Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C4) Планиметрическая задача

Окружности и четырёхугольники

 

Задание 4190

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АO перпендикулярен радиусу ОВ, а радиус ОС перпендикулярен радиусу OD.

А) Докажите, что ВС|| AD
Б) Найдите площадь треугольника АОВ, если длина перпендикуляра, опущенного из точки С на AD, равна 9, а длина отрезка ВС в два раза меньше длины отрезка AD.
Ответ: 22,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1) $$\bigtriangleup ABO=\bigtriangleup OCD$$ оба прямоугольные и равнобедренные $$\Rightarrow$$ $$\angle OAB=\angle OBA=$$ $$\angle ODC=\angle OCD=45^{\circ}$$

2) Пусть $$\angle ODA=\angle OAD=\alpha$$, $$\angle OBC=\angle OCB=\beta$$, тогда по свойству вписанного четырехугольника: $$\angle ADC+\angle ABC=180^{\circ}$$; $$\angle\alpha\neq45^{\circ}+\angle\beta+45=180^{\circ}$$; $$\angle\alpha+\angle\beta=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle\beta=90-\angle\alpha(1)$$

3) $$\angle ADC+\angle BCD=\angle\alpha+45+45+\angle\beta=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$  $$AD\parallel BC$$ (сумма односторонних $$180^{\circ}$$)

б) 1) $$BC=\frac{1}{2}AD$$; $$CH=9$$ Построим $$MN\parallel CH$$, пусть $$MO=x$$ $$\Rightarrow$$ $$ON=9-x$$

2) $$\bigtriangleup ANO$$ - прямоугольный, $$\angle OAN=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle AON=90-\alpha=\beta$$; $$\bigtriangleup BOM$$ - прямоугольный, $$\angle OBM=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BOM=90-\beta=\alpha$$; $$OB=OA$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ANO=\bigtriangleup BOM$$; $$ON=BM$$; $$AN=OM$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{AOD}=S_{BOC}$$  $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}BC\cdot OM=\frac{1}{2}AD\cdot ON$$ $$\Rightarrow$$ $$BC\cdot x=2BC(9-x)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=18-2x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=6$$

3) $$OM=6$$; $$ON=3$$ $$\Rightarrow$$ $$AN=6$$ и из $$\bigtriangleup AON$$: $$AO=\sqrt{AN^{2}+ON^{2}}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}$$

4) $$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot OB=$$ $$\frac{1}{2}\cdot\sqrt{45}\cdot\sqrt{45}=22,5$$ 

Задание 4748

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые AB и DC пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что ∠AMD = α и радиусы окружностей, вписанных в треугольники BCM и AMD равны соответственно r и R.

Ответ:

Задание 4749

Окружность S радиуса 24 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 36 и 64. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S.

Ответ:

Задание 4750

Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Ответ:

Задание 4751

В треугольнике ABC AB = 13, BC = 10, CA = 7. Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 1 : 4. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Ответ:

Задание 4752

Площадь трапеции ABCD равна 72, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.

Ответ:

Задание 4753

Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 12 и BC = 5. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 8. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.

Ответ:

Задание 4754

В параллелограмме ABCD известны стороны AB = a, BC = b и ∠BAD = α. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.

Ответ:

Задание 4755

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке С. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, вершинами которого являются точки O1, O2, B и C, если ∠ABO1 = 15°.

Ответ:

Задание 4756

В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

Ответ:

Задание 4757

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВМС.

Ответ:

Задание 4758

Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, проходящая через вершину М, касается окружности с центром К радиуса 4 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.

Ответ:

Задание 4759

Дан ромб ABCD с диагоналями AC = 24 и BD = 10. Проведена окружность радиуса $$\frac{5\sqrt{2}}{2}$$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину B касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке M. Найдите CM.

Ответ:

Задание 4760

Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN.
а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
б) Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN = 3, а ∠LMN = 120°.

Ответ:

Задание 4761

Окружность, проходящая через вершины A, C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC. Известно, что AD = CD.
а) Докажите, что CP — биссектриса угла ACB.
б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?

