ЕГЭ Профиль
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 974
Объем пирамиды SABC равен 54. На ребрах SA, АВ и АС взяты точки М, N и Р соответственно так, что SM:MA= BN:NA=CP:PA=1:2. Найдите объем пирамиды МАNP.
Треугольники AHS и AKM подобны (SH и MK высоты в пирамидах) и коэффициент подобия равен 2/3 (так как AM:MS = 2:1, значит AS составляет 3 (2+1) части)
Аналогично треугольники APN и ACB подобны и коэффициент подобия равен 2/3. Пусть h - высота ABCS (SH), a h1 - высота ANPM (MK), S - площадь ABC, а S1 - площадь ANP.
Тогда, $$\frac{1}{3}Sh=54$$.
$$h_1=\frac{2}{3}h$$
$$S_1=\frac{4}{9}S$$ (так как площади относятся, как квадрат коэффициента подобия)
$$\frac{1}{3}S_1h_1=\frac{1}{3}*\frac{4}{9}S\frac{2}{3}h=\frac{8}{27}*\frac{1}{3}Sh=\frac{8}{27}*54=16$$
Задание 3198
Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 60. Точка E – середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$$ $$h_{2}=\frac{1}{2}h_{1}$$ $$V_{ABCDS}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot h_{1}$$ $$V_{ABCS}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot h_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}=$$ $$=\frac{1}{4}V_{ABCD}=\frac{1}{4}\cdot60=15$$
Задание 3284
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равняется 4 и образует с плоскостью основания угол 30 . Найдите объём пирамиды.
Введем обозначения как показано на рисунке
Задание 3419
Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, если её боковая поверхность равна 72, а высота равна 2.
1) $$S_{b}=72$$ $$DH=2$$
$$S_{DCB}=\frac{72}{3}=24$$
2) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$HM=\frac{1}{3}AM$$
$$AM=\frac{\sqrt{3}AB}{2}$$
Пусть $$AB=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=\frac{\sqrt{3}x}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$HM=\frac{\sqrt{3}x}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$DM=\sqrt{DH^{2}+HM^{2}}=\sqrt{2^{2}+\frac{3X^{2}}{36}}=\sqrt{4+\frac{x^{2}}{12}}$$
$$\Rightarrow$$ $$S_{BDC}=\frac{1}{2}\cdot DM\cdot BC$$ $$\Rightarrow$$ $$24=\frac{1}{2}x\cdot\sqrt{4+\frac{x^{2}}{12}}$$
$$48=x\cdot\sqrt{4+\frac{x^{2}}{12}}$$
$$2304=x^{2}\cdot(4+\frac{x^{2}}{12})$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{x^{4}}{12}+4x^{2}-2304=0$$
$$D=16+768=784$$
$$x^{2}=\frac{-4+28}{\frac{1}{6}}=24\cdot6$$ $$\Leftrightarrow x=12$$
Задание 3786
Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
Задание 4390
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF площадь основания равна 18, боковые ребра равны 9. Проведите сечение через точки боковых ребер, отстоящих от вершины S на расстояние 3. Найдите его площадь.
$$SC_{1}=3$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$\bigtriangleup SC_{1}O_{1}\sim\bigtriangleup SCO$$: $$\frac{SC_{1}}{SC}=\frac{O_{1}C_{1}}{OC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{O_{1}C_{1}}{OC}=\frac{1}{3}=k$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}}}{S_{ABCDEF}}=k^{2}=\frac{1}{9}$$ $$\Rightarrow$$ $$S=2$$
Задание 4567
Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 60. Точка E – середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.
Т.к. Е - середина, то высота EABC в два раза меньше высоты SABCD. $$S_{ABC}$$ в два раза меньше: $$S_{ABCD}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{EABC}=\frac{1}{4}V_{SABCD}=\frac{1}{4}\cdot60=15$$
Задание 4813
Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.
Для решения этой задачи проще всего достроить недостающую часть до правильной четырехугольной пирамиды, найти объем этой пирамиды, и вычесть объем достроенной части: $$V=\frac{1}{3}*6*6*3 - \frac{1}{3}*3*3*3=27$$
Задание 5003
Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.
$$V=\frac{1}{3}S_{osn}\cdot h$$
Пусть а - сторона основания, тогда: $$S_{osn}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}\cdot6=\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}$$; $$h=\frac{3V}{S_{osn}}=\frac{3\cdot6}{\frac{3\sqrt{3}\cdot1}{2}}=$$ $$\frac{3\cdot4}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$; $$SE=\sqrt{CH^{2}+HE^{2}}=\sqrt{48+1}=\sqrt{49}=7$$
Задание 5188
Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
Высота нижней тогда составяет $$\frac{2}{3}$$ от высоты исходной. Т.к. основания одинаковы, то и объем $$\frac{2}{3}$$ от исходной: $$V=\frac{2}{3}\cdot15=10$$
Задание 5235
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.
