\cup (-2-2\sqrt{2}; 0)\cup (0 ;\frac{1}{2})$$

     Учтем, что $$5-9x-2x^{2}=(x+5)(1-2x)$$; $$5-4x-x^{2}=(x+5)(1-x)$$. Пусть $$x+5=a$$ , $$1-2x=b$$, $$1-x=c$$

  $$\log_{ac}ab\leq \log_{c}b\Leftrightarrow$$ $$\frac{\ln ab}{\ln ac}\leq \frac{\ln b}{\ln c}\Leftrightarrow$$ $$\frac{\ln a+\ln b}{\ln a+\ln c}-\frac{\ln b}{\ln c}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{\ln a \ln c+\ln b \ln c-\ln a \ln b -\ln b \ln c}{\ln c (\ln a+\ln c)}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{\ln a(\ln c-\ln b)}{\ln c(\ln a+\ln c)}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\log_{c}a \frac{\ln \frac{c}{b}}{\ln ac}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\log_{c}a \log_{ac}\frac{c}{b}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(a-1)(c-1)(\frac{c}{b}-1)(ac-1)\leq 0$$

     Обратная замена: $$(x+5-1)(1-x-1)(\frac{1-x}{1-2x}-1)((x+5)(1-x)-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(x+4)(-x)(\frac{x}{1-2x})*(-x^{2}-4x+4)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x^{2} \frac{x+4}{1-2x}*(x-(-2+2\sqrt{2}))(x-(-2-2\sqrt{2}))\leq 0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=0\\\frac{(x+4)(x-(-2+2\sqrt{2}))(x-(-2-2\sqrt{2}))}{1-2x}\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$x \in (-\infty; -2-2\sqrt{2}]\cup [-4 ;\frac{1}{2})\cup [-2 +2\sqrt{2} ;+\infty )$$

     С учетом ОДЗ: $$(-5; -2-2\sqrt{2})\cup [-4 ;\frac{1}{2})$$

 

Задание 7442

Решите неравенство $$(x^{2}+3x+2)\log_{x+3} (x+2)\cdot \log_{3} (x-1)^{2}\leq 0$$

Ответ: {-1},[0;1),(1;2]
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7562

Решите неравенство $$\log_{\frac{3x-4}{x+1}}(2x^{2}-3x)\geq \log_{\frac{3x-4}{x+1}}(17x-20-3x^{2})$$

Ответ: {2},(2,5;4)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7783

Решите неравенство $$\log_{\log_{\frac{1}{2}}x}(\log_{\frac{1}{7}}x)>0$$

Ответ: $$(0;\frac{1}{7}),(\frac{1}{2};1)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8344

Решите неравенство $$2\log_{\log_{2}x^{2}}2<1$$

Ответ: $$(-\infty; -4),(-\sqrt{2};1),(1;\sqrt{2}),(4;\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{2}x^{2}>0&\\\log_{2}x^{2}\neq1&\\x^{2}>0&\\\log_{\log_{2}x^{2}}2<\frac{1}{2}&\end{matrix}\right.$$

1) $$\log_{2}x^{2}>0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}>1$$ $$\Rightarrow$$ $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$

2) $$\log_{2}x^{2}\neq1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}\neq1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\neq\pm\sqrt{2}$$

3) $$x^{2}>0$$ $$\Rightarrow$$ $$x\neq0$$

С учетом (1); (2); (3): $$x\in(-\infty;-\sqrt{2})\cup(-\sqrt{2};-1)\cup(1;\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty)$$

4) $$\log_{\log_{2}x^{2}}2-\frac{1}{2}<0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\log_{\log_{2}x^{2}}2-\log_{\log_{2}x^{2}}(\log_{2}x^{2})^{\frac{1}{2}}<0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\log_{\log_{2}x^{2}}\frac{2}{\sqrt{\log_{2}x^{2}}}<0$$

