Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Стереометрия

Призма

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 902

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 6. Найдите объем многогранника с вершинами в точках AB1C1D1E1F1.

Ответ: 20
Скрыть

Рассмотрим новое основание. Оно представляет из себя пятиугольник. Площадь этого пятиугольника составляет 5/6 от площади шестиугольника, поэтому: площадь основания нового: 12 * 5/6=10

Объем пирамиды вычисляется как одна третья основания на высоту: объем = 1/3 * 6*10 = 20

 

Задание 2364

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен $$\sqrt{3}$$, а высота равна 3.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3153

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны $$2\sqrt{3}$$ и наклонены к плоскости основания под углом 30°. 

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Так как боковое ребро наклонено под углом в 30 градусов, то высота длина высоты равна произведению длины боковой стороны на синус 30 градусов: $$2\sqrt{3}*\frac{1}{2}=\sqrt{3}$$ Площадь правильного шестиугольника, сторона которого а, вычисляется по формуле: $$S=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{3*2^{2}\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$$ Объем равен произведению площади основания на высоту: $$V=6\sqrt{3}*\sqrt{3}=18$$

Задание 3724

В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли 2300 см3 воды и по­гру­зи­ли в воду де­таль. При этом уро­вень воды под­нял­ся с от­мет­ки 25 см до от­мет­ки 27 см. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в см3.

Ответ: 184

Задание 3725

В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли воду. Уро­вень воды до­сти­га­ет 80 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень воды, если ее пе­ре­лить в дру­гой такой же сосуд, у ко­то­ро­го сто­ро­на ос­но­ва­ния в 4 раза боль­ше, чем у пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в см.

Ответ: 5

Задание 3726

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 5, а вы­со­та – 10.

Ответ: 300

Задание 3727

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пря­мой приз­мы, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб с диа­го­на­ля­ми, рав­ны­ми 6 и 8, и бо­ко­вым реб­ром, рав­ным 10.

Ответ: 248

Задание 3728

Най­ди­те бо­ко­вое ребро пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы, если сто­ро­на ее ос­но­ва­ния равна 20, а пло­щадь по­верх­но­сти равна 1760.

Ответ: 12

Задание 3729

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8, бо­ко­вое ребро равно 5. Най­ди­те объем приз­мы.

Ответ: 120

Задание 3730

Гра­нью па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной 1 и ост­рым углом $$60^{\circ}$$. Одно из ребер па­рал­ле­ле­пи­пе­да со­став­ля­ет с этой гра­нью угол в $$60^{\circ}$$ и равно 2. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 1,5

Задание 3731

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 32, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

Ответ: 8

Задание 3732

От тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 6, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через сто­ро­ну од­но­го ос­но­ва­ния и про­ти­во­по­лож­ную вер­ши­ну дру­го­го ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем остав­шей­ся части.

Ответ: 4

Задание 3733

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8, вы­со­та приз­мы равна 10. Най­ди­те пло­щадь ее по­верх­но­сти.

Ответ: 288

Задание 3734

Объём куба равен 12. Най­ди­те объём тре­уголь­ной приз­мы, от­се­ка­е­мой от куба плос-ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны двух рёбер, вы­хо­дя­щих из одной вер­ши­ны, и парал-лель­ной тре­тье­му ребру, вы­хо­дя­ще­му из этой же вер­ши­ны.

Ответ: 1,5

Задание 3735

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки ABCA1 пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 2, а бо­ко­вое ребро равно 3.

Ответ: 2

Задание 3736

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,C,A_{1},C_{1}$$ пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 3, а бо­ко­вое ребро равно 2.

Ответ: 4

Задание 3737

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A_{1},B_{1},B,C$$пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а бо­ко­вое ребро равно 3.

Ответ: 4

Задание 3738

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,C,D,E,F,A_{1}$$ пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а бо­ко­вое ребро равно 3.

Ответ: 4

Задание 3739

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,C,A_{1},B_{1},C_{1}$$ пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 3.

Ответ: 3

Задание 3740

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,D,E,A_{1},B_{1},D_{1},E_{1}$$ пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

Ответ: 8

Задание 3741

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

Ответ: 6

Задание 3742

Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 6. Какой ста­нет площадь по­верх­но­сти приз­мы, если все её рёбра уве­ли­чат­ся в три раза, а форма оста­нет­ся преж­ней?

