Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Стереометрия

Пирамида

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 974

Объем пирамиды SABC равен 54. На ребрах SA, АВ и АС взяты точки М, N и Р соответственно так, что SM:MA= BN:NA=CP:PA=1:2. Найдите объем пирамиды МАNP.

Ответ: 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Треугольники AHS и AKM подобны (SH и MK высоты в пирамидах) и коэффициент подобия равен 2/3 (так как AM:MS = 2:1, значит AS составляет 3 (2+1)  части)

Аналогично треугольники APN и ACB подобны и коэффициент подобия равен 2/3. Пусть h - высота ABCS (SH), a h1 - высота ANPM (MK), S - площадь ABC, а S1 - площадь ANP.

Тогда, $$\frac{1}{3}Sh=54$$.

$$h_1=\frac{2}{3}h$$ 

$$S_1=\frac{4}{9}S$$ (так как площади относятся, как квадрат коэффициента подобия)

$$\frac{1}{3}S_1h_1=\frac{1}{3}*\frac{4}{9}S\frac{2}{3}h=\frac{8}{27}*\frac{1}{3}Sh=\frac{8}{27}*54=16$$

 

Задание 3198

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 60. Точка E – середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$$ $$h_{2}=\frac{1}{2}h_{1}$$ $$V_{ABCDS}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot h_{1}$$ $$V_{ABCS}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot h_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}=$$ $$=\frac{1}{4}V_{ABCD}=\frac{1}{4}\cdot60=15$$

 

Задание 3284

В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равняется 4 и образует с плоскостью основания угол 30 . Найдите объём пирамиды. 

Ответ: 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Введем обозначения как показано на рисунке

∠SDH=30 (по условию), значит ∠HSD = 90 - 30 = 60. SH = 2 (катет, лежащий на против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы)
$$HD = SD * \sin HSD = 4 * \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$
$$BD = 2HD = 4\sqrt{3}$$
Из треугольника BAD : пусть BA = AD = x, тогда $$x^{2}+x^{2}=(4\sqrt{3})^{2}$$
Отсюда $$x^{2}=24$$ - площадь основания.
Тогда $$V = \frac{1}{3}S*h=\frac{1}{3}*24*2=16$$
 

Задание 3419

Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, если её боковая поверхность равна 72, а высота равна 2.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

 

1) $$S_{b}=72$$ $$DH=2$$

$$S_{DCB}=\frac{72}{3}=24$$

2) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$HM=\frac{1}{3}AM$$

$$AM=\frac{\sqrt{3}AB}{2}$$

Пусть $$AB=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=\frac{\sqrt{3}x}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$HM=\frac{\sqrt{3}x}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$DM=\sqrt{DH^{2}+HM^{2}}=\sqrt{2^{2}+\frac{3X^{2}}{36}}=\sqrt{4+\frac{x^{2}}{12}}$$

$$\Rightarrow$$ $$S_{BDC}=\frac{1}{2}\cdot DM\cdot BC$$ $$\Rightarrow$$ $$24=\frac{1}{2}x\cdot\sqrt{4+\frac{x^{2}}{12}}$$

$$48=x\cdot\sqrt{4+\frac{x^{2}}{12}}$$

$$2304=x^{2}\cdot(4+\frac{x^{2}}{12})$$  $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{x^{4}}{12}+4x^{2}-2304=0$$

$$D=16+768=784$$

$$x^{2}=\frac{-4+28}{\frac{1}{6}}=24\cdot6$$ $$\Leftrightarrow x=12$$

Задание 3760

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 2; объем пи­ра­ми­ды равен 6. Най­ди­те длину от­рез­ка OS.

Ответ: 9

Задание 3762

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де $$SABCD$$ точка $$O$$ – центр ос­но­ва­ния, $$S$$ – вер­ши­на, $$SO=15,BD=16$$. Най­ди­те бо­ко­вое ребро $$SA$$.

Ответ: 17

Задание 3767

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка M – се­ре­ди­на ребра ABS – вер­ши­на. Из­вест­но, что BC = 3, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 45. Най­ди­те длину от­рез­ка SM.

