Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / (C4) Планиметрическая задача

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10530

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 57°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.
Ответ: 78
Аналоги к этому заданию:

Задание 10510

Точка I ‐ центр окружности, вписанной в треугольник ABC . Луч BI пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке N . Известно, что $$\angle ABC=60^{\circ}$$ 

а) Докажите, что N ‐ центр окружности, описанной около треугольника ABC N AIC
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если известно, что IN=1.
Ответ: 1
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10499

В треугольнике АВС точка О – центр описанной окружности. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D, а описанную вокруг треугольника АВС окружность – в точке Т.

а) Докажите, что АС – биссектриса угла ТСВ
б) Найдите CD, если АВ=84, АС=98.
Ответ: 26
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10443

На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая MQ пересекает гипотенузу KL в точке N.

а) Докажите, что KN:NL=1:2
б) Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно MQ, пересекает отрезок LP в точке R. Найдите LR, ели KQ=9.
Ответ: Б) 2
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10393

В остроугольном треугольнике АВС проведены биссектриса AD и медиана ВЕ. Точки M и N являются ортогональными проекциями на сторону АВ точек D и Е соответственно, причем $$\frac{AM}{MB}=\frac{9}{1}$$, $$\frac{AN}{NB}=\frac{2}{3}$$ .

а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный
б) Найдите отношение $$\frac{AD^{2}}{BE^{2}}$$ .
Ответ: 2
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10289

В трапеции ABCD (AD – нижнее основание) площади треугольников ABD и BDC равны соответственно 12 и 4, а точка G является серединой BD. Ниже прямой AD выбрана точка Е, АЕ=BD, а на отрезке ЕС выбрана точка F такая, что CF в 4 раза короче СЕ.

А) Докажите, что $$\angle BFG=90^{\circ}$$ 
Б) Найдите длину отрезка BD, если дополнительно известно, что $$\angle CFG=75^{\circ}, \angle BGC=15^{\circ}, $$
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10263

В треугольнике АВС $$\angle B=70^{\circ}$$, $$\angle C=25^{\circ}$$, BD - диаметр описанной около треугольника АВС окружности. Продолжение высоты ВН пересекает окружность в точке L.

а) Докажите, что $$\angle ACD$$=$$\angle CAL$$ 
б) Найдите длину отрезка DL , если радиус описанной окружности равен $$4\sqrt{3}$$
Ответ: 12
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10216

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон ВА и ВС в точках Е и F.

а) Докажите что центр окружности, вписанной в треугольник ВЕF, лежит на окружности, вписанной в треугольник АВС.
б) Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если ВЕ=13, EF=10.
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10195

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность единичного радиуса. Известно, что $$AB=\sqrt{2}$$, $$\angle ABE=\frac{\pi}{4}$$, $$\angle EBD=\frac{\pi}{6}$$; BC=CD

а) Докажите, что центр окружности лежит на одной из диагоналей пятиугольника
б) Найдите площадь пятиугольника
Ответ: $$\frac{4+3\sqrt{3}}{4}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10175

Окружность проходит через вершины C и D трапеции ABCD, касается боковой стороны AB в точке B и пересекает большее основание AD в точке K. Известно, что AB=$$5\sqrt{3}$$, $$BC=5$$, $$KD=10$$

а) Докажите, что $$BD=\sqrt{AD\cdot BC}$$
б) Найти радиус окружности.
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10170

Биссектриса острого угла А трапеции ABCD пересекает боковую сторону CD в точке Т, а продолжение основания ВС трапеции в точке К так, что ABKD – параллелограмм и TD:TC=4:1

а) Докажите, что АК$$\perp$$BD
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если ее сторона AB=8 и $$\angle B=120^{\circ}$$
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10136

На основании АС равнобедренного треугольника АВС расположена точка D так, что AD=2, CD=1. Окружности, вписанные в треугольники ABD и DBC, касаются прямой BD в точках M и N соответственно.

