ЕГЭ Профиль
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2898
Точка О является центром окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Луч АО пересекает катет ВС в точке Е. Найдите гипотенузу АВ, если $$AC=6\sqrt{3}$$ и $$\angle B$$ в 4 раза больше, чем $$\sqrt{EAC}$$.
$$AC=6\sqrt{3}$$ $$\angle B=4\angle EAC$$
AO - биссектриса $$\angle A$$
$$\Rightarrow \angle CAE=x$$ $$\Rightarrow \angle A=2x$$; $$\angle B=4x$$
$$2x+4x=90$$ $$\Rightarrow x=15^{\circ}$$ $$\Rightarrow \angle A=30^{\circ}$$; $$\angle B=60^{\circ}$$
$$\sin B=\frac{AC}{AB}$$ $$\Rightarrow AB=\frac{AC}{\sin B}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12$$
Задание 3196
Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.
$$S=p\cdot r=8\cdot3=24$$
Задание 3654
Точка О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Сколько градусов содержит угол AОC, если угол АВС равен 44º?
Пусть OH; OM; ON - радиусы
$$\angle BHO=\angle BNO=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$
из $$\bigtriangleup BHON$$ $$\angle HON=\frac{360-2\cdot90-44}{2}=136^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$
$$\angle HON$$ - внешний $$\Rightarrow$$ $$360^{\circ}-136^{\circ}=224^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$
$$\angle HOA=\angle AOH$$; $$\angle MOC=\angle NOC$$
т.к. $$\angle HON$$ - внешний $$\Rightarrow$$ $$2\angle AOM+2\angle MOC=224^{\circ}$$
$$\angle AOM+\angle MOC=\angle AOC=\frac{224^{\circ}}{2}=112^{\circ}$$
Задание 5233
Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 36. Найдите его площадь.
Воспользуемся формулой площади фигуры через ее полупериметр и радиус вписанной окружности: $$S=pr \Leftrightarrow$$$$S=\frac{36}{2}*2=36$$
Задание 6460
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен $$5\sqrt{12}$$
из $$\Delta AOB$$: $$OH=5\sqrt{12}\Rightarrow$$ $$AO=\frac{OH}{\sin A}=\frac{5\sqrt{12}}{2}=20$$
$$\Delta AOB$$ - равносторонний $$\Rightarrow AB=20$$
Задание 6817
Около круга описана равнобедренная трапеция, периметр которой 80, а острый угол равен 30o. Найдите площадь трапеции.
- $$AB+CD=DC+AD=\frac{80}{2}\Rightarrow$$ $$AB=CD=20$$
- из $$\Delta ABH$$: $$BH=AB* \sin A=20*\frac{1}{2}=10$$
- $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*BH=$$$$\frac{40}{2}*10=200$$
Задание 7052
Точка О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Найдите сумму углов ОАВ, ОВС и ОСА. Ответ дайте в градусах.
Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис $$\Rightarrow$$ $$\angle OAB =0,5 \angle A$$; $$\angle OBC=0,5 \angle B$$; $$\angle OCA=0,5 \angle C$$; Тогда: $$\frac{\angle A+\angle B+\angle C}{2}=\frac{180}{2}=90$$
Задание 7172
Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен $$\sqrt{3}$$ . Найдите радиус вписанной окружности
$$R=\frac{r}{\sin 60}$$, где R-описанной; r –вписанной $$\Rightarrow$$ $$r=R \sin 60 =\sqrt{3} *\frac{\sqrt{3}}{2}=1,5$$
Задание 8260
Стороны треугольника равны 7, 8 и 9 см. Найти квадрат расстояния (в см2) от центра вписанной окружности до большей стороны.