Ответ: 54

Задание 3743

Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми C и A1 пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB = 5, AD = 4, AA1=3.

Ответ: 50

Задание 3744

Най­ди­те рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми А и D  пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB = 5, AD = 4, AA  = 3.

Ответ: 5

Задание 3745

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ все ребра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми $$B$$ и $$E$$.

Ответ: 2

Задание 3746

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ все ребра равны 1. Най­ди­те угол $$DAB$$. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3747

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$, все ребра ко­то­рой равны 8, най­ди­те угол между пря­мы­ми $$FA$$ и $$D_{1}E_{1}$$. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3748

В кубе $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ най­ди­те угол между пря­мы­ми $$AD_{1}$$ и $$B_{1}D_{1}$$. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3749

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$, все ребра ко­то­рой равны 3, най­ди­те угол между пря­мы­ми $$AA_{1}$$ и $$BC_{1}$$. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 45

Задание 3750

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ из­вест­но, что $$AC_{1}=2BC$$. Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми $$BD_{1}$$ и $$CA_{1}$$. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3751

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 сто­ро­ны ос­но­ва­ний равны 2, бо­ко­вые рёбра равны 5. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны рёбер ABACA1B1 и A1C1.

Ответ: 5

Задание 3752

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA1B1C1D1 ребро AA1 равно 15, а диа­го­наль BD1 равна 17. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки AA1 и C.

Ответ: 120

Задание 3753

Объём тре­уголь­ной приз­мы, от­се­ка­е­мой от куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны двух рёбер, вы­хо­дя­щих из одной вер­ши­ны, и па­рал­лель­ной тре­тье­му ребру, вы­хо­дя­ще­му из этой же вер­ши­ны, равен 2. Най­ди­те объём куба.

Ответ: 16

Задание 3754

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA2B1C1D1 из­вест­ны длины рёбер: AB = 9, AD = 12 , AA1 = 18. Най­ди­те синус угла между пря­мы­ми A1D1 и AC.

Ответ: 0,6

Задание 3755

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра ко­то­рой равны 5, най­ди­те угол между пря­мы­ми FA и D1E1. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3756

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ все ребра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми $$A$$ и $$E_{1}$$.

Ответ: 2

Задание 3757

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ все ребра равны $$\sqrt{5}$$. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми $$B$$ и $$E_{1}$$.

Ответ: 5

Задание 3758

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ все ребра равны 1. Най­ди­те тан­генс угла $$AD_{1}D$$

Ответ: 2

Задание 3759

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{11}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ все ребра равны 1. Най­ди­те угол $$AC_{1}C$$ Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60
 

Задание 3855

В правильной треугольной призме $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$, стороны оснований которой равны 2, боковые ребра равны 1, проведите сечение через вершины $$ABC_{1}$$. Найдите его площадь.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) По т. Пифагора: $$AC_{1}=\sqrt{AA_{1}^{2}+A_{1}C_{1}^{2}}=\sqrt{5}$$

$$AC_{1}=BC_{1}$$

2) Построим $$C_{1}H\perp AB$$, $$C_{1}H$$ - медиана, высота $$\Rightarrow$$

$$C_{1}H=\sqrt{C_{1}B^{2}-HB^{2}}=\sqrt{5-1}=2$$

3) $$S_{AC_{1}B}=\frac{1}{2}\cdot C_{1}H\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2$$

 

Задание 4182

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$, стороны оснований которой равны 2, боковые ребра равны 1, проведите сечение через вершины $$C,F,D_{1},E_{1}$$. Найдите его площадь.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть М - середина $$E_{1}D_{1}$$, N - середина ED, О - центр основания, тогда: $$NO\perp FC$$ $$\Rightarrow MO\perp FC$$

2) Сечение $$FE_{1}D_{1}C$$ - трапеция, MO - высота; $$MO=\sqrt{ON^{2}+NM^{2}}$$; $$ON=OE\cdot\sin60^{\circ}$$ (из $$\bigtriangleup ENO$$); $$OE=ED$$; $$FC=2AB$$ $$\Rightarrow$$ $$ON=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$; $$FC=2\cdot2=4$$; $$OM=\sqrt{3+1}=2$$; $$S_{FE_{1}D_{1}C}=\frac{2+4}{2}\cdot2=6$$

 

Задание 5135

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A1, B1, C1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

пусть а - сторона основания, тогда $$S_{ABCDEF}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}$$; $$S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$$; $$\frac{S_{ABC}}{S_{ABCDEF}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$$; $$\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}$$; $$\frac{V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{ABC...E_{1}F_{1}}}=\frac{S_{ABC}\cdot AA_{1}}{S_{ABCDEF}\cdot AA_{1}}=\frac{1}{6}$$; $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{6}\cdot6\cdot3=3$$

Скрыть

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния треугольной приз­мы проведена плоскость, па­рал­лель­ная боковому ребру. Объем от­се­чен­ной треугольной приз­мы равен 5. Най­ди­те объем ис­ход­ной призмы.

