ЕГЭ Профиль
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 905
Барсик съедает миску корма за 40 секунд, а Мурка такую же миску корма съедает за 1 минуту. Утром к миске с кормом подошел Барсик и начал есть, а через 10 секунд к этой же миске прибежала Мурка и стала помогать Барсику. Спустя 10 секунд после этого Мурка прогнала Барсика и продолжила доедать корм одна. Определите, за какое время была съедена миска корма? Ответ дайте в секундах.
Пусть скорость поедания Барсиком V1 , а Муркой V2. Учтем, что 40 секунд = 2/3 минуты, а всю миску примем за 1. Тогда V1=1/(2/3)=1,5 миски/минута, а V2=1/1=1 миски/минуты. Барсик ел 10 секунд, то есть 1/6 минуты один, потом столько же с Муркой, следовательно на пару они съели: $$ 1.5*\frac{1}{6}+\left(1.5+1\right)*\frac{1}{6}=\frac{2}{3} $$миски Оставшуюся часть Мурка ела одна и затратила на это $$ \frac{1-\frac{2}{3}}{1}=\frac{1}{3} $$ минуты , то есть 20 секунд Следовательно, общее время: 10 + 10 + 20 = 40 секунд
Задание 1294
Одна бригада может убрать поле за 12 дней, а другая выполняет ту же работу за 75% времени, необходимого первой бригаде. После того как в течение 5 дней работала первая бригада, к ней присоединилась вторая и они вместе закончили работу. Сколько дней бригады работали вместе?
Время работы второй бригады будет равно 12 * 0,75 = 9 дней. Пусть все поле равно 1. Тогда ежедневно первая бригада убирает 1/12 этого поля, а вторая 1/9. Тогда, если они работали вместе x дней: $$5 * \frac{1}{12} + x (\frac{1}{12} + \frac{1}{9} )= 1$$ $$x (\frac{3}{36} + \frac{4}{36}) = \frac{7}{12}$$ $$x * \frac {7}{36} = \frac{7}{12}$$ $$x = 3$$
Задание 2496
Первая труба наполняет резервуар на 27 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 18 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
Пусть у- часть резервуара, которую заполняет первая труба за минуту, х - 2ая труба.1 - объем.
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=27\\\frac{1}{x+y}=18\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{18}{1-18y}=27\\x=\frac{1}{18}-y=\frac{1-18y}{18}\end{matrix}\right.$$
$$\frac{1-18y-18y}{y-18y^{2}}=27$$
$$1-36y=27y-486y^{2}$$
$$486y^{2}-63y+1=0$$
$$D=3969-1944=2025=45^{2}$$
$$y_{1}=\frac{63+45}{486\cdot 2}=\frac{1}{9}$$ $$\Rightarrow$$ $$x_{1}=\frac{1-18\cdot \frac{1}{9}}{18}< 0$$
$$y_{2}=\frac{63-45}{486\cdot 2}=\frac{9}{486}=\frac{1}{54}$$ $$\Rightarrow$$ $$x_{2}=\frac{1-18\cdot \frac{1}{54}}{18}=\frac{\frac{2}{3}}{18}=\frac{1}{27}$$
Задание 2864
На направление «Фундаментальная и прикладная лингвистика» от выпускников лицеев подано на 600 заявлений больше, чем от выпускников гимназий. Девушек среди выпускников лицеев в 5 раз больше, чем девушек среди выпускников гимназий. А юношей среди выпускников лицеев больше, чем юношей среди выпускников гимназий в n раз, причем 6 < n < 12 (n ‐ целое число). Определить общее количество заявлений, если среди выпускников гимназий юношей на 20 больше, чем девушек.
| Всего | Девушки | Юноши | |
| Лицеи: | х+600 | 5у | n(x-y) |
| Гимназии: | x | y | x-y |
$$6< n< 12$$
$$x-y-y=20$$ $$\Rightarrow x-2y=20\Rightarrow x=20+2y$$
$$5y+n(x-y)=x+600$$
$$5y+n(20+2y-y=20+2y+600$$
$$5y+20n+ny-20-2y-600=0$$
$$3y+ny=620-20n$$
$$y=\frac{620-20n}{3+n}$$
n принадлежит промежутку от 6 до 12 и является натуральными числом, при этом у тоже число натуральное. Подставим все числа из промежутка от 6 до 12 (без 6 и 12) в полученное выражение и проверим, где у получается натуральным. А получается при n=7, y=48. Тогда x=20+2*48=116 и всего учеников: x+x+600=116+116+600=832
Задание 3156
Пусть х - количество деталей, которое делает второй за час, тогда х+4 - количество, которое делает первый. Время изготовления заказа вычисляется как отношение объема к производительности, то есть, так как разница в времени равна 8 часам: $$\frac{77}{x}-\frac{33}{x+4}=8$$ $$77(\frac{7x+28}{x(x+4)}-\frac{3x}{x(x+4)})-\frac{8x^{2}+32x}{x(x+4)}=0$$ $$44x+308-8x^{2}-32x=0$$ $$2x^{2}-3x-77=0$$ $$x_{1}=7 , x_{2}$$ - меньше нуля. Поэтому ответ 7 деталей в час
Задание 3422
Двое рабочих получили задание сделать 72 детали. Первый рабочий сделал за 3 часа часть задания, а затем второй рабочий сделал за 4 часа оставшуюся часть задания. Сколько деталей делает за час первый рабочий, если 18 деталей он сделает на полчаса быстрее, чем второй рабочий?
