Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Планиметрия: задачи, связанные с углами

Трапеция

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 972

Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Площадь трапеции вычисляется по формуле $$S=\frac{a+b}{2}*h$$. Получаем $$40=\frac{7+13}{2}*CH$$. Отсюда CH = 4.

Из треугольника CHD по теореме Пифагора находим CD = 5. Отсюда периметр равен 7 + 13 + 5 + 5 = 30

Задание 1858

Най­ди­те боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль AC об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной AB углы, рав­ные 30° и 45° со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 105
Скрыть

$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30+45=75^{\circ}$$, тогда по свойству углов трапеции: $$\angle B=180-\angle A=105^{\circ}$$

Задание 1859

Най­ди­те угол АDС рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем ВС и бо­ко­вой сто­ро­ной АВ углы, рав­ные 30° и 50° со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 80
Скрыть

$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30+50=80^{\circ}$$

Задание 1860

Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 140°. Най­ди­те боль­ший угол тра­пе­ции. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 110
Скрыть

Так как дана равнобедренная трапеция, то сумма острых углов при большем основании будет составлять 140 градусов, $$\angle A=\angle B=\frac{140}{2}=70^{\circ}$$, по свойству углов трапеции: $$\angle D=180-\angle A=110^{\circ}$$

Задание 1861

Най­ди­те мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, если два ее угла от­но­сят­ся как 1:2. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60
Скрыть

Пусть меньший угол равен х, тогда больший угол равен 2х. По свойству углов трапеции получаем, что $$x+2x=180\Leftrightarrow$$$$x=60$$, то есть меньший угол составляет $$60^{\circ}$$

Задание 1863

Тан­генс остро­го угла пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции равен $$\frac{5}{6}$$. Най­ди­те её боль­шее ос­но­ва­ние, если мень­шее ос­но­ва­ние равно вы­со­те и равно 15.

Ответ: 33
Скрыть

Опустим высоту CF, тогда из прямоугольного треугольника CFB: $$FB=\frac{CF}{tgB}=\frac{15}{\frac{5}{6}}=18$$. DC=AF=15, тогда AB=15+18=33.

Задание 1864

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции из­вест­ны вы­со­та 4, мень­шее ос­но­ва­ние 8 и угол при ос­но­ва­нии $$45^{\circ}$$. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние.

Ответ: 16
Скрыть

Опустим высоты DE=CF=4, тогда из прямоугольного треугольника ADE: так как $$\angle A=45^{\circ}$$, то $$\angle ADE=90-45=45^{\circ}$$, следовательно, реугольник AED - равнобедренный, и AE=DE=4, аналогично FB=4. Но EF=DC=8, тогда AB=4+4+8=16.

Задание 1865

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 10. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из её диа­го­на­лей.

Ответ: 5
Скрыть

EG - средняя линия треугольника ADB, тогда $$EG=\frac{1}{2}=AB=5$$, аналогично GF - средняя линия треугольника DCB, тогда $$GF=\frac{1}{2}DC=2$$, наибольший в таком случае равен 5

Примечение: больший из отрезков всегда будет равен половине большего основания

Задание 1866

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 50 и 104, бо­ко­вая сто­ро­на 45. Най­ди­те длину диа­го­на­ли тра­пе­ции.

Ответ: 85
Скрыть

Опустим две высоты DE=CF, тогда AE=FB (из равенства прямоугольных треугольников ADE и CFB по катету и гипотенузе), и DC=EF=50, тогда $$AE=FB=\frac{104-50}{2}=27$$. Тогда из прямоугольного треугольника ADE : $$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{45^{2}-27^{2}}=36$$, следовательно, EB=AB-AE=104-27=77. Тогда из прямоугольного треугольника DEB: $$DB=\sqrt{DE^{2}+EB^{2}}=\sqrt{77^{2}+36^{2}}=85$$

Задание 1867

Около тра­пе­ции, один из углов ко­то­рой равен 49°, опи­са­на окруж­ность. Най­ди­те осталь­ные углы тра­пе­ции.

