Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / (C4) Планиметрическая задача

Задание 1187

На сто­ро­не CD квад­ра­та ABCD по­стро­ен рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник CPD. Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка ADP, про­ведённую из вер­ши­ны D, если из­вест­но, что сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

Ответ: $$\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{4}$$

Задание 1188

Пря­мая, про­ведённая через се­ре­ди­ну N сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с пря­мой AB угол, тан­генс ко­то­ро­го равен 4. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 8.

Ответ: 16 и 48

Задание 1189

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCDAB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{3}}{4} ; \frac{13\sqrt{3}}{6}$$

Задание 1211

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD AB = 2,  $$BC=\sqrt{3}$$  Точка E на пря­мой AB вы­бра­на так, что ∠AED = ∠DEC. Най­ди­те AE.

Ответ: 1 ; 3

Задание 1212

Тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC впи­са­на в окруж­ность с цен­тром O. Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, если её сред­няя линия равна 3 и  $$\sin \angle AOB=\frac{3}{5}$$.

Ответ: 1 ; 9

Задание 1213

Через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ю­щая с пря­мой AB угол α, tg α = 3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 4.

Ответ: 2 ; 10

Задание 1214

Дана тра­пе­ция ABCD, ос­но­ва­ния ко­то­рой BC = 44, AD = 100; AB = CD = 35. Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мых AD и AC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD в точке K. Най­ди­те длину от­рез­ка CK

Ответ: 5 ; 30

Задание 1215

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не BC вы­бра­на точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Ме­ди­а­на CE пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AD в точке F. Какую часть пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC со­став­ля­ет пло­щадь тре­уголь­ни­ка AEF?

Ответ: $$\frac{1}{10}$$

Задание 1216

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AD и CE. Най­ди­те длину от­рез­ка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Ответ: $$\sqrt{5.8}$$

Задание 1217

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 560. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. От­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MON, если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции в пол­то­ра раза боль­ше дру­го­го.

Ответ: $$\frac{576}{35} ; \frac{63}{5}$$
 

Задание 2501

В прямоугольнике АВСD на стороне ВС отмечена точка К так, что ВК=2СК.
А) Докажите, что ВD делит площадь треугольника АКС в отношении 3:7.
Б) Пусть М – точка пересечения АК и BD, Р – точка пересечения DK и АС. Найдите длину отрезка МР, если АВ=8, ВС=6.

Ответ: $$\frac{3\sqrt{65}}{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2947

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ

а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС
б) Найдите РN, если РА = 30, РВ = 10
Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3037

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC=16 и AB=10.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3161

Точка О – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника АВС. На луче АО отмечена точка М так, что ∠BAC+∠AMC=90. 

а) Докажите, что существует точка Р, одинаково удаленная от точек В, О, С, М.
б) Найдите расстояние от точки Р до точки М, если известно, что ∠BAC=15 и ВС=15.
Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3207

В треугольнике ABC на AB, как на диаметре, построена окружность ω1, а на AC, как на диаметре, построена окружность ω2. Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точке М, отличной от точек А, В и С.
А) Докажите, что точки М, В и С лежат на одной прямой.
Б) Пусть АМ = 6, а диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 10. Найдите произведение АВ∙АС.

Ответ: 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3332

В трапеции ABCD BC||AD, ∠ABC=90. Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону АВ в точке M, а сторону CD – в точке N.

а) Докажите подобие треугольников АВN и DCM
б) Найдите расстояние от точки А до прямой ВN, если МС = 5, BN = 3, а расстояние от точки D до прямой МС равно 6.
Ответ: 3,6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3379

Два борта бильярдного стола образуют угол 7°, как указано на рисунке. На столе лежит бильярдный шар A, который катится без трения в сторону одного из бортов под углом 113°. Отражения от бортов абсолютно упругие. Сколько раз шар отразится от бортов?

Ответ: 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Шар отразится от борта под углом $$180^\circ-113^\circ=67^\circ$$, поэтому ударится о другой борт под углом $$180^\circ-67^\circ-7^\circ=106^\circ$$. Аналогично в следующий раз угол станет $$99^\circ$$ , затем $$92^\circ$$ и $$85^\circ$$ . Начиная с этого момента мяч будет лететь прочь от угла, а угол будет по-прежнему уменьшаться на $$7^\circ$$ . Еще через 12 отражений он станет равен $$1^\circ$$ и после этого шарик уже не сможет удариться о борт, поскольку треугольника с углами $$179^\circ$$ и $$7^\circ$$ не существует. Итого будет 17 отражений.
 

Задание 3427

На стороне BC треугольника ABC отмечена K точка так, что AK = 4, ВК = 9, КС = 3. Около треугольника ABK описана окружность. Через точку C и середину D стороны AB проведена прямая, которая пересекает окружность в точке P, причем CP > CD и $$\angle APB=\angle BAC$$

а) Докажите подобие треугольников АВС и АКС;
б) Найдите DP.
Ответ: $$\frac{3\sqrt{145}-11}{\sqrt{74}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3664

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке К. Прямая р касается первой окружности в точке М, а второй – в точке N.

а) Докажите что расстояние от точки К до прямой р равно $$\frac{MK\cdot KN}{MN}$$
б) Найдите площадь треугольника MNK, если известно, что радиусы окружностей равны соответственно 12 и 3.
Ответ: 28,8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3863

Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р - середина боковой стороны АВ. Точка R  на боковой стороне CD выбрана так, что $$2CD=3RD$$. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q, $$AD=2BC$$.

A) Докажите, что точка Q - середина отрезка AR
Б) Найдите площадь треугольника APQ
Ответ: $$\frac{10}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) $$RD=\frac{2CD}{3}\Rightarrow CR=\frac{1}{3}CD$$

2) Построим $$AR\cap BC=M$$

$$\Rightarrow\bigtriangleup ARD\sim\bigtriangleup CMR$$ (по 2м углам)

$$\frac{CR}{RD}=\frac{CM}{AD}=\frac{1}{2}$$

$$\Rightarrow$$ $$CM=\frac{1}{2}AD=BC\Rightarrow BM=AD$$

$$\Rightarrow ABMD$$ - параллелограмм

3) Тогда: $$\bigtriangleup APQ\sim\bigtriangleup MQD$$:

$$\frac{AP}{MD}=\frac{AQ}{QM}=\frac{1}{2}$$

$$\Rightarrow AQ=\frac{1}{3}AM$$; $$QM=\frac{2}{3}AM$$

4) из п.2 $$\frac{MR}{AR}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$MR=\frac{1}{3}AM$$

Тогда $$QR=QM-MR=\frac{2}{3}AM-\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}AM$$

$$\Rightarrow$$ $$AQ=QM$$

ч.т.д.

б) 1) $$S_{ABCD}=30=S$$

т.к. $$BC=CM$$, то $$S_{CMD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BM\cdot h$$,

где $$h$$ - высота $$ABMD$$:

$$S_{CMD}=\frac{1}{4}BM\cdot h=\frac{1}{4}S$$

$$\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=\frac{3}{4}S=30$$

$$\Rightarrow S=40$$

2) $$\frac{AQ}{QM}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{QMD}=\frac{2}{3}S_{AMD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{40}{3}$$

$$\bigtriangleup APQ\sim\bigtriangleup QMD$$:

$$k=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$\frac{S_{APQ}}{S_{QMD}}=\frac{1}{4}\Rightarrow$$

$$S_{APQ}=\frac{1}{4}S_{QMD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{40}{3}=\frac{10}{3}$$

 

Задание 4020

Из середины D гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведен луч, перпендикулярный к гипотенузе и пересекающий один из катетов. На нем отложен отрезок DE, длина которого равна половине отрезка АВ. Длина отрезка СЕ равна 1 и совпадает с длиной одного из катетов.

А) Докажите, что угол АСЕ равен 45 градусов
Б) Найдите площадь треугольника АВС
Ответ: $$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1) Строим окружность с диаметром $$AB\Rightarrow\angle C=90^{\circ}$$

$$AD=DE=R\Rightarrow E$$ лежит на окружности

2) По условию $$BC=CE\Rightarrow$$

$$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ADE=45^{\circ}$$(вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу)

б) 1) Т.к. $$\angle СDB=45^{\circ}\Rightarrow \angle CAB=22,5=\frac{45}{2}$$

$$\tan A=\frac{BC}{AC}\Leftrightarrow\tan\frac{45}{2}=\frac{1}{AC}$$

$$\tan 45=\tan2\cdot\frac{45}{2}=\frac{2\tan\frac{45}{2}}{1-\tan^{2}\frac{45}{2}}$$

2) Пусть $$\tan\frac{45}{2}=x$$

$$1=\frac{2x}{1-x^{2}}\Leftrightarrow$$

$$1-x^{2}=2x\Leftrightarrow$$

$$x^{2}+2x-1=0$$

$$D=4+4=8$$

$$x_{1}=\frac{-2+\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}-1$$

$$x_{2}=\frac{-2-\sqrt{8}}{2}=-\sqrt{2}-1$$

$$AC=1\div\tan\frac{45}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$

3) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2(\sqrt{2}^{2}-1^{2})}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$$

 

Задание 4190

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АO перпендикулярен радиусу ОВ, а радиус ОС перпендикулярен радиусу OD.

А) Докажите, что ВС|| AD
Б) Найдите площадь треугольника АОВ, если длина перпендикуляра, опущенного из точки С на AD, равна 9, а длина отрезка ВС в два раза меньше длины отрезка AD.
Ответ: 22,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1) $$\bigtriangleup ABO=\bigtriangleup OCD$$ оба прямоугольные и равнобедренные $$\Rightarrow$$ $$\angle OAB=\angle OBA=$$ $$\angle ODC=\angle OCD=45^{\circ}$$

2) Пусть $$\angle ODA=\angle OAD=\alpha$$, $$\angle OBC=\angle OCB=\beta$$, тогда по свойству вписанного четырехугольника: $$\angle ADC+\angle ABC=180^{\circ}$$; $$\angle\alpha\neq45^{\circ}+\angle\beta+45=180^{\circ}$$; $$\angle\alpha+\angle\beta=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle\beta=90-\angle\alpha(1)$$

3) $$\angle ADC+\angle BCD=\angle\alpha+45+45+\angle\beta=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$  $$AD\parallel BC$$ (сумма односторонних $$180^{\circ}$$)

б) 1) $$BC=\frac{1}{2}AD$$; $$CH=9$$ Построим $$MN\parallel CH$$, пусть $$MO=x$$ $$\Rightarrow$$ $$ON=9-x$$

2) $$\bigtriangleup ANO$$ - прямоугольный, $$\angle OAN=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle AON=90-\alpha=\beta$$; $$\bigtriangleup BOM$$ - прямоугольный, $$\angle OBM=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BOM=90-\beta=\alpha$$; $$OB=OA$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ANO=\bigtriangleup BOM$$; $$ON=BM$$; $$AN=OM$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{AOD}=S_{BOC}$$  $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}BC\cdot OM=\frac{1}{2}AD\cdot ON$$ $$\Rightarrow$$ $$BC\cdot x=2BC(9-x)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=18-2x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=6$$

3) $$OM=6$$; $$ON=3$$ $$\Rightarrow$$ $$AN=6$$ и из $$\bigtriangleup AON$$: $$AO=\sqrt{AN^{2}+ON^{2}}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}$$

4) $$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot OB=$$ $$\frac{1}{2}\cdot\sqrt{45}\cdot\sqrt{45}=22,5$$ 

 

Задание 4398

Радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен $$\frac{\sqrt{15}}{3}$$. Окружность радиуса $$\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$$ касается вписанной в треугольник АВС окружности в точке Т, а также касается лучей, образующих угол АСВ. Окружности касаются прямой АС в точках К и М.

А) Докажите, что треугольник КТМ прямоугольный
Б) Найдите тангенс угла АВС, если площадь треугольника АВС равна $$3\sqrt{15}$$, а наибольшей из его сторон является сторона АС.
Ответ: б) $$-\sqrt{15}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Через Т строим общую касательную $$TL\cap MK=L$$; $$ML=LT$$; $$TL=LK$$ (по свойству касательных) $$\Rightarrow$$ $$ML=TL=LK$$ $$\Rightarrow$$ т.к. TL - медиана, то $$\bigtriangleup MTK$$ - прямоугольный

б) 1) Пусть $$O_{2}H\perp O_{1}M$$ $$\Rightarrow$$ $$HO_{2}=MK$$; $$O_{1}H=O_{1}M-O_{2}K=\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$$

2) $$O_{1}O_{2}=O_{1}T+TO_{2}=\frac{8\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$$

3) из $$\bigtriangleup O_{1}O_{2}H$$: $$O_{2}H=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}H^{2}}=\frac{10}{3}$$

4) Пусть $$KC=a$$; $$\bigtriangleup O_{1}CM\sim\bigtriangleup O_{2}CK$$: $$\frac{O_{1}M}{O_{2}K}=\frac{MC}{KC}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}\div\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{10}{3}+x}{x}$$; $$5x=10+3x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=5$$

5) $$\tan\angle O_{1}CM=\frac{O_{2}K}{KC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}\cdot5}=\frac{1}{\sqrt{15}}$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$CO_{2}$$ - биссектриса, то $$\angle ACB=\frac{2\cdot\frac{1}{\sqrt{15}}}{1-(\frac{1}{\sqrt{15}})^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{7}$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$1+\tan^{2}\alpha=\frac{1}{\cos^{2}\alpha}$$, то $$\cos\angle ACB=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{\sqrt{15}}{7}}}=\frac{7}{8}$$

6) Пусть $$AT=AK=x$$; $$TB=BR=y$$, тогда: $$S_{ABC}=\sqrt{p\cdot(p-a)(p-b)(p-c)}=3\sqrt{15}$$; $$p=\frac{2x+2y+10}{2}=(x+y+5)$$; $$a=x+5$$; $$b=y+5$$; $$c=x+y$$; $$\sqrt{(x+y+5)5xy}=3\sqrt{15}$$; $$(x+y+5)xy=27(1)$$

7) По т. косинусов: $$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos ACB$$; $$(x+y)^{2}=(5+x)^{2}+(5+y)^{2}-2(5+x)(5+y)\cdot\frac{7}{8}$$; $$x^{2}+2xy+y^{2}=25+10x+x^{2}+25+10y+y^{2}-\frac{7}{4}(25+5x+5y+xy)$$; $$50+10(x+y)-\frac{7}{4}(25+5(x+y)+xy)-2xy=0(2)$$

Решим систему уравнений 1 и 2: замена $$x+y=a$$; $$xy=b$$:

$$\left\{\begin{matrix}b(a+5)=27\\50+10a-\frac{7}{4}(25+5a+b)-2b=0\end{matrix}\right.$$.

Рассмотрим 2ое: умножим на 4: $$200+40a-175-35a-7b-8b=0$$; $$5a+25=15b$$; $$a+5=3b$$

Подставим в 1ое, умноженное на 3: $$3b(a+5)=81$$; $$(a+5)(a+5)=81$$ $$\Leftrightarrow$$ $$a+5=9$$ $$\Leftrightarrow$$ $$a=4$$; $$b=\frac{4+5}{3}=3$$. Получаем: $$\left\{\begin{matrix}x+y=4\\xy=3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.$$ или $$\left\{\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.$$

Т.к. по условию АС самая большая, то $$x=1$$; $$y=3$$ не подходит; $$\Rightarrow$$ $$x=3$$; $$y=1$$

8) из $$\bigtriangleup BRO_{2}$$: $$\tan O_{2}BR=\frac{O_{2}R}{BR}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}{1}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$$; $$\tan ABC=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}{1-(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}})^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{-3}{2}=-\sqrt{15}$$

 

Задание 4575

Треугольник АВС (АВ<АC) вписан в окружность. На стороне АС отмечена точка Е так, что АЕ=АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку СЕ пересекает дугу ВС, не содержащую точки А, в точке К.

А) Докажите, что АК является биссектрисой угла ВАС.
Б) Найдите площадь четырехугольника АВКЕ, если известно, что АВ=5, АС=11, ВС=10.
Ответ: $$\frac{160}{\sqrt{39}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4579

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Ответ:

Задание 4580

Прямая, проведённая через середину N стороны AB квадрата ABCD, пересекает прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образует с прямой AB угол, тангенс которого равен 4. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 8.

Ответ:

Задание 4581

Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Ответ:

Задание 4582

В прямоугольнике ABCD AB = 2, $$BC=\sqrt{3}$$. Точка E на прямой AB выбрана так, что ∠AED = ∠DEC. Найдите AE.

Ответ:

Задание 4583

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Найдите высоту трапеции, если её средняя линия равна 3 и $$\sin \angle AOB =\frac{3}{5}$$

Ответ:

Задание 4584

Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образующая с прямой AB угол α, tg α = 3. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 4.

Ответ:

Задание 4585

Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = 100; AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC, касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

Ответ:

Задание 4586

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF?

Ответ:

Задание 4587

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Ответ:

Задание 4588

Площадь трапеции ABCD равна 560. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции в полтора раза больше другого.

Ответ:

Задание 4589

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 34, AC = 65 и BC = 93. На стороне BC взята точка M, причём AM = 20. Найдите площадь треугольника AMB.

Ответ:

Задание 4590

Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника ABE, если известно, что ∠ABE = ∠CBD = α и $$\tan \alpha = \frac{4}{3}$$

Ответ:

Задание 4591

В прямоугольнике ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 10 на стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом P — точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.

Ответ:

Задание 4592

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Найдите BC если AB = 12.

Ответ:

Задание 4593

Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен $$\frac{15}{17}$$. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

Ответ:

Задание 4594

На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удаленная от вершины A на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника BCE, если BC = 6, AC = 4.

Ответ:

Задание 4595

Расстояния от точки M, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 3 и 6. Через точку M проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри угла.

Ответ:

Задание 4596

Из вершин острых углов B и C треугольника ABC проведены две его высоты ― BM и CN, причем прямые BM и CN пересекаются в точке H. Найдите угол BHC, если известно, что $$MN=\frac{1}{3}BC$$

Ответ:

Задание 4598

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Ответ:

Задание 4599

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
Ответ:

Задание 4600

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
Ответ:

Задание 4601

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.
Ответ:

Задание 4602

Медианы АА1 и ВВ1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.
Ответ:

Задание 4603

Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен $$2\sqrt{21}$$
Ответ:

Задание 4604

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.
Ответ:

Задание 4605

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.
Ответ:

Задание 4606

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.
б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.
Ответ:

Задание 4607

Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что $$\angle BAC + \angle AKC = 90$$

а) Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АBC равен 12, а $$\cos \angle BAC =0,6$$
Ответ:

Задание 4608

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 12, BC = 5. Окружность радиуса $$\frac{1}{2}$$ с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.

а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем $$\frac{1}{5}$$ длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
Ответ:

Задание 4609

Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T. Точка O лежит внутри трапеции ABCD.

а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC.
б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.
Ответ:

Задание 4610

Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.

а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17.
Ответ:

Задание 4611

Дана равнобедренная трапеция KLMN с основаниями KN и LM. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне KL как на диаметре, касается боковой стороны MN и второй раз пересекает большее основание KN в точке H, точка Q — середина MN.

а) Докажите, что четырёхугольник NQOH — параллелограмм.
б) Найдите KN, если ∠LKN = 75° и LM = 1.
Ответ:

Задание 4612

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM = 2R и CM = 3R.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 2 .
Ответ:

Задание 4613

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
Ответ:

Задание 4614

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что $$\cos \angle ABC =\frac{3}{4}$$. В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
Ответ:

Задание 4615

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что $$CM=\frac{1}{2}DK$$
б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.
Ответ:

Задание 4616

Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.

а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.
Ответ:

Задание 4617

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH . Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.
Ответ:

Задание 4618

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
б) Найдите отношение CP : PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.
Ответ:

Задание 4619

На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.

а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.
б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.
Ответ:

Задание 4620

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB.

а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.
Ответ:

Задание 4621

Дан четырёхугольник ABCD.

а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если , $$LM=3\sqrt{3}, KM=6\sqrt{3}, \angle KML = 60$$
Ответ:

Задание 4622

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если $$AH=8\sqrt{3}$$ и ∠BAC = 60°.

Ответ:

Задание 4623

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.

Ответ:

Задание 4624

На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N , причём M — середина AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.
б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC , если площадь параллелограмма ABCD равна 48.
Ответ:

Задание 4625

Точка M — середина стороны AD параллелограмма ABCD . Из вершины A проведены два луча, которые разбивают отрезок BM на три равные части.

а) Докажите, что один из лучей содержит диагональ параллелограмма.
б) Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного двумя проведёнными лучами и прямыми BD и BC , если площадь параллелограмма ABCD равна 40.
Ответ:

Задание 4626

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.

а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник.
б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.
Ответ:

Задание 4627

Около равнобедренного треугольника ABC с основанием BC описана окружность. Через точку C провели прямую, параллельную стороне AB. Касательная к окружности, проведённая в точке B, пересекает эту прямую в точке K.

а) Докажите, что треугольник BCK — равнобедренный.
б) Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника BCK, если $$\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$$
Ответ:

Задание 4671

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что $$\angle BAC = \angle OBC + \angle OCB$$

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OIH, если $$\angle ABC = 75^{\circ} $$.
Ответ:

Задание 4672

Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D.
а) Докажите, что ∠ABM = ∠DBC = ∠MBD.
б) Найдите расстояние от точки О, точки пересечения диагоналей, до отрезка СМ, если BC = 42.

Ответ:

Задание 4673

Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.
а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
б) Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 2 и 50.

Ответ:

Задание 4674

К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B/ Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причём отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE — другой.
а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.
б) Найдите DE, если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами равно 18, а AC = 8.

Ответ:

Задание 4675

Диагональ AC разбивает трапецию ABCD с основанием AD и BC? из которых AD большее, на два подобных треугольника.

а) Докажите, что ∠ABC =∠ ACD.
б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что BC = 18, AD = 50 и $$\cos \angle CAD = \frac{3}{5}$$
Ответ:

Задание 4676

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?

Ответ:

Задание 4677

Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD, пересекаются на стороне AD.
б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM : MC = 3 : 4, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 24.

Ответ:

Задание 4678

В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны;
б) Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.

Ответ:

Задание 4679

В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите $$\sin \angle BMC$$ если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Ответ:

Задание 4680

В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка M — середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.

Ответ:

Задание 4681

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH и AC, если $$\angle ABC =45^{\circ}$$

Ответ:

Задание 4682

Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.
а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны.
б) Найти отношение BH к ED, если $$\angle BCD = 135^{\circ}$$

Ответ:

Задание 4683

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N — середины катетов АС и ВС соответственно, СН — высота.
а) Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.
б) Пусть Р — точка пересечения прямых АС и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3.

Ответ:

Задание 4684

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = AB. Прямая, проходящая через точку А, параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке M.

а) Докажите, что AM — биссектриса треугольника АВС.
б) Найти SAMBD, если AC = 30, BC = 18 и AB = 24.
Ответ:

Задание 4685

Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.
а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
б) Известно, что CM = 17 и CD = 25. Найдите сторону AD.

Ответ:

Задание 4686

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $$\cos \angle BAC = \frac{7}{25}$$

Ответ:

Задание 4687

Окружность с центром O вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центом O1 также вписана в этот угол и проходит через точку O.

а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен $$2\sqrt{3}$$
Ответ:

Задание 4688

Точки B1 и C1 лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причём AB1 : B1C = AC1 : C1B. Прямые BB1 и CC1 пересекаются в точке O.

а) Докажите, что прямая AO делит пополам сторону BC.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что AB1 : B1C = AC1 : C1B = 1 : 4.
Ответ:

Задание 4689

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина гипотенузы AB, H — точка пересечения прямых CM и DK.
а) Докажите, что $$CM \perp DK$$.
б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

Ответ:

Задание 4690

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.

Ответ:

Задание 4691

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 3 : 4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ — острый.
а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Ответ:

Задание 4692

Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.
а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.

Ответ:

Задание 4693

В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, $$\angle BAC = 60^{\circ} , \angle BCA = 45^{circ}$$

а) Докажите, что A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если $$BC = 2\sqrt{3}$$
Ответ:

Задание 4694

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а) Докажите, что ∠ABM = ∠DBC = 30°.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.

Ответ:

Задание 4695

Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.
а) Докажите, что ∠CAN = ∠CMN.
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если $$ tg \angle BAC =\frac{4}{3}$$

Ответ:

Задание 4696

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K, так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.
а) Докажите, что CO = KO.
б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет $$\frac{9}{100}$$ площади трапеции ABCD.

Ответ:

Задание 4697

Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B, причём точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружности в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O1AO2 подобны.
б) Найдите AD, если $$\angle DAE = \angle BAC$$ радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и AB = 3.
Ответ:

Задание 4698

Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O.
а) Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность.
б) Найдите AO, если сторона квадрата равна 1.

Ответ:

Задание 4699

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.
а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.
б) Известно, что $$\sin \angle AOC = \frac{\sqrt{15}}{4}$$ Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK : KA

Ответ:

Задание 4700

Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые.
а) Доказать, что MA = MD.
б) Расстояние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Найдите угол BAD.

Ответ:

Задание 4701

В трапеции АBCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании АD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точке C и M.
а) Докажите, что угол BАM равен углу CАD.
б) Диагонали трапеции АBCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника АOB, если АB = 6, а BC = 4BM.

Ответ:

Задание 4702

Дана равнобедренная трапеция, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции.
а) Доказать, что M делит AD в отношении 2:1.
б) Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD = 18, $$AC = 4\sqrt{13}$$

Ответ:

Задание 4703

Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.

Ответ:

Задание 4704

Дана трапеция ABCD, так, что и точка M внутри трапеции,
а) Докажите, что АM = DM.
б) Найдите угол BAD, если угол CDA равен 50 градусов, а высота, проведённая из точки M к АD равна BC.

Ответ:

Задание 4705

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.
а) Докажите, что AD = 4BC.
б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен $$\sqrt{6}$$

Ответ:

Задание 4706

Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1 = 30°.

Ответ:

Задание 4707

Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 8 равно 15. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.

Ответ:

Задание 4708

На стороне прямого угла с вершиной A взята точка O, причём AO = 7. С центром в точке O проведена окружность S радиуса 1. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

Ответ:

Задание 4709

Центр O окружности радиуса 4 принадлежит биссектрисе угла величиной 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности, если известно, что расстояние от точки O до вершины угла равно 10.

Ответ:

Задание 4710

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если BC = 7, BD = 3.

Ответ:

Задание 4711

Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 31 и 17, а расстояние между центрами окружностей равно 50.

Ответ:

Задание 4712

Расстояния от общей хорды двух пересекающихся окружностей до их центров относятся как 2 : 5. Общая хорда имеет длину $$2\sqrt{3}$$, а радиус одной из окружностей в два раза больше радиуса другой окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.

Ответ:

Задание 4713

Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 1 и 3. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2 = 14.

Ответ:

Задание 4714

Окружности радиусов 11 и 21 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2 = 60°. Найдите AB.

Ответ:

Задание 4715

В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ = PD = CD = 8, CQ = 6. Найдите CP.

Ответ:

Задание 4716

Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.

Ответ:

Задание 4717

Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами равно a причем r

Ответ:

Задание 4718

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.

Ответ:

Задание 4719

Окружность радиуса $$6\sqrt{2}$$ вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN.

Ответ:

Задание 4720

Дана окружность радиуса 4 с центром в точке О, расположенной на биссектрисе угла, равного 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла равно 10.

Ответ:

Задание 4721

В треугольнике ABC, AB = 15, BC = 7, CA = 9. Точка D лежит на прямой BC причем BD : DC = 5 : 7. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Ответ:

Задание 4722

Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка C, а на другой — точки A и B, причем треугольник ABC — равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Ответ:

Задание 4723

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б) Найдите площадь треугольника АСВ.

Ответ:

Задание 4724

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 114, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 19. Найдите сторону AB.

Ответ:

Задание 4725

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 25, AC = 7 и BC = 24. На стороне BC взята точка D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 8 и AO = 3OD. Окружность с центром O проходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружности с прямой AB.

Ответ:

Задание 4726

Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 13, высота, проведённая к стороне BC, равна 5. Найдите длину той хорды AM описанной окружности, которая делится пополам стороной BC.

