Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C4) Планиметрическая задача

Окружности и треугольники

 

Задание 2947

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ

а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС
б) Найдите РN, если РА = 30, РВ = 10
Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3161

Точка О – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС. На луче АО отмечена точка М так, что ∠BAC+∠AMC=90. 

а) Докажите, что существует точка Р, одинаково удаленная от точек В, О, С, М.
б) Найдите расстояние от точки Р до точки М, если известно, что ∠BAC=15 и ВС=15.
Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3207

В треугольнике ABC на AB, как на диаметре, построена окружность ω1, а на AC, как на диаметре, построена окружность ω2. Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точке М, отличной от точек А, В и С.
А) Докажите, что точки М, В и С лежат на одной прямой.
Б) Пусть АМ = 6, а диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 10. Найдите произведение АВ∙АС.

Ответ: 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3427

На стороне BC треугольника ABC отмечена K точка так, что AK = 4, ВК = 9, КС = 3. Около треугольника ABK описана окружность. Через точку C и середину D стороны AB проведена прямая, которая пересекает окружность в точке P, причем CP > CD и $$\angle APB=\angle BAC$$

а) Докажите подобие треугольников АВС и АКС;
б) Найдите DP.
Ответ: $$\frac{3\sqrt{145}-11}{\sqrt{74}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4398

Радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен $$\frac{\sqrt{15}}{3}$$. Окружность радиуса $$\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$$ касается вписанной в треугольник АВС окружности в точке Т, а также касается лучей, образующих угол АСВ. Окружности касаются прямой АС в точках К и М.

А) Докажите, что треугольник КТМ прямоугольный
Б) Найдите тангенс угла АВС, если площадь треугольника АВС равна $$3\sqrt{15}$$, а наибольшей из его сторон является сторона АС.
Ответ: б) $$-\sqrt{15}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Через Т строим общую касательную $$TL\cap MK=L$$; $$ML=LT$$; $$TL=LK$$ (по свойству касательных) $$\Rightarrow$$ $$ML=TL=LK$$ $$\Rightarrow$$ т.к. TL - медиана, то $$\bigtriangleup MTK$$ - прямоугольный

б) 1) Пусть $$O_{2}H\perp O_{1}M$$ $$\Rightarrow$$ $$HO_{2}=MK$$; $$O_{1}H=O_{1}M-O_{2}K=\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$$

2) $$O_{1}O_{2}=O_{1}T+TO_{2}=\frac{8\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$$

3) из $$\bigtriangleup O_{1}O_{2}H$$: $$O_{2}H=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}H^{2}}=\frac{10}{3}$$

4) Пусть $$KC=a$$; $$\bigtriangleup O_{1}CM\sim\bigtriangleup O_{2}CK$$: $$\frac{O_{1}M}{O_{2}K}=\frac{MC}{KC}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}\div\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{10}{3}+x}{x}$$; $$5x=10+3x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=5$$

5) $$\tan\angle O_{1}CM=\frac{O_{2}K}{KC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}\cdot5}=\frac{1}{\sqrt{15}}$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$CO_{2}$$ - биссектриса, то $$\angle ACB=\frac{2\cdot\frac{1}{\sqrt{15}}}{1-(\frac{1}{\sqrt{15}})^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{7}$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$1+\tan^{2}\alpha=\frac{1}{\cos^{2}\alpha}$$, то $$\cos\angle ACB=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{\sqrt{15}}{7}}}=\frac{7}{8}$$

6) Пусть $$AT=AK=x$$; $$TB=BR=y$$, тогда: $$S_{ABC}=\sqrt{p\cdot(p-a)(p-b)(p-c)}=3\sqrt{15}$$; $$p=\frac{2x+2y+10}{2}=(x+y+5)$$; $$a=x+5$$; $$b=y+5$$; $$c=x+y$$; $$\sqrt{(x+y+5)5xy}=3\sqrt{15}$$; $$(x+y+5)xy=27(1)$$

7) По т. косинусов: $$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos ACB$$; $$(x+y)^{2}=(5+x)^{2}+(5+y)^{2}-2(5+x)(5+y)\cdot\frac{7}{8}$$; $$x^{2}+2xy+y^{2}=25+10x+x^{2}+25+10y+y^{2}-\frac{7}{4}(25+5x+5y+xy)$$; $$50+10(x+y)-\frac{7}{4}(25+5(x+y)+xy)-2xy=0(2)$$

Решим систему уравнений 1 и 2: замена $$x+y=a$$; $$xy=b$$:

$$\left\{\begin{matrix}b(a+5)=27\\50+10a-\frac{7}{4}(25+5a+b)-2b=0\end{matrix}\right.$$.

Рассмотрим 2ое: умножим на 4: $$200+40a-175-35a-7b-8b=0$$; $$5a+25=15b$$; $$a+5=3b$$

Подставим в 1ое, умноженное на 3: $$3b(a+5)=81$$; $$(a+5)(a+5)=81$$ $$\Leftrightarrow$$ $$a+5=9$$ $$\Leftrightarrow$$ $$a=4$$; $$b=\frac{4+5}{3}=3$$. Получаем: $$\left\{\begin{matrix}x+y=4\\xy=3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.$$ или $$\left\{\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.$$

Т.к. по условию АС самая большая, то $$x=1$$; $$y=3$$ не подходит; $$\Rightarrow$$ $$x=3$$; $$y=1$$

8) из $$\bigtriangleup BRO_{2}$$: $$\tan O_{2}BR=\frac{O_{2}R}{BR}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}{1}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$$; $$\tan ABC=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}{1-(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}})^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{-3}{2}=-\sqrt{15}$$

Задание 4721

В треугольнике ABC, AB = 15, BC = 7, CA = 9. Точка D лежит на прямой BC причем BD : DC = 5 : 7. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Ответ:

Задание 4722

Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Ответ:

Задание 4723

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б) Найдите площадь треугольника АСВ.

Ответ:

Задание 4724

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 114, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 19. Найдите сторону AB.

Ответ:

Задание 4725

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 25, AC = 7 и BC = 24. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 8 и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.

Ответ:

Задание 4726

Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 13, высота, проведённая к стороне BC, равна 5. Найдите длину той хорды AM описанной окружности, которая делится пополам стороной BC.

Ответ:

Задание 4727

Точки D и E — основания высот непрямоугольного треугольника ABC, проведённых из вершин A и C соответсвенно. Известно, что $$\frac{DE}{AC}=k$$, BC = a и AB = b. Найдите сторону AC, если известно, что:
а) треугольник остроугольный
б) угол B тупой.

Ответ:

Задание 4728

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.

Ответ:

Задание 4729

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 7, BC = 8, AC = 9. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

Ответ:

Задание 4730

Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно $$\frac{5}{6}$$

Ответ:

Задание 4731

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен $$\frac{3}{5}$$

Ответ:

Задание 4732

Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.

Ответ:

Задание 4733

Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 15 и BC = 8. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 17. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.

Ответ:

Задание 4734

Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Ответ:

Задание 4735

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.

Ответ:

Задание 4736

Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 4, AF = 2, ∠BAC = 60°.

Ответ:

Задание 4737

Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 1 : 3. Найдите угол A.

Ответ:

Задание 4738

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Ответ:

Задание 4739

Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 26 и 14,5, а его высота BD равна 10. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD.

Ответ:

Задание 4740

Окружность радиуса $$8\sqrt{2}$$ вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 12. Найдите MN.

Ответ:

Задание 4741

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух его сторон.

Ответ:

Задание 4742

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC.

Ответ:

Задание 4743

На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и D и касающейся прямой BC.

Ответ:

Задание 4744

Окружность, вписанная в треугольник АВС, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне ВС. Известно, что ВС = 11. Найдите сторону АВ.

Ответ:

Задание 4745

Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.
а) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.
б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK = 16.

Ответ:

Задание 4746

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и CA в точках K, M и N соответственно.
а) Докажите, что $$AN=\frac{AB+AC-BC}{2}$$
б) Найдите отношение AK : KB, если известно, что AN : NC = 4 : 3 и $$\angle BAC = 60^{\circ}$$

Ответ:
 

Задание 4821

Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность радиуса $$2\sqrt{5}$$ , отсекающая от прямой ВС отрезок $$4\sqrt{5}$$ и касающаяся прямой АС в точке А. Из точки В проведен перпендикуляр к прямой ВС до пересечения с прямой АС в точке F.

А) Докажите AF=BF
Б) Найдите площадь треугольника АВС, если BF=2.
Ответ: $$\frac{5\sqrt{5}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

По условию $$OA=R=2\sqrt{5}; BK=4\sqrt{5}$$. Рис. 2 может быть использован только для доказательства п. а) т.к. по условию $$BF=2$$, $$OA=2\sqrt{5}$$, т.е. BF<OA

     а) AC-касательная $$\Rightarrow$$ $$OA\perp AC, BF\perp OB, OB=R\Rightarrow$$ BF-касательная и по свойству касательных  $$AF=BF$$

     б) 1) Пусть $$FC=x, BC=y$$,  тогда $$AC=x+2$$, $$OC=y+2\sqrt{5}$$

2) $$\Delta FBC\sim OAC$$ по двум углам $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{BF}{OA}=\frac{BC}{AC}\\\frac{BF}{OA}=\frac{FC}{OC}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{y}{x+2}\\\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{x}{y+2\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}y=\frac{x+2}{\sqrt{5}}\\y=\sqrt{5}(x-2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=3\\y=\sqrt{5}\end{matrix}\right.$$

   $$FC=3, BC=\sqrt{5}, AC=5$$, $$\frac{S_{\Delta ABC}}{s_{\Delta BFC}}=\frac{AC}{FC}=\frac{5}{3}$$;

   $$S_{\Delta BFC}=\frac{1}{2}BC*BF=\sqrt{5}$$ тогда , $$S_{\Delta ABC}=\frac{5}{3}$$, $$S_{\Delta BFC}=\frac{5\sqrt{5}}{3}$$

 

Задание 5143

Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Окружность с центром О, вписанная в треугольник ADB , касается отрезка AD в точке Р , а прямая ОР пересекает сторону АВ в точке К .

а) Докажите, что около четырехугольника ВDОК можно описать окружность.  
б) Найдите радиус этой окружности, если АВ = 10, АС = 8, ВС = 6.  
Ответ: $$\frac{25\sqrt{10}}{24}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     А) 1) Поскольку DH серединный перпендикуляр к AB , то AD=DB, а значит  $$\Delta ADB$$ - равнобедренный , тогда  DH-биссектриса и  $$O\in DH.$$

     2) Обозначим $$\angle ABD=\angle BAD=\alpha$$; $$\angle BDA=\angle 180-2\alpha$$, откуда $$\angle BDH=\angle ADH=90-\alpha$$

     3) $$\Delta AKP$$: $$\angle AKP=90-\alpha$$, тогда $$\angle OKB=90+\alpha$$

     4) $$\angle BDO+\angle OKB=90-\alpha +90+\alpha =180$$, а значит около четырехугольника BDOK можно описать окружность.