Ответ: 10

Задание 3768

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка L — се­ре­ди­на ребра ACS — вер­ши­на. Из­вест­но, что BC = 6, а SL = 5. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Ответ: 45

Задание 3769

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка K – се­ре­ди­на ребра BCS – вер­ши­на. Из­вест­но, что SK = 4, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 54. Най­ди­те длину ребра AC.

Ответ: 9

Задание 3771

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де $$SABC$$ Q– се­ре­ди­на ребра $$AB$$, $$S$$ – вер­ши­на. Из­вест­но, что $$BC=7$$, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 42. Най­ди­те длину от­рез­ка $$SQ$$.

Ответ: 4

Задание 3772

Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равны 10, бо­ко­вые ребра равны 13. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды.

Ответ: 340

Задание 3773

Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равны 10, бо­ко­вые ребра равны 13. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды.

Ответ: 360

Задание 3774

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ равен 9. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды $$ABCA_{1}$$.

Ответ: 1,5

Задание 3775

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в два раза?

Ответ: 8

Задание 3776

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 3 и 4. Ее объем равен 16. Най­ди­те вы­со­ту этой пи­ра­ми­ды.

Ответ: 4

Задание 3777

Най­ди­те объем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а вы­со­та равна $$\sqrt{3}$$

Ответ: 0,25

Задание 3778

Най­ди­те вы­со­ту пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 2, а объем равен $$\sqrt{3}$$

Ответ: 3

Задание 3779

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем пи­ра­ми­ды, если ее вы­со­ту уве­ли­чить в че­ты­ре раза?

Ответ: 4

Задание 3780

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 6, бо­ко­вое ребро равно 10. Най­ди­те ее объем.

Ответ: 256

Задание 3781

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды слу­жит пря­мо­уголь­ник, одна бо­ко­вая грань пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а три дру­гие бо­ко­вые грани на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60 °. Вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 6. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ответ: 48

Задание 3782

Бо­ко­вые ребра тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, каж­дое из них равно 3. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ответ: 4,5

Задание 3783

Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды $$SABC$$, яв­ля­ю­щей­ся ча­стью пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды $$SABCDEF$$, равен 1. Най­ди­те объем ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

Ответ: 6

Задание 3784

Объем пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD равен 12. Точка E — се­ре­ди­на ребра SB. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды EABC.

Ответ: 3

Задание 3785

От тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой равен 12, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и сред­нюю линию ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

Ответ: 3

Задание 3786

Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 15. Плос­кость про­хо­дит через сто­ро­ну ос­но­ва­ния этой пи­ра­ми­ды и пе­ре­се­ка­ет про­ти­во­по­лож­ное бо­ко­вое ребро в точке, де­ля­щей его в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды. Най­ди­те боль­ший из объ­е­мов пи­ра­мид, на ко­то­рые плос­кость раз­би­ва­ет ис­ход­ную пи­ра­ми­ду.

Ответ: 10

Задание 3787

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в два раза?

Ответ: 4

Задание 3788

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 6 и вы­со­та равна 4.

Ответ: 96

Задание 3789

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти ок­та­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в 3 раза?

Ответ: 9

Задание 3790

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6 и вы­со­та равна 4.

Ответ: 60

Задание 3791

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если все ее ребра уве­ли­чить в 2 раза?

Ответ: 4

Задание 3792

Ребра тет­ра­эд­ра равны 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через се­ре­ди­ны че­ты­рех его ребер.

 

Ответ: 0,25

Задание 3793

Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, вы­со­та ко­то­рой равна 6, а ос­но­ва­ние – пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 3 и 4.

Ответ: 24

Задание 3794

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 12, объем равен 200. Най­ди­те бо­ко­вое ребро этой пи­ра­ми­ды.

Ответ: 13

Задание 3795

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 2, бо­ко­вое ребро равно 4. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ответ: 12

Задание 3796

Объем пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды 6. Сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1. Най­ди­те бо­ко­вое ребро.

Ответ: 7

Задание 3797

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 4, а угол между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем равен 45 °. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ответ: 48

Задание 3798

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ равен 12. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды $$B_{1}ABC$$.