Ответ:

Задание 4727

Точки D и E — основания высот непрямоугольного треугольника ABC, проведённых из вершин A и C соответсвенно. Известно, что $$\frac{DE}{AC}=k$$, BC = a и AB = b. Найдите сторону AC, если известно, что:
а) треугольник остроугольный
б) угол B тупой.

Ответ:

Задание 4728

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.

Ответ:

Задание 4729

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 7, BC = 8, AC = 9. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

Ответ:

Задание 4730

Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно $$\frac{5}{6}$$

Ответ:

Задание 4731

Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен $$\frac{3}{5}$$

Ответ:

Задание 4732

Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.

Ответ:

Задание 4733

Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 15 и BC = 8. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 17. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.

Ответ:

Задание 4734

Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

Ответ:

Задание 4735

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.

Ответ:

Задание 4736

Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 4, AF = 2, ∠BAC = 60°.

Ответ:

Задание 4737

Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 1 : 3. Найдите угол A.

Ответ:

Задание 4738

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Ответ:

Задание 4739

Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 26 и 14,5, а его высота BD равна 10. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD.

Ответ:

Задание 4740

Окружность радиуса $$8\sqrt{2}$$ вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 12. Найдите MN.

Ответ:

Задание 4741

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух его сторон.

Ответ:

Задание 4742

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC.

Ответ:

Задание 4743

На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и D и касающейся прямой BC.

Ответ:

Задание 4744

Окружность, вписанная в треугольник АВС, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне ВС. Известно, что ВС = 11. Найдите сторону АВ.

Ответ:

Задание 4745

Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.
а) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.
б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK = 16.

Ответ:

Задание 4746

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и CA в точках K, M и N соответственно.
а) Докажите, что $$AN=\frac{AB+AC-BC}{2}$$
б) Найдите отношение AK : KB, если известно, что AN : NC = 4 : 3 и $$\angle BAC = 60^{\circ}$$

Ответ:

Задание 4747

Из середины катета прямоугольного треугольника на его гипотенузу опущен перпендикуляр, длина которого равна 1. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если длина одного из его катетов равна 4.

Ответ:

Задание 4748

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые AB и DC пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что ∠AMD = α и радиусы окружностей, вписанных в треугольники BCM и AMD равны соответственно r и R.

Ответ:

Задание 4749

Окружность S радиуса 24 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 36 и 64. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и окружности S.

Ответ:

Задание 4750

Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Ответ:

Задание 4751

В треугольнике ABC AB = 13, BC = 10, CA = 7. Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 1 : 4. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Ответ:

Задание 4752

Площадь трапеции ABCD равна 72, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O; отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.

Ответ:

Задание 4753

Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 12 и BC = 5. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 8. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.

Ответ:

Задание 4754

В параллелограмме ABCD известны стороны AB = a, BC = b и ∠BAD = α. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.

Ответ:

Задание 4755

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке С. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, вершинами которого являются точки O1, O2, B и C, если ∠ABO1 = 15°.

Ответ:

Задание 4756

В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.

Ответ:

Задание 4757

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВМС.

Ответ:

Задание 4758

Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, проходящая через вершину М, касается окружности с центром К радиуса 4 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.

Ответ:

Задание 4759

Дан ромб ABCD с диагоналями AC = 24 и BD = 10. Проведена окружность радиуса $$\frac{5\sqrt{2}}{2}$$ с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину B касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке M. Найдите CM.

Ответ:

Задание 4760

Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN — касательные к окружности, описанной около треугольника KLN.
а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны.
б) Найдите площадь треугольника KLN, если известно, что KN = 3, а ∠LMN = 120°.

Ответ:

Задание 4761

Окружность, проходящая через вершины A, C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC. Известно, что AD = CD.
а) Докажите, что CP — биссектриса угла ACB.
б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?

Ответ:

Задание 4762

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основании AD в точке P. Докажите, что $$\frac{AP}{PD}=\sin D$$
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

Ответ:

Задание 4763

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекается в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что AB : BC = AP : PD
б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а $$BC = 6\sqrt{2}$$

Ответ:
 

Задание 4774

В треугольнике АВС точка D есть середина АВ, точка Е лежит на стороне ВС, причем $$BE=\frac{1}{3}AC$$ . Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке О.

А) Доказать, что $$\frac{AO}{OE}=\frac{1}{2}$$
Б) Найти длину стороны АВ, если АЕ=5, ОС=4, а угол АОС равен 120$$^{\circ}$$
Ответ: $$2\sqrt{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4821

Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность радиуса $$2\sqrt{5}$$ , отсекающая от прямой ВС отрезок $$4\sqrt{5}$$ и касающаяся прямой АС в точке А. Из точки В проведен перпендикуляр к прямой ВС до пересечения с прямой АС в точке F.

А) Докажите AF=BF
Б) Найдите площадь треугольника АВС, если BF=2.
Ответ: $$\frac{5\sqrt{5}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

По условию $$OA=R=2\sqrt{5}; BK=4\sqrt{5}$$. Рис. 2 может быть использован только для доказательства п. а) т.к. по условию $$BF=2$$, $$OA=2\sqrt{5}$$, т.е. BF<OA

     а) AC-касательная $$\Rightarrow$$ $$OA\perp AC, BF\perp OB, OB=R\Rightarrow$$ BF-касательная и по свойству касательных  $$AF=BF$$

     б) 1) Пусть $$FC=x, BC=y$$,  тогда $$AC=x+2$$, $$OC=y+2\sqrt{5}$$

2) $$\Delta FBC\sim OAC$$ по двум углам $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{BF}{OA}=\frac{BC}{AC}\\\frac{BF}{OA}=\frac{FC}{OC}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{y}{x+2}\\\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{x}{y+2\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}y=\frac{x+2}{\sqrt{5}}\\y=\sqrt{5}(x-2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=3\\y=\sqrt{5}\end{matrix}\right.$$

   $$FC=3, BC=\sqrt{5}, AC=5$$, $$\frac{S_{\Delta ABC}}{s_{\Delta BFC}}=\frac{AC}{FC}=\frac{5}{3}$$;

   $$S_{\Delta BFC}=\frac{1}{2}BC*BF=\sqrt{5}$$ тогда , $$S_{\Delta ABC}=\frac{5}{3}$$, $$S_{\Delta BFC}=\frac{5\sqrt{5}}{3}$$

 

Задание 4865

Из вершин А и В тупоугольного треугольника АВС проведены высоты BQ и AH. Известно, что угол В – тупой, BC:CH=4:5, BH=BQ
А) Докажите, что диаметр описанной вокруг треугольника ABQ окружности в $$\frac{2\sqrt{6}}{3}$$ раз больше BQ
Б) Найдите площадь четырехугольника AHBQ, если площадь треугольника HQC равна 25
Ответ: $$13\frac{1}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а)1)Пусть BC = 4x, тогда HB = BQ = x
2)$$\bigtriangleup BQC: QC = \sqrt{BC^{2}-QB^{2}}=\sqrt{15}x$$
3)$$\bigtriangleup AHC \sim \bigtriangleup BQC$$ (прямоугольные с общим острым углом). Тогда $$\frac{AH}{BQ}=\frac{HC}{QC}$$, значит $$AH=\frac{QB*HC}{QC}=\frac{\sqrt{15}x}{3}$$
4)По т. Пифагора из $$\bigtriangleup AHB: AB=\sqrt{AH^{2}+HB^{2}}=$$$$\frac{2\sqrt{6}}{3}x=\frac{2\sqrt{6}}{3}BQ$$
б)1)$$S_{AHQ}=S_{AHC}-S_{HQC}$$
так как треугольники имеют общий угол, то:$$\frac{S_{AHC}}{S_{HQC}}=\frac{CH*AC}{CH*CQ}\Leftrightarrow $$$$S_{AHC}=\frac{AC}{CQ}*S_{HQC}$$
2)$$\bigtriangleup AHB=\bigtriangleup AQB$$ (HB=BQ; общая гипотенуза). Тогда $$AQ=AH=\frac{\sqrt{15}}x{3}$$
$$AC=QC+AQ=\frac{4\sqrt{15}x}{3}$$
$$S_{AHC}=\frac{\frac{4\sqrt{15}x}{3}}{\sqrt{15}x}*25=\frac{100}{3}$$
$$S_{AHQ}=\frac{100}{3}-25=\frac{25}{3}$$
3)$$S_{HQB}=S_{HQC}-S_{QCB}$$
$$\frac{S_{QCB}}{S_{HQC}}=\frac{CB*CQ}{CH*CQ}\Leftrightarrow $$$$S_{QCB}=\frac{CB}{CH}*S_{HQC}=$$$$\frac{4x}{5x}*25=20$$
$$S_{HQB}=25-20=5$$
4)$$S_{AHQB}=\frac{25}{3}+5=13\frac{1}{3}$$
 

Задание 4916

АК ‐ биссектриса треугольника АВС, причем ВК:КС=2:7. Из точек В и К проведены  параллельные прямые, которые пересекают сторону АС в точках D и F соответственно,  причем AD:FC=3:14  

А) Докажите, что АВ в 2 раза больше AD  
Б) Найдите площадь четырехугольника DBKF, если Р – точка пересечения BD и AK и  площадь треугольника АВР равна 27  
Ответ: 96
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
A)Пусть BK=2x, тогда KC=7x ; AD = 3z, тогда АС = 14z
1) $$\frac{CK}{KB}=\frac{CF}{FD}$$ (т.к. $$KF\parallel BD$$); $$FD=\frac{2x\cdot14z}{7x}=4z$$
2) По свойству биссектрис: $$\frac{AB}{AC}=\frac{BK}{KC}$$. Пусть AB=2y, тогда AC = 7y. Но $$AC=3z+4z+1z=21z=7y$$; $$y=3z$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=y$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=0,5AB$$
Б)1) По теореме Менелая из треугольника AKC: $$\frac{BP}{PD}\cdot\frac{AD}{AC}\cdot\frac{CK}{KB}=1$$; $$\frac{BP}{PD}\cdot\frac{3}{81}\cdot\frac{7}{2}=1$$; $$\frac{BP}{PD}=\frac{2}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{APD}=\frac{1}{2}S_{ABP}=13,5$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{ABD}=40,5$$
2) $$\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{AB\cdot AD}{AB\cdot AC}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{ABC}=S_{ABD}\cdot7=283,5$$
3) $$\frac{S_{CKF}}{S_{ABC}}=\frac{CK\cdot CF}{CB\cdot AC}=\frac{7}{3}\cdot\frac{14}{21}=\frac{14}{27}$$; $$S_{CKF}=\frac{14}{27}\cdot S_{ABC}=\frac{14}{27}\cdot283,5=147$$
4) $$S_{BKFD}=S_{ABC}-S_{ABD}-S_{CKF}=283,5-147-40,5=96$$
 

Задание 4963

Дан прямоугольник ABCD. Окружность с центром в точке В и радиусом АВ  пересекает продолжение стороны АВ в точке М. Прямая МС пересекает прямую AD в  точке К, а окружность во второй раз в точке F.  

А) Докажите, что DK=DF  
Б) Найдите КС, если BF=20, DF=21  
Ответ: 29
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
А) 1)Треугольник MBC подобен треугольника AMK ( прямоугольные, общий острый угол). Аналогично трегольник CDK подобен AMK, тогда и  MBC подобен CDK. При этом MB = AB (радиусы)  и AB = CD (стороны прямоугольника), тогда MB = KD и треугольники MBC и CDK равны, тогда $$DK=BC=AD$$; 
2) Проведем BF, он будет перпендикулярен DF (радиус в точку касания), тогда из прямоугольных треугольников DBF и ABD: $$BD^{2}=BA^{2}+AD^{2}$$ и $$BD^{2}=BF^{2}+FD^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=DF$$ $$\Rightarrow$$ $$DF=DK$$
Б) $$BF=20=AB$$; $$DF=21=AD$$; $$BD=\sqrt{20^{2}+21^{2}}=29$$
 

Задание 5011

На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Оказалось, что отрезок АК пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ=ВС.

А) Докажите, что ВК=КE.
Б) Найдите площадь четырехугольника CDEК, если известно, что АВ=13, АЕ=7, АD=4.
Ответ: $$\frac{451\sqrt{3}}{93}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1) По т. Менелая: $$\frac{AE}{EK}\cdot\frac{BK}{BC}\cdot\frac{CD}{DA}=1$$; $$AE=BC$$; $$CD=DA$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BK}{EK}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{1}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$BK=EK$$ 

ч.т.д.

б) 1) Пусть $$BK=EK=x$$; $$AK=7+x$$; $$KC=7-x$$; $$AC=8$$

$$\bigtriangleup ABC$$: $$\cos C=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC\cdot BC}=\frac{64+49-169}{2\cdot8\cdot7}=-\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle C=120^{\circ}$$; $$\bigtriangleup AKC$$: $$AK^{2}=AC^{2}+KC^{2}-2AC\cdot KC\cdot\cos C$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(7+x)^{2}=8^{2}+(7-x)^{2}-2\cdot8\cdot(7-x)(-\frac{1}{2})$$; $$49+14x+x^{2}=64+49-14x+x^{2}+56-8x$$; $$36x=120$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{120}{36}=\frac{10}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$KC=7-\frac{10}{3}=\frac{11}{3}$$;

2) По т. Менелая: $$\frac{BE}{ED}\cdot\frac{AD}{AC}\cdot\frac{CK}{KB}=1$$; $$\frac{BE}{ED}\cdot\frac{4}{8}\cdot\frac{11}{3}\cdot\frac{3}{10}=1$$; $$\frac{BE}{ED}=\frac{20}{11}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BE}{ED}=\frac{20}{31}$$

3) $$\frac{S_{BEK}}{S_{BDC}}=\frac{BE\cdot BK}{BD\cdot BC}=\frac{20}{31}\cdot\frac{10}{3\cdot7}=\frac{200}{651}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{BEK}=\frac{200}{651}S_{BDC}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{DEKC}=\frac{451}{651}S_{BDC}$$;

4) $$S_{BDC}=\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot7\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=7\sqrt{3}$$; $$S_{DEKC}=\frac{451\cdot7\sqrt{3}}{651}=\frac{451\sqrt{3}}{93}$$

 

Задание 5059

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О, а прямые АВ и CD – в точке К. Прямая КО пересекает стороны ВС и AD в точках М и N соответственно, и угол BAD равен $$30^{\circ}$$. Известно, что в трапеции ABMN и NMCD можно вписать окружность.

А) Докажите, что треугольник AKD тупоугольный.  
Б) Найти отношение площадей треугольника ВКС и трапеции ABCD
Ответ: $$\frac{2\sqrt{3}-3}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) 1) $$AB\cap DC=K$$; $$AC\cap DB=O$$. По замечательному свойству трапеции середины AD и BC лежат на прямой $$KO\Rightarrow$$ M и N – середины BC и AD. По условию в трапеции ABMN и NMCD можно вписать окружность $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}BM+AN=AB+MN\\MC+ND=CD+MN\end{matrix}\right.$$. А так как BM=MC, AC=ND, AB=CD, ABCD -равнобедренная трапеция. Тогда $$\Delta AKD$$ - равнобедренный и $$\angle AKD=120$$ - тупой угол

   Б) 1) Пусть  AD=a, BC=b; $$\frac{S_{AKD}}{S_{BKC}}=(\frac{a}{b})^{2}\Rightarrow$$ $$S_{AKD}=(\frac{a}{b})^{2}S_{BKC}$$; $$S_{ABCD}=S_{AKD}-S_{BKC}=(\frac{a}{b})^{2}S_{BKC}=((\frac{a}{b})^{2}-1)S_{BKC}$$. Тогда $$\frac{S_{BKC}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{(\frac{a}{b})^{2}-1}$$

     2) $$AB+MN=BM+AN=\frac{a+b}{2}$$;$$MN=BF=\frac{1}{2}AB$$, т.к. $$MN\perp AD \angle BAD=30\Rightarrow$$ $$\frac{3}{2}AB=\frac{a+b}{2}$$, откуда $$AB=\frac{a+b}{3}$$.

     3) С другой стороны $$AB=\frac{AF}{\cos 30}=\frac{a-b}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a-b}{\sqrt{3}}$$

     4) Тогда $$\frac{a+b}{3}=\frac{a-b}{\sqrt{3}}$$, откуда найдем $$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

     5) $$\frac{S_{BKC}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1})^{2}-1}=$$$$\frac{(\sqrt{3-1})^{2}}{(\sqrt{3}+1)^{2}-(\sqrt{3}-1)^{2}}=$$$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2*2\sqrt{3}}=$$$$\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}-3}{6}$$

 

Задание 5143

Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Окружность с центром О, вписанная в треугольник ADB , касается отрезка AD в точке Р , а прямая ОР пересекает сторону АВ в точке К .

а) Докажите, что около четырехугольника ВDОК можно описать окружность.  
б) Найдите радиус этой окружности, если АВ = 10, АС = 8, ВС = 6.  
Ответ: $$\frac{25\sqrt{10}}{24}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     А) 1) Поскольку DH серединный перпендикуляр к AB , то AD=DB, а значит  $$\Delta ADB$$ - равнобедренный , тогда  DH-биссектриса и  $$O\in DH.$$

     2) Обозначим $$\angle ABD=\angle BAD=\alpha$$; $$\angle BDA=\angle 180-2\alpha$$, откуда $$\angle BDH=\angle ADH=90-\alpha$$

     3) $$\Delta AKP$$: $$\angle AKP=90-\alpha$$, тогда $$\angle OKB=90+\alpha$$

     4) $$\angle BDO+\angle OKB=90-\alpha +90+\alpha =180$$, а значит около четырехугольника BDOK можно описать окружность.

   Б) 1) Т.к.  $$AC^{2}BC^{2}=AB^{2}$$, то $$\Delta ABC$$ - прямоугольный

     2) Пусть AD=DB=x, тогда DC=8-x. Из  $$\Delta BDC$$: $$(8-x)^{2}+36=x^{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-16x+64+36=x^{2}\Leftrightarrow$$$$16x=100\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{25}{4}$$

     3) Из $$\Delta BHD$$: $$DH=\sqrt{(\frac{25}{4})^{2}-25}=$$$$\sqrt{\frac{625}{16}-25}=$$$$\sqrt{\frac{225}{16}}=$$$$\frac{15}{4}$$. $$\cos 2\varphi =\frac{BH}{DB}=\frac{4}{5}$$

     4) Поскольку BO-биссектриса , то $$\frac{HO}{OD}=\frac{BH}{HD}=\frac{4}{5}\Rightarrow$$ $$OD=\frac{5}{9}HD=\frac{25}{12}$$. Применяя формулу понижения степени $$2 \sin^{2}\varphi =1-\cos 2\varphi$$ находим: $$\sin^{2}\varphi=$$$$\frac{1-\cos 2\varphi }{2}=\frac{1}{10}\Rightarrow$$ $$\sin \varphi =\frac{1}{\sqrt{10}}$$

     5) Радиус окружности , описанной около $$\Delta BOD$$, равен радиусу окружности, описанной около четырехугольника BDOK, тогда по теореме синусов из $$\Delta BOD$$: $$R=\frac{OD}{2\sin \varphi }=$$$$\frac{25}{12*2*\frac{1}{\sqrt{10}}}=$$$$\frac{25\sqrt{10}}{24}$$

 

Задание 5196

Касательная в точке $$A$$ к описанной окружности треугольника $$ABC$$ пересекает прямую $$BC$$ в точке $$E$$, $$AD$$ – биссектриса треугольника $$ABC$$.

А) Докажите, что $$AE=ED$$
Б) Известно, что точка $$E$$ лежит на луче $$CB$$ и $$CE=9$$, $$BE=4$$, $$\cos AED=\frac{9}{16}$$. Найдите расстояние от вершины $$B$$ до прямой $$AC$$
Ответ: $$\frac{5\sqrt{7}}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)   1) $$\angle ACB$$-вписанный $$\Rightarrow \angle ACB=\frac{1}{2}\cup AB$$; $$\angle AEB$$-между касательной и хордой $$\Rightarrow \angle AEB=\frac{1}{2}\cup AB\Rightarrow \angle ACB=\angle AEB.$$

       2) AD-биссектриса $$\Rightarrow \angle CAD=\angle BAD$$; $$\angle EAD=\angle AEB+\angle BAP(1)$$; $$\angle ADE=\angle ACB+\angle CAP(2)$$

Из (1)и(2), $$\angle EAP=\angle ADE\Rightarrow EA=ED$$

Б)   1) $$\Delta AEB\sim \Delta EAC(\angle E$$- общий;$$\angle EAB=\angle ACE$$)

$$\frac{AB}{AC}=\frac{EB}{EA}=\frac{EA}{EC}(3)$$. Тогда $$EA^{2}=EB*EC$$; $$EA=\sqrt{9*4}=6$$

       2) По теореме косинусов из $$\Delta EAB$$: $$AB=\sqrt{4^{2}+6^{2}-2*4*\frac{9}{16}}=5$$

       3) из равенства (3): $$\frac{AB}{AC}=\frac{EB}{EA}\Leftrightarrow AC=\frac{AB*EA}{EB}=\frac{5*6}{4}=\frac{15}{2}$$

       4) BC=EC-EB=5, тогда : $$AB=BC \Rightarrow$$ расстояние от B до AC-высота BH: $$BH=\sqrt{BC^{2}-(\frac{1}{2}AC)^{2}}=\sqrt{25-(\frac{15}{4})^{2}}=\sqrt{\frac{175}{16}}=\frac{5\sqrt{7}}{4}$$ Ответ :$$\frac{5\sqrt{7}}{4}$$

 

Задание 5243

В тупоугольном треугольнике АВС ($$\angle C$$ - тупой) на высоте ВН как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно.

А) Докажите, что $$\sin\angle ABC=\frac{PH}{BC}-\frac{KH}{BA}$$
Б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что $$BA=13$$, $$BC=8$$, $$\sin\angle ABC=\frac{7\sqrt{3}}{26}$$

Ответ: $$\frac{42}{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)   1) $$\sin \angle ABC =\frac{PH}{BC}-\frac{KH}{BA}=$$$$\frac{PH*BA-KH*BC}{BC*BA}$$

     2) $$PH\perp AB$$(т.к. опирается на диаметр); $$KH\perp BC$$(т.к. опирается на диаметр)

     3) $$\sin \angle ABC=\frac{2S_{AHB}-S_{BCH}}{BC*BA}=$$$$\frac{2S_{ABC}}{BC*BA}=$$$$\frac{2*\frac{1}{2}BC*BA*\sin\angle ABC}{BC*BA}=\sin\angle ABC$$

Б)   1) $$\Delta ABC*\cos ABC=\sqrt{1-\sin^{2}ABC}=\sqrt{1-\frac{147}{676}}=\frac{23}{26}$$

$$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2 AB*BC\cos ABC}=\sqrt{13^{2}+8^{2}-2*13*8*\frac{23}{26}}=7$$

     2) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*BH=\frac{1}{2}AB*BC*\sin ABC$$; $$BH=\frac{13*8*\frac{7\sqrt{3}}{26}}{7}=4\sqrt{3}$$

     3) $$\cos CBH=\frac{BH}{CB}=\frac{4\sqrt{3}}8{}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, тогда $$\angle CBH=30$$ и $$KB=BH*\cos CBH=4\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}2{}=6$$

     4) $$\angle HCB=90-\angle CBH=60\Rightarrow \angle ACB=120$$; $$\angle KHB=90-\angle CBH=60\Rightarrow \angle KPB=120$$(т.к. HKPB-вписанный). Тогда $$\Delta KPB\sim \Delta ABC\Rightarrow \frac{KB}{AB}=\frac{KP}{AC}\Rightarrow KP=\frac{6*7}{13}=\frac{42}{13}$$

 

Задание 5291

В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются в точке Н, точка О – центр описанной окружности, точка К – середина ВС.

А) Докажите, что отрезок АН вдвое длиннее отрезка ОК.
Б) Найдите длину отрезка ОН, если известно, что АВ=5, ВС=6, АС=7.
Ответ: $$\frac{\sqrt{310}}{8}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) 1) Пусть О - центр окружности описанной около $$\Delta ABC$$, тогда OK и ON - серединные перпендикуляры к BC и AC. KN - средняя линия, следовательно, $$KN=\frac{1}{2}AB$$, $$KN \parallel AB$$. 

     2) $$BC\perp AC$$, $$ON\perp AC$$, $$AH\perp BC$$, $$OK\perp BC$$$$\Rightarrow$$ $$BH\parallel ON$$, $$AH\parallel OK$$. $$\Delta AHB\sim \Delta KON$$, т.к. $$\angle 1=\angle 2$$, $$\angle 3=\angle 4$$. Следовательно, $$\frac{AH}{OK}=\frac{AB}{KN}=\frac{2}{1}$$. следовательно, $$AH=2OK$$

   Б) 1) Найдем площадь треугольника ABC: $$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=6\sqrt{6}$$. OC - радиус описанной окружности, следовательно, $$R=\frac{AB*BC*AC}{4S_{ABC}}=\frac{35}{4\sqrt{6}}$$. 

     2) $$CN=0,5AC=3,5$$, $$ON=\sqrt{OC^{2}-CN^{2}}=\frac{7}{4\sqrt{6}}$$, $$BH=2ON$$

     3) Пусть $$OT \parallel AC$$, тогда $$HT=BB_{1}-3ON$$, $$AC*BB_{1}=2S_{ABC}=12\sqrt{6}$$, следовательно, $$BB_{1}=\frac{12\sqrt{6}}{7}$$, $$HT=\frac{141}{28\sqrt{6}}$$

     4) Из $$\Delta BB_{1}C:$$ $$B_{1}C=\sqrt{BC^{2}-BB_{1}^{2}}=\frac{30}{7}$$, тогда $$TO=B_{1}N=B_{1}C-CN=\frac{11}{14}$$

     5) Из $$\Delta HTO$$: $$OH=\sqrt{HT^{2}+TO^{2}}=\frac{\sqrt{310}}{8}$$

Задание 5339

В трапецию ABCD c основаниями ВС и AD вписана окружность с центром О, СН – высота трапеции, Е – точка пересечения диагоналей.

А) Докажите, что $$\angle OHC = \frac{1}{2} \angle ADC$$
Б) Найдите площадь четырехугольника СЕОН, если известно, что .$$\angle BAD =90^{\circ} , BC = 9 , AD = 18$$
Ответ: 21
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1)Пусть $$\angle ADC = \alpha$$, тогда $$\angle DCB = 180 - \alpha$$ (по свойству трапеции). Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, тогда OC - биссектриса, следовательно, $$\angle OCD = 0,5 \angle DCB = 90-\frac{1}{2}\alpha$$

2) $$\angle DCH = 90 - \alpha$$ (из прямоугольного треугольника CHD). Тогда $$\angle OCH = \angle OCD - \angle DCH = \frac{\alpha}{2}$$

3)Проведем перпендикуляр OM на отрезок CH. O - центр окружности, следовательно M - центр CH, тогда треугольники OMC и OMH равны по двум катетам, тогда $$\angle OHC= \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}ADC$$

б)1) BC + AD = AB + CD = 27 ( по свойству вписанного четырехугольника ). CH = AB ; пусть AB = x, то CH = x , и CD = 27 - x ; AH = BC, тогда HD = 18 - 9 = 9. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника CHD: $$(27-x)^{2}=x^{2}+9^{2} \Leftrightarrow$$$$x=12$$. Значит AB=12 и радиус окружности составляет 6.

2)Пусть через E проходит перпендикуляр NQ. Докажем, что он пройдет и через O. Треугольники BCE и AED подобны, тогда $$\frac{NE}{EQ}=\frac{BC}{AD}$$. Но и треугольники BNE и EQD подобны, тогда $$\frac{NE}{EQ}=\frac{BN}{QD}$$. Тогда $$\frac{BC}{AD}=\frac{BN}{QD}$$. Пусть BN=y, тогда QD=18-y. Получаем $$\frac{9}{18}=\frac{y}{18-y}$$. Тогда y=6=BN. Но радиус так же равен 6, тогда E и O лежат на одной прямой, параллельной CH.

