Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C4) Планиметрическая задача

Окружности и системы окружностей

 

Задание 3664

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке К. Прямая р касается первой окружности в точке М, а второй – в точке N.

а) Докажите что расстояние от точки К до прямой р равно $$\frac{MK\cdot KN}{MN}$$
б) Найдите площадь треугольника MNK, если известно, что радиусы окружностей равны соответственно 12 и 3.
Ответ: 28,8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4706

Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1 = 30°.

Ответ:

Задание 4707

Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 8 равно 15. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.

Ответ:

Задание 4708

На стороне прямого угла с вершиной A взята точка O, причём AO = 7. С центром в точке O проведена окружность S радиуса 1. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

Ответ:

Задание 4709

Центр O окружности радиуса 4 принадлежит биссектрисе угла величиной 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности, если известно, что расстояние от точки O до вершины угла равно 10.

Ответ:

Задание 4710

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если BC = 7, BD = 3.

Ответ:

Задание 4711

Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 31 и 17, а расстояние между центрами окружностей равно 50.

Ответ:

Задание 4712

Расстояния от общей хорды двух пересекающихся окружностей до их центров относятся как 2 : 5. Общая хорда имеет длину $$2\sqrt{3}$$, а радиус одной из окружностей в два раза больше радиуса другой окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.

Ответ:

Задание 4713

Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 1 и 3. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2 = 14.

Ответ:

Задание 4714

Окружности радиусов 11 и 21 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2 = 60°. Найдите AB.

Ответ:

Задание 4715

В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ = PD = CD = 8, CQ = 6. Найдите CP.

Ответ:

Задание 4716

Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.

Ответ:

Задание 4717

Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами равно a причем r

Ответ:

Задание 4718

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.

Ответ:

Задание 4719

Окружность радиуса $$6\sqrt{2}$$ вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN.

Ответ:

Задание 4720

Дана окружность радиуса 4 с центром в точке О, расположенной на биссектрисе угла, равного 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла равно 10.

Ответ:

Задание 4747

Из середины катета прямоугольного треугольника на его гипотенузу опущен перпендикуляр, длина которого равна 1. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если длина одного из его катетов равна 4.

Ответ:
 

Задание 6524

В окружности с центром в точке О радиуса 4 проведены хорда АВ и диаметр АК, образующий с хордой угол $$\frac{\pi}{8}$$ . В точке В проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра АК в точке С.

А) Докажите, что треугольник ОВС – равнобедренный
Б) Найдите длину медианы АМ треугольника АВС.
Ответ: $$2\sqrt{9+6\sqrt{2}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) $$\angle KAB=\frac{1}{2}KOB\Rightarrow$$ $$\angle KOB=2*\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$$ (вписанный и центральный, опирающиеся на одну дугу)

     2) Радиус в точку касания, проведенный, перпендикулярен касательной: $$OB\perp BC\Rightarrow$$$$\Delta OBC$$ - прямоугольный$$\Rightarrow \angle OCB=\frac{\pi}{2}-\angle COB=\frac{\pi}{4}\Rightarrow$$ $$\Delta OCB$$ - равнобедренный

   Б) 1) $$OB=BC=4\Rightarrow$$ $$\Delta OCB:OC=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}\Rightarrow$$ $$AC=4+4\sqrt{2}$$

      2) $$CM=\frac{1}{2}CB=2\Rightarrow$$ из $$\Delta ACM:AM=\sqrt{AC^{2}+CM^{2}-2 AC*CM \cos C}=$$$$\sqrt{(4+4\sqrt{2})^{2}+2^{2}-2*2(4+4\sqrt{2})*\frac{\sqrt{2}}{2}}=$$$$\sqrt{36+24\sqrt{2}}=2\sqrt{9+6\sqrt{2}}$$

Задание 7424

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке К. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй окружности в точке В. Луч ВК пересекает первую окружность в точке D, луч АК пересекает вторую окружность в точке С.

