Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C2) Стереометрическая задача

Угол между плоскостями

Задание 4135

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и BA1D1.

Ответ:

Задание 4136

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1  равна 2, а диагональ боковой грани равна $$\sqrt{5}$$. Найдите угол между плоскостью A1BC  и плоскостью основания призмы.

Ответ:

Задание 4137

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. На стороне ВВ1 отмечена точка К так, что ВК = 3. Плоскость α проходит через точки С1 и К и параллельна прямой BD1. Плоскость α пересекает ребро А1В1 в точке Р.
а) Докажите, что А1Р : РВ1 = 2 : 1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к грани ВВ1С1С.
Ответ:

Задание 4138

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 4 . Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что AB = 9, AD = 6 , AA1 = 14 .
а) В каком отношении плоскость ETD1 делит ребро BB1?
б) Найдите угол между плоскостью ETD1 и плоскостью AA1B1.
Ответ:

Задание 4195

 В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S — вершина. Точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 10, SC = 8.

Ответ:

Задание 4196

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB=4, AD=3. Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.

Ответ:

Задание 4197

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4, точка — середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

Ответ:

Задание 4198

SABC — правильная треугольная пирамида с вершиной S,M — середина BC. Косинус угла между боковой гранью и основанием пирамиды равен $$\frac{\sqrt{3}}{4}$$. Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды, если SM=4.

Ответ:

Задание 4199

Дана прямая призма ABCDA1B1C1D1. Основание призмы — ромб со стороной 4 и острым углом 45°. Высота призмы равна 3. Найдите угол между плоскостью AC1B и плоскостью ABD.

Ответ:

Задание 4200

В пра­виль­ной четырехугольной пи­ра­ми­де PABCD, все ребра ко­то­рой равны 100, точка K ― се­ре­ди­на бокового ребра AP.

а) По­строй­те сечение пи­ра­ми­ды плоскостью, про­хо­дя­щей через точку K и па­рал­лель­ной плоскости BCP.
б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью сечения и плос­ко­стью основания пирамиды.
Ответ:

Задание 4201

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, BC = 6, CC= 4, найдите тангенс угла между плоскостями CDDи BDA1.

Ответ:

Задание 4202

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 6, BC = 6, CC= 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACDи A1B1C1.

Ответ:

Задание 4203

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка — середина ребра SA, точка — середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями CMK и ABC, если S= 6, BC = 4.

Ответ:

Задание 4204

Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен $$\frac{\sqrt{6}}{6}$$. Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.

Ответ:

Задание 4205

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной сторона основания AB равна 6. На ребре AB отмечена точка K. Сечение MKC является равнобедренным треугольником  с основанием MC. Найдите угол между плоскостями MLC и MBC, где — середина AB.

Ответ:

Задание 4206

Высота цилиндра равна 3. Равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной 10 и ∠= 120° расположен так, что его вершина лежит на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины и — на окружности верхнего основания. Найдите угол между плоскостью ABC и плоскостью основания цилиндра.

Ответ:

Задание 4207

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной сторона основания AB равна 6. На ребре AB отмечена точка так, что AK KB = 5 : 1. Сечение MKC является равнобедренным треугольником с основанием MK. Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.

Ответ:

Задание 4208

В правильной треугольной призме ABCA1B1Cсторона основания AB=$$7\sqrt{3}$$ а боковое ребро AA1=8.

а) Докажите, что плоскость BCAперпендикулярна плоскости, проходящей через ребро AAи середину ребра B1C1.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCAи BB1C1.
Ответ:

Задание 4209

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1Dизвестны длины рёбер AA= 7, AB = 16, AD = 6. Точка — середина ребра C1D1.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку перпендикулярно прямой AK, пересекает отрезок A1K.
б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.
Ответ:

Задание 4210

Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D— прямоугольник ABCD, в котором AB=12, AD=$$\sqrt{31}$$. Расстояние между прямыми AC и B1Dравно 5.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку перпендикулярно прямой BD1, делит отрезок BDв отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
Ответ:

Задание 4211

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка M — середина ребра AB, точка O — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC.
Ответ:

Задание 4212

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, C1 и середину T ребра A1B1 проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC
Ответ:

Задание 4213

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1взята точка E так, что A1E:EA=2:5, на ребре BB1— точка F так, что B1F:FB=1:6, а точка T — середина ребра B1C1Известно, что AB=5, AD=6, AA1=14

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA1B1
Ответ:
 

Задание 5194

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ стороны основания равны 4, а боковые ребра 5.

