Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Производная и первообразная

Первообразная

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 1290

На рисунке изображён график функции y=F(x) − одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (‐7;4). Пользуясь рисунком, определите значение функции f(x) в точке х=1.

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Нам дана первообразная F, нам необходимо найти значение функции f в точке. При подобном задании можно рассматривать следующую ситуацию, вместо F - рассматривается функция g, вместо функции f - производная g'. То есть нам дан график функции g(x), а надо найти значение производной g'(x) в точке x = 1. Как видим на графике, данная точка - точка минимум, значит значение производной и ответ - 0

Задание 3642

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = F(x) — одной из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−3; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f(x)=0 на от­рез­ке [−2; 4].

Ответ: 10

Задание 3643

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции $$f(x)$$ (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те F(8) − F(2), где F(x) — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x).

Ответ: 7

Задание 3644

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f(x). Функ­ция $$F(x)=x^{3}+30x^{2}+302x-\frac{15}{8}$$ — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции y = f(x). Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Ответ: 6

Задание 3645

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f(x). Функ­ция $$F(x)=-x^{3}-27x^{2}-240x-8$$ — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции y = f(x). Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Ответ:

Задание 3646

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции y = f(x). Функ­ция  — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x). Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Ответ: 4

Задание 3647

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик не­ко­то­рой функ­ции $$y=f(x)$$. Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те опре­де­лен­ный ин­те­грал $$\int_{5}^{1}f(x)dx$$

Ответ: 12
 

Задание 3854

Прямая, изображенная на рисунке, является графиком одной из первообразных функции $$y=f(x)$$. Найдите $$f(2)$$.

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Достроим прямоугольный треугольник, вычислим тангенс угла:
$$\tan\alpha=-\frac{4}{2}=-2$$

 

Задание 4856

На рисунке изображен график $$y=F(x)$$ одной из первообразных некоторой функции $$f(x)$$, определенной на интервале (‐1;13). Определите количество целых чисел $$x_{i}$$, для которых $$f(x_{i})$$ отрицательно.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Следует понимать, что фразу первообразная F(x) для функции f(x), можно переделывать для себя, как функция g(x) для производной g'(x). И тогда нам необходимо найти все целые абсциссы, где производная отрицательная, а отрицательная он там , где функция убывает. Данные точки отмечены на графике:

 

Задание 5187

На рисунке изображен график $$y=F(x)$$ одной из первообразных некоторой функции $$f$$, определенной на интервале $$(-2;11)$$. Определите количество целых чисел $$x_{i}$$, для которых $$f(x_{i})$$ отрицательно.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 6965

F(x) - первообразная функции f(x)=3x2+2x, причем ее график проходит через точку (2;‐3). Найдите F(-2)

Ответ: -19
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$F(x)=\int f(x) dx=x^{3}+x^{2}+c$$. Т.к. F(x) проходит через (2;-3), то F(2)=-3 $$-3=2^{3}+2^{2}+c\Leftrightarrow$$ $$c=-15$$. Тогда :$$F(-2)=(-2)^{3}+(-2)^{2}-15=-19$$

 

Задание 7053

Используя геометрический смысл определенного интеграла, вычислите $$\int_{-2}^{0}\frac{1}{\pi}\sqrt{4-x^{2}}dx$$

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{4-x^{2}}$$ - это полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат . При этом по $$x \in [-2; 0]$$ получим четверть данной окружности : $$S=\frac{1}{4} \pi 2^{2}=\pi$$ . Геометрический смысл интеграла в нахождении площади криволинейного трапеции, тогда: $$\int_{-2}^{0} \frac{1 }{\pi }\sqrt{4-x^{2}}dx=$$$$\frac{1}{\pi}*\int_{-2}^{0}\sqrt{4-x^{2}}dx=$$$$\frac{1}{\pi}*\pi=1$$

 

Задание 7316

На рисунке изображен график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых чисел xi, для которых f(xi) положительно.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Если y=F(x)-первообразная для y=f(x), то y=f(x)-производная для y=F(x). Тогда f(x)>0 если F(x) –возрастает $$\Rightarrow$$ $$x\in (-3 ;0)\cup (3,5; 6)$$ .На этих промежутках 4 целых значений (-2; -1; 4; 5)

 

Задание 7356

Прямая, изображенная на рисунке, является графиком одной из первообразных функции y=f(x). Найдите f(2).

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7507

Прямая, изображенная на рисунке, является графиком одной из первообразных функции y=f(x). Найдите f(2).