А) Докажите, что четырехугольник ABCD ‐ трапеция
Б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4.
Ответ: $$\frac{\sqrt{65}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7896

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, лежащих по разные стороны от прямой АВ. Касательные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е.

   а) Докажите, что вокруг четырехугольника ACED можно описать окружность
   б) Найдите АЕ, если АВ=10, АС=16, AD=15.
Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) 1) $$\angle BCK=\angle KAB$$ (вписанные и опираются на одну хорду); $$\angle OAB=\angle ODB$$ (аналогично). Пусть они равны $$\alpha$$

2) $$\angle CAK=\angle KCE=1$$ (вписанный и угол между касательной и хордой); $$\angle OAD=\angle ODE=2$$ (аналогично); $$\angle CEM=\angle3$$; $$\angle MED=\angle4$$

3) из $$\bigtriangleup CDE$$: $$\angle C+\angle D+\angle E=180^{\circ}$$ или $$(\angle1+\alpha)+(\angle2-\alpha)+\angle3+\angle4=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle1+\angle2+\angle3+\angle4=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CAD+\angle CED=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ около $$ACED$$ можно описать окружность

Б) Т.к. около $$ACED$$ можно описать окружность, то $$\angle DCE=\angle EAD$$ (опираются на одну хорду), но $$\angle DCE=\angle BAC$$ $$\Rightarrow$$ $$angle BAC=\angle EAD$$; $$\angle ACD=\angle AED$$ (аналогично) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC\sim\bigtriangleup ADE$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$$ $$\Rightarrow$$ $$AE=\frac{AC\cdot AD}{AB}=\frac{16\cdot15}{10}=24$$

 

Задание 9510

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке G. Первая окружность с центром в точке Q касается двух параллельных прямых a и b . Вторая ‐ имеет центр в точке О, касается прямой a, а общая касательная окружностей, проходящая через точку G, пересекает прямую в точке D, а прямую ‐ в точке А. Прямая АО перпендикулярна прямым a и b

а) Докажите, что радиусы окружностей относятся как 1:2
б) Найдите площадь четырехугольника AODQ, если радиус большей окружности равен 8.
Ответ: $$72\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10843

Точка B лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с диаметром ВС в точке М и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром АВ в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и МС параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если $$AK=3,\ MK=12$$.
Ответ: 30
Скрыть

а) Для доказательства параллельности прямых AD и MC рассмотрим $$\triangle ADB$$ и $$\triangle CMB$$, они прямоугольные, т.к. вписанные углы ADB и CMB опираются на диаметры окружностей. Прямая DM перпендикулярна прямым $$AD,\ MC\to AD\parallel MC$$.

б) 1) Четырехугольник AMCD является трапецией $$AD\parallel MC$$, по свойству трапеции $$\triangle ABM,\ \triangle DBC$$ равновелики, значит $$S_{\triangle ABM}=S_{\triangle DBC}=\frac{AM\cdot BK}{2}$$.

2) $$\triangle AKB\sim \triangle AMN$$ по двум углам ($$BK\bot AK,\ \angle AKB$$ - прямой; $$MN\bot AM,\ MN-$$ радиус, проведенный в точку касания) $$\to \frac{KB}{MN}=\frac{AK}{MN}\to \frac{KB}{MN}=\frac{1}{5}\to MN=5KB$$.

3) Проведем прямую BH, параллельную прямой $$AM\to BKMH$$ - прямоугольник. $$BH\bot MN.$$ Пусть $$BK=x=MH$$, тогда $$MN=5x,\ HN=MN-MH=4x.\ BH=KM=12$$.

4) Р/м $$\triangle BHM,\angle BHN=90{}^\circ ,BH=12,BN=MN=5x,\ HN=4x$$. По теореме Пифагора $$BN^2=BH^2+HN^2,\ 25x^2=144+16x^2$$. $$x=4\to BK=4$$. $$5) S_{\triangle DBC}=\frac{AM\cdot BK}{2}=\frac{15\cdot 4}{2}=30.$$

Задание 10862

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке С. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно, а отрезки КС и АВ пересекаются в точке L.