За­пи­ши­те ве­ли­чи­ны углов в ответ через точку с за­пя­той в по­ряд­ке не­убы­ва­ния.

Ответ: 49; 131; 131
Скрыть

По свойству вписанного четырехугольник $$\angle A+\angle C=180^{\circ}$$, пусть $$\angle A=49^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle C=180-49=131^{\circ}$$. По свойству углов трапеции $$\angle B=180-\angle C=180-131=49^{\circ}$$, аналогично $$\angle D=180-\angle A=131^{\circ}$$

Задание 1868

В тра­пе­цию, сумма длин бо­ко­вых сто­рон ко­то­рой равна 24, впи­са­на окруж­ность. Най­ди­те длину сред­ней линии тра­пе­ции.

Ответ: 12
Скрыть

По свойству описанного четырехугольника AD+BC=AB+CD, тогда сумма оснований тоже 24, средняя линия же равна полусумме оснований, то есть 24/2=12.

Задание 1965

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а синус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен $$\frac{1}{3}$$. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ответ: 30
Скрыть

  1. Опустим высоту CE. Пусть $$\sin D=\frac{1}{3}$$, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2$$
  2. Из формулы площади трапеции: $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$

Задание 1966

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен $$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ответ: 30
Скрыть

  1. Пусть $$\cos D =\frac{2\sqrt{2}}{3}$$, опустим высоту CE. Тогда из треугольника  CED: $$ED=CD*\cos D=6*\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$$
  2. По теореме Пифагора из треугольника CED: $$CE=\sqrt{6^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}=2$$
  3. Из формулы площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$

Задание 1967

Сред­няя линия тра­пе­ции равна 11, а мень­ше ос­но­ва­ние равно 5. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

Ответ: 17
Скрыть

Пусть a - большее основание, тогда из формулы длины средней линии трапеции : $$a=2*11-5=17$$

Задание 1968

Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции равна 5, а один из при­ле­га­ю­щих к ней углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если её ос­но­ва­ния равны 3 и 9.

Ответ: 15
Скрыть

  1. Пусть $$\angle D=30^{\circ}$$. Опустим высоту CE, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2,5$$
  2. По формуле площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}*2,5=15$$

Задание 1969

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ос­но­ва­ния равны 3 и 9, а один из углов между бо­ко­вой сто­ро­ной и ос­но­ва­ни­ем равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ответ: 18
Скрыть

  1. Опустим высоты CE и BF. Тогда FE=BC=3, $$AF=ED=\frac{AD-FE}{2}=3$$ (из равенства прямоугольных треугольников ABF и CED)
  2. Пусть $$\angle D=45^{\circ}$$, тогда треугольник CED - равнобедренный ($$\angle ECD=90-45=45=\angle D$$), тогда CE=ED=3
  3. Из формулы площади трапеции: $$S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}*3=18$$

Задание 1970

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

Ответ: 168
Скрыть
  1. $$AD=AE+ED=21$$
  2. Площадь трапеции ABCD: $$S=\frac{7+21}{2}*12=168$$

Задание 1971

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 5 и 17, а ее бо­ко­вые сто­ро­ны равны 10. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ответ: 88
Скрыть

  1. Опустим высоты BF и CE, тогда треугольники ABF и CED равны по гипотенузе и катету, следовательно,  FE=BC=5, $$AF=ED=\frac{AD-BC}{2}=6$$
  2. Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора $$BF=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$$
  3. Площадь трапеции ABCD: $$S=\frac{5+17}{2}*8=88$$

Задание 1972

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 1 и 13, одна из бо­ко­вых сто­рон равна $$15\sqrt{2}$$, а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ответ: 105
Скрыть

  1. Пусть $$\angle C=135^{\circ}, CD=15\sqrt{2}$$. Опустим высоту CE , тогда $$\angle ECD=135-90=45^{\circ}$$, следовательно, треугольник CDE - прямоугольный и равнобедренный
  2. Из треугольника CDE -$$CE=CD*\sin ECD=15\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=15$$
  3. Площадь трапеции $$S_{ABCD}=\frac{1+13}{2}*15=105$$