Ответ:

Задание 4762

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основании AD в точке P. Докажите, что $$\frac{AP}{PD}=\sin D$$
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

Ответ:

Задание 4763

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекается в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что AB : BC = AP : PD
б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а $$BC = 6\sqrt{2}$$

Ответ:
 

Задание 4963

Дан прямоугольник ABCD. Окружность с центром в точке В и радиусом АВ  пересекает продолжение стороны АВ в точке М. Прямая МС пересекает прямую AD в  точке К, а окружность во второй раз в точке F.  

А) Докажите, что DK=DF  
Б) Найдите КС, если BF=20, DF=21  
Ответ: 29
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
А) 1)Треугольник MBC подобен треугольника AMK ( прямоугольные, общий острый угол). Аналогично трегольник CDK подобен AMK, тогда и  MBC подобен CDK. При этом MB = AB (радиусы)  и AB = CD (стороны прямоугольника), тогда MB = KD и треугольники MBC и CDK равны, тогда $$DK=BC=AD$$; 
2) Проведем BF, он будет перпендикулярен DF (радиус в точку касания), тогда из прямоугольных треугольников DBF и ABD: $$BD^{2}=BA^{2}+AD^{2}$$ и $$BD^{2}=BF^{2}+FD^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=DF$$ $$\Rightarrow$$ $$DF=DK$$
Б) $$BF=20=AB$$; $$DF=21=AD$$; $$BD=\sqrt{20^{2}+21^{2}}=29$$

Задание 5339

В трапецию ABCD c основаниями ВС и AD вписана окружность с центром О, СН – высота трапеции, Е – точка пересечения диагоналей.

А) Докажите, что $$\angle OHC = \frac{1}{2} \angle ADC$$
Б) Найдите площадь четырехугольника СЕОН, если известно, что .$$\angle BAD =90^{\circ} , BC = 9 , AD = 18$$
Ответ: 21
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1)Пусть $$\angle ADC = \alpha$$, тогда $$\angle DCB = 180 - \alpha$$ (по свойству трапеции). Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, тогда OC - биссектриса, следовательно, $$\angle OCD = 0,5 \angle DCB = 90-\frac{1}{2}\alpha$$

2) $$\angle DCH = 90 - \alpha$$ (из прямоугольного треугольника CHD). Тогда $$\angle OCH = \angle OCD - \angle DCH = \frac{\alpha}{2}$$

3)Проведем перпендикуляр OM на отрезок CH. O - центр окружности, следовательно M - центр CH, тогда треугольники OMC и OMH равны по двум катетам, тогда $$\angle OHC= \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}ADC$$

б)1) BC + AD = AB + CD = 27 ( по свойству вписанного четырехугольника ). CH = AB ; пусть AB = x, то CH = x , и CD = 27 - x ; AH = BC, тогда HD = 18 - 9 = 9. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника CHD: $$(27-x)^{2}=x^{2}+9^{2} \Leftrightarrow$$$$x=12$$. Значит AB=12 и радиус окружности составляет 6.

2)Пусть через E проходит перпендикуляр NQ. Докажем, что он пройдет и через O. Треугольники BCE и AED подобны, тогда $$\frac{NE}{EQ}=\frac{BC}{AD}$$. Но и треугольники BNE и EQD подобны, тогда $$\frac{NE}{EQ}=\frac{BN}{QD}$$. Тогда $$\frac{BC}{AD}=\frac{BN}{QD}$$. Пусть BN=y, тогда QD=18-y. Получаем $$\frac{9}{18}=\frac{y}{18-y}$$. Тогда y=6=BN. Но радиус так же равен 6, тогда E и O лежат на одной прямой, параллельной CH.

3)Из пункта два (подобие треугольников) $$\frac{NE}{EQ}=\frac{BC}{AD}$$, пусть NE=z, тогда EQ=12-z. $$\frac{z}{12-z}=\frac{9}{18}$$. Тогда z=4=NE, следовательно, EQ=8. Тогда $$EO=EQ-QO=8-6=2$$. $$QH=AH-AQ=9-6=3$$.

