Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Планиметрия: задачи, связанные с углами

Треугольники общего вида

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11703

В треугольнике ABC длины сторон и его площадь связаны соотношением $$S=\frac{\sqrt{3}}{4}(b^{2}+c^{2}-a^{2})$$. Найдите градусную меру угла А.

Ответ: 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11459

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3 и BN:NC=4:9. Найдите площадь четырехугольника AMNC, если площадь треугольника АВС равна 130.

Ответ: 106
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10628

На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки M и N так, что $$AM:CM=3:1,\ BN:CN=1:2$$ (cм. рисунок). Площадь треугольника АВС равна 36. Найдите площадь четырехугольника AMNB.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$S_{CMN}=\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB}\cdot S_{ABC}=\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot 36=6\to S_{AMNB}=36-6=30.$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10520

Площадь треугольника ABC равна 8. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Ответ: 2
Скрыть

Средняя линия параллельна стороне, следовательно, отсекает треугольник (CDE) подобный данному (ABC). Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Средняя линия в два раза меньше стороны, которой параллельна, то есть коэффициент подобия составляет $$\frac{1}{2}$$, а площади относятся как $$\frac{1}{4}$$. То есть площадь треугольника CDE в 4 раза меньше, или 2.

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10489

Найдите градусную меру угла САВ, изображенного на рисунке, при условии, что угол АСВ тупой.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10160

В треугольнике АВС угол С равен 76°, AL и BM – биссектрисы углов А и В, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ (в градусах)

Ответ: 128
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10065

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты ВЕ и СН пересекаются в точке К, причем ВН=6, КН=3. Найдите площадь треугольника СВК.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9773

В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=18 и BC=BM. Найдите AH.

Ответ: 13,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9672

Известно, что точки К и М лежат соответственно на сторонах АВ и ВС треугольника АВС, а О – точка пересечения АМ и СК. Известно, что площади треугольников АОК и СОМ равны соответственно 1 и 8, а треугольник АОС и четырехугольник ВКОМ равновелики. Найдите площадь треугольника АВС.

Ответ: 21
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9625

В треугольнике площадью 70 биссектриса AD делит сторону ВС на отрезки BD и DC, причем BD:DC=3:2. На стороне АС выбрана точка К такая, что биссектриса AD пересекает ВК в точке Е и BE:EK=5:2. Найдите площадь четырехугольника EDCK.

Ответ: 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9500

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки M и Q, а на стороне AC - точки P, K, N (см. рисунок) таким образом, что MN || BC, PQ || AB и KB проходит через точку пересечения MN и PQ. Известно, что AP=4, PK=5 и KN=6. Найдите NC.

Ответ: 4,8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9238

Два угла треугольника равны 68° и 35°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9057

В треугольнике со сторонами 8 и 4 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой из этих сторон, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8298

Через точку на основании равнобедренного треугольника провели два отрезка, параллельных боковым сторонам треугольника. Найдите периметр образовавшегося параллелограмма, если боковая сторона треугольника равна 6.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8279

Концы отрезка АВ лежат по разные стороны от прямой l. Расстояние от точки А до прямой l равно 23, а расстояние от точки В до прямой l равно 45. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой l .

Ответ: 11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8229

В треугольнике АВС стороны АВ=12, ВС=13, $$\angle ABC=\pi-arccos \frac{5}{13}$$ . Найдите площадь треугольника АВС.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Площадь треугольника вычисляется как половина произведения двух сторон на синус угла между ними. При этом: $$\sin(\pi-arccos \frac{5}{13})=\sin(arccos \frac{5}{13})$$. Следует учитывать, что $$arccos \frac{5}{13}=arcsin (\sqrt{1-(\frac{5}{13})^{2}})=arcsin \frac{12}{13}$$ (c учетом, что угол не может быть больше 180 градусов) Тогда получим: $$S=\frac{1}{2}*12*13*\sin (arcsin \frac{12}{13})=$$$$6*13*\frac{12}{13}=72$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5695

В треугольнике ABC известно, что AC=38, BM- медиана, BM=17. Найдите AM

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5694

Медиана равностороннего треугольника равна $$9\sqrt{3}$$. Найдите сторону этого треугольника.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 2746

В тре­уголь­ни­ке АВС угол А равен 41°, а углы B и C — ост­рые, BD и CE — вы­со­ты, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке О. Най­ди­те угол DOE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 139
Аналоги к этому заданию:

Задание 2745

В треугольнике АВС угол А равен 46°, углы В и С острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

 

Ответ: 134
Аналоги к этому заданию:

Задание 1982

Сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна 12, а вы­со­та, про­ведённая к этой сто­ро­не, равна 33. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 198
Скрыть

Из формулы площади треугольника $$S=\frac{1}{2}*12*33=198$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1981

В тре­уголь­ни­ке ABC от­ре­зок DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна 45. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Ответ: 180
Скрыть

