Трапеция

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Площадь трапеции вычисляется по формуле $$S=\frac{a+b}{2}*h$$. Получаем $$40=\frac{7+13}{2}*CH$$. Отсюда CH = 4.

Из треугольника CHD по теореме Пифагора находим CD = 5. Отсюда периметр равен 7 + 13 + 5 + 5 = 30

$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30+45=75^{\circ}$$, тогда по свойству углов трапеции: $$\angle B=180-\angle A=105^{\circ}$$

$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30+50=80^{\circ}$$

Так как дана равнобедренная трапеция, то сумма острых углов при большем основании будет составлять 140 градусов, $$\angle A=\angle B=\frac{140}{2}=70^{\circ}$$, по свойству углов трапеции: $$\angle D=180-\angle A=110^{\circ}$$

Пусть меньший угол равен х, тогда больший угол равен 2х. По свойству углов трапеции получаем, что $$x+2x=180\Leftrightarrow$$$$x=60$$, то есть меньший угол составляет $$60^{\circ}$$

Опустим высоту CF, тогда из прямоугольного треугольника CFB: $$FB=\frac{CF}{tgB}=\frac{15}{\frac{5}{6}}=18$$. DC=AF=15, тогда AB=15+18=33.

Опустим высоты DE=CF=4, тогда из прямоугольного треугольника ADE: так как $$\angle A=45^{\circ}$$, то $$\angle ADE=90-45=45^{\circ}$$, следовательно, реугольник AED - равнобедренный, и AE=DE=4, аналогично FB=4. Но EF=DC=8, тогда AB=4+4+8=16.

EG - средняя линия треугольника ADB, тогда $$EG=\frac{1}{2}=AB=5$$, аналогично GF - средняя линия треугольника DCB, тогда $$GF=\frac{1}{2}DC=2$$, наибольший в таком случае равен 5

Примечение: больший из отрезков всегда будет равен половине большего основания

Опустим две высоты DE=CF, тогда AE=FB (из равенства прямоугольных треугольников ADE и CFB по катету и гипотенузе), и DC=EF=50, тогда $$AE=FB=\frac{104-50}{2}=27$$. Тогда из прямоугольного треугольника ADE : $$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{45^{2}-27^{2}}=36$$, следовательно, EB=AB-AE=104-27=77. Тогда из прямоугольного треугольника DEB: $$DB=\sqrt{DE^{2}+EB^{2}}=\sqrt{77^{2}+36^{2}}=85$$

По свойству вписанного четырехугольник $$\angle A+\angle C=180^{\circ}$$, пусть $$\angle A=49^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle C=180-49=131^{\circ}$$. По свойству углов трапеции $$\angle B=180-\angle C=180-131=49^{\circ}$$, аналогично $$\angle D=180-\angle A=131^{\circ}$$

По свойству описанного четырехугольника AD+BC=AB+CD, тогда сумма оснований тоже 24, средняя линия же равна полусумме оснований, то есть 24/2=12.

1. Опустим высоту CE. Пусть $$\sin D=\frac{1}{3}$$, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2$$
2. Из формулы площади трапеции: $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$

1. Пусть $$\cos D =\frac{2\sqrt{2}}{3}$$, опустим высоту CE. Тогда из треугольника  CED: $$ED=CD*\cos D=6*\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$$
2. По теореме Пифагора из треугольника CED: $$CE=\sqrt{6^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}=2$$
3. Из формулы площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$

Пусть a - большее основание, тогда из формулы длины средней линии трапеции : $$a=2*11-5=17$$

1. Пусть $$\angle D=30^{\circ}$$. Опустим высоту CE, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2,5$$
2. По формуле площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}*2,5=15$$