Ответ: 0,75
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Для функции первообразной, изначальная функция является производной. То есть, можно перефразировать задание следующим образом: Дан график функции g(x), найдите значение производной g'(2).
Графиком функции является прямая, следовательно, производная имеет постоянное значение независимо от абсциссы, и вычисляется как тангенс угла между прямой и осью Ох (коэффициент k из уравнения прямой y=kx+b).
Тогда $$tg \alpha=\frac{3}{4}$$
 

Задание 7628

На рисунке изображён график функции y=F(x) − одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (‐7;4). Пользуясь рисунком, определите значение функции f(x) в точке х=1.

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7775

На рисунке изображен график $$y=F(x)$$ одной из первообразных некоторой функции $$f(x)$$ определенной на интервале (‐7;5). Пользуясь рисунком, найдите количество решений уравнения $$f(x)=0$$ на отрезке [‐5;2].

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9058

На рисунке изображён график функции $$y=F(x)$$-одной из первообразных функции f(х), определённой на интервале (-3;6). Найдите количество решений уравнения f(х)=0 на отрезке [-2; 5].

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9104

На рисунке изображён график функции y=F(x) одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (-3;6). Найдите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-2; 5].

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9356

На рисунке изображён график функции $$y=f'(x)$$, определённой на интервале (-7; 8). F(х) - одна из первообразных функции $$y=f(x)$$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции F(х) параллельна прямой у=-х+2 или совпадает с ней.

 

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10089

На рисунке изображен график первообразной $$y=F(x)$$ некоторой функции $$y=f(x)$$, определенной на интервале (-16;2). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $$f(x)$$ на отрезке [-10;4]

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10127

На рисунке изображен график некоторой функции $$y=f(x)$$. Одна из первообразных этой функции равна $$F(x)=-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^2-4x+2$$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Ответ: 4,5
 

Задание 10146

На рисунке изображен график некоторой функции $$y=f(x)$$. Пользуясь графиком, вычислите интеграл $$\int_{0}^{3}f(x)dx$$

Ответ: 13,5
 

Задание 10480

На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$. Пользуясь графиком, вычислите $$F(10)-F(2)$$, где $$F(x)$$ ‐ одна из первообразных функции $$y=f(x)$$.

Ответ: 20
 

Задание 12544

На рисунке изображён график функции $$y\ =\ F(x)$$ - одной из первообразных функции $$f(x)$$, определённой на интервале (-3; 6). Найдите количество решений уравнения $$f(x)\ =\ 0$$ на отрезке [-2; 5].

Ответ: 11
 

Задание 12566

На рисунке изображён график функции $$y\ =\ F(x)$$ - одной из первообразных функции $$f(x)$$, определённой на интервале $$(-3;\ 6).$$

Найдите количество решений уравнения $$f(x)\ =\ 0$$ на отрезке $$[-2;\ 5].$$

Ответ: 7

Задание 12626

На рисунке изображён график функции $$y\ =\ f(x),$$ определённой на интервале (-7; 8). $$F(x)$$ - одна из первообразных функции $$y\ =\ f(x).$$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $$F(x)$$ параллельна прямой $$y=-x+2$$ или совпадает с ней.

Ответ: 7
 

Задание 12786

На рисунке изображён график некоторой функции $$y\ =\ f(x).$$ Одна из первообразных этой функции равна $$F\left(x\right)=\ -\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2-\ 4x\ +\ 2.$$

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Ответ: 4,5
 

Задание 12807

На рисунке изображён график некоторой функции $$y\ =\ f(x).$$ Одна из первообразных этой функции равна $$F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2+2x-3$$

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Ответ: 6
Скрыть

Площадь фигуры, ограниченной по оси OY графиком функции f(x), а по оси OX диапазоном значений от 0 до 3, можно вычислить с помощью определенного интеграла вида:

$$\int_{0}^{3}f(x)dx=F(3)-F(0)$$, где F(x) - первообразная от f(x) .

Значение первообразной дано по условию задачи, получаем значение площади

$$F(3)=\frac{1}{3}3^3-3^2+2\cdot 3-3=$$
$$F(0)=\frac{1}{3}0^3-0^2+0x-3=-3$$
$$F(3)-F(0)=3-(-3)=6$$
 

Задание 12908

На рисунке изображен график функции $$y=F(x)$$ одной из первообразных некоторой функции $$f$$, определенной на интервале $$(-3;8)$$. Определите количество целых чисел $$x_{i}$$, для которых $$f(x_{i})$$ отрицательно.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!