Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Стереометрия

Объем составного многогранника

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3371

Радиус основания конуса равен 3, а высота 4. Центр шара совпадает с центром основания конуса и касается боковой поверхности конуса. Найдите отношение объемов шара и конуса.

Ответ: 1,536
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$OB-R$$ конуса

$$OH-R$$ шара

из $$\bigtriangleup AOB$$: $$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$$

$$OH=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{4\cdot3}{5}=2,4$$

Vконуса$$=\frac{1}{3}\cdot S_{osn}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot3^{2}\cdot4=12\pi$$

Vшара$$=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot R^{3}=18,432\pi$$

Vшара/Vконуса$$=\frac{18,432\pi}{12\pi}=1,536$$

Задание 3715

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые).

Ответ: 8

Задание 3716

Най­ди­те объем про­стран­ствен­но­го кре­ста, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке и со­став­лен­но­го из еди­нич­ных кубов.

Ответ: 7

Задание 3717

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 56

Задание 3718

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 40

Задание 3719

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 34

Задание 3720

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 90

Задание 3721

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 18

Задание 3722

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 45

Задание 3723

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 78
 

Задание 4908

Во сколько раз уменьшится объем октаэдра, если все его  ребра уменьшить в два раза?  

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Для решения данных заданий надо помнить, что периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия, площади - как квадрат коэффициента подобия, а объемы - как куб коэффициента подобия. То есть, если уменьшить ребро в два раза, объем изменится в 8 раз

 

Задание 5098

Для каждой грани куба с ребром 6 проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2. Найдите объем оставшейся части.

Ответ: 160
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Внутри будет пространственный крест , состоящий из 7 кубов со стороной 2. Тогда его объем : $$V_{1}=2^{3}*7=56$$ Объем изначального куба: $$V=6^{3}=216$$ Объем оставшейся части: 216-56=160

 

Задание 6563

Найдите объем октаэдра, ребро которого равно $$3\sqrt{2}$$ .

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим четырехугольную пирамиду ABCDS с ребром $$3\sqrt{2}$$:

     1)$$S_{ABCD}=(3\sqrt{2})^{2}=18$$

     2) $$BD=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(3\sqrt{2})^{2}}=6\Rightarrow BH=3$$

     3) $$\Delta BHS$$: $$SH=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}-3^{2}}=3$$

     4) $$V_{ABCDS}=\frac{1}{3}*18*3=18$$

     5) Тогда объем октаэдра : $$V=2*V_{ABCDS}=2*18=36$$

 

Задание 6966

В конус вписан цилиндр так, что плоскость его верхнего основания делит высоту конуса пополам. Найдите объем цилиндра, если объем конуса равен 12.

Ответ: 4,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть R-радиус основания большого конуса, h-его высота, тогда $$V=\frac{1}{3}\pi R^{2} h=12$$ – его объем . Пусть r-радиус основания цилиндра ,тогда: $$r=\frac{R}{2}$$ и m-его высота, тогда $$m=\frac{h}{2}$$ Объем цилиндра: $$V_{1}= \pi r^{2}m=\pi *\frac{R^{2}}{4}*\frac{h}{2}=$$$$\frac{\pi R^{2}h}{8}=\frac{36}{8}=4,5$$

 

Задание 7033

Найдите объём пирамиды, изображённой на рисунке. Её основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Ответ: 27
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем объем пирамиды без учета выреза: $$V_{1}=\frac{1}{3}*6*6*3=36$$

Найдем объем вырезанной: $$V_{2}=\frac{1}{3}*3*3*3=9$$

Найдем объем оставшейся: $$V=V_{1}-V_{2}=27$$

 

Задание 9337

Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из кубов со стороной 3.

Ответ: 270
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10550

Для каждой грани куба с ребром 6 проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2. Найдите объем оставшейся части.

Ответ: 160
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$V=6^3=216$$ - объем куба. $$V_1=2^3=8$$ - объем одного «вырезанного куба». Таких 7 (6 на границе у каждой грани, 1 в центре начального куба) $$\to V_2=216-8*7=160$$ -- объем оставшейся части.
 

Задание 11269

Деталь (осевое сечение которой представлено на рисунке) имеет форму полушара с приставленным в центральной части круга цилиндром. Найдите объем детали по размерам, указанным на рисунке ($$\pi$$ полагать равным 3,14). Ответ округлите до целых.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!