ЕГЭ Профиль
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 936
Найдите периметр равностороннего треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен $$2\sqrt{3}$$
Если радиус вписанной в него окружности равен $$2\sqrt{3}$$, то вся медиана этого треугольника будет $$2\sqrt{3}*3=6\sqrt{3}$$ (медиана в равностороннем треугольнике она и высота и биссекриса, следовательно, делится на радиус описанной и писанной окружностей, в отношении два к одному, поэтому радиус вписанной составляет одну треть от медианы) Сторона равностороннего треугольника будет равна : $$6\sqrt{3} : sin 60 =6\sqrt{3} :\frac{\sqrt{3}}{2} =12$$ Значит периметр равен 12*3=36
Задание 1842
В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите $$\angle MPN$$.
По свойству биссектрис равностороннего треугольника $$\angle BNP=\angle BMP=90^{\circ}$$, по свойству углов равностороннего треугольника $$\angle B=60^{\circ}$$, тогда по свойству углов выпуклого четырехугольника $$\angle MPN=360-90*2-60=120^{\circ}$$
Задание 1843
В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются в точке O. Найдите $$\angle AOK$$.
По свойству медианы раностороннего треугольника $$\angle AKO =90^{\circ}$$ и $$\angle OAK=\frac{1}{2}\angle A$$, по свойству углов равностороннего треугольника: $$\angle A=60^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle OAK=30^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle AOK=90-\angle OAK=60^{\circ}$$
Задание 1844
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
По свойству смежных углов: $$\angle BCA=180-\angle BCD=180-123=57^{\circ}$$, так как треугольник равнобедренный, то $$\angle A=\angle BCA=57^{\circ}$$, следовательно по свойству улов треугольника $$\angle ABC=180-57*2=66^{\circ}$$
Задание 1845
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
Пусть угол B равен 120 градусам, тогда $$\smile AC = 240^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла), тогда меньшая дуга CA равна $$360-240=120^{\circ}$$, и центральный угол, опирающийся на эту дугу так же составляет 120 градусов ($$\angle AOC$$). Так как треугольники ABC и ACO равнобедренные, имею общую сторону и равные углы против этой стороны, то они между собой равны, следовательно, AO=5=r, где r - радиус окружности, следовательно, диаметр окружности равен 10
Задание 1846
Площадь равнобедренного треугольника равна $$196\sqrt{3}$$. Угол, лежащий напротив основания равен 120°. Найдите длину боковой стороны.
Площадь треугольника можно выразить как половину произведения сторон треугольник на синус угла между ними, пусть х - боковая сторона треугольника, тогда $$196\sqrt{3}=\frac{1}{2}x^{2}*\sin 120^{\circ}\Leftrightarrow$$$$x=\sqrt{\frac{196\sqrt{3}*2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}=28$$
Задание 1847
Периметр равнобедренного треугольника равен 196, а основание — 96. Найдите площадь треугольника.
Найдем боковую сторону данного треугольника: $$\frac{196-96}{2}=50$$, полупериметр данного треугольника $$p=\frac{196}{3}=98$$, тогда по формуле Герона площадь данного треугольника: $$S=\sqrt{98(98-50)(98-50)(98-96)}=48*14=672$$
Задание 1848
Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD = AC. Известно, что ∠CAB = 80° и ∠ACB=59°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.
Так как AD=AC, то треугольник ADC - равнобедренный и $$\angle ADC=\angle ACD=\frac{180-\angle CAB}{2}=50^{\circ}$$, тогда $$\angle DCB=\angle ACB-\angle ACD=59-50=9^{\circ}$$
Задание 1849
Высота равностороннего треугольника равна $$15\sqrt{3}$$. Найдите его периметр.
По свойству высоты равностороннего треугольника $$\angle AHC=90^{\circ}$$ , тогда из треугольника AHC: $$AC=\frac{AH}{\sin ACH}$$, $$\angle ACH=60^{\circ}$$ ( по свойству углов равностороннего треугольника), следовательно, $$AC=\frac{15\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=30$$, тогда периметр треугольника составит: $$30*3=90$$
Задание 1850
В треугольнике ABC AB = BC = 53, AC = 56. Найдите длину медианы BM.
По свойству медианы в равнобедренном треугольнике: $$MC=\frac{1}{2}AC=28$$, из прямоугольного треугольника BMC по теореме Пифагора: $$BM=\sqrt{BC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{53^{2}-28^{2}}=45$$
Задание 1851
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника.
Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника. Найдем полупериметр: $$p=\frac{10+10+12}{2}=16$$, тогда $$S=\sqrt{16*(16-10)(16-10)(16-12)}=48$$
Задание 1852
Сторона равностороннего треугольника равна $$12\sqrt{3}$$. Найдите биссектрису этого треугольника.
По свойству биссектрисы равностороннего трекугольника $$\angle AHC=90^{\circ}$$, тогда из треугольника AHC: $$AH=AC*\sin ACH$$, $$\angle ACH=60^{\circ}$$( по свойству углов равностороннего треугольника), следовательно, $$AH=12\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=18$$
Задание 1853
В треугольнике ABC AC = BC. Внешний угол при вершине B равен 140°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
$$\angle ABC=180-\angle CBD=180-140=40^{\circ}$$ (по свойству смежных углов), но так как AC=BC, то $$\angle CAB=\angle CBA=40^{\circ}$$, тогда $$\angle C=180-40*2=100$$(по свойству углов треугольника)
Задание 1953
Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь, делённую на $$\sqrt{3}$$.
Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10*\sin 60^{\circ}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение без $$\sqrt{3}$$, то есть 25
Задание 1954
Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь, делённую на $$\sqrt{3}$$.