3)Из пункта два (подобие треугольников) $$\frac{NE}{EQ}=\frac{BC}{AD}$$, пусть NE=z, тогда EQ=12-z. $$\frac{z}{12-z}=\frac{9}{18}$$. Тогда z=4=NE, следовательно, EQ=8. Тогда $$EO=EQ-QO=8-6=2$$. $$QH=AH-AQ=9-6=3$$.

4)$$S_{CEOH}=\frac{EO+CH}{2}*QH=\frac{2+12}{2}*3=21$$

 

Задание 5387

Дан выпуклый четырехугольник ABCD с прямым углом А. Окружность, проходящая через вершины А, В и D пересекает стороны ВС и CD в точках M и N соответственно. Прямые BN и DM пересекаются в точке Р, а прямая СР пересекает сторону AD в точке К.
А) Докажите, что точки А, М, Р и К лежат на одной окружности.
Б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что прямая СK параллельна прямой АМ и АВ=АК=KD= $$4\sqrt{5}$$
Ответ: $$\sqrt{65}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1) Рассмотрим треугольник  ABD: по условию $$\angle A = 90^{\circ}$$ -  тогда BD - диаметр. Тогда $$\angle BMD = \angle BND = 90^{\circ}$$ ( опираются на диаметр ). Следовательно, DM и BN - высоты треугольника BCD, тогда CZ - высота.

2) Пусть $$\angle MDB = \alpha$$, тогда $$\angle DPZ = 90 - \alpha$$ (из треугольника DPZ ) и $$\angle MPZ = 90 + \alpha$$ (как смежный). $$\angle MAB = \alpha$$ (как вписанный, опирающийся на ту же дугу, что и $$\angle MDB$$) , тогда $$\angle MPZ = 90 - \alpha$$. Но в таком случае $$\angle MPZ+\angle MPZ=180$$, следовательно, вокруг AMPZ можно описать окружность

б) 1)Из треугольника ABD: $$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=20$$, тогда BO=OD=OM=OA=10 (как радиусы)

2)Радиус окружности, описанной около AMPK и AMK - одинаковый. Пусть R - радиус окружности, описанной около AMK: $$R=\frac{MK}{2\sin MAK}$$.

3)PK параллельна AM, тогда AMPK - трапеция. $$\angle MAK + \angle AKP = 180$$ по свойству трапеции, но и $$\angle AMP + \angle AKP = 180$$ (так как вписан в окружность), тогда $$\angle MAK =\angle AMP$$, значит трапеция равнобедренная, и AK=MP, треугольники PDK и MDA подобны, причем коэффициент подобия составляет 1/2, следовательно, KD=PD, тогда $$AD=MD=8\sqrt{5}$$

4)Пусть MA=x ; $$\angle MDA= \alpha$$, тогда $$\angle MOA = 2\alpha$$. Распишем теорему косинусов для треугольников AMO и AMD:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}=10^{2}+10^{2}-2*10*10\cos 2\alpha\\ x^{2}=(8\sqrt{5})^{2}+(8\sqrt{5}^{2})-2*(8\sqrt{5})*(8\sqrt{5})\cos \alpha\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x^{2}=200-200\cos 2\alpha\\ x^{2}=640-640\cos \alpha\end{matrix}\right.$$

Тогда $$200-200\cos 2\alpha=640-640\cos \alpha \Leftrightarrow$$$$-20\cos 2\alpha +640\cos \alpha -440=0 \Leftrightarrow$$$$5\cos 2\alpha -16\cos \alpha +11=0 \Leftrightarrow$$$$5(2\cos^{2} \alpha -1) -16\cos \alpha +11=0 \Leftrightarrow$$$$5\cos^{2} \alpha -8\cos \alpha +3 =0$$. Тогда $$\cos \alpha = 1 ; \frac{6}{10}$$.

Одному равен косинус быть не может, так как уголь тогда равен 0. Следовательно, $$\cos \alpha = \frac{6}{10}$$, тогда $$AM=x=\sqrt{640-640* \frac{6}{10}}=16$$

5)Из треугольника MAK: $$\cos MAK = \frac{16^{2}+(8\sqrt{5})^{2}-(8\sqrt{5})^{2})}{2*16*8\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$. Тогда $$\sin MAK = \frac{2}{\sqrt{5}}$$ по основному тригонометрическому тождеству.

6)Из треугольника MAK: $$MK=\sqrt{16^{2}+(4\sqrt{5})^{2}-2*16*4\sqrt{5}*\frac{1}{\sqrt{5}}}=\sqrt{208}$$

7)$$R=\frac{MK}{2\sin MAK}=$$$$\frac{\sqrt{208}}{2*\frac{2}{\sqrt{5}}}=\sqrt{65}$$

 

Задание 6043

На диагонали LN параллелограмма KLMN отмены точки Р и Q, причем LP=PQ=QN

А) Докажите, что прямые КР и KQ проходят через середины сторон параллелограмма.
Б) Найдите отношение площади параллелограмма KLMN к площади пятиугольника MRPQS, где R – точка пересечения КР со стороной LM, S – точка пересечения KQ с MN
Ответ: $$\frac{3}{1}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а)1) Построим MQ:NQ=PL;

$$NM=KL \angle QLM=\angle KLP\Rightarrow \Delta KLP=\Delta QMN$$ и $$MQ=KP$$

2)Аналогично, построим MP из равенства $$\Delta LMP$$ и $$\Delta KQN$$ MP=KQ;

3)из п.1 и п.2= KPMQ-паралелограмм $$\Rightarrow MP\left | \right |KQ$$,тогда по т. Фалеса т.к. PQ=QN, то MS=SN , аналогично : $$\angle P=PQ$$, тогда $$\angle R=RM$$;

б )1) Пусть $$S_{KLMN}=S$$,тогда $$S_{MLN}=\frac{1}{2}*S$$.

2) $$\frac{S_{RLP}}{S_{MLN}}=\frac{RL*LP}{ML*LN}=$$$$\frac{\frac{1}{2}*ML*\frac{1}{3}*LN}{ML*LN}=$$$$\frac{1}{6}\Rightarrow S_{RLP}=\frac{1}{6}*S_{MLN}$$.

3)Аналогично п2: $$S_{QNS}=\frac{1}{6}*S_{MNL}\Rightarrow S_{MRPQS}=S_{MLN}-2*\frac{1}{6}*S_{MNK}=$$$$\frac{2}{3}*S_{MKN}=\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*S=\frac{1}{3}*S$$.

4)$$\frac{S_{KLMN}}{S_{MRPQS}}=\frac{1}{3}*S=\frac{3}{1}$$

 

Задание 6090

В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Точки L и M являются соответственно серединами сторон BC и AD . Отрезок LM содержит точку K . Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность.

а) Докажите, что четырехугольник ABCD трапеция.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 3 , $$AC=\sqrt{13}$$ и LK:KM=1:3
Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1)Пусть BC не параллельна AD. Построим $$a \left | \right |AD ;a\cap AD=P$$; $$MK\cap BP=L_{1}$$ и $$BL_{1}=L_{1}P$$ (свойство трапеции)

2) $$BL=LC; BL_{1}=L_{1}P\Rightarrow LL_{1}$$-средняя линия. $$\Delta BCP$$ и $$LL_{1}\left | \right |PC$$ и $$LM\left | \right |AC$$, но $$LM\cap AC=K\Rightarrow BC\left | \right |AP ABCD$$-трапеция.

б) 1) $$\Delta BCK\sim \Delta AKD\Rightarrow \frac{LK}{KM}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{3}$$ Пусть BC=x; AD=3x.

2)Т.к. окружность можно вписать ,то $$AD+BC=AB+CD\Rightarrow CD=4x-3$$

3) Из C проведем $$CQ\left | \right |AB(CQ\cap AD=Q)$$, $$CQ=AB=3 BC=AQ=x\Rightarrow QD=2x$$.

4)Из $$\Delta ADC$$: $$\cos\angle D=\frac{3x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2*3x(4x-3)}$$

Из $$\Delta QDC$$: $$\cos\angle D=\frac{(2x)^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2*2x*(4x-3)}$$

$$\frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2*3x(4x-3)}=$$$$\frac{4x^{2}+(4x-3)-9}{2*2x(4x-3)}\Leftrightarrow$$$$\frac{25x^{2}-24x-4}{3}=\frac{20x^{2}-24x}{2}\Leftrightarrow$$$$25x^{2}-24x-4=30x^{2}-36x\Leftrightarrow$$$$5x^{2}-12x+4=0\Leftrightarrow$$$$\left [\begin{matrix}x_{1}=2 & & \\x_{2}=0,4 & &\end{matrix}\right.$$

Т. К. 4x-3> 0, то $$x_{2}$$ не подходит $$\Rightarrow x=2$$, тогда BC=2 QD=4 CD=5.

5 ) Из $$\Delta QCD: QC^{2}+QD^{2}=3^{2}+4^{2}=25=CD^{2}\Rightarrow \Delta QCD$$- прямоугольный $$QC\perp AP\Rightarrow r=\frac{1}{2}*QC=1,5$$.

Задание 6137

Точка M пересечения медиан треугольника ABC , вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K ‐середина стороны BC .
б) Найдите длину AK , если $$BC=6\sqrt{3}$$
Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a)1) Пусть $$CM\cap AB=Q; BM\cap AC=P$$, тогда QP-средняя линия $$\Rightarrow QP\left | \right |BC\Rightarrow \Delta QPM\sim \Delta BMC \angle BPQ=\angle PBC$$

2) $$\angle QPM=\angle QAM$$(вписанные и опираются на одну дугу)$$\Rightarrow \angle QAM=\angle MBK \angle BKA$$-общий $$\Rightarrow \Delta ABK\sim \Delta MBK$$.

b)1)Пусть MK=x,тогда по свойству имеем MA=2x.Из подобия $$\Delta ABK$$ и $$\Delta MBK$$

$$\frac{BK}{KM}=\frac{AK}{BK}\Rightarrow BK^{2}=AK*KM.$$

2)$$BK=\frac{1}{2}BC=3\sqrt{3}$$,тогда $$(3\sqrt{3})^{2}=3x*x\Rightarrow$$ x=3,тогда AK=9.

 

Задание 6185

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q , лежащей внутри треугольника АВ1С1.

А) Докажите, что С1Q – биссектриса угла АС1В1.
Б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АВ1С1, если известно, что ВС=9, АВ=10, АС=17.
Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а)   1) $$\Delta AB_{1}Q$$ и $$\Delta AC_{1}Q :AB_{1}=AC_{1}$$(отрезки касательных), $$\angle B_{1}AQ=\angle QAC_{1}$$(AQ-биссектриса )

AQ-общая $$\Rightarrow \Delta AB_{1}Q=\Delta AC_{1}Q\Rightarrow$$ $$\Delta QB_{1}C_{1}$$ - равнобедренный и $$\angle QB_{1}C_{1}=\angle B_{1}C_{1}Q=\alpha$$ $$\Rightarrow \cup B_{1}Q=\cup QC_{1}=\alpha$$

     2) $$\angle B_{1}C_{1}Q=\frac{1}{2}\cup B_{1}Q=\frac{1}{2}\alpha$$ (вписанный), $$\angle QC_{1}A=\frac{1}{2}\cup QC_{1}=\frac{1}{2}\alpha$$( между хордой и касательной) $$\Rightarrow \angle B_{1}C_{1}Q=\angle QC_{1}A\Rightarrow C_{1}Q$$-биссектриса

б)   1) из п.(a) получаем, что и $$\angle QB_{1}C_{1}=\angle QB_{1}A\Rightarrow B_{1}Q$$ –биссектриса $$\Rightarrow Q$$-центр вписанной окружности $$\Rightarrow QO$$-расстояние

     2)$$r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}; p=\frac{17+9+10}{2}=18$$

$$S=\sqrt{\frac{(18-9)(18-10)(18-17)}{18}}=\sqrt{\frac{9-8}{18}}=2$$

 

Задание 6232

Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника АВС ( С=90). Окружность радиуса $$\sqrt{15}$$ проходит через точки А, С, D и пересекает сторону АВ в точке Е так, что АЕ:АВ=3:5. Отрезки СЕ и AD пересекаются в точке О.

А) Докажите, что СО=ОЕ
Б) Найдите площадь треугольника АВС.
Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

    A) 1) $$\angle ACB=90$$, тогда AD-диаметр круга и $$\angle AED=90$$

     2) $$\angle CAD=\angle EAD$$( AD-биссектриса), AD-общая ,тогда $$\Delta ACD=\Delta ADE$$(по гипотенузе и острому углу) и AC=AE

     3)AO-общая , тогда $$\Delta ACO=\Delta EAO$$(по двум сторонам и углу), тогда CO=OE

    Б) 1)Пусть AE=3x; тогда AB=5x; AC=3x; CD=3y; DB=5y

     2)По свойству биссектрисы : $$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DB}=\frac{3}{5}.$$

     3) из $$\Delta ACB:(3x)^{2}+(8y)^{2}=(5x)^{2}(1)$$

Из $$\Delta ACD: (3x)^{2}+(3y)^{2}=(2\sqrt{15})^{2}(2)$$

Из (1): $$9x^{2}+64y^{2}=25x^{2}\Leftrightarrow 16x^{2}=64y^{2}\Leftrightarrow x^{2}=4y^{2}\Leftrightarrow x=2y$$

Подставим в (2): $$(by)^{2}+(3y)^{2}=60\Leftrightarrow 45y^{2}=60\Leftrightarrow y^{2}=\frac{4}{3}$$

     4) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}*3x*8y=\frac{1}{2}*6y*8y=24y^{2}=24*\frac{4}{3}=32.$$

 

Задание 6280

Биссектриса AD и высота ВЕ остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину А, середину стороны АС и пересекает сторону АВ в точке К такой, что АК:КВ=1:3.

А) Докажите, что AD делит площадь треугольника АВС в соотношении 1:2
Б) Найдите длину стороны ВС, если радиус окружности $$R=\sqrt{2}$$
Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) 1) $$\angle AKL=90=\angle AGL$$(опираются на диаметр)

     2)$$\Delta AKL=\Delta AGL$$(по острому углу и гипотенузе )$$\Rightarrow AK=AC_{1}=x$$, тогда $$KB=3x\Rightarrow AB=4x, C_{1}C=x$$$$\Rightarrow AC=2x$$

     3) По свойству биссектрис: $$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{DC}=\frac{4x}{2x}=\frac{2}{1}$$. По свойству площадей: $$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{1}$$

Б) 1) $$\angle BAD=\alpha =\angle DAC\Rightarrow \angle A=2\alpha$$. Из $$\Delta ABE :\cos 2\alpha =\frac{AE}{AB}=$$$$\frac{0,5x}{4x}=\frac{1}{8}\Leftrightarrow$$$$2 \cos^{2}\alpha -1=\frac{1}{8}\Leftrightarrow$$ $$\cos ^{2}\alpha =\frac{9}{16}\Rightarrow$$ $$\cos \alpha =\frac{3}{4}$$

     2) $$AL=2R=2\sqrt{2}$$. Из $$\Delta ALC_{1} :\frac{AC_{1}}{AL}=\cos \alpha \Rightarrow$$ $$AC_{1}=\frac{2\sqrt{2}*3}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow$$ $$AC=3\sqrt{2} AB=6\sqrt{2}$$

     3) из $$\Delta ABC:$$ $$BC=\sqrt{(6\sqrt{2})^{2}+(3\sqrt{2})^{2}-2*6\sqrt{2}*3\sqrt{2}*\cos 2\alpha }=$$$$\sqrt{72+18-\frac{3*2*2*6*3}{8}}=\sqrt{90-9}=9$$

 

Задание 6328

В треугольнике АВС, где АВ=ВС=3, $$\angle ABC=\arccos \frac{1}{9}$$ проведена медиана AD и биссектриса СЕ, пересекающиеся в точке М. Через М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая стороны АВ и ВС в точках Р и Q соответственно.

А) Найдите РМ
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник PQB.
Ответ: $$\frac{14\sqrt{5}}{55}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)   1) Из $$\Delta ABC$$: $$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB*BC*\cos B}=$$$$\sqrt{9+9-2*5*\frac{1}{9}}=$$$$\sqrt{18-2}=4$$

     2)по свойству биссектрис: $$\frac{AM}{MP}=\frac{AC}{DC}=$$$$\frac{1,5}{4}=\frac{3}{8}\Rightarrow$$ $$MD=\frac{3}{11}AC=\frac{12}{11}$$

     3) Из $$\Delta MDQ\sim \Delta ADC\Rightarrow$$ $$\frac{MD}{AD}=\frac{DQ}{DC}=\frac{3}{11}\Rightarrow$$ $$DQ=\frac{1,5*3}{11}=\frac{9}{22}\Rightarrow$$ $$BQ=1,5+\frac{9}{22}=\frac{3}{2}+\frac{9}{22}=$$$$\frac{33+9}{22}=\frac{42}{22}=\frac{21}{11}$$

     4) Из $$\Delta PBQ\sim \Delta ABC\Rightarrow$$ $$\frac{PQ}{AC}=\frac{BQ}{BC}=$$$$\frac{21}{11}:3=\frac{21}{33}$$. Тогда $$PQ=\frac{21*4}{33}=\frac{84}{33}$$

     5)$$PM=PQ-QM=\frac{84}{33}-\frac{12}{11}=$$$$\frac{84-36}{33}=\frac{48}{33}=\frac{16}{11}$$

Б)   1) $$BP=BQ=\frac{21}{11}$$, $$p=\frac{\frac{21}{11}+\frac{21}{11}+\frac{84}{33}}{2}=$$$$\frac{42+28}{22}=\frac{70}{22}=\frac{35}{11}$$

     2) По формуле Герона: $$r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$. Тогда: $$r=\sqrt{\frac{(\frac{35}{11}-\frac{21}{11})^{2}(\frac{35}{11}-\frac{28}{11})}{\frac{35}{11}}}=$$$$\sqrt{(\frac{14}{11})^{2}*\frac{7}{11}*\frac{11}{35}}=$$$$\frac{14}{11\sqrt{5}}=\frac{14\sqrt{5}}{55}$$

 

Задание 6375

В треугольнике АВС угол С тупой, а точка D выбрана на продолжении АВ за точку В так, что $$\angle ACD=135$$ точка D' симметрична точке D относительно прямой ВС, точка D'' симметрична точке D’ относительно прямой АС и лежит на прямой ВС. Известно, что $$\sqrt{3}BC=CD''$$, AC=6.

А) Докажите, что треугольник CBD – равнобедренный
Б) Найдите площадь треугольника АВС
Ответ: $$3\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)   1) Пусть $$\angle {D}'CO=\alpha$$ .Т.к. $${D}'Q=QD$$, CQ-общая и $$\angle {D}'QC=90$$, то $$\Delta C{D}'Q=\Delta CQD$$ и $$\angle QCD=\alpha$$

     2) из $$\Delta ACD :\angle ACB=135-\alpha$$

$$\angle AC{D}'=135-2\alpha =\angle {D}''CA$$(аналогично п.1)

$$\angle {D}''CA+ACQ=180$$

$$135-2\alpha +135-\alpha =180$$

$$3\alpha =90\Leftrightarrow$$ $$\alpha=30$$

     3) Пусть $${D}''C=x$$, тогда $$C{D}'=x=CD$$.Т.к. $$\angle {D}'CD=2\alpha=60$$ и $$C{D}'=CD$$, $$\Delta C{D}'D$$-равносторонний .Тогда $$CQ=C{D}'\sin 60=\frac{\sqrt{3x}}{2}$$

     4) $$BC=\frac{C{D}''}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}x}{3}$$.Тогда $$BQ=CQ-CB=$$$$\frac{\sqrt{3}x}{2}-\frac{\sqrt{3}x}{3}=\frac{\sqrt{3}x}{6}$$, $$\frac{CB}{BQ}=\frac{\sqrt{3}x}{3}:\frac{\sqrt{3}x}{6}=2:1$$

а т.к. $$CQ\perp DB$$, то CQ- медиана, тогда B-точка пересечения медиан $$\Rightarrow CN\perp C{D}'$$ и $$\angle BDC=\angle BD{D}'\Rightarrow$$ $$\Delta CBD$$-равнобедренный.

Б) 1) $$\angle ACB=135-\alpha=105$$ , $$\angle ABC=180-120=60.$$

По т. Синусов из $$\Delta ACB$$: $$\frac{AC}{\sin \beta }=\frac{OB}{\sin \alpha }\Leftrightarrow$$ $$CB=\frac{6*\sin 15}{\sin 60}=4\sqrt{3}\sin 15$$

     2) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*CB*\sin C=$$$$\frac{1}{2}*6*4\sqrt{3}\sin 15 *\sin 105=$$$$12\sqrt{3}*\sin 15*\cos 15=$$$$12\sqrt{3}*\frac{1}{2}*\sin 30=3\sqrt{3}$$

 

Задание 6422

Продолжения медиан АМ и ВК треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках Е и F соответственно, причем АЕ:АМ=2:1, BF:BK=3:2.

А) Докажите, что АВ||CE
Б) Найти углы треугольника АВС.
Ответ: $$arctg 2; 90^{\circ}-arctg 2; 90^{\circ}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) 1) $$AE:EM=2:1$$. Пусть $$ME=x\Rightarrow AE=2x$$, $$AM=x\Rightarrow$$ $$ME=AM$$, $$BM=MC$$(AM-медиана ), то по свойству хорд :

$$AM*ME=BM*MC\Leftrightarrow$$ $$AM^{2}=BM^{2}\Rightarrow$$ $$AM=BM(1)$$

     2) из равенства 1 получаем , что $$\angle A=90\Rightarrow$$ BC-диаметр , AE-диаметр , тогда $$AM=BM=MC=ME$$, $$\angle AMB=\angle CME$$(вертикальные ) $$\Rightarrow\Delta AMB=\Delta CME$$ –равнобедренные $$\angle BAM=\angle MEC\Rightarrow$$ $$AB\left | \right |EC$$

   Б) 1) Пусть $$AB=a, AC=b, BC=c, BK=m_{b}$$

     2) По формуле длины медианы: $$BK=\frac{1}{2}\sqrt{2 AB^{2}+2BC^{2}-AC^{2}}\Leftrightarrow$$$$m_{b}=\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2 c^{2}-B^{2}}(1)$$

По свойству хорд : $$BK*KF=AK*KC$$. Т.к. $$BK:BF=\frac{2}{3}$$, то $$KF=\frac{1}{2}BK$$. Тогда получим: $$\frac{1}{2}m_{b}*m_{b}=\frac{b}{2}*\frac{b}{2}\Rightarrow$$ $$2m^{2}_{b}=b^{2}$$. Подставим в (1): $$4m^{2}_{b}=2a^{2}-b^{2}$$

$$2b^{2}+b^{2}=2a^{2}+2c^{2}\Leftrightarrow$$ $$3b^{2}=2a^{2}+2c^{2}$$

С другой стороны: $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$, тогда : $$\left\{\begin{matrix}2a^{2}-3b^{2}=-2c^{2}\\a^{2}+b^{2}=c^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2a^{2}-3b^{2}=-2c^{2}\\2a^{2}+2b^{2}=2c^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$4a^{2}-b^{2}=0\Leftrightarrow$$$$\frac{b^{2}}{a^{2}}=4\Leftrightarrow$$$$\frac{b}{a}=2=tg \angle B$$. Тогда $$\angle B=arctg 2, \angle C=90-arctg 2$$

 

Задание 6470

В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС расположены точки Е и D соответственно так, что AD – биссектриса треугольника АВС, DE – биссектриса треугольника ABD, AE=ED=9/16, CD=3/4.

А) Найдите АС.
Б) Найдите площадь треугольника АВС
Ответ: $$\frac{2}{7}\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) $$\angle EAD=\angle DAC$$(AD-биссектриса ), $$AE=ED\Rightarrow$$ $$\angle EAD=\angle EDA\Rightarrow$$ $$\angle EDA=\angle DAC$$, $$ED\left | \right |AC$$

     2) из п.1 $$\Delta EBD\sim \Delta ABC\Rightarrow$$ $$\angle BDE=\angle BCA$$.Но $$\angle BDC=\angle EDA=\angle DAC$$, тогда $$\angle DCA=\angle DAC\Rightarrow$$ $$AD=DC=\frac{3}{4}$$

     3) $$\frac{EA}{AD}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow$$ $$AC=\frac{AD^{2}}{EA^{2}}=$$$$\frac{(\frac{3}{4})^{2}}{\frac{9}{16}}=1$$

   Б) 1) Пусть EB=x; BD=y. Из подобия п.2 :

$$\left\{\begin{matrix}\frac{EB}{AB}=\frac{ED}{AC}\\\frac{BD}{DC}=\frac{ED}{AC}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{\frac{9}{16}+x}=\frac{\frac{9}{16}}{1}\\\frac{y}{y+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{9}{16}}{1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}16x=9x+\frac{81}{16}\\16y=9y+\frac{27}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{81}{7*16}\\y=\frac{27}{4*7}\end{matrix}\right.$$

Тогда: $$AB=\frac{9}{16}+\frac{81}{7*16}=$$$$\frac{63+81}{7*16}=\frac{9}{7}$$

$$BC=\frac{3}{4}+\frac{27}{4*7}=$$$$\frac{21+27}{4*7}=\frac{12}{7}$$

     2) $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$p=\frac{1+\frac{9}{7}+\frac{12}{7}}{2}=2$$

$$S=\sqrt{2(2-\frac{9}{7}(2-\frac{12}{7})(2-1)}=$$$$\frac{2}{7}\sqrt{5}$$

 

Задание 6477

Сторона АВ треугольника АВС равна 3, ВС=2АС, Е – точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, причем DE=1.

А) Докажите, что AE || BC
Б) Найдите длину стороны АС
Ответ: $$\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) 1) Пусть $$\angle ACE=a$$. Так как дуги AE и BE равны, $$\angle BAE=\angle ABE=a$$.

     2) По свойству биссектрисы $$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}=2$$, поэтому $$BD=2, AD=1$$.

     3) Треугольник ADE - равнобедренный , поэтому $$\angle AED=a$$, $$AE\left |\right |BC$$, поскольку равны накрест лежащие углы AEC и BCE

   Б) 1) Треугольники  ACE и ABE - равнобедренный. Пусть $$AC=AE=BE=x\Rightarrow$$$$BC=2x$$

     2) ABCD-равнобедренная трапеция , проведем $$AS\perp BC\Rightarrow$$$$CS=\frac{2x-x}{2}=\frac{x}{2}=\frac{AC}{2}$$.Значит, $$\angle CAS=30,\angle ACS=2a=60\Rightarrow$$ $$\angle ABC=\angle BAE=a=30$$

     3) Из прямоугольного $$\Delta ABC$$: $$AC=AB*tg 30=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$

 

Задание 6524

В окружности с центром в точке О радиуса 4 проведены хорда АВ и диаметр АК, образующий с хордой угол $$\frac{\pi}{8}$$ . В точке В проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра АК в точке С.

А) Докажите, что треугольник ОВС – равнобедренный
Б) Найдите длину медианы АМ треугольника АВС.
Ответ: $$2\sqrt{9+6\sqrt{2}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) $$\angle KAB=\frac{1}{2}KOB\Rightarrow$$ $$\angle KOB=2*\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$$ (вписанный и центральный, опирающиеся на одну дугу)

     2) Радиус в точку касания, проведенный, перпендикулярен касательной: $$OB\perp BC\Rightarrow$$$$\Delta OBC$$ - прямоугольный$$\Rightarrow \angle OCB=\frac{\pi}{2}-\angle COB=\frac{\pi}{4}\Rightarrow$$ $$\Delta OCB$$ - равнобедренный

   Б) 1) $$OB=BC=4\Rightarrow$$ $$\Delta OCB:OC=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}\Rightarrow$$ $$AC=4+4\sqrt{2}$$

      2) $$CM=\frac{1}{2}CB=2\Rightarrow$$ из $$\Delta ACM:AM=\sqrt{AC^{2}+CM^{2}-2 AC*CM \cos C}=$$$$\sqrt{(4+4\sqrt{2})^{2}+2^{2}-2*2(4+4\sqrt{2})*\frac{\sqrt{2}}{2}}=$$$$\sqrt{36+24\sqrt{2}}=2\sqrt{9+6\sqrt{2}}$$

 

Задание 6571

Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС является хордой окружности $$\omega$$ радиуса 10. Вершина С лежит на диаметре окружности $$\omega$$ , который параллелен гипотенузе. Угол САВ равен 75.

