Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C6) Задача с параметром

Системы с параметром

 

Задание 2949

Найдите все значения параметра b, при которых система $$ \left\{\begin{matrix}x=-|b-y^{2}|\\ y=a(x+b^{2})\end{matrix}\right.$$ имеет решение при любом значении параметра а.

Ответ: $$\left ( -\infty ;-1 \right ]\cup \left [ 0 ; +\infty \right )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3334

Найдите все значения a, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}x\sin a-y\cos a+3\sin a+\cos a=0\\ 2x+y-1=0\end{matrix}\right.$$ имеет решение (x;y) в квадрате $$-4\leq x\leq -1 , 2\leq y\leq 5$$

Ответ: $$[\frac{\pi }{4}+\pi n;\arctan 4 +\pi n] ,n\in Z$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3429

Найдите все значения параметра р, при каждом из которых система уравнений имеет два различных решения: $$\left\{\begin{matrix}(y-1)^{2}=x-|x|\\(x-p)^{2}+2p+y=25\end{matrix}\right.$$

Ответ: [4;12)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3865

Найдите все значение параметра a , при которых система $$\left\{\begin{matrix}9x^{2}-6xy+y^{2}+6x-13y+3=0\\13x^{2}+6xy+10y^{2}+16x+2y-4ax-6ay+a^{2}-2a+3=0\end{matrix}\right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$[\frac{2-3\sqrt{2}}{3};\frac{2+3\sqrt{2}}{3}]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4022

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-3y^{2}=8\\2x^{2}+4xy+5y^{2}=a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-3y^{2}=8\\2x^{2}+4xy+5y^{2}=a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$

$$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}=b$$

$$\left\{\begin{matrix}-bx^{2}+2bxy+3by^{2}=-8b\\16x^{2}+32xy+40y^{2}=8b\end{matrix}\right.$$

$$x^{2}(16-b)+xy(2b+32)+y^{2}(40+3b)=0$$ $$\div y^{2}$$

$$\frac{x^{2}}{y^{2}}(16-b)+\frac{x}{y}(2b+32)+(40+3b)=0$$

$$D=(2b+32)^{2}-(16-b)(3b+40)\cdot4\geq0$$

$$4b^{2}+128b+1024-4(48b+640-3b^{2}-40b)\geq0$$

$$4b^{2}+128b+1024-32b-2560+12b^{2}\geq0$$

$$16b^{2}+96b-1536\geq0$$

$$b^{2}+6b-96\geq0$$

$$D=36+384=420$$

$$b_{1,2}=\frac{-6\pm2\sqrt{105}}{2}=-3\pm\sqrt{105}$$

$$\left\{\begin{matrix}b\leq-3-\sqrt{105}\\b\geq-3+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\leq-3-\sqrt{105}\\a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\geq-3+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$

2) $$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-19\geq0$$

$$81-4\cdot27+4\cdot9-19\geq0$$

$$(a-3)(a+1)(a^{2}-2a+3)\geq0$$

$$a^{2}-2a+3=0$$

$$D=4-12<0$$

$$(a-3)(a+1)\geq0$$

$$\left\{\begin{matrix}a\geq3\\a\leq-1\end{matrix}\right.$$

1) $$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\leq-3-\sqrt{105}$$

$$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-9+2\sqrt{105}\leq0$$

$$f'(a)=4a^{3}-12a^{2}+8a=0$$

$$a^{3}-3a^{2}+2a=0$$

$$a(a^{2}-3a+2)=0$$

$$a=0;a=2;a=1$$

$$f(0)=2\sqrt{105}-9>0$$

$$f(2)=16-32+16-9+2\sqrt{105}>0$$

Так как обы минимальных значения больше нуля, то сама функция меньше нуля быть не может, отсюда (1) не имеет решений, и ответом будет только промежутки с (2)

$$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$

 

Задание 4192

Найти все значения параметра $$a$$, при каждом из которых существует хотя бы одно $$x$$, удовлетворяющее условию: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+(5a+2)x+4a^{2}+2a<0\\x^{2}+a^{2}=4\end{matrix}\right.$$

Ответ: $$(-\sqrt{2};-\frac{16}{17});(0;\sqrt{2})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4400

Найти все значения параметра a, при каждом из которых существует хотя бы одно x, удовлетворяющее системе уравнений: $$\left\{\begin{matrix}|x^{2}-5x+4|-9x^{2}-5x+4+10x|x|=0\\x^{2}-2(a-1)x+a(a-2)=0\end{matrix}\right.$$

Ответ: $$a\in{-1}\cup[1;6]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$|x^{2}-5x+4|-9x^{2}-5x+4+10x|x|=0$$

a) $$x<0$$

$$x^{2}-5x+4-9x^{2}-5x+4-10x^{2}=0$$; $$-18x^{2}-10x+8=0$$; $$9x^{2}+5x-4=0$$; $$D=25+144=169=13^{2}$$; $$x_{1}=\frac{-5+13}{18}=\frac{4}{9}$$ $$\notin$$ $$x<0$$; $$x_{2}=\frac{-5-13}{18}=-1$$

б) $$x\in[0;1]\cup[4;+\infty)$$

$$x^{2}-5x+4-9x^{2}-5x+4+10x^{2}=0$$; $$2x^{2}-10x+8=0$$; $$x^{2}-5x+4=0$$; $$x=1$$; $$x=4$$

в) $$x\in(1;4)$$

$$-x^{2}+5x-4-9x^{2}-5x+4+10x^{2}=0$$; $$0=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x\in(1;4)$$

Результат: $$x\in{-1}\cup[1;4]$$

2) $$x^{2}-2(a-1)x+a(a-2)=0$$; $$D=4(a^{2}-2a+1)-4a(a-2)=$$ $$4a^{2}-8a+4-4a^{2}+8a=4$$; $$x_{1}=\frac{2(a-1)+2}{2}=\frac{2a}{2}=a$$; $$x_{2}=\frac{2(a-1)-2}{2}=\frac{2a-4}{2}=a-2$$

1. $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=-1\\x_{2}=-1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-1\\a-2=-1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-1\\a=1\end{matrix}\right.$$

2. $$\left\{\begin{matrix}1\leq x_{1}\leq4\\1\leq x_{2}\leq4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1\leq a\leq4\\1\leq a-2\leq4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1\leq a\leq4\\3\leq a\leq6\end{matrix}\right.$$

Общим решением будет объединение: $$a\in{-1}\cup[1;6]$$

 

Задание 4577

Найдите все а, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}x+y+9(\sqrt{x}+\sqrt{y})-3\sqrt{xy}=86-a^{a}\\\sqrt{xy}-7(\sqrt{x}+\sqrt{y})=a^{2}+a-45\end{matrix}\right.$$ имеет ровно три решения.

Ответ: $$-\frac{7}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4776

При каких значениях параметра p система $$\left\{\begin{matrix} x^{2}+2px+3p^{2}+3p+3\leq 3\sin y - 4\cos y\\ 0\leq y\leq 2\pi \end{matrix}\right.$$

Ответ: $$-2;\frac{1}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4823

Найдите все значения параметра а при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}1-\sqrt{|x-1|}=\sqrt{7|y|}\\49y^{2}+x^{2}+4a=2x-1\end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Ответ: $$-\frac{1}{4}; -\frac{1}{32}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Перепишем систему в виде $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\left | x-1 \right |}+\sqrt{7\left | y \right |}=1\\\left | x-1 \right |^{2}+(7\left | y \right |)^{2}=-4a\end{matrix}\right.$$

     Пусть $$\sqrt{\left | x-1 \right |}=m\geq 0$$; $$\sqrt{7\left | y \right |}=n\geq 0$$

     Тогда система примет вид : $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=-4a\end{matrix}\right.(*)$$. Если пара чисел $$(m_{0};n_{0})$$ является решением системы (*), то пара $$(n_{0}; m_{0})$$ также её решение :

     1) Пусть $$m_{0}\neq n_{0}, m_{0}, n_{0}>0$$. Тогда $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=m_{0}^{2}\\7\left | y \right |=n_{0}^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=n_{0}^{2}\\7\left | y \right |=m_{0}^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.(**)$$. Каждая система совокупности имеет четыре решения, тогда данная система имеет 8 различных решений , что не удовлетворяют  условию задачи .

