ЕГЭ Профиль
Задание 10864
Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} x^2-8x+y^2+4y+15=4\left|2x-y-10\right| \\ x+2y=a \end{array} \right.$$ имеет более двух решений.
$$\left\{ \begin{array}{c} x^2-8x+y^2+4y+15=4\left|2x-y-10\right|\ (1) \\ x+2y=a\ (2) \end{array} \right.$$
Уравнение (1) равносильно совокупности двух систем $$\left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} 2x-y-10\ge 0 \\ x^2-8x+y^2+4y+15=8x-4y-40 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} 2x-y-10<0 \\ x^2-8x+y^2+4y+15=-8x+4y+40 \end{array} \right. \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} y\le 2x-10 \\ x^2-16x+y^2+8y=-55 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right. \end{array} \right.\right.$$ $$\to \left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} y\le 2x-10 \\ x^2-16x+64+y^2+8y+16=-55+64+16 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right. \end{array} \right.\to$$ $$\to \left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} y\le 2x-10 \\ {\left(x-8\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=25 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right. \end{array} \right.$$
$${\left(x-8\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=25$$ - уравнение окружности с центром (8;-4), $$R_1=5$$, но строить эту окружность будем в области $$y\le 2x-10$$.
$$x^2+y^2=25$$ уравнение окружности с центром (0;0), $$R_2=5$$, но строить эту окружность будем в области $$y>2x-10$$.
(2) $$x+2y=a\to y=-\frac{1}{2}x+\frac{a}{2}$$ - обозначим $$\frac{a}{2}=b\to y=-\frac{1}{2}x+b$$ - это множество прямых, параллельных прямой $$y=-\frac{1}{2}x$$.
Заметим еще, что прямые $$y=2x-10$$ и $$y=-\frac{1}{2}x$$ перпендикулярны, т.к. $$2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1.$$
Найдем те значения b, при которых прямая $$y=-\frac{1}{2}x+b$$ проходит через точки: $$1) A\left(5;0\right)\to 0=-\frac{1}{2}\cdot 5+b,\ b=2,5$$ $$2) B\left(3;-4\right)\to -4=-\frac{1}{2}\cdot 3+b,\ b=-2,5$$ $$3) C(x_0;y_0)\to \left\{ \begin{array}{c} y_0=2x_0 \\ y_0=-0,5x_0+b,\ b=2,5x_0.\ \ CH\bot Ox.\ \ CH=y_0=2x_0,\ OH=x_0 \end{array} \right.$$
$$OC^2=OH^2+CH^2;25=x^2_0+4x^2_0,\ 5x^2_0=25,\ x_0=\pm \sqrt{5}$$
Для точки $$C(\sqrt{5};2\sqrt{5})\to b=2,5\sqrt{5}$$.
Для точки $$D\left(-\sqrt{5};-2\sqrt{5}\right)\to b=-2,5\sqrt{5}$$.
По условию должно быть более двух решений $$\left[ \begin{array}{c} -2\sqrt{5}<\frac{a}{2}\le -2,5\\2,5\le \frac{a}{2}<2\sqrt{5} \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} -5\sqrt{5}<a\le -5 \\ 5\le a<5\sqrt{5}\end{array}\right.\right.$$.
Задание 10883
Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} 2x-2y-2=\left|x^2+y^2-1\right| \\ y=a(x-1) \end{array} \right.$$ имеет более двух решений.