а) Найдите длину отрезка MN
б) Докажите, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, не может быть более чем в 2 раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник DBC.
Ответ: 0,5
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10117

В трапеции ABCD основания AD=39, BC=26. Длины боковых сторон AB=5, CD=12. Окружность проходит через точки А и В и касается прямой CD.

а) Докажите, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом.
б) Найдите радиус окружности.
Ответ: 12,5
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10098

Два одинаковых правильных треугольника АВС и CDE расположены на плоскости так, что имеют только одну общую точку С, и угол BCD меньше, чем $$\frac{\pi}{3}$$. Точка К – середина отрезка АС, точка L – середина отрезка СЕ, точка М – середина отрезка BD.

а) Докажите, что треугольник KLM ‐ равносторонний
б) Найдите длину отрезка BD, если площадь треугольника KLM равна $$\frac{\sqrt{3}}{5}$$, а сторона треугольника АВС равна 1.
Ответ: $$\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10075

Точки Р и Q расположены на стороне ВС треугольника АВС так, что $$BP:PQ:QC=1:2:3$$ . Точка R делит сторону АС этого треугольника так, что AR:RC=1:2. Точки S и T – точки пересечения прямой BR с прямыми AР и АQ соответственно.

а) Докажите, что площади треугольников ABS и AST равны
б) Найдите отношение площади четырехугольника PQTS к площади треугольника АВС.
Ответ: 5:24
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10055

В треугольнике АВС сторона ВC больше стороны АC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке К. Окружность, описанная около треугольника АКL вторично пересекает прямую АС в точке Р.

А) Докажите, что отрезки ВС и РС равны.
Б) Найдите площадь треугольника АРК, если ВС=6, АВ=5, АС=4.
Ответ: $$\sqrt{7}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9950

Окружность радиуса $$\sqrt{3}$$ касается прямой a в точке А, а прямой b в точке В так, что хорда АВ стягивает дугу окружности в 600. Прямые a и b пересекаются в точке F. Точка С расположена на луче FA, а точка D – на луче BF так, что AC=BD=2. 

а) Докажите, что треугольник BAD – прямоугольный
б) Найдите длину медианы треугольника CBD, проведенную из вершины D.
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9930

Окружность с центром на диагонали АС трапеции ABCD (BC||AD) проходит через вершины А и В, касается стороны CD в точке С и пересекает основание AD в точке Е так, что CD=$$6\sqrt{13}$$, AE=8.

а) Найдите площадь трапеции ABCD
б) Прямые CD и ВЕ пересекаются в точке Q. Найдите BQ.
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9878

Квадраты ABCD и A1B1C1D1 (вершины названы по часовой стрелке) совпадают вершинами С и В1. Точки О и О1 – центры квадратов.

а) Докажите, что прямая ОО1 пересекает отрезки А1В и С1D под одинаковыми углами.
б) Найдите ОО1, если $$A_{1}B+C_{1}D=12\sqrt{2}$$
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9803

Окружность с центром О1 касается оснований ВС и АD, а также боковой стороны АВ трапеции АВСD. Окружность с центром О2 касается сторон ВС, СD и АD. Известно, что АВ=15, ВС=32, СD=14, АD=11.

а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.
б) Найдите О1О2.
Ответ: 7
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9783

Окружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках А и В соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка К так, что расстояния от нее до продолжений сторон АС ВС равны 39 и 156 соответственно.

а) Найдите расстояние от точки К до прямой АВ.
б) В каком отношении перпендикуляр, опущенный из точки К на прямую АВ, делит площадь пятиугольника KFABE, где точки F и Е – основания перпендикуляров, опущенных из точки К на прямые АС и АВ соответственно?
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9682

В пятиугольнике А1А2А3А4А5 площади всех треугольников А1А2А3, А2А3А4, А3А4А5, А4А5А1, А5А1А2 равны 1.