4)$$S_{CEOH}=\frac{EO+CH}{2}*QH=\frac{2+12}{2}*3=21$$

 

Задание 5387

Дан выпуклый четырехугольник ABCD с прямым углом А. Окружность, проходящая через вершины А, В и D пересекает стороны ВС и CD в точках M и N соответственно. Прямые BN и DM пересекаются в точке Р, а прямая СР пересекает сторону AD в точке К.
А) Докажите, что точки А, М, Р и К лежат на одной окружности.
Б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что прямая СK параллельна прямой АМ и АВ=АК=KD= $$4\sqrt{5}$$
Ответ: $$\sqrt{65}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1) Рассмотрим треугольник  ABD: по условию $$\angle A = 90^{\circ}$$ -  тогда BD - диаметр. Тогда $$\angle BMD = \angle BND = 90^{\circ}$$ ( опираются на диаметр ). Следовательно, DM и BN - высоты треугольника BCD, тогда CZ - высота.

2) Пусть $$\angle MDB = \alpha$$, тогда $$\angle DPZ = 90 - \alpha$$ (из треугольника DPZ ) и $$\angle MPZ = 90 + \alpha$$ (как смежный). $$\angle MAB = \alpha$$ (как вписанный, опирающийся на ту же дугу, что и $$\angle MDB$$) , тогда $$\angle MPZ = 90 - \alpha$$. Но в таком случае $$\angle MPZ+\angle MPZ=180$$, следовательно, вокруг AMPZ можно описать окружность

б) 1)Из треугольника ABD: $$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=20$$, тогда BO=OD=OM=OA=10 (как радиусы)

2)Радиус окружности, описанной около AMPK и AMK - одинаковый. Пусть R - радиус окружности, описанной около AMK: $$R=\frac{MK}{2\sin MAK}$$.

3)PK параллельна AM, тогда AMPK - трапеция. $$\angle MAK + \angle AKP = 180$$ по свойству трапеции, но и $$\angle AMP + \angle AKP = 180$$ (так как вписан в окружность), тогда $$\angle MAK =\angle AMP$$, значит трапеция равнобедренная, и AK=MP, треугольники PDK и MDA подобны, причем коэффициент подобия составляет 1/2, следовательно, KD=PD, тогда $$AD=MD=8\sqrt{5}$$

4)Пусть MA=x ; $$\angle MDA= \alpha$$, тогда $$\angle MOA = 2\alpha$$. Распишем теорему косинусов для треугольников AMO и AMD:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}=10^{2}+10^{2}-2*10*10\cos 2\alpha\\ x^{2}=(8\sqrt{5})^{2}+(8\sqrt{5}^{2})-2*(8\sqrt{5})*(8\sqrt{5})\cos \alpha\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x^{2}=200-200\cos 2\alpha\\ x^{2}=640-640\cos \alpha\end{matrix}\right.$$

Тогда $$200-200\cos 2\alpha=640-640\cos \alpha \Leftrightarrow$$$$-20\cos 2\alpha +640\cos \alpha -440=0 \Leftrightarrow$$$$5\cos 2\alpha -16\cos \alpha +11=0 \Leftrightarrow$$$$5(2\cos^{2} \alpha -1) -16\cos \alpha +11=0 \Leftrightarrow$$$$5\cos^{2} \alpha -8\cos \alpha +3 =0$$. Тогда $$\cos \alpha = 1 ; \frac{6}{10}$$.

Одному равен косинус быть не может, так как уголь тогда равен 0. Следовательно, $$\cos \alpha = \frac{6}{10}$$, тогда $$AM=x=\sqrt{640-640* \frac{6}{10}}=16$$

5)Из треугольника MAK: $$\cos MAK = \frac{16^{2}+(8\sqrt{5})^{2}-(8\sqrt{5})^{2})}{2*16*8\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$. Тогда $$\sin MAK = \frac{2}{\sqrt{5}}$$ по основному тригонометрическому тождеству.

6)Из треугольника MAK: $$MK=\sqrt{16^{2}+(4\sqrt{5})^{2}-2*16*4\sqrt{5}*\frac{1}{\sqrt{5}}}=\sqrt{208}$$

7)$$R=\frac{MK}{2\sin MAK}=$$$$\frac{\sqrt{208}}{2*\frac{2}{\sqrt{5}}}=\sqrt{65}$$

 

Задание 6701

Четырехугольник, один из углов которого равен $$arccos(\frac{3}{5})$$ , вписан в окружность радиуса $$2\sqrt{10}$$ и описан около окружности радиуса 3.