  1. Так как DE - средняя линия, то $$DE=\frac{1}{2}AC$$, но тогда $$S_{CDE}=\frac{1}{2}S_{ADC}$$ (у них одинаковая высота, но различные в два раза основания). То есть $$S_{ADC}=2*45=90$$, тогда $$S_{ADEC}=135$$
  2. Треугольники ABC и DBE подобны (по свойству средней линии), при это $$k=\frac{1}{2}$$ - коэффициент подобия, тогда $$\frac{S_{BDE}}{S_{ABC}}=k^{2}=\frac{1}{4}$$, тогда $$S_{BDE}=\frac{1}{4}S_{ABC}$$, следовательно, $$S_{ADEC}=\frac{3}{4}S_{ABC}$$. Получаем, что $$S_{ABC}=\frac{4}{3}S_{ADEC}=180$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1976

В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, дру­гая равна $$10\sqrt{3}$$, а угол между ними равен 60°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 75
Скрыть

По формуле площади треугольника $$S=\frac{1}{2}10*10\sqrt{3}*\sin 60^{\circ}=75$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1975

В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, а опу­щен­ная на нее вы­со­та — 5. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 25
Скрыть

По формуле площади треугольника $$S=\frac{1}{2}*10*5=25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1878

Точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон AB и BC тре­уголь­ни­ка ABC, сто­ро­на AB равна 66, сто­ро­на BC равна 37, сто­ро­нa AC равна 74. Най­ди­те MN.

Ответ: 37
Скрыть

Так как M и N середины сторон, то отрезок MN является средней линией, которая, в свою очередь равна половине стороны, которой она параллельна, то есть AC, тогда MN=0,5AC=37

Аналоги к этому заданию:

Задание 1877

В тре­уголь­ни­ке два угла равны 43° и 88°. Най­ди­те его тре­тий угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 49
Скрыть

По свойству углов треугольника: $$\angle 3=180-\angle 1 -\angle 2=180-43-88=49^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1876

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что AC=54, BM - ме­ди­а­на, BM=43. Най­ди­те AM.

Ответ: 27
Скрыть

По свойству медианы: $$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}*54=27$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1875

Углы B и C тре­уголь­ни­ка ABC равны со­от­вет­ствен­но 65° и 85°. Най­ди­те BC, если ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, равен 14.

Ответ: 14
Скрыть

По свойству углов треугольника: $$\angle A=180-\angle B -\angle C=180-85-65=30^{\circ}$$

По теореме синусов: $$BC=2R*\sin A$$, где R - радиус описанной окружности около треугольника ABC, тогда $$BC=2*14*\sin 30^{\circ}=14$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1874

В тре­уголь­ни­ке ABC BM — ме­ди­а­на и BH – вы­со­та. Из­вест­но, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Най­ди­те угол AMB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 140
Скрыть

По свойству медианы: $$MC=\frac{1}{2}AC=108$$
Найдем отрезок MH: $$MH=MC-HC=54=HM$$, следовательно, BH - медиана, но так как она и высота, то треугольник MBC - равнобедренный
$$\angle BMC=\angle ACB$$, тогда по свойству смежных углов $$\angle AMB=180-\angle BMC$$ или $$\angle AMB=180-\angle ACB=140^{\circ}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1873

В тре­уголь­ни­ке ABC AB = BC, а вы­со­та AH делит сто­ро­ну BC на от­рез­ки BH = 64 и CH = 16. Най­ди­те cos B.

Ответ: 0,8
Скрыть

Так как AB=AC, то AB=BH+HC=64+16=80.
Из прямоугольного треугольника ABH косинус угла B : $$\cos B=\frac{BH}{AB}=\frac{64}{80}=0,8$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1872

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC вы­со­та AH равна $$20\sqrt{3}$$,а сто­ро­на AB равна 40. Най­ди­те $$\cos B$$.

Ответ: 0,5
Скрыть

Из прямоугольного треугольника ABH: $$\cos B=\frac{BH}{AB}$$, по теореме Пифагора: $$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{1600-400*3}=20$$, тогда $$\cos B=\frac{20}{40}=0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1871

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны ме­ди­а­на BM и вы­со­та BH . Из­вест­но, что AC = 84 и BC = BM. Най­ди­те AH.

Ответ: 63
Скрыть

Треугольник BMC - равнобедренный, следовательно, по свойству высоты равнобедренного треугольника BH - медиана, и $$MH=HC=\frac{1}{2}MC$$

BM - медиана в треугольнике ABC, следовательно, $$AM=MC=\frac{1}{2}AC$$, тогда $$MH=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{4}AC$$, то есть $$AH=\frac{3}{4}AC=63$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1870

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Най­ди­те угол ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 62
Скрыть

$$\angle ALB=180-\angle ALC=68^{\circ}$$ по свойству смежых углов
По свойству суммы углов треугольника из треугольника ABL: $$\angle BAL = 180-\angle ABL-\angle ALB=6^{\circ}$$
По свойству биссетрисы: $$\angle BAL=\angle LAC$$, тогда $$\angle A=12^{\circ}$$
По свойству суммы углов треугольника из треугольника ABC: $$\angle C = 180-\angle A-\angle B=62^{\circ}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1869

У тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 16 и 2 про­ве­де­ны вы­со­ты к этим сто­ро­нам. Вы­со­та, про­ведённая к пер­вой сто­ро­не, равна 1. Чему равна вы­со­та, про­ведённая ко вто­рой сто­ро­не?