   Б) 1) Т.к.  $$AC^{2}BC^{2}=AB^{2}$$, то $$\Delta ABC$$ - прямоугольный

     2) Пусть AD=DB=x, тогда DC=8-x. Из  $$\Delta BDC$$: $$(8-x)^{2}+36=x^{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-16x+64+36=x^{2}\Leftrightarrow$$$$16x=100\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{25}{4}$$

     3) Из $$\Delta BHD$$: $$DH=\sqrt{(\frac{25}{4})^{2}-25}=$$$$\sqrt{\frac{625}{16}-25}=$$$$\sqrt{\frac{225}{16}}=$$$$\frac{15}{4}$$. $$\cos 2\varphi =\frac{BH}{DB}=\frac{4}{5}$$

     4) Поскольку BO-биссектриса , то $$\frac{HO}{OD}=\frac{BH}{HD}=\frac{4}{5}\Rightarrow$$ $$OD=\frac{5}{9}HD=\frac{25}{12}$$. Применяя формулу понижения степени $$2 \sin^{2}\varphi =1-\cos 2\varphi$$ находим: $$\sin^{2}\varphi=$$$$\frac{1-\cos 2\varphi }{2}=\frac{1}{10}\Rightarrow$$ $$\sin \varphi =\frac{1}{\sqrt{10}}$$

     5) Радиус окружности , описанной около $$\Delta BOD$$, равен радиусу окружности, описанной около четырехугольника BDOK, тогда по теореме синусов из $$\Delta BOD$$: $$R=\frac{OD}{2\sin \varphi }=$$$$\frac{25}{12*2*\frac{1}{\sqrt{10}}}=$$$$\frac{25\sqrt{10}}{24}$$

 

Задание 5196

Касательная в точке $$A$$ к описанной окружности треугольника $$ABC$$ пересекает прямую $$BC$$ в точке $$E$$, $$AD$$ – биссектриса треугольника $$ABC$$.

А) Докажите, что $$AE=ED$$
Б) Известно, что точка $$E$$ лежит на луче $$CB$$ и $$CE=9$$, $$BE=4$$, $$\cos AED=\frac{9}{16}$$. Найдите расстояние от вершины $$B$$ до прямой $$AC$$
Ответ: $$\frac{5\sqrt{7}}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)   1) $$\angle ACB$$-вписанный $$\Rightarrow \angle ACB=\frac{1}{2}\cup AB$$; $$\angle AEB$$-между касательной и хордой $$\Rightarrow \angle AEB=\frac{1}{2}\cup AB\Rightarrow \angle ACB=\angle AEB.$$

       2) AD-биссектриса $$\Rightarrow \angle CAD=\angle BAD$$; $$\angle EAD=\angle AEB+\angle BAP(1)$$; $$\angle ADE=\angle ACB+\angle CAP(2)$$

Из (1)и(2), $$\angle EAP=\angle ADE\Rightarrow EA=ED$$

Б)   1) $$\Delta AEB\sim \Delta EAC(\angle E$$- общий;$$\angle EAB=\angle ACE$$)

$$\frac{AB}{AC}=\frac{EB}{EA}=\frac{EA}{EC}(3)$$. Тогда $$EA^{2}=EB*EC$$; $$EA=\sqrt{9*4}=6$$

       2) По теореме косинусов из $$\Delta EAB$$: $$AB=\sqrt{4^{2}+6^{2}-2*4*\frac{9}{16}}=5$$

       3) из равенства (3): $$\frac{AB}{AC}=\frac{EB}{EA}\Leftrightarrow AC=\frac{AB*EA}{EB}=\frac{5*6}{4}=\frac{15}{2}$$

       4) BC=EC-EB=5, тогда : $$AB=BC \Rightarrow$$ расстояние от B до AC-высота BH: $$BH=\sqrt{BC^{2}-(\frac{1}{2}AC)^{2}}=\sqrt{25-(\frac{15}{4})^{2}}=\sqrt{\frac{175}{16}}=\frac{5\sqrt{7}}{4}$$ Ответ :$$\frac{5\sqrt{7}}{4}$$

 

Задание 5243

В тупоугольном треугольнике АВС ($$\angle C$$ - тупой) на высоте ВН как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно.

А) Докажите, что $$\sin\angle ABC=\frac{PH}{BC}-\frac{KH}{BA}$$
Б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что $$BA=13$$, $$BC=8$$, $$\sin\angle ABC=\frac{7\sqrt{3}}{26}$$

Ответ: $$\frac{42}{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)   1) $$\sin \angle ABC =\frac{PH}{BC}-\frac{KH}{BA}=$$$$\frac{PH*BA-KH*BC}{BC*BA}$$

     2) $$PH\perp AB$$(т.к. опирается на диаметр); $$KH\perp BC$$(т.к. опирается на диаметр)

     3) $$\sin \angle ABC=\frac{2S_{AHB}-S_{BCH}}{BC*BA}=$$$$\frac{2S_{ABC}}{BC*BA}=$$$$\frac{2*\frac{1}{2}BC*BA*\sin\angle ABC}{BC*BA}=\sin\angle ABC$$

Б)   1) $$\Delta ABC*\cos ABC=\sqrt{1-\sin^{2}ABC}=\sqrt{1-\frac{147}{676}}=\frac{23}{26}$$

$$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2 AB*BC\cos ABC}=\sqrt{13^{2}+8^{2}-2*13*8*\frac{23}{26}}=7$$

     2) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*BH=\frac{1}{2}AB*BC*\sin ABC$$; $$BH=\frac{13*8*\frac{7\sqrt{3}}{26}}{7}=4\sqrt{3}$$

     3) $$\cos CBH=\frac{BH}{CB}=\frac{4\sqrt{3}}8{}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, тогда $$\angle CBH=30$$ и $$KB=BH*\cos CBH=4\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}2{}=6$$

     4) $$\angle HCB=90-\angle CBH=60\Rightarrow \angle ACB=120$$; $$\angle KHB=90-\angle CBH=60\Rightarrow \angle KPB=120$$(т.к. HKPB-вписанный). Тогда $$\Delta KPB\sim \Delta ABC\Rightarrow \frac{KB}{AB}=\frac{KP}{AC}\Rightarrow KP=\frac{6*7}{13}=\frac{42}{13}$$

 

Задание 5291

В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются в точке Н, точка О – центр описанной окружности, точка К – середина ВС.

А) Докажите, что отрезок АН вдвое длиннее отрезка ОК.
Б) Найдите длину отрезка ОН, если известно, что АВ=5, ВС=6, АС=7.
Ответ: $$\frac{\sqrt{310}}{8}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) 1) Пусть О - центр окружности описанной около $$\Delta ABC$$, тогда OK и ON - серединные перпендикуляры к BC и AC. KN - средняя линия, следовательно, $$KN=\frac{1}{2}AB$$, $$KN \parallel AB$$. 

     2) $$BC\perp AC$$, $$ON\perp AC$$, $$AH\perp BC$$, $$OK\perp BC$$$$\Rightarrow$$ $$BH\parallel ON$$, $$AH\parallel OK$$. $$\Delta AHB\sim \Delta KON$$, т.к. $$\angle 1=\angle 2$$, $$\angle 3=\angle 4$$. Следовательно, $$\frac{AH}{OK}=\frac{AB}{KN}=\frac{2}{1}$$. следовательно, $$AH=2OK$$

   Б) 1) Найдем площадь треугольника ABC: $$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=6\sqrt{6}$$. OC - радиус описанной окружности, следовательно, $$R=\frac{AB*BC*AC}{4S_{ABC}}=\frac{35}{4\sqrt{6}}$$. 

     2) $$CN=0,5AC=3,5$$, $$ON=\sqrt{OC^{2}-CN^{2}}=\frac{7}{4\sqrt{6}}$$, $$BH=2ON$$

     3) Пусть $$OT \parallel AC$$, тогда $$HT=BB_{1}-3ON$$, $$AC*BB_{1}=2S_{ABC}=12\sqrt{6}$$, следовательно, $$BB_{1}=\frac{12\sqrt{6}}{7}$$, $$HT=\frac{141}{28\sqrt{6}}$$

     4) Из $$\Delta BB_{1}C:$$ $$B_{1}C=\sqrt{BC^{2}-BB_{1}^{2}}=\frac{30}{7}$$, тогда $$TO=B_{1}N=B_{1}C-CN=\frac{11}{14}$$

     5) Из $$\Delta HTO$$: $$OH=\sqrt{HT^{2}+TO^{2}}=\frac{\sqrt{310}}{8}$$

 

Задание 6185

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q , лежащей внутри треугольника АВ1С1.

А) Докажите, что С1Q – биссектриса угла АС1В1.
Б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АВ1С1, если известно, что ВС=9, АВ=10, АС=17.
Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а)   1) $$\Delta AB_{1}Q$$ и $$\Delta AC_{1}Q :AB_{1}=AC_{1}$$(отрезки касательных), $$\angle B_{1}AQ=\angle QAC_{1}$$(AQ-биссектриса )

AQ-общая $$\Rightarrow \Delta AB_{1}Q=\Delta AC_{1}Q\Rightarrow$$ $$\Delta QB_{1}C_{1}$$ - равнобедренный и $$\angle QB_{1}C_{1}=\angle B_{1}C_{1}Q=\alpha$$ $$\Rightarrow \cup B_{1}Q=\cup QC_{1}=\alpha$$

     2) $$\angle B_{1}C_{1}Q=\frac{1}{2}\cup B_{1}Q=\frac{1}{2}\alpha$$ (вписанный), $$\angle QC_{1}A=\frac{1}{2}\cup QC_{1}=\frac{1}{2}\alpha$$( между хордой и касательной) $$\Rightarrow \angle B_{1}C_{1}Q=\angle QC_{1}A\Rightarrow C_{1}Q$$-биссектриса

б)   1) из п.(a) получаем, что и $$\angle QB_{1}C_{1}=\angle QB_{1}A\Rightarrow B_{1}Q$$ –биссектриса $$\Rightarrow Q$$-центр вписанной окружности $$\Rightarrow QO$$-расстояние

     2)$$r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}; p=\frac{17+9+10}{2}=18$$

$$S=\sqrt{\frac{(18-9)(18-10)(18-17)}{18}}=\sqrt{\frac{9-8}{18}}=2$$

 

Задание 6232

Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника АВС ( С=90). Окружность радиуса $$\sqrt{15}$$ проходит через точки А, С, D и пересекает сторону АВ в точке Е так, что АЕ:АВ=3:5. Отрезки СЕ и AD пересекаются в точке О.

