ЕГЭ (профиль) / Задачи с прикладным содержанием

Расстояние h(t) =gt²/2, пройденное свободно падающим телом, вычисляется по формуле:  где g = 10 м/с² (ускорение свободного падения), t – время в секундах. На каком расстоянии от земли (в метрах) будет находиться тело, падающее с высоты 100 м, через 4 с после начала падения?

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле а=ω²R, где ω – угловая скорость (в с^‐1), а R – радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите радиус R (в метрах), если угловая скорость равна 8,5 с^‐1, а центростремительное ускорение равно 650,25 м/с².

Некоторая компания продает свою продукцию по цене р = 500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 руб., постоянные расходы предприятия f=700000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q)=q(p‐v)‐f. Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб.

Объём и давление идеального газа при постоянных температуре и массе связаны между собой законом Бойля‐Мариотта: pV=C (р – давление в Па, V – объём в м³ , C – некоторая постоянная). Газ, находившийся в сосуде объёмом 5 м³под давлением 1 кПа, сжали до объёма 4 м³. Каким (в Па) стало давление газа?

При тем­пе­ра­ту­ре  0° С  рельс имеет длину  l₀=10  м. При воз­рас­та­нии тем­пе­ра­ту­ры про­ис­хо­дит теп­ло­вое рас­ши­ре­ние рель­са, и его длина, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну  $$l(t)=l_{0}(1+\alpha *t^{o})$$ , где  $$\alpha =1.2*10^{-5}$$ (°С)^-1  — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­во­го рас­ши­ре­ния,  t°  — тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах Цель­сия). При какой тем­пе­ра­ту­ре рельс удли­нит­ся на 3 мм? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Цель­сия.

Не­ко­то­рая ком­па­ния про­да­ет свою про­дук­цию по цене  p=500  руб. за еди­ни­цу, пе­ре­мен­ные за­тра­ты на про­из­вод­ство одной еди­ни­цы про­дук­ции со­став­ля­ют  v=300  руб., по­сто­ян­ные рас­хо­ды пред­при­я­тия  f=700000  руб. месяц. Ме­сяч­ная опе­ра­ци­он­ная при­быль пред­при­я­тия (в руб­лях) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  $$\pi (q)=q(p-v)-f$$ . Опре­де­ли­те ме­сяч­ный объeм про­из­вод­ства  q  (еди­ниц про­дук­ции), при ко­то­ром ме­сяч­ная опе­ра­ци­он­ная при­быль пред­при­я­тия будет равна 300000 руб.

За­ви­си­мость объeма спро­са  q  (еди­ниц в месяц) на про­дук­цию пред­при­я­тия – мо­но­по­ли­ста от цены  p  (тыс. руб.) задаeтся фор­му­лой  q=100-10p . Вы­руч­ка пред­при­я­тия за месяц  r  (в тыс. руб.) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  r(p)=p*q . Опре­де­ли­те наи­боль­шую цену  p , при ко­то­рой ме­сяч­ная вы­руч­ка  r(p)  со­ста­вит не менее 240 тыс. руб. Ответ при­ве­ди­те в тыс. руб.

Кинетическая энергия тела, имеющего массу m (кг) и скорость v (м/с) равна $$E=\frac{mV^{2}}{2}$$ Дж. Какую наименьшую начальную скорость должна иметь пуля массой 9 граммов, чтобы при прохождении через неподвижную мишень передать ей энергию не меньше 810 Дж, уменьшив при этом свою скорость не более, чем в три раза? (Считать, что в процессе полёта пули потери энергии не происходит). Ответ дайте в м/с.

Перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта позволяет формула F = 1,8∙ C + 32, где С – градусы Цельсия, F – градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 95^о по шкале Фаренгейта?

Добираясь из села в город, Виктор сначала 4 часа ехал на велосипеде со скоростью 12 км/ч, после чего велосипед сломался, и Виктору пришлось идти пешком еще 2 часа со скоростью 6 км/ч. С какой средней скоростью добирался от села до города Виктор? Ответ дайте в км/ч.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: F_A= αρgr³, где α=4,2 – постоянная, r – радиус аппарата в метрах, ρ=1000 кг/м³ – плотность воды, а g – ускорение свободного падения (считайте g=10 Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336000 Н? Ответ выразите в метрах.

Найдите значение выражения $$\frac{\log_{25} 2}{\log_{125} 2}$$

Максимальная высота подъёма тела, брошенного под углом к горизонту, вычисляется по формуле $$h=\frac{(v\sin \alpha)^{2} }{2g}$$ , где v (м/c) – начальная скорость тела, α – угол, под которым тело брошено к горизонту, g – ускорение свободного падения (считать, что g=10 м/с2). С какой скоростью необходимо бросить мяч под углом 30º к горизонту, чтобы он поднялся на высоту 4 м 5 см?

Сред­нее гео­мет­ри­че­ское трёх чисел a, b и c вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $$g=\sqrt[3]{abc}$$. Вы­чис­ли­те сред­нее гео­мет­ри­че­ское чисел 12, 18, 27.

Зная длину сво­е­го шага, че­ло­век может при­ближённо под­счи­тать прой­ден­ное им рас­сто­я­ние s по фор­му­ле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое рас­сто­я­ние прошёл че­ло­век, если l = 80 см, n = 1600? Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­мет­рах.