     2) Пусть одно из значений $$m_{0}$$ или $$n_{0}$$ равно нулю, тогда пары  (0;1) и (1;0)-решения системы(*), -4a=1, откуда  $$a=-\frac{1}{4}$$ . В этом случае совокупность (**) примет вид :

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=0\\7\left | y \right |=1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=1\\7\left | y \right | =0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$, откуда получим 4 решения данной системы : $$(1; \frac{1}{7})$$, $$(1; -\frac{1}{7})$$, $$(2;0)$$, $$(0;0)$$

     3) Пусть $$m_{1}=n_{0}$$, тогда $$\left\{\begin{matrix}m_{0}+m_{0}=1\\m_{0}^{4}+m_{0}^{4}=-4a\end{matrix}\right.$$., откуда

$$m_{0}=\frac{1}{2}$$, $$a=-\frac{1}{32}$$ и система (*) имеет одно решение $$(\frac{1}{2};\frac{1}{2})$$. В Этом случае совокупность (**) примет вид :

$$\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=\frac{1}{4}\\7\left | y \right |=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$, откуда получим 4 решения данной системы: $$(1\frac{1}{4} ;\frac{1}{28})$$, $$(1\frac{1}{4}; -\frac{1}{28})$$, $$(\frac{3}{4}; \frac{1}{28})$$, $$(\frac{3}{4};-\frac{1}{28})$$.

     Докажем, что при $$a=-\frac{1}{4}$$ и $$a=-\frac{1}{32}$$ других, кроме найденных решений,  данная система не имеет .

     1. При  $$a=-\frac{1}{4}$$ система (*) имеет вид: $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=1\end{matrix}\right.$$. Если $$m\neq 0$$, $$n\neq 0$$, то $$m,n \in (0;1)$$ и $$\left\{\begin{matrix}m^{4}<m\\n^{4}<n\end{matrix}\right.$$

   Тогда $$m^{4}+n^{4}<m+n$$, т.е. $$m^{4}+n^{4}<1$$, что противоречит  второму уравнению системы . Следовательно, при $$a=-\frac{1}{4}$$ других решений системы нет и $$a=-\frac{1}{4}$$ удовлетворяет условию .

     2. При $$a=-\frac{1}{32}$$ система (*) имеет вид : $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=\frac{1}{8}\end{matrix}\right.$$ . Пусть$$\left\{\begin{matrix}m=\frac{1}{2}+t\\n=\frac{1}{2}-t\end{matrix}\right.$$ , тогда $$\left\{\begin{matrix}m^{4}=(\frac{1}{2}+t)^{2}=\frac{1}{16}+4*\frac{1}{8}t+6*\frac{1}{4}t^{2}+4*\frac{1}{2}t^{3}+t^{4}\\n^{4}=(\frac{1}{2}-t)^{4}=\frac{1}{16}-4*\frac{1}{8}t+6*\frac{1}{4}t^{2}-4*\frac{1}{2}t^{3}+t^{4}\end{matrix}\right.$$. И $$m^{4}+n^{4}=\frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{4}$$. Имеем : $$\frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{2}=\frac{1}{8}$$, откуда $$t=0$$, $$m =n=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ других решений нет и $$a=-\frac{1}{32}$$ удовлетворяет условию .

 

Задание 5061

 При каких значениях параметра  система уравнений $$\left\{\begin{matrix}(x^{2}+(y-7)^{2}-9)((x-4)^{2}+(y-3)^{2}-1)=0\\ax-y-4a-2=0\end{matrix}\right.$$ имеет четыре решения?

Ответ: $$-\frac{36+6\sqrt{22}}{7};-2\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}(x^{2}+(y-7)^{2}-9)((x-4)^{2}+(y-3)^{2}-1)=0\\ax-y-4a-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+(y-7)^{2}=9(*) & \\(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=1(**) & \\y=a(x-4)-2\end{matrix}\right.$$

$$(*) x^{2}+(y-7)^{2}=9$$ - окружность с центром $$O_{1}(0;7)$$ и радиусом $$R=3$$

$$(**)(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=1$$ – окружность с центром $$O_{2}(4,3)$$ и радиусом $$R=1$$

$$y=a(x-4)-2$$ - пучок прямых ,проходящих через точку $$A(4,-2)$$

     Пусть $$B_{1}C$$ - точки касания прямой $$y=a(x-4)-2$$ с окружностью (**) с , а, $$D_{1}E$$ - с окружностью (*)

     Система будет иметь 4 решения , если прямая будет пересекать окружности в 4 точках. На рисунках слева оранжевым цветом выделены пограничные случаи расположения прямой в таком случае (4 решения от момента касания в точке D до момента касания в точке  C при повороте прямой против часовой стрелки ,не включая данные значения)

     Найдем соответствующие значения параметра a .Воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки с координатами $$(x_{0},y_{0})$$ до прямой $$ax+by+c=0$$: $$p=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

     Расстояние от точки $$O_{1}$$ до прямой  $$y=a(x-4)-2$$ равно $$\frac{\left | -7-4a-2 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}=\frac{\sqrt{4a+9}}{\sqrt{a^{2}+1}}$$

     С другой стороны , расстояние от точки $$O_{1}$$ до прямой $$y=a(x-4)-2$$ равно радиусу окружности (*) , откуда $$\frac{\left | 4a+9 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}=3\Rightarrow$$ $$(4a+9)^{2}=9(a^{2}+1)\Leftrightarrow$$ $$16a^{2}+72a+81=9a^{2}+9\Leftrightarrow $$$$7a^{2}+72a+72=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}a=-\frac{36+6\sqrt{22}}{7}\\a=-\frac{36-6\sqrt{22}}{7}\end{matrix}\right.$$

     Поскольку касание происходит в точке D, то угловой коэффициент прямой в случае касания в точке D должен быть меньше, чем в случае касания в точке  E, поэтому  $$a=-\frac{36+6\sqrt{22}}{7}$$

    Аналогичным образом находим значения параметра в случае касания с окружностью (**):

$$\frac{\left | 4a-3-4a-2 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{5}{\sqrt{a^{2}+1}}=1\Leftrightarrow$$ $$25=a^{2}+1\Leftrightarrow$$ $$a^{2}=24\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}a=2\sqrt{6}\\a=-2\sqrt{6}\end{matrix}\right.$$

     Касание прямой с окружностью  в точке C соответствует значению $$a=-2\sqrt{6}(a=2\sqrt{6}$$ - касание в точке B). Окончательно получим , что система имеет 4 решения при $$a_{1,2}=-\frac{36+6\sqrt{22}}{7};-2\sqrt{6}.$$

 

Задание 5245

Найдите все значения а, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-2ax+2ay\leq0\\x^{2}+y^{2}+6ax+8ay\leq1-10a\end{matrix}\right.$$ имеет ровно одно решение.

Ответ: $$\frac{1}{10-\sqrt{2}} ;\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-2ax+2ay\leq 0 \\x^{2}+y2 +6ax+8ay\leq 1-10a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}+2ay+a^{2}-2a^{2}\leq 0 \\x^{2}+6ax+9a^{2}+y^{2}+8ay+16a^{2}-25a^{}\leq 1-10a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-a)^{2}+(y+a)^{2}\leq 2a^{2}(f(x)) \\(x+3a)^{2}+(y+4a)^{2}\leq 25a^{2}-10a+1(g(x)) \end{matrix}\right.$$

f(x)-окружность с центром (a;-a) и $$r=\sqrt{2}|a|$$

g(x)-окружность с центром (-3a;-4a) и $$r=|5a-1|$$??

Чтобы было одно решение, расстояние между центральным равно сумме радиусов(т.к. окружности касается)

$$\sqrt{(-3a-a)^{2}+(-4a-(-a))^{2}}=\left | 5a-1 \right |+\sqrt{2}\left | a \right |$$

$$\sqrt{25a^{2}}=\left | 5a-1 \right |+\sqrt{2}\left | a \right |$$

$$5|a|-\sqrt{2}|a|=|5a-1|$$

1) $$\left\{\begin{matrix}a\leq 0 \\-5a+\sqrt{2}a=-5a+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\leq 0 \\a=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

2)$$\left\{\begin{matrix}a \in (0;0,2] \\5a-\sqrt{2}a=-5a+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$10a-\sqrt{2}a=1\Leftrightarrow$$$$a=\frac{1}{10-\sqrt{2}}$$

3) $$\left\{\begin{matrix}a>0,2 \\5a-\sqrt{2}a=5a-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{2}a=1\Leftrightarrow$$ $$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Объединим полученные значения: $$\frac{1}{10-\sqrt{2}} ;\frac{\sqrt{2}}{2}$$

 

Задание 6139

При каких значениях параметра a система $$\left\{\begin{matrix}y=2ax-2x^{2}+6a-4\\ y=\frac{3*3^{x^{2}}}{27^{a}}-\frac{3^{ax}}{3}\end{matrix}\right.$$ имеет не менее двух решений?