а) Докажите, что А1А2||A3A5
б) Найдите площадь пятиугольника А1А2А3А4А5
Ответ: $$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9663

Окружность с центром O1 касается оснований ВС и АD, а также боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром О2 касается сторон ВС, СD и АD. Известно, что АВ=9, ВС=8, СD=4, АD=15.

а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите O1O2
Ответ: 5
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9635

Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 5.

а) Найдите сторону ромба
б) Найдите часть площади ромба, находящуюся внутри треугольника.
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9530

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H - середина AE.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE - параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ=6 и АН=$$2\sqrt{5}$$.
Ответ: $$48+18\sqrt{5}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9510

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке G. Первая окружность с центром в точке Q касается двух параллельных прямых a и b . Вторая ‐ имеет центр в точке О, касается прямой a, а общая касательная окружностей, проходящая через точку G, пересекает прямую в точке D, а прямую ‐ в точке А. Прямая АО перпендикулярна прямым a и b

а) Докажите, что радиусы окружностей относятся как 1:2
б) Найдите площадь четырехугольника AODQ, если радиус большей окружности равен 8.
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9490

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CB - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность - в точке F, причём H - середина AE.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE - параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB=5 и AH=4.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9385

Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции АВСD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках К и L так, что АК=13, КL=6, LВ=1.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9365

Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках К и L так, что АК=19,KL=12, LB=3.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9345

Окружности, построенные на сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD, как на диаметрах, касаются в точке М.

а) Докажите, что ABCD ‐ ромб

б) Пусть Р и Q – точки пересечения продолжений диагоналей параллелограмма за точки А и D с общей касательной к окружностям. Найдите площадь треугольника PQC, если радиусы окружностей равны 2, а синус угла BAD равен 2/3 .

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9248

На гипотенузе AB и катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой AB и BM=BN=1/2 KN. Точка Р - середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник BCPM - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если BM=2 и $$\angle BCM=30^{\circ}$$.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9231

На гипотенузе AB и катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой AB и BM=BN=1/2 KN. Точка Р - середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник BCPM - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если BM=1 и $$\angle BCM=15^{\circ}$$.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9164

Вписанная в треугольник АВС окружность с центром О касается сторон АВ и АС в точках М и N соответственно. Прямая ВО пересекает окружность, описанную около треугольника CON вторично в точке Р.

а) Докажите, что точка Р лежит на прямой MN

б) Найдите площадь треугольника АВР, если площадь треугольника АВС равна 24.

Ответ: 12
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9113

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN-диаметр этой окружности.

а) Докажите, что AC и KN параллельны.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $$6\sqrt{6}$$, $$\angle BAC$$=30°, $$\angle ABC$$=105°.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 9094

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD-диаметр этой окружности.

а) Докажите, что AD=CF.

б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 12, $$\angle BAC$$=35°, $$\angle ACB$$=65°.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9048

В треугольнике АВС биссектриса угла В пересекает описанную окружность этого треугольника в точке F. Е – центр окружности, касающейся стороны АС и продолжений сторон АВ и ВС (вневписанная окружность). О – центр вписанной окружности треугольника АВС.

а) Докажите, что отрезки AF и OF равны

б) Найдите длину отрезка CF, если ОЕ = 14.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8915

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=12. AB=BC=CD= 18.

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8895

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=27. Известно, что AB=BC=CD=36.

а) Докажите, что прямые BC и AD  параллельны.

б) Найдите AD.

Ответ: 44
Аналоги к этому заданию:

Задание 8874

В остроугольном треугольнике АВС угол А равен 40, отрезки ВВ1и СС1– высоты, точки В2 и С2 – середины сторон АС и АВ соответственно. Прямые В1С2 и С1В2пересекаются в точке К.