А) Найдите площадь четырехугольника
Б) Найдите угол между диагоналями четырехугольника
Ответ: А) $$\frac{93}{2}$$ Б)$$\arcsin \frac{31}{32}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) O- центр вписанной окружности . Пусть $$\angle BAD =2\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BCD=180-2\alpha$$ (свойство вписанного четырехугольника); $$\angle CDA=2\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CBA=180-2\beta$$

     2) $$AA_{1}=AD_{1}$$(свойство касательных ); $$OA_{1}\perp AB$$ ; $$OD_{1}\perp AD$$; $$OA$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$\Delta A_{1}OA=\Delta OAD_{1}\Rightarrow$$ $$A_{1}AO=\angle OAD_{1}=\alpha$$

     3) $$\angle B_{1}OC_{1}=180-\angle BCD=2\alpha$$$$\Rightarrow$$ $$\angle B_{1}OC=\angle COC_{1}=\alpha$$. Аналогично, $$\angle ODD_{1}=\angle ODC_{1}=\angle A_{1}OB=\angle BOB_{1}=\beta$$

     4) Пусть $$\angle A=\arccos \frac{3}{5}\Rightarrow$$ $$\cos 2\alpha =\frac{3}{5}\Rightarrow$$ $$2\cos ^{2}\alpha -1=\frac{3}{5}\Rightarrow$$ $$2\cos ^{2}\alpha=\frac{8}{5}\Rightarrow$$ $$\cos ^{2}\alpha =\frac{4}{5}\Rightarrow$$ $$\sin^{2}\alpha =\frac{1}{5}$$,$$tg^{2}\alpha =\frac{1}{4}$$, $$ctg^{2}\alpha =4$$ т.к. $$\angle \alpha$$ - острый , то $$tg\alpha =\frac{1}{2}$$, $$ctg \alpha =2$$

     5) $$S_{BA_{1}D}=\frac{1}{2}BA_{1}*A_{1}O$$; $$BA_{1}=\frac{1}{2}A_{1}O *tg\beta \Rightarrow$$ $$S_{BA_{1}O}=\frac{1}{2}*3*3*tg\beta \Rightarrow$$ $$S_{A_{1}OB_{1}B}=9tg\beta$$. Аналогично : $$S_{B_{1}OC_{1}C}=9tg\alpha$$; $$S_{A_{1}OD_{1}A}=2*\frac{1}{2}*AA_{1}*A_{1}O, A_{1}A=A_{1}O *ctg \alpha \Rightarrow$$ $$S_{A_{1}OD_{1}A}=9ctg \alpha$$ ; $$S_{DC_{1}OD_{1}}=9ctg \beta$$

$$S_{ABCD}=9(tg\alpha +tg \beta +ctg \alpha +ctg \beta )(1)$$

Пусть $$tg\beta =a; ctg\beta =b$$

     6) $$AB=AA_{1}+A_{1}B=3 ctg \alpha +3 tg\beta =6+3a$$; $$AD=AD_{1}+D_{1}D=3ctg \alpha +3ctg \beta =6+3b$$

По т. Синусов из $$\Delta BAD$$ : $$BD^{2}=(3(a+2))^{2}+(3(b+2))^{2}-2*3(a+2)*3(b+2)*\cos 2\alpha =$$$$9((a+2)^{2}+(b+2)^{2}-2(a+2)(b+2)*\cos 2\alpha) =$$$$9(a^{2}+b^{2}+4(a+b)+8-\frac{6}{5}(4+2(a+b)+ab))$$

Т.к. $$ab=tg\beta *ctg \beta =1$$, то $$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a+b)^{2}-2$$ . Пусть $$a+b=x$$, то: $$BD^{2}=9(x^{2}-2+4x+8-\frac{6}{5}(5+2x))=(x^{2}+\frac{8}{5}x)*9(2)$$