а) Докажите, что $$CN:CM=LB:LA$$.
б) Найдите MN, если $$LB:LA=2:3$$, а радиус малой окружности равен $$\sqrt{23}$$.
Ответ: $$\frac{115}{6}$$
Скрыть

а) О - центр большей окружности, К - внутренняя точка касания, КО - диаметр меньшей окружности.

$$\angle KBO$$ - прямой, т.к. опирается на диаметр окружности, значит, $$BO\bot KN$$. ВО - высота равнобедренного треугольника KNO. Тогда ВО - медиана треугольника KNO, В - середина КМ. $$\angle KAO$$ - прямой, А - лежит на окружности с диаметром КО. Тогда $$AO\bot KM$$, АО - высота равнобедренного треугольника KMO. Отсюда А - середина КМ. АВ тогда - средняя линия $$\triangle KMN,\ AB\parallel MN$$.

$$\triangle AKL\sim \triangle MKC$$ - по двум углам ($$\angle AKL-$$ общий; $$\angle KAL=\angle KMC$$), следовательно $$\frac{MC}{AL}=\frac{KC}{KL}$$.

$$\triangle LKB\sim \triangle CKN$$ ($$\angle LKB-$$ общий; $$\angle KLB=\angle KCN$$), следовательно $$\frac{CN}{LB}=\frac{KC}{KL}$$.

Правые части этих равенств равны, будут равны и левые части. $$\frac{MC}{AL}=\frac{CN}{LB}\to CN:MC=LB:AL$$.

б) Найти следует $$MN$$, если LB:LA=2:3, а радиус малой окружности равен $$\sqrt{23}$$, $$\frac{CN}{MC}=\frac{LB}{AL}=\frac{2}{3}$$; Пусть x - одна часть, тогда $$CN=2x,\ MC=3x,\ NM=5x$$.

В $$\triangle MON$$ проведем высоту OH, она также является медианой. Значит, $$MH=HN=2,5x$$.

Из прямоугольного треугольника MOH по теореме Пифагора найдем OH.

$$OH^2=MO^2-MH^2;OH=R=2r=2\sqrt{23};OH=\sqrt{92-6,25x^2};$$ Q - центр вписанной окружности. Проведем $$OD\bot QC,DC=OH$$. $$DC=\sqrt{92-6,25x^2},\ QD=QC-DC,\ QO=QC=r=\sqrt{23}\to $$ $$\to QD=\sqrt{23}-\sqrt{92-6,25x^2}$$.

$$OD=CH=MH-MC=2,5x-2x=0,5x$$; Из прямоугольного треугольника $$QDO$$ по теореме Пифагора имеем $$QO^2=QD^2+DO^2;{\left(\sqrt{23}\right)}^2={\left(0,5x\right)}^2+{\left(\sqrt{23}-\sqrt{92-6,25x^2}\right)}^2\to $$ $$\to 23=0,25x^2+23-2\sqrt{23}\sqrt{92-6,25x^2}+92-6,25x^2\to $$ $$\to 2\sqrt{23}\sqrt{92-6,25x^2}=92-6x^2\to \sqrt{23}\sqrt{92-6,25x^2}=46-3$$.

Возведем обе части в квадрат, после преобразований получим $$9x^2-\frac{529}{4}\cdot x^2=0\to x^2\left(3x-\frac{23}{2}\right)\left(3x-\frac{23}{2}\right)=0\to x=0,\ x=\frac{23}{6},x=-\frac{23}{6}$$.

Удовлетворяют условию задачи только $$x=\frac{23}{6}$$, тогда $$MN=5x=5\cdot \frac{23}{6}=\frac{115}{6}$$.

 

Задание 10881

Две окружности касаются внутренним образом в точке $$A$$, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках К и М соответственно.