Задание 5985

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния треугольной приз­мы проведена плоскость, па­рал­лель­ная боковому ребру. Пло­щадь боковой по­верх­но­сти отсеченной тре­уголь­ной призмы равна 8. Най­ди­те площадь бо­ко­вой поверхности ис­ход­ной призмы

.

Ответ:

Задание 5987

В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Ответ:

Задание 5988

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны $$2\sqrt{3}$$ и наклонены к плоскости основания под углом 30.

Ответ:
 

Задание 6224

Все ребра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны $$\sqrt{3}$$ Найдите площадь боковой поверхности пирамиды ВA1B1C1D1E1F1. В ответе укажите полученное значение, умноженное на $$6-\sqrt{7}$$ .

Ответ: 43,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   1) $$\Delta A_{1}B_{1}B=\Delta B_{1}C_{1}B$$(оба прямоугольные)

$$S_{\Delta AB_{1}B}=\frac{1}{2}*A_{1}B_{1}*B_{1}B=\frac{1}{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}=\frac{3}{2}$$

   2) $$\Delta F_{1}A_{1}B=\Delta BC_{1}D_{1}(F_{1}A=D_{1}C_{1}, A_{1}B=BF_{1}, F_{1}B=D_{1}B(FB=BD))$$

$$\Delta BCD :BD=BC^{2}+CD^{2}+2 BC*CD\cos BD=\sqrt{3}^{2}+\sqrt{3}^{2}+2\sqrt{3}^{2} *\frac{1}{2}=3\Rightarrow BD_{1}=\sqrt{3^{2}+\sqrt{3}^{2}}=\sqrt{12}$$

$$\Delta BCC_{1} BC_{1}=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+\sqrt{3}^{2}}=\sqrt{6}$$

$$\cos\angle BC_{1}D_{1}=\frac{BC_{1}^{2}+C_{1}D_{1}^{2}-BD_{1}^{2}}{2*BC_{1}*C_{1}D_{1}}=\frac{6+3-12}{2*\sqrt{6*3}}=-\frac{3}{3*2\sqrt{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

$$\sin \angle BC_{1}D_{1}=\sqrt{1-(\frac{1}{2\sqrt{2}})^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$$

$$S_{BC_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}*BC_{1}*C_{1}D_{1}*\sin \angle BC_{1}D_{1}=\frac{1}{2}*\sqrt{6}*\sqrt{3}*\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$$

   3) $$\Delta BD_{1}E_{1}=\Delta BF_{1}E_{1}$$(оба прямоугольные по теореме о трех перпендикулярах )

$$S_{BD_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}*BD_{1}*D_{1}E_{1}=\frac{1}{2}*\sqrt{12}*\sqrt{3}=3$$

   4) $$S=2*\frac{3}{2}+2*\frac{3\sqrt{7}}{4}+2*3=9+\frac{3\sqrt{7}}{2}.$$

Тогда в ответе укажем: $$(9+\frac{3\sqrt{7}}{2})*(6-\sqrt{7})=1.5(6+\sqrt{7})*(6-\sqrt{7})=1.5(36-7)=43,5$$

 

Задание 6272

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми АС1 и ВЕ.