С другой стороны , около $$\Delta ABD$$ описана окружность радиуса $$2\sqrt{10}$$, тогда: $$\frac{BD}{\sin 2\alpha }=4\sqrt{10}\Rightarrow$$ $$BD^{2}=16*10*\sin ^{2}2\alpha =160*\frac{16}{25}(3)$$

Из (2) и (3): $$9(x^{2}+\frac{8}{5}x)=160*\frac{16}{25}\Leftrightarrow$$ $$5*9x^{2}+72x=512\Leftrightarrow$$ $$45x^{2}+72x-512=0$$

$$D=5184+92160=97344=312^{2}$$

$$x_{1}=\frac{-72+312}{90}=\frac{240}{90}=\frac{8}{3}$$

$$x_{2}=\frac{-72-312}{90}=-\frac{64}{15}$$ ($$tg\beta +ctg\beta >0$$)

     $$S=9(\frac{1}{2}+2+\frac{8}{3})=\frac{31}{6}*9=\frac{93}{2}$$

   Б ) Пусть $$\varphi$$ - угол между BD и AC , тогда: $$S=\frac{1}{2} BD*AC* \sin \varphi \Rightarrow$$ $$\sin \varphi =\frac{2S}{BD*AC}$$

     1) $$BD=\sqrt{9*(\frac{64}{9}+\frac{8}{5}*\frac{8}{3})}=$$$$\sqrt{\frac{512}{5}}=16\sqrt{\frac{2}{5}}$$

     2) $$tg \beta +ctg\beta =\frac{8}{3}\Rightarrow$$ $$\frac{\sin \beta }{\cos \beta }+\frac{\cos \beta }{\sin \beta }$$$$=\frac{8}{3}\Rightarrow$$$$\frac{1}{\frac{1}{2}\sin 2\beta }=\frac{8}{3}\Rightarrow$$ $$\frac{2}{\sin 2\beta }=\frac{8}{3}\Rightarrow$$ $$\sin 2\beta =\frac{3}{4}$$

      3) Из $$\Delta ACD$$: $$\frac{AC}{\sin 2\beta }=4\sqrt{10}\Rightarrow$$$$AC=4\sqrt{10}*\frac{3}{4}=3\sqrt{10}$$; $$\sin \varphi =\frac{2*\frac{93}{2}}{\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{5}} * 3\sqrt{10}}=$$$$\frac{93}{16*3*2}=\frac{93}{96}\Rightarrow$$ $$\angle \varphi=\arcsin \frac{31}{32}$$

 

Задание 7367

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и AC равны соответственно 10, 8 и 6.

А) Докажите, что ABCD – прямоугольник
Б) Найдите площадь параллелограмма ABCD
Ответ: 672
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7638

Дана трапеция ABCD с основаниями BC = 6, AD = 18, сторона AB =10. Продолжения боковых сторон пересекаются в точке К, образуя прямой угол AKD. Окружность $$\omega$$ проходит через точки А и В и касается стороны CD в точке Р.

А) Найдите площадь трапеции.
Б) Найдите радиус окружности $$\omega$$.
Ответ: а) $$20\sqrt{11}$$; б) 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7733

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и ВС пересекаются в точке М. Окружность, описанная около треугольника CDM, пересекает отрезок AD в точке N и касается прямой BN.

А) Докажите, что треугольники BNC и CDN подобны
Б) Найдите AD, если CD=24, $$\angle BCD=\angle DMA$$ , а радиус окружности равен 13.
Ответ: $$\frac{480}{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7877

В четырехугольнике АВСD через каждую его вершину проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части.

   а) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством.
   б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен 1080?
Ответ: 72; 72; 108; 108 или 84; 84; 84; 108 градусов
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8289

Окружность с центром О касается диагонали АС и сторон АВ и ВС параллелограмма ABCD. Расстояния от точки О до прямых AD и AC равны 8 и 6 соответственно, ОА=10.

а) Докажите, что треугольник АВС ‐ прямоугольный
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD
Ответ: 672
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8743

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M, а также пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.

а) Докажите, что AM=AN.
б) Найдите отношение CD:DN, если AB:BC=1:3, а $$\cos \angle BAD=0,4$$
Ответ: 10:11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решение прислано подписчиком.

