Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Планиметрия: задачи, связанные с углами

Вписанные окружности

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2898

Точка О является центром окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Луч АО пересекает катет ВС в точке Е. Найдите гипотенузу АВ, если $$AC=6\sqrt{3}$$ и $$\angle B$$ в 4 раза больше, чем $$\sqrt{EAC}$$.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$AC=6\sqrt{3}$$ $$\angle B=4\angle EAC$$

AO - биссектриса  $$\angle A$$

$$\Rightarrow \angle CAE=x$$ $$\Rightarrow \angle A=2x$$; $$\angle B=4x$$

$$2x+4x=90$$ $$\Rightarrow x=15^{\circ}$$ $$\Rightarrow \angle A=30^{\circ}$$; $$\angle B=60^{\circ}$$

$$\sin B=\frac{AC}{AB}$$ $$\Rightarrow AB=\frac{AC}{\sin B}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12$$

 

Задание 3196

Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.

Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S=p\cdot r=8\cdot3=24$$

Задание 3522

Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен 12, а ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 1. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 6

Задание 3523

Около окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой равен 3, опи­сан мно­го­уголь­ник, пе­ри­метр ко­то­ро­го равен 20. Най­ди­те его пло­щадь.

Ответ: 30

Задание 3524

Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник, вы­со­та ко­то­ро­го равна 6.

Ответ: 2

Задание 3525

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник, равен 6. Най­ди­те вы­со­ту этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 18

Задание 3526

Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна $$\sqrt{3}$$. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

Ответ: 0,5

Задание 3527

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник, равен $$\frac{\sqrt{3}}{6}$$. Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1

Задание 3528

Сто­ро­на ромба равна 1, ост­рый угол равен $$30^{\circ}$$. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти этого ромба.

Ответ: 0,25

Задание 3529

Ост­рый угол ромба равен 30°. Ра­ди­ус впи­сан­ной в этот ромб окруж­но­сти равен 2. Най­ди­те сто­ро­ну ромба.

Ответ: 8

Задание 3530

Най­ди­те сто­ро­ну пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, опи­сан­но­го около окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой равен $$\sqrt{3}$$.

Ответ: 2

Задание 3531

Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник со сто­ро­ной $$\sqrt{3}$$.

Ответ: 1,5

Задание 3532

Ка­те­ты рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны $$2+\sqrt{2}$$. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

Ответ: 1

Задание 3533

В тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­ны AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.

Ответ: 1

Задание 3534

Бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5, ос­но­ва­ние равно 6. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.

Ответ: 1,5

Задание 3535

Окруж­ность, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, делит в точке ка­са­ния одну из бо­ко­вых сто­рон на два от­рез­ка, длины ко­то­рых равны 5 и 3, счи­тая от вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию. Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 22

Задание 3537

Бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции, опи­сан­ной около окруж­но­сти, равны 3 и 5. Най­ди­те сред­нюю линию тра­пе­ции.

Ответ: 4

Задание 3538

Около окруж­но­сти опи­са­на тра­пе­ция, пе­ри­метр ко­то­рой равен 40. Най­ди­те длину её сред­ней линии.

Ответ: 10

Задание 3539

Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, опи­сан­ной около окруж­но­сти, равен 22, ее боль­шая бо­ко­вая сто­ро­на равна 7. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

Ответ: 2

Задание 3540

В че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­са­на окруж­ность, AB = 10, CD = 16. Най­ди­те пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD.

Ответ: 52

Задание 3541

Пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка, опи­сан­но­го около окруж­но­сти, равен 24, две его сто­ро­ны равны 5 и 6. Най­ди­те боль­шую из остав­ших­ся сто­рон.

Ответ: 7

Задание 3542

В че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­са­на окруж­ность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Най­ди­те чет­вер­тую сто­ро­ну че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Ответ: 14

Задание 3543

К окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, про­ве­де­ны три ка­са­тель­ные. Пе­ри­мет­ры от­се­чен­ных тре­уголь­ни­ков равны 6, 8, 10. Най­ди­те пе­ри­метр дан­но­го тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 24
 

Задание 3654

Точка О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Сколько градусов содержит угол AОC, если угол АВС равен 44º?