Ответ: 8
Скрыть

Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}AL*BC=\frac{1}{2}AC*BD$$ , тогда пусть AC=16, BC=2, BD=1, получаем, что $$AL=\frac{AC*BD}{BC}=8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 883

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равна 135°. Про­дол­же­ния высот BD и CE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Най­ди­те угол DOE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 45
Аналоги к этому заданию:

Задание 882

На клет­ча­той бу­ма­ге с квад­рат­ны­ми клет­ка­ми изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те тан­генс угла С.

Ответ: 2
Аналоги к этому заданию:

Задание 881

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 14°, внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 91°. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах

Ответ: 77
Аналоги к этому заданию:

Задание 880

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 10. DE – сред­няя линия, па­рал­лель­ная сто­ро­не AB. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции ABED.

 

Ответ: 7,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 879

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 46, углы B и C - ост­рые, вы­со­ты BD и CE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Най­ди­те угол DOE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 134
Аналоги к этому заданию:

Задание 878

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. ADBE и CF — вы­со­ты, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке O. Най­ди­те угол AOF. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 82
Аналоги к этому заданию:

Задание 877

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. ADBE и CF — бис­сек­три­сы, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке O. Най­ди­те угол AOF. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 49
Аналоги к этому заданию:

Задание 876

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 30°, угол B равен 86°, CD — бис­сек­три­са внеш­не­го угла при вер­ши­не C, при­чем точка D лежит на пря­мой AB. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AC за точку C вы­бра­на такая точка E, что CE = CB. Най­ди­те угол BDE. Ответ дайте в гра­ду­сах

Ответ: 56
Аналоги к этому заданию:

Задание 875

В тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 45°, угол C равен 85°, AD — бис­сек­три­са, E  — такая точка на AB, что AE = AC. Най­ди­те угол BDE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 40
Аналоги к этому заданию:

Задание 874

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 44°, угол C равен 62°. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AB за точку B от­ло­жен от­ре­зок BD, рав­ный сто­ро­не BC. Най­ди­те угол D тре­уголь­ни­ка BCD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 37
Аналоги к этому заданию:

Задание 873

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са AD и AB = AD = CD. Най­ди­те мень­ший угол тре­уголь­ни­ка ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 36
Аналоги к этому заданию:

Задание 872

В тре­уголь­ни­ке ABC CH — вы­со­та, AD — бис­сек­три­са, O — точка пе­ре­се­че­ния CH и AD, угол BAD равен 26°. Най­ди­те угол AOC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 116
Аналоги к этому заданию:

Задание 871

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 58°, AD и BE — бис­сек­три­сы, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке O. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 119
Аналоги к этому заданию:

Задание 870

Два угла тре­уголь­ни­ка равны 58° и 72°. Най­ди­те тупой угол, ко­то­рый об­ра­зу­ют вы­со­ты тре­уголь­ни­ка, вы­хо­дя­щие из вер­шин этих углов. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 130
Аналоги к этому заданию:

Задание 869

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 65°. BD и CE — вы­со­ты, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке O. Най­ди­те угол DOE. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 115
Аналоги к этому заданию:

Задание 868

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BCAD — вы­со­та, угол BAD равен 24°. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 48
Аналоги к этому заданию:

Задание 867

В тре­уголь­ни­ке ABC AD — бис­сек­три­са, угол C равен 30°, угол BAD равен 22°. Най­ди­те угол ADB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 52
Аналоги к этому заданию:

Задание 866

В тре­уголь­ни­ке ABC AD — бис­сек­три­са, угол C равен 50°, угол CAD равен 28°. Най­ди­те угол B. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 74
Аналоги к этому заданию:

Задание 865

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 30°, CH — вы­со­та, угол BCH равен 22°. Най­ди­те угол ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 38
Аналоги к этому заданию:

Задание 864

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 40°, внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 102°. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 62
Аналоги к этому заданию:

Задание 863

У тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 9 и 6 про­ве­де­ны вы­со­ты к этим сто­ро­нам. Вы­со­та, про­ве­ден­ная к пер­вой сто­ро­не, равна 4. Чему равна вы­со­та, про­ве­ден­ная ко вто­рой сто­ро­не?

Ответ: 6
Аналоги к этому заданию:

Задание 862

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 4. DE  — сред­няя линия. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE.

Ответ: 1
Аналоги к этому заданию:

Задание 861

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, две сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.

Ответ: 24