а) Докажите, что точки В1, В2, С1 и С2 лежат на одной окружности

б) Найдите угол В1КВ2

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 8800

В треугольнике АВС известно, что AC=26 и AB=BC=38.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
Ответ: 4:5:4
Аналоги к этому заданию:

Задание 8781

В треугольнике ABC известно, что AC=10 и AB=BC=14.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
Ответ: 1:3:1
Аналоги к этому заданию:

Задание 8762

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M, а также пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.

а) Докажите, что AM = AN.
б) Найдите отношение CD:DN, если AB:BC=2:3, а $$\cos BAD=0,7$$.
Ответ: 10:11
Аналоги к этому заданию:

Задание 8743

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M, а также пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.

а) Докажите, что AM=AN.
б) Найдите отношение CD:DN, если AB:BC=1:3, а $$\cos \angle BAD=0,4$$
Ответ: 10:11
Скрыть

Решение прислано подписчиком. Пункт А:

  1. ABMD р/б трапеция (т.к. точки A, B, M и D лежат на окружности, и BM||AD) Диагонали р/б трапеции равны => AM=BD
  2. Рассмотрим  4х-угольник ABDN. A, B, D и N лежат на окружности, и AB||ND (по условию, т.к. N лежит на продолжении CD) => ABDN - р/б трапеция => AN=BD
  3. Из 1) и 2) => AN=AM ч.т.д.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8720

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке E.

а) Докажите, что $$\angle EOC=\angle ECO$$.
б) Найдите площадь треугольника ACE, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $$6\sqrt{3}$$, $$\angle ABC=60$$.
Ответ: $$27\sqrt{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8700

Точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.

а) Докажите, что $$\angle POA=\angle PAO$$.
б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6, $$\angle BAC=75$$, $$\angle ABC=60$$.
Ответ: $$9\sqrt{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 4763

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекается в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что AB : BC = AP : PD
б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а $$BC = 6\sqrt{2}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4762

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основании AD в точке P. Докажите, что $$\frac{AP}{PD}=\sin D$$
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4761

Окружность, проходящая через вершины A, C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC. Известно, что AD = CD.
а) Докажите, что CP — биссектриса угла ACB.
б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4760

Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN.
а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
б) Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN = 3, а ∠LMN = 120°.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4759

Дан ромб ABCD с диагоналями AC = 24 и BD = 10. Проведена окружность радиуса $$\frac{5\sqrt{2}}{2}$$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину B касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке M. Найдите CM.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4758

Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, проходящая через вершину М, касается окружности с центром К радиуса 4 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4757

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВМС.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4756

В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4755

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке С. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, вершинами которого являются точки O1, O2, B и C, если ∠ABO1 = 15°.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4754

В параллелограмме ABCD известны стороны AB = a, BC = b и ∠BAD = α. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4753

Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 12 и BC = 5. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 8. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4752

Площадь трапеции ABCD равна 72, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4751

В треугольнике ABC AB = 13, BC = 10, CA = 7. Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 1 : 4. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4750

Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4749

Окружность S радиуса 24 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 36 и 64. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4748

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые AB и DC пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что ∠AMD = α и радиусы окружностей, вписанных в треугольники BCM и AMD равны соответственно r и R.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4747

Из середины катета прямоугольного треугольника на его гипотенузу опущен перпендикуляр, длина которого равна 1. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если длина одного из его катетов равна 4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4746

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и CA в точках K, M и N соответственно.
а) Докажите, что $$AN=\frac{AB+AC-BC}{2}$$
б) Найдите отношение AK : KB, если известно, что AN : NC = 4 : 3 и $$\angle BAC = 60^{\circ}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4745

Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.
а) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.
б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK = 16.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4744

Окружность, вписанная в треугольник АВС, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне ВС. Известно, что ВС = 11. Найдите сторону АВ.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4743

На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и D и касающейся прямой BC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4742

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4741

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух его сторон.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4740

Окружность радиуса $$8\sqrt{2}$$ вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 12. Найдите MN.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4739

Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 26 и 14,5, а его высота BD равна 10. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4738