   А) Найдите площадь треугольника АВС
   Б) Найдите расстояние между центрами окружности $$\omega$$ и окружности, вписанной в треугольник АВС
Ответ: А) 40 Б) $$2\sqrt{5}\sqrt{17-6\sqrt{6}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) Опустим $$OM\perp AB$$, тогда BM=MA=MC(медиана прямоугольного равна половине гипотенузе)

     2) $$\angle MCB=\angle MBC=15$$; $$\angle MBC=\angle BCO=15$$(накрест лежащие) $$\Rightarrow \angle MCO=30$$

     3)Пусть $$OM=x\Rightarrow$$ $$MC=2x=BM$$

Из $$\Delta BMO$$ по т. Пифагора : $$BO^{2}=BM^{2}+OM^{2}\Leftrightarrow$$ $$100=x^{2}+4x^{2}=5x^{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}=20$$

     4) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}OM*AB=$$$$\frac{1}{2}*x*(2x+2x)=$$$$\frac{1}{2}*4x^{2}=2x^{2}=40$$

   Б) $$1) AB=4x; OM=x, O_{1}$$-центр вписанной . $$O_{1}H; O_{1}C$$-радиусы. Пусть $$O_{1}K\perp OM$$, p - полупериметр $$\Delta ABC$$

     2) из $$\Delta ABC: AC=AB \sin B=4x \sin 15$$; $$BC=AB \cos 15=4x \cos 15$$; $$p=\frac{4x+4x\sin 15+4x\cos 15}{2}=$$$$2x+2x \sin 15+2x \cos 15$$

     3) Рассмотрим треугольник ABC (прямоуг.); $$p=\frac{AH+AN+CN+LC+LB+BH}{2}$$; $$BH=BL; HA=AN; CL=CN$$

Тогда $$p=\frac{2BL+2CL+2AH}{2}\Leftrightarrow$$ $$p=\frac{2CB+2AH}{2}\Leftrightarrow$$ $$AH=p-CB=2x+2x\sin 15+2x\cos15-4x \cos 15$$, тогда $$MH=MA-HA=KO_{1}$$; $$KO_{1}=2x-(2x+2x\sin 15-2x\cos 15)=$$$$2x\cos 15-2x \sin 15=2x(\cos 15-\sin 15)$$

     4) KM=O, H=CN. Аналогично п3: $$CN=p-AB=2x+2x \sin 15+2x\cos 15-4x=$$$$2x\sin 15+2 x\cos 15-2x$$, тогда $$KO=OM-KM=$$$$x-(2x\sin 15+2x \cos 15-2x)=$$$$3x-2x \sin 15-2 x\cos 15=x(3-2(\sin 15+\cos 15))$$

     5) $$\Delta KOO_{1}$$: $$OO_{1}=\sqrt{KO^{2}+KO_{1}^{2}}$$

   $$KO_{1}=2x(\cos 15-\sin 15)$$; $$x=\sqrt{20}$$

   $$\sin 15=\sin (45-30)=\sin 45\cos 30-\cos 45\sin 30=$$$$\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$

   $$\cos 15=\cos (45-30)=\cos 45\cos 30+\sin 45\sin 30=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

   $$KO_{1}=2\sqrt{20}(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})=$$$$2\sqrt{20}*\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{40}$$

   $$KO=x(3-2(\sin 15+\cos 15))=\sqrt{20}(3-2(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}))=$$$$\sqrt{20}(3-2*\frac{\sqrt{6}}{2})=\sqrt{20}(3-\sqrt{6})=3\sqrt{20}-\sqrt{120}$$

   $$OO_{1}=\sqrt{(3\sqrt{20}-\sqrt{120})^{2}+(\sqrt{40})^{2}}=$$$$\sqrt{9*20-60\sqrt{24}+120+40}=$$$$\sqrt{180-120\sqrt{6}+160}=\sqrt{340-120\sqrt{6}}=$$$$2\sqrt{5}\sqrt{17-6\sqrt{6}}$$

 

Задание 6618

Точка N делит диагональ трапеции ABCD в отношении CN:NA=2:1. Длины оснований ВС и AD относятся как 1:3. Через точку N и вершину D проведена прямая, пересекающая боковую сторону АВ в точке М.

А) Какую часть площади трапеции составляет площадь четырехугольника MBCN?
Б) Найдите длину отрезка MN, если MD=9.
Ответ: А) $$\frac{7}{32}$$ Б) 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Пусть $$BC=x\Rightarrow$$ $$AD=3x$$; $$CN=2y\Rightarrow$$ $$AN=y$$

     2) $$\angle CAD=\angle BCA$$(накрест лежащие ). Пусть $$\angle CAD=\alpha$$

     3) $$S_{BCA}=\frac{1}{2}BC*AC*\sin BCA=$$$$\frac{1}{2}*x*3y*\sin \alpha =\frac{3xy \sin \alpha }{2}$$

$$S_{CAD}=\frac{1}{2}*AC*AD \sin CAD=$$$$\frac{1}{2}*3y*3x\sin \alpha =\frac{9xy\sin \alpha }{2}$$

$$S_{ABCD}=S_{BCA}+S_{CAD}=$$$$6xy\sin \alpha =S$$, тогда: $$S_{CAD}=\frac{3}{4}S$$, $$S_{BCA}=\frac{1}{4}S$$

      4) $$S_{BCN}=\frac{1}{2}BC*CN*\sin BCN=$$$$\frac{1}{2}*x*2y*\sin \alpha =$$$$xy\sin \alpha =\frac{1}{6}S\Rightarrow$$ $$S_{BNA}=\frac{1}{4}S-\frac{1}{6}S=\frac{1}{12}S$$

     5) $$\Delta BNC\sim \Delta ANH$$ ($$BN\cap AD=H$$) $$\Rightarrow$$ $$\frac{CN}{AN}=\frac{BN}{NH}=\frac{2}{1}=$$$$\frac{BC}{AH}\Rightarrow$$ $$AH=\frac{BC}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow$$ $$HD=3x-\frac{x}{2}=\frac{5x}{2}$$

     6) По т. Менелая для $$\Delta MDA$$:

$$\frac{BN}{NH}*\frac{HD}{AD}*\frac{AM}{MB}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{2}{1}*\frac{5x}{2*3x}*\frac{AM}{MB}=1\Rightarrow$$ $$\frac{AM}{MB}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{MB}{AB}=\frac{5}{8}$$

     7) $$S_{MBN}=\frac{MB}{AB}*S_{BNA}=$$$$\frac{5}{8}*\frac{1}{12}S=\frac{5S}{96}$$

     8) $$S_{MBCN}=\frac{5S}{96}+\frac{S}{6}=$$$$\frac{5S+16S}{96}=\frac{21S}{96}=\frac{7S}{32}$$

   Б) 1)По т. Менеая для $$\Delta ABH$$:

$$\frac{DN}{NM}*\frac{MB}{AB}*\frac{AH}{HD}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{DH}{NM}*\frac{5}{8}*\frac{1}{5}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{DN}{NM}=\frac{8}{1}\Rightarrow$$ $$MN=\frac{1}{9}*9=1$$

 

Задание 6666

Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Окружность с центром в точке О проходит через вершину А, касается стороны ВС в точке К и пересекает сторону АС в точке М такой, что АМ:МС=4:1.

А) Найдите отношение СК:КВ
Б) Найдите длину стороны АВ, если радиус окружности равен 2.
Ответ: А)$$1:2$$ Б)$$4\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) $$OK\perp CB$$(радиус в точку касания ), но и AO - высота $$\Rightarrow$$ A, O и K $$\in$$ AK - высота , но тогда AK-диаметр окружности.

     2) $$\angle KMA=90$$(опирается на диаметр)$$\Rightarrow$$ KM-высота прямоугольного треугольника AKC.

     3) Пусть CM=x, тогда MA=4x; AC=5x. $$MK=\sqrt{MA*CM}=\sqrt{4x*x}=2x$$; $$CK=\sqrt{CM^{2}+MK^{2}}=$$$$\sqrt{4x^{2}+x^{2}}=x\sqrt{5}$$

     4) $$\Delta ONA \sim \Delta KMA$$: $$\frac{AO}{AK}=\frac{AN}{AM}\Rightarrow$$ $$AN=\frac{1}{2} AM=2x\Rightarrow$$ $$CN=MN+MC=2x+x=3x$$

     5) $$\Delta BNC \sim \Delta KMC$$: $$\frac{NC}{MC}=\frac{BC}{CK}\Rightarrow$$ $$BC=\frac{3x*x\sqrt{5}}{x}=3\sqrt{5}x\Rightarrow$$ $$BK=2\sqrt{5} x\Rightarrow$$ $$CK:KB=1:2$$

   Б) 1) $$\Delta AKC$$: $$AK=\sqrt{AC^{2}-CK^{2}}=$$$$\sqrt{25x^{2}-5x^{2}}=$$$$\sqrt{20}x=4\Rightarrow$$$$x=\frac{4}{\sqrt{20}}$$

     2) $$\Delta AKB$$: $$AB=\sqrt{AK^{2}+KB^{2}}=\sqrt{40}x=$$$$\frac{\sqrt{40}*4}{\sqrt{20}}=4\sqrt{2}$$

 

Задание 6701

Четырехугольник, один из углов которого равен $$arccos(\frac{3}{5})$$ , вписан в окружность радиуса $$2\sqrt{10}$$ и описан около окружности радиуса 3.

А) Найдите площадь четырехугольника
Б) Найдите угол между диагоналями четырехугольника
Ответ: А) $$\frac{93}{2}$$ Б)$$\arcsin \frac{31}{32}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) O- центр вписанной окружности . Пусть $$\angle BAD =2\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BCD=180-2\alpha$$ (свойство вписанного четырехугольника); $$\angle CDA=2\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CBA=180-2\beta$$

     2) $$AA_{1}=AD_{1}$$(свойство касательных ); $$OA_{1}\perp AB$$ ; $$OD_{1}\perp AD$$; $$OA$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$\Delta A_{1}OA=\Delta OAD_{1}\Rightarrow$$ $$A_{1}AO=\angle OAD_{1}=\alpha$$

     3) $$\angle B_{1}OC_{1}=180-\angle BCD=2\alpha$$$$\Rightarrow$$ $$\angle B_{1}OC=\angle COC_{1}=\alpha$$. Аналогично, $$\angle ODD_{1}=\angle ODC_{1}=\angle A_{1}OB=\angle BOB_{1}=\beta$$

     4) Пусть $$\angle A=\arccos \frac{3}{5}\Rightarrow$$ $$\cos 2\alpha =\frac{3}{5}\Rightarrow$$ $$2\cos ^{2}\alpha -1=\frac{3}{5}\Rightarrow$$ $$2\cos ^{2}\alpha=\frac{8}{5}\Rightarrow$$ $$\cos ^{2}\alpha =\frac{4}{5}\Rightarrow$$ $$\sin^{2}\alpha =\frac{1}{5}$$,$$tg^{2}\alpha =\frac{1}{4}$$, $$ctg^{2}\alpha =4$$ т.к. $$\angle \alpha$$ - острый , то $$tg\alpha =\frac{1}{2}$$, $$ctg \alpha =2$$

     5) $$S_{BA_{1}D}=\frac{1}{2}BA_{1}*A_{1}O$$; $$BA_{1}=\frac{1}{2}A_{1}O *tg\beta \Rightarrow$$ $$S_{BA_{1}O}=\frac{1}{2}*3*3*tg\beta \Rightarrow$$ $$S_{A_{1}OB_{1}B}=9tg\beta$$. Аналогично : $$S_{B_{1}OC_{1}C}=9tg\alpha$$; $$S_{A_{1}OD_{1}A}=2*\frac{1}{2}*AA_{1}*A_{1}O, A_{1}A=A_{1}O *ctg \alpha \Rightarrow$$ $$S_{A_{1}OD_{1}A}=9ctg \alpha$$ ; $$S_{DC_{1}OD_{1}}=9ctg \beta$$

$$S_{ABCD}=9(tg\alpha +tg \beta +ctg \alpha +ctg \beta )(1)$$

Пусть $$tg\beta =a; ctg\beta =b$$

     6) $$AB=AA_{1}+A_{1}B=3 ctg \alpha +3 tg\beta =6+3a$$; $$AD=AD_{1}+D_{1}D=3ctg \alpha +3ctg \beta =6+3b$$

По т. Синусов из $$\Delta BAD$$ : $$BD^{2}=(3(a+2))^{2}+(3(b+2))^{2}-2*3(a+2)*3(b+2)*\cos 2\alpha =$$$$9((a+2)^{2}+(b+2)^{2}-2(a+2)(b+2)*\cos 2\alpha) =$$$$9(a^{2}+b^{2}+4(a+b)+8-\frac{6}{5}(4+2(a+b)+ab))$$

Т.к. $$ab=tg\beta *ctg \beta =1$$, то $$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a+b)^{2}-2$$ . Пусть $$a+b=x$$, то: $$BD^{2}=9(x^{2}-2+4x+8-\frac{6}{5}(5+2x))=(x^{2}+\frac{8}{5}x)*9(2)$$

С другой стороны , около $$\Delta ABD$$ описана окружность радиуса $$2\sqrt{10}$$, тогда: $$\frac{BD}{\sin 2\alpha }=4\sqrt{10}\Rightarrow$$ $$BD^{2}=16*10*\sin ^{2}2\alpha =160*\frac{16}{25}(3)$$

Из (2) и (3): $$9(x^{2}+\frac{8}{5}x)=160*\frac{16}{25}\Leftrightarrow$$ $$5*9x^{2}+72x=512\Leftrightarrow$$ $$45x^{2}+72x-512=0$$

$$D=5184+92160=97344=312^{2}$$

$$x_{1}=\frac{-72+312}{90}=\frac{240}{90}=\frac{8}{3}$$

$$x_{2}=\frac{-72-312}{90}=-\frac{64}{15}$$ ($$tg\beta +ctg\beta >0$$)

     $$S=9(\frac{1}{2}+2+\frac{8}{3})=\frac{31}{6}*9=\frac{93}{2}$$

   Б ) Пусть $$\varphi$$ - угол между BD и AC , тогда: $$S=\frac{1}{2} BD*AC* \sin \varphi \Rightarrow$$ $$\sin \varphi =\frac{2S}{BD*AC}$$

     1) $$BD=\sqrt{9*(\frac{64}{9}+\frac{8}{5}*\frac{8}{3})}=$$$$\sqrt{\frac{512}{5}}=16\sqrt{\frac{2}{5}}$$

     2) $$tg \beta +ctg\beta =\frac{8}{3}\Rightarrow$$ $$\frac{\sin \beta }{\cos \beta }+\frac{\cos \beta }{\sin \beta }$$$$=\frac{8}{3}\Rightarrow$$$$\frac{1}{\frac{1}{2}\sin 2\beta }=\frac{8}{3}\Rightarrow$$ $$\frac{2}{\sin 2\beta }=\frac{8}{3}\Rightarrow$$ $$\sin 2\beta =\frac{3}{4}$$

      3) Из $$\Delta ACD$$: $$\frac{AC}{\sin 2\beta }=4\sqrt{10}\Rightarrow$$$$AC=4\sqrt{10}*\frac{3}{4}=3\sqrt{10}$$; $$\sin \varphi =\frac{2*\frac{93}{2}}{\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{5}} * 3\sqrt{10}}=$$$$\frac{93}{16*3*2}=\frac{93}{96}\Rightarrow$$ $$\angle \varphi=\arcsin \frac{31}{32}$$

 

Задание 6760

Дан треугольник АВС, в котором АВ=ВС=5, медиана $$AD=\frac{\sqrt{97}}{2}$$ . На биссектрисе СЕ выбрана точка F такая, что CE=5CF. Через точку F проведена прямая l, параллельная ВС.

   А) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника АВС до прямой l
   Б) Найдите в каком отношении прямая l делит площадь треугольника АВС
Ответ: А) $$\frac{633}{440}$$ Б)$$\frac{100}{21}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А)   1) $$\Delta ABD$$: $$\cos B=\frac{AB^{2}+BD^{2}-AD^{2}}{2 AB*BD}=\frac{7}{25}$$

     2) $$\Delta ABC:$$ $$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2 AB*BC * \cos B}=6$$

     3) $$BG=\sqrt{BC^{2}-GC^{2}}=4\Rightarrow$$ $$S_{ABC}=\frac{1}{2}BG*AC=12$$

     4) $$BO=\frac{AB*BC*AC}{4 S_{ABC}}=\frac{25}{8}$$

     5) $$\cos BCA=\frac{GC}{BC}=\frac{3}{5}$$; $$\angle ECG=\frac{\angle BCA}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$2 \cos ^{2}ECG-1=\frac{3}{5}$$$$\Rightarrow$$ $$\cos ECG=\frac{2}{\sqrt{5}}$$; $$\sin ECG=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

$$CE=\frac{2 AC*CB*\cos ECG}{AC+CB}=\$$$$frac{120}{11\sqrt{5}}$$$$\Rightarrow$$ $$CF=\frac{CE}{5}=\frac{24}{11\sqrt{5}}$$

     6) Центр описанной на пересечении серединных перпендикуляров , $$BD=DC\Rightarrow$$ $$OD\perp BC$$ и OH - расстояние

     7) $$\angle FIG=\angle BCA\Rightarrow$$$$\sin FIG=\sin BCA=\frac{4}{5}$$

$$\angle FIG=180-\angle FIG\Rightarrow$$ $$\sin FIC=\sin FIG=\frac{4}{5}$$

$$\cos FIC=-\cos FIG=-\cos BSA=-\frac{3}{5}$$

По теореме синусов: $$\frac{FC}{\sin FIC}=\frac{FI}{\sin FCI}\Rightarrow$$$$FI=\frac{6}{11}$$

     8) $$\Delta JGJ\sim \Delta BGC\Rightarrow$$ $$\frac{IC}{CG}=\frac{BJ}{BG}\Rightarrow$$ $$BJ=\frac{8}{11}\Rightarrow$$ $$JO=BO-BJ=\frac{211}{8*11}$$

     9) $$\Delta BOD\sim \Delta BGC\Rightarrow$$ $$\frac{OD}{GC}=\frac{BO}{BC}\Rightarrow$$ $$OD=\frac{5}{18}$$

     10) $$\Delta JOH\sim \Delta BOD\Rightarrow$$ $$\frac{JO}{BO}=\frac{OH}{OD}\Rightarrow$$ $$OH=\frac{633}{440}$$

Б)   1) $$\Delta ABC\sim \Delta AKI\Rightarrow$$ $$S_{AKI}=S_{ABC}(\frac{AI}{AC})^{2}$$

$$\frac{AI}{AC}=(\frac{6-\frac{6}{11}}{6})^{2}=\frac{100}{121}\Rightarrow$$ $$S_{AKI}=\frac{1200}{121}$$

     2) $$S_{KBCI}=S_{ABC}-S_{AKI}=\frac{252}{121}\Rightarrow$$ $$\frac{S_{AKI}}{S_{KBCI}}=\frac{100}{21}$$

 

Задание 6807

Точки К и L являются серединами боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС. Точка М расположена на медиане AL так, что AM:ML=13:12. Окружность $$\omega$$ с центром в точке М касается прямой АС и пересекает прямую KL в точках P и Q. KL=10, PQ=4.

А) Найти радиус окружности $$\omega$$
Б) Найти периметр треугольника АВС
Ответ: А)$$\frac{26}{5}$$ Б)$$20\sqrt{5}+20$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Пусть $$MN \perp PQ$$, $$MK\perp AC$$, $$LH\perp AC\Rightarrow$$ $$NK\left | \right |LH$$ ; пусть MQ=x, т.к. $$MN\perp PQ$$, то $$PN=NQ=\frac{1}{2}PQ=2$$

     2) из $$\Delta NMQ$$: $$NM=\sqrt{MQ^{2}-NQ^{2}}=\sqrt{x^{2}-2^{2}}$$, $$MK=MQ=x$$

     3) $$\Delta AMK\sim \Delta ALN$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{LH}{MK}=\frac{AL}{AM}\Rightarrow$$ $$LH=\frac{25}{13} x=NK$$

     4) из 2 и 3 : $$\frac{25}{13}x =x+\sqrt{x^{2}-4}\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{26}{5}$$

   Б) 1) $$AC=2, KL=20$$$$\Rightarrow$$ $$AK=HC=\frac{AC-KL}{2}=5$$; $$LH=\frac{25}{13}*\frac{26}{5}=10\Rightarrow$$ из $$\Delta LHC$$: $$LC=\sqrt{KH^{2}+HC^{2}}=5\sqrt{5}\Rightarrow$$ $$BC=10\sqrt{5}$$

     2) $$P_{ABC}=2* BC+AC=20\sqrt{5}+20$$

 

Задание 6827

В прямоугольном треугольнике АВС из точки Е, расположенной в середине катета ВС, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу АВ. $$AE=\sqrt{10}EL$$, $$BC>AC$$

А) Найдите углы треугольника АВС
Б) Найдите отношение $$\frac{AE}{CL}$$
Ответ: А) $$90;arcsin \frac{2\sqrt{5}}{5};arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}$$ Б) $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)    1) пусть $$EL=x$$$$\Rightarrow$$ $$AE=x\sqrt{10}$$. Тогда из $$\Delta ELA:$$ $$AL=\sqrt{AE^{2}-EL^{2}}=3x$$

       2) Пусть $$BL=y$$ $$\Rightarrow$$. Тогда из $$\Delta EBL:$$$$BE=\sqrt{BL^{2}+EL^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=EC$$

       3) $$\Delta EBL\sim \Delta ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{EB}{AB}=\frac{BL}{BC}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{y+3x}=\frac{y}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$$$\Leftrightarrow$$ $$2(x^{2}+y^{2})=y^{2}+3xy$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x^{2}+2y^{2}-y^{2}-3xy=0\Leftrightarrow$$ $$2x^{2}-3xy+y^{2}=0$$

$$D=9y^{2}-8y^{2}=y^{2}\Rightarrow$$ $$x=\frac{3y\pm y}{4}$$$$\Rightarrow$$ $$x=y$$ или $$x=\frac{y}{2}$$

  1. Если $$x=y$$ , то $$AB=4x$$ ; $$BC=2x\sqrt{2}$$$$\Rightarrow$$ $$AC=\sqrt{16x^{2}-8x^{2}}=2x\sqrt{2}$$ (но BC>AC)
  2. Если $$x=\frac{y}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$AB=5x; BC=2x\sqrt{5}$$$$\Rightarrow$$ $$AC=\sqrt{25x^{2}-20x^{2}}=x\sqrt{5}$$

       4) $$\angle C=90$$; $$\angle A=arcsin \frac{BC}{AB}=arcsin \frac{2\sqrt{5}}{5}$$; $$\angle B=arcsin \frac{AC}{AB}=arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}$$

Б)       1) $$\cos \angle A=\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow$$ из $$\Delta ALC:$$ $$CL=\sqrt{AC^{2}+AL^{2}-2 AC*AL*\cos A}=2\sqrt{2}x$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{AE}{CL}=\frac{\sqrt{10}x}{2\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

 

Задание 6878

Внутри параллелограмма ABCD взята точка К так, что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки К до прямых AD, AB и ВС равны соответственно 3, 6 и 5.

А) Найдите площадь параллелограмма
Б) Окружность, описанная около треугольника CKD пересекает сторону AD в точке Р. Найдите отношение АР:AD.
Ответ: А)$$\frac{182}{\sqrt{3}}$$ Б)$$\frac{51}{91}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)   Пусть $$CD=KD=KC=a$$, тогда из $$\Delta NKD$$ : $$ND=\sqrt{a^{2}-3^{2}}$$; Из $$\Delta KRC$$: $$RC=\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$

      2) Пусть $$DH\perp BC$$ , тогда $$DH=NR=8$$; $$CH=ND=RC=\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$. $$\Delta DHC$$: $$a^{2}=8^{2}+(\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}})^{2}\Leftrightarrow$$$$a^{2}-8^{2}=2a^{2}-34-2\sqrt{a^{4}-34a^{2}+225}\Leftrightarrow$$$$2\sqrt{A^{4}-34a^{2}+225}=a^{2}+30\Leftrightarrow$$$$4a^{4}+136a^{2}+900=a^{4}+60a^{2}+900\Leftrightarrow$$$$3a^{4}-196 a^{2}=0$$. Тогда a=0(не может быть) член $$a=\pm \frac{14\sqrt{3}}{3}$$ ( отрицательным не может быть )

      3) $$KQ=CD \sin 60$$; $$CD=\sqrt{DH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{64+((\sqrt{\frac{14^{2}}{3}-9}-\sqrt{(\frac{14^{2}}{3}-25)})^{2}}=$$$$\sqrt{64+(\frac{13}{\sqrt{3}}-\frac{11}{\sqrt{3}})^{2}}=\sqrt{\frac{196}{3}}=$$$$\frac{14}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$KQ=\frac{14}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{2}=7$$$$\Rightarrow$$ $$MQ=13$$

      4) $$S_{ABCD}=MQ*CD=13*\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{182}{\sqrt{3}}$$

Б)  1) из $$\Delta CHD$$: $$\sin \angle DCH=\frac{DH}{CD}=\frac{8}{\frac{14}{\sqrt{3}}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$$$$\Rightarrow$$ $$\sin \angle ADC=\frac{4\sqrt{3}}{7}=\sin \alpha$$

      2) $$\angle ODQ=\frac{1}{2} \angle KDC=30$$$$\Rightarrow$$ $$\angle PDO=\angle (\alpha -30)$$, где $$\angle \alpha =\angle ADC$$; $$\cos \alpha =\sqrt{1-\sin ^{2}\alpha }=\frac{1}{7}$$; $$\sin (\alpha -30)=\sin \alpha \cos 30-\cos \alpha \sin 30=$$$$\frac{4\sqrt{3}}{7}*\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{7}*\frac{1}{2}=$$$$\frac{11}{14}\Rightarrow$$ $$\cos(\alpha -30)=\frac{5\sqrt{3}}{14}$$

      3) OD - радиус описанной окружности $$\Rightarrow$$ $$OD=\frac{2}{3}$$; $$KQ=\frac{2*7}{3}=\frac{14}{3}$$$$\Rightarrow$$ из $$\Delta EDO$$: $$ED=DO \cos PDO=\frac{14}{3}*\frac{5\sqrt{3}}{14}=$$$$\frac{5\sqrt{3}}{3}\Rightarrow$$ $$PD=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

      4) $$S_{ABCD}=\frac{182}{\sqrt{3}}=AD*DH\Rightarrow$$ $$AD=\frac{182}{\sqrt{3}*8}=\frac{91}{4\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$AP=\frac{91}{4\sqrt{3}}-\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{51}{4\sqrt{3}}$$, $$\frac{AP}{AD}=\frac{51}{4\sqrt{3}}:\frac{91}{4\sqrt{3}}=\frac{51}{91}$$

 

Задание 6926

Даны треугольник АВС и ромб BDEF, все вершины которого лежат на сторонах треугольника АВС, а угол при вершине Е – тупой, АЕ=3, СЕ=7, а радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1.

А) Найдите площадь треугольника АВС
Б) Найдите расстояние между центром окружности, вписанной в ромб, до центра окружности, вписанной в треугольник АВС
Ответ: А)$$5\sqrt{5}$$ Б) $$\frac{\sqrt{21}}{4}(9-4\sqrt{5})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1)Пусть r - радиус вписанной окружности в ромб (r=1); $$EG\perp AB$$; $$EH\perp CB$$. Тогда $$EG=EH=2r=2$$(высота в 2 раза больше радиуса в ромбе) .

