Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C4) Планиметрическая задача

Многоугольники и их свойства

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10443

На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая MQ пересекает гипотенузу KL в точке N.

а) Докажите, что KN:NL=1:2
б) Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно MQ, пересекает отрезок LP в точке R. Найдите LR, ели KQ=9.
Ответ: Б) 2
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10289

В трапеции ABCD (AD – нижнее основание) площади треугольников ABD и BDC равны соответственно 12 и 4, а точка G является серединой BD. Ниже прямой AD выбрана точка Е, АЕ=BD, а на отрезке ЕС выбрана точка F такая, что CF в 4 раза короче СЕ.

А) Докажите, что $$\angle BFG=90^{\circ}$$ 
Б) Найдите длину отрезка BD, если дополнительно известно, что $$\angle CFG=75^{\circ}, \angle BGC=15^{\circ}, $$
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10170

Биссектриса острого угла А трапеции ABCD пересекает боковую сторону CD в точке Т, а продолжение основания ВС трапеции в точке К так, что ABKD – параллелограмм и TD:TC=4:1

а) Докажите, что АК$$\perp$$BD
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если ее сторона AB=8 и $$\angle B=120^{\circ}$$
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10098

Два одинаковых правильных треугольника АВС и CDE расположены на плоскости так, что имеют только одну общую точку С, и угол BCD меньше, чем $$\frac{\pi}{3}$$. Точка К – середина отрезка АС, точка L – середина отрезка СЕ, точка М – середина отрезка BD.

а) Докажите, что треугольник KLM ‐ равносторонний
б) Найдите длину отрезка BD, если площадь треугольника KLM равна $$\frac{\sqrt{3}}{5}$$, а сторона треугольника АВС равна 1.
Ответ: $$\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9878

Квадраты ABCD и A1B1C1D1 (вершины названы по часовой стрелке) совпадают вершинами С и В1. Точки О и О1 – центры квадратов.

а) Докажите, что прямая ОО1 пересекает отрезки А1В и С1D под одинаковыми углами.
б) Найдите ОО1, если $$A_{1}B+C_{1}D=12\sqrt{2}$$
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9682

В пятиугольнике А1А2А3А4А5 площади всех треугольников А1А2А3, А2А3А4, А3А4А5, А4А5А1, А5А1А2 равны 1.

а) Докажите, что А1А2||A3A5
б) Найдите площадь пятиугольника А1А2А3А4А5
Ответ: $$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 4596

Из вершин острых углов B и C треугольника ABC проведены две его высоты ― BM и CN, причем прямые BM и CN пересекаются в точке H. Найдите угол BHC, если известно, что $$MN=\frac{1}{3}BC$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4595

Расстояния от точки M, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 3 и 6. Через точку M проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри угла.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4594

На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удаленная от вершины A на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника BCE, если BC = 6, AC = 4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4593

Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен $$\frac{15}{17}$$. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4592

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Найдите BC если AB = 12.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4591

В прямоугольнике ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 10 на стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом P — точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4590

Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника ABE, если известно, что ∠ABE = ∠CBD = α и $$\tan \alpha = \frac{4}{3}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4589

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 34, AC = 65 и BC = 93. На стороне BC взята точка M, причём AM = 20. Найдите площадь треугольника AMB.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4588

Площадь трапеции ABCD равна 560. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции в полтора раза больше другого.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4587

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4586

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF?

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4585

Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = 100; AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC, касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4584

Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образующая с прямой AB угол α, tg α = 3. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 4.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4583

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Найдите высоту трапеции, если её средняя линия равна 3 и $$\sin \angle AOB =\frac{3}{5}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4582

В прямоугольнике ABCD AB = 2, $$BC=\sqrt{3}$$. Точка E на прямой AB выбрана так, что ∠AED = ∠DEC. Найдите AE.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4581

Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4580

Прямая, проведённая через середину N стороны AB квадрата ABCD, пересекает прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образует с прямой AB угол, тангенс которого равен 4. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 8.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4579

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 1217

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 560. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. От­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MON, если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции в пол­то­ра раза боль­ше дру­го­го.

Ответ: $$\frac{576}{35} ; \frac{63}{5}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1216

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AD и CE. Най­ди­те длину от­рез­ка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Ответ: $$\sqrt{5.8}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1215

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не BC вы­бра­на точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Ме­ди­а­на CE пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AD в точке F. Какую часть пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC со­став­ля­ет пло­щадь тре­уголь­ни­ка AEF?

Ответ: $$\frac{1}{10}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1214

Дана тра­пе­ция ABCD, ос­но­ва­ния ко­то­рой BC = 44, AD = 100; AB = CD = 35. Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мых AD и AC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD в точке K. Най­ди­те длину от­рез­ка CK

Ответ: 5 ; 30
Аналоги к этому заданию:

Задание 1213

Через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ю­щая с пря­мой AB угол α, tg α = 3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 4.

Ответ: 2 ; 10
Аналоги к этому заданию:

Задание 1212

Тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC впи­са­на в окруж­ность с цен­тром O. Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, если её сред­няя линия равна 3 и  $$\sin \angle AOB=\frac{3}{5}$$.

Ответ: 1 ; 9
Аналоги к этому заданию:

Задание 1211

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD AB = 2,  $$BC=\sqrt{3}$$  Точка E на пря­мой AB вы­бра­на так, что ∠AED = ∠DEC. Най­ди­те AE.

Ответ: 1 ; 3
Аналоги к этому заданию:

Задание 1189

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCDAB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{3}}{4} ; \frac{13\sqrt{3}}{6}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1188

Пря­мая, про­ведённая через се­ре­ди­ну N сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с пря­мой AB угол, тан­генс ко­то­ро­го равен 4. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 8.

Ответ: 16 и 48
Аналоги к этому заданию:

Задание 1187

На сто­ро­не CD квад­ра­та ABCD по­стро­ен рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник CPD. Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка ADP, про­ведённую из вер­ши­ны D, если из­вест­но, что сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

Ответ: $$\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{4}$$