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4737

Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 1 : 3. Найдите угол A.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4736

Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 4, AF = 2, ∠BAC = 60°.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4735

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4734

Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4733

Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 15 и BC = 8. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 17. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4732

Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4731

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен $$\frac{3}{5}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4730

Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно $$\frac{5}{6}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4729

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 7, BC = 8, AC = 9. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4728

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4727

Точки D и E — основания высот непрямоугольного треугольника ABC, проведённых из вершин A и C соответсвенно. Известно, что $$\frac{DE}{AC}=k$$, BC = a и AB = b. Найдите сторону AC, если известно, что:
а) треугольник остроугольный
б) угол B тупой.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4726

Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 13, высота, проведённая к стороне BC, равна 5. Найдите длину той хорды AM описанной окружности, которая делится пополам стороной BC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4725

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 25, AC = 7 и BC = 24. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 8 и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4724

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 114, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 19. Найдите сторону AB.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4723

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б) Найдите площадь треугольника АСВ.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4722

Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4721

В треугольнике ABC, AB = 15, BC = 7, CA = 9. Точка D лежит на прямой BC причем BD : DC = 5 : 7. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4720

Дана окружность радиуса 4 с центром в точке О, расположенной на биссектрисе угла, равного 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла равно 10.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4719

Окружность радиуса $$6\sqrt{2}$$ вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4718

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4717

Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами равно a причем r

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4716

Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4715

В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ = PD = CD = 8, CQ = 6. Найдите CP.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4714

Окружности радиусов 11 и 21 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2 = 60°. Найдите AB.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4713

Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 1 и 3. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2 = 14.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4712

Расстояния от общей хорды двух пересекающихся окружностей до их центров относятся как 2 : 5. Общая хорда имеет длину $$2\sqrt{3}$$, а радиус одной из окружностей в два раза больше радиуса другой окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4711

Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 31 и 17, а расстояние между центрами окружностей равно 50.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4710

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если BC = 7, BD = 3.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4709

Центр O окружности радиуса 4 принадлежит биссектрисе угла величиной 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности, если известно, что расстояние от точки O до вершины угла равно 10.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4708

На стороне прямого угла с вершиной A взята точка O, причём AO = 7. С центром в точке O проведена окружность S радиуса 1. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4707

Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 8 равно 15. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4706

Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1 = 30°.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4705

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.
а) Докажите, что AD = 4BC.
б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен $$\sqrt{6}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4704

Дана трапеция ABCD, так, что и точка M внутри трапеции,
а) Докажите, что АM = DM.
б) Найдите угол BAD, если угол CDA равен 50 градусов, а высота, проведённая из точки M к АD равна BC.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4703

Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4702

Дана равнобедренная трапеция, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции.
а) Доказать, что M делит AD в отношении 2:1.
б) Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD = 18, $$AC = 4\sqrt{13}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4701

В трапеции АBCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании АD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точке C и M.
а) Докажите, что угол BАM равен углу CАD.
б) Диагонали трапеции АBCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника АOB, если АB = 6, а BC = 4BM.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4700

Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые.
а) Доказать, что MA = MD.
б) Расстояние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Найдите угол BAD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4699

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.
а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.
б) Известно, что $$\sin \angle AOC = \frac{\sqrt{15}}{4}$$ Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK : KA

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4698

Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O.
а) Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность.
б) Найдите AO, если сторона квадрата равна 1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4697

Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причём точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружности в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.
б) Найдите AD, если $$\angle DAE = \angle BAC$$ радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и AB = 3.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4696

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K, так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.
а) Докажите, что CO = KO.
б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет $$\frac{9}{100}$$ площади трапеции ABCD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4695

Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.
а) Докажите, что ∠CAN = ∠CMN.
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если $$ tg \angle BAC =\frac{4}{3}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4694

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а) Докажите, что ∠ABM = ∠DBC = 30°.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4693

В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, $$\angle BAC = 60^{\circ} , \angle BCA = 45^{circ}$$

а) Докажите, что A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если $$BC = 2\sqrt{3}$$
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4692

Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.
а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4691

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 3 : 4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ — острый.
а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4690

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4689

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина гипотенузы AB, H — точка пересечения прямых CM и DK.
а) Докажите, что $$CM \perp DK$$.
б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4688

Точки B1 и C1 лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причём AB1 : B1C = AC1 : C1B. Прямые BB1 и CC1 пересекаются в точке O.

