Уравнение с модулем

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$\left|x^2-8x+5\right|=2x\to$$ $$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} x^2-8x+5=2x \\ x^2-8x+5=-2x \end{array} \right. \\ 2x\ge 0 \end{array} \right.\to$$ $$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} x^2-10x+5=0 \\ x^2-6x+5=0 \end{array} \right. \\ x\ge 0 \end{array} \right. \to$$ $$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} x=\frac{10\pm 4\sqrt{5}}{2} \\ x=5 \\ x=1 \end{array} \right. \\ x\ge 0 \end{array} \right.\to x=5$$

Скрыть

Избавимся от знака модуля в левой части данного уравнения. Для этого рассмотрим три случая.

1) $$x\geq5.$$ В таком случае $$|5 - x| = x - 5, |x - 1| = x - 1$$ и исходное уравнение принимает вид: $$x - 5 + x - 1 = 10.$$

Решаем полученное уравнение: $$2x - 6 = 10; 2x = 10 + 6; 2x = 16; x = \frac{16}{2}; x = 8.$$ Поскольку $$8 > 5,$$ то данное значение $$x$$ является решением исходного уравнения.

2) $$1\leq x < 5.$$ В таком случае $$|5 - x| = 5 - x, |x - 1| = x - 1$$ и исходное уравнение принимает вид: $$5 - x + x - 1 = 10. 4 = 10.$$

Следовательно, при таких значениях $$x$$ исходное уравнение решений не имеет.

3) $$x < 1.$$ В таком случае $$|5 - x| = 5 - x, |x - 1| = 1 - x$$ и исходное уравнение принимает вид: $$5 - x + 1 - x = 10.$$

Решаем полученное уравнение: $$6 - 2x = 10; 2x = 6 - 10; 2x = -4; x = -\frac{4}{2}; x = -2.$$ Поскольку $$-2 < 1,$$ то данное значение $$x$$ является решением исходного уравнения.

Данное уравнение имеет два решения: $$x = 8$$ и $$x = -2.$$

$$8+(-2)=6$$

Скрыть

ОДЗ рассматривать не надо, т.к. уже по условию корень равен положительному числу.

Возведем все в квадрат:

$$​x^4-10x|x|+25=16​$$

Тут стандартно рассматриваем два случая

1) $$​x\geq0$$​

$$​x^4-10x^2+9=0​$$ – решается стандартно, заменой ​$$x^2=t​$$

$$​x=-3,-1,1,3​$$

2) $$​x<0​$$

​$$x^4+10x^2+9=0$$ – тут $$D<0$$ нет корней