Задание 1973

В тра­пе­ции ABCD AD = 5, BC = 2, а её пло­щадь равна 28. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Ответ: 11
Скрыть

  1. Из формулы площади трапеции $$BE=\frac{2S_{ABCD}}{AD+BC}=\frac{2*28}{5+2}=8$$
  2. $$BF=FE=\frac{1}{2}BE=4$$ так как MN - средняя линия трапеции, $$MN=\frac{BC+AD}{2}=\frac{2+5}{2}=3,5$$
  3. Площадь трапеции BCNM: $$S=\frac{BC+MN}{2}*BF=\frac{2+3,5}{2}*4=11$$

Задание 1974

В тра­пе­ции ABCD AD = 3, BC = 1, а её пло­щадь равна 12. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Ответ: 3
Скрыть

  1. Из площади трапеции $$AE=\frac{2S_{ABCD}}{BC+AD}=\frac{2*12}{3+1}=6$$
  2. Из формулы площади треугольника: $$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC*AE=\frac{1}{2}*6*1=3$$
 

Задание 3369

В трапеции ABCD (AD||BC) диагонали пересекаются в точке O. Площади треугольников BCO и ADO равны, соответственно, 2 и 8. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S_{BOC}=2$$ $$S_{AOD}=8$$ $$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$k=\frac{BO}{OD}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$$ Пусть $$BO=x$$ $$\Rightarrow$$ $$OD=2x$$; $$OC=y$$ $$\Rightarrow$$ $$AO=2y$$ $$\angle AOD=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BOA=180^{\circ}-\alpha$$ $$S_{AOD}=\frac{1}{2}\cdot2y\cdot2x\cdot\sin\alpha=8$$ $$\Rightarrow$$ $$xy\sin\alpha=4$$ $$S_{ABO}=S_{COD}=\frac{1}{2}x\cdot2y\cdot\sin(180^{\circ}-\alpha)=xy\sin\alpha=4$$ $$S_{ABCD}=2+8+4+4=18$$

 

Задание 3417

В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 14.

Ответ: 196
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

 

из $$\bigtriangleup BCH$$: он прямоугольный и равнобедренный $$\Rightarrow$$ NH- медиана и высота $$\Rightarrow$$ $$NH=NC$$, аналогично $$HM=MD$$

Пусть $$NH=x$$ $$\Rightarrow$$ $$BC=2x$$; $$HM=y$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=2y$$

$$S_{ABCD}=\frac{2x+2y}{2}\cdot(x+y)=(x+y)^{2}=14^{2}=196$$

Задание 3479

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 51 и 65. Бо­ко­вые сто­ро­ны равны 25. Най­ди­те синус остро­го угла тра­пе­ции.

Ответ: 0,96

Задание 3480

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 43 и 73. Ко­си­нус остро­го угла тра­пе­ции равен $$\frac{5}{7}$$. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну.

Ответ: 21

Задание 3481

Боль­шее ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равно 34. Бо­ко­вая сто­ро­на равна 14. Синус остро­го угла равен $$\frac{2\sqrt{10}}{7}$$. Най­ди­те мень­шее ос­но­ва­ние.

Ответ: 22

Задание 3482

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 7 и 51. Тан­генс остро­го угла равен $$\frac{5}{11}$$. Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции.

Ответ: 10

Задание 3483

Мень­шее ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равно 23. Вы­со­та тра­пе­ции равна 39. Тан­генс остро­го угла равен $$\frac{13}{8}$$. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние.

Ответ: 71

Задание 3484

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 17 и 87. Вы­со­та тра­пе­ции равна 14. Най­ди­те тан­генс остро­го угла.

Ответ: 0,4

Задание 3485

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 14 и 26, а ее пе­ри­метр равен 60. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ответ: 160

Задание 3486

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 7 и 13, а ее пло­щадь равна 40. Най­ди­те пе­ри­метр тра­пе­ции.