$$\left\{ \begin{array}{c} 2x-2y-2=\left|x^2+y^2-1\right| \\ y=a(x-1) \end{array} \right.;$$ $$\left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ 2x-2y-2=x^2+y^2-1 \\ y=a(x-1) \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2-1<0 \\ 2x-2y-2={-x}^2-y^2+1 \\ y=a(x-1) \end{array} \right. \end{array} \right.$$
Рассмотрим каждую систему в совокупности отдельно:
$$1) \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ x^2-2x+1+y^2+2y+1=1 \\ y=a(x-1) \end{array} \right.. $$
Выполним преобразования: $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1\ {\rm (1)} \\ y=a(x-1) \end{array} \right.$$
$$2) \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2-1<0 \\ x^2+2x+1+y^2-2y+1=5 \\ y=a(x-1) \end{array} \right..$$
Выполним преобразования: : $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5\ {\rm (2)} \\ y=a(x-1) \end{array} \right.$$
Геометрическое место точек, представляющих собой решения систем $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1 \end{array} \right.$$ и $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2-1<0 \\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5 \end{array} \right.$$ - это две дуги, которые имеют две общие точки $$A(1;0)$$ и $$B(0;1)$$ - место стыка графиков. Системы (1) и (2) будут иметь более двух решений, если графики параметрической прямой и дуг будут иметь более двух точек пересечения.
Параметрическая прямая, проходящая через точки $$A(1;0)$$ и $$B(0;1)$$, имеет с графиком дуг две общие точки. Мы это положение рассматриваем как пограничное. При этом параметр равен $$a=1$$. Данное значение параметра включать в ответ не стоит.
Чтобы найти второе пограничное положение графика параметрической прямой и значение параметра при этом рассмотрим касание графика прямой $$y=a(x-1)$$ и графика окружности $${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5$$. Нам известно из условия задачи расстояние от точки $$O_2(-1;1)$$ до параметрической прямой $$y=a(x-1)$$. $$d=\sqrt{5}$$. Воспользуемся этим фактом. (Расстояние от точки до прямой по формуле $$d=\frac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$)
Преобразуем уравнение прямой к виду $$Ax+By+C=0$$. $$y=ax-a\to ax-y-a=0$$. Расстояние от точки $$O_2(-1;1)$$ до касательной $$ax-y-a=0$$ равно $$d=\sqrt{5}$$. Следовательно $$\sqrt{5}=\frac{\left|-a-1-a\right|}{\sqrt{a^2+1}}$$.
Откуда $${\left(a-2\right)}^2=0.$$ Или $$a=2$$.
Задание 10940
Найдите все значения $$а$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2} \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.$$ имеет ровно два различных решения.
Задание 11129
Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+5x+y^2-y-\left|x-5y+5\right|=52 \\ y-2=a(x-5) \end{array} \right.$$ имеет ровно два решения.
Рассмотрим два случая:
$$1: \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5\ge 0 \\ x^2+5x+y^2-y-\left(x-5y+5\right)=52 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5\ge 0 \\ x^2+4x+y^2+4y=57 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5\ge 0 \\ {\left(x+2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=65 \end{array} \right.$$
Получили дугу окружности с центром $$A(-2;2)$$ радиуса $$\sqrt{65}.$$
$$2: \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5<0 \\ x^2+5x+y^2-y+\left(x-5y+5\right)=52 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5<0 \\ x^2+6x+y^2-6y=47 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5<0 \\ {\left(x+3\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=65 \end{array} \right.\ $$
Получили дугу окружности с центром $$A(-3;3)$$ радиуса $$\sqrt{65}.$$
Решив эти системы, получим точки пересечения окружностей $$C(5;2)$$ и $$D\left(-10;-1\right).$$
Второе уравнение исходной системы представляет собой пучок прямых, проходящих через точку $$C.$$
Решениями системы являются фиксированная точка $$C(5;2)$$ и подвижная точка E - пересечения совокупности дуг с прямой пучка. Необходимо два решения. Значит, прямая пучка не должна пересекать дуги в прямых точках, кроме $$C$$ и $$E$$.
Поскольку коэффициент прямой AC равен $$-\frac{1}{8},$$ то касательная, перпендикулярная АС в точке С имеет наклон 8. Поскольку коэффициент прямой ВС равен $$\frac{4}{7},$$ то касательная, перпендикулярная радиусу BC в точке С имеет наклон $$-\frac{7}{4}.$$ При изменении наклона прямой пучка в промежутке $$\left[-\frac{7}{4};8\right]$$ не будет появляться новых точек пересечения (кроме С и Е).
Ответ: $$a\in [-\frac{7}{4};8]$$