Ответ: $$a\in (-\infty; -6;-\sqrt{11})\cup (-6; +\sqrt{11};+\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}y=2ax-2x^{2}+60-4 & & \\y=\frac{3*3^{x^{2}}}{27^{a}}-\frac{3^{ax}}{3}& &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}y_{1}=2(-x^{2}+ax+3a-2) & & \\y_{2}=3^{x^{2}-3a+1}-3^{2x-1} & &\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим монотонность $$y_{2}$$:

$$3^{x^{2}-3a+1}-3^{ax-1}>0$$

$$3^{x^{2}-3a+1}>3^{ax-1}$$

$$x^{2}-3a+2>0$$

$$x^{2}-ax-3a+2>0$$

Пусть $$x^{2}-ax-3a+2=f$$. Тогда $$y_{1}=-2f$$. Получаем, если $$f>0$$,то $$y_{2}>0$$, но $$y_{1}<0$$ ,и наоборот . Тогда $$y_{1}=y_{2}$$ только при условии , что $$f=0$$.

$$x^{2}-ax-3a+2=0$$

$$D=a^{2}-4(2-3a)=a^{2}+12a-8>0$$

$$D=144+32=176$$

$$a_{1,2}=\frac{-12\pm \sqrt{176}}{2}=-6\pm \sqrt{44}=-6\pm 11$$, тогда

$$a\in (-\infty; -6;-\sqrt{11})\cup (-6; +\sqrt{11};+\infty )$$

 

Задание 6187

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+5x+y^{2}-y-|x-5y+5|=52\\ y-2=a(x-5)\end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения

Ответ: $$(-\frac{7}{4}; 8)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+5x+y^{2}-y-\left | x-5y+5 \right |=52|(f)\\y-2=a(x-5)|(g)\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим варианты раскрытия модуля:

   1) При $$x-5y+5\geq 0\Leftrightarrow y\leq \frac{x}{5}+5$$

$$f_{1}:x^{2}+5x+y^{2}-y-x+5y-5=52$$

$$x^{2}+4x+4-4+y^{2}+4y+4-4-5=52$$

$$(x+2)^{2}+(y+2)^{2}=65$$-окружность с центром (-2 ;-2) и радиусом $$\sqrt{65}$$

   2) При $$x-5y+5<0\Leftrightarrow y>\frac{x}{5}+5$$

$$f_{2}: x^{2}+5x+y^{2}-y+x-5y+5=52$$

$$x^{2}+6x+9-9+y^{2}-6y+9-9+5=52$$

$$(x+3)^{2}+(y-3)^{2}=65$$ - окружность с центром $$(-3;3)$$ и радиусом $$\sqrt{65}$$

   При этом $$g: y=a(x-5)+2$$-прямая, проходящая через точку

   Построим график обеих функций:

Чтобы прямая y=a(x-5)+2 имела 2 точки, то :

   $$a \in (b_{1}; \frac{1}{5})$$, где $$b_{1}$$-коэффициент касательной $$y=b_{1}x+n_{1}(1)$$k и $$a \in (\frac{1}{5};b_{2})$$, где $$b_{2}$$- коэффициент касательной $$y=b_{2}x+n_{2}(2)$$(в обоих случаях касательная в точке (5;2))

   1) Посмотрим радиус $$O_{2}A$$ . Задаем коэффициент k данной прямой $$f=\frac{4}{7}$$, при этом  $$y=b_{1}x+n_{1}\perp O_{1}A\Rightarrow k*b_{1}=-1\Rightarrow b_{1}=-\frac{7}{4}$$

   2) Аналогично $$O_{2}A$$: $$k=-\frac{1}{8}\Rightarrow b_{2}=8$$

   В итоге получаем: $$a\in (-\frac{7}{4}; 8)$$

 

Задание 6234

Найти все значения параметра $$\alpha$$, $$\pi<\alpha<\pi$$ , $$\left\{\begin{matrix}(4-x^{2}-y^{2})(y^{2}-4x+28)=0 \\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\end{matrix}\right.$$ при которых система уравнений имеет ровно три решения.

Ответ: $$(-\pi +\arccos\frac{1}{4}; -\frac{\pi}{2})\cup (-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3})\cup (\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2})\cup (\frac{\pi}{2} ;\pi-\arccos \frac{1}{4})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}(4-x^{2}-y^{2})(y^{2}-4x+28)=0 \\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=4\\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2 (1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y^{2}-4x+8-0\\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2 (2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим систему (1) :

$$x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\Leftrightarrow y=\frac{-x \cos \alpha +2}{\sin \alpha }=-ctg \alpha *x+\frac{2}{\sin \alpha }$$. Построим данную прямую . Она смешена по Oy на $$\frac{2}{\sin \alpha }$$

Пусть $$\angle OAB=\alpha$$, тогда $$\angle BCO=90-\alpha$$ , и смежный с ним $$\alpha -90$$. Для прямой $$y=kx+b; k=tg \beta$$ ,где $$\beta$$-угол между прямой и Ox: $$tg(\alpha -90)=-ctg \alpha$$

Длина OB из $$\Delta ABO: OA*\sin \alpha =\frac{2}{\sin \alpha }*\sin\alpha =2$$ Т.е. независимо от $$\alpha$$ , длина OB всегда что составляет радиус окружности $$x^{2}+y^{2}=4$$. Т.е. $$y=-ctg \alpha *x+\frac{2}{\sin \alpha }$$ при всех $$\alpha$$ - касательная ,следовательно, одно решения есть.

Рассмотрим систему (2):она должна иметь ровно 2 решения :

$$\left\{\begin{matrix} y^{2}-4x+28=0 & & \\ x \cos \alpha +y \sin \alpha =2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix} y^{2}-4*\frac{2-y \sin \alpha }{\cos ^{2}}+28=0 & & \\ x=\frac{2-y\sin \alpha }{\cos x}& & \end{matrix}\right.$$

Учитываем ,что: $$\cos \alpha \neq 0\Leftrightarrow \alpha \neq \frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z$$

$$y^{2}-*\frac{4*(2-y \sin\alpha )}{\cos \alpha }+28=0$$

$$y^{2}\cos \alpha -8+4y \sin \alpha +28 \cos \alpha =0$$

Чтобы было два решения, дискриминант должен быть строго больше 0:

$$D=(4 \sin \alpha )^{2}-4 \cos \alpha (28 \cos \alpha -8)>0$$

$$16 \sin^{2}\alpha -16 \cos\alpha (7\cos\alpha -2)>0$$

$$\sin^{2}-7\cos^{2}\alpha +2\cos\alpha >0$$

$$1-\cos^{2}\alpha -7 \cos ^{2}\alpha +2 \cos \alpha >0$$

$$8 \cos^{2}-2 \cos \alpha -1<0$$

$$D=4+32=36$$

$$\cos \alpha =\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}$$ и $$\cos \alpha =\frac{2-6}{16}$$

Получаем: $$\left\{\begin{matrix}\cos \alpha >-\frac{1}{4} & & \\\cos \alpha <\frac{1}{2} & &\end{matrix}\right.$$. Учтем ,что $$\alpha \in (-\pi; \pi) \alpha \neq \frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$\alpha \in (-\pi +\arccos\frac{1}{4}; -\frac{\pi}{2})\cup (-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3})\cup (\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2})\cup (\frac{\pi}{2} ;\pi-\arccos \frac{1}{4})$$

 

Задание 6330

Найдите все значения параметра a, при которых система $$\left\{\begin{matrix}\log_{2} (3-x+y)=\log_{2} (25-6x+7y)\\ y+2=(x-2a)^{2}+a+2x\end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения

Ответ: $$(-1;3)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Рассмотрим область определения данной системы. Так как даны логарифмы, то: $$\left\{\begin{matrix}3-x+y>0\\25-6x+7y>0\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y>x-3\\y>\frac{6x-25}{7}\end{matrix}\right.$$ (желтым выделено решение для первого неравенства, синим - для второго, серым - их пересечение)

     Рассмотрим первое уравнение системы:

$$\log_{2}(8(3-x+y))=\log_{2}(25-6x+7y)\Leftrightarrow$$$$24-8x+8y=25-6x+7y\Leftrightarrow$$$$y=2x+1 (1)$$

     Построим график данной функции с учетом области определения:

     Как видим, чтобы было два пересечения, x должен быть больше 4 (иначе часть прямой лежит вне области определения)

     Подставим  (1) во второе:$$2+2x+1=(x-2a)^{2}+a+2x\Leftrightarrow$$$$(x-2a)^{2}=3-a$$

     Так как число в квадрате, то правая часть уравнения должна быть больше нуля (если равна нулю, то корень всего один): $$3-a>0\Rightarrow a<3$$

     Рассмотрим график второй функции:

$$y+2=x^{2}-4ax+2a^{2}+a+2x\Leftrightarrow$$$$y=x^{2}+x(2-4a)+4a^{2}+a-2$$

     Найдем вершину параболы:

$$x_{0}=-\frac{2(1-2a)}{2}=2a-1$$

$$y_{0}=4a^{2}-4a+1-2(2a-1)^{2}+4a^{2}+a-2=8a^{2}-3a-1-8a^{2}+8a-2=5a-3$$

     Рассмотрим возможное расположение графика с учетом области определения:

     Как видим, координата y вершины параболы должна быть больше -8, а х больше -3 (если будет левее, то отно пересечение точно не попадет в область определения) :

$$\left\{\begin{matrix}2a-1>-3\\5a-3>-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a>-1\\a>-1\end{matrix}\right.$$

     С учетом того, что $$a<3$$, получаем: $$a \in (-1;3)$$

 

Задание 6377

Найдите все значения a, при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}|x|+|y|+|2y-3x|=12\\ x^{2}+y^{2}=a \end{matrix}\right.$$ имеет ровно две действительные пары решений

Ответ: 4,5; 29,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}\left | x \right |+2\left | y \right |+\left | 2y-3x \right | =12=f\\x^{2}+y^{2}=a=g\end{matrix}\right.$$

g - окружность с центром в начале координат и радиуса $$\sqrt{a}\Rightarrow a>0$$

     Рассмотрим график f:

При $$2y-3x\geq 0\Leftrightarrow$$ $$y\geq 1,5 x$$ получили $$\left | x \right |+2\left | y \right |+ 2y-3x =12$$

     В данном случае будет 3 части плоскости:

1)$$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$x+2y+2y-3x=12\Leftrightarrow$$ $$y=3+0,5x$$

2)$$\left\{\begin{matrix}x<0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$-x+2y+2y-3x=12\Leftrightarrow$$ $$y=3+x$$

3)$$\left\{\begin{matrix}x<0\\y<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow -x-2y+2y-3x=12\Rightarrow x=-3$$

     При $$2y-3x<0\Leftrightarrow y<1,5x$$ получим так же 3 части плоскости:

1)$$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x+y-2y+3x=12\Leftrightarrow x=3$$

2)$$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x-y-2y+3x=12\Leftrightarrow y=-3+x$$

3)$$\left\{\begin{matrix}x<0\\y<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$-x-y-2y+3x=12\Leftrightarrow y=x-3$$

     Построим график данной функции .

     Очевидно , что 2 точки будет если пройдет через (C) и если касается в (B)

     Найдем координаты (C) :$$y=3+0,5=4,5$$.

Тогда $$OC=r_{1}^{2}=a=3^{2}+4,5^{2}=29,25$$. Найдем $$OB=r_{2}^{2}=a=1,5^{2}+1,5^{2}=4,5.$$

 

Задание 6472

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}y(ax-1)=2|x+1|+2xy\\ xy+1=x-y\end{matrix}\right.$$ имеет решения

Ответ: $$(-\infty ;-5-4\sqrt{2}]\cup (0; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}y(ax-1)=2\left | x+1 \right |+2xy\\xy+1=x-y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y(ax-1-2x)=2\left | x+1 \right |\\y(x+1)=x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=\frac{2\left | x+1 \right |}{ax-1-2x}\\y=\frac{x-1}{x+1}\end{matrix}\right.$$

Приравняем правые части функций: $$\frac{2\left | x+1 \right |}{ax-1-2x}=\frac{x-1}{x+1}$$. Раскрываем модуль:

     1) $$x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1\Leftrightarrow$$$$2(x+1)^{2}=(ax-1-2x)(x-1)\Leftrightarrow$$$$2x^{2}+4x+2=ax^{2}-ax-x+1-2x^{2}+2x\Leftrightarrow$$$$x^{2}(a-4)+x(-a-3)-1=0$$. Чтобы были корни, дискриминант должен быть неотрицательным: $$D=a^{2}+6a+9+4a-16=a^{2}+10a-7\geq 0$$. Так же корень из дискриминанта должен находится: $$D_{1}=100+28=128$$. Получаем: $$a_{1,2}=\frac{-10\pm \sqrt{128}}{2}=-5\pm 4\sqrt{2}$$

$$a \in (-\infty ; -5-4\sqrt{2}]\cup [-5+4\sqrt{2};+\infty )(*)$$ - условие возможного существованиях корней.

      При этом имеем параболу $$f(x)=x^{2}(a-4)+x(-a-3)-1$$. Рассмотрим случай, когда ни один корень не попадает в $$x\geq -1$$ (противоположный необходимому нам. То есть, найдя решения для данного случая, нам необходимо будет взять оставшийся промежуток. Например: пусть решением получим$$(0;1)$$, тогда для нахождения решений, чтобы хотя бы один корень попадал в промежуток от -1, мы возьмем $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$. Тогда абцисса вершины должна быть меньше -1, т.е. $$\frac{a+3}{2(a-4)}<-1$$ и если ветви вверх, то $$f(-1)>0$$ ветви вниз , то $$f(-1)<0$$

     Обоснование:

     Как видим, если ветви направлены вверх и f(-1)<0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности ($$x_{2}$$)

     Как видим, если ветви направлены вниз и f(-1)>0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности ($$x_{2}$$)

     Т.е. $$\left\{\begin{matrix} a-4>0\\ (a-4)+a+3-1>0\end{matrix}\right.$$ и $$\left\{\begin{matrix}a-4<0 & & \\(a-4)+a+3-1<0& &\end{matrix}\right.$$ или $$(a-4)(2a-2)>0$$

     Получаем : $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2(a+4)}<-1\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3+2a-8}{a-4}<0\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{3a-5}{a-4}<0\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.$$

     Пересечений нет, значит случай невозможен и хотя бы один корень $$\geq -1$$. Тогда с учетом (*): $$a\in (-\infty ; -5-4\sqrt{2}]\cup [-5+4\sqrt{2}; +\infty )$$

     2) $$x+1<0\Rightarrow x<-1$$. Аналогично п.1

$$-2(x+1)^{2}=(ax-1-2x)(x-1)\Leftrightarrow$$$$-2x^{2}-4x-2=ax^{2}-ax-x+1-2x^{2}+2x\Leftrightarrow$$$$ax^{2}+x(-a+5)+3=0\Leftrightarrow$$$$D=a^{2}-100+25-12a=a^{2}-22a+25\geq 0\Leftrightarrow$$$$D=484-100=384\Leftrightarrow$$$$a_{1,2}=\frac{22\pm \sqrt{384}}{2}=11\pm 4\sqrt{6}\Leftrightarrow$$$$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt{6}]\cup [11+4\sqrt{6};+\infty )$$

     Имеем параболу: $$f(x)=ax^{2}+x(5-a)+3$$

     Пусть оба корня $$>-1$$, тогда $$x_{0}\geq -1$$. И при ветвях вверх $$f(-1)\geq 0$$, при ветвях вних $$f(-1)\leq 0$$, т.е. $$\left\{\begin{matrix}a> 0\\a-5+a+3\geq 0\end{matrix}\right.$$ и $$\left\{\begin{matrix}a <0\\a-5+a+3\leq 0\end{matrix}\right.$$.Или $$a(2a-2)\geq 0$$. Тогда: $$\left\{\begin{matrix}\frac{a-5}{2a}\geq -1\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a-5+2a}{2a}\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{3a-5}{2a}\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.$$

     Т.е. $$a \in (-\infty ; 0]\cup [\frac{5}{3};+\infty )(3)$$ с учетом $$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt{6}]\cup [11+4\sqrt{6};+\infty )$$ и то, что промежуток (3) нас не удовлетворяет (мы должны взять наоборот $$(0;\frac{5}{3})$$ имеем:

     т.е. $$a\in (0; 11-4\sqrt{6}]$$

Сравним $$4\sqrt{2}-5$$ и $$11-4\sqrt{6}$$:

$$(4\sqrt{2}-5)^{2}=32-40\sqrt{2}+25=57-40\sqrt{2}\approx 0,43$$

$$(11-4\sqrt{6})^{2}=121-88\sqrt{6}+96=217-88\sqrt{6}\approx 1,44$$

     Объединим с (*) , тогда

     т.е. $$a \in (-\infty ;-5-4\sqrt{2}]\cup (0; +\infty )$$

 

Задание 6703

Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}3(\sqrt{x|x|}+|y|-3)(|x|+3|y|-9)=0\\ (x-a)^{2}+y^{2}=25\end{matrix}\right.$$ имеет ровно три решения.