Пусть $$\sqrt{\log_{2}x^{2}}=y\geq0$$ $$\Rightarrow$$ $$(y^{2}-1)(\frac{2}{y}-1)<0$$ $$\Rightarrow$$ $$(y-1)(y+1)(\frac{2-y}{y})<0$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{(y-1)(y+1)(y-2)}{y}\geq0$$

Т.к. $$y\geq0$$, то $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y>0&\\y\leq1&\end{matrix}\right.&\\y\geq2&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\sqrt{\log_{2}x^{2}}>0&\\\sqrt{\log_{2}x^{2}}\leq1&\end{matrix}\right.&\\\sqrt{\log_{2}x^{2}}\geq2&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}>1&\\x^2\leq2&\end{matrix}\right.&\\x^2\geq16&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\in[-\sqrt{2};-1)\cup(1;\sqrt{2}]&\\x\leq-4&\\x\geq4&\end{matrix}\right.$$

Итог: $$x\in(-\infty;-4)\cup(-\sqrt{2};-1)\cup(1;\sqrt{2})\cup[4;+\infty)$$

 

Задание 8682

Решите неравенство: $$\log_{3}(x-1)\cdot \log_{3}(3^{x-1}+3)\cdot \log_{x-1}(3^{x}+1)\geq 6$$
Ответ: $$[log{_{3}}8;2)(2;\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10392

Решите неравенство: $$\log_{\sqrt[3]{9x}}\sqrt{\frac{x^{3}}{3}}+\log_{\sqrt[3]{3x^{2}}}\sqrt{27x}\leq 3$$

Ответ: $$(\frac{1}{9};\frac{\sqrt{3}}{3})\cup[\sqrt[3]{3};3]$$
 

Задание 10637

Решите неравенство: $$\frac{{{{{\rm (log}}_{2x-1} (9x^2-12x+4)\ })}^2-10{{\log }_{2x-1} \left(3x-2\right)\ }+18}{3{{\log }_{2x-1} (6x^2-7x+2)\ }-2}\le 2$$

Ответ: 0,75
 

Задание 11001

Решите неравенство: $${{\log }_{0,25} (1-6x)\ }\cdot {{\log }_{\left(1-x\right)} \left(\frac{1}{2}\right)\ }>1$$

Ответ: $$x\in (-4;0)\cup (0;\frac{1}{6})$$
Скрыть

$${{\log }_{0,25} (1-6x)\ }\cdot {{\log }_{\left(1-x\right)} \left(\frac{1}{2}\right)\ }>1\leftrightarrow {{\log }_{{0,5}^{-2}} \left(1-6x\right)\ }\cdot \frac{1}{{{\log }_{0,5} \left(1-x\right)\ }}>1\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \frac{\frac{1}{2}{{\log }_{0,5} \left(1-6x\right)\ }}{{{\log }_{0,5} \left(1-x\right)\ }}\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} {{\log }_{\left(1-x\right)} \left(1-6x\right)\ }>2 \\ 1-6x>0 \\ 1-x>0 \\ 1-x\ne 1 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \left(1-6x-{\left(1-x\right)}^2\right)\left(1-x-1\right)>0(1) \\ x<\frac{1}{6} \\ x<1 \\ x\ne 0 \end{array} \right.$$ 

$$(1): \left(1-6x-1+2x-x^2\right)\left(-x\right)>0\leftrightarrow \left(-x^2-4x\right)\left(-x\right)>0\leftrightarrow x^2\left(x+4\right)>0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow x>-4.$$ Тогда: $$x\in (-4;0)\cup (0;\frac{1}{6})$$.