  1. Пункт А: ABMD р/б трапеция (т.к. точки A, B, M и D лежат на окружности, и BM||AD) Диагонали р/б трапеции равны => AM=BD
  2. Рассмотрим  4х-угольник ABDN. A, B, D и N лежат на окружности, и AB||ND (по условию, т.к. N лежит на продолжении CD) => ABDN - р/б трапеция => AN=BD
  3. Из 1) и 2) => AN=AM ч.т.д.
 

Задание 8762

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M, а также пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.

а) Докажите, что AM = AN.
б) Найдите отношение CD:DN, если AB:BC=2:3, а $$\cos BAD=0,7$$.
Ответ: 10:11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8895

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=27. Известно, что AB=BC=CD=36.

а) Докажите, что прямые BC и AD  параллельны.

б) Найдите AD.

Ответ: 44
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8915

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=12. AB=BC=CD= 18.

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9345

Окружности, построенные на сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD, как на диаметрах, касаются в точке М.

а) Докажите, что ABCD ‐ ромб
б) Пусть Р и Q – точки пересечения продолжений диагоналей параллелограмма за точки А и D с общей касательной к окружностям. Найдите площадь треугольника PQC, если радиусы окружностей равны 2, а синус угла BAD равен 2/3 .
Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9385

Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции АВСD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках К и L так, что АК=13, КL=6, LВ=1.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9490

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CB - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность - в точке F, причём H - середина AE.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE - параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB=5 и AH=4.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9530

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H - середина AE.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE - параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ=6 и АН=$$2\sqrt{5}$$.
Ответ: $$48+18\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9635

Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 5.

а) Найдите сторону ромба
б) Найдите часть площади ромба, находящуюся внутри треугольника.
Ответ: а) $$\frac{25}{12}$$; б) $$\frac{15}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9663

Окружность с центром O1 касается оснований ВС и АD, а также боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром О2 касается сторон ВС, СD и АD. Известно, что АВ=9, ВС=8, СD=4, АD=15.

а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите O1O2
Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9803

Окружность с центром О1 касается оснований ВС и АD, а также боковой стороны АВ трапеции АВСD. Окружность с центром О2 касается сторон ВС, СD и АD. Известно, что АВ=15, ВС=32, СD=14, АD=11.

а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.
б) Найдите О1О2.
Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9930

Окружность с центром на диагонали АС трапеции ABCD (BC||AD) проходит через вершины А и В, касается стороны CD в точке С и пересекает основание AD в точке Е так, что CD=$$6\sqrt{13}$$, AE=8.

а) Найдите площадь трапеции ABCD
б) Прямые CD и ВЕ пересекаются в точке Q. Найдите BQ.
Ответ: а) 204; б) $$\frac{16\sqrt{13}}{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10117

В трапеции ABCD основания AD=39, BC=26. Длины боковых сторон AB=5, CD=12. Окружность проходит через точки А и В и касается прямой CD.

а) Докажите, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом.
б) Найдите радиус окружности.
Ответ: 12,5
 

Задание 10175

Окружность проходит через вершины C и D трапеции ABCD, касается боковой стороны AB в точке B и пересекает большее основание AD в точке K. Известно, что AB=$$5\sqrt{3}$$, $$BC=5$$, $$KD=10$$

а) Докажите, что $$BD=\sqrt{AD\cdot BC}$$
б) Найти радиус окружности.
Ответ: 5
 

Задание 10530

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 57°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.
Ответ: 78
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11277

В окружность, радиус которой равен $$2\sqrt{7}$$, вписана трапеция ABCD, причем ее основание AD – диаметр окружности, а $$\angle BAD = 60^{\circ}$$. Хорда СЕ пересекает диаметр AD в точке Р такой, что AP : PD = 1 : 3.

а) Докажите, что Р – cередина отрезка АО.
б) Найдите площадь треугольника BPE.
Ответ: $$3\sqrt{3}$$
 

Задание 12354

Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
Ответ: 1
 

Задание 12435

Окружность проходит через вершины А, В и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону ВС в точках В и М, а также пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.