Ответ: $$\pm 4; 6$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}(3\sqrt{x\left | x \right |}+\left | y \right |-3)(\left | x \right |+3\left | y \right |-9)=0(1)\\(x-a)^{2}+y^{2}=25(2)\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1) . Это совокупность графиков : $$3\sqrt{x\left | x \right |}+\left | y \right |-3=0$$ и $$\left | x \right |+3\left | y \right |-9=0$$

Т.к $$x\left | x \right |\geq 0$$, то $$x\geq 0$$, следовательно , получим $$3x+\left | y \right |-3=0$$ и $$x+3\left | y \right |-9=0$$ или $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=\frac{3-\left | y \right |}{3}\\x=9-3\left | y \right |\end{matrix}\right.(1)\\x\geq 0\end{matrix}\right.$$

     (2): окружность радиуса 5 и центром (a;0). Построим график (1)

Тогда есть 3 случая, чтобы было 3 решения.

   1) Проходит через С (1;1) и центр правее этой точки (А;B)$$\Rightarrow a=6$$ (красная окружность) 

   2) Проходит через (1;1) и центр левее (D,C,E- точки пересечения)$$\Rightarrow a=-4$$ (оранжевая)

   3) Проходит через(0;3) ;(0;-3);(9;0) $$\Rightarrow a=4$$ (синяя)

 

Задание 6762

При каких значениях параметра a система $$\left\{\begin{matrix}|x-a|+|y-a|+|a+1-x|+|a+1-y|=2\\ y+2|x-5|=6\end{matrix}\right.$$  имеет единственное решение

Ответ: $$2; \frac{16}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть m=y-a; n=x-a, тогда имеем

$$\left | m \right |+\left | 1-m \right |=2-\left | n \right |-\left | 1-n \right |(m(n))$$

Рассмотрим раскрытие модулей:

     1) $$n\leq 0$$: $$2-\left | n \right |-\left | 1-n \right |=1+2n$$. Тогда $$m(n)$$: $$\left | m \right |+\left | 1-m \right |=1+2n$$. Раскроем модули:

  a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$m=-n$$, с учетом, что $$n\leq 0$$ , то $$m=-n$$ при $$n=0$$ и $$m=0$$

  b) $$m \in (0;1]$$: $$1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$n=0$$

  c) $$m \in (1;+\infty )$$: $$2m-1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$m=n+1$$ при $$n\leq 0$$ – решений нет

     2) $$0<n\leq 1$$:$$ 2-\left | n \right |-\left | 1-n \right |=1$$

   a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=1\Leftrightarrow$$ $$m=0$$

   b) $$0<m\leq 1$$: $$1=1\Rightarrow$$ решение все точки в квадрате

$$\left\{\begin{matrix}0<n\leq 1\\0<m\leq 1\end{matrix}\right.$$

   c) $$m>0$$: $$2m-1=1\Rightarrow$$ $$m=1$$ решений нет

     3) $$n>1$$: $$2-\left | m \right |-\left | 1-n \right |=3-2n$$

   a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=3-2n\Leftrightarrow$$ $$m=n-1$$, с учетом , что $$n>1$$ решений нет

   b) $$a<m\leq 1$$: $$1=3-2n\Rightarrow$$ $$n=1\Rightarrow$$ решений нет

   c) $$m>1$$: $$2m-1=3-2n\Leftrightarrow$$ $$m=2-n$$ решений нет

Построим график m(n). С учетом , что m=y-a и n=y-a , то график y(x) будет строиться смещение вершины (0;0) на (a;a) ( по прямой (y=x)), и построим график $$y=6-2\left | x-5 \right |$$ - cуществует 2 случая с одним решением :

1) При a=2

2) При пересечении вершиной и диагональю y=x части графика $$y=6-2\left | x-5 \right |$$(она задается y=16-2x)

$$\left\{\begin{matrix}y=x\\y=16-2x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=16-2x\Leftrightarrow$$ $$3x=16\Rightarrow$$ $$x=\frac{16}{3}\Rightarrow$$ $$a=\frac{16}{3}$$

 

Задание 6809

Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система $$\left\{\begin{matrix}(4 \sin ^{2}y-a)=16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 ctg ^{2}\frac{2x}{7}\\(\pi ^{2}\cos ^{2}3x-2 \pi ^{2}-72)y^{2}=2\pi ^{2}(1+y^{2})\sin 3x\end{matrix}\right.$$ имеет решения 

Ответ: -14
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   Рассмотрим 2 уровнение системы . Т.к. $$\cos^{2}3x=1-\sin ^{2}3x$$ , и пусть $$\sin 3x=t$$ , тогда:

$$(\pi ^{2}(1-t^{2})-2 \pi ^{2}-72) y^{2}=2 \pi ^{2}(1+y^{2})t\Leftrightarrow$$$$(\pi ^{2}-\pi ^{2}t^{2}-2 \pi ^{2}-72-2 \pi ^{2}t ) y^{2}=2 \pi ^{2}t\Leftrightarrow$$$$(-\pi ^{2}(t^{2}+2t+1)-72)y^{2}=2 \pi ^{2}t\Leftrightarrow$$$$y^{2}=-\frac{2 \pi^{2} t}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)}\Rightarrow$$$$t\leq 0\Rightarrow$$ $$t \in [-1; 0]$$

   Рассмотрим $$f(t) =-\frac{2 \pi^{2} t}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)}$$; $$t \in [-1; 0]$$: $${f}' (t)=-2 \pi ^{2}(\frac{\pi^{2}(t+1)^{2}+72-t(2 \pi ^{2}(t+1))}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)^{2}}=$$$$\frac{-2 \pi ^{2}}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)^{2}}*(\pi ^{2}+72-\pi ^{2}t^{2})$$

   На промежутке $$t \in [-1; 0]$$, $${f}'(t) <0$$ $$\Rightarrow f(t)$$-убывает $$\Rightarrow$$ область значения $$E (f)\in [f(0); f(-1)]$$; $$f(0)=0; f(-1)=\frac{2 \pi ^{2}}{72}=\frac{\pi ^{2}}{36}$$; $$y^{2}\leq \frac{\pi ^{2}}{36}\Rightarrow$$ $$y \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]$$

   Рассмотрим первое уравнение системы:

$$4 \sin ^{2}y-a=16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 ctg ^{2}\frac{2x}{7}\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-(16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 (\frac{1 }{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-1))\Leftrightarrow$$$$a=4 \sin ^{2}y-(16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 * \frac{1}{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-9)\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-((4 \sin \frac{2x}{7})^{2}-24 +(\frac{3}{\sin \frac{2x}{7}})^{2}-9+24)\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-\frac{(4 \sin ^{2}\frac{2x}{7}-3)}{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-15$$

Так как $$a\rightarrow max$$, $$\sin ^{2}\frac{2x}{7}=\frac{3}{4}$$. Тогда: $$\sin \frac{2x}{7}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{2x}{7}=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n , n \in Z\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{7 \pi }{6}+\frac{7 \pi n }{2}, n \in Z$$

Т.к. $$\sin 3x=-1\Rightarrow$$ $$3x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi k , k \in Z$$, $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi k}{3}, k \in Z$$

   Найдем n и k : $$\pm \frac{7 \pi}{6}+\frac{7 \pi n }{2}=-\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi k}{3}|*6\Leftrightarrow$$ $$\pm 7 \pi +21 \pi n =-\pi +4 \pi k\Leftrightarrow$$ $$6 \pi =21 \pi n -4 \pi k \Leftrightarrow$$ $$21 n -4k=6\Rightarrow$$ $$n=2, k=9$$. Следовательно, существует такой x. Тогда: $$a=4*(\frac{1}{2})^{2}-15 =-14$$

 

Задание 7327

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}x^{3}-(a+3)x^{2}+(3a+2)x-2a\geq 0\\ x^{3}-(a+3)x^{2}+3ax\leq 0\end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение

Ответ: $$[3; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Рассмотрим $$f(x) =x^{3}-(a+3)x^{2}+3ax$$, тогда в первом неравенстве записано $$f(x) +2x-2a\geq 0\Rightarrow$$ $$f(x)\geq 2a-2x$$. Пусть $$2a-2x=g(x)$$ , тогда имеем $$\left\{\begin{matrix}f(x)\geq g(x)\\g(x)\leq 0\end{matrix}\right.$$ и оно должно иметь единственное решение . При этом g(x) – прямая, функция убывает. Рассмотрим $$f(x)$$:

     $$x^{3}-(a+3)x^{2}+3ax=$$$$x(x^{2}-(a+3)x+3a)=$$$$x(x^{2}-ax-3x+3a)=$$$$x(x(x-a)-3(x-a))=x(x-a)(x-3)$$

     Изобразим схематичное решение системы:

     Очевидно , чтобы выполнялось условие единственного решения при $$f(x) \leq 0$$ необходимо, чтобы $$g(x_{0})=0$$. Если $$g(x_{0})>0$$ - решений нет, если $$g(x_{0})<0$$ решением будет множество точек из $$[g_{0} ;x_{0}]$$. При этом $$f(x)=0$$ при $$x=0 ;3 ;a$$.