а) Докажите, что прямая AO делит пополам сторону BC.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что AB1 : B1C = AC1 : C1B = 1 : 4.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4687

Окружность с центром O вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центом O1 также вписана в этот угол и проходит через точку O.

а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен $$2\sqrt{3}$$
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4686

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $$\cos \angle BAC = \frac{7}{25}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4685

Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.
а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
б) Известно, что CM = 17 и CD = 25. Найдите сторону AD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4684

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = AB. Прямая, проходящая через точку А, параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке M.

а) Докажите, что AM — биссектриса треугольника АВС.
б) Найти SAMBD, если AC = 30, BC = 18 и AB = 24.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4683

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N — середины катетов АС и ВС соответственно, СН — высота.
а) Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.
б) Пусть Р — точка пересечения прямых АС и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4682

Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.
а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны.
б) Найти отношение BH к ED, если $$\angle BCD = 135^{\circ}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4681

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH и AC, если $$\angle ABC =45^{\circ}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4680

В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка M — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4679

В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите $$\sin \angle BMC$$ если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4678

В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны;
б) Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4677

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD, пересекаются на стороне AD.
б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM : MC = 3 : 4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 24.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4676

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4675

Диагональ AC разбивает трапецию ABCD с основанием AD и BC? из которых AD большее, на два подобных треугольника.

а) Докажите, что ∠ABC =∠ ACD.
б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что BC = 18, AD = 50 и $$\cos \angle CAD = \frac{3}{5}$$
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4674

К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B/ Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причём отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE — другой.
а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.
б) Найдите DE, если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами равно 18, а AC = 8.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4673

Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.
а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
б) Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 2 и 50.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4672

Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D.
а) Докажите, что ∠ABM = ∠DBC = ∠MBD.
б) Найдите расстояние от точки О, точки пересечения диагоналей, до отрезка СМ, если BC = 42.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4671

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что $$\angle BAC = \angle OBC + \angle OCB$$

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OIH, если $$\angle ABC = 75^{\circ} $$.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4627

Около равнобедренного треугольника ABC с основанием BC описана окружность. Через точку C провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке K.

а) Докажите, что треугольник BCK — равнобедренный.
б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если $$\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$$
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4626

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.

а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник.
б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4625

Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD . Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM на три равные части.

а) Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.
б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC , если площадь параллелограмма ABCD равна 40.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4624

На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N , причём M — середина AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.
б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC , если площадь параллелограмма ABCD равна 48.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4623

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4622

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если $$AH=8\sqrt{3}$$ и ∠BAC = 60°.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4621

Дан четырёхугольник ABCD.

а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если , $$LM=3\sqrt{3}, KM=6\sqrt{3}, \angle KML = 60$$
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4620

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB.

а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4619

На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.

а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4618

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
б) Найдите отношение CP : PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4617

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH . Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4616

Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.

а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4615

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что $$CM=\frac{1}{2}DK$$
б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4614

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что $$\cos \angle ABC =\frac{3}{4}$$. В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4613

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4612

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 2R и CM = 3R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 2 .
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4611

Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q — середина MN.

а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.
б) Найдите KN, если ∠LKN = 75° и LM = 1.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4610

Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.

а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4609

Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T. Точка O лежит внутри трапеции ABCD.

а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC.
б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4608

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 12, BC = 5. Окружность радиуса $$\frac{1}{2}$$ с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.