а) Докажите, что прямые КМ и ВС параллельны.
б) Пусть L - точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите АL, если радиус большей окружности равен 10, а $$BC=16$$.
Ответ: $$\frac{1}{2}AP=\sqrt{10}$$
Скрыть

а) О - центр большей окружности, А - внутренняя точка касания двух окружностей, АО - диаметр меньшей окружности. $$\angle AMO$$ - прямой, т.к опирается на диаметр окружности. Значит $$MO\bot AC,\ MO$$ - высота равнобедренного треугольника АОС. Тогда МО - медиана треугольника АОС, М - середина АС. $$\angle AKO$$ - прямой, К - лежит на окружности с диаметром АО. Тогда $$KO\bot AB,\ KO$$ - высота равнобедренного треугольника АОВ. Отсюда К - середина отрезка АВ. КМ - средняя линия $$\triangle ABC$$. Следовательно, $$KM\parallel BC$$.

б) Пусть L - точка пересечения отрезков KM и AP. $$R=10,\ BC=16$$ надо найти AL. Опустим перпендикуляр ОН на хорду ВС. $$\triangle BOC$$ - равнобедренный, ОН - высота, медиана, биссектриса этого треугольника. H - середина ВС. $$BH=HC=8$$. Из прямоугольного треугольника ВОН по теореме Пифагора найдем ОН: $$OH^2=OB^2-BH^2={10}^2-8^2=36\to OH=6$$. Q - центр меньшей окружности, прямые $$QP\parallel OH$$. Опустим перпендикуляр QD на ОН. Тогда $$OD=OH-HD=6-5=1$$. Из прямоугольного треугольника $$\triangle QOD$$ по теореме Пифагора найдем $$QD^2=QO^2-OD^2=25-1=24;PH^2=QD^2=24$$. Из прямоугольного треугольника $$\triangle POH$$ по теореме Пифагора найдем $$OP^2=PH^2-OH^2=24-6^2=60.$$ Из прямоугольного треугольника $$\triangle QOD$$ по теореме Пифагора найдем $$AP^2=AO^2-OP^2={10}^2-60=40;\to AP=2\sqrt{10}.$$ КМ - средняя линия $$\triangle ABC$$, тогда L - середина отрезка АР. $$AL=\frac{1}{2}AP=\sqrt{10}$$.

 

Задание 10938

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.

б) Найдите ВС, если радиусы окружностей равны $$\sqrt{15}$$ и 15.

Ответ: 7,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) $$\angle ACD=\angle BCE$$ - вертикальные, $$\angle ACD=180{}^\circ -\angle ACB=90{}^\circ \to AD$$ и $$BE$$ - диаметры. Пусть LC - общая касательная: $$\angle LCB=\alpha \to \angle CEB=\alpha $$ (вписанный и м/у хордой и касательной, опирающиеся на одну дугу). $$\angle ACL=90-\alpha =\angle ADC\to \angle DAC=\alpha =\angle CEB\to AD\parallel BE$$ и $$\triangle ADC\sim \triangle CEB$$.

б) $$\frac{AD}{BE}=\frac{2\sqrt{15}}{2\cdot 15}=\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{AC}{CE}$$, но $$AC=CB\to \frac{CB}{CE}=\frac{1}{\sqrt{15}}$$. Пусть $$CB=x\to CE=\sqrt{15}x\to $$ по теореме Пифагора: $$CB^2+CE^2=BE^2\leftrightarrow x^2+15x^2={\left(15\cdot 2\right)}^2\to x^2=\frac{{15}^2\cdot 2^2}{16}\to x=7,5$$.

 

Задание 12715

Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с диаметром ВС в точке М и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром АВ в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и МС параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если $$AK\ =\ 3$$ и $$MK\ =\ 12.$$

Ответ: 30
 

Задание 13375

Точки А, В, С, D и Е лежат на окружности в указанном порядке, причём АЕ=ED=CD, а прямые АС и BE перпендикулярны. Отрезки АС и BD пересекаются в точке Т.