     Есть три варианта расположения а:

     1) $$a<0$$: тогда $$g(3)=0\Rightarrow$$ $$2a-2*3=0\Rightarrow$$ $$a=3$$ - не подходит

     2) $$0\leq a\leq 3$$ : $$g(3) =0\Rightarrow$$ $$a=3$$ - решение

     3) $$a>3 \Rightarrow$$ $$g(a)=0\Rightarrow$$ $$2a-2a=0$$ – верное числовое равенство $$\Rightarrow$$ $$a>3$$

     Тогда $$a \in [3; +\infty )$$

 

Задание 7369

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}a(x+2)+y=3a\\ a+2x^{3}=y^{3}+(a+2)x^{3}\end{matrix}\right.$$ имеет не более двух решений

Ответ: {$$\pm 1$$}; $$[-\frac{1}{2};0),(0;\frac{1}{2}]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7518

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}y^{2}-(x^{2}+\sqrt{2|x|-x^{2}}-4)y+(x^{2}-4)\sqrt{2|x|-x^{2}}=0\\y=2x+a\end{matrix}\right.$$ имеет ровно 3 решения.

Ответ: 0; $$\sqrt{5}-2$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7640

При каких значениях a система уравнений $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=4\\ a(x-|x|)=|x-y|+|x+y|\end{matrix}\right.$$ имеет бесконечное число решений?

Ответ: -1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7786

При каких значениях параметра a система уравнений $$\left\{\begin{matrix}ax^{2}+4ax-y+7a+1=0\\ay^{2}-x-2ay+4a-2=0\end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение?

Ответ: $$\pm \frac{1}{2\sqrt{3}};0$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8328

Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} x^{3}+7x^{2}+(13-4a)x+4a^{2}-2a+8=0\\ x^{3}+5x^{2}+(4a+13)x-4a^{2}-2a+8=0 \end{matrix}\right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: -1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Вычтем из первого второе: $$2x^{2}+x(13-4a-4a-13)+8a^{2}=0$$

$$2x^{2}-8ax+8a^{2}=0$$

$$x^{2}-4ax+4a^{2}=0$$

$$(x-2a)^{2}=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=2a$$

Подставим в первое: $$8a^{3}+28a^{2}+(13-4a)2a+4a^{2}-2a+8=0$$

$$8a^{3}+28a^{2}+26a-8a^{2}+4a^{2}-2a+8=0$$

$$8a^{3}+24a^{2}+24a+8=0$$

$$a^{3}+3a^{2}+3a+1=0$$

$$(a+1)^{3}=0$$ $$\Rightarrow$$ $$a=-1$$

 

Задание 8685

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}2axy-2x-2y-2y+3=0\\ x+2y+xy+1=0\end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение

Ответ: $$-0,5; 1; \frac{-7\pm 4\sqrt{2}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8745

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}\frac{(\sqrt{12-x^{2}}-y)((x+4)^2+(y+4)^2-8(x+4)+x^2-y^2-24)}{2-x^{2}}=0\\ y=1-2a\end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения.
Ответ: $$(-\frac{2\sqrt{3}-1}{2};-\frac{\sqrt{10}-1}{2})\cup$$$$(-\frac{-\sqrt{10}-1}{2};-1);-\frac{3}{4};\frac{1}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8764

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений $$\frac{(y-\sqrt{10-x^2})((x+5)^2+(y+5)^2-10(x+7,5)+x^2-y^2+5)}{y=ax+a-1}=0$$ имеет одно решение

Ответ: $$-\frac{\sqrt{10}+1}{9};\frac{\sqrt{10}-1}{9};[1,4;2)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9115

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}y=(a+2)x^{2}+2ax+a-2\\y^2=x^2\end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9233

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{\begin{matrix} (ay-ax+2)(y-x+3a)=0\\ |xy|=a \end{matrix}\right.$$

имеет ровно шесть решений.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9250

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{\begin{matrix} (ay-ax+2)(y-x+3a)=0\\ |xy|=a \end{matrix}\right.$$

имеет ровно восемь решений.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9347

Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} a=x^2+2x+5\\ a=(2x+8-2y)y-5 \end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение

Ответ: 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9367

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} (a+1)(x^2+y^2)+(a+1)x+(a+1)y+2=0\\ xy-1=x-y \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9637

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=a\\\sin(\pi x+\pi y)=0 \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: 0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9665

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{2}=a^{2}\\x^{2}+y=|a+1| \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: $$(-0,5;1-\sqrt{2})\cup(1+\sqrt{2};+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9685

Найдите значения а, при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} 6x^2-5xy+y^2+x-y-2=0\\ y=ax-5 \end{matrix}\right.$$ имеет ровно одно решение.

Ответ: $$\frac{2}{3};2;3$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9805

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} x^4+y^2=a^2-1\\x^2-y=|a-1| \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: $$(-\infty;-3)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9880

Найдите все значения параметра a, при которых система $$\left\{\begin{matrix} y-\ln(x-a)-a=x^2-4x+4\\ y=\frac{x+|x|\cdot\ln(ex-ea)}{|x|} \end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение.

Ответ: [-4;-2],[1;2)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9932

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} y=a(x-3)\\\frac{1}{\log_{x}2} +\frac{1}{\log_{y}2} =1 \end{matrix}\right.$$ не имеет решений

Ответ: {-1}; $$(-\frac{8}{9};0]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10057

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}\frac{x^2+y^2-2x+2y-6}{\sqrt{2-|y-x|}}=0\\ y-ax=3a-3\end{matrix}\right.$$ имеет ровно одно решение.

Ответ: $$(0;\frac{2}{3}]\cup (2);(\frac{2+\sqrt{6}}{2})$$
 

Задание 10177

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix} 2^{x}\cdot (y+1)(1-y\cdot 2^{x})=a^3\\(1+2^{x})(1-y\cdot 2^{x})=a \end{matrix}\right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$(\frac{-1-\sqrt{5}}{2};-1);0;(\frac{\sqrt{5}-1}{2};1)$$
 

Задание 10218

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств $$\left\{\begin{matrix} (a-x^{2})(a+x-2)<0\\x^{2}\leq 1 \end{matrix}\right.$$ не имеет решений

Ответ: $$(-\infty;0];[3;+\infty)$$
 

Задание 10560

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} a\left(x+2\right)+y=3a \\ a+2x^3=y^3+\left(a+2\right)x^3 \end{array} \right.$$

имеет не более двух решений.

Ответ: $$[-0,5;0),(0;0,5],{-1;1}$$
 

Задание 10580

Найдите все значения параметра $$p$$, при каждом из которых система неравенств

$$\left\{ \begin{array}{c} x^2+18px+77p^2\le 0 \\ {\left(x-324\right)}^2\ge {\left(29p\right)}^2 \end{array} \right.$$

имеет единственное решение.

Ответ: -9;0;18
 

Задание 10620

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$2^{\sqrt{x-0,5}}\cdot \left(\sqrt{a-8x^4}-2x^2\right)=0$$

имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее неравенству $$x(x-1)<0$$

Ответ: $$[\frac{3}{4};12)$$
 

Задание 10640

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+\left(2-5a\right)x+4a^2-2a\le 0 \\ x^2+a^2=4 \end{array} \right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$[-\sqrt{2};0]; [\frac{16}{17};\sqrt{2}]$$
 

Задание 10696

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{4-2x+y}=2 \\ a{\left(x^2+3y+1\right)}^2-\left(a+1\right)\left(x^2+3y+1\right)-2a-1=0 \end{array} \right.$$

имеет не более 3 решений.

