Логарифмические функции

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Точки $$A(-2;0)$$ и $$B(1;4)$$ принадлежат графику.

$$\log_a(-2+b)=0$$

$$a^0=-2+b$$

$$b=1+2=3$$

$$\log_a(1+3)=4$$

$$a^4=4$$

$$a=\sqrt{2}$$

$$f(13)=\log_{\sqrt{2}}(13+3)=\log_{\sqrt{2}}16=8$$

Точки $$(3;0)$$ и $$(4;-1)$$ принадлежат графику $$f(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 0=\log_a(3+b)\\ -1=\log_a(4+b) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 3+b=1\\ -1=\log_a 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-2\\ a=0,5 \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$f(x)=\log_{0,5}(x-2)$$

Тогда:

$$\log_{0,5}(x-2)=-5$$

$$x-2=0,5^{-5}=32$$

$$x=34$$

График проходит через $$(4;1).$$ Получим:

$$1=\log_a 4\Rightarrow a^1=4\Rightarrow a=4$$

График проходит через $$(-3;1)$$ и $$(-1;2).$$

Получим: $$\left\{\begin{matrix} 1=\log_a(b-3)\\ 2=\log_a(b-1) \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} a=b-3\\ a^2=b-1 \end{matrix}\right.$$

$$(b-3)^2=b-1\Rightarrow b^2-6b+9=b-1\Rightarrow b^2-7b+10=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} b=2\\ b=5 \end{matrix}\right.$$

При $$b=2$$ имеем $$b-3<0\Rightarrow$$ посторонний

При $$b=5$$: $$a=5-3=2$$

Получим $$f(x)=\log_2(x+5)=4\Rightarrow x+5=16\Rightarrow x=11$$

График проходит через $$(-1;-1)$$ и $$(1;-2)$$. Получим:

$$\left\{\begin{matrix} -1=\log_a(b-1)\\ -2=\log_a(b+1) \end{matrix}\right.$$

$$\frac{\log_a(b+1)}{\log_a(b-1)}=\frac{-2}{-1}\Leftrightarrow\log_{b-1}(b+1)=2\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} (b-1)^2=b+1\\ b-1>0\\ b-1\neq1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b^2-3b=0\\ b>1\\ b\neq2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow b=3$$

Тогда:

$$-1=\log_a(3-1)\Rightarrow\frac{1}{a}=2\Rightarrow a=\frac{1}{2}$$

$$\log_{0,5}(x+3)=-5\Rightarrow x=0,5^{-5}-3=29$$

График проходит через $$(1;-2)$$ и $$(3;-1).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} -2=b+\log_a 1\\ -1=b+\log_a 3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-2\\ \log_a 3=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-2\\ a=3 \end{matrix}\right.$$

Получим:

$$-2+\log_3 x=2\Leftrightarrow \log_3 x=4\Leftrightarrow x=81$$

График проходит через $$(2;1)$$ и $$(4;3).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 1=b+\log_a 2\\ 3=b+\log_a 4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 1=b+\log_a 2\\ 2=\log_a 4-\log_a 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 1=b+2\\ \log_a 2=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-1\\ a=\sqrt{2} \end{matrix}\right.$$

Получим:

$$f(x)=-1+\log_{\sqrt{2}} x\Rightarrow f(0,5)=-1+\log_{\sqrt{2}}\frac{1}{2}=-1-2=-3$$

График проходит через $$(-1;1)$$ и $$(1;2).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 1=\log_a(-1+b)\\ 2=\log_a(1+b) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 1=\log_a(b-1)\\ \frac{2}{1}=\frac{\log_a(b+1)}{\log_a(b-1)} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=b-1\\ 2=\log_{b-1}(b+1) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=b-1\\ (b-1)^2=b+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=b-1\\ b=0;3 \end{matrix}\right.$$

$$b=0$$ - не подходит, так как $$b-1>0\Rightarrow b=3;a=2.$$

Получим:

$$y=\log_2(x+3)$$

$$f(29)=\log_2(29+3)=5$$

$$f(x)$$ проходит через $$(-2;0)$$ и $$(1;4).$$ Получим:

$$\left\{\begin{matrix} 0=\log_a(-2+b)\\ 4=\log_a(1+b) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -2+b=1\\ 4=\log_a(1+3) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=3\\ a^4=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=3\\ a=\pm\sqrt{2} \end{matrix}\right.$$

Так как $$a>0,$$ то $$a=\sqrt{2}.$$ Получим: $$f(x)=\log_{\sqrt{2}}(x+3)$$

$$f(13)=\log_{\sqrt{2}}16=8$$

График проходит через (-4;1) и (-1;3). Получим:

$$\left\{\begin{matrix} 1=b+\log_a\frac{1}{4}\\ 3=b+\log_a 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \log_a\frac{1}{4}=-2\\ b=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=3 \end{matrix}\right.$$

Получили $$f(x)=3+\log_2(-\frac{1}{x})=5\Rightarrow \log_2(-\frac{1}{x})=2\Rightarrow -\frac{1}{x}=4\Rightarrow x=-0,25$$

По рисунку видно, что логарифмическую функцию опустили на 3 единицы вниз, т.е.

$$​f(x)=\log_a x-3$$​

Коэффициент $$a$$​ легко найти, если подставить какую-нибудь точку

$$​f(x)=\log_2 x−3$$​

$$​f(x)=1$$​​ будет при $$x=16$$

Составим систему (на рисунке отмечены точки, которые нужно брать)

$$\left\{\begin{matrix} -1=b+\log_a4\\ -2=b+\log_a2 \end{matrix}\right.$$

Вычтем одно из другого

$$\log_a4−\log_a2=1$$​

$$\log_a2=1​$$

$$​a=2​$$

$$​b=−2−\log_22=−3$$​

$$​f(x)=−3+\log_2x$$​

$$​f(32)=−3+\log_232=−3+5=2$$