А) Докажите, что СО=ОЕ
Б) Найдите площадь треугольника АВС.
Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

    A) 1) $$\angle ACB=90$$, тогда AD-диаметр круга и $$\angle AED=90$$

     2) $$\angle CAD=\angle EAD$$( AD-биссектриса), AD-общая ,тогда $$\Delta ACD=\Delta ADE$$(по гипотенузе и острому углу) и AC=AE

     3)AO-общая , тогда $$\Delta ACO=\Delta EAO$$(по двум сторонам и углу), тогда CO=OE

    Б) 1)Пусть AE=3x; тогда AB=5x; AC=3x; CD=3y; DB=5y

     2)По свойству биссектрисы : $$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DB}=\frac{3}{5}.$$

     3) из $$\Delta ACB:(3x)^{2}+(8y)^{2}=(5x)^{2}(1)$$

Из $$\Delta ACD: (3x)^{2}+(3y)^{2}=(2\sqrt{15})^{2}(2)$$

Из (1): $$9x^{2}+64y^{2}=25x^{2}\Leftrightarrow 16x^{2}=64y^{2}\Leftrightarrow x^{2}=4y^{2}\Leftrightarrow x=2y$$

Подставим в (2): $$(by)^{2}+(3y)^{2}=60\Leftrightarrow 45y^{2}=60\Leftrightarrow y^{2}=\frac{4}{3}$$

     4) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}*3x*8y=\frac{1}{2}*6y*8y=24y^{2}=24*\frac{4}{3}=32.$$

 

Задание 6280

Биссектриса AD и высота ВЕ остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину А, середину стороны АС и пересекает сторону АВ в точке К такой, что АК:КВ=1:3.

А) Докажите, что AD делит площадь треугольника АВС в соотношении 1:2
Б) Найдите длину стороны ВС, если радиус окружности $$R=\sqrt{2}$$
Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) 1) $$\angle AKL=90=\angle AGL$$(опираются на диаметр)

     2)$$\Delta AKL=\Delta AGL$$(по острому углу и гипотенузе )$$\Rightarrow AK=AC_{1}=x$$, тогда $$KB=3x\Rightarrow AB=4x, C_{1}C=x$$$$\Rightarrow AC=2x$$

     3) По свойству биссектрис: $$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{DC}=\frac{4x}{2x}=\frac{2}{1}$$. По свойству площадей: $$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{1}$$

Б) 1) $$\angle BAD=\alpha =\angle DAC\Rightarrow \angle A=2\alpha$$. Из $$\Delta ABE :\cos 2\alpha =\frac{AE}{AB}=$$$$\frac{0,5x}{4x}=\frac{1}{8}\Leftrightarrow$$$$2 \cos^{2}\alpha -1=\frac{1}{8}\Leftrightarrow$$ $$\cos ^{2}\alpha =\frac{9}{16}\Rightarrow$$ $$\cos \alpha =\frac{3}{4}$$

     2) $$AL=2R=2\sqrt{2}$$. Из $$\Delta ALC_{1} :\frac{AC_{1}}{AL}=\cos \alpha \Rightarrow$$ $$AC_{1}=\frac{2\sqrt{2}*3}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow$$ $$AC=3\sqrt{2} AB=6\sqrt{2}$$

     3) из $$\Delta ABC:$$ $$BC=\sqrt{(6\sqrt{2})^{2}+(3\sqrt{2})^{2}-2*6\sqrt{2}*3\sqrt{2}*\cos 2\alpha }=$$$$\sqrt{72+18-\frac{3*2*2*6*3}{8}}=\sqrt{90-9}=9$$

 

Задание 6328

В треугольнике АВС, где АВ=ВС=3, $$\angle ABC=\arccos \frac{1}{9}$$ проведена медиана AD и биссектриса СЕ, пересекающиеся в точке М. Через М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая стороны АВ и ВС в точках Р и Q соответственно.

А) Найдите РМ
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник PQB.
Ответ: $$\frac{14\sqrt{5}}{55}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)   1) Из $$\Delta ABC$$: $$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB*BC*\cos B}=$$$$\sqrt{9+9-2*5*\frac{1}{9}}=$$$$\sqrt{18-2}=4$$

     2)по свойству биссектрис: $$\frac{AM}{MP}=\frac{AC}{DC}=$$$$\frac{1,5}{4}=\frac{3}{8}\Rightarrow$$ $$MD=\frac{3}{11}AC=\frac{12}{11}$$

     3) Из $$\Delta MDQ\sim \Delta ADC\Rightarrow$$ $$\frac{MD}{AD}=\frac{DQ}{DC}=\frac{3}{11}\Rightarrow$$ $$DQ=\frac{1,5*3}{11}=\frac{9}{22}\Rightarrow$$ $$BQ=1,5+\frac{9}{22}=\frac{3}{2}+\frac{9}{22}=$$$$\frac{33+9}{22}=\frac{42}{22}=\frac{21}{11}$$

     4) Из $$\Delta PBQ\sim \Delta ABC\Rightarrow$$ $$\frac{PQ}{AC}=\frac{BQ}{BC}=$$$$\frac{21}{11}:3=\frac{21}{33}$$. Тогда $$PQ=\frac{21*4}{33}=\frac{84}{33}$$

     5)$$PM=PQ-QM=\frac{84}{33}-\frac{12}{11}=$$$$\frac{84-36}{33}=\frac{48}{33}=\frac{16}{11}$$

Б)   1) $$BP=BQ=\frac{21}{11}$$, $$p=\frac{\frac{21}{11}+\frac{21}{11}+\frac{84}{33}}{2}=$$$$\frac{42+28}{22}=\frac{70}{22}=\frac{35}{11}$$

     2) По формуле Герона: $$r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$. Тогда: $$r=\sqrt{\frac{(\frac{35}{11}-\frac{21}{11})^{2}(\frac{35}{11}-\frac{28}{11})}{\frac{35}{11}}}=$$$$\sqrt{(\frac{14}{11})^{2}*\frac{7}{11}*\frac{11}{35}}=$$$$\frac{14}{11\sqrt{5}}=\frac{14\sqrt{5}}{55}$$

 

Задание 6422

Продолжения медиан АМ и ВК треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках Е и F соответственно, причем АЕ:АМ=2:1, BF:BK=3:2.

А) Докажите, что АВ||CE
Б) Найти углы треугольника АВС.
Ответ: $$arctg 2; 90^{\circ}-arctg 2; 90^{\circ}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) 1) $$AE:EM=2:1$$. Пусть $$ME=x\Rightarrow AE=2x$$, $$AM=x\Rightarrow$$ $$ME=AM$$, $$BM=MC$$(AM-медиана ), то по свойству хорд :

$$AM*ME=BM*MC\Leftrightarrow$$ $$AM^{2}=BM^{2}\Rightarrow$$ $$AM=BM(1)$$

     2) из равенства 1 получаем , что $$\angle A=90\Rightarrow$$ BC-диаметр , AE-диаметр , тогда $$AM=BM=MC=ME$$, $$\angle AMB=\angle CME$$(вертикальные ) $$\Rightarrow\Delta AMB=\Delta CME$$ –равнобедренные $$\angle BAM=\angle MEC\Rightarrow$$ $$AB\left | \right |EC$$

   Б) 1) Пусть $$AB=a, AC=b, BC=c, BK=m_{b}$$

     2) По формуле длины медианы: $$BK=\frac{1}{2}\sqrt{2 AB^{2}+2BC^{2}-AC^{2}}\Leftrightarrow$$$$m_{b}=\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2 c^{2}-B^{2}}(1)$$

По свойству хорд : $$BK*KF=AK*KC$$. Т.к. $$BK:BF=\frac{2}{3}$$, то $$KF=\frac{1}{2}BK$$. Тогда получим: $$\frac{1}{2}m_{b}*m_{b}=\frac{b}{2}*\frac{b}{2}\Rightarrow$$ $$2m^{2}_{b}=b^{2}$$. Подставим в (1): $$4m^{2}_{b}=2a^{2}-b^{2}$$

$$2b^{2}+b^{2}=2a^{2}+2c^{2}\Leftrightarrow$$ $$3b^{2}=2a^{2}+2c^{2}$$

С другой стороны: $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$, тогда : $$\left\{\begin{matrix}2a^{2}-3b^{2}=-2c^{2}\\a^{2}+b^{2}=c^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2a^{2}-3b^{2}=-2c^{2}\\2a^{2}+2b^{2}=2c^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$4a^{2}-b^{2}=0\Leftrightarrow$$$$\frac{b^{2}}{a^{2}}=4\Leftrightarrow$$$$\frac{b}{a}=2=tg \angle B$$. Тогда $$\angle B=arctg 2, \angle C=90-arctg 2$$

 

Задание 6477

Сторона АВ треугольника АВС равна 3, ВС=2АС, Е – точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, причем DE=1.

А) Докажите, что AE || BC
Б) Найдите длину стороны АС
Ответ: $$\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) 1) Пусть $$\angle ACE=a$$. Так как дуги AE и BE равны, $$\angle BAE=\angle ABE=a$$.

     2) По свойству биссектрисы $$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}=2$$, поэтому $$BD=2, AD=1$$.

     3) Треугольник ADE - равнобедренный , поэтому $$\angle AED=a$$, $$AE\left |\right |BC$$, поскольку равны накрест лежащие углы AEC и BCE

   Б) 1) Треугольники  ACE и ABE - равнобедренный. Пусть $$AC=AE=BE=x\Rightarrow$$$$BC=2x$$

     2) ABCD-равнобедренная трапеция , проведем $$AS\perp BC\Rightarrow$$$$CS=\frac{2x-x}{2}=\frac{x}{2}=\frac{AC}{2}$$.Значит, $$\angle CAS=30,\angle ACS=2a=60\Rightarrow$$ $$\angle ABC=\angle BAE=a=30$$

     3) Из прямоугольного $$\Delta ABC$$: $$AC=AB*tg 30=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$

 

Задание 6571

Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС является хордой окружности $$\omega$$ радиуса 10. Вершина С лежит на диаметре окружности $$\omega$$ , который параллелен гипотенузе. Угол САВ равен 75.