Ответ: {$$-\frac{1}{3}$$};[$$-\frac{1}{10};0$$]
 

Задание 10825

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \left|y\right|+\left|2x-x^2\right|=4 \\ y^2+{\left(2x-x^2\right)}^2=a^2 \end{array} \right.$$ будет иметь ровно 8 решений.

Ответ: $$(-\sqrt{10};-2\sqrt{2});(2\sqrt{2};\sqrt{10})$$
 

Задание 10864

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} x^2-8x+y^2+4y+15=4\left|2x-y-10\right| \\ x+2y=a \end{array} \right.$$ имеет более двух решений.

Ответ: $$(-5\sqrt{5}];[5;5\sqrt{5})$$
Скрыть

$$\left\{ \begin{array}{c} x^2-8x+y^2+4y+15=4\left|2x-y-10\right|\ (1) \\ x+2y=a\ (2) \end{array} \right.$$

Уравнение (1) равносильно совокупности двух систем $$\left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} 2x-y-10\ge 0 \\ x^2-8x+y^2+4y+15=8x-4y-40 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} 2x-y-10<0 \\ x^2-8x+y^2+4y+15=-8x+4y+40 \end{array} \right. \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} y\le 2x-10 \\ x^2-16x+y^2+8y=-55 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right. \end{array} \right.\right.$$ $$\to \left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} y\le 2x-10 \\ x^2-16x+64+y^2+8y+16=-55+64+16 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right. \end{array} \right.\to$$ $$\to \left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} y\le 2x-10 \\ {\left(x-8\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=25 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right. \end{array} \right.$$

$${\left(x-8\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=25$$ - уравнение окружности с центром (8;-4), $$R_1=5$$, но строить эту окружность будем в области $$y\le 2x-10$$.

$$x^2+y^2=25$$ уравнение окружности с центром (0;0), $$R_2=5$$, но строить эту окружность будем в области $$y>2x-10$$.

(2) $$x+2y=a\to y=-\frac{1}{2}x+\frac{a}{2}$$ - обозначим $$\frac{a}{2}=b\to y=-\frac{1}{2}x+b$$ - это множество прямых, параллельных прямой $$y=-\frac{1}{2}x$$.

Заметим еще, что прямые $$y=2x-10$$ и $$y=-\frac{1}{2}x$$ перпендикулярны, т.к. $$2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1.$$

Найдем те значения b, при которых прямая $$y=-\frac{1}{2}x+b$$ проходит через точки: $$1) A\left(5;0\right)\to 0=-\frac{1}{2}\cdot 5+b,\ b=2,5$$ $$2) B\left(3;-4\right)\to -4=-\frac{1}{2}\cdot 3+b,\ b=-2,5$$ $$3) C(x_0;y_0)\to \left\{ \begin{array}{c} y_0=2x_0 \\ y_0=-0,5x_0+b,\ b=2,5x_0.\ \ CH\bot Ox.\ \ CH=y_0=2x_0,\ OH=x_0 \end{array} \right.$$

$$OC^2=OH^2+CH^2;25=x^2_0+4x^2_0,\ 5x^2_0=25,\ x_0=\pm \sqrt{5}$$

Для точки $$C(\sqrt{5};2\sqrt{5})\to b=2,5\sqrt{5}$$.

Для точки $$D\left(-\sqrt{5};-2\sqrt{5}\right)\to b=-2,5\sqrt{5}$$.

По условию должно быть более двух решений $$\left[ \begin{array}{c} -2\sqrt{5}<\frac{a}{2}\le -2,5\\2,5\le \frac{a}{2}<2\sqrt{5} \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} -5\sqrt{5}<a\le -5 \\ 5\le a<5\sqrt{5}\end{array}\right.\right.$$. 

 

Задание 10883

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} 2x-2y-2=\left|x^2+y^2-1\right| \\ y=a(x-1) \end{array} \right.$$ имеет более двух решений.

Ответ: $$a\in (1;2)$$
Скрыть

$$\left\{ \begin{array}{c} 2x-2y-2=\left|x^2+y^2-1\right| \\ y=a(x-1) \end{array} \right.;$$ $$\left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ 2x-2y-2=x^2+y^2-1 \\ y=a(x-1) \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2-1<0 \\ 2x-2y-2={-x}^2-y^2+1 \\ y=a(x-1) \end{array} \right. \end{array} \right.$$

Рассмотрим каждую систему в совокупности отдельно:

$$1) \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ x^2-2x+1+y^2+2y+1=1 \\ y=a(x-1) \end{array} \right.. $$

Выполним преобразования: $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1\ {\rm (1)} \\ y=a(x-1) \end{array} \right.$$

$$2) \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2-1<0 \\ x^2+2x+1+y^2-2y+1=5 \\ y=a(x-1) \end{array} \right..$$

Выполним преобразования: : $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5\ {\rm (2)} \\ y=a(x-1) \end{array} \right.$$

Геометрическое место точек, представляющих собой решения систем $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1 \end{array} \right.$$ и $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2-1<0 \\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5 \end{array} \right.$$ - это две дуги, которые имеют две общие точки $$A(1;0)$$ и $$B(0;1)$$ - место стыка графиков. Системы (1) и (2) будут иметь более двух решений, если графики параметрической прямой и дуг будут иметь более двух точек пересечения.

Параметрическая прямая, проходящая через точки $$A(1;0)$$ и $$B(0;1)$$, имеет с графиком дуг две общие точки. Мы это положение рассматриваем как пограничное. При этом параметр равен $$a=1$$. Данное значение параметра включать в ответ не стоит.

Чтобы найти второе пограничное положение графика параметрической прямой и значение параметра при этом рассмотрим касание графика прямой $$y=a(x-1)$$ и графика окружности $${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5$$. Нам известно из условия задачи расстояние от точки $$O_2(-1;1)$$ до параметрической прямой $$y=a(x-1)$$. $$d=\sqrt{5}$$. Воспользуемся этим фактом. (Расстояние от точки до прямой по формуле $$d=\frac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$)

Преобразуем уравнение прямой к виду $$Ax+By+C=0$$. $$y=ax-a\to ax-y-a=0$$. Расстояние от точки $$O_2(-1;1)$$ до касательной $$ax-y-a=0$$ равно $$d=\sqrt{5}$$. Следовательно $$\sqrt{5}=\frac{\left|-a-1-a\right|}{\sqrt{a^2+1}}$$.

Откуда $${\left(a-2\right)}^2=0.$$ Или $$a=2$$. 

 

Задание 10940

Найдите все значения $$а$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2} \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.$$ имеет ровно два различных решения.

Ответ: $$\to a\in [1^2;3^2)$$ или $$[1;9)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2} \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} a-y^2=a-x^2 \\ x^2\le a \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} y=x \\ y=-x \\ -\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a} \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} -\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a} \\ y=x \\ y=-x \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2 \end{array} \right..$$ $$y=x$$ и $$y=-x$$ - прямые - биссектрисы углов 1-4 четвертей. $${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2$$ - окружность с центром (1;2) и $$r=\sqrt{5}$$. При этом будет 3 точки пересечения (0;0); (-1;1) и (3;3). Чтобы было ровно 2 решения (-1;1) или (3;3) должны не удовлетворять условию $$-\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a}\to $$ При $$\sqrt{a}\ge 1$$ точка (-1;1) входит всегда, но пока $$\sqrt{a}<3$$, точка (3;3) не входит $$\to a\in [1^2;3^2)$$ или $$[1;9)$$.
 

Задание 11004

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} 2^{2-2y^2}+{\left(\left|x\right|-2\right)}^2=8 \\ 2^{1-y^2}+x=a \end{array} \right.$$ будет иметь ровно 1 решение.

Ответ: -2;2;6
 

Задание 11129

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+5x+y^2-y-\left|x-5y+5\right|=52 \\ y-2=a(x-5) \end{array} \right.$$ имеет ровно два решения.