Ответ: 30

Задание 3487

Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 6 и 2, боль­шая бо­ко­вая сто­ро­на со­став­ля­ет с ос­но­ва­ни­ем угол 45°.

Ответ: 16

Задание 3488

Ос­но­ва­ния пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции равны 12 и 4. Ее пло­щадь равна 64. Най­ди­те ост­рый угол этой тра­пе­ции. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 45

Задание 3489

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 14 и 26, а ее бо­ко­вые сто­ро­ны равны 10. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ответ: 160

Задание 3490

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 7 и 13, а ее пло­щадь равна 40. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции.

Ответ: 5

Задание 3491

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 6, бо­ко­вая сто­ро­на, рав­ная 7, об­ра­зу­ет с одним из ос­но­ва­ний тра­пе­ции угол 150°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ответ: 42

Задание 3492

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 27 и 9, бо­ко­вая сто­ро­на равна 8. Пло­щадь тра­пе­ции равна 72. Най­ди­те ост­рый угол тра­пе­ции, при­ле­жа­щий к дан­ной бо­ко­вой сто­ро­не. Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах.

Ответ: 30

Задание 3494

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции боль­шее ос­но­ва­ние равно 25, бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, угол между ними $$60^{\circ}$$. Най­ди­те мень­шее ос­но­ва­ние.

Ответ: 15

Задание 3495

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ос­но­ва­ния равны 12 и 27, ост­рый угол равен $$60^{\circ}$$. Най­ди­те ее пе­ри­метр.

Ответ: 69

Задание 3496

Пря­мая, про­ве­ден­ная па­рал­лель­но бо­ко­вой сто­ро­не тра­пе­ции через конец мень­ше­го ос­но­ва­ния, рав­но­го 4, от­се­ка­ет тре­уголь­ник, пе­ри­метр ко­то­ро­го равен 15. Най­ди­те пе­ри­метр тра­пе­ции.

Ответ: 23

Задание 3497

Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Ответ: 10

Задание 3498

Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 9, один из углов равен $$45^{\circ}$$. Найдите высоту трапеции.

Ответ: 3

Задание 3499

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 3 и 2. Най­ди­те от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции.

Ответ: 0,5

Задание 3500

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Вы­со­та тра­пе­ции равна 12. Най­ди­те ее сред­нюю линию.

Ответ: 12

Задание 3501

Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка равны 4 и 5. Най­ди­те пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны сто­рон дан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Ответ: 9

Задание 3502

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 6 и 12. Синус остро­го угла тра­пе­ции равен 0,8. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну.

Ответ: 5
 

Задание 5049

В трапеции ABCD известны основания AD = 11 и BC = 6. Найдите длину большего из отрезков, на которые средняя линия MN трапеции делится её диагональю BD.

Ответ: 5,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$ME=\frac{1}{2}\cdot AD=5,5$$

Задание 5691

Найдите угол  ABC  рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции  ABCD, если диа­го­наль  AC  об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем  AD и бо­ко­вой сто­ро­ной  CD  углы, рав­ные 30° и 80° соответственно.

Ответ:

Задание 5692

В тра­пе­ции ABCD AB = CD, ∠BDA = 49° и ∠BDC = 13°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

Задание 5693

Высота рав­но­бед­рен­ной трапеции, проведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 1 и 5. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

Ответ:
 

Задание 6175

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 60. Найдите ее среднюю линию.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть a, b-боковые и c, d-основания , тогда $$a+b=c+d$$ (так как есть вписанная окружность). Тогда: $$P=a+b+c+d=2(c+d)=60$$ Следовательно, $$c+d=30$$, $$m=\frac{c+d}{2}=15$$-средняя линия.