Ответ: 2

Задание 3799

Объем куба равен 12. Най­ди­те объем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся грань куба, а вер­ши­ной — центр куба.

Ответ: 2

Задание 3800

Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$, если объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды $$ABDA_{1}$$ равен 3.

Ответ: 18

Задание 3801

Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. Ее ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся мно­го­уголь­ник, со­сед­ние сто­ро­ны ко­то­ро­го пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а одно из бо­ко­вых ребер пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния и равно 3.

Ответ: 27

Задание 3810

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де $$SABC$$ ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке $$P$$. Объем пи­ра­ми­ды равен $$1,PS=1$$. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка $$ABC$$.

Ответ: 3

Задание 3812

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де все рёбра равны 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны бо­ко­вых рёбер.

Ответ: 0,25

Задание 3813

Диа­го­наль $$AC$$ ос­но­ва­ния пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды $$SABCD$$ равна $$6$$. Вы­со­та пи­ра­ми­ды $$SO=4$$. Най­ди­те длину бо­ко­во­го ребра $$SB$$.

Ответ: 5

Задание 3815

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD вы­со­та SO равна 13, диа­го­наль ос­но­ва­ния BD равна 8. Точки К и М- се­ре­ди­ны рёбер CD и ВС со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стью SMK и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABC.

Ответ: 6,5

Задание 3817

Даны две пра­виль­ные четырёхуголь­ные пи­ра­ми­ды. Объём пер­вой пи­ра­ми­ды равен 16. У вто­рой пи­ра­ми­ды вы­со­та в 2 раза боль­ше, а сто­ро­на ос­но­ва­ния в 1,5 раза боль­ше, чем у пер­вой. Най­ди­те объём вто­рой пи­ра­ми­ды.

Ответ: 72

Задание 3818

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де бо­ко­вое ребро равно 22, а тан­генс угла между бо­ко­вой гра­нью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен $$\sqrt{11}$$. Найти сто­ро­ну ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Ответ: 11

Задание 3819

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де бо­ко­вое ребро равно 5, а тан­генс угла между бо­ко­вой гра­нью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен $$0,25\sqrt{11}$$. Найти сто­ро­ну ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Ответ: 8
 

Задание 4390

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF площадь основания равна 18, боковые ребра равны 9. Проведите сечение через точки боковых ребер, отстоящих от вершины S на расстояние 3. Найдите его площадь.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$SC_{1}=3$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$\bigtriangleup SC_{1}O_{1}\sim\bigtriangleup SCO$$: $$\frac{SC_{1}}{SC}=\frac{O_{1}C_{1}}{OC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{O_{1}C_{1}}{OC}=\frac{1}{3}=k$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}}}{S_{ABCDEF}}=k^{2}=\frac{1}{9}$$ $$\Rightarrow$$ $$S=2$$

 

Задание 4567

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 60. Точка E – середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Т.к. Е - середина, то высота EABC в два раза меньше высоты SABCD. $$S_{ABC}$$ в два раза меньше: $$S_{ABCD}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{EABC}=\frac{1}{4}V_{SABCD}=\frac{1}{4}\cdot60=15$$

 

Задание 4813

Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Ответ: 27
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Для решения этой задачи проще всего достроить недостающую часть до правильной четырехугольной пирамиды, найти объем этой пирамиды, и вычесть объем достроенной части: $$V=\frac{1}{3}*6*6*3 - \frac{1}{3}*3*3*3=27$$

 

Задание 5003

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро. 

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$V=\frac{1}{3}S_{osn}\cdot h$$

Пусть а - сторона основания, тогда: $$S_{osn}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}\cdot6=\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}$$; $$h=\frac{3V}{S_{osn}}=\frac{3\cdot6}{\frac{3\sqrt{3}\cdot1}{2}}=$$ $$\frac{3\cdot4}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$; $$SE=\sqrt{CH^{2}+HE^{2}}=\sqrt{48+1}=\sqrt{49}=7$$

 

Задание 5188

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Высота нижней тогда составяет $$\frac{2}{3}$$ от высоты исходной. Т.к. основания одинаковы, то и объем $$\frac{2}{3}$$ от исходной: $$V=\frac{2}{3}\cdot15=10$$