Ответ: $$a\in [-\frac{7}{4};8]$$
Скрыть

Рассмотрим два случая:

$$1: \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5\ge 0 \\ x^2+5x+y^2-y-\left(x-5y+5\right)=52 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5\ge 0 \\ x^2+4x+y^2+4y=57 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5\ge 0 \\ {\left(x+2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=65 \end{array} \right.$$

Получили дугу окружности с центром $$A(-2;2)$$ радиуса $$\sqrt{65}.$$

$$2: \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5<0 \\ x^2+5x+y^2-y+\left(x-5y+5\right)=52 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5<0 \\ x^2+6x+y^2-6y=47 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5<0 \\ {\left(x+3\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=65 \end{array} \right.\ $$

Получили дугу окружности с центром $$A(-3;3)$$ радиуса $$\sqrt{65}.$$

Решив эти системы, получим точки пересечения окружностей $$C(5;2)$$ и $$D\left(-10;-1\right).$$

Второе уравнение исходной системы представляет собой пучок прямых, проходящих через точку $$C.$$

Решениями системы являются фиксированная точка $$C(5;2)$$ и подвижная точка E - пересечения совокупности дуг с прямой пучка. Необходимо два решения. Значит, прямая пучка не должна пересекать дуги в прямых точках, кроме $$C$$ и $$E$$.

Поскольку коэффициент прямой AC равен $$-\frac{1}{8},$$ то касательная, перпендикулярная АС в точке С имеет наклон 8. Поскольку коэффициент прямой ВС равен $$\frac{4}{7},$$ то касательная, перпендикулярная радиусу BC в точке С имеет наклон $$-\frac{7}{4}.$$ При изменении наклона прямой пучка в промежутке $$\left[-\frac{7}{4};8\right]$$ не будет появляться новых точек пересечения (кроме С и Е).

Ответ: $$a\in [-\frac{7}{4};8]$$

 

Задание 11424

Найдите все значения параметра а, при которых система $$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2xy+2y^{2}}=\sqrt{x^{2}-y^{2}}\\ \frac{x^{8}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\cdot(a-x)=1 \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: $$(\frac{5\sqrt[5]{4}}{4};\frac{5\sqrt[5]{2028}}{12})$$
 

Задание 11452

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+2y^{2}=|x|+|y|\\ \frac{y-3}{x-3}=a \end{matrix}\right.$$ будет иметь ровно 3 решения

Ответ: $$1; \frac{5}{6}; \frac{6}{5}; \frac{121\pm 4\sqrt{30}}{119}$$
 

Задание 11734

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} 3^{3}+3a=3x^{3}(x+3)+3x^{2}-3x^{3}+(a+3)(y+3+x)(y+3-x)\\3=y+\sqrt{3(1-3y-x)-3y+x(1-x)} \end{matrix}\right.$$ имеет ровно три решения.

Ответ: -4,5
 

Задание 11753

Найдите все значения параметра параметра а, при которых система уравнений: $$\left\{\begin{matrix} 5|x|+12|y-2|=60\\ y^{2}-a^{2}=4(y-1)-x^{2} \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: $$(-12;-5);4\frac{8}{13};(5;12)$$
 

Задание 12356

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} {\log}_7\left(36-y^2\right)={\log}_7(36-a^2x^2) \\ x^2+y^2=2x+6y \end{array} \right.$$ имеет ровно два различных решения.

Ответ: $$a\leq -3; a=-\frac{1}{3}; a=0; a=\frac{1}{3}; a\geq 3$$
 

Задание 12377

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} {\log}_{11}\left(a-y^2\right)={\log}_{11}(a-x^2) \\ x^2+y^2=2x+6y \end{array} \right.$$

имеет ровно два различных решения.

Ответ: $$4<a\leq 16$$
 

Задание 12437

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{(\sqrt{12-x^2}-y)({\left(x+4\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2-8\left(x+4\right)+x^2-y^2-24)}{2-x^2}=0 \\ y=1-2a \end{array} \right.$$ имеет ровно два решения

Ответ: $$(-\frac{2\sqrt{3}-1}{2}; -\frac{\sqrt{10}-1}{2})\cup (-\frac{\sqrt{10}-1}{2}; -1); -\frac{3}{4}; \frac{1}{2}$$
 

Задание 12456

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{(y-\sqrt{10-x^2})({\left(x+5\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2-10\left(x+7,5\right)+x^2-y^2+5)}{\sqrt{x^2-1}}=0 \\ y=ax+a-1 \end{array} \right.$$ имеет одно решение.

 

Ответ: $$-\frac{\sqrt{10}+1}{9}; \frac{\sqrt{10}-1}{9}; [1,4; 2)$$
 

Задание 12577

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} y=\left(a+2\right)x^2+2ax+a-2 \\ y^2=x^2 \end{array} \right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Ответ: $$-\frac{17}{4}<a<-2; -2<a<2; 2<a<\frac{17}{4}$$
 

Задание 12597

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \left(ay-ax+2\right)\left(y-x+3a\right)=0 \\ \left|xy\right|=a \end{array} \right.$$

Ответ: $$0<a<\frac{4}{9}, a>1$$
 

Задание 12617

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \left(ay-ax+2\right)\left(y-x+3a\right)=0 \\ \left|xy\right|=a \end{array} \right.$$ имеет ровно восемь решений.

Ответ: $$\frac{4}{9}<a<\sqrt{\frac{2}{3}}; \sqrt{\frac{2}{3}}<a<1$$

Задание 12637

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \left(a+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\left(a-1\right)x+\left(a+1\right)y+2=0 \\ xy-1=x-y \end{array} \right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Ответ: (-3; -1)
 

Задание 12676

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} x^4+y^2=a^2 \\ x^2+y=\left|a+1\right| \end{array} \right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: $$(-0,5; 1-\sqrt{2}); (1+\sqrt{2}; +\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12697

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} x^4+y^2=a^2-1 \\ x^2-y=\left|a-1\right| \end{array} \right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: $$(-\infty ; -3)$$
 

Задание 12879

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} a\left(x^2+y^2\right)-ax+\left(a-3\right)y+1=0 \\ xy-1=y-x \end{array} \right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Ответ: $$(-\infty ; 0);(16;+\infty )$$
 

Задание 12898

Найдите все значения а, при каждом из которых функция $$f\left(x\right)=x^2-3\left|x-a^2\right|-5x$$ имеет более двух точек экстремума.

Ответ: $$-2<a<-1; 1<a<2$$
 

Задание 13801

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} (x-a+3)^2+(y+a-2)^2=a+\frac{7}{2}\\ x-y=a-1 \end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение.

Ответ: 1;9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13906

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} (x-2a+2)^2+(y+a-2)^2=a+\frac{5}{2}\\x+y=1-a \end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение.

Ответ: $$-\frac{1}{2};2$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14224

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-4=2|x-2y|\\ x+y=a \end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения.

Ответ: $$(-3\sqrt{2}-1;-3\sqrt{2}+1);$$$$(-\frac{6\sqrt{5}}{5};\frac{6\sqrt{5}}{5});$$$$(3\sqrt{2}-1;3\sqrt{2}+1)$$
 

Задание 14272

Найти все $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix} y-ax=a+5,\\ xy^2-x^2y-2xy+4x-4y+8=0; \end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения.

 

Ответ: $${-25;\pm 1;0;1\pm \frac{4}{\sqrt5}}$$.
 

Задание 14279

Найдите все $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix} y^2-2x^2+xy+9x-9=0\\ ax^2+2ax-y-3+a=0 \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре различных решения

Ответ: $$(-\frac{1}{8};0);(0;\frac{2}{9});(\frac{2}{9};\frac{1}{4})$$
 

Задание 14322

При каких значениях параметра $$a$$ система уравнений $$\left\{\begin{matrix} 9y=(a-1)^2+9(x-a)^2,\\ y=log_2(1+\frac{|x|}{x}); \end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение?

Ответ: $$(-0,8;1]\cup \left \{ 4 \right \}$$.
 

Задание 14334

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix} x^2+xy-4x-2y+4=0,\\ ax^2-y=4; \end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения?

Ответ: $$-\frac{1}{24};0;1$$.
 

Задание 14339

Найдите все $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-2|x-y|=2\\ x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2 \end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения.

Ответ: $$\pm\sqrt{2+2\sqrt{2}};(-2;2)$$
 

Задание 14365

Найдите все значения параметра $$a$$ , при которых система неравенств $$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}+x-a\leq 0\\3x^2-2x+6a\leq 0 \end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение.

Ответ: $$-\frac{1}{12};0$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14384

Найдите все значения параметра $$a$$ , при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}x+3|y|+5=0\\(x-a)^{2}+y^{2}=4 \end{matrix}\right.$$ имеет четыре решения.

Ответ: $$(-5-2\sqrt{10};-7)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!