 

Задание 11126

Решите неравенство $${{\log }_{\frac{3x-1}{x+2}} (2x^2+x-1)\ }\ge {{\log }_{\frac{3x-1}{x+2}} (11x-6-3x^2)\ }$$

Ответ: $$x\in [1]\cup (1,5;3)$$
Скрыть

1. ОДЗ: $$\left\{ \begin{array}{c} 2x^2+x-1>0 \\ 11x-6-3x^2>0 \\ \frac{3x-1}{x+2}>0 \\ \frac{3x-1}{x+2}\ne 1 \end{array} \right.$$

2. Рассмотрим по отдельности каждое неравенство из ОДЗ:

а) неравенство $$2x^2+x-1>0$$ имеет корни: $$x_1=-1\ ;x_2=\frac{1}{2}\ ;$$

б) неравенство $$11x-6-3x^2$$$$>0$$ имеет корни: $$x_1=\frac{2}{3};x_2=\ 3;$$

в) неравенство $$\frac{3x-1}{x+2}>0$$ имеет корни: $$x_1=\frac{1}{3};x_2=-2;$$

г) неравенство $$\frac{3x-1}{x+2}\ne 1\to 3x-1\ne x+2$$ и $$x\ne 1,5$$

3. Объединяя все четыре решения, получаем: $$x\in (\frac{2}{3};1,5)\cup (1,5;3)$$

4. Возвращаемся к исходному неравенству и воспользуемся методом рационализации: $${{\log }_n f\ }-{{\log }_n g\ }\to \left(n-1\right)\left(f-g\right).$$

Таким образом, на заданном ОДЗ можем записать: $$(\frac{3x-1}{x+2}-1)(2x^2+x-1-11x+6+3x^2)\ge 0.$$ Упрощаем выражение, получаем: $$\left(\frac{2x-3}{x+2}\right)\left(5x^2-10x+5\right)\ge 0\to \left(\frac{2x-3}{x+2}\right){\left(x-1\right)}^2\ge 0.$$

Получаем решения: $$\left\{ \begin{array}{c} x\ne 1,5 \\ x=1 \\ x\ne -2 \end{array} \right.\to x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup [1]\cup (1,5;+\infty )$$.

5. Пересекаем ОДЗ с полученным решением, окончательно получаем: $$x\in [1]\cup (1,5;3)$$

 

Задание 11145

Решите неравенство $$-2{{\log }_{\frac{x}{3}} 27\ }\ge {{\log }_3 27x+1\ }.$$

Ответ: $$(0;\frac{1}{9}]\cup [\frac{1}{3};3)$$
Скрыть

1. Запишем ОДЗ: $$\left\{ \begin{array}{c} x>0 \\ \frac{x}{3}\ne 1 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} x>0 \\ x\ne 3 \end{array} \right.\to x\in \left(0;3\right)\cup \left(3;+\infty \right).$$

2. Упростим неравенство, получим: $$-6{{\log }_{\frac{x}{3}} 3\ }-3-{{\log }_3 x\ }-1\ge 0\to \frac{6}{{{\log }_{\frac{x}{3}} 3\ }}+{{\log }_3 x\ }+4\le 0\to $$ $$\to \frac{6}{{{\log }_3 x\ }-1}+{{\log }_3 x\ }+4\le 0$$.

3. Сделаем замену: $${{\log }_3 x\ }=t$$, получим: $$\frac{6}{t-1}+t+4\le 0\to \frac{t^2+3t+2}{t-1}\le 0.$$

4. Получаем точки, делящие числовую прямую: $$\left\{ \begin{array}{c} t^2+3t+2=0 \\ t-1\ne 0 \end{array} \right.$$$$\to \left\{ \begin{array}{c} t=-1 \\ t=-2 \\ t\ne 1 \end{array} \right..$$

5. Имеем следующие решения неравенства: Для $$t\le -2$$: $${{\log }_3 x\ }\le {{\log }_3 \frac{1}{9}\ }\to 0<x\le \frac{1}{9}\to x\in (0;\frac{1}{9}]\in $$ ОДЗ. 
 Для $$-1\le t<1:$$ $${{\log }_3 \frac{1}{3}\le {{\log }_3 x\ }\ }<{{\log }_3 3\ }\to \frac{1}{3}\le x<3\to x\in [\frac{1}{3};3)\in $$ ОДЗ.

 

Задание 14263

Решите неравенство $$\frac{5-7\log_x 3}{\log_3 x-\log_x 3}\geq 1.$$

Ответ: $$(\frac{1}{3};1)\cup(1;3)\cup [9;27]$$.