Ответ: 112
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть OH; OM; ON - радиусы

$$\angle BHO=\angle BNO=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$

из $$\bigtriangleup BHON$$ $$\angle HON=\frac{360-2\cdot90-44}{2}=136^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$

$$\angle HON$$  - внешний $$\Rightarrow$$ $$360^{\circ}-136^{\circ}=224^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$

$$\angle HOA=\angle AOH$$; $$\angle MOC=\angle NOC$$

т.к. $$\angle HON$$  - внешний $$\Rightarrow$$ $$2\angle AOM+2\angle MOC=224^{\circ}$$

$$\angle AOM+\angle MOC=\angle AOC=\frac{224^{\circ}}{2}=112^{\circ}$$

 

Задание 5233

Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 36. Найдите его площадь.

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Воспользуемся формулой площади фигуры через ее полупериметр и радиус вписанной окружности: $$S=pr \Leftrightarrow$$$$S=\frac{36}{2}*2=36$$

 

Задание 6460

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен $$5\sqrt{12}$$

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

из $$\Delta AOB$$: $$OH=5\sqrt{12}\Rightarrow$$ $$AO=\frac{OH}{\sin A}=\frac{5\sqrt{12}}{2}=20$$

$$\Delta AOB$$ - равносторонний $$\Rightarrow AB=20$$

 

Задание 6817

Около круга описана равнобедренная трапеция, периметр которой 80, а острый угол равен 30o. Найдите площадь трапеции. 

Ответ: 200
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

  1. $$AB+CD=DC+AD=\frac{80}{2}\Rightarrow$$ $$AB=CD=20$$
  2. из $$\Delta ABH$$: $$BH=AB* \sin A=20*\frac{1}{2}=10$$
  3. $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*BH=$$$$\frac{40}{2}*10=200$$
 

Задание 7052

Точка О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Найдите сумму углов ОАВ, ОВС и ОСА. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 90
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис $$\Rightarrow$$ $$\angle OAB =0,5 \angle A$$; $$\angle OBC=0,5 \angle B$$; $$\angle OCA=0,5 \angle C$$; Тогда: $$\frac{\angle A+\angle B+\angle C}{2}=\frac{180}{2}=90$$

 

Задание 7172

Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен $$\sqrt{3}$$ . Найдите радиус вписанной окружности

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$R=\frac{r}{\sin 60}$$, где R-описанной; r –вписанной $$\Rightarrow$$ $$r=R \sin 60 =\sqrt{3} *\frac{\sqrt{3}}{2}=1,5$$

 

Задание 8260

Стороны треугольника равны 7, 8 и 9 см. Найти квадрат расстояния (в см2) от центра вписанной окружности до большей стороны.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Расстояние от центра вписанной окружности в треугольник до любой из его сторон есть радиус окружности. Найдем полупериметр треугольника: $$p=\frac{7+8+9}{2}=12$$. Найдем квадрат радиуса: $$r^{2}=(\frac{S}{p})^{2}=(\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p})^{2}=$$$$\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}=$$$$\frac{5*4*3}{12}=5$$
 

Задание 8710

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=8, BC=5 и CD=27. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9335

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, периметр которого равен $$12\sqrt{3}$$

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10145

Центр О окружности радиуса 6 принадлежит биссектрисе угла 600. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности, как показано на рисунке.

Ответ: 2
 

Задание 10279

Две окружности с центрами в точках О и О1 и радиусами 5 и 3 соответственно касаются сторон угла А (В и В1 – точки касания). Найдите расстояние между центрами окружностей, если АВ1=4. Ответ округлите до десятых.

Ответ: 3,3
 

Задание 11741

В треугольник ABC со сторонами AB=10 и BC=8 вписана окружность с центром O. Прямая BO пересекает сторону AC в точке K. Найдите CK, если AC=9.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12385

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, её большая боковая сторона равна 37. Найдите радиус окружности.

Ответ: 6,5

Задание 12405

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, $$AB\ =\ 8,\ BC\ =\ 5\ и\ CD\ =\ 27.$$ Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Ответ: 30
 

Задание 14020

Сторона ромба равна 10, острый угол равен 30°. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ: 2,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!