- Пусть a - сторона равностороннего треугольника, тогда $$a=\frac{P}{3}=10$$
- Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10*\sin 60^{\circ}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение без $$\sqrt{3}$$, то есть 25
Задание 1955
Высота равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь, делённую на $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$.
- Из треугольника ACH: $$AC=\frac{CH}{\sin A}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$$
- Так как треугольник равносторонний, то AC=AB, тогда из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}CH*AB=\frac{100}{\sqrt{3}}$$. В ответе необходимо указать результат, деленный на $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$: $$\frac{100}{\sqrt{3}}:\frac{\sqrt{3}}{3}=100$$
Задание 1956
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания, равен 120°. Найдите площадь треугольника, делённую на $$\sqrt{3}$$
По формуле площади треугольника $$S=\frac{10*10*\sin 120^{\circ}}{2}=\frac{1}{2}*10*10*\frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$$. В ответе необходимо указать ответ, деленный на $$\sqrt{3}$$, то есть 25
Задание 1957
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — $$5(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$, а угол, лежащий напротив основания, равен 30°. Найдите площадь треугольника.
По формуле площади треугольника $$S=\frac{AB*AC*\sin B}{2}=\frac{1}{2}*10*10*\frac{1}{2}=25$$
Задание 1958
В равнобедренном треугольнике ABC AC=BC. Найдите AC, если высота CH=12, AB=10.
- По свойству высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию: $$AH=HB=\frac{1}{2}AB=5$$
- По теореме Пифагора из треугольника ACH: $$AC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$
Задание 1959
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.
- Найдем полупериметр данного треугольника: $$p=\frac{34*2+60}{2}=64$$
- По формуле Герона: $$S=\sqrt{64(64-34)^{2}(64-60)}=480$$
Задание 1960
Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона — 78. Найдите площадь треугольника.
- Найдем основание равнобедренного треугольника : $$216-2*78=60$$
- Полупериметр данного треугольника: $$p=\frac{216}{2}=108$$. По формуле Герона: $$S=\sqrt{108(108-78)^{2}(108-60)}=2160$$
Задание 2937
$$\angle HCA=180^{\circ}-\angle ACB=60^{\circ}$$ из $$\bigtriangleup AHC$$: $$AH=AC\sin ACH=2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3$$
Задание 3069
Пусть а - сторона $$a=\frac{24\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}$$ Пусть СН - высота $$CH=a\cdot\sin60^{\circ}=8\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=12$$ Пусть r - радиус $$r=\frac{CH}{3}=\frac{12}{3}=4$$
Задание 3151
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 18 и 12, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
CD=18 ; DB=12 . По свойству двух касательных из одной точки: DB=HB=12
По свойству равнобедренного треугольника: AC=CB=30 ; AH=HB=12
Тогда P = 30 + 30 + 12 + 12 = 84
Задание 3241
В треугольнике ABC AC=BC, AD – высота, угол BAD равен 8°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
$$\bigtriangleup ABD$$: $$\angle B=90-\angle A=90-8=82^{\circ}$$ $$\bigtriangleup ABC$$: $$\angle C=180-\angle A-\angle B=180-2\cdot82^{\circ}=16^{\circ}$$
Задание 3322
Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и углом при основании 75 описана окружность с центром О. Найдите её радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.
Введем обозначения как показано на рисунке
Задание 4953
На боковой стороне CB равнобедренного (AB=BC) треугольника ABC выбрана точка K. Оказалось, что CA= AK =KB. Найдите $$\angle ABC$$. Ответ дайте в градусах.
Задание 5001
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона равна $$4\sqrt{15}$$, $$\sin\angle BAC=0,25$$. Найдите длину высоты AH.
$$\cos BAC=\sqrt{1-\sin^{2}BAC}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$; $$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cdot\cos BAC$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-2\cdot4\sqrt{15}\cdot x\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}=0$$; $$x^{2}-30x=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=30$$
из $$\bigtriangleup AHC$$: $$\frac{AH}{AC}=\sin\angle BCA$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=AC\cdot\sin\angle BCA=30\cdot\frac{1}{4}=7,5$$
Задание 6608
В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания со вписанной окружностью в отношении 8:5, считая от вершины, лежащей напротив основания. Найдите основание треугольника, если радиус вписанной окружности равен 10.
1) $$CA_{1}=CC_{1}=8x$$(по свойству касательных), $$A_{1}B=B_{1}B=AB_{1}=AC_{1}=5x$$
2) $$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=18x$$
3) S$$=p*r\Rightarrow$$ $$r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$, где a=AB, b=CB, c=AC
4) $$10=\sqrt{\frac{(18x-13x)^{2}*(18x-10x)}{18x}}\Leftrightarrow$$ $$10=\sqrt{\frac{(5x)^{2}*8x}{18x}}\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{\frac{5^{2}*26{2}*x^{2}}{3^{2}}}=10\Leftrightarrow$$ $$\frac{10x}{3}=10\Leftrightarrow x=3$$
5)$$AB=10x=10*3=30$$
Задание 10608
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ угол С равен $$48{}^\circ $$. Найдите угол между стороной АВ и высотой АН этого треугольника.
Задание 10684
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $$120{}^\circ $$. Боковая сторона равна 4. Найдите квадрат длины медианы, проведенной к боковой стороне.
Пусть M - середина BC, тогда $$BM=2$$.
По теореме косинусов: $$AM^2=AB^2+BM^2-2AB\cdot BM{\cos \angle B\ }$$ т.е. $$AM^2=16+4-2\cdot 4\cdot 2\left(\frac{1}{2}\right)=28$$.
Задание 10833
Задание 10890
Задание 10928
Задание 11097
В треугольнике ABC АВ = ВС, АС = 8, высота СН равна 6. Найдите синус угла АСВ.