а) Докажите , что плоскость $$A_{1}C_{1}E$$ перпендикулярна плоскости $$BB_{1}E_{1}$$
б) Найдите угол между плоскостями $$A_{1}C_{1}E$$ и $$ABC$$ 
Ответ: $$arctg\frac{5}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

 

 a) 1) $$A_{1}$$ и $$C_{1}$$ соединяем . Пусть $$A_{1} C_{1} \cap E_{1} F_{1}=K$$, тогда E и K соединяем; $$EK\cap FD_{1}=M$$

Пусть $$A_{1} C_{1} \cap E_{1} F_{1}=R\Rightarrow ER\cap FF_{1}=N\Rightarrow (A_{1}NEMC_{1})$$- искомая $$(A_{1}C_{1}E)$$

   2) $$E_{1}B_{1}\cap A_{1}C_{1}=H\Rightarrow EH$$-линия пересечения $$(A_{1}C_{1}E)$$ и $$(BB_{1}E_{1}E)$$

   3) $$A_{1}C_{1}\perp E_{1}B_{1}$$(т.к. в основании правильной призмы) ,но $$A_{1}C_{1}\perp BB_{1}$$( т.к. призма правильная) $$\Rightarrow (A_{1}C_{1}E)\perp (BB_{1}E_{1}E)$$

   b) 1)Отпустим $$HH_{1}\perp (ABCDEF)\Rightarrow HH_{1}=AA_{1}=5$$

   2)Пусть O-центр основания $$\Rightarrow OE=AB=4$$

   3) AOCB- ромб (OC=BC=AB=AO; $$\angle AOC=\angle ABC$$)$$\Rightarrow OH_{1}-H_{1}B=\frac{1}{2}OB=2$$

   4) $$tg \angle HEH_{1}=\frac{HH_{1}}{EH_{1}}=\frac{5}{6}\Rightarrow \angle HEH_{1}-arctg\frac{5}{6}$$

 

Задание 6876

В кубе ABCDA1B1C1D1 сечение проходит через вершину А и середины граней A1B1C1D1 и B1C1CB.

А) Найдите, в каком отношении секущая плоскость делит объем куба
Б) Найдите угол между плоскостью грани ABCD и плоскостью сечения.
Ответ: А) $$\frac{1}{2}$$ Б) $$arccos \frac{1}{\sqrt{11}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)      1) Пусть $$B_{1}D_{1}\cap A_{1}C_{1}=K$$ $$\Rightarrow$$ K - середина ($$A_{1} B_{1}C_{1}D_{1}$$). Тогда $$K \in (A_{1} C_{1} C A)$$$$\Rightarrow$$ $$AK\cap CC_{1}=M$$

        2) Пусть $$B_{1}C\cap BC_{1}=N$$$$\Rightarrow$$ N - середина $$(B_{1}C_{1}CB)$$ и $$M, N \in (B_{1}C_{1}CB)$$$$\Rightarrow$$ соединяем MN, $$MN\cap B_{1}C_{1}=L_{1}$$; $$MN\cap BC=L$$

        3) Соединим $$L_{1}K ; L_{1}K\cap A_{1}D_{1}=R_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$AR_{1}L_{1}L$$ - искомое сечение

        4) Рассмотрим $$\Delta AMC$$: $$KC_{1}=\frac{A_{1}C_{1}}{2}$$;. Пусть сторона квадрата равна 1, тогда: 

$$A_{1}C_{1}=\sqrt{2}$$$$\Rightarrow$$ $$KC_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$; $$CC_{1}=1$$; $$\Delta MKC_{1}\sim \Delta AMC$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{MC_{1}}{MC}=\frac{KC_{1}}{AC}$$$$\Rightarrow$$ $$MC_{1}=1$$