Объем пирамиды находится как треть произведения площади основания, на проведенную к нему высоту. Примем за основание грань $$ABS$$, тогда высота к ней будет $$SC$$. В таком случае объем: $$V=\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*3*3*3=4,5$$
Задание 5283
От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Объем пирамиды находится как треть произведения площади основания пирамиды на высоту. У начальной и отсеченной пирамиды высота будет одинаковая, различаться будут площади основания. Треугольник MNC подобен треугольнику ABC (MN - средняя линия), и коэффициент подобия у данных треугольников $$\frac{1}{2}$$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $$\frac{S_{MNC}}{S_{ABC}}=(\frac{1}{2})^{2}$$ $$S_{MNC}=\frac{1}{4}S_{ABC}$$ Тогда и $$V_{MNCS}=\frac{1}{4}S_{ABCS}=3$$
Задание 5331
Высота правильной треугольной пирамиды втрое меньше стороны основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$DH=a$$, тогда $$AB=3a$$. Из треугольника равностороннего $$ABC$$: $$AM=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{3\sqrt{3}a}{2}$$. Точка H - точка пересечения медиан треугольника ABC, тогда $$=AH=\frac{2}{3}AM=\sqrt{3}a$$. Из треугольника AHD: $$tg \angle DAH = \frac{DH}{AH}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$, тогда сам угол составляет 30 градусов
Задание 5378
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 42, высота равна $$7\sqrt{6}$$ . Найдите плоский угол при вершине пирамиды. Ответ дайте в градусах
1) Из треугольника ABC : $$HC=\frac{2}{3}CN$$ (по свойству медиан) ; $$CN=\frac{\sqrt{3}}{2}BC=21\sqrt{3}$$ (из прямоугольного CNB), тогда $$HC=14\sqrt{3}$$
2) Из треугольника DHC : $$ DC = \sqrt{DH^{2}+HC^{2}}=\sqrt{882}$$
3) Из треугольника DBC : $$\cos BDC = \frac{BD^{2}+DC^{2}-BC^{2}}{2BD*DC}=$$$$\frac{\sqrt{882}^{2}+\sqrt{882}^{2}-42^{2}}{2\sqrt{882}*\sqrt{882}}=0$$, следовательно, $$\angle BDC = 90$$
Задание 6177
Сечение площадью 2,25 проходит через середины ребер правильного тетраэдра. Найдите площадь S полной поверхности тетраэдра. В ответе укажите $$2\sqrt{3}S$$ .
Пусть a-сторона тетраэдра .Тогда $$\frac{a}{2}$$-сторона сечения (т.к. проходит через середины сторон, само сечение квадрат):$$(\frac{a}{2})^{2}=2,25\Leftrightarrow$$ $$\frac{a}{2}=1,5\Leftrightarrow a=3$$ Площадь одной грани: $$S=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$ Площадь поверхности: $$\frac{9\sqrt{3}}{4}*4=9\sqrt{3}$$ Тогда в ответ запишем: $$9\sqrt{3}*2\sqrt{3}=54$$
Задание 6516
В правильной шестиугольной пирамиде PАВСDEF сторона основания равна 2, а боковое ребро равно$$\sqrt{6}$$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью РАС.
Из $$\Delta ABC$$ : $$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2 BC*AB\cos B}=$$$$\sqrt{2^{2}+2^{2}-2*2*2*(-\frac{1}{2})}=\sqrt{12}$$ Из $$\Delta APC$$ : $$AP^{2}+PC^{2}=AC^{2}\Rightarrow$$$$\Delta APC$$ - прямоугольный и $$S_{APC}=\frac{1}{2}\sqrt{6}\sqrt{6}=3$$
Задание 6799
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
1) $$V=\frac{1}{3}Sh\Rightarrow$$ $$S=\frac{3V}{h}=\frac{3*200}{12}=50$$
2) $$S=AB^{2}=50\Rightarrow$$ $$AB =\sqrt{50}$$
3) $$DB=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{50+50}=10\Rightarrow$$ $$OB=5$$
4) $$SB=\sqrt{SO^{2}+OB^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$
Задание 6918
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а двугранный угол при стороне основания равен 30о. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
1) из $$\Delta ABC$$: $$BM=BC * \sin C=3*\frac{\sqrt{3}}{2}=$$$$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$MH=\frac{1}{3}$$; $$BM=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
2) из $$\Delta DMH$$: $$DM=\frac{MH}{\cos DMH}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}=1$$
3) $$S_{ADC}=\frac{1}{2} DM*AC=$$$$\frac{1}{2} *3*1=1,5$$$$\Rightarrow$$ $$S=3*S_{ADC}=4,5$$
Задание 7013
В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна $$4\sqrt{3}$$, а высота равна 8. Через высоту пирамиды проведена плоскость. Найдите наименьшую площадь сечения пирамиды такой плоскостью.