        2)из $$\Delta AEG$$: $$\sin A=\frac{EG}{AE}=\frac{2}{3}$$$$\Rightarrow$$ $$\cos A=\frac{\sqrt{5}}{3}$$

Из $$\Delta ECH$$: $$\sin C=\frac{EH}{EC}=\frac{2}{7}$$$$\Rightarrow$$ $$\cos C=\frac{\sqrt{45}}{7}=\frac{3\sqrt{5}}{7}$$

Из $$\Delta ACB$$: $$\sin B=\sin (180-(A+C))=\sin (A+C)$$

$$\sin (A+C)=\sin A* \cos C+\sin C*\cos A=$$$$\frac{2}{3}*\frac{3\sqrt{5}}{7}+\frac{2}{7}*\frac{\sqrt{5}}{3}=$$$$\frac{8\sqrt{5}}{21}\Rightarrow$$ $$\cos (A+C)=-\frac{11}{21}$$ ($$\angle A+\angle C>90$$)

        3)По т. cинусов : $$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\Rightarrow$$ $$AB=10*\frac{2}{7}:\frac{8\sqrt{5}}{21}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

        4) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}*AB*AC* \sin A=5\sqrt{5}$$

   Б) 1) По т. синусов : $$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$$$$\Rightarrow$$ $$AB=\frac{AC*\sin C}{\sin B}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$$; $$BC=\frac{AC* \sin A}{\sin B}=\frac{7\sqrt{5}}{2}$$. Тогда $$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{10+5\sqrt{5}}{2}$$

        2) Пусть $$R=KO_{1}$$ - радиус вписанной в $$\Delta ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$R=\frac{S}{p}=10-4\sqrt{5}$$

     3) $$\angle KBO=\frac{\angle B}{2}\Rightarrow$$ $$\cos \angle B=1-2 \sin ^{2}\angle KBO\Rightarrow$$ $$\sin \angle KBO=\frac{4}{\sqrt{21}}$$

        4) из $$\Delta KO_{1}B$$: $$BO_{1}=\frac{O_{1}K}{\sin \angle KBO}=\frac{(10-4\sqrt{5})\sqrt{21}}{4}$$

Из $$\Delta NOB$$: $$OB=\frac{ON}{\sin \angle KBO}=\frac{\sqrt{21}}{4}$$

$$OO_{1}=BO_{1}-BO=\frac{\sqrt{21}}{4}(10-4\sqrt{5}-1)=\frac{\sqrt{21}}{4}(9-4\sqrt{5})$$

 

Задание 6974

В треугольнике АВС угол В равен 600. Через точки А и В проведена окружность радиуса 3, касающаяся прямой АС в точке А. Через точки В и С проведена окружность радиуса 4, касающаяся прямой АС в точке С.

А) Найдите длину стороны АС
Б) Найдите длину общей хорды этих окружностей.
Ответ: А) 6 Б) $$\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Пусть $$O_{1}A=R_{1}=3$$; $$O_{2}C=R_{2}=4$$ - радиусы; $$\angle ACB=\alpha$$ ; $$\angle BAC=\beta$$

     2) По свойству хорды и касательной: $$\smile BC=2\angle BCA=2\alpha$$ ( или $$180-2\alpha$$ ); $$\smile AB=2\angle BAC=2\beta$$ (или $$180-2\beta$$ - зависит от построения, но на решение никак не влияет).Тогда по свойству центральных углов: $$\angle BO_{1}A=2\beta$$ ; $$\angle BO_{2}C=2\alpha$$

   Пусть $$O_{1}H\perp AB$$, тогда из $$\Delta O_{1}HA$$: $$HA=O_{1}A\sin \angle HO_{1}A$$, $$\angle HO_{1}A=\frac{\angle BO_{1}A}{2}\Rightarrow$$ $$HA=R_{1}\sin \beta =3\sin \beta \Rightarrow$$ $$AB=6 \sin \beta$$. Аналогично $$BC=8 \sin \alpha$$

     3) По теореме синусов из $$\Delta ABC$$ : $$\frac{AB}{\sin \angle ACB}=\frac{BC}{\sin \angle BAC}\Leftrightarrow$$ $$\frac{6 \sin \beta }{\sin \alpha }=\frac{8 \sin \alpha }{\sin \beta }\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

$$\frac{AC}{\sin \angle ABC}=\frac{AB}{\sin \angle ACB}\Leftrightarrow$$ $$AC= \frac{AB}{\sin ACB }* \sin ABC=\frac{6 \sin \beta }{\sin \alpha }*\frac{\sqrt{3}}{2}=6* \frac{2}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{2}=6$$

   Б) 1) Общая хорда пусть будет BD. Тогда OD=OB=3; $$O_{2}D=O_{2}B=4$$ - радиусы.

     2) Построим $$O_{1}K\perp O_{2}C\Rightarrow$$ $$KC=O_{1}A=3\Rightarrow$$ $$O_{2}K=4-3=1$$, $$O_{1}K=AC=6\Rightarrow$$ из $$\Delta O_{1}KO_{2}$$: $$O_{2}O_{1}=\sqrt{O_{1}K^{2}+O_{2}K^{2}}=\sqrt{37}$$

     3) $$DB\perp O_{1}O_{2}$$ и $$DH=HB$$. Пусть $$O_{1}H=x$$; $$O_{2}H=\sqrt{37}-x$$; $$DH=HB=y$$, тогда по т. Пифагора из $$\Delta O_{1}HD$$ и $$O_{2}HD$$: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=3^{2}\\(\sqrt{37}-x)^{2}+y^{2}=4^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y^{2}=9-x^{2}\\37-2x\sqrt{37} +x^{2}+9-x^{2}=16\end{matrix}\right.$$

Тогда: $$2x\sqrt{37}=30\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{15}{\sqrt{37}}\Rightarrow$$ $$y=\sqrt{9-\frac{225}{37}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{37}}\Rightarrow$$ $$DB=2*\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{37}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$$

 

Задание 7021

На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону KL в точке Р. На стороне КМ взята точка R так, что отрезок LR пересекает окружность в точке Q, причем отрезки QP и ML параллельны, KR=2RM и $$ML=8\sqrt{3}$$ .

А) Найдите отношение LP:PK
Б) Найти MQ.
Ответ: А)1:3 Б)$$4\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) $$1) \angle MPL=90$$ (вписанный и опирается на диаметр); $$\angle QMP=\angle OLP$$ (опираются на одну дугу), $$\angle PQL=\angle PML$$ (аналогично) , но $$\angle PML=\angle QPM$$ (накрест лежащие )$$\Rightarrow$$ $$\angle QPM=\angle QPL\Rightarrow$$ $$QM =PL\Rightarrow$$ $$\angle QLM=\angle PML=\alpha$$

     2) $$\Delta PML\sim \Delta KML \Rightarrow$$ $$\angle MKL=\angle PML=\alpha \Rightarrow$$ $$\Delta MKL\sim \Delta RML$$. Пусть $$MR=x \Rightarrow$$ $$RK=2x$$ и $$MK=3x$$ . Из подобия: $$\frac{RM}{ML}=\frac{ML}{MK}\Leftrightarrow$$ $$\frac{x}{8\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3x}\Rightarrow$$ $$x=8$$

     3) из $$\Delta RML$$: $$RL=\sqrt{MR^{2}+ML^{2}}=\sqrt{8^{2}+(8\sqrt{3})^{2}}=16\Rightarrow$$ $$\sin \alpha =\frac{MR}{RL}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$\alpha =30$$

     4) из $$\Delta MPL$$: $$PL=ML* \sin \alpha =4\sqrt{3}$$. Из $$\Delta KML:$$ $$KL=\frac{ML}{\sin \alpha }=16 \sqrt{3}\Rightarrow$$ $$KP=12\sqrt{3}$$ и $$LP: PK =1: 3$$

Б) $$MQ=PL=4\sqrt{3}$$

 

Задание 7041

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке D и боковой стороны АВ в точке Е. Точка F – середина стороны АВ, а точка G – точка пересечения окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону АВ в точке Н. Известно, что FH:HE=2:3.

А) Докажите, что $$\angle HGE=\angle EDG$$
Б) Найдите $$\angle BCA$$
Ответ: $$arccos \frac{3}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А)  1) $$\angle HGE$$ - угол между хордой EG и касательной HG$$\Rightarrow$$ $$\angle HGE=\frac{\smile EG}{2}$$

     2) $$\angle EDG$$ - вписанный $$\Rightarrow$$ $$\angle EDG=\frac{\smile EG}{2}\Rightarrow$$ $$\angle HGE=\angle EDG$$

Б)  1) $$AF=FD$$ (по условию ) $$AD=DC\Rightarrow$$ FD-средняя линия и $$FD=\frac{AB}{2}=\frac{BC}{2}$$; $$\angle HAD=\angle FDA$$

     2) Пусть $$H \in BE$$; $$\angle A=\angle C=\alpha \Rightarrow$$ $$\angle FDA=\alpha$$; $$FH=2x\Rightarrow$$ $$HE=3x$$

     3) из $$\Delta AFD$$: $$\angle AFD=180-2\angle A=180-2\alpha$$; Из AEOD: $$\angle O=180-\angle A=180-\alpha$$; $$\angle DGE=\frac{\smile ED}{2}=\frac{\angle O}{2}=90-\frac{\alpha }{2}$$

Из $$\Delta EFG$$: $$\angle FEG +\angle EFG=\angle DGE\Rightarrow$$ $$\angle FEG=\angle DGE-\angle EFG=\frac{3\alpha }{2}-90$$

     4) $$\Delta EGH$$ – равнобедренный (образован касательными) $$\Rightarrow$$ $$\angle HGE=HEG=\frac{3\alpha }{2}-90\Rightarrow$$ $$\angle GHF=2\angle HGE=3\alpha -180$$(внешний угол $$\Delta EGH$$)

     5) $$\Delta FGH=180-\angle GHF-\angle F=180-\alpha$$ (из $$\Delta EGH$$)

     6) из $$\Delta FHG$$: по т. Синусов: $$\frac{FH}{\sin \angle FGH}=\frac{HG}{\sin \angle GHF}$$, но $$HG=HE\Rightarrow$$ $$\frac{2x}{\sin (180-\alpha )}=\frac{3x}{\sin (180-2\alpha )}\Leftrightarrow$$ $$\frac{2}{\sin \alpha }=\frac{3}{\sin 2\alpha }\Leftrightarrow$$ $$2 \sin 2\alpha -3 \sin \alpha =0\Leftrightarrow$$ $$4 \sin \alpha \cos \alpha -3 \sin \alpha =0 \Leftrightarrow$$ $$\sin \alpha (4 \cos \alpha -3)=0 \Leftrightarrow$$ $$\cos \alpha =\frac{3}{4}\Rightarrow$$ $$\alpha =arccos \frac{3}{4}$$($$\sin \alpha$$ не может быть 0 )

 

Задание 7062

Окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Прямые СМ и ВN пересекаются в точке Р. Точка О – середина АР.

А) Докажите, что треугольник ОМN равнобедренный.
Б) Найдите площадь треугольника ОМN, если известно, что АМ = 3, ВМ = 9, АN = 4.
Ответ: $$\frac{17\sqrt{2}}{16}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) $$\angle BMC=90$$ (вписанный , опирается на диаметр) $$\Rightarrow$$ $$\angle AMP=90\Rightarrow$$ $$\Delta AMP$$ -прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$MO=\frac{1}{2} AP$$(медиана в прямоугольном треугольнике к гипотенузе)

   2) аналогично , $$ON=\frac{1}{2} AP\Rightarrow$$ $$OM=ON\Rightarrow$$ $$\Delta MON$$ - равнобедренный

     Б) 1)$$\Delta AMN\sim \Delta ABC\Rightarrow$$ $$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow$$ $$AC=\frac{3*12}{4}=9\Rightarrow$$ $$NC=5$$

   2) из $$\Delta BAN$$: $$BN^{2}=AB^{2}-AN^{2}=128$$. Из $$\Delta NCB$$: $$BC=\sqrt{NC^{2}+BN^{2}}=\sqrt{153}\Rightarrow$$ $$MK=KN=\frac{\sqrt{153}}{2}$$(радиусы)

   3) $$\Delta AMN\sim \Delta ABC\Rightarrow$$ $$\frac{AM}{AC}=\frac{NM}{CB}\Rightarrow$$ $$NM=\frac{AM}{AC}*CB=\frac{\sqrt{53}}{3}$$

   4) Пусть $$NM\cap OK=H$$ , т.к. $$OM=ON$$ , то OM и ON –касательные $$\Rightarrow$$ $$KM\perp OM$$; $$KN\perp ON$$ ; $$\Delta OMK=\Delta ONK$$ ; $$NH=HM=\frac{NM}{2}=\frac{\sqrt{153}}{6}$$

   5) из $$\Delta HMK \sin K=\frac{HM}{MK}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$$$\cos K=\frac{2\sqrt{2}}{3}\Rightarrow$$$$HK=MK*\cos K=\frac{\sqrt{153}}{2}*\frac{2\sqrt{2}}{3}=\sqrt{34}$$

   6) MH – высота $$\Rightarrow$$ $$\Delta OMH \sim \Delta MHK\Rightarrow$$ $$\frac{OH}{HM}=\frac{HM}{HK}\Rightarrow$$$$OH=\frac{153}{36} :\sqrt{34}=\frac{17}{4\sqrt{34}}=\frac{\sqrt{34}}{8}$$

   7) $$S_{NOM}=OH *HM=$$$$\frac{\sqrt{34}}{8}*\frac{\sqrt{153}}{6}=\frac{17\sqrt{2}}{16}$$

 

Задание 7109

В треугольнике АВС длина АВ равна 3, $$\angle ACB=\arcsin \frac{3}{5}$$ , хорда KN окружности, описанной около треугольника АВС, пересекает отрезки АС и ВC в точках M и L соответственно. Известно, что $$\angle ABC=\angle CML$$ , площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1.

А) Найдите высоту треугольника KNC, опущенную из вершины С
Б) Найдите площадь треугольника KNC
Ответ: А)$$\frac{1}{2}$$ Б)$$\frac{3}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) $$\angle C$$ – общий ; $$\angle ABC =\angle CML\Rightarrow$$ $$\Delta ABC\sim \Delta CML$$: $$\frac{MC}{BC}=\frac{CN}{AC}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$S_{MCN}=(\frac{1}{3})^{2} S_{ABC}\Rightarrow$$ $$S_{AMNB}=\frac{8}{9}S_{ABC}\Rightarrow$$ $$S_{ABC}=\frac{9 S_{AMNB}}{8}=\frac{9}{4}$$$$\Rightarrow$$ $$S_{MCN}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2} MN*h$$ ,где h-высота из $$C\Rightarrow h=\frac{1}{2}$$

     Б) 1) Пусть O - центр описанной около $$\Delta ABC$$ окружности , тогда $$OC=OB=OA$$ - радиусы и $$OC=\frac{AB}{2 \sin ACB}=\frac{5}{2}$$

     2) Пусть $$\angle ABC=\alpha \Rightarrow$$ $$\smile AC=2\alpha$$ (вписанный угол) и $$\angle LMC=\alpha$$ .

     3) $$\angle LMC$$ - угол между хордами AC и KN $$\Rightarrow$$ $$\frac{\smile AK+\smile CN}{2}=\alpha \Rightarrow$$ $$\smile AK+\smile CN=2\alpha$$. При этом $$\smile AC=\smile AK+\smile KC=2\alpha \Rightarrow$$ $$\smile CN=\smile KC\Rightarrow$$ $$KC=CN$$

      4) Пусть $$OC\cap KN=D\Rightarrow$$ $$CD=h=\frac{1}{2}$$( расстояние от C до ML ) $$\Rightarrow$$ $$OD=OC-DC=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2\Rightarrow$$ $$KD=\sqrt{OK^{2}-OD^{2}}=1,5\Rightarrow$$ $$KN=3\Rightarrow$$ $$S_{KCN}=\frac{1}{2}*CD*KN=\frac{3}{4}$$

 

Задание 7182

На основаниях AD и ВС трапеции ABCD построены квадраты ADMN и BCRS, расположенные вне трапеции. Диагонали трапеции пересекаются в точке Т.
А) Докажите, что центры квадратов и точка Т лежат на одной прямой.
Б) Найдите длину отрезка RN, если AD=8, BC=3, а TN=20.
Ответ: 27,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) $$\angle KBL=\angle ADL=45$$ (угол между диагональю и стороной квадрата);

$$\angle HBT=\angle TDA$$ (накрест лежащие )$$\Rightarrow$$ $$\angle KBT=\angle TDL$$;

$$\angle BTK=\angle LTD$$ (вертикальные )$$\Rightarrow$$ $$\Delta KBT\sim \Delta TDL$$$$\Rightarrow$$ $$\angle BKT=\angle TLD$$

     2) из $$\angle KBT=\angle NDL\Rightarrow$$ $$BK\left | \right |LD$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BKT=\angle TLD$$, то они накрест лежащие $$\Rightarrow$$ $$KT\left | \right |TL$$ или $$K,T,L \in KL$$, но параллельны быть не могут (так как имеют общую точку) $$\Rightarrow$$ KL-секущая

     Б) 1) Аналогично п. A $$\Delta RCT \sim TAN$$ ($$\angle C=90$$; $$\angle BCD=\angle TAD$$ - накрест лежащие )$$\Rightarrow$$ $$AN\left | \right |RC$$; $$\angle TNA=\angle TRC$$$$\Rightarrow$$ $$R,T,N \in RN$$

     2) из подобия : $$\frac{AN}{RC}=\frac{NT}{TR}\Leftrightarrow$$ $$\frac{8}{3}=\frac{20}{x}\Rightarrow$$ $$x=\frac{3*20}{8}=7,5\Rightarrow$$ $$RN=27,5$$

 

Задание 7202

В окружность с центром О вписан треугольник АВС ($$\angle A>\frac{\pi}{2}$$). Продолжение биссектрисы AF угла А этого треугольника пересекает окружность в точке L, а радиус АО пересекает сторону ВС в точке Е. Пусть АН – высота треугольника АВС. Известно, что $$AL=4\sqrt{2}$$, $$AH=\sqrt{2\sqrt{3}}$$, $$\angle AEH=\frac{\pi}{3}$$.

А) Докажите, что AF – биссектриса угла ЕАН
Б) Найдите отношение площади треугольника OAL к площади четырехугольника OEFL.
Ответ: $$\frac{4}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) Пусть $$AC<AB$$; т.к. AL –биссектриса $$\angle CAB$$, то $$\smile CL=\smile BL$$ (вписанные углы, опирающиеся на эти дуги равны ) $$\Rightarrow$$ $$\angle COL=\angle LOB$$(центральные ), $$OB=OC=OL$$ - радиусы $$\Rightarrow$$ $$\Delta BOL=\Delta OLC$$. Пусть $$OL\cap BC=D$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$\Delta BOL=\Delta OLC$$, то $$\angle BLO=\angle OLC$$ и $$BL=LC\Rightarrow$$ LD-биссектриса и высота $$\Rightarrow$$ $$LD\perp BC\Rightarrow$$ $$LD\left | \right |AH$$

     2) $$\angle OLA=\angle HAF$$ (накрест лежащие ); Из $$\Delta OAL$$: $$\angle OAL=\angle OLA$$ ($$OA=OL$$-радиусы ) $$\Rightarrow$$ $$\angle OAF=\angle LAH\Rightarrow$$ AF - биссектриса $$\angle EAH$$

     Б) 1) $$\angle AEH=60\Rightarrow$$ $$\Delta EAH \angle EAH=90-60=30\Rightarrow$$ $$\angle EAF=\angle FAH=\frac{30}{2}=15$$

     2) Пусть $$OG\perp AL\Rightarrow$$ из $$\Delta OAG$$: $$AO=\frac{AG}{\cos OAL}=\frac{\frac{1}{2}AL}{\cos OAL}$$; $$S_{OAL}=\frac{1}{2} AL*AO*\sin OAL=$$$$\frac{1}{2} AL*\frac{\frac{1}{2}AL}{\cos OAL}*\sin OAL=$$$$\frac{AL^{2}tg 15}{4}=8 tg 15$$

     3) из $$\Delta FAH$$: $$AF=\frac{AH}{\cos FAH}=\frac{AH}{\cos 15}$$. Из $$\Delta EAH$$: $$AE=\frac{AH}{\cos EAH}=\frac{AH}{\cos 30}$$; $$S_{\Delta FAE}=\frac{1}{2} AF*AE\sin 15=$$$$\frac{1}{2} *\frac{AH}{\cos 15}*\frac{AH}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sin 15=$$$$\frac{AH^{2}}{\sqrt{3}}tg15=2 tg15$$

     4) $$S_{OELF}=S_{OAL}-S_{FAE}=6 tg 15$$; $$\frac{S_{OAL}}{S_{OEFL}}=$$$$\frac{8 tg16}{6 tg15}=\frac{4}{3}$$

 

Задание 7223

Площадь трапеции ABCD равна 6. Пусть Е – точка пересечения продолжений боковых сторон этой трапеции. Через точку Е и точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая пересекает меньшее основание ВС в точке Р, а большее основание AD – в точке Q. Точка F лежит на отрезке ЕС, причем EF:FC=EP:EQ=1:3.

А) Докажите, что прямая EQ точками пересечения делит основания трапеции пополам
Б) Найдите площадь треугольника EPF.
Ответ: $$\frac{3}{32}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) Пусть P и Q не середины . $$\Delta PMC\sim \Delta AMQ$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{PC}{AQ}=\frac{PM}{MQ}(1)$$

$$\Delta BPM\sim \Delta MQD\Rightarrow$$$$\frac{BP}{QD}=\frac{PM}{MQ}(2)$$

$$\Delta EPC\sim \Delta EQD\Rightarrow$$$$\frac{PC}{QD}=\frac{EP}{EQ}(3)$$

$$\Delta EBP\sim \Delta EAQ\Rightarrow$$$$\frac{BP}{AQ}=\frac{EP}{EQ}(4)$$

     2) из (1) и (2) : $$\frac{PC}{AQ}=\frac{BP}{QD}(*)$$; Из (3) и (4) : $$\frac{PC}{QD}=\frac{BP}{AQ}(**)$$

   Поделим (*) на (**): $$\frac{QD}{AQ}=\frac{AQ}{QD}\Rightarrow$$ $$QD=AQ\Rightarrow BP=PC$$

     Б) 1) т.к. BP=PC и AQ=QD, то $$S_{BPQA}=S_{PCDQ}=\frac{S_{ABCD}}{2}=3$$

     2) $$\frac{S_{ECP}}{S_{EDQ}}=$$$$(\frac{EP}{EQ})^{2}=$$$$\frac{1}{9}\Rightarrow$$ $$S_{ECP}=\frac{1}{9} S_{EDQ}$$ $$\Rightarrow$$$$S_{PCDQ}=\frac{8}{9}*S_{EDQ}\Rightarrow$$$$S_{ECP}=\frac{1}{8} S_{PCDQ}=\frac{3}{8}$$

     3) $$\frac{S_{EFP}}{S_{ECP}}=\frac{EF*EP}{EC*EP}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$S_{EFP}=\frac{1}{4}*\frac{3}{8}=\frac{3}{32}$$

 

Задание 7325

Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM. Окружность радиуса 5 проходит через вершину KB, касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A . Известно, что $$ML=9\sqrt{3}$$, $$KA:LB=5:6$$ 

А) Найдите угол K треугольника KLM
Б) Найдите площадь треугольника  KLM
Ответ: А) 60 Б)$$\frac{405\sqrt{3}}{16}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) 1) Пусть KC пересекает окружность в C.

     2) По свойству хорды и секущей $$\angle ABL=\angle AKB$$; $$\angle BKC=\angle CAB$$; т.к. KB – биссектриса, то $$\angle AKB=\angle BKC \Rightarrow$$ $$\angle ABL=\angle BAC\Rightarrow$$ $$LM\left \| \right \|AC$$

     3) Пусть $$AK=5x$$ $$\Rightarrow$$ $$LB=6x$$, $$AL=y$$, тогда свойству секущей и хорды : $$AL*LK=LB^{2}\Rightarrow$$ $$y(y+5x)=(6x^{2})\Rightarrow$$ $$y^{2}+5xy-36y^{2}\Rightarrow$$ $$D=(5x)^{2}+4*36x^{2}=(13x)^{2}\Rightarrow$$ $$y_{1}=4x , y_{2}<0$$

     4) $$\frac{AK}{AL}=\frac{5}{4}\Rightarrow$$ $$\frac{AK}{KL}=\frac{5}{9}=\frac{AC}{LM}\Rightarrow$$ $$AC=\frac{5}{9} *9\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$

     5) из $$\Delta AKC$$: $$\frac{AC}{\sin \angle AKC}=2 R$$ , $$R =5\Rightarrow$$ $$\sin \angle AKC=\frac{5\sqrt{3}}{2*5}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$$ $$\angle AKC=60$$ или 120 (120 не может, т.к. $$\frac{AK}{AL}$$ должно быть тогда < 1)

Б) 1) Пусть $$KC=5t\Rightarrow$$ $$CM=4t\Rightarrow$$ по свойству биссектрисы $$BM=6t\Rightarrow$$ $$ML=6(x+t)=9\sqrt{3}\Rightarrow$$ $$x+t=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

     2) из $$\Delta KLM$$: $$LM^{2}=LK^{2}+KM^{2}-2 LM*KM*\cos LKM\Leftrightarrow$$ $$(6(x+t))^{2}=81x^{2}+81t^{2}-81xt\Leftrightarrow$$ $$36x^{2}+36t^{2}+72xt=81x^\Leftrightarrow$$ $$2+81t^{2}-81xt\Leftrightarrow$$ $$5x^{2}+5t^{2}-17 xt=0\Leftrightarrow$$ $$5(x+t)^{2}=27xt\Leftrightarrow$$ $$5(\frac{3\sqrt{3}}{2})^{2}=27xt\Leftrightarrow$$ $$xt=\frac{5}{4}$$

     3) $$S_{LKM}=\frac{1}{2} LK*KM*\sin LKM\Rightarrow$$ $$S_{LKM}=\frac{1}{2}*9x*9t*\frac{\sqrt{3}}{2}=$$$$\frac{81xt\sqrt{3}}{4}=\frac{405\sqrt{3}}{16}$$

 

Задание 7367

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и AC равны соответственно 10, 8 и 6.

А) Докажите, что ABCD – прямоугольник
Б) Найдите площадь параллелограмма ABCD
Ответ: 672
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7414

Точка M —середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.

а) Докажите, что $$\angle CAN=\angle CMN$$.
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если $$tg \angle BAC=\frac{4}{3}$$
Ответ: $$\frac{5}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А)   1) Рассмотрим NMAC: $$\angle C=\angle M=90^{\circ}$$$$\Rightarrow$$ около NMAC можно описать окружность. Тогда $$\angle CAN=\angle NMC$$ так как опираются на одну хорду

Б)   1) $$tg \angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$$; пусть BC=4x, тогда AC=3x и AB=5x (по теореме Пифагора)

     2) т.к. М - середина, то СМ - медиана прямоугольного треугольника, опущенная к гипотенузе, следовательно, СМ=МВ

     3) $$MN \perp AB$$ и ВМ=МА, следовательно, $$\Delta BNM=\Delta NMA$$, тогда $$\Delta ANB$$ - ранобедренный

     4) т.к. $$\angle A$$ - общий, то $$\Delta ANB=\Delta CBM$$, следовательно, $$\frac{R_{ANB}}{R_{CBM}}=\frac{AB}{CB}=\frac{5}{4}$$

Задание 7424

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке К. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй окружности в точке В. Луч ВК пересекает первую окружность в точке D, луч АК пересекает вторую окружность в точке С.

А) Докажите, что четырехугольник ABCD ‐ трапеция
Б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если радиус первой окружности равен 1, а радиус второй окружности равен 4.
Ответ: $$\frac{\sqrt{65}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7443

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, а BH —высота этого треугольника.

а) Докажите, что углы ABH и CBO равны.
б) Найдите BH, если AB = 16, BC = 18, BH = BO.
Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7516

В трапеции ABCD с меньшим основанием ВС и площадью, равной 2, прямые ВС и AD касаются окружности диаметром $$\sqrt{2}$$ в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции АВ и CD пересекают окружность в точках М и N соответственно. Длина MN равна 1.

   А) Найдите величину угла MBN
   Б) Найдите длину основания AD
Ответ: а) $$135^{\circ}$$; б) $$\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7563

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M —середина стороны AB.