   А) Найдите площадь треугольника АВС
   Б) Найдите расстояние между центрами окружности $$\omega$$ и окружности, вписанной в треугольник АВС
Ответ: А) 40 Б) $$2\sqrt{5}\sqrt{17-6\sqrt{6}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) Опустим $$OM\perp AB$$, тогда BM=MA=MC(медиана прямоугольного равна половине гипотенузе)

     2) $$\angle MCB=\angle MBC=15$$; $$\angle MBC=\angle BCO=15$$(накрест лежащие) $$\Rightarrow \angle MCO=30$$

     3)Пусть $$OM=x\Rightarrow$$ $$MC=2x=BM$$

Из $$\Delta BMO$$ по т. Пифагора : $$BO^{2}=BM^{2}+OM^{2}\Leftrightarrow$$ $$100=x^{2}+4x^{2}=5x^{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}=20$$

     4) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}OM*AB=$$$$\frac{1}{2}*x*(2x+2x)=$$$$\frac{1}{2}*4x^{2}=2x^{2}=40$$

   Б) $$1) AB=4x; OM=x, O_{1}$$-центр вписанной . $$O_{1}H; O_{1}C$$-радиусы. Пусть $$O_{1}K\perp OM$$, p - полупериметр $$\Delta ABC$$

     2) из $$\Delta ABC: AC=AB \sin B=4x \sin 15$$; $$BC=AB \cos 15=4x \cos 15$$; $$p=\frac{4x+4x\sin 15+4x\cos 15}{2}=$$$$2x+2x \sin 15+2x \cos 15$$

     3) Рассмотрим треугольник ABC (прямоуг.); $$p=\frac{AH+AN+CN+LC+LB+BH}{2}$$; $$BH=BL; HA=AN; CL=CN$$

Тогда $$p=\frac{2BL+2CL+2AH}{2}\Leftrightarrow$$ $$p=\frac{2CB+2AH}{2}\Leftrightarrow$$ $$AH=p-CB=2x+2x\sin 15+2x\cos15-4x \cos 15$$, тогда $$MH=MA-HA=KO_{1}$$; $$KO_{1}=2x-(2x+2x\sin 15-2x\cos 15)=$$$$2x\cos 15-2x \sin 15=2x(\cos 15-\sin 15)$$

     4) KM=O, H=CN. Аналогично п3: $$CN=p-AB=2x+2x \sin 15+2x\cos 15-4x=$$$$2x\sin 15+2 x\cos 15-2x$$, тогда $$KO=OM-KM=$$$$x-(2x\sin 15+2x \cos 15-2x)=$$$$3x-2x \sin 15-2 x\cos 15=x(3-2(\sin 15+\cos 15))$$

     5) $$\Delta KOO_{1}$$: $$OO_{1}=\sqrt{KO^{2}+KO_{1}^{2}}$$

   $$KO_{1}=2x(\cos 15-\sin 15)$$; $$x=\sqrt{20}$$

   $$\sin 15=\sin (45-30)=\sin 45\cos 30-\cos 45\sin 30=$$$$\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$

   $$\cos 15=\cos (45-30)=\cos 45\cos 30+\sin 45\sin 30=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

   $$KO_{1}=2\sqrt{20}(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})=$$$$2\sqrt{20}*\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{40}$$

   $$KO=x(3-2(\sin 15+\cos 15))=\sqrt{20}(3-2(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}))=$$$$\sqrt{20}(3-2*\frac{\sqrt{6}}{2})=\sqrt{20}(3-\sqrt{6})=3\sqrt{20}-\sqrt{120}$$

   $$OO_{1}=\sqrt{(3\sqrt{20}-\sqrt{120})^{2}+(\sqrt{40})^{2}}=$$$$\sqrt{9*20-60\sqrt{24}+120+40}=$$$$\sqrt{180-120\sqrt{6}+160}=\sqrt{340-120\sqrt{6}}=$$$$2\sqrt{5}\sqrt{17-6\sqrt{6}}$$

 

Задание 6666

Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Окружность с центром в точке О проходит через вершину А, касается стороны ВС в точке К и пересекает сторону АС в точке М такой, что АМ:МС=4:1.

А) Найдите отношение СК:КВ
Б) Найдите длину стороны АВ, если радиус окружности равен 2.
Ответ: А)$$1:2$$ Б)$$4\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) $$OK\perp CB$$(радиус в точку касания ), но и AO - высота $$\Rightarrow$$ A, O и K $$\in$$ AK - высота , но тогда AK-диаметр окружности.

     2) $$\angle KMA=90$$(опирается на диаметр)$$\Rightarrow$$ KM-высота прямоугольного треугольника AKC.

     3) Пусть CM=x, тогда MA=4x; AC=5x. $$MK=\sqrt{MA*CM}=\sqrt{4x*x}=2x$$; $$CK=\sqrt{CM^{2}+MK^{2}}=$$$$\sqrt{4x^{2}+x^{2}}=x\sqrt{5}$$

     4) $$\Delta ONA \sim \Delta KMA$$: $$\frac{AO}{AK}=\frac{AN}{AM}\Rightarrow$$ $$AN=\frac{1}{2} AM=2x\Rightarrow$$ $$CN=MN+MC=2x+x=3x$$

     5) $$\Delta BNC \sim \Delta KMC$$: $$\frac{NC}{MC}=\frac{BC}{CK}\Rightarrow$$ $$BC=\frac{3x*x\sqrt{5}}{x}=3\sqrt{5}x\Rightarrow$$ $$BK=2\sqrt{5} x\Rightarrow$$ $$CK:KB=1:2$$

   Б) 1) $$\Delta AKC$$: $$AK=\sqrt{AC^{2}-CK^{2}}=$$$$\sqrt{25x^{2}-5x^{2}}=$$$$\sqrt{20}x=4\Rightarrow$$$$x=\frac{4}{\sqrt{20}}$$

     2) $$\Delta AKB$$: $$AB=\sqrt{AK^{2}+KB^{2}}=\sqrt{40}x=$$$$\frac{\sqrt{40}*4}{\sqrt{20}}=4\sqrt{2}$$

 

Задание 6760

Дан треугольник АВС, в котором АВ=ВС=5, медиана $$AD=\frac{\sqrt{97}}{2}$$ . На биссектрисе СЕ выбрана точка F такая, что CE=5CF. Через точку F проведена прямая l, параллельная ВС.

   А) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника АВС до прямой l
   Б) Найдите в каком отношении прямая l делит площадь треугольника АВС
Ответ: А) $$\frac{633}{440}$$ Б)$$\frac{100}{21}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А)   1) $$\Delta ABD$$: $$\cos B=\frac{AB^{2}+BD^{2}-AD^{2}}{2 AB*BD}=\frac{7}{25}$$

     2) $$\Delta ABC:$$ $$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2 AB*BC * \cos B}=6$$

     3) $$BG=\sqrt{BC^{2}-GC^{2}}=4\Rightarrow$$ $$S_{ABC}=\frac{1}{2}BG*AC=12$$

     4) $$BO=\frac{AB*BC*AC}{4 S_{ABC}}=\frac{25}{8}$$

     5) $$\cos BCA=\frac{GC}{BC}=\frac{3}{5}$$; $$\angle ECG=\frac{\angle BCA}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$2 \cos ^{2}ECG-1=\frac{3}{5}$$$$\Rightarrow$$ $$\cos ECG=\frac{2}{\sqrt{5}}$$; $$\sin ECG=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

$$CE=\frac{2 AC*CB*\cos ECG}{AC+CB}=\$$$$frac{120}{11\sqrt{5}}$$$$\Rightarrow$$ $$CF=\frac{CE}{5}=\frac{24}{11\sqrt{5}}$$

     6) Центр описанной на пересечении серединных перпендикуляров , $$BD=DC\Rightarrow$$ $$OD\perp BC$$ и OH - расстояние

     7) $$\angle FIG=\angle BCA\Rightarrow$$$$\sin FIG=\sin BCA=\frac{4}{5}$$

$$\angle FIG=180-\angle FIG\Rightarrow$$ $$\sin FIC=\sin FIG=\frac{4}{5}$$

$$\cos FIC=-\cos FIG=-\cos BSA=-\frac{3}{5}$$

По теореме синусов: $$\frac{FC}{\sin FIC}=\frac{FI}{\sin FCI}\Rightarrow$$$$FI=\frac{6}{11}$$

     8) $$\Delta JGJ\sim \Delta BGC\Rightarrow$$ $$\frac{IC}{CG}=\frac{BJ}{BG}\Rightarrow$$ $$BJ=\frac{8}{11}\Rightarrow$$ $$JO=BO-BJ=\frac{211}{8*11}$$

     9) $$\Delta BOD\sim \Delta BGC\Rightarrow$$ $$\frac{OD}{GC}=\frac{BO}{BC}\Rightarrow$$ $$OD=\frac{5}{18}$$

     10) $$\Delta JOH\sim \Delta BOD\Rightarrow$$ $$\frac{JO}{BO}=\frac{OH}{OD}\Rightarrow$$ $$OH=\frac{633}{440}$$

Б)   1) $$\Delta ABC\sim \Delta AKI\Rightarrow$$ $$S_{AKI}=S_{ABC}(\frac{AI}{AC})^{2}$$

$$\frac{AI}{AC}=(\frac{6-\frac{6}{11}}{6})^{2}=\frac{100}{121}\Rightarrow$$ $$S_{AKI}=\frac{1200}{121}$$

     2) $$S_{KBCI}=S_{ABC}-S_{AKI}=\frac{252}{121}\Rightarrow$$ $$\frac{S_{AKI}}{S_{KBCI}}=\frac{100}{21}$$

 

Задание 6807

Точки К и L являются серединами боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС. Точка М расположена на медиане AL так, что AM:ML=13:12. Окружность $$\omega$$ с центром в точке М касается прямой АС и пересекает прямую KL в точках P и Q. KL=10, PQ=4.

А) Найти радиус окружности $$\omega$$
Б) Найти периметр треугольника АВС
Ответ: А)$$\frac{26}{5}$$ Б)$$20\sqrt{5}+20$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Пусть $$MN \perp PQ$$, $$MK\perp AC$$, $$LH\perp AC\Rightarrow$$ $$NK\left | \right |LH$$ ; пусть MQ=x, т.к. $$MN\perp PQ$$, то $$PN=NQ=\frac{1}{2}PQ=2$$

     2) из $$\Delta NMQ$$: $$NM=\sqrt{MQ^{2}-NQ^{2}}=\sqrt{x^{2}-2^{2}}$$, $$MK=MQ=x$$

     3) $$\Delta AMK\sim \Delta ALN$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{LH}{MK}=\frac{AL}{AM}\Rightarrow$$ $$LH=\frac{25}{13} x=NK$$

     4) из 2 и 3 : $$\frac{25}{13}x =x+\sqrt{x^{2}-4}\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{26}{5}$$

   Б) 1) $$AC=2, KL=20$$$$\Rightarrow$$ $$AK=HC=\frac{AC-KL}{2}=5$$; $$LH=\frac{25}{13}*\frac{26}{5}=10\Rightarrow$$ из $$\Delta LHC$$: $$LC=\sqrt{KH^{2}+HC^{2}}=5\sqrt{5}\Rightarrow$$ $$BC=10\sqrt{5}$$

     2) $$P_{ABC}=2* BC+AC=20\sqrt{5}+20$$

 

Задание 6974

В треугольнике АВС угол В равен 600. Через точки А и В проведена окружность радиуса 3, касающаяся прямой АС в точке А. Через точки В и С проведена окружность радиуса 4, касающаяся прямой АС в точке С.

