ЕГЭ Профиль
Задание 1145
а) Решите уравнение $$1+\log_{2} (9x^{2}+5)=log_{\sqrt{2}} \sqrt{8x^{4}+14}$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$ \left [ -1;\frac{8}{9} \right ]$$
Задание 2991
а) Решите уравнение $$18^{x}-9^{x+1}-2^{x+2}+36=0$$;
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2; 4]
$$18^{x}-9^{x+1}-2^{x+2}+36=0$$ $$18^{x}-9\cdot9^{x}-4\cdot2^{x}+36=0$$ $$9^{x}\cdot(2^{x}-9)-4\cdot(2^{x}-9)=0$$ $$(2^{x}-9)\cdot(9^{x}-4)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\log_{2}9\in [2;4]\\x=\log_{9}4\notin [2;4]\end{matrix}\right.$$
Задание 3661
Дано уравнение $$8^{x}+3=3\cdot4^{x}+2^{x}$$.
a) $$8^{x}+3=3\cdot4^{x}+2^{x}$$
$$2^{3x}-3\cdot2^{2x}-2^{x}+3=0$$
Пусть $$2^{x}=y>0$$
$$y^{3}-3y^{2}-y+3=0$$
$$y(y^{2}-1)-3(y^{2}-1)=0$$
$$(y^{2}-1)(y-3)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}y^{2}=1\\y=3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}y=1\\y=-1\\y=3\end{matrix}\right.$$
1) $$2^{x}=1$$
$$x=0$$
2) $$2^{x}=-1$$ - нет решений
3) $$2^{x}=3$$
$$x=\log_{2}3$$
б) Сравним: $$\log_{2}3$$ и $$\frac{3}{2}$$
$$\frac{3}{2}=\log_{2}2^{\frac{3}{2}}=\log_{2}\sqrt{8}$$
$$\log_{2}3=\log_{2}\sqrt{9}$$
$$\log_{2}\sqrt{9}>\log_{2}\sqrt{8}$$ $$\Rightarrow$$
$$\log_{2}3\notin[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}]$$
Задание 4960
А) Решите уравнение $$(\log_{3}\frac{3}{x})\cdot\log_{2}x-\log_{3}\frac{x^{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+\log_{2}\sqrt{x}$$
Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $$[0;\frac{1}{5}]$$
Задание 6182
а)$$5*25 ^{x-\frac{1}{2}}-19*10^{x}+6*4^{x+\frac{3}{2}}=0$$
$$5*25^{-\frac{1}{2}}*5^{2x}-19 *2^{x}*5^{x}+6*4\frac{3}{2}*2^{2x}=0|:2^{2x}$$
$$(\frac{5}{2})^{2x}-19(\frac{5}{2})^{x}+48=0$$
Введем замену:
$$(\frac{5}{2})^{x}=y>0$$
$$y^{2}-19y+48=0$$
$$D=361-192=169$$
$$\left\{\begin{matrix}y_{1}=\frac{19+13}{2}=16\\y_{2}=\frac{19+13}{2}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(\frac{5}{2})^{x} =16\\(\frac{5}{2})^{x}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\log_{2,5} 16\\x=\log_{2,5}3\end{matrix}\right.$$
б) Представим [3;4] в виде логарифмов с основанием 2,5: $$[3;4] \Leftrightarrow [\log_{2,5} 2,5^{3};\log_{2,5} 2,5^{4}] \Leftrightarrow [\log_{2,5} 15,625;\log_{2,5} 39,0625]$$. Как видим, попадает только $$\log_{2,5} 16$$, так как у $$\log_{2,5}3$$ логарифмируемое выражение меньше нижний границы: $$3<15,625$$
Задание 8342
а) Решите уравнение $$4^{x^{2}-1}-24\cdot 2^{x^{2}-3}+8=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5}{3};2]$$
А) $$4^{x^{2}-1}-24\cdot2^{x^{2}-3}+8=0$$
$$\frac{4^{x^{2}}}{4}-\frac{24\cdot2^{x^{2}}}{2^{3}}+8=0$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{4^{x^{2}}}{4}-3\cdot2^{x^{2}}+8=0$$
$$4^{x^{2}}-12\cdot2^{x^{2}}+32=0$$
Замена: $$2^{x^{2}}=y$$
$$y^{2}-12y+32=0$$
$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=12&\\y_{1}\cdot y_{2}=32&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=8&\\y_{2}=4&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x^{2}}=2^{3}&\\2^{x^{2}}=2^{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm\sqrt{3}&\\x=\pm\sqrt{2}&\end{matrix}\right.$$
Б) На отрезке $$[-\frac{5}{3};2]$$: $$-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$$