Решение равнобедренного треугольника

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Если радиус вписанной в него окружности равен $$2\sqrt{3}$$, то вся медиана этого треугольника будет $$2\sqrt{3}*3=6\sqrt{3}$$ (медиана в равностороннем треугольнике она и высота и биссекриса, следовательно, делится на радиус описанной и писанной окружностей, в отношении два к одному, поэтому радиус вписанной составляет одну треть от медианы) Сторона равностороннего треугольника будет равна : $$6\sqrt{3} : sin 60 =6\sqrt{3} :\frac{\sqrt{3}}{2} =12$$ Значит периметр равен 12*3=36

По свойству биссектрис равностороннего треугольника $$\angle BNP=\angle BMP=90^{\circ}$$, по свойству углов равностороннего треугольника $$\angle B=60^{\circ}$$, тогда по свойству углов выпуклого четырехугольника $$\angle MPN=360-90*2-60=120^{\circ}$$

По свойству медианы раностороннего треугольника $$\angle AKO =90^{\circ}$$ и $$\angle OAK=\frac{1}{2}\angle A$$, по свойству углов равностороннего треугольника: $$\angle A=60^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle OAK=30^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle AOK=90-\angle OAK=60^{\circ}$$

По свойству смежных углов: $$\angle BCA=180-\angle BCD=180-123=57^{\circ}$$, так как треугольник равнобедренный, то $$\angle A=\angle BCA=57^{\circ}$$, следовательно по свойству улов треугольника $$\angle ABC=180-57*2=66^{\circ}$$

Пусть угол B равен 120 градусам, тогда $$\smile AC = 240^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла), тогда меньшая дуга CA равна $$360-240=120^{\circ}$$, и центральный угол, опирающийся на эту дугу так же составляет 120 градусов ($$\angle AOC$$). Так как треугольники ABC и ACO равнобедренные, имею общую сторону и равные углы против этой стороны, то они между собой равны, следовательно, AO=5=r, где r - радиус окружности, следовательно, диаметр окружности равен 10

Площадь треугольника можно выразить как половину произведения сторон треугольник на синус угла между ними, пусть х - боковая сторона треугольника, тогда $$196\sqrt{3}=\frac{1}{2}x^{2}*\sin 120^{\circ}\Leftrightarrow$$$$x=\sqrt{\frac{196\sqrt{3}*2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}=28$$

Найдем боковую сторону данного треугольника: $$\frac{196-96}{2}=50$$, полупериметр данного треугольника $$p=\frac{196}{3}=98$$, тогда по формуле Герона площадь данного треугольника: $$S=\sqrt{98(98-50)(98-50)(98-96)}=48*14=672$$

Так как AD=AC, то треугольник ADC - равнобедренный и $$\angle ADC=\angle ACD=\frac{180-\angle CAB}{2}=50^{\circ}$$, тогда $$\angle DCB=\angle ACB-\angle ACD=59-50=9^{\circ}$$

По свойству высоты равностороннего треугольника $$\angle AHC=90^{\circ}$$ , тогда из треугольника AHC: $$AC=\frac{AH}{\sin ACH}$$, $$\angle ACH=60^{\circ}$$ ( по свойству углов равностороннего треугольника), следовательно, $$AC=\frac{15\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=30$$, тогда периметр треугольника составит: $$30*3=90$$

По свойству медианы в равнобедренном треугольнике: $$MC=\frac{1}{2}AC=28$$, из прямоугольного треугольника BMC по теореме Пифагора: $$BM=\sqrt{BC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{53^{2}-28^{2}}=45$$

Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника. Найдем полупериметр: $$p=\frac{10+10+12}{2}=16$$, тогда $$S=\sqrt{16*(16-10)(16-10)(16-12)}=48$$

По свойству биссектрисы равностороннего трекугольника $$\angle AHC=90^{\circ}$$, тогда из треугольника AHC: $$AH=AC*\sin ACH$$, $$\angle ACH=60^{\circ}$$( по свойству углов равностороннего треугольника), следовательно, $$AH=12\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=18$$

$$\angle ABC=180-\angle CBD=180-140=40^{\circ}$$ (по свойству смежных углов), но так как AC=BC, то $$\angle CAB=\angle CBA=40^{\circ}$$, тогда $$\angle C=180-40*2=100$$(по свойству углов треугольника)

Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10*\sin 60^{\circ}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение без $$\sqrt{3}$$, то есть 25

1. Пусть a - сторона равностороннего треугольника, тогда $$a=\frac{P}{3}=10$$
2. Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10*\sin 60^{\circ}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение без $$\sqrt{3}$$, то есть 25

1. Из треугольника ACH: $$AC=\frac{CH}{\sin A}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$$
2. Так как треугольник равносторонний, то AC=AB, тогда из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}CH*AB=\frac{100}{\sqrt{3}}$$. В ответе необходимо указать результат, деленный на $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$: $$\frac{100}{\sqrt{3}}:\frac{\sqrt{3}}{3}=100$$

По формуле площади треугольника $$S=\frac{10*10*\sin 120^{\circ}}{2}=\frac{1}{2}*10*10*\frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$$. В ответе необходимо указать ответ, деленный на $$\sqrt{3}$$, то есть 25

По формуле площади треугольника $$S=\frac{AB*AC*\sin B}{2}=\frac{1}{2}*10*10*\frac{1}{2}=25$$

1. По свойству высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию: $$AH=HB=\frac{1}{2}AB=5$$
2. По теореме Пифагора из треугольника ACH: $$AC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$

1. Найдем полупериметр данного треугольника: $$p=\frac{34*2+60}{2}=64$$
2. По формуле Герона: $$S=\sqrt{64(64-34)^{2}(64-60)}=480$$

1. Найдем основание равнобедренного треугольника : $$216-2*78=60$$
2. Полупериметр данного треугольника: $$p=\frac{216}{2}=108$$. По формуле Герона: $$S=\sqrt{108(108-78)^{2}(108-60)}=2160$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\angle HCA=180^{\circ}-\angle ACB=60^{\circ}$$ из $$\bigtriangleup AHC$$: $$AH=AC\sin ACH=2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть а - сторона $$a=\frac{24\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}$$ Пусть СН - высота $$CH=a\cdot\sin60^{\circ}=8\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=12$$ Пусть r - радиус $$r=\frac{CH}{3}=\frac{12}{3}=4$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

CD=18 ; DB=12 . По свойству двух касательных из одной точки: DB=HB=12

По свойству равнобедренного треугольника: AC=CB=30 ; AH=HB=12

Тогда P = 30 + 30 + 12 + 12 = 84

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\bigtriangleup ABD$$: $$\angle B=90-\angle A=90-8=82^{\circ}$$ $$\bigtriangleup ABC$$: $$\angle C=180-\angle A-\angle B=180-2\cdot82^{\circ}=16^{\circ}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Введем обозначения как показано на рисунке

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\cos BAC=\sqrt{1-\sin^{2}BAC}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$; $$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cdot\cos BAC$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-2\cdot4\sqrt{15}\cdot x\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}=0$$; $$x^{2}-30x=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=30$$

из $$\bigtriangleup AHC$$: $$\frac{AH}{AC}=\sin\angle BCA$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=AC\cdot\sin\angle BCA=30\cdot\frac{1}{4}=7,5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) $$CA_{1}=CC_{1}=8x$$(по свойству касательных), $$A_{1}B=B_{1}B=AB_{1}=AC_{1}=5x$$

     2) $$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=18x$$

     3) S$$=p*r\Rightarrow$$ $$r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$, где a=AB, b=CB, c=AC

     4) $$10=\sqrt{\frac{(18x-13x)^{2}*(18x-10x)}{18x}}\Leftrightarrow$$ $$10=\sqrt{\frac{(5x)^{2}*8x}{18x}}\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{\frac{5^{2}*26{2}*x^{2}}{3^{2}}}=10\Leftrightarrow$$ $$\frac{10x}{3}=10\Leftrightarrow x=3$$

     5)$$AB=10x=10*3=30$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть M - середина BC, тогда $$BM=2$$.

По теореме косинусов: $$AM^2=AB^2+BM^2-2AB\cdot BM{\cos \angle B\ }$$ т.е. $$AM^2=16+4-2\cdot 4\cdot 2\left(\frac{1}{2}\right)=28$$.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!