а) Докажите, что прямая ЕС пересекает отрезок TD в его середине.
б) Найдите площадь треугольника АВТ, если BD=6, $$AE=\sqrt{6}$$
Ответ: $$\frac{8\sqrt{}5}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13394

Точки А, В, С, D и Е лежат на окружности в указанном порядке, причём ВС=CD=DE, а AC $$\perp$$ BE. Точка К — пересечение прямых BE и AD.

а) Докажите, что прямая СЕ делит отрезок KD пополам.
б) Найдите площадь треугольника АВК, если AD=4, $$DC=\sqrt{3}$$ .
Ответ: $$\frac{25\sqrt{39}}{64}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14229

Окружности $$\omega_{1}$$ и $$\omega_{1}$$ с центрами в точках $$O_{1}$$ и $$O_{2}$$ соответственно касаются друг друга в точке $$A$$, при этом $$O_{1}$$ лежит на $$\omega_{2}$$. $$AB$$ – диаметр $$\omega_{1}$$. Хорда $$BC$$ первой окружности касается $$\omega_{2}$$ в точке $$P$$. Прямая $$AP$$ вторично пересекает $$\omega_{1}$$ в точке $$D$$.

А) Докажите, что $$AP=DP$$.
Б) Найдите площадь четырехугольника $$ABCD$$, если известно, что $$AC=4$$.
Ответ: $$32\sqrt{2}$$
 

Задание 14257

Диагонали прямоугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Окружности $$\omega_1$$ и $$\omega_2$$ описаны около треугольников $$AOB$$ и $$BOC$$ соответственно. Пусть $$O_1$$ – центр окружности $$\omega_1$$, а $$O_2$$ – центр окружности $$\omega_2$$.

а) Докажите, что прямая $$BO_1$$ касается окружности $$\omega_2$$, а прямая $$BO_2$$ касается окружности $$\omega_1$$.
б) Найдите длину отрезка $$O_1O_2$$, если известно, что $$AB=6$$, $$BC=8$$.
Ответ: $$\frac{125}{24}$$.
 

Задание 14264

Окружности с центрами в точках $$A, B$$ и $$C$$ и радиусами, равными $$a,b$$ и $$c$$ соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка $$K, M, P$$.

а) Докажите, что отношение площади треугольника $$KMP$$ к площади треугольника $$ABC$$ равно $$\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$$
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$KMP$$, если известно, что $$a=6, b=7, c=1$$.
Ответ: $$\sqrt 3$$.
 

Задание 14337

Две окружности касаются внутренним образом в точке $$K$$. Пусть $$AB$$ – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке $$L$$.

а) Докажите, что $$KL$$ – биссектриса угла $$AKB$$.
б) Найдите длину отрезка $$KL$$, если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно 6 и 2, а угол $$AKB$$ равен $$90^{\circ}$$.
Ответ: $$2\sqrt{3}$$
 

Задание 14363

Окружности $$С_1$$ и $$С_2$$ касаются внешним образом в точке $$А$$. Прямая $$l$$ касается окружности $$С_1$$ в точке $$В$$, а окружности $$С_2$$ – в точке D. Через точку $$А$$ проведены две прямые: одна проходит через точку $$В$$ и пересекает окружность $$С_2$$ в точке $$F$$, а другая касается окружностей $$С_1$$ и $$С_2$$ и пересекает прямую $$l$$ в точке $$Е$$, $$AF=3\sqrt{2}$$, $$BE=\sqrt{5}$$

а) Найдите радиусы окружностей $$С_1$$ и $$С_2$$
б) Окружность $$С_3$$ касается внешним образом окружностей $$С_1$$ и $$С_2$$, а также отрезка $$BD$$. Найдите радиус этой окружности.
Ответ: А)$$\frac{\sqrt{30}}{3};\frac{\sqrt{30}}{2}$$ Б)$$5\sqrt{30}-12\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!