 

Задание 6412

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 120
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Пусть $$\angle DBA=\alpha$$, тогда из $$\Delta ABD:\angle A=90-\alpha$$

     2) $$\angle DBA=\angle CDB=\alpha$$ (накрест лежащие ), тогда $$\angle ADC=90+\alpha$$

     3) $$\angle ADC=\angle DCB\Rightarrow$$ из $$\Delta DCB: \angle CDB=\frac{180-(90+\alpha )}{2}=$$$$45-\frac{\alpha }{2}$$, но $$\angle CDB=\alpha$$. Тогда: $$45-\frac{\alpha }{2}=\alpha \Leftrightarrow$$ $$45=\frac{3\alpha }{2}\Leftrightarrow$$ $$\alpha=30$$

     4) $$\angle A=810+90-\alpha =60$$, тогда $$\angle D=180-\angle A=120$$

 

Задание 6691

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Из $$\Delta HBO$$ (OH-высота): $$OH=\sqrt{OB^{2}-HB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$$

Из $$\Delta OMC$$ (OM-высота): $$OM=\sqrt{OC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$$

$$HM=4+3=7$$

 

Задание 7870

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 160
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7886

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 45. Найдите радиус окружности.

Ответ: 2,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8690

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, её большая боковая сторона равна 37. Найдите радиус окружности.

Ответ: 6,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8884

Основания трапеции равны 15 и 26. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Ответ: 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8904

Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 41, отсекает треугольник, периметр которого равен 83. Найдите периметр трапеции.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9103

Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9940

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ, равная 10, образует с основанием угол, косинус которого равен $$\frac{\sqrt{2}}{10}$$

Ответ: 14
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10088

В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD из точки М, середины стороны CD, проведен к стороне АВ перпендикуляр ВМ длиной 6 см. Найдите периметр трапеции, если АВ=9 см и CD=8 см.

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10479

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке, если АС=7, BD=15

Ответ: 42
 

Задание 10568

Длины диагоналей трапеции равны 9 и 12, а длина ее средней линии равна 7,5. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 54
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$AF\parallel BD\ \to FC=AB+CD=7,5\cdot 2=15$$. Тогда $$\triangle FAC$$ - прямоугольный $$\left(9^2+{12}^2={15}^2\right)$$.

Пусть AH - высота $$\triangle FAC$$ (и ABCD) $$\to AH=\frac{9\cdot 12}{15}\to S_{ABCD}=\frac{15\cdot 9\cdot 12}{15\cdot 2}=\frac{108}{2}=54$$

 

Задание 10813

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 7, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $$45{}^\circ $$. Найдите площадь этой трапеции.

Ответ: 10
Скрыть

Пусть $$BH,\ CM$$ - высоты$$\ \to BC=HM\to AH=\frac{7-3}{2}=2$$, но треугольник ABH - прямоугольный и равнобедренный $$\to BH=2\to S=\frac{3+7}{2}\cdot 2=10$$.

 

Задание 10992

Равнобокая трапеция АВСD разбивается диагональю АС на два равнобедренных треугольника. Определите, чему равен больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 108
Скрыть $$\triangle ABC$$ - равнобедренный, $$AB=BC\to \angle BAC=\angle BCA=\alpha ;$$ $$\angle BCA=\angle CAD=\alpha $$ (накрест лежащие при $$BC\parallel AD$$). Тогда $$\angle A=2\alpha =\angle D.$$ Но из $$\triangle ACD:\ \angle ADC=\frac{180{}^\circ -\alpha }{2}.$$ Тогда:
$$2\alpha =\frac{180{}^\circ -\alpha }{2}\to 4\alpha =180{}^\circ -\alpha \to \alpha =36{}^\circ \to \angle B=180-2\cdot 36=108{}^\circ $$
 

Задание 11267

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Известно, что боковая сторона трапеции точкой касания делится на отрезки длиной 4 и 1. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12505

Основания трапеции равны 15 и 26. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Ответ: 13
 

Задание 12524

Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 41, отсекает треугольник, периметр которого равен 83. Найдите периметр трапеции.

Ответ: 165
 

Задание 12565

Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 9. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Ответ: 10
 

Задание 12645

Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 10. Радиус описанной окружности равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

 

Ответ: 17
 

Задание 12705

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 28. Найдите длину её средней линии.

Ответ: 7