а) Докажите, что $$CM=\frac{1}{2}DK$$ 
б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=6, BC=10 и $$\angle ACB=30^{\circ}$$
Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7638

Дана трапеция ABCD с основаниями BC = 6, AD = 18, сторона AB =10. Продолжения боковых сторон пересекаются в точке К, образуя прямой угол AKD. Окружность $$\omega$$ проходит через точки А и В и касается стороны CD в точке Р.

А) Найдите площадь трапеции.
Б) Найдите радиус окружности $$\omega$$.
Ответ: а) $$20\sqrt{11}$$; б) 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7685

Окружность радиуса $$2\sqrt{3}$$ касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках К и Р и пересекает строну АВ в точках M и N (точка N между точками В и М). Известно, что MР и AC параллельны, CK = 2, BP = 6.

А) Найдите угол ВСА
Б) Найдите площадь треугольника BKN
Ответ: а) $$120^{\circ}$$; б)$$3\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7733

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и ВС пересекаются в точке М. Окружность, описанная около треугольника CDM, пересекает отрезок AD в точке N и касается прямой BN.

А) Докажите, что треугольники BNC и CDN подобны
Б) Найдите AD, если CD=24, $$\angle BCD=\angle DMA$$ , а радиус окружности равен 13.
Ответ: $$\frac{480}{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7784

В прямоугольном треугольнике ABC точка М – середина гипотенузы АВ, ВС>АС. На катете ВС взята точка К такая, что $$\angle$$MKC=$$\angle$$BAC

а) Докажите, что угол КМС прямой.
б) Пусть N – вторая (помимо М) точка пересечения прямой СМ и описанной окружности треугольника ВМК. Найдите угол АNВ.
Ответ: 90 градусов
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7877

В четырехугольнике АВСD через каждую его вершину проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части.

   а) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством.
   б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен 1080?
Ответ: 72; 72; 108; 108 или 84; 84; 84; 108 градусов
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7896

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, лежащих по разные стороны от прямой АВ. Касательные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е.

   а) Докажите, что вокруг четырехугольника ACED можно описать окружность
   б) Найдите АЕ, если АВ=10, АС=16, AD=15.
Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) 1) $$\angle BCK=\angle KAB$$ (вписанные и опираются на одну хорду); $$\angle OAB=\angle ODB$$ (аналогично). Пусть они равны $$\alpha$$

2) $$\angle CAK=\angle KCE=1$$ (вписанный и угол между касательной и хордой); $$\angle OAD=\angle ODE=2$$ (аналогично); $$\angle CEM=\angle3$$; $$\angle MED=\angle4$$

3) из $$\bigtriangleup CDE$$: $$\angle C+\angle D+\angle E=180^{\circ}$$ или $$(\angle1+\alpha)+(\angle2-\alpha)+\angle3+\angle4=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle1+\angle2+\angle3+\angle4=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CAD+\angle CED=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ около $$ACED$$ можно описать окружность

Б) Т.к. около $$ACED$$ можно описать окружность, то $$\angle DCE=\angle EAD$$ (опираются на одну хорду), но $$\angle DCE=\angle BAC$$ $$\Rightarrow$$ $$angle BAC=\angle EAD$$; $$\angle ACD=\angle AED$$ (аналогично) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC\sim\bigtriangleup ADE$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$$ $$\Rightarrow$$ $$AE=\frac{AC\cdot AD}{AB}=\frac{16\cdot15}{10}=24$$

 

Задание 7945

В треугольнике АВС провели высоты АА1 и ВВ1. Окружность, описанная вокруг треугольника ANA1, где точка N – середина стороны АВ, пересекла прямую А1В1 в точке К.

а) Докажите, что прямая АК касается окружности, описанной около треугольника АВС.
б) Найдите отношение площадей четырехугольника АВА1В1 и треугольника СА1В1, если $$\angle ABC=45^{\circ}$$; AB1=BN=1
Ответ: $$7+4\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8239

В трапеции ABCD отношение оснований $$\frac{AD}{BC}=\frac{5}{2}$$. Точка М лежит на АВ, площадь трапеции ABCD равна 20.

а) Докажите, что площадь треугольника MCD не превосходит 15
б) Найдите отношение $$\frac{AM}{MB}$$ , если известно, что площадь треугольника МСD равна 9
Ответ: $$\frac{37}{23}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Пусть $$BC=2x$$, тогда $$AD=5x$$; $$MN=y\cdot k$$; $$NH\perp BC$$ и $$NH\pepr AD$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup NBM\sim\bigtriangleup AMH$$. Пусть $$\frac{BM}{MA}=k$$ $$\Rightarrow$$ $$MH=y$$. Пусть $$NH=h=y(k+1)$$

2) $$S_{ABCD}=\frac{2x+5x}{2}\cdot y(k+1)=3,5xy(k+1)=20=3/5xh$$

$$S_{BCM}=\frac{1}{2}2x\cdot ky=xky$$. $$S_{AMD}=\frac{1}{2}5x\cdot y=2,5xy$$

Тогда $$S_{CMD}=3,5xy(k+1)-xky-2,5xy=2,5kxy+xy=1,5kxy+xy(k+1)=1,5kxy+\frac{20}{3,5}$$

3) Учтем, что $$xky\rightarrow max$$, когда $$ky=h$$ $$\Rightarrow$$ $$max(S_{BCM})=xh=\frac{20}{3,5}$$ $$\Rightarrow$$ $$max(S_{CMD})=\frac{1,5\cdot20}{3,5}+\frac{20}{3,5}=\frac{50}{3,5}=\frac{100}{7}<1,5$$

Б) 1) $$S_{MCD}=9$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{MBC}+S_{AMD}=11$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}xky+2,5xy=11&\\3,5xy(k+1)=20&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}xy(k+2,5)=11(1)&\\xy(3,5k+3,5)=20(2)&\end{matrix}\right.$$ 

Поделим $$(1)$$ на $$(2)$$: $$\frac{k+2,5}{3,5k+3,5}=\frac{11}{20}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$20k+50=38,5k+38,5$$

$$18,5k=11,5$$ $$\Rightarrow$$ $$k=\frac{11,5}{18,5}=\frac{23}{37}=\frac{MB}{AM}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AM}{MB}=\frac{37}{23}$$

 

Задание 8270

Стороны треугольника АВС равны АВ=7, ВС=8, АС=11. Вписанная окружность касается стороны АС в точке R. А вневписанная окружность касается стороны АС в точке F и продолжений сторон АС и ВС.

а) Докажите, что AF+AB=FC+BC
б) Найдите расстояние между точками F и R.
Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Пусть $$MB=x$$, тогда по свойству касательных $$BN=x$$. $$AM=AR=y$$; $$RC=CN=a$$; $$RF=z$$ $$\Rightarrow$$ $$FC=CI=a-z$$; $$AJ=AF=y+z$$

2) $$(*)$$ $$AF+AB=FC+BC$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y+z+y+x=a-z+a+x$$ $$\Rightarrow$$ $$2y=2a-2z$$ $$\Rightarrow$$ $$y=a-z$$ $$(1)$$

Но $$BI=BJ$$ $$\Rightarrow$$ $$y+z+y+x=a-z+a+x$$ $$\Rightarrow$$ $$y=a-z$$

Получим, что $$(1)$$ - верно $$\Rightarrow$$ $$(*)$$ - тоже верно

Б) 1) из $$\bigtriangleup O_{1}AR$$: $$\frac{O_{1}R}{AR}=\tan O_{1}AR=\tan\frac{\angle A}{2}$$

Найдем полупериметр: $$\bigtriangleup ABC$$: $$p=\frac{7+8+11}{2}=13$$ $$\Rightarrow$$ радиус вписанной окружности $$(O_{1}R)$$ по формуле Герона: $$r=\sqrt{\frac{(13-7)(13-8)(13-11)}{13}}=\sqrt{\frac{60}{13}}$$

2) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$\cos A=\frac{7^{2}+11^{2}-8^{2}}{2\cdot7\cdot11}=\frac{53}{77}$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin\frac{\angle A}{2}=\sqrt{1-\frac{\cos A}{2}}=\sqrt{\frac{12}{77}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos\frac{\angle A}{2}=\sqrt{1-\sin^{2}\frac{\angle A}{2}}=\sqrt{\frac{65}{77}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\tan\frac{A}{2}=\frac{\sin\frac{\angle A}{2}}{\cos\frac{\angle A}{2}}=\sqrt{\frac{12}{65}}$$

3) $$AR=\frac{O_{1}R}{\tan\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{60}{13}}\cdot\sqrt{\frac{65}{12}}=5$$ $$\Rightarrow$$ $$FR=11-2\cdot5=1$$

 

Задание 8289

Окружность с центром О касается диагонали АС и сторон АВ и ВС параллелограмма ABCD. Расстояния от точки О до прямых AD и AC равны 8 и 6 соответственно, ОА=10.

а) Докажите, что треугольник АВС ‐ прямоугольный
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD
Ответ: 672
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8308

Продолжение высоты ВН пересекает описанную вокруг треугольника АВС окружность $$\omega$$ в точке D, при этом BD=BC. На луче BD за точку D отмечена точка Е такая, что ЕА касается $$\omega$$ в точке А.

а) Докажите, что $$3\angle EBC+2\angle BEA=180^{\circ}$$
б) Найдите АЕ, если дополнительно известно, что $$\angle ABC=3\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6}$$, а $$DC=10$$
Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Пусть $$\angle EBC=\angle2$$, $$\angle EBA=\angle1$$, тогда: $$\angle DAC=\angle2$$ (опирается на ту же дугу); $$\angle EAD=\angle1$$ ( на дугу $$AD$$) $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup EHA$$: $$\angle BEA=90-(\angle1+\angle2)$$. Тогда: $$3\angle EBC+2\angle BEA=180^{\circ}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$3\angle2+180-2\angle1-2\angle2=180^{\circ}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\angle2=2\angle1$$ - надо доказать

2) Т.к. $$BD=DC$$ то $$\bigtriangleup BDC$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$BO$$ - высота, биссектриса (О - центр окружности) $$\Rightarrow$$ $$\angle OBA=\frac{\angle2}{2}=\angle1$$ из $$\bigtriangleup AOB$$ (равнобедренный) $$\angle OAB=\frac{\angle2}{2}+\angle1$$

3) из $$\bigtriangleup AHB$$: $$\angle HAB=90-\angle1$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle HAO=90-2\angle1-\frac{\angle2}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DAO=90-2\angle1+\frac{\angle2}{2}$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup DOA$$: $$\angle DOA=180^{\circ}-2(90^{\circ}-2\angle1+\frac{\angle2}{2})=4\angle1-\angle2$$

Но $$\angle DOA=2\angle DBA$$ (вписанный и центральный, опираются на одну дугу) $$\Rightarrow$$ $$4\angle1-\angle2=2\angle1$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle2=2\angle1$$

ч.т.д.

Б) 1) Из $$\bigtriangleup CBD$$: $$\frac{CD}{\sin B}=2OB$$. $$\angle ABC=3\angle1=3\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle1=\frac{\sqrt{6}}{6}$$; $$\angle2=2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6}$$; $$\sin B=\sin(2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=2\sin(\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})\cos(\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})$$

Учтем, что $$\arcsin a=\arccos(\sqrt{1-a^{2}})$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin B=2\cdot\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot\frac{\sqrt{30}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$OB=\frac{10}{2\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}}=3\sqrt{5}$$

2) $$\angle DOA=2\angle1$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=\sqrt{AO^{2}+OD^{2}-2AO\cdot OD\cos2\angle1}$$; $$\cos2\angle1=\cos(2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=1-2\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=\sqrt{45+45-2\cdot45\cdot\frac{2}{3}}=\sqrt{30}$$

3) Из $$\bigtriangleup AEH$$: $$\angle AEH=90-\angle EAH=90-3\angle1$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin AEH=\sin(90-3\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=\cos(3\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=4\cos^{3}(\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})-3\cos(\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=4\cdot\frac{5\sqrt{5}}{6\sqrt{6}}-3\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{6}}$$

4) По т. синусов из $$\bigtriangleup AED$$: $$\frac{AE}{\sin EDA}=\frac{AD}{\sin AED}$$; $$\angle EDA=90+\angle2$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin EDA=\sin(90+2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=\cos(2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$AE=\frac{\frac{2}{3}\cdot\sqrt{30}}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}\cdot3}}=\frac{2\sqrt{30}\cdot3\cdot\sqrt{6}}{3\sqrt{5}}=12$$

 

Задание 8326

Высоты равнобедренного остроугольного треугольника АВС, в котором АВ=ВС, пересекаются в точке О. АО=5, а длина высоты AD равна 8.

а) Докажите, что длина стороны АС треугольника АВС равна высоте, опущенной на нее из вершины В.
б) Найдите площадь треугольника АВС.
Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Пусть $$BK;CH;AD$$ - высоты, $$BO=x$$; $$OK=y$$

2) $$AO=5$$ $$\Rightarrow$$ $$OD=3$$; $$\angle AOK=\angle BOD$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AOK\sim\bigtriangleup BOD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AO}{BO}=\frac{OK}{OD}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{5}{x}=\frac{y}{3}$$; $$xy=15$$

3) $$OH=OD=3$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup AHO$$: $$AH=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$$

Из $$\bigtriangleup AOK$$: $$AK=\sqrt{25-y^{2}}$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=2\sqrt{25-y^{2}}$$

Из $$\bigtriangleup AHC$$: $$4(25-y^{2})-16=8^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$4(25-y^{2})=80$$ $$\Rightarrow$$ $$25-y^{2}=20$$ $$\Rightarrow$$ $$y^{2}=5$$ $$\Rightarrow$$ $$y=\sqrt{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=3\sqrt{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$BK=4\sqrt{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$$

Б) $$S=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{5}\cdot4\sqrt{5}=40$$

 

Задание 8345

В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы AB, BC > AC. На катете BC взята точка K такая, что $$\angle MKC=\angle BAC$$ 

а) Докажите, что угол KMC прямой
б) Пусть N – вторая (помимо M) точка пересечения прямой CM и описанной окружности треугольника BMK. Найдите угол ANB
Ответ: 90 градусов
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Пусть $$\angle B$$ в $$\bigtriangleup ABC$$ равен $$\alpha$$, тогда $$\angle BAC=90^{\circ}-\alpha$$

2) $$BM=MA=CM$$ по свойству прямоугольного треугольника $$\Rightarrow$$ $$\angle MCA=90^{\circ}-\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BCM=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha$$

3) $$\angle MKC=90^{\circ}-\alpha$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup CKM$$: $$\angle KMC=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha+\alpha)=90^{\circ}$$

Б) 1) $$CK\cdot CB=CM\cdot CN$$ (свойство секущих) $$\Rightarrow$$ $$\frac{CK}{CN}=\frac{CM}{CB}$$; $$\angle C$$ - общий $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup CKM\sim\bigtriangleup CBN$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle KMC=\angle CBN=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup CBN$$ - прямоугольный

2) $$\angle BCN=\angle BCA$$ $$\angle CBN=\angle BCA$$; $$CB$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup CBN=\bigtriangleup BCA$$ $$\Rightarrow$$ $$BN=CA$$, но $$BN\parallel CA$$ (т.к. обе перпендикулярны $$CB$$) $$\Rightarrow$$ $$CBNA$$ - прямоугольник $$\Rightarrow$$ $$\angle ANB=90^{\circ}$$

 

 

Задание 8683

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD и CE, пересекающиеся в точке Р. Известно, что АС=26, DE=10

а) Найдите отношение радиусов окружностей, вписанных в треугольники DEP и АСР
б) Найдите расстояние между серединами отрезков АС и DE.
Ответ: а) $$\frac{5}{13}$$; б) $$12$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Рассмотрим окружность, построенную на $$AC$$ как на диаметре. Углы $$AEC$$ и $$ADC$$ равны 90°, следовательно, $$E$$ и $$D$$ лежат на этой окружности. Углы $$EDA$$ и $$ECA$$ равны как вписанные, значит, треугольники $$EDP$$ и $$APC$$ подобным по двум углам. Коэффициент подобия равен $$\frac{ED}{AC}=\frac{5}{13}$$ , значит, и отношение радиусов равно 5 : 13.

б) Пусть $$M $$— середина $$ED$$, $$N $$— середина $$AC$$, $$AC$$ — диаметр окружности, проходящей через $$E$$ и $$D$$. Тогда $$NE=ND=\frac{AC}{2}=13$$, следовательно, треугольнике $$NED$$ — равнобедренный, $$NM $$— медиана и высота.
Тогда $$MN^{2}=13^{2}-5^{2}=12^{2}, откуда $$MN=12$$.

 

Задание 8700

Точка О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.

а) Докажите, что $$\angle POA=\angle PAO$$.
б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6, $$\angle BAC=75$$, $$\angle ABC=60$$.
Ответ: $$9\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8720

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке E.

а) Докажите, что $$\angle EOC=\angle ECO$$.
б) Найдите площадь треугольника ACE, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $$6\sqrt{3}$$, $$\angle ABC=60$$.
Ответ: $$27\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8743

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M, а также пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.

а) Докажите, что AM=AN.
б) Найдите отношение CD:DN, если AB:BC=1:3, а $$\cos \angle BAD=0,4$$
Ответ: 10:11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решение прислано подписчиком.

  1. Пункт А: ABMD р/б трапеция (т.к. точки A, B, M и D лежат на окружности, и BM||AD) Диагонали р/б трапеции равны => AM=BD
  2. Рассмотрим  4х-угольник ABDN. A, B, D и N лежат на окружности, и AB||ND (по условию, т.к. N лежит на продолжении CD) => ABDN - р/б трапеция => AN=BD
  3. Из 1) и 2) => AN=AM ч.т.д.
 

Задание 8762

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M, а также пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.

а) Докажите, что AM = AN.
б) Найдите отношение CD:DN, если AB:BC=2:3, а $$\cos BAD=0,7$$.
Ответ: 10:11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8781

В треугольнике ABC известно, что AC=10 и AB=BC=14.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
Ответ: 1:3:1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8800

В треугольнике АВС известно, что AC=26 и AB=BC=38.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
Ответ: 4:5:4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8874

В остроугольном треугольнике АВС угол А равен 40, отрезки ВВ1и СС1– высоты, точки В2 и С2 – середины сторон АС и АВ соответственно. Прямые В1С2 и С1В2пересекаются в точке К.

а) Докажите, что точки В1, В2, С1 и С2 лежат на одной окружности

б) Найдите угол В1КВ2

Ответ: б) 60 градусов
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8895

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=27. Известно, что AB=BC=CD=36.

а) Докажите, что прямые BC и AD  параллельны.

б) Найдите AD.

Ответ: 44
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8915

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=12. AB=BC=CD= 18.

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9048

В треугольнике АВС биссектриса угла В пересекает описанную окружность этого треугольника в точке F. Е – центр окружности, касающейся стороны АС и продолжений сторон АВ и ВС (вневписанная окружность). О – центр вписанной окружности треугольника АВС.

а) Докажите, что отрезки AF и OF равны

б) Найдите длину отрезка CF, если ОЕ = 14.

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9094

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD-диаметр этой окружности.

а) Докажите, что AD=CF.

б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 12, $$\angle BAC$$=35°, $$\angle ACB$$=65°.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9113

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN-диаметр этой окружности.

а) Докажите, что AC и KN параллельны.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $$6\sqrt{6}$$, $$\angle BAC$$=30°, $$\angle ABC$$=105°.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9164

Вписанная в треугольник АВС окружность с центром О касается сторон АВ и АС в точках М и N соответственно. Прямая ВО пересекает окружность, описанную около треугольника CON вторично в точке Р.

а) Докажите, что точка Р лежит на прямой MN

б) Найдите площадь треугольника АВР, если площадь треугольника АВС равна 24.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9231

На гипотенузе AB и катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой AB и BM=BN=1/2 KN. Точка Р - середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник BCPM - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если BM=1 и $$\angle BCM=15^{\circ}$$.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9248

На гипотенузе AB и катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой AB и BM=BN=1/2 KN. Точка Р - середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник BCPM - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если BM=2 и $$\angle BCM=30^{\circ}$$.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9345

Окружности, построенные на сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD, как на диаметрах, касаются в точке М.

а) Докажите, что ABCD ‐ ромб
б) Пусть Р и Q – точки пересечения продолжений диагоналей параллелограмма за точки А и D с общей касательной к окружностям. Найдите площадь треугольника PQC, если радиусы окружностей равны 2, а синус угла BAD равен 2/3 .
Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9365

Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках К и L так, что АК=19,KL=12, LB=3.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9385

Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции АВСD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках К и L так, что АК=13, КL=6, LВ=1.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9490

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CB - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность - в точке F, причём H - середина AE.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE - параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB=5 и AH=4.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9510

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке G. Первая окружность с центром в точке Q касается двух параллельных прямых a и b . Вторая ‐ имеет центр в точке О, касается прямой a, а общая касательная окружностей, проходящая через точку G, пересекает прямую в точке D, а прямую ‐ в точке А. Прямая АО перпендикулярна прямым a и b

а) Докажите, что радиусы окружностей относятся как 1:2
б) Найдите площадь четырехугольника AODQ, если радиус большей окружности равен 8.
Ответ: $$72\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9530

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H - середина AE.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE - параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ=6 и АН=$$2\sqrt{5}$$.
Ответ: $$48+18\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9635

Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 5.

а) Найдите сторону ромба
б) Найдите часть площади ромба, находящуюся внутри треугольника.
Ответ: а) $$\frac{25}{12}$$; б) $$\frac{15}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9663

Окружность с центром O1 касается оснований ВС и АD, а также боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром О2 касается сторон ВС, СD и АD. Известно, что АВ=9, ВС=8, СD=4, АD=15.

а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите O1O2
Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9682

В пятиугольнике А1А2А3А4А5 площади всех треугольников А1А2А3, А2А3А4, А3А4А5, А4А5А1, А5А1А2 равны 1.

а) Докажите, что А1А2||A3A5
б) Найдите площадь пятиугольника А1А2А3А4А5
Ответ: $$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9783

Окружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках А и В соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка К так, что расстояния от нее до продолжений сторон АС ВС равны 39 и 156 соответственно.

а) Найдите расстояние от точки К до прямой АВ.
б) В каком отношении перпендикуляр, опущенный из точки К на прямую АВ, делит площадь пятиугольника KFABE, где точки F и Е – основания перпендикуляров, опущенных из точки К на прямые АС и АВ соответственно?
Ответ: а) 78; б) 1:4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9803

Окружность с центром О1 касается оснований ВС и АD, а также боковой стороны АВ трапеции АВСD. Окружность с центром О2 касается сторон ВС, СD и АD. Известно, что АВ=15, ВС=32, СD=14, АD=11.

а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.
б) Найдите О1О2.
Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9878

Квадраты ABCD и A1B1C1D1 (вершины названы по часовой стрелке) совпадают вершинами С и В1. Точки О и О1 – центры квадратов.

а) Докажите, что прямая ОО1 пересекает отрезки А1В и С1D под одинаковыми углами.
б) Найдите ОО1, если $$A_{1}B+C_{1}D=12\sqrt{2}$$
Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9930

Окружность с центром на диагонали АС трапеции ABCD (BC||AD) проходит через вершины А и В, касается стороны CD в точке С и пересекает основание AD в точке Е так, что CD=$$6\sqrt{13}$$, AE=8.

а) Найдите площадь трапеции ABCD
б) Прямые CD и ВЕ пересекаются в точке Q. Найдите BQ.
Ответ: а) 204; б) $$\frac{16\sqrt{13}}{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9950

Окружность радиуса $$\sqrt{3}$$ касается прямой a в точке А, а прямой b в точке В так, что хорда АВ стягивает дугу окружности в 600. Прямые a и b пересекаются в точке F. Точка С расположена на луче FA, а точка D – на луче BF так, что AC=BD=2. 

а) Докажите, что треугольник BAD – прямоугольный
б) Найдите длину медианы треугольника CBD, проведенную из вершины D.
Ответ: $$\frac{3}{2}$$
 

Задание 10055

В треугольнике АВС сторона ВC больше стороны АC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке К. Окружность, описанная около треугольника АКL вторично пересекает прямую АС в точке Р.

А) Докажите, что отрезки ВС и РС равны.
Б) Найдите площадь треугольника АРК, если ВС=6, АВ=5, АС=4.
Ответ: $$\sqrt{7}$$
 

Задание 10075

Точки Р и Q расположены на стороне ВС треугольника АВС так, что $$BP:PQ:QC=1:2:3$$ . Точка R делит сторону АС этого треугольника так, что AR:RC=1:2. Точки S и T – точки пересечения прямой BR с прямыми AР и АQ соответственно.

а) Докажите, что площади треугольников ABS и AST равны
б) Найдите отношение площади четырехугольника PQTS к площади треугольника АВС.
Ответ: 5:24
 

Задание 10098

Два одинаковых правильных треугольника АВС и CDE расположены на плоскости так, что имеют только одну общую точку С, и угол BCD меньше, чем $$\frac{\pi}{3}$$. Точка К – середина отрезка АС, точка L – середина отрезка СЕ, точка М – середина отрезка BD.

а) Докажите, что треугольник KLM ‐ равносторонний
б) Найдите длину отрезка BD, если площадь треугольника KLM равна $$\frac{\sqrt{3}}{5}$$, а сторона треугольника АВС равна 1.
Ответ: $$\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$$
 

Задание 10117

В трапеции ABCD основания AD=39, BC=26. Длины боковых сторон AB=5, CD=12. Окружность проходит через точки А и В и касается прямой CD.

а) Докажите, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом.
б) Найдите радиус окружности.
Ответ: 12,5
 

Задание 10136

На основании АС равнобедренного треугольника АВС расположена точка D так, что AD=2, CD=1. Окружности, вписанные в треугольники ABD и DBC, касаются прямой BD в точках M и N соответственно.

а) Найдите длину отрезка MN
б) Докажите, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, не может быть более чем в 2 раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник DBC.
Ответ: 0,5
 

Задание 10170

Биссектриса острого угла А трапеции ABCD пересекает боковую сторону CD в точке Т, а продолжение основания ВС трапеции в точке К так, что ABKD – параллелограмм и TD:TC=4:1

а) Докажите, что АК$$\perp$$BD
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если ее сторона AB=8 и $$\angle B=120^{\circ}$$
Ответ: $$28\sqrt{3}$$
 

Задание 10175

Окружность проходит через вершины C и D трапеции ABCD, касается боковой стороны AB в точке B и пересекает большее основание AD в точке K. Известно, что AB=$$5\sqrt{3}$$, $$BC=5$$, $$KD=10$$

а) Докажите, что $$BD=\sqrt{AD\cdot BC}$$
б) Найти радиус окружности.
Ответ: 5
 

Задание 10195

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность единичного радиуса. Известно, что $$AB=\sqrt{2}$$, $$\angle ABE=\frac{\pi}{4}$$, $$\angle EBD=\frac{\pi}{6}$$; BC=CD

а) Докажите, что центр окружности лежит на одной из диагоналей пятиугольника
б) Найдите площадь пятиугольника
Ответ: $$\frac{4+3\sqrt{3}}{4}$$
 

Задание 10216

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон ВА и ВС в точках Е и F.

а) Докажите что центр окружности, вписанной в треугольник ВЕF, лежит на окружности, вписанной в треугольник АВС.
б) Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если ВЕ=13, EF=10.
Ответ: $$\frac{65}{12}$$
 

Задание 10263

В треугольнике АВС $$\angle B=70^{\circ}$$, $$\angle C=25^{\circ}$$, BD - диаметр описанной около треугольника АВС окружности. Продолжение высоты ВН пересекает окружность в точке L.

а) Докажите, что $$\angle ACD$$=$$\angle CAL$$ 
б) Найдите длину отрезка DL , если радиус описанной окружности равен $$4\sqrt{3}$$
Ответ: 12
 

Задание 10289

В трапеции ABCD (AD – нижнее основание) площади треугольников ABD и BDC равны соответственно 12 и 4, а точка G является серединой BD. Ниже прямой AD выбрана точка Е, АЕ=BD, а на отрезке ЕС выбрана точка F такая, что CF в 4 раза короче СЕ.

