ЕГЭ Профиль
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1179
Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?
Пусть x - скорость мотоциклиста, а у - скорость велосипедиста. Пусть расстояние равно 1, минуты представим в виде часа (48/60) тогда: $$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{y}-\frac{1}{x}=3 \\ \frac{1}{x+y}=\frac{48}{60}=\frac{4}{5} \end{matrix}\right.$$
Выразим во втором x через у:$$ x = \frac{5-4y}{4}$$ и поставим в первое: $$\frac{1}{y}-\frac{1}{\frac{5-4y}{4}}=3$$
$$\frac{1}{y}-\frac{4}{5-4y}=3$$
Приведем к общему знаменателю и найдем y: $$5-4y-4y=15y-12y^{2}$$ $$12y^{2}-23y+5=0$$
$$y_{1}=\frac{1}{4} ; y_{2}=\frac{5}{3} $$
Если подставим в x второй у, то x получится отрицательным, что нас не устраивает. Значит остается скорость велосипедиста 1/4. Значит время его будет равно : $$ \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$$
Задание 1281
Первые пять часов автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 246 км он преодолел за 3 часа, а последние 130 км проехал со скоростью 65 км/ч. Найдите среднюю скорость (в км/ч) автомобиля на всем пути.
Задание 2736
По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 800 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 45 секундам. Ответ дайте в метрах.
Пусть х - длина скорого поезда. $$\frac{0,8+x}{70+50}=\frac{45}{3600}$$
$$\frac{0,8+x}{120}=\frac{1}{80}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{0,8+x}{12}=\frac{1}{8}$$
$$6,4+8x=12$$ $$\Leftrightarrow$$ $$8x=5,6$$
$$\Leftrightarrow$$ $$x=0,7$$ км
Задание 2788
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Пусть х - скорость второго авто: $$\frac{44}{112-x}=\frac{48}{60}=\frac{4}{5}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$44\cdot5=112\cdot4-4x$$ $$220-44=-4x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=57$$
Задание 2942
Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.
Пусть расстояние до С равно у км, тогда СВ=150-у км. Пусть скорость автомобиля х км/ч, тогда скорость, с которой мотоцикл догоняет автомобиль 90-х км/ч, а расстояние между ними к моменту выезда мотоцикла: $$x\cdot0,5=0,5x$$ км. $$\left\{\begin{matrix}\frac{y}{x}-\frac{y}{90}=\frac{1}{2}\\\frac{150-y}{x}=\frac{y}{90}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y(\frac{1}{x}-\frac{1}{90})=\frac{1}{2}$$ $$y\cdot\frac{90-x}{x\cdot90}-\frac{1}{90})=\frac{1}{2}$$ $$y=\frac{90\cdot x}{2(90-x)}=\frac{45x}{90-x}$$ $$\frac{150-\frac{45x}{90-x}}{x}=\frac{\frac{45x}{90-x}}{90}$$ $$\frac{150(90-x)-45x}{x(90-x)}=\frac{45x}{(90-x)90}$$ $$150\cdot90(90-x)-45\cdot90\cdot x=45x^{2}$$ |:45 $$150\cdot2(90-x)-90x=x^{2}$$ $$27000-300x-90x=x^{2}$$ $$x^{2}+390x-27000=0$$ $$D=152100+108000=260100=510^{2}$$ $$x_{1}=\frac{-390+510}{2}=60$$ $$x_{2}<0$$ $$y=\frac{45\cdot 60}{90-60}=\frac{45\cdot 60}{30}=90$$
Задание 3074
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в гоорд В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 8 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 8 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Пусть х - скорость первого дня
$$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+8}=8$$
$$\frac{22,5}{x}-\frac{22,5}{x+8}=1$$
$$22,5x+180-22,5x=x^{2}+8x$$
$$x^{2}+8x-180=0$$ $$D=64+720=784$$
$$x_{1}=\frac{-8+28}{2}=10$$
$$x_{2}<0$$
Задание 3327
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.
Так как поезда двигаются в одном направлении, то мы можем рассматривать ситуацию, когда один поезд стоит, а второй двигается относительно первого со скоростью, равной разности их первоначальных скоростей, то есть товарный у нас стоит, а пассажирский двигается со скоростью 90 - 30 = 60 км/ч В таком случае передняя точка пассажирского поезда проходит сначала длину товарного, а затем собственную длину пассажирского, так как он прошел мимо товарного. То есть расстояние, если длину пассажирского принять за х км, будет равно х + 0,6 (0,6 - это 600 метров, выраженное в километрах), за время 1/60 часа ( это 1 минута ). Тогда: $$\frac{x+0,6}{60} = \frac{1}{60} $$ $$x+0.6 = 1$$ $$x = 0.4$$ - длина пассажирского в км. Тогда в метрах 0,4*1000=400 метров
Задание 3858
Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали с постоянными скоростями два автомобиля. Скорость первого автомобиля была в два раза больше скорости второго. Второй автомобиль прибыл в A на 1 час позже, чем первый прибыл в B. На сколько минут раньше произошла бы встреча автомобилей, если бы второй автомобиль ехал с той же скоростью, что и первый?