         5) $$\Delta MCL\sim MNN_{1}(NN_{1}\left | \right |LC)$$, $$CN_{1}=\frac{1}{2}CC_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$CN_{1}=\frac{1}{4}CM$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{MN_{1}}{MC}=\frac{NN_{1}}{CL}=\frac{3}{4}$$; $$NN_{1}=\frac{1}{2}$$, $$LC=\frac{2}{3}$$$$\Rightarrow$$ $$BL=\frac{1}{3}$$, $$L_{1}C_{1}=\frac{1}{3}$$, $$B_{1}L_{1}=\frac{2}{3}$$

        6) Пусть $$A_{1}H\left | \right |L_{1}R_{1}$$; тогда $$\Delta A_{1}B_{1}H=\Delta ABL$$$$\Rightarrow$$ $$V_{A_{1}B_{1}HABL}=\frac{1}{2}S_{ABL}*BB_{1}=\frac{1}{2} *1*\frac{1}{3}*1=\frac{1}{6}$$

        7) $$\Delta A_{1}AR_{1}=HLL_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$V_{A_{1}R_{1}ALHL_{1}}=S_{AA_{1}R_{1}}*h$$, где h - высота призмы $$A_{1}R_{1}ALHL_{1}$$; $$A_{1}B_{1}(A_{1}B_{1}\perp (B_{1}C_{1}CB))$$$$\Rightarrow$$ $$V_{A_{1}R_{1}ALHL_{1}}=\frac{1}{2}*1*\frac{1}{3}*1=\frac{1}{6}$$

Тогда $$V_{A_{1}B_{1}L_{1}R_{1}ABL}=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}=V_{1}$$; $$V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=1^{3}=1$$$$\Rightarrow$$ $$V_{ALCDR_{1}L_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{2}{3}=V_{2}$$ ;$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$$

Б)       введем ортогальную систему координат: $$A(0;1;0)$$; $$R_{1}(0;\frac{2}{3};1)$$; $$L(1; \frac{2}{3}; 0)$$. Зададим уравнение ($$ALL_{1}R_{1}$$): $$\left\{\begin{matrix}0*a+1*b+0*c+d=0\\0*a+\frac{2}{3} b+1*c+d=0\\1*a+\frac{2}{3}b+0*c+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=-d\\a=-\frac{d}{3}\\c=-\frac{d}{3}\end{matrix}\right.$$$$\Rightarrow$$ $$(ALL_{1}R_{1})$$:$$-\frac{1}{3}x-1*y-\frac{1}{3}z+1=0$$ и нормаль-вектор к этой плоскости: $$\bar{n}(-\frac{1}{3},-1,-\frac{1}{3})$$. Нормаль-вектор к (ABCD): $$\tilde{m} (0,0,1)$$ (ось OZ): тогда косинус угла м\у ($$ALL_{1}R_{1}$$) и (ABCD) равен $$\cos (\bar{m}, \bar{n})$$:

$$\cos (\bar{m}, \bar{n})=\frac{\left | -\frac{1}{3}*0+(-1)*0+(-\frac{1}{3})*1 \right |}{\sqrt{(-\frac{1}{3})^{2}+(-1)^{2}+(-\frac{1}{3})^{2}} \sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{11}}$$$$\Rightarrow$$ $$\angle (\bar{m}, \bar{n})=arccos \frac{1}{\sqrt{11}}$$

 

Задание 8324

Дана треугольная пирамида ABCD объемом 40. Через вершину А и середину М ребра ВС проведена плоскость, пересекающая ребро BD в точке N. Расстояние от вершины В до этой плоскости равно 4, а площадь треугольника AMN равна 5.

а) Докажите, что точка N делит ребро BD в отношении 1:2, считая от точки В.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС пирамиды, если дополнительно известно, что ребро BD перпендикулярно плоскости АВС и равно 3.
Ответ: 0,8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Пусть $$h$$ - высота $$BNAM$$ (из $$B\perp AMN$$) $$\Rightarrow$$ $$h=4$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{BNAM}=\frac{1}{3}\cdot5\cdot4=\frac{20}{3}$$

2) $$\frac{V_{ABCD}}{V_{BNAM}}=\frac{BD\cdot BA\cdot BC}{BN\cdot BA\cdot BM}=\frac{2BD}{BN}=\frac{40}{\frac{20}{3}}=\frac{6}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BD}{BN}=\frac{3}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$BN=\frac{1}{3}BD$$; $$ND=\frac{2}{3}BD$$ $$\Rightarrow$$ $$BN\div ND=1\div2$$