Пусть х -количество дет/час 1ым
у - 2ым
$$\frac{18}{y}-\frac{18}{x}=\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{36}$$
$$\frac{1}{y}=\frac{1}{36}+\frac{1}{x}=\frac{x+36}{36x}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{72-3x}{\frac{36x}{x+36}}=4$$
$$(72-3x)(x+36)=4\cdot36x$$
$$72x+72\cdot36-3x^{2}-108x-144x=0$$
$$-3x^{2}-180x+72\cdot36=0$$
$$x^{2}+60x-864=0$$
$$D=3600+3456=7056=84^{2}$$
$$x_{1}=\frac{-60+84}{2}=12$$
Задание 5101
Двое рабочих выполняют некоторую работу. Если ко времени, за которое выполнит всю работу первый рабочий, прибавить время, за которое выполнит всю работу второй рабочий, получится 12 часов. За сколько часов выполнит работу первый рабочий, если разность времени первого и второго рабочих в полтора раза больше времени, за которую выполнят всю работу оба рабочих, работая совместно?
Пусть x-производительность первого, y-второго , объем работы 1. Тогда :
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=12$$ - к времени первого прибавим время второго,
$$(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})=1,5*\frac{1}{x+y}$$ - разность времени больше в 1,5 раза. Тогда :
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=12\\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{3}{2(x+y)}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{y+x}{xy}=12\\\frac{y-x}{xy}=\frac{3}{2(x+y)}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}xy=\frac{y+x}{12} (1)\\\frac{2(y-x)}{2xy}=\frac{3}{2(x+y)}(2)\end{matrix}\right.$$
Подставим из (1) в (2):
$$\frac{2(y-x)*12}{2(x+y)}=\frac{3}{2(x+y)}\Leftrightarrow$$ $$24(y-x)=3\Leftrightarrow$$ $$y-x=\frac{1}{8}\Leftrightarrow$$ $$y=\frac{8x+1}{8}$$
Подставим в (1) : $$\frac{8x+1}{8}*x=\frac{\frac{8x+1}{8}+x}{12}\Leftrightarrow$$ $$\frac{8x^{2}+x}{8}=\frac{8x+8x+1}{8*12}|*(8*12)\Leftrightarrow$$ $$12(8x^{2}+x)=16x+1\Leftrightarrow$$$$96x^{2}+12x-16x-1=0\Leftrightarrow$$ $$96x^{2}-4x-1=0$$
$$D=16+384=400$$
$$x_{1}=\frac{4+20}{2*96}=\frac{1}{8}\Rightarrow$$ $$t_{x}=1:\frac{1}{8}=8$$
$$x_{2}=\frac{4-20}{2*96}<0$$
Задание 6275
Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 12 рабочих, а во второй – 21 рабочий. Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 12 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.
Пусть x-производительность одного рабочего, 1-объем работы, y- количество дней работы после перехода: $$\left\{\begin{matrix}21x*10+9x*y=1|*8 & & \\12x*10+24xy=1 |*3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1680x+72xy=8\\360x+72xy=3\end{matrix}\right.$$ Вычтем из первого уравнения второе $$1320x=5$$ $$x=\frac{5}{1320}=\frac{1}{164}$$ $$120*\frac{1}{264}+\frac{24}{264}y=1$$ $$\frac{y}{11}=\frac{144}{264}=\frac{6}{11}$$ $$y=6$$ Общее количество дней 10+6=16
Задание 6519
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Пусть x- кол-во вопросов в тесте. Тогда : время Пети : $$t_{2}=\frac{x}{8}$$; Вани : $$t_{2}=\frac{x}{9}$$. При этом $$t_{1}-t_{2}=20$$ минут $$=\frac{1}{3}$$ часа.
$$\frac{x}{8}-\frac{x}{9}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x-8x}{8*9}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$\frac{x}{8*9}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{8*9}{3}=24$$ вопроса
Задание 6755
Игорь и Паша могут покрасить забор за 9 часов. Паша и Володя могут покрасить этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?
Пусть x - производительность Игоря, y - Паши, z - Володи(в частях забора в час) . Весь забор примем за 1.
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=9\\\frac{1}{y+z}=12\\\frac{1}{x+z}=18\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y=\frac{1}{9}\\y+z=\frac{1}{12}\\x+z=\frac{1}{18}\end{matrix}\right.$$
Сложим уравнения:
$$2(x+y+z)=\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow$$ $$x+y+z=\frac{1}{8}\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{x+y+z}=8$$ часов
Задание 7360
Бригада, состоящая из двух рабочих 4‐го разряда и трёх рабочих 5‐го разряда, выполняет работу за два часа. Если к этой бригаде добавить ещё двух рабочих 4‐го разряда, то работа будет выполнена за полтора часа. Сколько рабочих 4‐го разряда нужно добавить к этой бригаде, чтобы работа была выполнена за 1 час?
Задание 8340
На взлом пароля из 7 букв у компьютера на базе 80286 уходит 11 суток. На взлом этого же пароля у компьютера на базе Core7 уходит 11 минут. Если над взломом работают несколько компьютеров, производительность такой системы на четверть больше суммы производительностей отдельных компьютеров. Сколько компьютеров на базе 80286 должны ломать один пароль вместе, чтобы сломать его за то же время, что и один Core7?