А) Докажите, что $$\angle BFG=90^{\circ}$$ 
Б) Найдите длину отрезка BD, если дополнительно известно, что $$\angle CFG=75^{\circ}, \angle BGC=15^{\circ}, $$
Ответ: 8
 

Задание 10393

В остроугольном треугольнике АВС проведены биссектриса AD и медиана ВЕ. Точки M и N являются ортогональными проекциями на сторону АВ точек D и Е соответственно, причем $$\frac{AM}{MB}=\frac{9}{1}$$, $$\frac{AN}{NB}=\frac{2}{3}$$ .

а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный
б) Найдите отношение $$\frac{AD^{2}}{BE^{2}}$$ .
Ответ: 2
 

Задание 10443

На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая MQ пересекает гипотенузу KL в точке N.

а) Докажите, что KN:NL=1:2
б) Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно MQ, пересекает отрезок LP в точке R. Найдите LR, ели KQ=9.
Ответ: Б) 2
 

Задание 10499

В треугольнике АВС точка О – центр описанной окружности. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D, а описанную вокруг треугольника АВС окружность – в точке Т.

а) Докажите, что АС – биссектриса угла ТСВ
б) Найдите CD, если АВ=84, АС=98.
Ответ: 26
 

Задание 10510

Точка I ‐ центр окружности, вписанной в треугольник ABC . Луч BI пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке N . Известно, что $$\angle ABC=60^{\circ}$$ 

а) Докажите, что N ‐ центр окружности, описанной около треугольника ABC N AIC
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если известно, что IN=1.
Ответ: 1
 

Задание 10530

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 57°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.
Ответ: 78
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10558

В выпуклом четырехугольнике ABCD точка Е - точка пересечения диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DCE равна 1.

а) Докажите, что ABCD - трапеция

б) Найдите ВС, если площадь всего четырехугольника не превосходит 4, и AD = 3.

Ответ: 3
 

Задание 10578

Окружность с центром $$O$$, вписанная в прямоугольный треугольникa $$ABC$$, касается гипотенузы $$AB$$ в точке $$M$$, а катета $$AC$$ - в точке $$N$$, $$AC<BC$$. Прямые $$MN$$ и $$CO$$ пересекаются в точке $$K$$. 

а) Докажите, что угол $$CKN$$ в два раза меньше угла $$ABC$$

б) Найдите $$BK$$, если $$BC=2\sqrt{2}$$
 

Ответ: 2
 

Задание 10598

Биссектрисы углов С и D четырехугольника ABCD пересекаются в точке К. Диагональ BD разбивает отрезок КС в отношении 2:1, считая от вершины С. При этом площадь треугольника ACD в два раза больше площади треугольника AKD.

а) Докажите, что угол CKD прямой

б) Найдите ВК, если ВС=6

Ответ: 6
 

Задание 10618

В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка М, причем $$\angle BAM=30{}^\circ $$. Прямая АМ пересекает окружность, описанную около треугольника АВС в точке N, отличной от А. Известно, что $$\angle BNC=105{}^\circ ,\ AB=2,AC=2\sqrt{6}$$.

а) Доказать, что $$BN:NC=1:\sqrt{2}$$

б) Найдите длину отрезка AN.

Ответ: 4
 

Задание 10638

Точка Е - середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки ВЕ и СК пересекаются в точке L.

а) Докажите, что EL - медиана треугольника КСЕ

б) Найдите отношение площади треугольника ВLC к площади четырехугольника AKCD, если площадь трапеции ABCD равна 100, а $$BC:AD=2:3$$.

Ответ: 2:21
 

Задание 10658

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся его сторон ВС, АС и АВ в точках Р, Q, R соответственно.

Известны длины катетов: $$AC=4$$, $$BC=3$$.

а) Доказать, что $$AO\cdot BO\cdot CO=10$$
б) Найдите площадь треугольника PQR
Ответ: 1,2
 

Задание 10694

Точка $$O_1$$ - центр вписанной окружности равнобедренного треугольника АВС, а $$O_2$$ - центр вневписанной окружности, касающейся основания ВС.

а) Докажите, что расстояние от середины отрезка $$O_1O_2$$ до точки С вдвое меньше $$O_1O_2$$.

б) Известно, что радиус первой окружности в пять раз меньше радиуса второй. В каком отношении точка касания первой окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Ответ: 1:2
 

Задание 10734

Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках $$C_1,B_1,A_1$$соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника $$AB_1C_1$$

а) Докажите, что $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$.
б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник $$AC_1B_1$$, если известно, что ВС = 15, АВ = 13, АС = 14.
Ответ: 4
Скрыть

а) Поскольку$$\ AC_1=AB_1$$, треугольник$$\ AB_1C_1$$ равнобедренный, биссектриса его угла А перпендикулярна основанию $$B_1C_1$$ и делит его пополам, значит, высота треугольника $$B_1QC_1$$ проведённая из вершины Q, является его медианой. Значит, треугольник $$B_1QC_1$$ равнобедренный, $$\angle QB_1C_1=\angle QC_1B_1$$.

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что $$\angle AC_1B_1=2\angle QB_1C_1=2\angle QC_1B_1$$. Следовательно, $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$.

б) Поскольку Q - точка пересечения биссектрис треугольника $$AB_1C_1$$, эта точка - центр окружности, вписанной в треугольник $$AB_1C_1.$$ Значит, искомое расстояние - это длина отрезка OQ, т.е. радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Пусть этот радиус равен r, а полупериметр треугольника ABC равен р. Тогда $$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21\to $$ $$\to S_{\triangle ABC}=\sqrt{21\left(21-13\right)\left(21-14\right)\left(21-15\right)}=84$$

Следовательно, $$OQ=R=\frac{S_{\triangle ABC}}{P}=\frac{84}{21}=4$$.

 

Задание 10754

Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках $$C_1,B_1,\ A_1$$ соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника $$AB_1C_1$$.

а) Докажите, что $$C_1Q$$ - биссектриса угла$$\ AC_1B_1$$
б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник $$AB_1C_1$$ если известно что ВС = 7, АВ = 15, АС = 20.
Ответ: 2
Скрыть

а) В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Стороны AB и AC - касательные к окружности и по теореме об отрезках касательных $$AC_1=AB_1$$ и, следовательно, треугольник$$\ AC_1B_1$$ - равнобедренный. AQ - биссектриса угла A по условию и в равнобедренном треугольнике $$AC_1B_1$$ биссектриса $$AA_2$$ (продолжение AQ) является медианой и высотой. Следовательно, $$QA_2$$ в треугольнике $$C_1QB_1$$ является также медианой и высотой, а сам треугольник $$C_1QB_1$$ - равнобедренный, так как $$\angle 1=\angle 2$$.

По теореме об угле между касательной $$AC_1$$ и хордой $$C_1B_1$$, имеем: $$\angle AC_1B_1=2\cdot \angle 1=2\cdot \angle 2$$, следовательно, $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$.

б) Рассмотрим треугольник $$AC_1B_1$$. Известно, что центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов, поэтому для $$AC_1B_1$$ центр вписанной окружности соответствует точке Q.

Найдем расстояние от точки O до точки Q, равный радиусу r вписанной окружности в треугольник ABC. Используя формулу площади треугольника ABC, можно записать $$S_{ABC}=p\cdot r$$, где p - полупериметр треугольника ABC. То есть, радиус r, равен: $$r=S_{ABC}/p$$.

Площадь треугольника ABC также можно найти по формуле Герона.

Делаем вычисления. Полупериметр треугольника ABC, равен: $$p=\frac{7+15+20}{2}=21$$, площадь треугольника ABC, равна: $$S_{ABC}=\sqrt{21\cdot \left(21-7\right)\cdot \left(21-15\right)\cdot (21-20)}=42$$ и радиус вписанной окружности $$r=\frac{42}{21}=2$$, то есть $$OQ = r = 2$$.

 

Задание 10823

Хорды АС и BD пересекаются в точке Т. На хорде ВС отложен отрезок СР, равный AD. Точки Р и D равноудалены от хорды АС, а отрезок ТР перпендикулярен хорде ВС.

а) Докажите, что площади четырехугольников ABPD и APCD равны.

б) Найдите эти площади, если площадь треугольника ATD равна трем.

Ответ: 18
 

Задание 10843

Точка B лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с диаметром ВС в точке М и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром АВ в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и МС параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если $$AK=3,\ MK=12$$.
Ответ: 30
Скрыть

а) Для доказательства параллельности прямых AD и MC рассмотрим $$\triangle ADB$$ и $$\triangle CMB$$, они прямоугольные, т.к. вписанные углы ADB и CMB опираются на диаметры окружностей. Прямая DM перпендикулярна прямым $$AD,\ MC\to AD\parallel MC$$.

б) 1) Четырехугольник AMCD является трапецией $$AD\parallel MC$$, по свойству трапеции $$\triangle ABM,\ \triangle DBC$$ равновелики, значит $$S_{\triangle ABM}=S_{\triangle DBC}=\frac{AM\cdot BK}{2}$$.

2) $$\triangle AKB\sim \triangle AMN$$ по двум углам ($$BK\bot AK,\ \angle AKB$$ - прямой; $$MN\bot AM,\ MN-$$ радиус, проведенный в точку касания) $$\to \frac{KB}{MN}=\frac{AK}{MN}\to \frac{KB}{MN}=\frac{1}{5}\to MN=5KB$$.

3) Проведем прямую BH, параллельную прямой $$AM\to BKMH$$ - прямоугольник. $$BH\bot MN.$$ Пусть $$BK=x=MH$$, тогда $$MN=5x,\ HN=MN-MH=4x.\ BH=KM=12$$.

4) Р/м $$\triangle BHM,\angle BHN=90{}^\circ ,BH=12,BN=MN=5x,\ HN=4x$$. По теореме Пифагора $$BN^2=BH^2+HN^2,\ 25x^2=144+16x^2$$. $$x=4\to BK=4$$. $$5) S_{\triangle DBC}=\frac{AM\cdot BK}{2}=\frac{15\cdot 4}{2}=30.$$

Задание 10862

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке С. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно, а отрезки КС и АВ пересекаются в точке L.

а) Докажите, что $$CN:CM=LB:LA$$.
б) Найдите MN, если $$LB:LA=2:3$$, а радиус малой окружности равен $$\sqrt{23}$$.
Ответ: $$\frac{115}{6}$$
Скрыть

а) О - центр большей окружности, К - внутренняя точка касания, КО - диаметр меньшей окружности.

$$\angle KBO$$ - прямой, т.к. опирается на диаметр окружности, значит, $$BO\bot KN$$. ВО - высота равнобедренного треугольника KNO. Тогда ВО - медиана треугольника KNO, В - середина КМ. $$\angle KAO$$ - прямой, А - лежит на окружности с диаметром КО. Тогда $$AO\bot KM$$, АО - высота равнобедренного треугольника KMO. Отсюда А - середина КМ. АВ тогда - средняя линия $$\triangle KMN,\ AB\parallel MN$$.

$$\triangle AKL\sim \triangle MKC$$ - по двум углам ($$\angle AKL-$$ общий; $$\angle KAL=\angle KMC$$), следовательно $$\frac{MC}{AL}=\frac{KC}{KL}$$.

$$\triangle LKB\sim \triangle CKN$$ ($$\angle LKB-$$ общий; $$\angle KLB=\angle KCN$$), следовательно $$\frac{CN}{LB}=\frac{KC}{KL}$$.

Правые части этих равенств равны, будут равны и левые части. $$\frac{MC}{AL}=\frac{CN}{LB}\to CN:MC=LB:AL$$.

б) Найти следует $$MN$$, если LB:LA=2:3, а радиус малой окружности равен $$\sqrt{23}$$, $$\frac{CN}{MC}=\frac{LB}{AL}=\frac{2}{3}$$; Пусть x - одна часть, тогда $$CN=2x,\ MC=3x,\ NM=5x$$.

В $$\triangle MON$$ проведем высоту OH, она также является медианой. Значит, $$MH=HN=2,5x$$.

Из прямоугольного треугольника MOH по теореме Пифагора найдем OH.

$$OH^2=MO^2-MH^2;OH=R=2r=2\sqrt{23};OH=\sqrt{92-6,25x^2};$$ Q - центр вписанной окружности. Проведем $$OD\bot QC,DC=OH$$. $$DC=\sqrt{92-6,25x^2},\ QD=QC-DC,\ QO=QC=r=\sqrt{23}\to $$ $$\to QD=\sqrt{23}-\sqrt{92-6,25x^2}$$.

$$OD=CH=MH-MC=2,5x-2x=0,5x$$; Из прямоугольного треугольника $$QDO$$ по теореме Пифагора имеем $$QO^2=QD^2+DO^2;{\left(\sqrt{23}\right)}^2={\left(0,5x\right)}^2+{\left(\sqrt{23}-\sqrt{92-6,25x^2}\right)}^2\to $$ $$\to 23=0,25x^2+23-2\sqrt{23}\sqrt{92-6,25x^2}+92-6,25x^2\to $$ $$\to 2\sqrt{23}\sqrt{92-6,25x^2}=92-6x^2\to \sqrt{23}\sqrt{92-6,25x^2}=46-3$$.

Возведем обе части в квадрат, после преобразований получим $$9x^2-\frac{529}{4}\cdot x^2=0\to x^2\left(3x-\frac{23}{2}\right)\left(3x-\frac{23}{2}\right)=0\to x=0,\ x=\frac{23}{6},x=-\frac{23}{6}$$.

Удовлетворяют условию задачи только $$x=\frac{23}{6}$$, тогда $$MN=5x=5\cdot \frac{23}{6}=\frac{115}{6}$$.

 

Задание 10881

Две окружности касаются внутренним образом в точке $$A$$, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках К и М соответственно.

а) Докажите, что прямые КМ и ВС параллельны.
б) Пусть L - точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите АL, если радиус большей окружности равен 10, а $$BC=16$$.
Ответ: $$\frac{1}{2}AP=\sqrt{10}$$
Скрыть

а) О - центр большей окружности, А - внутренняя точка касания двух окружностей, АО - диаметр меньшей окружности. $$\angle AMO$$ - прямой, т.к опирается на диаметр окружности. Значит $$MO\bot AC,\ MO$$ - высота равнобедренного треугольника АОС. Тогда МО - медиана треугольника АОС, М - середина АС. $$\angle AKO$$ - прямой, К - лежит на окружности с диаметром АО. Тогда $$KO\bot AB,\ KO$$ - высота равнобедренного треугольника АОВ. Отсюда К - середина отрезка АВ. КМ - средняя линия $$\triangle ABC$$. Следовательно, $$KM\parallel BC$$.

б) Пусть L - точка пересечения отрезков KM и AP. $$R=10,\ BC=16$$ надо найти AL. Опустим перпендикуляр ОН на хорду ВС. $$\triangle BOC$$ - равнобедренный, ОН - высота, медиана, биссектриса этого треугольника. H - середина ВС. $$BH=HC=8$$. Из прямоугольного треугольника ВОН по теореме Пифагора найдем ОН: $$OH^2=OB^2-BH^2={10}^2-8^2=36\to OH=6$$. Q - центр меньшей окружности, прямые $$QP\parallel OH$$. Опустим перпендикуляр QD на ОН. Тогда $$OD=OH-HD=6-5=1$$. Из прямоугольного треугольника $$\triangle QOD$$ по теореме Пифагора найдем $$QD^2=QO^2-OD^2=25-1=24;PH^2=QD^2=24$$. Из прямоугольного треугольника $$\triangle POH$$ по теореме Пифагора найдем $$OP^2=PH^2-OH^2=24-6^2=60.$$ Из прямоугольного треугольника $$\triangle QOD$$ по теореме Пифагора найдем $$AP^2=AO^2-OP^2={10}^2-60=40;\to AP=2\sqrt{10}.$$ КМ - средняя линия $$\triangle ABC$$, тогда L - середина отрезка АР. $$AL=\frac{1}{2}AP=\sqrt{10}$$.

 

Задание 10900

Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АВ угол 30$${}^\circ$$. Точка Е лежит вне прямоугольника, причём $$\angle BEC=120{}^\circ $$.

а) Докажите, что $$\angle CBE=\angle COE$$.
б) Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке K, Найдите ЕК, если известно, что BE = 40 и СЕ = 24.
Ответ: 113
Скрыть

а) По теореме о внешнем угле треугольника $$\angle BOC=2\angle BAO=2\cdot 30{}^\circ =60{}^\circ $$. Поэтому $$\angle BEC+\angle BOC=120{}^\circ +60{}^\circ =180{}^\circ $$.

Значит, точки В, Е, С и О лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы СВЕ и СОЕ опираются на одну и ту же дугу, следовательно, $$\angle CBE=\angle COE$$.

б) По теореме косинусов $$BC=\sqrt{BE^2+CE^2-2BE\cdot CE\cdot {\cos 120{}^\circ \ }}=\sqrt{{40}^2\cdot {24}^2-2\cdot 50\cdot 24\cdot (-\frac{1}{2})}=$$ $$=56$$.

Вписанные углы ВЕО и СЕО опираются на равные хорды ВО и СО, значит, ЕО - биссектриса угла ВЕС. Пусть М - точка её пересечения со стороной ВС. По формуле для биссектрисы треугольника $$EM=\frac{2BE\cdot CE\cdot {\cos \frac{1}{2}\angle BEC\ }}{BE+CE}=\frac{2\cdot 40\cdot 24\cdot {\cos 60{}^\circ \ }}{40+24}=15$$.

По свойству биссектрисы треугольника $$\frac{CM}{BM}=\frac{CE}{BE}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}$$, значит, $$CM=\frac{3}{8}BC=\frac{3}{8}\cdot 56=21$$. $$BM=35$$.

По теореме о произведении пересекающихся хорд $$EM\cdot MO=BM\cdot CM$$, откуда находим, что $$MO=\frac{BM\cdot CM}{EM}=\frac{35\cdot 21}{15}=49$$. Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому $$OK\ =\ OM$$. Следовательно, $$EK=EM+2OM=15+98=113$$.

 

Задание 10938

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.

б) Найдите ВС, если радиусы окружностей равны $$\sqrt{15}$$ и 15.

Ответ: 7,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) $$\angle ACD=\angle BCE$$ - вертикальные, $$\angle ACD=180{}^\circ -\angle ACB=90{}^\circ \to AD$$ и $$BE$$ - диаметры. Пусть LC - общая касательная: $$\angle LCB=\alpha \to \angle CEB=\alpha $$ (вписанный и м/у хордой и касательной, опирающиеся на одну дугу). $$\angle ACL=90-\alpha =\angle ADC\to \angle DAC=\alpha =\angle CEB\to AD\parallel BE$$ и $$\triangle ADC\sim \triangle CEB$$.

б) $$\frac{AD}{BE}=\frac{2\sqrt{15}}{2\cdot 15}=\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{AC}{CE}$$, но $$AC=CB\to \frac{CB}{CE}=\frac{1}{\sqrt{15}}$$. Пусть $$CB=x\to CE=\sqrt{15}x\to $$ по теореме Пифагора: $$CB^2+CE^2=BE^2\leftrightarrow x^2+15x^2={\left(15\cdot 2\right)}^2\to x^2=\frac{{15}^2\cdot 2^2}{16}\to x=7,5$$.

Задание 11002

В остроугольном треугольнике АВС провели высоты $$AH_1$$ и $$CH_2$$, затем провели луч МН, который пересекает описанную около треугольника АВС в точке К, где М - середина АС, а Н - точка пересечения высот.

А) Докажите, что $$НМ=МК$$

Б) Найдите площадь треугольника ВСК, если $$\angle ABC=60{}^\circ ;\ \angle BAC=45{}^\circ ;\ AC=1$$

Ответ: $$\frac{1}{3}$$
 

Задание 11022

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Ответ: $$\frac{1}{2}.$$
Скрыть

а) Треугольник ABC - равнобедренный ($$AB\ =\ BC$$), BH - высота, следовательно, BH - биссектриса угла ABC. Окружность с центром в точке O вписана в угол CBE, поэтому ее центр находится на биссектрисе (BO) угла CBE. Углы ABC и CBE - смежные, их сумма равна 180$${}^\circ$$, следовательно, сумма углов HBC и OBC равна 90$${}^\circ$$. Получаем, что в четырехугольнике HBON $$\angle HBO=\angle BHN=\angle ONH=90{}^\circ $$ то есть, имеем прямоугольник HBON. Его противоположные стороны равны $$BH=ON$$ и радиус окружности с центром O равен высоте треугольника ABC.

б) Пусть радиус вписанной окружности равен $$r$$. Так как радиус описанной окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности, то $$BH=4r$$, а $$O_1B=4r-r=3r$$ (см. рисунок). Прямоугольник $$O_1MB$$ - прямоугольный, так как $$O_1M\bot BC$$ (BC - касательная, а O1M - радиус). Тогда по теореме Пифагора, имеем: $$MB=\sqrt{O_1B^2-O_1M^2}=\sqrt{9r^2-r^2}=2\sqrt{2}r.$$

Рассмотрим треугольники $$BO_1M$$ и $$BCH$$, которые подобны по двум углам (угол B - общий, а $$\angle O_1MB=\angle BHC=90{}^\circ $$). Следовательно, $$\frac{BM}{O_1M}=\frac{BH}{CH}$$, откуда $$CH=\frac{O_1M\cdot BH}{BM}=\frac{r\cdot 4r}{2\sqrt{2}r}=\sqrt{2}r.$$

Также $$CH=CM$$ по теореме об отрезках касательных, то есть, $$CM=\sqrt{2}r$$. Соответственно, $$\frac{CM}{BM}=\frac{\sqrt{2}r}{2\sqrt{2}r}=\frac{1}{2}.$$

 

Задание 11088

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, АВ и АС в точках K, L и М соответственно. Прямая КМ вторично пересекает в точке Р окружность радиуса АМ с центром А.

а) Докажите, что прямая АР параллельна прямой ВС

б) Пусть $$\angle ABC=90{}^\circ ,\ AM=3,\ CM=2,\ Q$$ - точка пересечения прямых КМ и АВ, а Т - такая точка на отрезке РQ, что $$\angle OAT=45{}^\circ .$$ Найдите QT.

Ответ: $$\frac{12\sqrt{5}}{5}$$
 

Задание 11107

Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

а) Докажите, что $$ML=NL$$
б) Найдите $$MN$$, если известно, что $$BC=3$$, $$AD=8$$ и $$MK:KL=1:3$$.
Ответ: 6
Скрыть

а) $$\triangle AMK\sim \triangle ABC$$ по двум углам ($$\angle BAC$$ - общий, $$\angle AMK=\angle ABC,$$ как соответственные при параллельных прямых MN и BC).

Аналогично $$\triangle DLN\sim \triangle DBC.$$ Отсюда $$\frac{MK}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{DN}{DC}=\frac{LN}{BC};MK=LN.$$

б) $$MK:KL=1:3.$$

Пусть $$MK=x=LN,$$ то $$KL=3x,$$ тогда: $$\triangle ABD\sim \triangle MBL$$ (по двум углам): $$\frac{AD}{ML}=\frac{AB}{MB},\frac{AB}{MB}=\frac{8}{4x}=\frac{2}{x}(1)$$

$$\triangle ABC\sim \triangle AMK$$ (по двум углам): $$\frac{MK}{BC}=\frac{AM}{AB},\frac{AM}{AB}=\frac{x}{3}(2)$$

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AB-MB}{AB}=1-\frac{MB}{AB};$$ Из $$\left(1\right)$$ следует $$\frac{MB}{AB}=\frac{x}{2}.$$

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AB-MB}{AB}=1-\frac{MB}{AB}=1-\frac{x}{2}.$$ Значит, $$\frac{AM}{AB}=1-\frac{x}{2}(3)$$

Приравняем правые части $$(2)$$ и $$(3)$$ и найдем значение $$MN=5x:$$ $$\frac{x}{3}=1-\frac{x}{2};2x=6-3x;5x=6;MN=5x=6.$$

 

Задание 11127

Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.

Ответ: 1
Скрыть

а) Дана трапеция ABCD, в которой M - середина BC, а N - середина AD (см. рисунок ниже). Следовательно, $$BM=MC$$ и $$AN=ND (1)$$. По условию задания в трапецию ABMN можно вписать окружность, значит, суммы ее противоположных сторон равны: $$AB+MN\ =\ BM+AN$$, откуда $$MN\ =\ BM+AN-AB.$$ Аналогично для трапеции MCDN: $$CD+MN\ =\ MC+ND.$$ $$MN\ =\ MC+ND-CD.$$

Приравниваем два выражения для MN, имеем: $$BM+AN-AB\ =\ MC+ND-CD$$ и, учитывая равенство (1), получаем: $$AB\ =\ CD$$

Получаем равенство боковых сторон, значит, трапеция ABCD - равнобедренная.

б) Так как радиус вписанных окружностей равен 4, значит, высота трапеции $$MN=2\cdot 4=8.$$ Также по условию дана длина $$BC=14$$ и, следовательно, $$BM=BC:2=14:2=7.$$ Обозначим BF через x (см. рисунок ниже). Тогда $$BM_1=x\ $$как отрезки касательных.

Получаем, что $$M_1M=7-x$$, поэтому и $$MZ=7-x$$, $$NZ\ =\ MN-MZ\ =\ 8-(7-x)\ =\ x+1,$$ следовательно, $$N_1N=x+1$$ (так как соответствующие отрезки касательных равны). Так как $$MZ=ZN$$ (радиус $$O_1Z$$ вписанной окружности будет параллелен основаниям трапеции), имеем: $$7-x=x+1\to x=3.$$

Значит, $$BF=BM_1\ =\ 3$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BO_1A$$ (он прямоугольный, так как $$AO_1$$ и $$BO_1$$ - биссектрисы, а $$\angle A+\angle B=180{}^\circ $$, поэтому $$\angle BO_1A=90{}^\circ $$). Квадрат высоты $$OF_1$$, проведенной из прямого угла, равен: $$O_1F^2=BF\cdot FA\to FA=\frac{16}{3}$$ и по теореме Пифагора $$O_1A=\sqrt{O_1F^2-FA^2}=\sqrt{16+\frac{{16}^2}{9}}=\frac{20}{3}.$$

Обозначим радиус малой окружности $$AO=y$$, тогда $$OA=O_1A-OO_1=O_1A-\left(4+y\right)=\frac{8}{3}-y.$$

Учитывая, что треугольники $$AFO_1$$ и $$AYO$$ подобны по двум углам, можем записать отношение: $$\frac{y}{4}=\frac{AO}{AO_1}=\frac{\frac{8}{3}-y}{\frac{20}{3}}\to 32-12=20y\to y=1$$

 

Задание 11146

На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что $${\cos \angle ABC\ }=\frac{1}{5}.$$ В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
Ответ: $$\frac{25}{24}.$$
Скрыть

а) Пусть $$\angle ABL=\angle ABL=\alpha ,$$ тогда $$\angle ACB=\angle ABC=2\alpha ,\ \angle D=\alpha $$ по свойству равнобедренного $$\triangle .$$ $$\angle ACB-$$ внешний в $$\angle DCL\to \angle CLD=\angle ACB-\angle CDL=\alpha =\angle CDL\to \triangle DCL-$$ равнобедренный по признаку.

б) 1) Пусть $$LH\bot BD,H\in BD.$$ В прямоугольном $$\triangle LCH:CH=x,{\cos 2\alpha \ }={\cos \angle ABC\ }=,\ CL=CH:{\cos 2\alpha \ }=5x=CD$$ ($$\triangle DCL-$$ равнобедренный).