1) $$S_{min}=S_{SHM}$$ (т.к. наименьшее основание для сечения только в том случае , когда проходит через середины противоположных сторон); $$S_{SHM}=\frac{1}{2}SO*HM$$
2) Из $$\Delta HOB$$: $$OH=OB \sin B=4\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=6$$$$\Rightarrow HM=12$$
3) $$S_{SHM}=\frac{1}{2}*8*12=48$$
Задание 7317
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 9. Найдите объём пирамиды.
1) $$BC\perp DC\Rightarrow$$ по теореме о трех перпендикулярах $$SC\perp DC\Rightarrow$$ $$\angle SCB=60$$; аналогично : $$\angle SBC=60\Rightarrow$$ $$\Delta SCB$$ - равносторонний
2) Пусть $$SH\perp BC\Rightarrow$$ $$SH=9\Rightarrow$$ из $$\Delta SCH$$: $$SC=\frac{SH}{\sin SCH}=\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=$$$$\frac{18}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$SC=BC=\frac{18}{\sqrt{3}}$$
3) из $$\Delta SHM$$: $$MH=\frac{SH}{tg SMH}=$$$$\frac{9}{\sqrt{3}}=AB$$
4) $$V_{ABCD}=\frac{1}{3} S_{ABCD}SH=$$$$\frac{1}{3}*\frac{18}{\sqrt{3}}*\frac{9}{\sqrt{3}}*9=162$$
Задание 8262
В треугольной пирамиде объемом 1000 см3 плоскостями, параллельными основаниям и делящими соответствующие высоты пирамиды в отношении 1:4, считая от вершины, срезаны все четыре вершины. Найти объем оставшейся части пирамиды.
Задание 10590
Объем параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды $$ABDA_1$$.
Задание 10630
Апофема правильной треугольной пирамиды равна $$2\sqrt{7}$$, а боковое ребро 7. Найдите угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания. Ответ дайте в градусах.
Задание 10686
$$\angle A=\frac{\left(12-2\right)\cdot 180}{12}=150\to \angle OCH=75{}^\circ ;$$$$\ \angle COH=15{}^\circ $$. Пусть $$OH\bot CD$$, S - вершина пирамиды.
По теореме о трёх перпендикулярах $$SH\bot CD$$ (SO - высота пирамиды): $$ (SOH)\bot CD\to OL\bot CD$$, где $$OL\bot SH\to OL\bot (SCD)$$ и OL - расстояние.
$$CH=\frac{CD}{2}=3{tg 15{}^\circ \ }\to$$$$ OH=\frac{CH}{{tg COH\ }}=3\to$$$$ SH=\sqrt{SO^2+OH^2}=5\to$$ $$ OL=\frac{SO\cdot OH}{SH}=\frac{4\cdot 3}{5}=2,4.$$
Задание 10854
В правильной четырехугольной пирамиде в основании лежит квадрат. Его сторона равна 10. Найдем диагональ квадрата, на пересечении которых лежит вершина пирамиды: $$d^2=100+100=200\to d=10\sqrt{2}$$.
Найдем высоту пирамиды из теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна боковому ребру, а один из катетов половине диагонали квадрата в основании. Второй катет, т.е. высота пирамиды, равна $$h^2={\left(7,5\right)}^2-{\left(5\sqrt{2}\right)}^2=56,25-50=6,25\to h=2,5$$.
Задание 10873
В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.
Задание 12808
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A,\ C,\ A_1,\ B_1$$ правильной треугольной призмы $$ABCA_1B_1C_1,$$ площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 3.
Рассмотрим полученный многогранник. Его можно рассматривать как треугольную пирамиду с основанием AA1B1. При этом, этот многогранник можно получить, если из первоначальной призмы убрать пирамиды A1C1B1C (основание A1B1C1) и A1B1BC (основание A1B1B).
Объем A1C1B1C составляет треть от объема ABCA1B1C1(одинаковые основания и высота). То есть на оставшиеся 2 пирамиды остается 2/3 от объема призмы. При этом, пирамиды имеют одну вершину С и одинаковые по площади основания (половины прямоугольника AA1B1B), то есть их объемы равны.
Получим, что объем ACA1B1составляет треть от объемы призмы: $$\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 3=3$$
Задание 13789
Объём треугольной пирамиды равен 14. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 2:5, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