 

Задание 5235

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 4,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Объем пирамиды находится как треть произведения площади основания, на проведенную к нему высоту. Примем за основание грань $$ABS$$, тогда высота к ней будет $$SC$$. В таком случае объем: $$V=\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*3*3*3=4,5$$

 

Задание 5283

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Объем пирамиды находится как треть произведения площади основания пирамиды на высоту. У начальной и отсеченной пирамиды высота будет одинаковая, различаться будут площади основания. Треугольник MNC подобен треугольнику ABC (MN - средняя линия), и коэффициент подобия у данных треугольников $$\frac{1}{2}$$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $$\frac{S_{MNC}}{S_{ABC}}=(\frac{1}{2})^{2}$$ $$S_{MNC}=\frac{1}{4}S_{ABC}$$ Тогда и $$V_{MNCS}=\frac{1}{4}S_{ABCS}=3$$

 

Задание 5331

Высота правильной треугольной пирамиды втрое меньше стороны основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$DH=a$$, тогда $$AB=3a$$. Из треугольника равностороннего $$ABC$$: $$AM=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{3\sqrt{3}a}{2}$$. Точка H - точка пересечения медиан треугольника ABC, тогда $$=AH=\frac{2}{3}AM=\sqrt{3}a$$. Из треугольника AHD: $$tg \angle DAH = \frac{DH}{AH}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$, тогда сам угол составляет 30 градусов

 

Задание 5378

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 42, высота равна $$7\sqrt{6}$$ . Найдите плоский угол при вершине пирамиды. Ответ дайте в градусах

Ответ: 90
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Из треугольника ABC : $$HC=\frac{2}{3}CN$$ (по свойству медиан) ; $$CN=\frac{\sqrt{3}}{2}BC=21\sqrt{3}$$ (из прямоугольного CNB), тогда $$HC=14\sqrt{3}$$

2) Из треугольника DHC : $$ DC = \sqrt{DH^{2}+HC^{2}}=\sqrt{882}$$

3) Из треугольника DBC : $$\cos BDC = \frac{BD^{2}+DC^{2}-BC^{2}}{2BD*DC}=$$$$\frac{\sqrt{882}^{2}+\sqrt{882}^{2}-42^{2}}{2\sqrt{882}*\sqrt{882}}=0$$, следовательно, $$\angle BDC = 90$$

 

Задание 6177

Сечение площадью 2,25 проходит через середины ребер правильного тетраэдра. Найдите площадь S полной поверхности тетраэдра. В ответе укажите $$2\sqrt{3}S$$ .

Ответ: 54
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть a-сторона тетраэдра .Тогда $$\frac{a}{2}$$-сторона сечения (т.к. проходит через середины сторон, само сечение квадрат):$$(\frac{a}{2})^{2}=2,25\Leftrightarrow$$ $$\frac{a}{2}=1,5\Leftrightarrow a=3$$ Площадь одной грани: $$S=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$ Площадь поверхности: $$\frac{9\sqrt{3}}{4}*4=9\sqrt{3}$$ Тогда в ответ запишем: $$9\sqrt{3}*2\sqrt{3}=54$$

 

Задание 6516

В правильной шестиугольной пирамиде PАВСDEF сторона основания равна 2, а боковое ребро равно$$\sqrt{6}$$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью РАС.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Из $$\Delta ABC$$ : $$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2 BC*AB\cos B}=$$$$\sqrt{2^{2}+2^{2}-2*2*2*(-\frac{1}{2})}=\sqrt{12}$$ Из $$\Delta APC$$ : $$AP^{2}+PC^{2}=AC^{2}\Rightarrow$$$$\Delta APC$$ - прямоугольный и $$S_{APC}=\frac{1}{2}\sqrt{6}\sqrt{6}=3$$

 

Задание 6799

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Ответ: 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   1) $$V=\frac{1}{3}Sh\Rightarrow$$ $$S=\frac{3V}{h}=\frac{3*200}{12}=50$$