а) Докажите, что $$AM=AN$$.
б) Найдите отношение $$CD\ :\ DN$$, если $$AB\ :\ BC\ =\ 1:3$$, a $$cos\angle BAD\ =\ 0,4.$$
Ответ: 5:7
 

Задание 12454

Окружность проходит через вершины А, В и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону ВС в точках В и М, а также пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.

а) Докажите, что $$AM\ =AN.$$
б) Найдите отношение $$CD\ :\ DN,$$ если $$AB\ :\ BC\ =\ 2:3$$, a $$\cos\angle BAD\ =\ 0,7.$$
Ответ: 10:11
 

Задание 12515

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=27. Известно, что $$AB\ =\ BC\ =\ CD\ =\ 36.$$

а) Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Ответ: 44
 

Задание 12534

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса $$R\ =12.$$ Известно, что $$AB\ =\ BC\ =\ CD\ =\ 18.$$

а) Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Ответ: 13,5

Задание 12635

Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках К и L так, что $$AK\ =\ 19,\ KL\ =\ 12,\ LB\ =\ 3.$$

Ответ: 30
 

Задание 12655

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность - в точке F, причём Н - середина АЕ.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE - параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что $$AB\ =\ 6$$ и $$AH=2\sqrt{5}$$

Ответ: $$42+18\sqrt{5}$$
 

Задание 12674

Окружность с центром $$O_1$$ касается оснований ВС и AD, а также боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром $$O_2$$ касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что $$AB\ =\ 9,\ BC\ =\ 8,\ CD\ =\ 4,\ AD\ =\ 15.$$

а) Докажите, что прямая $$O_1O_2\ $$параллельна основаниям трапеции ABCD.

б) Найдите $$O_1O_2$$.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12695

Окружность с центром $$O_1$$ касается оснований ВС и AD, а также боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром $$O_2$$ касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что $$AB\ =15,\ BC\ =\ 32,\ CD=\ 14,\ AD\ =11.$$

а) Докажите, что прямая $$O_1O_2$$ параллельна основаниям трапеции ABCD.

б) Найдите $$O_1O_2$$.

Ответ: 7
 

Задание 12877

Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках К и L так, что $$AK\ =\ 13,\ KL\ =\ 6,\ LB\ =\ 1.$$

 

Ответ: 16
 

Задание 12896

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность - в точке F, причём Н - середина АЕ.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE - параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что $$AB\ =\ 5$$ и $$AH\ =\ 4.$$

Ответ: 67,5
 

Задание 13695

Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

а) Докажите, что $$\angle AOB=\angle COD=90^{\circ}$$.

б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ=CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания 12 окружности со сторонами трапеции составляет $$\frac{12}{49}$$ площади трапеции ABCD.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13778

Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

а) Докажите, что треугольник АОВ прямоугольный.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ=CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания 16 окружности со сторонами трапеции составляет $$\frac{16}{81}$$ площади трапеции ABCD.
Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14243

Окружность, вписанная в трапецию $$ABCD$$, касается боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$K$$ и $$M$$.

А) Докажите, что сумма квадратов расстояний от центра окружности до вершин трапеции равна сумме квадратов длин боковых сторон трапеции.
Б) Найдите площадь трапеции $$ABCD$$, если известно, что $$AK=9$$, $$BK=4$$, $$CM=1$$.
Ответ: 300
 

Задание 14270

В параллелограмме $$ABCD$$ диагональ $$BD$$ равна стороне $$AD$$.

а) Докажите, что прямая $$CD$$ касается окружности ω, описанной около треугольника $$ABD$$.
б) Пусть прямая $$CB$$ вторично пересекает ω в точке $$K$$. Найдите $$KD:AC$$ при условии, что угол $$BDA$$ равен $$120^{\circ}$$.
Ответ: $$\sqrt3:\sqrt7$$.
 

Задание 14303

Дана трапеция $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$. Окружности, построенные на боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках $$P$$ и $$K$$.

а) Докажите, что прямые $$PK$$ и $$BC$$ перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка $$PK$$, если известно, что $$AD=20$$, $$BC=6$$, $$AB=16$$, $$DC=14$$.
Ответ: $$\frac{56\sqrt3}{13}$$.