А) Найдите длину стороны АС
Б) Найдите длину общей хорды этих окружностей.
Ответ: А) 6 Б) $$\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Пусть $$O_{1}A=R_{1}=3$$; $$O_{2}C=R_{2}=4$$ - радиусы; $$\angle ACB=\alpha$$ ; $$\angle BAC=\beta$$

     2) По свойству хорды и касательной: $$\smile BC=2\angle BCA=2\alpha$$ ( или $$180-2\alpha$$ ); $$\smile AB=2\angle BAC=2\beta$$ (или $$180-2\beta$$ - зависит от построения, но на решение никак не влияет).Тогда по свойству центральных углов: $$\angle BO_{1}A=2\beta$$ ; $$\angle BO_{2}C=2\alpha$$

   Пусть $$O_{1}H\perp AB$$, тогда из $$\Delta O_{1}HA$$: $$HA=O_{1}A\sin \angle HO_{1}A$$, $$\angle HO_{1}A=\frac{\angle BO_{1}A}{2}\Rightarrow$$ $$HA=R_{1}\sin \beta =3\sin \beta \Rightarrow$$ $$AB=6 \sin \beta$$. Аналогично $$BC=8 \sin \alpha$$

     3) По теореме синусов из $$\Delta ABC$$ : $$\frac{AB}{\sin \angle ACB}=\frac{BC}{\sin \angle BAC}\Leftrightarrow$$ $$\frac{6 \sin \beta }{\sin \alpha }=\frac{8 \sin \alpha }{\sin \beta }\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

$$\frac{AC}{\sin \angle ABC}=\frac{AB}{\sin \angle ACB}\Leftrightarrow$$ $$AC= \frac{AB}{\sin ACB }* \sin ABC=\frac{6 \sin \beta }{\sin \alpha }*\frac{\sqrt{3}}{2}=6* \frac{2}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{2}=6$$

   Б) 1) Общая хорда пусть будет BD. Тогда OD=OB=3; $$O_{2}D=O_{2}B=4$$ - радиусы.

     2) Построим $$O_{1}K\perp O_{2}C\Rightarrow$$ $$KC=O_{1}A=3\Rightarrow$$ $$O_{2}K=4-3=1$$, $$O_{1}K=AC=6\Rightarrow$$ из $$\Delta O_{1}KO_{2}$$: $$O_{2}O_{1}=\sqrt{O_{1}K^{2}+O_{2}K^{2}}=\sqrt{37}$$

     3) $$DB\perp O_{1}O_{2}$$ и $$DH=HB$$. Пусть $$O_{1}H=x$$; $$O_{2}H=\sqrt{37}-x$$; $$DH=HB=y$$, тогда по т. Пифагора из $$\Delta O_{1}HD$$ и $$O_{2}HD$$: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=3^{2}\\(\sqrt{37}-x)^{2}+y^{2}=4^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y^{2}=9-x^{2}\\37-2x\sqrt{37} +x^{2}+9-x^{2}=16\end{matrix}\right.$$

Тогда: $$2x\sqrt{37}=30\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{15}{\sqrt{37}}\Rightarrow$$ $$y=\sqrt{9-\frac{225}{37}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{37}}\Rightarrow$$ $$DB=2*\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{37}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$$

 

Задание 7021

На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону KL в точке Р. На стороне КМ взята точка R так, что отрезок LR пересекает окружность в точке Q, причем отрезки QP и ML параллельны, KR=2RM и $$ML=8\sqrt{3}$$ .

А) Найдите отношение LP:PK
Б) Найти MQ.
Ответ: А)1:3 Б)$$4\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) $$1) \angle MPL=90$$ (вписанный и опирается на диаметр); $$\angle QMP=\angle OLP$$ (опираются на одну дугу), $$\angle PQL=\angle PML$$ (аналогично) , но $$\angle PML=\angle QPM$$ (накрест лежащие )$$\Rightarrow$$ $$\angle QPM=\angle QPL\Rightarrow$$ $$QM =PL\Rightarrow$$ $$\angle QLM=\angle PML=\alpha$$

     2) $$\Delta PML\sim \Delta KML \Rightarrow$$ $$\angle MKL=\angle PML=\alpha \Rightarrow$$ $$\Delta MKL\sim \Delta RML$$. Пусть $$MR=x \Rightarrow$$ $$RK=2x$$ и $$MK=3x$$ . Из подобия: $$\frac{RM}{ML}=\frac{ML}{MK}\Leftrightarrow$$ $$\frac{x}{8\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3x}\Rightarrow$$ $$x=8$$

     3) из $$\Delta RML$$: $$RL=\sqrt{MR^{2}+ML^{2}}=\sqrt{8^{2}+(8\sqrt{3})^{2}}=16\Rightarrow$$ $$\sin \alpha =\frac{MR}{RL}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$\alpha =30$$

     4) из $$\Delta MPL$$: $$PL=ML* \sin \alpha =4\sqrt{3}$$. Из $$\Delta KML:$$ $$KL=\frac{ML}{\sin \alpha }=16 \sqrt{3}\Rightarrow$$ $$KP=12\sqrt{3}$$ и $$LP: PK =1: 3$$

Б) $$MQ=PL=4\sqrt{3}$$

 

Задание 7041

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке D и боковой стороны АВ в точке Е. Точка F – середина стороны АВ, а точка G – точка пересечения окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону АВ в точке Н. Известно, что FH:HE=2:3.

А) Докажите, что $$\angle HGE=\angle EDG$$
Б) Найдите $$\angle BCA$$
Ответ: $$arccos \frac{3}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А)  1) $$\angle HGE$$ - угол между хордой EG и касательной HG$$\Rightarrow$$ $$\angle HGE=\frac{\smile EG}{2}$$

     2) $$\angle EDG$$ - вписанный $$\Rightarrow$$ $$\angle EDG=\frac{\smile EG}{2}\Rightarrow$$ $$\angle HGE=\angle EDG$$

Б)  1) $$AF=FD$$ (по условию ) $$AD=DC\Rightarrow$$ FD-средняя линия и $$FD=\frac{AB}{2}=\frac{BC}{2}$$; $$\angle HAD=\angle FDA$$

     2) Пусть $$H \in BE$$; $$\angle A=\angle C=\alpha \Rightarrow$$ $$\angle FDA=\alpha$$; $$FH=2x\Rightarrow$$ $$HE=3x$$

     3) из $$\Delta AFD$$: $$\angle AFD=180-2\angle A=180-2\alpha$$; Из AEOD: $$\angle O=180-\angle A=180-\alpha$$; $$\angle DGE=\frac{\smile ED}{2}=\frac{\angle O}{2}=90-\frac{\alpha }{2}$$

Из $$\Delta EFG$$: $$\angle FEG +\angle EFG=\angle DGE\Rightarrow$$ $$\angle FEG=\angle DGE-\angle EFG=\frac{3\alpha }{2}-90$$

     4) $$\Delta EGH$$ – равнобедренный (образован касательными) $$\Rightarrow$$ $$\angle HGE=HEG=\frac{3\alpha }{2}-90\Rightarrow$$ $$\angle GHF=2\angle HGE=3\alpha -180$$(внешний угол $$\Delta EGH$$)

     5) $$\Delta FGH=180-\angle GHF-\angle F=180-\alpha$$ (из $$\Delta EGH$$)

     6) из $$\Delta FHG$$: по т. Синусов: $$\frac{FH}{\sin \angle FGH}=\frac{HG}{\sin \angle GHF}$$, но $$HG=HE\Rightarrow$$ $$\frac{2x}{\sin (180-\alpha )}=\frac{3x}{\sin (180-2\alpha )}\Leftrightarrow$$ $$\frac{2}{\sin \alpha }=\frac{3}{\sin 2\alpha }\Leftrightarrow$$ $$2 \sin 2\alpha -3 \sin \alpha =0\Leftrightarrow$$ $$4 \sin \alpha \cos \alpha -3 \sin \alpha =0 \Leftrightarrow$$ $$\sin \alpha (4 \cos \alpha -3)=0 \Leftrightarrow$$ $$\cos \alpha =\frac{3}{4}\Rightarrow$$ $$\alpha =arccos \frac{3}{4}$$($$\sin \alpha$$ не может быть 0 )

 

Задание 7062

Окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Прямые СМ и ВN пересекаются в точке Р. Точка О – середина АР.

А) Докажите, что треугольник ОМN равнобедренный.
Б) Найдите площадь треугольника ОМN, если известно, что АМ = 3, ВМ = 9, АN = 4.
Ответ: $$\frac{17\sqrt{2}}{16}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) $$\angle BMC=90$$ (вписанный , опирается на диаметр) $$\Rightarrow$$ $$\angle AMP=90\Rightarrow$$ $$\Delta AMP$$ -прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$MO=\frac{1}{2} AP$$(медиана в прямоугольном треугольнике к гипотенузе)

   2) аналогично , $$ON=\frac{1}{2} AP\Rightarrow$$ $$OM=ON\Rightarrow$$ $$\Delta MON$$ - равнобедренный

     Б) 1)$$\Delta AMN\sim \Delta ABC\Rightarrow$$ $$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow$$ $$AC=\frac{3*12}{4}=9\Rightarrow$$ $$NC=5$$

   2) из $$\Delta BAN$$: $$BN^{2}=AB^{2}-AN^{2}=128$$. Из $$\Delta NCB$$: $$BC=\sqrt{NC^{2}+BN^{2}}=\sqrt{153}\Rightarrow$$ $$MK=KN=\frac{\sqrt{153}}{2}$$(радиусы)

   3) $$\Delta AMN\sim \Delta ABC\Rightarrow$$ $$\frac{AM}{AC}=\frac{NM}{CB}\Rightarrow$$ $$NM=\frac{AM}{AC}*CB=\frac{\sqrt{53}}{3}$$

   4) Пусть $$NM\cap OK=H$$ , т.к. $$OM=ON$$ , то OM и ON –касательные $$\Rightarrow$$ $$KM\perp OM$$; $$KN\perp ON$$ ; $$\Delta OMK=\Delta ONK$$ ; $$NH=HM=\frac{NM}{2}=\frac{\sqrt{153}}{6}$$

   5) из $$\Delta HMK \sin K=\frac{HM}{MK}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$$$\cos K=\frac{2\sqrt{2}}{3}\Rightarrow$$$$HK=MK*\cos K=\frac{\sqrt{153}}{2}*\frac{2\sqrt{2}}{3}=\sqrt{34}$$

   6) MH – высота $$\Rightarrow$$ $$\Delta OMH \sim \Delta MHK\Rightarrow$$ $$\frac{OH}{HM}=\frac{HM}{HK}\Rightarrow$$$$OH=\frac{153}{36} :\sqrt{34}=\frac{17}{4\sqrt{34}}=\frac{\sqrt{34}}{8}$$

   7) $$S_{NOM}=OH *HM=$$$$\frac{\sqrt{34}}{8}*\frac{\sqrt{153}}{6}=\frac{17\sqrt{2}}{16}$$

 

Задание 7202

В окружность с центром О вписан треугольник АВС ($$\angle A>\frac{\pi}{2}$$). Продолжение биссектрисы AF угла А этого треугольника пересекает окружность в точке L, а радиус АО пересекает сторону ВС в точке Е. Пусть АН – высота треугольника АВС. Известно, что $$AL=4\sqrt{2}$$, $$AH=\sqrt{2\sqrt{3}}$$, $$\angle AEH=\frac{\pi}{3}$$.