2) В равнобедренном $$\triangle BLD$$ высота LH является медианой $$\to BH=DH=CH+CD=6x;$$ тогда $$BC=BH+CH=7x.$$

3) Пусть $$BM=CM=BC:2=3,5x;$$ AM - медиана, высота равнобедренного $$\triangle ABC,$$ тогда из прямоугольного $$\triangle AMC:AC=CM:{\cos 2\alpha \ }=3,5x\cdot 5=17,5x;AL=AC-CL=12,5x.$$

4) $$DL\cap AB=K.$$ Через точку С проведем $$CN\parallel DL,CN\cap AB=N.$$ По т. о пропорциональных отрезках:

- (для $$\angle DBK$$) $$\frac{BN}{NK}=\frac{BC}{CD}=\frac{7x}{5x}=\frac{7}{5}\to BN=7a,\ NK=5a\ \left(a>0\right);$$ тогда $$BK=BN+NK=12a.$$

- (для $$\angle CAN$$) $$\frac{AK}{NK}=\frac{AL}{CL}=\frac{12,5x}{5x}=\frac{125}{50}=\frac{5}{2}\to AK=\frac{5NK}{2}=\frac{25a}{2};$$ тогда $$\frac{AK}{BK}=\frac{25a}{2\cdot 12a}=\frac{25}{24}.$$

 

Задание 11277

В окружность, радиус которой равен $$2\sqrt{7}$$, вписана трапеция ABCD, причем ее основание AD – диаметр окружности, а $$\angle BAD = 60^{\circ}$$. Хорда СЕ пересекает диаметр AD в точке Р такой, что AP : PD = 1 : 3.

а) Докажите, что Р – cередина отрезка АО.
б) Найдите площадь треугольника BPE.
Ответ: $$3\sqrt{3}$$
 

Задание 11378

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, а угол BDC равен 75°. Точка Р лежит вне прямоугольника, а угол АРВ равен 150°.

а) Докажите, что углы ВАР и РОВ равны.
б) Прямая РО пересекает сторону CD в точке F. Найдите CF, если $$AP=6\sqrt{3}$$ и BР=4.
Ответ: $$\frac{378-84\sqrt{3}}{23}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11422

На стороне АВ выпуклого четырехугольника АВCD выбрана точка М так, что $$\angle AMD$$=$$\angle ADB $$ и $$\angle ACM$$=$$\angle ABC $$. Утроенный квадрат отношения расстояния от точки А до прямой CD к расстоянию от точки С до прямой AD равен 2, СD=20.

а) Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
б) Найдите длину радиуса вписанной в треугольник АСD окружности.
Ответ: $$4\sqrt{10}-2\sqrt{15}$$
 

Задание 11450

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.

А) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны
Б) Найдите площадь четырехугольника BOMN, если CN=8, AM:MC=1:3.
Ответ: 28
 

Задание 11469

На стороне АВ треугольника АВС взята точка Е, а на стороне ВС ‐ точка D так, что АЕ=2, CD=1. Прямые AD и СЕ пересекаются в точке О. Известно, что АВ=ВС=8, АС=6.

а) Докажите, что АО:АD=8:11
б) Найдите площадь четырехугольника BDOE
Ответ: $$\frac{189\sqrt{55}}{88}$$
 

Задание 11713

Дан АВС с тупым углом С и со стороной АВ=21. К прямым ВС и АС проведены высоты АН1и ВН2. Известно, что 17АН = 30R, 5ВН = 6R, где Н – точка пересечения прямых АН1и ВН2, R – радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

а) Докажите, что $$\sin \angle ACB=\frac{84}{85}$$
б) Найдите площадь треугольника АВС
Ответ: 84
 

Задание 11732

Три точки А, В и С разбивают окружность на три дуги. Каждая из дуг разбивается на три равные части так, что на окружности последовательно стоят точки А, А1, А2, В, В1, В2, С, С1, С2.

А) Докажите, что точки пересечения прямых А1В2, В1С2 и С1А2образуют равносторонний треугольник

Б) Найдите стороны этого треугольника, если АС=1, ВС=2, АВ= 3

Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$
 

Задание 11751

В остроугольном треугольнике ABC высоты BB1и CC1пересекаются в точке H.

а) Докажите, что $$\angle NAH=\angle BB_{1}C_{1}$$ 
б) Найдите расстояние от цента описанной окружности треугольника ABC до стороны BC, если B1C1=12 и $$\angle BAC=60^{\circ}$$.
Ответ: $$4\sqrt{3}$$
 

Задание 11770

В треугольнике ABC AB=3, $$\angle ABC=\arcsin \frac{3}{5}$$. Хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что $$\angle ABC=\angle CML$$, площадь четырёхугольника ABLM равна 2, LM=1.

а) Докажите, что треугольник KNC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника KNC.
Ответ: $$\frac{3}{4}$$
 

Задание 11855

Отрезки AK, BL, CN – высоты остроугольного треугольника АВС. Точки Р и Q – проекции точки N на стороны АС и ВС соответственно.

а) Докажите, что прямые PQ и KL параллельны.
б) Найдите площадь четырехугольника PQKL, если известно, что CN=12, AC=13, BC=15.
Ответ: $$\frac{20412}{845}$$
 

Задание 12284

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, а угол BDC равен 22,5$${}^\circ$$. Точка Р лежит вне прямоугольника, а угол ВРС равен 135$${}^\circ$$.

а) Докажите, что углы ВСР и РОВ равны.
б) Прямая РО пересекает сторону AD в точке F. Найдите DF, если $$ВР\ =\ 7$$ и $$СР\ =\ 5\sqrt{2}$$.
Ответ: $$91(5\sqrt{2}-7)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 12314

На сторонах АС, АВ и ВС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С вне треугольника АВС построены равнобедренные прямоугольные треугольники АКС, ALB и ВМС с прямыми углами К, L и М соответственно.

а) Докажите, что LC - высота треугольника KLM.
б) Найдите площадь треугольника KLM, если $$LC\ =\ 4.$$
Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12334

На сторонах АС, АВ и ВС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С вне треугольника АВС построены равнобедренные прямоугольные треугольники АКС, ALB и ВМС с прямыми углами К, L и М соответственно.

а) Докажите, что LC - высота треугольника KLM.
б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 6.
Ответ: 18
 

Задание 12354

Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
Ответ: 1
 

Задание 12375

На сторонах АС, АВ и ВС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С во внешнюю сторону построены равнобедренные прямоугольные треугольники АКС, ALB и ВМС с прямыми углами К, L и М соответственно.

а) Докажите, что LC - высота треугольника KLM.
б) Найдите площадь треугольника KLM, если$$\ LC\ =10.$$
Ответ: 50
 

Задание 12395

Точка О - центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.

а) Докажите, что $$\angle POA\ =\ \angle PAO.$$
б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6, $$\angle BAC\ =\ 75{}^\circ ,\ \angle ABC\ =\ 60{}^\circ .$$
Ответ: $$9\sqrt{2}$$
 

Задание 12415

Точка О - центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Е.

а) Докажите, что $$\angle EOC=\ \angle ECO.$$
б) Найдите площадь треугольника АСЕ, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен $$6\sqrt{3},\ \angle ABC\ =\ 60{}^\circ .$$
Ответ: $$27\sqrt{3}$$
 

Задание 12435

Окружность проходит через вершины А, В и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону ВС в точках В и М, а также пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.

а) Докажите, что $$AM=AN$$.
б) Найдите отношение $$CD\ :\ DN$$, если $$AB\ :\ BC\ =\ 1:3$$, a $$cos\angle BAD\ =\ 0,4.$$
Ответ: 5:7
 

Задание 12454

Окружность проходит через вершины А, В и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону ВС в точках В и М, а также пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.

а) Докажите, что $$AM\ =AN.$$
б) Найдите отношение $$CD\ :\ DN,$$ если $$AB\ :\ BC\ =\ 2:3$$, a $$\cos\angle BAD\ =\ 0,7.$$
Ответ: 10:11
 

Задание 12473

В треугольнике АВС известно, что $$AC\ =\ 10$$ и $$AB\ =\ BC=\ 14.$$

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.
Ответ: 1:3:1
 

Задание 12495

В треугольнике АВС известно, что $$AC\ =\ 26$$ и $$AB\ =\ BC\ =\ 38.$$

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.

б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.

Ответ: 4:5:4
 

Задание 12515

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=27. Известно, что $$AB\ =\ BC\ =\ CD\ =\ 36.$$

а) Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Ответ: 44
 

Задание 12534

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса $$R\ =12.$$ Известно, что $$AB\ =\ BC\ =\ CD\ =\ 18.$$

а) Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Ответ: 13,5
 

Задание 12553

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD - диаметр этой окружности.

а) Докажите, что $$AD\ =\ CF.$$

б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 12, $$\angle BAC\ =\ 35{}^\circ $$, $$\angle ACB\ =\ 65{}^\circ .$$

Ответ: 12
 

Задание 12575

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке К. Отрезок BN - диаметр этой окружности.

а) Докажите, что АС и KN параллельны.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой АС, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен $$6\sqrt{6}$$, $$\angle BAC\ =\ 30{}^\circ ,\ \angle ABC=\ 105{}^\circ .$$

Ответ: 9
 

Задание 12595

На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника АВС отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой АВ и $$BM\ =\ BN\ =\frac{1}{2}KN.$$ Точка Р - середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник ВСРМ - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если $$BM\ =\ 1$$ и $$\angle BCM\ =\ 15{}^\circ .$$

Ответ: $$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$$
 

Задание 12615

На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника АВС отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой АВ и $$BM=BN\ =\frac{1}{2}KN.$$ Точка Р -середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник ВСРМ - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если $$BM\ =\ 2$$ и $$\angle BCM\ =\ 30{}^\circ .$$

Ответ: $$8\sqrt{3}$$

Задание 12635

Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках К и L так, что $$AK\ =\ 19,\ KL\ =\ 12,\ LB\ =\ 3.$$

Ответ: 30
 

Задание 12655

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность - в точке F, причём Н - середина АЕ.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE - параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что $$AB\ =\ 6$$ и $$AH=2\sqrt{5}$$

Ответ: $$42+18\sqrt{5}$$
 

Задание 12674

Окружность с центром $$O_1$$ касается оснований ВС и AD, а также боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром $$O_2$$ касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что $$AB\ =\ 9,\ BC\ =\ 8,\ CD\ =\ 4,\ AD\ =\ 15.$$

а) Докажите, что прямая $$O_1O_2\ $$параллельна основаниям трапеции ABCD.

б) Найдите $$O_1O_2$$.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12695

Окружность с центром $$O_1$$ касается оснований ВС и AD, а также боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром $$O_2$$ касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что $$AB\ =15,\ BC\ =\ 32,\ CD=\ 14,\ AD\ =11.$$

а) Докажите, что прямая $$O_1O_2$$ параллельна основаниям трапеции ABCD.

б) Найдите $$O_1O_2$$.

Ответ: 7
 

Задание 12715

Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с диаметром ВС в точке М и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром АВ в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и МС параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если $$AK\ =\ 3$$ и $$MK\ =\ 12.$$

Ответ: 30
 

Задание 12735

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны.

б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если $$CN\ =\ 4$$ и $$AM\ :\ MC\ =\ 1:3.$$

Ответ: 7
 

Задание 12754

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что $$BM=CM.$$

б) Найдите угол АВС, если угол BCD равен 64$${}^\circ$$, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.

Ответ: $$71^{\circ }$$
 

Задание 12775

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что $$BM\ =\ CM.$$

б) Найдите угол АВС, если угол BCD равен 57$${}^\circ$$, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD

Ответ: 78$${}^\circ$$
 

Задание 12796

В треугольнике АВС известно, что $$\angle BAC\ =\ 60{}^\circ ,\ \ \angle ABC=\ 45{}^\circ .$$ Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что $$BC\ =\ 6.$$

Ответ: $$6\sqrt{3}$$
 

Задание 12816

В треугольнике АВС известно, что $$\angle BAC\ =\ 60{}^\circ ,\ \angle ABC=\ 45{}^\circ .$$ Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что $$BC\ =\ 10.$$

Ответ: $$\frac{50\sqrt{3}}{3}$$
 

Задание 12836

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках $$C_1,B_1,A_1$$ соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника $${AB}_1C_1$$

а) Докажите, что $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник $$AC_1B_1$$, если известно, что $$BC\ =\ 15,\ AB\ =\ 13,\ AC\ =\ 14.$$

Ответ: 4
 

Задание 12855

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках $$C_1,B_1,A_1$$ соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника $${AB}_1C_1$$

а) Докажите, что $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник $$AB_1C_1$$, если известно, что $$BC\ =\ 7,\ AB\ =\ 15,\ AC\ =\ 20.$$

Ответ: 2
 

Задание 12877

Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках К и L так, что $$AK\ =\ 13,\ KL\ =\ 6,\ LB\ =\ 1.$$

 

Ответ: 16
 

Задание 12896

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD - диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность - в точке F, причём Н - середина АЕ.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE - параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что $$AB\ =\ 5$$ и $$AH\ =\ 4.$$

Ответ: 67,5
 

Задание 12917

Точки А и В лежат на окружности с центром О и радиусом 6, а точка С равноудалена от точек А, В и О. Другая окружность с центром Q и радиусом 8 описана около треугольника АСО.

а) Докажите, что точка пересечения прямых АВ и СQ лежит на окружности, описанной около треугольника ОСВ.
б) Найдите длину отрезка QB.
Ответ: 10
 

Задание 13375

Точки А, В, С, D и Е лежат на окружности в указанном порядке, причём АЕ=ED=CD, а прямые АС и BE перпендикулярны. Отрезки АС и BD пересекаются в точке Т.

а) Докажите, что прямая ЕС пересекает отрезок TD в его середине.
б) Найдите площадь треугольника АВТ, если BD=6, $$AE=\sqrt{6}$$
Ответ: $$\frac{8\sqrt{}5}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13394

Точки А, В, С, D и Е лежат на окружности в указанном порядке, причём ВС=CD=DE, а AC $$\perp$$ BE. Точка К — пересечение прямых BE и AD.

а) Докажите, что прямая СЕ делит отрезок KD пополам.
б) Найдите площадь треугольника АВК, если AD=4, $$DC=\sqrt{3}$$ .
Ответ: $$\frac{25\sqrt{39}}{64}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13546

В параллелограмме ABCD угол А острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки М и N соответственно, причём AN=AD и CM=CD.

а) Докажите, что BN=BM.
б) Найдите MN, если АС=5, $$\sin \angle BAD=\frac{3}{15}$$
Ответ: $$\frac{120}{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13564

В параллелограмме ABCD тангенс угла А равен 1,5. На продолжениях сторон AB и BC за точку B выбраны точки N и M соответственно, причём BC=CN и AB=AM.

а) Докажите, что DN=DM.
б) Найдите MN, если $$AC=\sqrt{13}$$
Ответ: б)4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13695

Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

а) Докажите, что $$\angle AOB=\angle COD=90^{\circ}$$.

б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ=CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания 12 окружности со сторонами трапеции составляет $$\frac{12}{49}$$ площади трапеции ABCD.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13778

Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

а) Докажите, что треугольник АОВ прямоугольный.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ=CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания 16 окружности со сторонами трапеции составляет $$\frac{16}{81}$$ площади трапеции ABCD.
Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13800

Точки A1, B1, C1 — середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1и B1AC1пересекаются в одной точке.
б) Известно, что АВ=АС=17 и ВС=16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных около треугольников А1СВ1, A1BC1и B1AC1.
Ответ: 2,4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13904

Точки A1, B1, С1 — середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1пересекаются в одной точке.
б) Известно, что АВ=АС=13 и ВС=10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1.
Ответ: $$\frac{5}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14033

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что ВМ=СМ.
б) Найдите угол АВС, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.
Ответ: 71
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14215

Дан правильный шестиугольник $$ABCDEF$$. Точка $$P$$ – середина стороны $$AF$$, точка $$K$$ – середина стороны $$AB$$.

а) Докажите, что площади четырехугольников $$DPFE$$ и $$DPAK$$ равны.
б) Найдите площадь общей части четырехугольников $$DPAK$$ и $$DEAC$$, если известно, что $$AB=6$$.
Ответ: $$\frac{72\sqrt{3}}{5}$$
 

Задание 14222

Дан квадрат $$ABCD$$. На сторонах $$AB$$ и $$BC$$ отмечены точки $$P$$ и $$K$$ соответственно, причем $$BP:AP=1:3$$, $$BK:CK=3:13$$.

а) Докажите, что углы $$PDK$$ и $$PCK$$ равны.
б) Пусть $$M$$ – точка пересечения $$CP$$ и $$DK$$. Найдите отношение длин отрезков $$CM$$ и $$PM$$.
Ответ: $$\frac{52}{25}$$
 

Задание 14229

Окружности $$\omega_{1}$$ и $$\omega_{1}$$ с центрами в точках $$O_{1}$$ и $$O_{2}$$ соответственно касаются друг друга в точке $$A$$, при этом $$O_{1}$$ лежит на $$\omega_{2}$$. $$AB$$ – диаметр $$\omega_{1}$$. Хорда $$BC$$ первой окружности касается $$\omega_{2}$$ в точке $$P$$. Прямая $$AP$$ вторично пересекает $$\omega_{1}$$ в точке $$D$$.

А) Докажите, что $$AP=DP$$.
Б) Найдите площадь четырехугольника $$ABCD$$, если известно, что $$AC=4$$.
Ответ: $$32\sqrt{2}$$
 

Задание 14236

Точки $$M$$ и $$P$$ – середины сторон $$BC$$ и $$AD$$ выпуклого четырехугольника $$ABCD$$. Диагональ $$AC$$ проходит через середину отрезка $$MP$$.

а) Докажите, что площади треугольников $$ABC$$ и $$ACD$$ равны.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $$ABM$$, если известно, что $$AB=12$$,$$BC=10$$, а площадь четырехугольника $$AMCP$$ равна 60.
Ответ: 2
 

Задание 14243

Окружность, вписанная в трапецию $$ABCD$$, касается боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$K$$ и $$M$$.

А) Докажите, что сумма квадратов расстояний от центра окружности до вершин трапеции равна сумме квадратов длин боковых сторон трапеции.
Б) Найдите площадь трапеции $$ABCD$$, если известно, что $$AK=9$$, $$BK=4$$, $$CM=1$$.
Ответ: 300
 

Задание 14250

Дан квадрат $$ABCD$$. На сторонах $$AB$$ и $$BC$$ внешним и внутренним образом соответственно построены равносторонние треугольники $$ABK$$ и $$BCP$$.

а) Докажите, что точка $$P$$ лежит на прямой $$DK$$.
б) Найдите площадь четырехугольника $$PKBC$$, если известно, что $$AB=2$$.
Ответ: $$\sqrt3+2$$.
 

Задание 14257

Диагонали прямоугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Окружности $$\omega_1$$ и $$\omega_2$$ описаны около треугольников $$AOB$$ и $$BOC$$ соответственно. Пусть $$O_1$$ – центр окружности $$\omega_1$$, а $$O_2$$ – центр окружности $$\omega_2$$.

а) Докажите, что прямая $$BO_1$$ касается окружности $$\omega_2$$, а прямая $$BO_2$$ касается окружности $$\omega_1$$.
б) Найдите длину отрезка $$O_1O_2$$, если известно, что $$AB=6$$, $$BC=8$$.
Ответ: $$\frac{125}{24}$$.
 

Задание 14264

Окружности с центрами в точках $$A, B$$ и $$C$$ и радиусами, равными $$a,b$$ и $$c$$ соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка $$K, M, P$$.

а) Докажите, что отношение площади треугольника $$KMP$$ к площади треугольника $$ABC$$ равно $$\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$$
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$KMP$$, если известно, что $$a=6, b=7, c=1$$.
Ответ: $$\sqrt 3$$.
 

Задание 14270

В параллелограмме $$ABCD$$ диагональ $$BD$$ равна стороне $$AD$$.

а) Докажите, что прямая $$CD$$ касается окружности ω, описанной около треугольника $$ABD$$.
б) Пусть прямая $$CB$$ вторично пересекает ω в точке $$K$$. Найдите $$KD:AC$$ при условии, что угол $$BDA$$ равен $$120^{\circ}$$.
Ответ: $$\sqrt3:\sqrt7$$.
 

Задание 14277

В треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$BK$$ и на сторонах $$BA$$ и $$BC$$ взяты соответственно точки $$M$$ и $$P$$Р так, что $$\angle AKM=\angle CKP=\frac{1}{2}\angle ABC$$

а) Докажите, что прямая $$AC$$ касается окружности, описанной около треугольника $$MBP$$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$MBP$$, если известно, что $$AB=10$$, $$BC=15$$, $$AC=20$$.
Ответ: $$\frac{24\sqrt{15}}{25}$$
 

Задание 14284

На стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ отметили точку $$D$$ так, что $$BC=\sqrt{AC\cdot CD}$$

а) Докажите, что углы $$BAD$$ и $$CBD$$ равны.
б) Найдите отношение отрезков биссектрисы $$CL$$ треугольника $$ABC$$, на которые ее делит прямая $$BD$$, если известно, что $$BC=6$$, $$AC=9$$.
Ответ: 2
 

Задание 14294

В треугольнике $$ABC$$ сторона $$AC$$ больше стороны $$BC$$. Биссектриса $$CL$$ пересекает описанную около треугольника $$ABC$$ окружность в точке $$K$$. На стороне $$AC$$ отмечена точка $$P$$ так, что $$\angle ALK=\angle CLP$$ .

А) Докажите, что точки $$A, P, L, K$$ лежат на одной окружности.
Б) Найдите площадь четырехугольника $$APLK$$, если $$BC=4$$, $$AB=5$$, $$AC=6$$.
Ответ: $$\frac{3\sqrt{7}}{2}$$
 

Задание 14299

Дана окружность. Продолжения диаметра $$AB$$ и хорды $$PK$$ пересекаются под углом $$30^{\circ}$$ в точке $$C$$. Известно, что $$CB:AB=1:4$$; $$AK$$ пересекает $$BP$$ в точке $$T$$.

А) Докажите, что $$AP:AT=3:4$$.
Б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках $$A, B, P$$ и $$K$$, если радиус окружности равен 4.
Ответ: $$3\sqrt{7}+6\sqrt{3}$$
 

Задание 14303

Дана трапеция $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$. Окружности, построенные на боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках $$P$$ и $$K$$.

а) Докажите, что прямые $$PK$$ и $$BC$$ перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка $$PK$$, если известно, что $$AD=20$$, $$BC=6$$, $$AB=16$$, $$DC=14$$.
Ответ: $$\frac{56\sqrt3}{13}$$.
 

Задание 14307

Диагонали $$AC$$ и $$CE$$ правильного шестиугольника $$ABCDEF$$ разделены точками $$M$$ и $$N$$ так, что $$AM:AC=CN:CE$$ и точки $$B$$, $$M$$ и $$N$$ лежат на одной прямой.

а) Докажите, что точки $$B$$, $$O$$, $$N$$ и $$D$$ лежат на одной окружности (точка $$O$$ – центр шестиугольника)
б) Найдите отношение $$AM:AC$$.
Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
 

Задание 14316

В параллелограмме $$ABCD$$ точка $$E$$ – середина стороны $$AD$$. Отрезок $$BE$$ пересекает диагональ $$AC$$ в точке $$P$$. $$AB=PD$$.

а) Докажите, что отрезок $$BE$$ перпендикулярен диагонали $$AC$$.
б) Найдите площадь параллелограмма, если $$AB=2$$ см, $$BC=3$$ см.
Ответ: $$\sqrt{35}$$.
Скрыть

a) Пусть $$H$$ – середина $$PC$$. Так как треугольник $$PCD$$ равнобедренный ($$PD=AB$$ по условию и $$DC=AB$$ по свойству параллелограмма), то $$DH\perp AC$$. Треугольники $$BCP,EAP$$ подобны по двум углам. И коэффициент их подобия $$\frac{BC}{AE}$$ равен 2.

То есть, если $$AP=x$$, то $$PC=2x$$. При этом $$PH=CH=x$$.

Замечаем, что треугольники $$APE,AHD$$ подобны по двум пропорциональным сторонам $$AP,AH$$ и $$AE,AD$$ и углу между ними $$A$$.

Но тогда, например, $$\angle APE=\angle AHD$$, откуда $$PE\parallel HD$$. Стало быть, раз $$DH\perp AC$$, то $$EP\perp AC$$. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $$PE=y$$, тогда в силу подобия треугольников $$APE,CPB$$ с коэффициентом 2 (о чем говорили в пункте а) $$BP=2y$$.

Применим теорему Пифагора к треугольникам

$$ABP,AEP$$: $$AB^2-BP^2=AE^2-PE^2$$; $$4-4y^2=\frac{9}{4}-y^2$$; $$y=\frac{\sqrt{21}}{6}$$.

Откуда $$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{16-\frac{21}{36}}=\frac{5}{3}$$.

Далее, $$S_{ABC}=\frac{AC\cdot BP}{2}=\frac{(3\cdot \frac{5}{3})\cdot (2\cdot \frac{\sqrt{21}}{6})}{2}=\frac{\sqrt{35}}{2}$$.

Откуда $$S_{ABCD}=2\cdot S_{ABC}=\sqrt{35}$$.

 

Задание 14320

Точка $$E$$ – середина боковой стороны $$CD$$ трапеции $$ABCD$$. На стороне $$AB$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$CK\parallel AE$$. Прямые $$CK,BE$$ пересекаются в точке $$O$$.

а) Докажите, что $$CO=OK$$.
б) Найдите отношение оснований трапеции $$BC$$ и $$AD$$, если площадь треугольника $$BCK$$ составляет 0,09 площади трапеции $$ABCD$$.
Ответ: $$3:7$$.
 

Задание 14325

А) Докажите, что сумма углов $$A, B, C, D, E$$ в вершинах произвольной 5‐конечной звезды равна 180о (рис.1).
Б) Найдите площадь 5‐конечной звезды, вершины которой совпадают с пятью вершинами правильного шестиугольника, если известно, что сторона последнего равна 6 (рис. 2).

Ответ: $$21\sqrt{3}$$
 

Задание 14332

В треугольнике $$ABC$$ точка $$M$$ – середина $$AC$$.

а) Докажите, что длина отрезка $$BM$$ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон $$AB$$ и $$BC$$.
б) Окружность проходит через точки $$B, C, M$$. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой $$AB$$, если известно, что $$AB=5,BC=3,BM=2$$.
Ответ: 0,2.
 

Задание 14337

Две окружности касаются внутренним образом в точке $$K$$. Пусть $$AB$$ – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке $$L$$.

а) Докажите, что $$KL$$ – биссектриса угла $$AKB$$.
б) Найдите длину отрезка $$KL$$, если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно 6 и 2, а угол $$AKB$$ равен $$90^{\circ}$$.
Ответ: $$2\sqrt{3}$$
 

Задание 14344

Высоты равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$AC$$ пересекаются в точке $$H$$, угол $$B$$ равен 30 градусов. Луч $$CH$$ второй раз пересекает окружность $$\omega$$ , описанную вокруг треугольника $$ABH$$, в точке $$K$$.

а) Докажите, что $$BA – биссектриса угла $$KBC$$.
б) Отрезок $$BC$$ пересекает окружность $$\omega$$ в точке $$E$$. Найдите $$BE$$, если $$AC=12$$.
Ответ: $$12\sqrt{2}$$
 

Задание 14363

Окружности $$С_1$$ и $$С_2$$ касаются внешним образом в точке $$А$$. Прямая $$l$$ касается окружности $$С_1$$ в точке $$В$$, а окружности $$С_2$$ – в точке D. Через точку $$А$$ проведены две прямые: одна проходит через точку $$В$$ и пересекает окружность $$С_2$$ в точке $$F$$, а другая касается окружностей $$С_1$$ и $$С_2$$ и пересекает прямую $$l$$ в точке $$Е$$, $$AF=3\sqrt{2}$$, $$BE=\sqrt{5}$$

а) Найдите радиусы окружностей $$С_1$$ и $$С_2$$
б) Окружность $$С_3$$ касается внешним образом окружностей $$С_1$$ и $$С_2$$, а также отрезка $$BD$$. Найдите радиус этой окружности.
Ответ: А)$$\frac{\sqrt{30}}{3};\frac{\sqrt{30}}{2}$$ Б)$$5\sqrt{30}-12\sqrt{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14382

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ вершины $$A,B$$ и точка пересечения высот треугольника $$E$$ лежат на окружности, которая пересекает отрезок $$BC$$ в точке $$D$$.

а) Докажите, что треугольник $$ADC$$ равнобедренный
б) Найдите радиус окружности, если $$CD=4, BD=5$$.
Ответ: $$\frac{27\sqrt{2}}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!