   2) $$S=AB^{2}=50\Rightarrow$$ $$AB =\sqrt{50}$$

   3) $$DB=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{50+50}=10\Rightarrow$$ $$OB=5$$

   4) $$SB=\sqrt{SO^{2}+OB^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$

 

Задание 6918

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а двугранный угол при стороне основания равен 30о. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ: 4,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) из $$\Delta ABC$$: $$BM=BC * \sin C=3*\frac{\sqrt{3}}{2}=$$$$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$MH=\frac{1}{3}$$; $$BM=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

2) из $$\Delta DMH$$: $$DM=\frac{MH}{\cos DMH}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}=1$$

3) $$S_{ADC}=\frac{1}{2} DM*AC=$$$$\frac{1}{2} *3*1=1,5$$$$\Rightarrow$$ $$S=3*S_{ADC}=4,5$$

 

Задание 7013

В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна $$4\sqrt{3}$$, а высота равна 8. Через высоту пирамиды проведена плоскость. Найдите наименьшую площадь сечения пирамиды такой плоскостью.

Ответ: 48
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   1) $$S_{min}=S_{SHM}$$ (т.к. наименьшее основание для сечения только в том случае , когда проходит через середины противоположных сторон); $$S_{SHM}=\frac{1}{2}SO*HM$$

   2) Из $$\Delta HOB$$: $$OH=OB \sin B=4\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=6$$$$\Rightarrow HM=12$$

   3) $$S_{SHM}=\frac{1}{2}*8*12=48$$

 

Задание 7317

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 9. Найдите объём пирамиды.

Ответ: 162
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$BC\perp DC\Rightarrow$$ по теореме о трех перпендикулярах $$SC\perp DC\Rightarrow$$ $$\angle SCB=60$$; аналогично : $$\angle SBC=60\Rightarrow$$ $$\Delta SCB$$ - равносторонний

2) Пусть $$SH\perp BC\Rightarrow$$ $$SH=9\Rightarrow$$ из $$\Delta SCH$$: $$SC=\frac{SH}{\sin SCH}=\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=$$$$\frac{18}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$SC=BC=\frac{18}{\sqrt{3}}$$

3) из $$\Delta SHM$$: $$MH=\frac{SH}{tg SMH}=$$$$\frac{9}{\sqrt{3}}=AB$$

4) $$V_{ABCD}=\frac{1}{3} S_{ABCD}SH=$$$$\frac{1}{3}*\frac{18}{\sqrt{3}}*\frac{9}{\sqrt{3}}*9=162$$

 

Задание 7357

Расстояние от вершины основания правильной треугольной пирамиды до плоскости боковой грани, не содержащей эту вершину, равно 3,5. Высота основания пирамиды равна 5. Найдите синус угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды.

Ответ: 0,7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7937

В правильной треугольной пирамиде SABC ребра ВА и ВС разделены точками К и L так, что ВК=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания АВС и плоскостью сечения SKL. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 90
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8262

В треугольной пирамиде объемом 1000 см3 плоскостями, параллельными основаниям и делящими соответствующие высоты пирамиды в отношении 1:4, считая от вершины, срезаны все четыре вершины. Найти объем оставшейся части пирамиды.

Ответ: 968
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Так как отсекается плоскостью, параллельной основанию, то получаем пирамиды треугольные, подобные изначальной пирамиде. Объемы подобных фигур относятся, как квадрат коэффициента подобия. Так как делится в отношении 1 к 4 (то есть на 5 частей всего), то коэффициент подобия составит 1 к 5, а объему будут относиться, как $$(\frac{1}{5})^{3}=\frac{1}{125}$$. Пусть P - объем исходной пирамиды, тогда $$\frac{1}{125}P$$ - объем отсеченной, тогда объем 4х отсеченных $$\frac{4}{125}P$$, а объем оставшейся части: $$P-\frac{4}{125}P=$$$$\frac{121}{125}P=$$$$\frac{121}{125}*1000=968$$
 

Задание 8675

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 768
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8866

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 300. Высота пирамиды равна 8. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 1024
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8886

От треугольной пирамиды, объём которой равен 42, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

Ответ: 10,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8906

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 12, а высота равна $$6\sqrt{3}$$.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9154

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О-центр основания, S-вершина, SO=9, SC=15. Найдите длину отрезка BD.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9942

В правильной треугольной пирамиде SABC ребра ВА и ВС разделены точками K и L так, что ВК=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания АВС и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.

