ЕГЭ Профиль
Задание 3332
В трапеции ABCD BC||AD, ∠ABC=90. Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону АВ в точке M, а сторону CD – в точке N.
Задание 3863
Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р - середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что $$2CD=3RD$$. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q, $$AD=2BC$$.
А) 1) $$RD=\frac{2CD}{3}\Rightarrow CR=\frac{1}{3}CD$$
2) Построим $$AR\cap BC=M$$
$$\Rightarrow\bigtriangleup ARD\sim\bigtriangleup CMR$$ (по 2м углам)
$$\frac{CR}{RD}=\frac{CM}{AD}=\frac{1}{2}$$
$$\Rightarrow$$ $$CM=\frac{1}{2}AD=BC\Rightarrow BM=AD$$
$$\Rightarrow ABMD$$ - параллелограмм
3) Тогда: $$\bigtriangleup APQ\sim\bigtriangleup MQD$$:
$$\frac{AP}{MD}=\frac{AQ}{QM}=\frac{1}{2}$$
$$\Rightarrow AQ=\frac{1}{3}AM$$; $$QM=\frac{2}{3}AM$$
4) из п.2 $$\frac{MR}{AR}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$MR=\frac{1}{3}AM$$
Тогда $$QR=QM-MR=\frac{2}{3}AM-\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}AM$$
$$\Rightarrow$$ $$AQ=QM$$
ч.т.д.
б) 1) $$S_{ABCD}=30=S$$
т.к. $$BC=CM$$, то $$S_{CMD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BM\cdot h$$,
где $$h$$ - высота $$ABMD$$:
$$S_{CMD}=\frac{1}{4}BM\cdot h=\frac{1}{4}S$$
$$\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=\frac{3}{4}S=30$$
$$\Rightarrow S=40$$
2) $$\frac{AQ}{QM}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{QMD}=\frac{2}{3}S_{AMD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{40}{3}$$
$$\bigtriangleup APQ\sim\bigtriangleup QMD$$:
$$k=\frac{1}{2}\Rightarrow$$
$$\frac{S_{APQ}}{S_{QMD}}=\frac{1}{4}\Rightarrow$$
$$S_{APQ}=\frac{1}{4}S_{QMD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{40}{3}=\frac{10}{3}$$
Задание 4020
Из середины D гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведен луч, перпендикулярный к гипотенузе и пересекающий один из катетов. На нем отложен отрезок DE, длина которого равна половине отрезка АВ. Длина отрезка СЕ равна 1 и совпадает с длиной одного из катетов.
а) 1) Строим окружность с диаметром $$AB\Rightarrow\angle C=90^{\circ}$$
$$AD=DE=R\Rightarrow E$$ лежит на окружности
2) По условию $$BC=CE\Rightarrow$$
$$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ADE=45^{\circ}$$(вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу)
б) 1) Т.к. $$\angle СDB=45^{\circ}\Rightarrow \angle CAB=22,5=\frac{45}{2}$$
$$\tan A=\frac{BC}{AC}\Leftrightarrow\tan\frac{45}{2}=\frac{1}{AC}$$
$$\tan 45=\tan2\cdot\frac{45}{2}=\frac{2\tan\frac{45}{2}}{1-\tan^{2}\frac{45}{2}}$$
2) Пусть $$\tan\frac{45}{2}=x$$
$$1=\frac{2x}{1-x^{2}}\Leftrightarrow$$
$$1-x^{2}=2x\Leftrightarrow$$
$$x^{2}+2x-1=0$$
$$D=4+4=8$$
$$x_{1}=\frac{-2+\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}-1$$
$$x_{2}=\frac{-2-\sqrt{8}}{2}=-\sqrt{2}-1$$
$$AC=1\div\tan\frac{45}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$
3) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2(\sqrt{2}^{2}-1^{2})}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$$
Задание 4575
Треугольник АВС (АВ<АC) вписан в окружность. На стороне АС отмечена точка Е так, что АЕ=АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку СЕ пересекает дугу ВС, не содержащую точки А, в точке К.
Задание 4598
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
Задание 4599
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.
Задание 4600
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
Задание 4602
Медианы АА1 и ВВ1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.
Задание 4606
Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.
Задание 4607
Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что $$\angle BAC + \angle AKC = 90$$
Задание 4608
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 12, BC = 5. Окружность радиуса $$\frac{1}{2}$$ с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.