Пусть $$2x-v_{1}$$; $$x-v_{2}$$; $$S_{AB}=1$$
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{2x}=1$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2x}=1$$ $$\Leftrightarrow x=0,5$$
Пусть $$t_{1}$$ - время встречи в первом случае:
$$t_{1}=\frac{1}{0,5+2\cdot0,5}=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}$$
Пусть $$t_{2}$$ - во втором:
$$t_{2}=\frac{1}{2\cdot0,5+2\cdot0,5}=\frac{1}{2}$$
$$t_{1}-t_{2}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$ (ч) - разница
$$\frac{1}{6}\cdot60=10$$ минут
Задание 4015
Из города A в город B одновременно выехали два автомобиля: первый со скоростью 65 км/ч, а второй—со скоростью 60 км/ч. Через 4 минуты следом за ними выехал третий автомобиль. Найдите скорость третьего автомобиля, если известно, что с момента, когда он догнал второй автомобиль, до момента, когда он догнал первый автомобиль, прошло 40 минут. Ответ дайте в км/ч.
Пусть х - скорость 3го. К моменту выезда 3го первый прошел $$S_{1}=65\cdot\frac{24}{60}=26$$ км
Второй : $$S_{2}=65\cdot\frac{24}{60}=24$$
Время за которое догнал второго $$t_{2}=\frac{24}{x-60}$$
Первого: $$t_{1}=\frac{26}{x-65}$$
$$\frac{26}{x-65}-\frac{24}{x-60}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$$
$$\frac{26(x-60)-20(x-65)}{(x-65)(x-60)}=\frac{2}{3}$$
$$3(26x-1560-24x+1560)=2x^{2}-250x+7800$$
$$2x^{2}-256x+7800=0$$
$$x^{2}-128x+3900=0$$
$$D=16384-15600=784=28^{2}$$
$$x_{1}=\frac{128+28}{2}=78$$
$$x_{2}=\frac{128-28}{50}=50$$ - не может быть
Задание 4185
Петя сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 70 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?
Пусть $$S=1$$ - длина эскалатора; $$x$$ - скорость Пети в ступеньках, $$y$$ - скорость эскалатора
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=30\\\frac{1}{x-y}=70\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y=\frac{1}{30}\\x-y=\frac{1}{70}\end{matrix}\right.$$
Сложим уравнения: $$2x=\frac{1}{30}+\frac{1}{70}=\frac{10}{210}=\frac{1}{21}$$; $$x=\frac{1}{42}$$
Тогда насчитал бы: $$\frac{1}{\frac{1}{42}}=42$$
Задание 4816
Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть—со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть—со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Пусть 3S - полное расстояние. Тогда время на первом участке : $$t_{1}=\frac{S}{12}$$. На втором участке: $$t_{2}=\frac{S}{16}$$. На третьем участке время: $$t_{3}=\frac{S}{24}$$ Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени: $$v=\frac{3S}{\frac{S}{12}+\frac{S}{16}+\frac{S}{24}}=$$$$\frac{3S}{\frac{9S}{48}}=\frac{3S*48}{9S}=16$$
Задание 5006
Расстояние между городами A и B равно 550 км. Из города A в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 75 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.
Пусть х -время второго, тогда $$x+1$$ - время первого: $$50\cdot(x+1)+75x=550$$; $$125x+50=560$$; $$x=4$$; $$S=50\cdot(4+1)=250$$
Задание 5138
Первые 140 км автомобиль проехал со скоростью 50 км/ч, следующие 160 км – со скоростью 60 км/ч, а затем 120 км – со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
$$t_{1}=\frac{140}{50}=\frac{14}{5}$$; $$t_{2}=\frac{160}{60}=\frac{8}{3}$$; $$t_{3}=\frac{120}{100}=\frac{6}{5}$$; $$v=\frac{S}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}=$$ $$\frac{140+160+120}{\frac{14}{5}+\frac{8}{3}+\frac{6}{5}}=\frac{420}{\frac{20}{3}}=\frac{420\cdot3}{20}=63$$
Задание 5191
Два пешехода вышли одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Когда первый прошел половину пути, второму до конца пути оставалось еще 24 км. Когда второй прошел половину пути, первому до конца оставалось еще 15 км. Сколько километров останется пройти второму до А после того, как первый дойдет из А в В?
Пусть S - общее расстояние, х - скорость первого (тогда время до середины $$\frac{S}{2x}$$); у - скорость второго (его время до середины $$\frac{S}{2y}$$): $$\left\{\begin{matrix}\frac{S}{2x}\cdot y=S-24\\\frac{S}{2y}\cdot x=S-15\end{matrix}\right.$$ Умножим первое на второе: $$(S-24)(S-15)=\frac{S^{2}}{4}$$;
$$S^{2}-39S+360-\frac{S^{2}}{4}=0$$ $$|\cdot\frac{4}{3}$$
$$S^{2}-52S+480=0$$
$$\left\{\begin{matrix}S_{1}+S_{2}=52\\S_{1}\cdot S_{2}=480\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}S_{1}=40\\S_{2}=14\end{matrix}\right.$$
$$S_{2}$$ не может быть, т.к. $$S-24>0$$. Подставим $$S$$ в первое уравнение: $$\frac{40}{2x}\cdot y=40-24$$; $$\frac{20y}{x}=16$$ $$\Rightarrow$$ $$16x=20y$$ $$\Rightarrow$$ $$x=1,25y$$ или $$y=\frac{4}{5}x$$
Время, за которое первый пройдет $$S$$: $$t=\frac{S}{1,25y}$$. Тогда расстояние, которое пройдет второй за это время: $$S_{1}=\frac{S}{1,25y}\cdot y=\frac{S}{1,25}=\frac{40}{1,25}=32$$
Значит останется : $$40-32=8$$
Задание 5286
Расстояние между городами A и B равно 450 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 240 км от города A. Ответ дайте в км/ч.
Расстояние от города B: $$S_{B}=450-240=210$$км Время авто из города B: $$\frac{210}{70}=3$$ч Время авто из города A: $$3+1=4$$ч Скорость авто из города А: $$\frac{240}{4}=60$$км\ч