Тригонометрические уравнения

Скрыть

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Для того, чтобы решить данное уравнение $$ \arccos x= \frac{2\pi }{3}$$, нам, фактически, надо указать абсциссу, которой соответствует точка $$\frac{2\pi }{3}$$ на единичной окружности. У этой точки координаты $$(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$$ $$ x = - \frac{1}{2} $$

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\cos \frac{\pi x}{6}=-0,5\Leftrightarrow$$ $$\frac{\pi x}{6}=\pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n, n \in Z\Leftrightarrow$$ $$x=\pm 4+12n, n \in Z$$

Найдем наибольший отрицательный :

$$\left\{\begin{matrix}4+12n<0\\-4+12n<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}12n<-4\\12<4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}n<-\frac{1}{3}\\n<\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left{\begin{matrix}n=-1\\n=0 & &\end{matrix}\right.$$

$$x_{1}=4+12(-1)=-8$$, $$x_{2}=-4+12*0=-4$$

Наибольший отрицательный: -4.

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Найдем значение х:

$$\left[\begin{matrix}\frac{\pi(x+9)}{4}=-\frac{\pi}{4} +2\pi n , n \in Z|:\frac{\pi}{4}\\\frac{\pi(x+9)}{4}=-\frac{3\pi}{4} +2\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x+9=-1+8n\\x+9=-3+8n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=-10+8n\\x=-12+8n, n \in Z\end{matrix}\right.$$

     Найдем наименьший положительный для первого корня: $$-12+8n>0\Leftrightarrow$$ $$8n>12\Leftrightarrow$$ $$n>\pm 1,5$$. Тогда, наименьшее n при котором выйдет наименьший положительный корень составит 2: При $$n=2: x=-12+8*2=4$$

     Найдем наименьший положительный для второго корня:$$-10+8n>0\Leftrightarrow$$ $$8n>10\Leftrightarrow$$ $$n>1\frac{1}{4}$$, тогда, наименьшее n при котором выйдет наименьший положительный корень составит 2: при n=2 $$x=-10+8*2=6$$

     Как видим, наименьший положительный корень равен 4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Скрыть

Скрыть

$$2(1-\sin^2\frac{\pi x}{18})+5\sin\frac{\pi x}{18}+1=0$$

$$-2\sin^2\frac{\pi x}{18}+5\sin\frac{\pi x}{18}+3=0$$

$$2\sin^2\frac{\pi x}{18}-5\sin\frac{\pi x}{18}-3=0$$

$$\frac{5\pm\frac{7}{125+24}}{4}$$

$$\left[\begin{matrix} \sin\frac{\pi x}{18}=3\; н.р.\\ \sin\frac{\pi x}{18}=-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$

$$\frac{\pi x}{18}=(-1)^{k+1}\cdot\frac{\frac{1}{\pi}}{6}+\pi k$$

$$x=(-1)^{k+1}\cdot\frac{18}{6}+18k$$

$$x=(-1)^{k+1}\cdot3+18k$$

при $$k=0$$ $$x=-3$$

 

Скрыть

$$\frac{\pi(x-7)}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

$$x-7=\pm1\pm6n$$

$$\left\{\begin{matrix} x=8+6n\\ x=6+6n, n\in Z \end{matrix}\right.$$

Заметим, что значениям $$n\geq0$$ соответствуют только положительные корни, поэтому они сразу отбрасываются. Теперь последовательно переберем отрицательные значения $$n,$$ получим:

- при $$n=-1$$ имеем $$x=2$$ и $$x=0;$$

- при $$n=-2$$ имеем $$x=8-12=-4$$ и $$x=6-12=-6;$$

- при $$n\leq-3$$ корни будут убывать.

Таким образом, наибольший отрицательный корень равен $$-4.$$

Скрыть

$$\sin\frac{\pi(x+2)}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\left[\begin{matrix} \frac{\pi(x+2)}{6}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z\\ \frac{\pi(x+2)}{6}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x+2=2+12n,n\in Z\\ x+2=4+12n \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x=12n,n\in Z\\ x=2+12n \end{matrix}\right.$$

Пусть $$n=1$$: получим $$-12$$ и $$-10.$$ Пусть $$n=0$$: $$0$$ и $$2.$$

Тогда наибольший отрицательный $$-10$$

Скрыть

$$\sin\frac{\pi(5x-6)}{24}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \frac{\pi(5x-6)}{24}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\quad|:\frac{\pi}{24}\\ \frac{\pi(5x-6)}{24}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\quad|:\frac{\pi}{24} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 5x-6=4+48n,n\in Z |+6|:5\\ 5x-6=20+48n \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x=2+9,6n,n\in Z\\ x=5,2+9,6n \end{matrix}\right.$$

При этом корень отрицательный и наибольший:

если $$n=0$$: $$2$$ и $$5,2$$

если $$n=-1$$: $$2-9,6=-7,6$$ и $$5,2-9,6=-4,4$$

Наибольший отрицательный $$-4,4.$$

Скрыть

$$\frac{\pi(4x+7)}{6}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

$$\frac{\pi(4x+7)}{6}=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

$$x=-\frac{9}{4}+\frac{12}{4}n$$

$$x=-\frac{11}{4}+\frac{12}{4}n$$

При $$n=0;1;2$$ получаем:

$$x=-\frac{9}{4};\frac{3}{4};\frac{15}{4}$$

$$x=-\frac{11}{4};\frac{1}{4};\frac{13}{4}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{4}=0,25$$

Скрыть $$\frac{πx}{8}=−\frac{π}{4}+2πn​$$

$$​\frac{πx}{8}=−\frac{3π}{4}+2πn​$$

$$​x=−2+16n​$$

​$$x=−6+16n​$$

Наибольший отрицательный корень будет при ​$$n=0$$​

$$​x=−2$$​

$$​x=−6$$

Скрыть

$$\frac{\pi x}{2}-\frac{27\pi}{16}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$\frac{x}{2}-\frac{27}{16}=\frac{1}{2}+n$$

$$x=\frac{35}{8}+2n$$

$$n=-3$$

$$x=4\frac{3}{8}-6=-1,625$$

Скрыть

$$\sin\frac{\pi x}{12}=0,5\left[\begin{matrix} \frac{\pi x}{12}=\frac{\pi}{6}+2\pi n\\ \frac{\pi x}{12}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x=2+24n\\ x=10+24n, n\in Z \end{matrix}\right.$$

$$2+24n>4\Rightarrow 24n>2\Rightarrow n>\frac{1}{12}\Rightarrow n=1: 2+24\cdot1=26$$

$$10+24n>4\Rightarrow 24n>-6\Rightarrow n>-\frac{1}{4}\Rightarrow n=0: 10+24\cdot0=10$$

Наименьший 10.

Скрыть

$$\tg\frac{\pi(x+1)}{3}=-\sqrt{3}\Rightarrow\frac{\pi(x+1)}{3}=-\frac{\pi}{3}+\pi n\Rightarrow x+1=-1+3n\Rightarrow x=-2+3n$$

$$\left\{\begin{matrix} -2+3n>0\\ n\to min \\ n\in Z \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} n>\frac{2}{3}\\ n\to min\\ n\in Z \end{matrix}\right.\Rightarrow n=1:\quad x=-2+3\cdot1=1$$