А) Докажите, что AF – биссектриса угла ЕАН
Б) Найдите отношение площади треугольника OAL к площади четырехугольника OEFL.
Ответ: $$\frac{4}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) Пусть $$AC<AB$$; т.к. AL –биссектриса $$\angle CAB$$, то $$\smile CL=\smile BL$$ (вписанные углы, опирающиеся на эти дуги равны ) $$\Rightarrow$$ $$\angle COL=\angle LOB$$(центральные ), $$OB=OC=OL$$ - радиусы $$\Rightarrow$$ $$\Delta BOL=\Delta OLC$$. Пусть $$OL\cap BC=D$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$\Delta BOL=\Delta OLC$$, то $$\angle BLO=\angle OLC$$ и $$BL=LC\Rightarrow$$ LD-биссектриса и высота $$\Rightarrow$$ $$LD\perp BC\Rightarrow$$ $$LD\left | \right |AH$$

     2) $$\angle OLA=\angle HAF$$ (накрест лежащие ); Из $$\Delta OAL$$: $$\angle OAL=\angle OLA$$ ($$OA=OL$$-радиусы ) $$\Rightarrow$$ $$\angle OAF=\angle LAH\Rightarrow$$ AF - биссектриса $$\angle EAH$$

     Б) 1) $$\angle AEH=60\Rightarrow$$ $$\Delta EAH \angle EAH=90-60=30\Rightarrow$$ $$\angle EAF=\angle FAH=\frac{30}{2}=15$$

     2) Пусть $$OG\perp AL\Rightarrow$$ из $$\Delta OAG$$: $$AO=\frac{AG}{\cos OAL}=\frac{\frac{1}{2}AL}{\cos OAL}$$; $$S_{OAL}=\frac{1}{2} AL*AO*\sin OAL=$$$$\frac{1}{2} AL*\frac{\frac{1}{2}AL}{\cos OAL}*\sin OAL=$$$$\frac{AL^{2}tg 15}{4}=8 tg 15$$

     3) из $$\Delta FAH$$: $$AF=\frac{AH}{\cos FAH}=\frac{AH}{\cos 15}$$. Из $$\Delta EAH$$: $$AE=\frac{AH}{\cos EAH}=\frac{AH}{\cos 30}$$; $$S_{\Delta FAE}=\frac{1}{2} AF*AE\sin 15=$$$$\frac{1}{2} *\frac{AH}{\cos 15}*\frac{AH}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sin 15=$$$$\frac{AH^{2}}{\sqrt{3}}tg15=2 tg15$$

     4) $$S_{OELF}=S_{OAL}-S_{FAE}=6 tg 15$$; $$\frac{S_{OAL}}{S_{OEFL}}=$$$$\frac{8 tg16}{6 tg15}=\frac{4}{3}$$

 

Задание 7414

Точка M —середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.

а) Докажите, что $$\angle CAN=\angle CMN$$.
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если $$tg \angle BAC=\frac{4}{3}$$
Ответ: $$\frac{5}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А)   1) Рассмотрим NMAC: $$\angle C=\angle M=90^{\circ}$$$$\Rightarrow$$ около NMAC можно описать окружность. Тогда $$\angle CAN=\angle NMC$$ так как опираются на одну хорду

Б)   1) $$tg \angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$$; пусть BC=4x, тогда AC=3x и AB=5x (по теореме Пифагора)

     2) т.к. М - середина, то СМ - медиана прямоугольного треугольника, опущенная к гипотенузе, следовательно, СМ=МВ

     3) $$MN \perp AB$$ и ВМ=МА, следовательно, $$\Delta BNM=\Delta NMA$$, тогда $$\Delta ANB$$ - ранобедренный

     4) т.к. $$\angle A$$ - общий, то $$\Delta ANB=\Delta CBM$$, следовательно, $$\frac{R_{ANB}}{R_{CBM}}=\frac{AB}{CB}=\frac{5}{4}$$

 

Задание 7443

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, а BH —высота этого треугольника.

а) Докажите, что углы ABH и CBO равны.
б) Найдите BH, если AB = 16, BC = 18, BH = BO.
Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7685

Окружность радиуса $$2\sqrt{3}$$ касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках К и Р и пересекает строну АВ в точках M и N (точка N между точками В и М). Известно, что MР и AC параллельны, CK = 2, BP = 6.

А) Найдите угол ВСА
Б) Найдите площадь треугольника BKN
Ответ: а) $$120^{\circ}$$; б)$$3\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7945

В треугольнике АВС провели высоты АА1 и ВВ1. Окружность, описанная вокруг треугольника ANA1, где точка N – середина стороны АВ, пересекла прямую А1В1 в точке К.

а) Докажите, что прямая АК касается окружности, описанной около треугольника АВС.
б) Найдите отношение площадей четырехугольника АВА1В1 и треугольника СА1В1, если $$\angle ABC=45^{\circ}$$; AB1=BN=1
Ответ: $$7+4\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8270

Стороны треугольника АВС равны АВ=7, ВС=8, АС=11. Вписанная окружность касается стороны АС в точке R. А вневписанная окружность касается стороны АС в точке F и продолжений сторон АС и ВС.

а) Докажите, что AF+AB=FC+BC
б) Найдите расстояние между точками F и R.
Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Пусть $$MB=x$$, тогда по свойству касательных $$BN=x$$. $$AM=AR=y$$; $$RC=CN=a$$; $$RF=z$$ $$\Rightarrow$$ $$FC=CI=a-z$$; $$AJ=AF=y+z$$

2) $$(*)$$ $$AF+AB=FC+BC$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y+z+y+x=a-z+a+x$$ $$\Rightarrow$$ $$2y=2a-2z$$ $$\Rightarrow$$ $$y=a-z$$ $$(1)$$

Но $$BI=BJ$$ $$\Rightarrow$$ $$y+z+y+x=a-z+a+x$$ $$\Rightarrow$$ $$y=a-z$$

Получим, что $$(1)$$ - верно $$\Rightarrow$$ $$(*)$$ - тоже верно

Б) 1) из $$\bigtriangleup O_{1}AR$$: $$\frac{O_{1}R}{AR}=\tan O_{1}AR=\tan\frac{\angle A}{2}$$

Найдем полупериметр: $$\bigtriangleup ABC$$: $$p=\frac{7+8+11}{2}=13$$ $$\Rightarrow$$ радиус вписанной окружности $$(O_{1}R)$$ по формуле Герона: $$r=\sqrt{\frac{(13-7)(13-8)(13-11)}{13}}=\sqrt{\frac{60}{13}}$$

2) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$\cos A=\frac{7^{2}+11^{2}-8^{2}}{2\cdot7\cdot11}=\frac{53}{77}$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin\frac{\angle A}{2}=\sqrt{1-\frac{\cos A}{2}}=\sqrt{\frac{12}{77}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos\frac{\angle A}{2}=\sqrt{1-\sin^{2}\frac{\angle A}{2}}=\sqrt{\frac{65}{77}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\tan\frac{A}{2}=\frac{\sin\frac{\angle A}{2}}{\cos\frac{\angle A}{2}}=\sqrt{\frac{12}{65}}$$

3) $$AR=\frac{O_{1}R}{\tan\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{60}{13}}\cdot\sqrt{\frac{65}{12}}=5$$ $$\Rightarrow$$ $$FR=11-2\cdot5=1$$

 

Задание 8308

Продолжение высоты ВН пересекает описанную вокруг треугольника АВС окружность $$\omega$$ в точке D, при этом BD=BC. На луче BD за точку D отмечена точка Е такая, что ЕА касается $$\omega$$ в точке А.

а) Докажите, что $$3\angle EBC+2\angle BEA=180^{\circ}$$
б) Найдите АЕ, если дополнительно известно, что $$\angle ABC=3\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6}$$, а $$DC=10$$
Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Пусть $$\angle EBC=\angle2$$, $$\angle EBA=\angle1$$, тогда: $$\angle DAC=\angle2$$ (опирается на ту же дугу); $$\angle EAD=\angle1$$ ( на дугу $$AD$$) $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup EHA$$: $$\angle BEA=90-(\angle1+\angle2)$$. Тогда: $$3\angle EBC+2\angle BEA=180^{\circ}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$3\angle2+180-2\angle1-2\angle2=180^{\circ}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\angle2=2\angle1$$ - надо доказать

2) Т.к. $$BD=DC$$ то $$\bigtriangleup BDC$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$BO$$ - высота, биссектриса (О - центр окружности) $$\Rightarrow$$ $$\angle OBA=\frac{\angle2}{2}=\angle1$$ из $$\bigtriangleup AOB$$ (равнобедренный) $$\angle OAB=\frac{\angle2}{2}+\angle1$$

3) из $$\bigtriangleup AHB$$: $$\angle HAB=90-\angle1$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle HAO=90-2\angle1-\frac{\angle2}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DAO=90-2\angle1+\frac{\angle2}{2}$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup DOA$$: $$\angle DOA=180^{\circ}-2(90^{\circ}-2\angle1+\frac{\angle2}{2})=4\angle1-\angle2$$

Но $$\angle DOA=2\angle DBA$$ (вписанный и центральный, опираются на одну дугу) $$\Rightarrow$$ $$4\angle1-\angle2=2\angle1$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle2=2\angle1$$

ч.т.д.

Б) 1) Из $$\bigtriangleup CBD$$: $$\frac{CD}{\sin B}=2OB$$. $$\angle ABC=3\angle1=3\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle1=\frac{\sqrt{6}}{6}$$; $$\angle2=2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6}$$; $$\sin B=\sin(2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=2\sin(\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})\cos(\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})$$

Учтем, что $$\arcsin a=\arccos(\sqrt{1-a^{2}})$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin B=2\cdot\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot\frac{\sqrt{30}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$OB=\frac{10}{2\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}}=3\sqrt{5}$$

2) $$\angle DOA=2\angle1$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=\sqrt{AO^{2}+OD^{2}-2AO\cdot OD\cos2\angle1}$$; $$\cos2\angle1=\cos(2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=1-2\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=\sqrt{45+45-2\cdot45\cdot\frac{2}{3}}=\sqrt{30}$$

3) Из $$\bigtriangleup AEH$$: $$\angle AEH=90-\angle EAH=90-3\angle1$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin AEH=\sin(90-3\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=\cos(3\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=4\cos^{3}(\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})-3\cos(\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=4\cdot\frac{5\sqrt{5}}{6\sqrt{6}}-3\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{6}}$$

4) По т. синусов из $$\bigtriangleup AED$$: $$\frac{AE}{\sin EDA}=\frac{AD}{\sin AED}$$; $$\angle EDA=90+\angle2$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin EDA=\sin(90+2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=\cos(2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$AE=\frac{\frac{2}{3}\cdot\sqrt{30}}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}\cdot3}}=\frac{2\sqrt{30}\cdot3\cdot\sqrt{6}}{3\sqrt{5}}=12$$

 

Задание 8683

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD и CE, пересекающиеся в точке Р. Известно, что АС=26, DE=10

а) Найдите отношение радиусов окружностей, вписанных в треугольники DEP и АСР
б) Найдите расстояние между серединами отрезков АС и DE.
Ответ: а) $$\frac{5}{13}$$; б) $$12$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Рассмотрим окружность, построенную на $$AC$$ как на диаметре. Углы $$AEC$$ и $$ADC$$ равны 90°, следовательно, $$E$$ и $$D$$ лежат на этой окружности. Углы $$EDA$$ и $$ECA$$ равны как вписанные, значит, треугольники $$EDP$$ и $$APC$$ подобным по двум углам. Коэффициент подобия равен $$\frac{ED}{AC}=\frac{5}{13}$$ , значит, и отношение радиусов равно 5 : 13.