Ответ: 90
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10109

Площадь сечения правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через боковое ребро и середину противолежащей стороны основания, равна 15. Найдите объем пирамиды, если сторона ее основания равна 4.

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10147

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 9, а высота боковой грани пирамиды, проведенная к ребру основания, равна $$\sqrt{73}$$. Найдите боковое ребро пирамиды.

Ответ: 10
 

Задание 10281

Четырехугольная пирамида весом 27 кг горизонтальными плоскостями разрезана на 3 части одинаковой высоты. Найдите вес в килограммах нижней части пирамиды.

Ответ: 19
 

Задание 10481

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания $$AB=8\sqrt{3}$$ , а боковое ребро $$SA=\sqrt{73}$$. Найдите расстояние от точки В до плоскости SAC.

Ответ: 7,2
 

Задание 10590

Объем параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды $$ABDA_1$$.

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$S_{ADB}=\frac{1}{2}S_{ABCD};$$ высота у них одинакова $$h$$. $$V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=S_{ABCD}\cdot h$$; $$V_{ABDA_1}=\frac{1}{3}S_{ADB}\cdot h=\frac{1}{6}S_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{6}\cdot 9=1,5$$.
 

Задание 10630

Апофема правильной треугольной пирамиды равна $$2\sqrt{7}$$, а боковое ребро 7. Найдите угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$AH=\sqrt{7^2-{\left(2\sqrt{7}\right)}^2}=\sqrt{21}\to AC=2\sqrt{21}$$ $$BH=AC{\sin 60{}^\circ \ }=2\sqrt{21}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{63}$$ $${\cos DHB=\frac{DH^2+HB^2-DB^2}{2DH\cdot HB}\ }=\frac{28+63-49}{2\cdot 3\sqrt{7}\cdot 2\sqrt{7}}=\frac{42}{2\cdot 42}=\frac{1}{2}\to \angle DHB=60{}^\circ $$
 

Задание 10686

Сторона основания правильной двенадцатиугольной пирамиды равна $$6{tg 15{}^\circ \ }$$, а высота равна 4. Найдите расстояние от центра основания пирамиды до плоскости, содержащей боковую грань пирамиды.
Ответ: 2,4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\angle A=\frac{\left(12-2\right)\cdot 180}{12}=150\to \angle OCH=75{}^\circ ;$$$$\ \angle COH=15{}^\circ $$. Пусть $$OH\bot CD$$, S - вершина пирамиды.

По теореме о трёх перпендикулярах $$SH\bot CD$$ (SO - высота пирамиды): $$ (SOH)\bot CD\to OL\bot CD$$, где $$OL\bot SH\to OL\bot (SCD)$$ и OL - расстояние.

$$CH=\frac{CD}{2}=3{tg 15{}^\circ \ }\to$$$$ OH=\frac{CH}{{tg COH\ }}=3\to$$$$ SH=\sqrt{SO^2+OH^2}=5\to$$ $$ OL=\frac{SO\cdot OH}{SH}=\frac{4\cdot 3}{5}=2,4.$$

 

Задание 10854

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 7,5, а сторона основания равна 10. Найдите высоту пирамиды.
Ответ: 2,5
Скрыть

В правильной четырехугольной пирамиде в основании лежит квадрат. Его сторона равна 10. Найдем диагональ квадрата, на пересечении которых лежит вершина пирамиды: $$d^2=100+100=200\to d=10\sqrt{2}$$.

Найдем высоту пирамиды из теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна боковому ребру, а один из катетов половине диагонали квадрата в основании. Второй катет, т.е. высота пирамиды, равна $$h^2={\left(7,5\right)}^2-{\left(5\sqrt{2}\right)}^2=56,25-50=6,25\to h=2,5$$.

 

Задание 10873

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.