Б) 1) Пусть $$BF\perp AM$$; т.к. $$NB\perp(ABC)$$, то $$BF$$ - проекция $$NF$$ на $$(ABC)$$ $$\Rightarrow$$ $$NF\perp AM$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle NFB$$ - между $$(NAM)$$ и $$(ABC)$$ $$AM\perp(NFB)$$

2) $$BN=\frac{1}{3}BD=5$$. Пусть $$BE\perp NF$$, но $$BE\perp AM$$ $$\Rightarrow$$ $$BE\perp(NAM)$$ $$\Rightarrow$$ $$BE=h=4$$

3) Из $$\bigtriangleup NBF$$: $$BE$$ - высота $$\Rightarrow$$ $$\angle NBF=\angle NFB$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos\angle NBE=\cos\angle NFB=\frac{BE}{BN}=0,8$$

 

Задание 9162

В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 1, боковое ребро равно 2. Плоскость сечения проходит через середины ребер AD и СС1 параллельно диагонали B1D.

а) Докажите, что плоскость сечения делит ребро ВВ1 в отношении 1:5, считая от точки В1

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания параллелепипеда.

Ответ: $$arctg \frac{2\sqrt{5}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9363

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки В, A1 и B1<\div>
б) Найдите угол между плоскостями ВА1С1 и ВА1D1<\div>
Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9383

Дан куб АВСВА1В1С1D1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер АВ, В1С1, АD.

б) Найдите угол между плоскостью А1BО и плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, В1С1, АD.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9488

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра AS.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF. 

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9528

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра SB, G - середина ребра SC.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF.
б) Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.
Ответ: $$arccos \frac{9}{11}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9928

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС=2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.

а) Докажите, что BP:PQ=1:3
б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB=BC.
Ответ: $$\arccos (-\frac{\sqrt{5}}{15})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10134

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ:BC:CC1=1:2:3

а) Найдите угол между прямой BD1 и плоскостью ВС1D
б) Найдите угол между плоскостями АА1D и ВС1D
Ответ: А)$$arcsin (\frac{3\sqrt{2}}{7\sqrt{7}})$$ Б)$$arccos(\frac{6}{7})$$
 

Задание 10214

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной $$3\sqrt{2}$$. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 8. Через вершину А параллельно BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 3:2, считая от вершины.

а) Докажите, что плоскость сечения делит отрезок SO в отношении 3:1, где О ‐ центр основания
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды
Ответ: $$arctg \frac{8}{9}$$
 

Задание 10441

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ – точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что CD=BE=AL=2.

а) В каком отношении плоскость EDL делит объем пирамиды МАВС?
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Ответ: А)1:8 Б)$$\arctg \frac{\sqrt{39}}{9}$$
 

Задание 10556

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ через середину $$D$$ ребра $$CC_1$$ проведено сечение $$ADB_1$$.

а) Найдите, в каком отношении сечение делит объем призмы.

б) Найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$, если боковые ребра равны 2, а стороны основания равны 5.

Ответ: а)1:1 б)$$arctg \frac{2}{5}$$
 

Задание 10692

В треугольной пирамиде SABC точка Е - середина ребра SA, точка F - середина ребра SB, О - точка пересечения медиан треугольника АВС

а) Докажите, что плоскость CEF делит отрезок SO в отношении 3:2, считая от вершины S

б) Найдите косинус угла между плоскостями CEF и EFT, если точка Т - середина SC, а пирамида SABC правильная, площадь треугольника АВС равна $$27\sqrt{3},\ SB=10$$.

Ответ: $$\frac{15}{17}$$
 

Задание 10821

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой АС, проходит через точку В и середину высоты пирамиды.

а) Доказать, что плоскость $$\alpha $$ делит ребро SD в отношении $$2 : 1$$, считая от точки D.

б) Найдите синус угла между плоскостью $$\alpha $$ и плоскостью ASC, если угол SAC равен $$30{}^\circ $$.