б) Пусть $$M $$— середина $$ED$$, $$N $$— середина $$AC$$, $$AC$$ — диаметр окружности, проходящей через $$E$$ и $$D$$. Тогда $$NE=ND=\frac{AC}{2}=13$$, следовательно, треугольнике $$NED$$ — равнобедренный, $$NM $$— медиана и высота.
Тогда $$MN^{2}=13^{2}-5^{2}=12^{2}, откуда $$MN=12$$.

 

Задание 8700

Точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.

а) Докажите, что $$\angle POA=\angle PAO$$.
б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6, $$\angle BAC=75$$, $$\angle ABC=60$$.
Ответ: $$9\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8720

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке E.

а) Докажите, что $$\angle EOC=\angle ECO$$.
б) Найдите площадь треугольника ACE, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $$6\sqrt{3}$$, $$\angle ABC=60$$.
Ответ: $$27\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8781

В треугольнике ABC известно, что AC=10 и AB=BC=14.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
Ответ: 1:3:1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8800

В треугольнике АВС известно, что AC=26 и AB=BC=38.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
Ответ: 4:5:4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8874

В остроугольном треугольнике АВС угол А равен 40, отрезки ВВ1и СС1– высоты, точки В2 и С2 – середины сторон АС и АВ соответственно. Прямые В1С2 и С1В2пересекаются в точке К.

а) Докажите, что точки В1, В2, С1 и С2 лежат на одной окружности

б) Найдите угол В1КВ2

Ответ: б) 60 градусов
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9048

В треугольнике АВС биссектриса угла В пересекает описанную окружность этого треугольника в точке F. Е – центр окружности, касающейся стороны АС и продолжений сторон АВ и ВС (вневписанная окружность). О – центр вписанной окружности треугольника АВС.

а) Докажите, что отрезки AF и OF равны

б) Найдите длину отрезка CF, если ОЕ = 14.

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9094

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD-диаметр этой окружности.

а) Докажите, что AD=CF.

б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 12, $$\angle BAC$$=35°, $$\angle ACB$$=65°.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9113

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN-диаметр этой окружности.

а) Докажите, что AC и KN параллельны.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $$6\sqrt{6}$$, $$\angle BAC$$=30°, $$\angle ABC$$=105°.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9164

Вписанная в треугольник АВС окружность с центром О касается сторон АВ и АС в точках М и N соответственно. Прямая ВО пересекает окружность, описанную около треугольника CON вторично в точке Р.

а) Докажите, что точка Р лежит на прямой MN

б) Найдите площадь треугольника АВР, если площадь треугольника АВС равна 24.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9783

Окружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках А и В соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка К так, что расстояния от нее до продолжений сторон АС ВС равны 39 и 156 соответственно.

а) Найдите расстояние от точки К до прямой АВ.
б) В каком отношении перпендикуляр, опущенный из точки К на прямую АВ, делит площадь пятиугольника KFABE, где точки F и Е – основания перпендикуляров, опущенных из точки К на прямые АС и АВ соответственно?
Ответ: а) 78; б) 1:4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9950

Окружность радиуса $$\sqrt{3}$$ касается прямой a в точке А, а прямой b в точке В так, что хорда АВ стягивает дугу окружности в 600. Прямые a и b пересекаются в точке F. Точка С расположена на луче FA, а точка D – на луче BF так, что AC=BD=2. 

а) Докажите, что треугольник BAD – прямоугольный
б) Найдите длину медианы треугольника CBD, проведенную из вершины D.
Ответ: $$\frac{3}{2}$$
 

Задание 10055

В треугольнике АВС сторона ВC больше стороны АC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке К. Окружность, описанная около треугольника АКL вторично пересекает прямую АС в точке Р.

А) Докажите, что отрезки ВС и РС равны.
Б) Найдите площадь треугольника АРК, если ВС=6, АВ=5, АС=4.
Ответ: $$\sqrt{7}$$
 

Задание 10136

На основании АС равнобедренного треугольника АВС расположена точка D так, что AD=2, CD=1. Окружности, вписанные в треугольники ABD и DBC, касаются прямой BD в точках M и N соответственно.

а) Найдите длину отрезка MN
б) Докажите, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, не может быть более чем в 2 раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник DBC.
Ответ: 0,5
 

Задание 10216

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон ВА и ВС в точках Е и F.

а) Докажите что центр окружности, вписанной в треугольник ВЕF, лежит на окружности, вписанной в треугольник АВС.
б) Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если ВЕ=13, EF=10.
Ответ: $$\frac{65}{12}$$
 

Задание 10263

В треугольнике АВС $$\angle B=70^{\circ}$$, $$\angle C=25^{\circ}$$, BD - диаметр описанной около треугольника АВС окружности. Продолжение высоты ВН пересекает окружность в точке L.

а) Докажите, что $$\angle ACD$$=$$\angle CAL$$ 
б) Найдите длину отрезка DL , если радиус описанной окружности равен $$4\sqrt{3}$$
Ответ: 12
 

Задание 10499

В треугольнике АВС точка О – центр описанной окружности. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D, а описанную вокруг треугольника АВС окружность – в точке Т.

а) Докажите, что АС – биссектриса угла ТСВ
б) Найдите CD, если АВ=84, АС=98.
Ответ: 26
 

Задание 10510

Точка I ‐ центр окружности, вписанной в треугольник ABC . Луч BI пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке N . Известно, что $$\angle ABC=60^{\circ}$$ 

а) Докажите, что N ‐ центр окружности, описанной около треугольника ABC N AIC
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если известно, что IN=1.
Ответ: 1
 

Задание 10578

Окружность с центром $$O$$, вписанная в прямоугольный треугольникa $$ABC$$, касается гипотенузы $$AB$$ в точке $$M$$, а катета $$AC$$ - в точке $$N$$, $$AC<BC$$. Прямые $$MN$$ и $$CO$$ пересекаются в точке $$K$$. 

а) Докажите, что угол $$CKN$$ в два раза меньше угла $$ABC$$

б) Найдите $$BK$$, если $$BC=2\sqrt{2}$$
 

Ответ: 2
 

Задание 10618

В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка М, причем $$\angle BAM=30{}^\circ $$. Прямая АМ пересекает окружность, описанную около треугольника АВС в точке N, отличной от А. Известно, что $$\angle BNC=105{}^\circ ,\ AB=2,AC=2\sqrt{6}$$.

а) Доказать, что $$BN:NC=1:\sqrt{2}$$

б) Найдите длину отрезка AN.

Ответ: 4
 

Задание 10658

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся его сторон ВС, АС и АВ в точках Р, Q, R соответственно.

Известны длины катетов: $$AC=4$$, $$BC=3$$.

а) Доказать, что $$AO\cdot BO\cdot CO=10$$
б) Найдите площадь треугольника PQR
Ответ: 1,2
 

Задание 10694

Точка $$O_1$$ - центр вписанной окружности равнобедренного треугольника АВС, а $$O_2$$ - центр вневписанной окружности, касающейся основания ВС.

а) Докажите, что расстояние от середины отрезка $$O_1O_2$$ до точки С вдвое меньше $$O_1O_2$$.

б) Известно, что радиус первой окружности в пять раз меньше радиуса второй. В каком отношении точка касания первой окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Ответ: 1:2
 

Задание 10734

Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках $$C_1,B_1,A_1$$соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника $$AB_1C_1$$

а) Докажите, что $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$.
б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник $$AC_1B_1$$, если известно, что ВС = 15, АВ = 13, АС = 14.
Ответ: 4
Скрыть

а) Поскольку$$\ AC_1=AB_1$$, треугольник$$\ AB_1C_1$$ равнобедренный, биссектриса его угла А перпендикулярна основанию $$B_1C_1$$ и делит его пополам, значит, высота треугольника $$B_1QC_1$$ проведённая из вершины Q, является его медианой. Значит, треугольник $$B_1QC_1$$ равнобедренный, $$\angle QB_1C_1=\angle QC_1B_1$$.

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что $$\angle AC_1B_1=2\angle QB_1C_1=2\angle QC_1B_1$$. Следовательно, $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$.

б) Поскольку Q - точка пересечения биссектрис треугольника $$AB_1C_1$$, эта точка - центр окружности, вписанной в треугольник $$AB_1C_1.$$ Значит, искомое расстояние - это длина отрезка OQ, т.е. радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Пусть этот радиус равен r, а полупериметр треугольника ABC равен р. Тогда $$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21\to $$ $$\to S_{\triangle ABC}=\sqrt{21\left(21-13\right)\left(21-14\right)\left(21-15\right)}=84$$

Следовательно, $$OQ=R=\frac{S_{\triangle ABC}}{P}=\frac{84}{21}=4$$.

 

Задание 10754

Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках $$C_1,B_1,\ A_1$$ соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника $$AB_1C_1$$.

а) Докажите, что $$C_1Q$$ - биссектриса угла$$\ AC_1B_1$$
б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник $$AB_1C_1$$ если известно что ВС = 7, АВ = 15, АС = 20.
Ответ: 2
Скрыть

а) В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Стороны AB и AC - касательные к окружности и по теореме об отрезках касательных $$AC_1=AB_1$$ и, следовательно, треугольник$$\ AC_1B_1$$ - равнобедренный. AQ - биссектриса угла A по условию и в равнобедренном треугольнике $$AC_1B_1$$ биссектриса $$AA_2$$ (продолжение AQ) является медианой и высотой. Следовательно, $$QA_2$$ в треугольнике $$C_1QB_1$$ является также медианой и высотой, а сам треугольник $$C_1QB_1$$ - равнобедренный, так как $$\angle 1=\angle 2$$.

По теореме об угле между касательной $$AC_1$$ и хордой $$C_1B_1$$, имеем: $$\angle AC_1B_1=2\cdot \angle 1=2\cdot \angle 2$$, следовательно, $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$.

б) Рассмотрим треугольник $$AC_1B_1$$. Известно, что центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов, поэтому для $$AC_1B_1$$ центр вписанной окружности соответствует точке Q.