Ответ: 3,5
Скрыть У правильной треугольной пирамиды в основании лежит равносторонний треугольник, а высота совпадает с точкой пересечения медиан треугольника. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1. Сначала найдем длину медианы AH, она же будет являться высотой треугольника ABC, лежащего в основании (см. рисунок). Стороны AB и BC равны по $$10,5=10\frac{1}{2}=\frac{21}{2}$$, а сторона $$BH=BC:2=\frac{21}{4}$$, следовательно, из теоремы Пифагора имеем: $$AH^2=AB^2-BH^2={\left(\frac{21}{2}\right)}^2-{\left(\frac{21}{4}\right)}^2=\frac{441\cdot 3}{16}\to AH=\frac{21\sqrt{3}}{4}$$. Тогда AO будет составлять 2/3 от AH и равна $$AO=\frac{2}{3}\cdot \frac{21\sqrt{3}}{4}=\frac{21}{2\sqrt{3}}$$. Наконец, высоту пирамиды SO вычислим также по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOS, в котором известен катет AO и гипотенуза $$AS=7$$, получим: $$SO^2=AS^2-AO^2=49-\frac{441}{4\cdot 3}=\frac{49}{4}\to SO=3,5$$.
 

Задание 11461

Расстояние от вершины основания правильной треугольной пирамиды до плоскости боковой грани, не содержащей эту вершину, равно 7. Высота основания пирамиды равна 10. Найдите косинус угла между высотой пирамиды и апофемой.

Ответ: 0,7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11705

Высота правильной треугольной пирамиды в три раза меньше высоты основания пирамиды. Найдите угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11724

Площадь полной поверхности треугольной пирамиды ABCD равна 333 см2. Найдите площадь полной поверхности треугольной пирамиды, каждое ребро которой в 3 раза меньше, чем у пирамиды ABCD. Ответ дайте в см2.

Ответ: 37
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11743

Найдите объём треугольной пирамиды DABC, если AB=30, BC=CA=17 и все двугранные углы при основании равны 45о.

Ответ: 150
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11847

Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6, 10 и 14. Каждое из боковых рёбер пирамиды наклонено к основанию под углом 45о. Вычислите объём пирамиды.

Ответ: 70
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12507

От треугольной пирамиды, объём которой равен 42, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

Ответ: 10,5
 

Задание 12526

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 12, а высота равна $$6\sqrt{3}$$.

Ответ: 216
 

Задание 12587

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О - центр основания, S - вершина, $$SO\ =\ 9,\ SC\ =15.$$ Найдите длину отрезка BD.

Ответ: 24
 

Задание 12707

Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 52. Точка Е - середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды ЕАВС.

Ответ: 13

Задание 12808

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A,\ C,\ A_1,\ B_1$$ правильной треугольной призмы $$ABCA_1B_1C_1,$$ площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 3.

Ответ: 9
Скрыть

Рассмотрим полученный многогранник. Его можно рассматривать как треугольную пирамиду с основанием AA1B1. При этом, этот многогранник можно получить, если из первоначальной призмы убрать пирамиды A1C1B1C (основание A1B1C1) и A1B1BC (основание A1B1B).

Объем A1C1B1C составляет треть от объема ABCA1B1C1(одинаковые основания и высота). То есть на оставшиеся 2 пирамиды остается 2/3 от объема призмы. При этом, пирамиды имеют одну вершину С и одинаковые по площади основания (половины прямоугольника AA1B1B), то есть их объемы равны.

Получим, что объем ACA1B1составляет треть от объемы призмы: $$\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 3=3$$

 

Задание 13534

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды.

Ответ: 48
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13553

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём пирамиды.

Ответ: 40,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13789

Объём треугольной пирамиды равен 14. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 2:5, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13893

От треугольной призмы, объём которой равен 120, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объём оставшейся части.

Ответ: 80
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14355

Все плоские углы при вершине правильной треугольной пирамиды прямые. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если площадь её основания равна $$18\sqrt{3}$$.

Ответ: 54
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14374

Найдите объём треугольной пирамиды $$DABC$$, если $$AB=30$$, $$BC=CA=17$$ и двугранные углы при основании равны $$45^{\circ}$$.

Ответ: 150
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!