Ответ: $$\frac{2\sqrt{39}}{13}$$
 

Задание 10898

В правильной четырехугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре $$AA_1$$отмечена точка E так, что $$AE:EA_1=1:2$$.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и $$BED_1$$.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и $$BED_1$$.
Ответ: $$arctg\frac{\sqrt{5}}{2}$$
Скрыть

а) Построение. Точка пересечения N прямых AD и $$D_1E:N=AD\cap D_1E$$, показана на рисунке ниже. Точка $$B$$ - общая точка плоскостей ABC и $$BED_1$$. Плоскости ABC и $$BED_1$$ пересекаются по прямой NB (см. рисунок).

б) На прямой NB отметим точку F такую, что $$AF\bot NB$$. Учитывая, что $$EA\bot ABC$$, следует $$EF\bot NB$$ (по теореме о трех перпендикулярах). Необходимо найти угол AFE.

Тангенс угла AFE найдем из прямоугольного треугольника AFE как $${\tan \angle AFE\ }=\frac{AE}{AF}$$.

По условию задачи $$AE:EA_1=1:2$$, следовательно, $$AE=1$$, а $$EA_1=2$$. Треугольник $$D_1A_1E$$ подобен треугольнику с коэффициентом подобия . Следовательно, отрезок . Найдем длину отрезка из прямоугольного треугольника ANB: $$NB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$.

Найдем отрезок AF из формулы площади треугольника ANB: $$S_{ANB}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=\frac{1}{2}\cdot NB\cdot AF$$, откуда $$AF=\frac{2}{\sqrt{5}}$$.

Таким образом, $$tg\angle AFE=\frac{\sqrt{5}}{2}$$ и $$\alpha =\angle AFE=arctg\frac{\sqrt{5}}{2}$$.

 

Задание 11105

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка E, а на ребре AM - точка L. Известно, что $$CD\ =\ BE\ =\ AL\ =\ 2.$$

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
Ответ: $$arctg\frac{\sqrt{39}}{9}.$$
Скрыть

а) Так как пирамида МАВС - правильная пирамида, то высота пирамиды проходит через центр О основания. Точка О - является точкой пересечения медиан и высот равностороннего треугольника $$\triangle АВС.$$ Точка О делит медиану, проведенную из вершины А, в отношении $$2:1.$$ В треугольнике $$\triangle АВС$$ имеем $$АЕ\ :\ ЕВ\ =\ AD\ :\ DC\ =\ 4\ :\ 2\ =\ 2\ :\ 1.$$ Значит, отрезок DE содержит точку О.

б) Построим сечение плоскостью, проходящей через точки E, D и L, соединив их попарно. Искомое сечение DLE - равнобедренный треугольник. Прямая DE перпендикулярна LО и АО, поэтому искомый угол $$\angle \alpha $$ между плоскостями равен углу $$\angle AOL.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ?АОМ. Опустим из точки L перпендикуляр LK на сторону АО, тогда $${\tan \alpha \ }=\frac{LK}{OK}(1)$$.

Из прямоугольного треугольника $$\triangle ABN$$ найдем AN: $$AN^2=AB^2-BN^2=6^2-3^2=27\to AN=3\sqrt{3}.\to \frac{AO}{AN}=\frac{2}{3}\to AO=2\sqrt{3}.$$

Из прямоугольного треугольника $$\triangle AOM$$ найдем MO: $$MO^2=AM^2-AO^2=8^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=52\to MO=2\sqrt{13}$$.

Треугольники $$\triangle ALK$$ и $$\triangle AMO$$ - подобные треугольники, получим: $$\frac{AL}{AM}=\frac{AK}{AO}\to \frac{2}{8}=\frac{AK}{2\sqrt{3}}\to AK=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ $$OK=AO-AK=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$.