Найдем расстояние от точки O до точки Q, равный радиусу r вписанной окружности в треугольник ABC. Используя формулу площади треугольника ABC, можно записать $$S_{ABC}=p\cdot r$$, где p - полупериметр треугольника ABC. То есть, радиус r, равен: $$r=S_{ABC}/p$$.

Площадь треугольника ABC также можно найти по формуле Герона.

Делаем вычисления. Полупериметр треугольника ABC, равен: $$p=\frac{7+15+20}{2}=21$$, площадь треугольника ABC, равна: $$S_{ABC}=\sqrt{21\cdot \left(21-7\right)\cdot \left(21-15\right)\cdot (21-20)}=42$$ и радиус вписанной окружности $$r=\frac{42}{21}=2$$, то есть $$OQ = r = 2$$.

Задание 11002

В остроугольном треугольнике АВС провели высоты $$AH_1$$ и $$CH_2$$, затем провели луч МН, который пересекает описанную около треугольника АВС в точке К, где М - середина АС, а Н - точка пересечения высот.

А) Докажите, что $$НМ=МК$$

Б) Найдите площадь треугольника ВСК, если $$\angle ABC=60{}^\circ ;\ \angle BAC=45{}^\circ ;\ AC=1$$

Ответ: $$\frac{1}{3}$$
 

Задание 11022

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Ответ: $$\frac{1}{2}.$$
Скрыть

а) Треугольник ABC - равнобедренный ($$AB\ =\ BC$$), BH - высота, следовательно, BH - биссектриса угла ABC. Окружность с центром в точке O вписана в угол CBE, поэтому ее центр находится на биссектрисе (BO) угла CBE. Углы ABC и CBE - смежные, их сумма равна 180$${}^\circ$$, следовательно, сумма углов HBC и OBC равна 90$${}^\circ$$. Получаем, что в четырехугольнике HBON $$\angle HBO=\angle BHN=\angle ONH=90{}^\circ $$ то есть, имеем прямоугольник HBON. Его противоположные стороны равны $$BH=ON$$ и радиус окружности с центром O равен высоте треугольника ABC.

б) Пусть радиус вписанной окружности равен $$r$$. Так как радиус описанной окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности, то $$BH=4r$$, а $$O_1B=4r-r=3r$$ (см. рисунок). Прямоугольник $$O_1MB$$ - прямоугольный, так как $$O_1M\bot BC$$ (BC - касательная, а O1M - радиус). Тогда по теореме Пифагора, имеем: $$MB=\sqrt{O_1B^2-O_1M^2}=\sqrt{9r^2-r^2}=2\sqrt{2}r.$$

Рассмотрим треугольники $$BO_1M$$ и $$BCH$$, которые подобны по двум углам (угол B - общий, а $$\angle O_1MB=\angle BHC=90{}^\circ $$). Следовательно, $$\frac{BM}{O_1M}=\frac{BH}{CH}$$, откуда $$CH=\frac{O_1M\cdot BH}{BM}=\frac{r\cdot 4r}{2\sqrt{2}r}=\sqrt{2}r.$$

Также $$CH=CM$$ по теореме об отрезках касательных, то есть, $$CM=\sqrt{2}r$$. Соответственно, $$\frac{CM}{BM}=\frac{\sqrt{2}r}{2\sqrt{2}r}=\frac{1}{2}.$$

 

Задание 11088

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, АВ и АС в точках K, L и М соответственно. Прямая КМ вторично пересекает в точке Р окружность радиуса АМ с центром А.

а) Докажите, что прямая АР параллельна прямой ВС

б) Пусть $$\angle ABC=90{}^\circ ,\ AM=3,\ CM=2,\ Q$$ - точка пересечения прямых КМ и АВ, а Т - такая точка на отрезке РQ, что $$\angle OAT=45{}^\circ .$$ Найдите QT.

Ответ: $$\frac{12\sqrt{5}}{5}$$
 

Задание 11450

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.

А) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны
Б) Найдите площадь четырехугольника BOMN, если CN=8, AM:MC=1:3.
Ответ: 28
 

Задание 11732

Три точки А, В и С разбивают окружность на три дуги. Каждая из дуг разбивается на три равные части так, что на окружности последовательно стоят точки А, А1, А2, В, В1, В2, С, С1, С2.

А) Докажите, что точки пересечения прямых А1В2, В1С2 и С1А2образуют равносторонний треугольник

Б) Найдите стороны этого треугольника, если АС=1, ВС=2, АВ= 3

Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$
 

Задание 11751

В остроугольном треугольнике ABC высоты BB1и CC1пересекаются в точке H.

а) Докажите, что $$\angle NAH=\angle BB_{1}C_{1}$$ 
б) Найдите расстояние от цента описанной окружности треугольника ABC до стороны BC, если B1C1=12 и $$\angle BAC=60^{\circ}$$.
Ответ: $$4\sqrt{3}$$
 

Задание 11770

В треугольнике ABC AB=3, $$\angle ABC=\arcsin \frac{3}{5}$$. Хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что $$\angle ABC=\angle CML$$, площадь четырёхугольника ABLM равна 2, LM=1.

а) Докажите, что треугольник KNC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника KNC.
Ответ: $$\frac{3}{4}$$
 

Задание 12395

Точка О - центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.

а) Докажите, что $$\angle POA\ =\ \angle PAO.$$
б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6, $$\angle BAC\ =\ 75{}^\circ ,\ \angle ABC\ =\ 60{}^\circ .$$
Ответ: $$9\sqrt{2}$$
 

Задание 12415

Точка О - центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Е.

а) Докажите, что $$\angle EOC=\ \angle ECO.$$
б) Найдите площадь треугольника АСЕ, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен $$6\sqrt{3},\ \angle ABC\ =\ 60{}^\circ .$$
Ответ: $$27\sqrt{3}$$
 

Задание 12473

В треугольнике АВС известно, что $$AC\ =\ 10$$ и $$AB\ =\ BC=\ 14.$$

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.
Ответ: 1:3:1
 

Задание 12495

В треугольнике АВС известно, что $$AC\ =\ 26$$ и $$AB\ =\ BC\ =\ 38.$$

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.

б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.

Ответ: 4:5:4
 

Задание 12735

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны.

б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если $$CN\ =\ 4$$ и $$AM\ :\ MC\ =\ 1:3.$$

Ответ: 7
 

Задание 12796

В треугольнике АВС известно, что $$\angle BAC\ =\ 60{}^\circ ,\ \ \angle ABC=\ 45{}^\circ .$$ Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что $$BC\ =\ 6.$$

Ответ: $$6\sqrt{3}$$
 

Задание 12836

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках $$C_1,B_1,A_1$$ соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника $${AB}_1C_1$$

а) Докажите, что $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник $$AC_1B_1$$, если известно, что $$BC\ =\ 15,\ AB\ =\ 13,\ AC\ =\ 14.$$

Ответ: 4
 

Задание 12855

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках $$C_1,B_1,A_1$$ соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника $${AB}_1C_1$$

а) Докажите, что $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник $$AB_1C_1$$, если известно, что $$BC\ =\ 7,\ AB\ =\ 15,\ AC\ =\ 20.$$

Ответ: 2
 

Задание 12917

Точки А и В лежат на окружности с центром О и радиусом 6, а точка С равноудалена от точек А, В и О. Другая окружность с центром Q и радиусом 8 описана около треугольника АСО.

а) Докажите, что точка пересечения прямых АВ и СQ лежит на окружности, описанной около треугольника ОСВ.
б) Найдите длину отрезка QB.
Ответ: 10
 

Задание 13800

Точки A1, B1, C1 — середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1и B1AC1пересекаются в одной точке.
б) Известно, что АВ=АС=17 и ВС=16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных около треугольников А1СВ1, A1BC1и B1AC1.
Ответ: 2,4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13904

Точки A1, B1, С1 — середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1пересекаются в одной точке.
б) Известно, что АВ=АС=13 и ВС=10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1.
Ответ: $$\frac{5}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14236

Точки $$M$$ и $$P$$ – середины сторон $$BC$$ и $$AD$$ выпуклого четырехугольника $$ABCD$$. Диагональ $$AC$$ проходит через середину отрезка $$MP$$.

а) Докажите, что площади треугольников $$ABC$$ и $$ACD$$ равны.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $$ABM$$, если известно, что $$AB=12$$,$$BC=10$$, а площадь четырехугольника $$AMCP$$ равна 60.
Ответ: 2
 

Задание 14277

В треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$BK$$ и на сторонах $$BA$$ и $$BC$$ взяты соответственно точки $$M$$ и $$P$$Р так, что $$\angle AKM=\angle CKP=\frac{1}{2}\angle ABC$$

а) Докажите, что прямая $$AC$$ касается окружности, описанной около треугольника $$MBP$$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$MBP$$, если известно, что $$AB=10$$, $$BC=15$$, $$AC=20$$.
Ответ: $$\frac{24\sqrt{15}}{25}$$
 

Задание 14294

В треугольнике $$ABC$$ сторона $$AC$$ больше стороны $$BC$$. Биссектриса $$CL$$ пересекает описанную около треугольника $$ABC$$ окружность в точке $$K$$. На стороне $$AC$$ отмечена точка $$P$$ так, что $$\angle ALK=\angle CLP$$ .

А) Докажите, что точки $$A, P, L, K$$ лежат на одной окружности.
Б) Найдите площадь четырехугольника $$APLK$$, если $$BC=4$$, $$AB=5$$, $$AC=6$$.
Ответ: $$\frac{3\sqrt{7}}{2}$$
 

Задание 14332

В треугольнике $$ABC$$ точка $$M$$ – середина $$AC$$.

а) Докажите, что длина отрезка $$BM$$ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон $$AB$$ и $$BC$$.
б) Окружность проходит через точки $$B, C, M$$. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой $$AB$$, если известно, что $$AB=5,BC=3,BM=2$$.
Ответ: 0,2.
 

Задание 14344

Высоты равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$AC$$ пересекаются в точке $$H$$, угол $$B$$ равен 30 градусов. Луч $$CH$$ второй раз пересекает окружность $$\omega$$ , описанную вокруг треугольника $$ABH$$, в точке $$K$$.

а) Докажите, что $$BA – биссектриса угла $$KBC$$.
б) Отрезок $$BC$$ пересекает окружность $$\omega$$ в точке $$E$$. Найдите $$BE$$, если $$AC=12$$.
Ответ: $$12\sqrt{2}$$
 

Задание 14382

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ вершины $$A,B$$ и точка пересечения высот треугольника $$E$$ лежат на окружности, которая пересекает отрезок $$BC$$ в точке $$D$$.

а) Докажите, что треугольник $$ADC$$ равнобедренный
б) Найдите радиус окружности, если $$CD=4, BD=5$$.
Ответ: $$\frac{27\sqrt{2}}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!