Ответ: 90
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

AC- проекция ,$$AC_{1}$$ на (ABC)

$$AC\perp BE\Rightarrow AC_{1}\perp BE$$ (по тереме о трех перпендикулярах)

 

Задание 6870

Объем правильной шестиугольной призмы АВСDЕFА1В1С1D1Е1F1 равен 144. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B,E,F,F1,E1

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

        1) $$B_{1}F_{1}\perp F_{1}E_{1}$$ и $$B_{1}F_{1}\perp FF_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$B_{1}F_{1}$$ - высота пирамиды$$B_{1}EFF_{1}E_{1}$$ . Тогда $$V_{B_{1}EFF_{1}E_{1}}=\frac{1}{3} S_{EFF_{1}E_{1}}*B_{1}F_{1}=$$$$\frac{1}{3} *F_{1}E_{1}*B_{1}F_{1}*FF_{1}$$

        2) Пусть $$F_{1}E_{1}=x; FF_{1}=h$$ . Тогда из $$\Delta F_{1}A_{1}B_{1}$$: $$F_{1}B_{1}=\sqrt{x^{2}+x^{2}-2x^{2} \cos 120}=x\sqrt{3}$$

        3) Тогда $$V_{ABC..E_{1}F_{1}}=S_{AB..EF}*FF_{1}=\frac{3\sqrt{3}x^{2}}{2}*h=144$$$$\Rightarrow$$ $$\sqrt{3}x^{2}h=96$$

$$V_{B_{1}EFF_{1}E_{1}}=\frac{1}{3} *x*\sqrt{3}x*h=$$$$\frac{\sqrt{3}x^{2}h}{3}=\frac{96}{3}=32$$

 

Задание 7054

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 6. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, C1.

Ответ: 48
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
  1. Найдем $$V_{A_{1}B_{1}C_{1}B}=$$$$\frac{1}{3}S_{A_{1}B_{1}C_{1}}*BB_{1}=$$$$\frac{1}{3}*12*6=24$$
  2. Найдем $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=12*6=72$$
  3. $$V_{ABCDA_{1}B_{1}}=$$$$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}-V_{A_{1}B_{1}C_{1}B}=$$$$72-24=48$$
 

Задание 7174

Объем правильной шестиугольной призмы равен 180. Сначала каждое ее боковое ребро увеличили в два раза, а затем каждую сторону каждого основания уменьшили в три раза. Найдите объем полученной призмы.

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть h –начальная высота $$\Rightarrow$$ $$h_{1}=2h$$, a –сторона основания $$\Rightarrow$$ $$a_{1} =\frac{a}{3}\Rightarrow$$ $$\frac{S}{S_{1}}=(\frac{3}{1})^{2}=\frac{9}{1}$$, где $$a_{1},h$$ и $$S_{1}$$ –сторона , высота и площадь основания новой призмы . $$\Rightarrow$$ $$\frac{V}{V_{1}}=\frac{Sh}{S_{1}h_{1}}=\frac{9}{2}=4,5$$$$\Rightarrow$$ $$V_{1}=\frac{V}{4,5}=40$$

 

Задание 7406

Основанием наклонной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD, а диагональ A1C призмы перпендикулярна плоскости основания. Найдите площадь основания призмы, если AA1=$$3\sqrt{3}$$ ;CA1=15 .

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7435

Площадь полной поверхности призмы на 24 см2 больше площади её боковой поверхности. Найдите площадь основания призмы. Ответ дайте в квадратных сантиметрах

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7725

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1площадь основания равна 13, а боковое ребро равно 12. Найдите объем призмы ACDFA1C1D1F1.

Ответ: 104
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7888

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 площадь основания равна 13, а боковое ребро равно 12. Найдите объем призмы ACDFA1C1D1F1.

Ответ: 104
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9038

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в основании которого лежит прямоугольник ABCD, AB=45, BC =24. Найдите расстояние от точки A1 до прямой CC1, если высота параллелепипеда равна 20, а боковое ребро равно 34 (проекция A1 на плоскость основания принадлежит AC)

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9142

Основанием наклонной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD, а диагональ AC1 призмы перпендикулярна плоскости основания. Найдите площадь основания призмы, если $$AC_{1}=2\sqrt{7}$$, $$AA_{1}=6$$.

Ответ: 4
Скрыть

Рассмотрим сечение $$A_{1}C_{1}CA$$ - это параллелограмм. При этом $$AC_{1}$$ - его высота. Тогда по теореме Пифагора из треугольника $$ACC_{1}$$: $$AC=\sqrt{CC_{1}^{2}-AC_{1}^{2}}=\sqrt{36-28}=8$$

В основании находится квадрат. Пусть сторона основания равна х. Тогда по теореме Пифагора из треугольника ABC: $$AB^{2}+AC^{2}=AC^{2}\Leftrightarrow$$$$x^{2}+x^{2}=8\Leftrightarrow$$$$x^{2}=4=S_{ABCD}$$

 

Задание 9377

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9502

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 ребро АА1 равно 10, а стороны основания равны 8. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки А1 , С1 и середину ребра АВ.