Треугольники $$\triangle ALK$$ и $$\triangle AMO$$ - подобные треугольники, получим: $$\frac{AL}{AM}=\frac{LK}{MO}\to \frac{2}{8}=\frac{LK}{2\sqrt{13}}\to LK=\frac{\sqrt{13}}{2}.$$

Подставим полученные данные в формулу (1), получим: $${\tan \alpha \ }=\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{39}}{9}\to \alpha =arctg\frac{\sqrt{39}}{9}.$$

 

Задание 11125

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка $$D$$ - середина ребра $$CC_1$$.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
б) Найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
Ответ: $$arctg\frac{2}{5}.$$
Скрыть

а) Построение. Отметим точку K как результат пересечения прямой BC и прямой $$B_1D$$: т.е. $$K=BC\cap B_1D$$ (см. рисунок). Точка A является общей точкой для плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$. Следовательно, указанные плоскости пройдут через линию AK (см. рисунок). Данная линия и будет прямой пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.

б) Необходимо найти угол DHC (см. рисунок). Рассмотрим треугольник $$B_1C_1D$$ и подобный ему треугольник $$KCD$$ с коэффициентом подобия $$k=1$$ (то есть они равны между собой). Отсюда получаем, что $$CK=5$$. Имеем равнобедренный треугольник с углом $$\angle ACK=120{}^\circ $$ (так как угол $$ACB=60{}^\circ $$ у равностороннего треугольника $$ABC$$). В равнобедренном треугольнике высота $$CH$$, проведенная к основанию, является также и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHK, у которого гипотенуза $$CK=5$$ и прилегающий к ней угол $$KCH=60{}^\circ $$. Тогда катет $$CH$$ можно найти как $$CH={\cos 60{}^\circ \ }\cdot CK=\frac{5}{2}=2,5.$$ Найдем тангенс угла $$DHC$$ между плоскостями из прямоугольного треугольника $$DCH$$, получим: $${\tan \angle \ }DHC=\frac{DC}{CH}=\frac{1}{2,5}=\frac{2}{5}$$ и угол между плоскостями равен $$\alpha =\angle DHC=arctg\frac{2}{5}.$$

 

Задание 11144

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ стороны основания равны 3, боковые ребра равны 1, точка D - середина ребра $$CC_1$$.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
б) Найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$.
Ответ: $$arctg\frac{1}{3}.$$
Скрыть

а) Построение. Плоскости $$ABC$$ и $$ADB_1$$ будут иметь две общие точки: точка N, лежащая на пересечении отрезков $$BC$$ и $$B_1D$$ и точка $$A$$, находящаяся в основании призмы (см. рисунок). Отрезок $$AN$$, соединяющий эти две точки, будет образовывать прямую пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$ADB_1$$.

б) Угол между плоскостями будет соответствовать углу $$DHC$$, причем отрезок $$CH$$ будет являться высотой треугольника ACN. Из рисунка видно, что треугольники $$B_1C_1D$$ и $$CDN$$ подобны друг другу с коэффициентом подобия $$k=1$$. Отсюда следует, что отрезок $$CN=B_1C_1=3$$. Сторона $$AC=3$$. Следовательно, треугольник ACN равнобедренный с углом $$\angle ACN=120{}^\circ $$ (так как угол $$\angle ACB=60{}^\circ $$ в силу того, что треугольник ABC - равносторонний). В равнобедренном треугольнике высота CH будет являться также и биссектрисой. Высоту CH вычислим из прямоугольного треугольника CHN, в котором CN - гипотенуза с прилежащим к ней углом $$\angle NCH=60{}^\circ $$: $$CH={\cos 60{}^\circ \ }\cdot CN=1,5.$$

Учитывая, что точка D лежит точно посередине отрезка $$CC_1$$, получаем длину отрезка $$CD=\frac{1}{2}=0,5$$.

Найдем тангенс угла $$\alpha $$ между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$ из прямоугольного треугольника $$CDH$$, получим: $${\tan \alpha \ }=\frac{CD}{CH}=\frac{0,5}{1,5}=\frac{1}{3}$$ и $$\alpha =arctg\frac{1}{3}.$$

 

Задание 11275

В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит параллелограмм АВСD c центром О. Точка N – середина ребра SC, точка L – середина ребра SA.

а) Докажите, что плоскость BNL делит ребро SD отношении 1 : 2, считая от вершины S.
б) Найдите угол между плоскостями BNL и ABC, если пирамида правильная, SA = 8, а тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен $$\frac{\sqrt{7}}{5}$$
Ответ: $$arctg \frac{\sqrt{7}}{10}$$
 

Задание 11749

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M –середина ребра СС1, на ребре BB1отмечена точка N, такая, что BN:NB1 =1:2.

