ЕГЭ Профиль
Задание 4190
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АO перпендикулярен радиусу ОВ, а радиус ОС перпендикулярен радиусу OD.
а) 1) $$\bigtriangleup ABO=\bigtriangleup OCD$$ оба прямоугольные и равнобедренные $$\Rightarrow$$ $$\angle OAB=\angle OBA=$$ $$\angle ODC=\angle OCD=45^{\circ}$$
2) Пусть $$\angle ODA=\angle OAD=\alpha$$, $$\angle OBC=\angle OCB=\beta$$, тогда по свойству вписанного четырехугольника: $$\angle ADC+\angle ABC=180^{\circ}$$; $$\angle\alpha\neq45^{\circ}+\angle\beta+45=180^{\circ}$$; $$\angle\alpha+\angle\beta=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle\beta=90-\angle\alpha(1)$$
3) $$\angle ADC+\angle BCD=\angle\alpha+45+45+\angle\beta=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$AD\parallel BC$$ (сумма односторонних $$180^{\circ}$$)
б) 1) $$BC=\frac{1}{2}AD$$; $$CH=9$$ Построим $$MN\parallel CH$$, пусть $$MO=x$$ $$\Rightarrow$$ $$ON=9-x$$
2) $$\bigtriangleup ANO$$ - прямоугольный, $$\angle OAN=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle AON=90-\alpha=\beta$$; $$\bigtriangleup BOM$$ - прямоугольный, $$\angle OBM=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BOM=90-\beta=\alpha$$; $$OB=OA$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ANO=\bigtriangleup BOM$$; $$ON=BM$$; $$AN=OM$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{AOD}=S_{BOC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}BC\cdot OM=\frac{1}{2}AD\cdot ON$$ $$\Rightarrow$$ $$BC\cdot x=2BC(9-x)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=18-2x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=6$$
3) $$OM=6$$; $$ON=3$$ $$\Rightarrow$$ $$AN=6$$ и из $$\bigtriangleup AON$$: $$AO=\sqrt{AN^{2}+ON^{2}}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}$$
4) $$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot OB=$$ $$\frac{1}{2}\cdot\sqrt{45}\cdot\sqrt{45}=22,5$$
Задание 4752
Площадь трапеции ABCD равна 72, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.
Задание 4755
Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке С. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, вершинами которого являются точки O1, O2, B и C, если ∠ABO1 = 15°.
Задание 4761
Окружность, проходящая через вершины A, C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC. Известно, что AD = CD.
а) Докажите, что CP — биссектриса угла ACB.
б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?