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9627

В прямой призме АВСА1В1С1 АВ=ВС, СВ1=10, ВВ1=3, АС=8. Найдите угол между прямой СВ1 и плоскостью АА1С.

Ответ: 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9655

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 36. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9674

Объем правильной шестиугольной призмы равен 180. Сначала каждое ее боковое ребро увеличили в два раза, а затем каждую сторону каждого основания уменьшили в три раза. Найдите объем полученной призмы.

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9795

Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, С, А1, B1, С1.

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10255

Боковое ребро правильной треугольной призмы на 20% больше ее стороны основания. Расстояние между серединами двух непараллельных ребер, принадлежащих разным основаниям, равно 13. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: 360
 

Задание 10570

Найдите объем правильной шестиугольной призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1{E_1F}_1$$, если известно, что объем многогранника с вершинами в точках $$E,\ B_1,A_1,F_1,E_1$$ равен 12.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$V_{EB_1A_1F_1E_1}=\frac{1}{3}S_{B_1A_1F_1E_1}\cdot EE_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{S}{2}\cdot h=\frac{S\cdot h}{6}=\frac{V_{ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1}}{6}$$ $$\to V_{ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1}=12\cdot 6=72$$
 

Задание 10892

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $$D, Е, F, D_1, E_1, F_1$$ правильной шестиугольной призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$, площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 12.

Ответ: 20
Скрыть В основании призмы лежит правильный шестигранник. Вершины DEF образуют треугольник в основании призмы. Таких равных треугольников в основании призмы ровно 6 (см. рисунок ниже). Легко показать, что площади треугольников AFO и FOD равны. Например, высота треугольника AFO равна $$\frac{y}{2}$$ (синяя линия к стороне FA на рисунке), а основание $$FA=x$$. Тогда площадь AFO $$S=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \frac{y}{2}=\frac{xy}{4}$$. По аналогии площадь треугольника FOD. У него высота $$\frac{x}{2}$$, проведенная к стороне $$FD=y$$. Получаем площадь: $$S=\frac{1}{2}\cdot y\cdot \frac{x}{2}=\frac{xy}{4}$$. Также из рисунка хорошо видно, что треугольники AFO и DOC равны, и остальные 4 треугольника также равны. Поэтому площадь треугольника DEF равна $$1/6$$ от площади основания призмы: $$\frac{10}{6}$$. В результате получаем объем многогранника: $$V=S\cdot h=\frac{10}{6}\cdot 12=20$$.
 

Задание 10930

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра которой равны 2, найдите угол между прямыми $$ВB_1$$ и $$AC_1$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$BB_1\parallel CC_1\to $$ угол м/у $$AC_1$$ и $$CC_1$$, т.е. $$\angle ACC_1$$. $$\triangle ACC_1$$ - прямоугольный и равнобедренный $$\to \ \angle ACC_1=45{}^\circ $$.
 

Задание 11099

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $$А,\ В,\ С,\ A_1,B_1,C_1\ $$правильной шестиугольной призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 5.

Ответ: 10
Скрыть Вершины ABC в основании правильной шестиугольной призмы образуют треугольник, по площади равный $$\frac{1}{6}$$ от площади основания (см. рисунок ниже). Следовательно, площадь основания многогранника (треугольника ABC) равна $$S=\frac{1}{6}\cdot 12=2,$$ а его объем $$V=S\cdot h=2\cdot 5=10.$$
 

Задание 12326

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1100 см$${}^{3}$$ воды и полностью в неё погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 29 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см$${}^{3}$$.

Ответ: 176

Задание 12627

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $$A,\ B,\ С,\ D,\ B_1$$ прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1,$$ у которого $$AB\ =\ 9,\ BC\ =\ 3,\ BB_1\ =\ 8.$$

Ответ: 72
 

Задание 12667

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 36. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12687

Дана правильная треугольная призма $$ABCA_1B_1C_1$$, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A,\ C,\ A_1,B_1,C_1.$$

 

Ответ: 32
 

Задание 12787

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A,\ B,\ A_1,\ C_1$$ правильной треугольной призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 8.

Ответ: 24
 

Задание 12869

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

Ответ: 13