а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD1?

б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.

Ответ: А)1:2 Б)$$\arctg \frac{\sqrt{5}}{4}$$
 

Задание 12312

В правильной четырёхугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ сторона основания АВ равна 2V3, а боковое ребро $$AA_1$$ равно 3. На рёбрах $$A_1D_1$$ и $$DD_1$$ отмечены соответственно точки К и М так, что $$A_1K\ =\ KD_1$$, a$$\ DM\ :\ MD_1\ =\ 2:1.$$

а) Докажите, что прямые МК и ВК перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями ВМК и $$BCC_1$$
Ответ: 45 градусов
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12332

В правильной четырёхугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1\ $$сторона основания АВ равна 3, а боковое ребро $${AA}_1$$ равно $$\sqrt{3}.$$ На рёбрах $$C_1D_1$$ и $$DD_1$$ отмечены соответственно точки К и М так, что $$D_1K\ =\ KC_1$$ a $$DM:\ MD_1\ =\ 1:3.$$

а) Докажите, что прямые МК и ВК перпендикулярны
б) Найдите угол между плоскостями ВМК и $$ABB_1$$
Ответ: $$arctg \frac{2\sqrt{21}}{7}$$
 

Задание 12393

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах АВ и SC отмечены точки К и М соответственно, причём $$AK\ :\ KB\ =\ SM\ :\ MC=1\ :\ 5.$$ Плоскость $$\alpha $$ содержит прямую КМ и параллельна прямой ВС.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями $$\alpha $$ и SBC.
Ответ: $$\arccos\frac{31\sqrt{10}}{140}$$

Задание 12633

Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки $$B,\ A_1,\ D_1$$.

б) Найдите угол между плоскостями $$BA_1C_1$$ и $$BA_1D_1$$

Ответ: $$arccos\sqrt{\frac{2}{3}}$$
 

Задание 12653

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра SB, G - середина ребра SC.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF.

б) Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.

Ответ: $$\pi -arccos\frac{9}{11}$$
 

Задание 12794

В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ все рёбра равны 5. На его ребре $$BB_1$$ отмечена точка К так, что $$KB=4.$$ Через точки $$K$$ и $$C_1$$ проведена плоскость $$\alpha $$, параллельная прямой $$BD_1$$

а) Докажите, что $$A_1P:PB_1=3:1$$, где Р - точка пересечения плоскости $$\alpha $$ с ребром $$A_1B_1$$.

б) Найдите угол наклона плоскости $$\alpha $$ к плоскости грани $$BB_1C_1C$$

Ответ: $$arctg\frac{\sqrt{26}}{4}$$
 

Задание 12875

Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер $$AB,\ B_1C_1,\ AD.$$

б) Найдите угол между плоскостью $$A_1BD$$ и плоскостью, проходящей через середины рёбер $$AB,\ B_1C_1,\ AD.$$

Ответ: $$\arctg{2\sqrt{2}}$$
 

Задание 12894

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F - середина ребра AS.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.

Ответ: $$\arccos{\frac{1}{\sqrt{33}}}$$
 

Задание 14234

В правильной четырехугольной призме $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ $$AB=BC=8$$, $$AA_{1} = 6$$. Через точки $$A$$ и $$C$$ перпендикулярно $$BD_{1}$$ проведена плоскость Ω.

а) Докажите, что плоскость Ω пересекает ребро $$B_{1}C_{1}$$ в такой точке $$M$$, что $$MB_{1}:MC_{1}=7:9$$.
б) Найдите угол между плоскостями Ω и $$ACC_{1}$$.
Ответ: $$arctg \frac{3\sqrt{2}}{8}$$
 

Задание 14262

Дана прямая призма $$ABCA_1B_1C_1$$.

а) Докажите, что линия пересечения плоскостей $$ABC_1$$ и $$A_1B_1C$$ параллельна основаниям призмы.
б) Найдите угол между плоскостями $$ABC_1$$ и $$A_1B_1C$$, если известно, что $$AC=1, BC=2$$, $$AB=\sqrt5, CC_1=3$$.
Ответ: $$\arccos\frac{41}{49}$$.