а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем $$\frac{1}{5}$$ длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4607

Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что $$\angle BAC + \angle AKC = 90$$

а) Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АBC равен 12, а $$\cos \angle BAC =0,6$$
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4606

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.
б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4605

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4604

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4603

Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен $$2\sqrt{21}$$
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4602

Медианы АА1 и ВВ1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4601

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4600

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4599

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4598

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4596

Из вершин острых углов B и C треугольника ABC проведены две его высоты ― BM и CN, причем прямые BM и CN пересекаются в точке H. Найдите угол BHC, если известно, что $$MN=\frac{1}{3}BC$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4595

Расстояния от точки M, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 3 и 6. Через точку M проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри угла.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4594

На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удаленная от вершины A на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника BCE, если BC = 6, AC = 4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4593

Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен $$\frac{15}{17}$$. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4592

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Найдите BC если AB = 12.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4591

В прямоугольнике ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 10 на стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом P — точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4590

Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника ABE, если известно, что ∠ABE = ∠CBD = α и $$\tan \alpha = \frac{4}{3}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4589

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 34, AC = 65 и BC = 93. На стороне BC взята точка M, причём AM = 20. Найдите площадь треугольника AMB.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4588

Площадь трапеции ABCD равна 560. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции в полтора раза больше другого.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4587

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4586

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF?

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4585

Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = 100; AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC, касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4584

Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образующая с прямой AB угол α, tg α = 3. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4583

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Найдите высоту трапеции, если её средняя линия равна 3 и $$\sin \angle AOB =\frac{3}{5}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4582

В прямоугольнике ABCD AB = 2, $$BC=\sqrt{3}$$. Точка E на прямой AB выбрана так, что ∠AED = ∠DEC. Найдите AE.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4581

Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4580

Прямая, проведённая через середину N стороны AB квадрата ABCD, пересекает прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образует с прямой AB угол, тангенс которого равен 4. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 8.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4579

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 1217

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 560. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. От­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MON, если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции в пол­то­ра раза боль­ше дру­го­го.

Ответ: $$\frac{576}{35} ; \frac{63}{5}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1216

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AD и CE. Най­ди­те длину от­рез­ка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Ответ: $$\sqrt{5.8}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1215

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не BC вы­бра­на точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Ме­ди­а­на CE пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AD в точке F. Какую часть пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC со­став­ля­ет пло­щадь тре­уголь­ни­ка AEF?

Ответ: $$\frac{1}{10}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1214

Дана тра­пе­ция ABCD, ос­но­ва­ния ко­то­рой BC = 44, AD = 100; AB = CD = 35. Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мых AD и AC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD в точке K. Най­ди­те длину от­рез­ка CK

Ответ: 5 ; 30
Аналоги к этому заданию:

Задание 1213

Через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ю­щая с пря­мой AB угол α, tg α = 3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 4.

Ответ: 2 ; 10
Аналоги к этому заданию:

Задание 1212

Тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC впи­са­на в окруж­ность с цен­тром O. Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, если её сред­няя линия равна 3 и  $$\sin \angle AOB=\frac{3}{5}$$.

Ответ: 1 ; 9
Аналоги к этому заданию:

Задание 1211

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD AB = 2,  $$BC=\sqrt{3}$$  Точка E на пря­мой AB вы­бра­на так, что ∠AED = ∠DEC. Най­ди­те AE.

Ответ: 1 ; 3
Аналоги к этому заданию:

Задание 1189

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCDAB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{3}}{4} ; \frac{13\sqrt{3}}{6}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1188

Пря­мая, про­ведённая через се­ре­ди­ну N сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с пря­мой AB угол, тан­генс ко­то­ро­го равен 4. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 8.

Ответ: 16 и 48
Аналоги к этому заданию:

Задание 1187

На сто­ро­не CD квад­ра­та ABCD по­стро­ен рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник CPD. Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка ADP, про­ведённую из вер­ши­ны D, если из­вест­но, что сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

Ответ: $$\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{4}$$