ЕГЭ Профиль
Задание 3161
Точка О – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС. На луче АО отмечена точка М так, что ∠BAC+∠AMC=90.
Задание 3207
В треугольнике ABC на AB, как на диаметре, построена окружность ω1, а на AC, как на диаметре, построена окружность ω2. Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точке М, отличной от точек А, В и С.
А) Докажите, что точки М, В и С лежат на одной прямой.
Б) Пусть АМ = 6, а диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 10. Найдите произведение АВ∙АС.
Задание 3427
На стороне BC треугольника ABC отмечена K точка так, что AK = 4, ВК = 9, КС = 3. Около треугольника ABK описана окружность. Через точку C и середину D стороны AB проведена прямая, которая пересекает окружность в точке P, причем CP > CD и $$\angle APB=\angle BAC$$
Задание 4398
Радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен $$\frac{\sqrt{15}}{3}$$. Окружность радиуса $$\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$$ касается вписанной в треугольник АВС окружности в точке Т, а также касается лучей, образующих угол АСВ. Окружности касаются прямой АС в точках К и М.
а) Через Т строим общую касательную $$TL\cap MK=L$$; $$ML=LT$$; $$TL=LK$$ (по свойству касательных) $$\Rightarrow$$ $$ML=TL=LK$$ $$\Rightarrow$$ т.к. TL - медиана, то $$\bigtriangleup MTK$$ - прямоугольный
б) 1) Пусть $$O_{2}H\perp O_{1}M$$ $$\Rightarrow$$ $$HO_{2}=MK$$; $$O_{1}H=O_{1}M-O_{2}K=\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$$
2) $$O_{1}O_{2}=O_{1}T+TO_{2}=\frac{8\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$$
3) из $$\bigtriangleup O_{1}O_{2}H$$: $$O_{2}H=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}H^{2}}=\frac{10}{3}$$
4) Пусть $$KC=a$$; $$\bigtriangleup O_{1}CM\sim\bigtriangleup O_{2}CK$$: $$\frac{O_{1}M}{O_{2}K}=\frac{MC}{KC}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}\div\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{10}{3}+x}{x}$$; $$5x=10+3x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=5$$
5) $$\tan\angle O_{1}CM=\frac{O_{2}K}{KC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}\cdot5}=\frac{1}{\sqrt{15}}$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$CO_{2}$$ - биссектриса, то $$\angle ACB=\frac{2\cdot\frac{1}{\sqrt{15}}}{1-(\frac{1}{\sqrt{15}})^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{7}$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$1+\tan^{2}\alpha=\frac{1}{\cos^{2}\alpha}$$, то $$\cos\angle ACB=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{\sqrt{15}}{7}}}=\frac{7}{8}$$
6) Пусть $$AT=AK=x$$; $$TB=BR=y$$, тогда: $$S_{ABC}=\sqrt{p\cdot(p-a)(p-b)(p-c)}=3\sqrt{15}$$; $$p=\frac{2x+2y+10}{2}=(x+y+5)$$; $$a=x+5$$; $$b=y+5$$; $$c=x+y$$; $$\sqrt{(x+y+5)5xy}=3\sqrt{15}$$; $$(x+y+5)xy=27(1)$$
7) По т. косинусов: $$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos ACB$$; $$(x+y)^{2}=(5+x)^{2}+(5+y)^{2}-2(5+x)(5+y)\cdot\frac{7}{8}$$; $$x^{2}+2xy+y^{2}=25+10x+x^{2}+25+10y+y^{2}-\frac{7}{4}(25+5x+5y+xy)$$; $$50+10(x+y)-\frac{7}{4}(25+5(x+y)+xy)-2xy=0(2)$$
Решим систему уравнений 1 и 2: замена $$x+y=a$$; $$xy=b$$:
$$\left\{\begin{matrix}b(a+5)=27\\50+10a-\frac{7}{4}(25+5a+b)-2b=0\end{matrix}\right.$$.
Рассмотрим 2ое: умножим на 4: $$200+40a-175-35a-7b-8b=0$$; $$5a+25=15b$$; $$a+5=3b$$
Подставим в 1ое, умноженное на 3: $$3b(a+5)=81$$; $$(a+5)(a+5)=81$$ $$\Leftrightarrow$$ $$a+5=9$$ $$\Leftrightarrow$$ $$a=4$$; $$b=\frac{4+5}{3}=3$$. Получаем: $$\left\{\begin{matrix}x+y=4\\xy=3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.$$ или $$\left\{\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.$$
Т.к. по условию АС самая большая, то $$x=1$$; $$y=3$$ не подходит; $$\Rightarrow$$ $$x=3$$; $$y=1$$
8) из $$\bigtriangleup BRO_{2}$$: $$\tan O_{2}BR=\frac{O_{2}R}{BR}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}{1}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$$; $$\tan ABC=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}{1-(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}})^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{-3}{2}=-\sqrt{15}$$
Задание 4723
Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б) Найдите площадь треугольника АСВ.
Задание 4728
Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.
Задание 4730
Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно $$\frac{5}{6}$$