Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C4) Планиметрическая задача

Многоугольники и их свойства

Задание 1187

На сто­ро­не CD квад­ра­та ABCD по­стро­ен рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник CPD. Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка ADP, про­ведённую из вер­ши­ны D, если из­вест­но, что сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

Ответ: $$\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{4}$$

Задание 1188

Пря­мая, про­ведённая через се­ре­ди­ну N сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD, пе­ре­се­ка­ет пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ет с пря­мой AB угол, тан­генс ко­то­ро­го равен 4. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 8.

Ответ: 16 и 48

Задание 1189

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCDAB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{3}}{4} ; \frac{13\sqrt{3}}{6}$$

Задание 1211

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD AB = 2,  $$BC=\sqrt{3}$$  Точка E на пря­мой AB вы­бра­на так, что ∠AED = ∠DEC. Най­ди­те AE.

Ответ: 1 ; 3

Задание 1212

Тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC впи­са­на в окруж­ность с цен­тром O. Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции, если её сред­няя линия равна 3 и  $$\sin \angle AOB=\frac{3}{5}$$.

Ответ: 1 ; 9

Задание 1213

Через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB квад­ра­та ABCD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мые CD и AD в точ­ках M и T со­от­вет­ствен­но и об­ра­зу­ю­щая с пря­мой AB угол α, tg α = 3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BMT, если сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 4.

Ответ: 2 ; 10

Задание 1214

Дана тра­пе­ция ABCD, ос­но­ва­ния ко­то­рой BC = 44, AD = 100; AB = CD = 35. Окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мых AD и AC, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD в точке K. Най­ди­те длину от­рез­ка CK

Ответ: 5 ; 30

Задание 1215

В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не BC вы­бра­на точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Ме­ди­а­на CE пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AD в точке F. Какую часть пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC со­став­ля­ет пло­щадь тре­уголь­ни­ка AEF?

Ответ: $$\frac{1}{10}$$

Задание 1216

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AD и CE. Най­ди­те длину от­рез­ка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Ответ: $$\sqrt{5.8}$$

Задание 1217

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 560. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. От­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MON, если одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции в пол­то­ра раза боль­ше дру­го­го.

Ответ: $$\frac{576}{35} ; \frac{63}{5}$$
 

Задание 2501

В прямоугольнике АВСD на стороне ВС отмечена точка К так, что ВК=2СК.
А) Докажите, что ВD делит площадь треугольника АКС в отношении 3:7.
Б) Пусть М – точка пересечения АК и BD, Р – точка пересечения DK и АС. Найдите длину отрезка МР, если АВ=8, ВС=6.

Ответ: $$\frac{3\sqrt{65}}{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3037

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC=16 и AB=10.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3379

Два борта бильярдного стола образуют угол 7°, как указано на рисунке. На столе лежит бильярдный шар A, который катится без трения в сторону одного из бортов под углом 113°. Отражения от бортов абсолютно упругие. Сколько раз шар отразится от бортов?

Ответ: 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Шар отразится от борта под углом $$180^\circ-113^\circ=67^\circ$$, поэтому ударится о другой борт под углом $$180^\circ-67^\circ-7^\circ=106^\circ$$. Аналогично в следующий раз угол станет $$99^\circ$$ , затем $$92^\circ$$ и $$85^\circ$$ . Начиная с этого момента мяч будет лететь прочь от угла, а угол будет по-прежнему уменьшаться на $$7^\circ$$ . Еще через 12 отражений он станет равен $$1^\circ$$ и после этого шарик уже не сможет удариться о борт, поскольку треугольника с углами $$179^\circ$$ и $$7^\circ$$ не существует. Итого будет 17 отражений.

Задание 4579

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Ответ:

Задание 4580

Прямая, проведённая через середину N стороны AB квадрата ABCD, пересекает прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образует с прямой AB угол, тангенс которого равен 4. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 8.

Ответ:

Задание 4581

Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Ответ:

Задание 4582

В прямоугольнике ABCD AB = 2, $$BC=\sqrt{3}$$. Точка E на прямой AB выбрана так, что ∠AED = ∠DEC. Найдите AE.

Ответ:

Задание 4583

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Найдите высоту трапеции, если её средняя линия равна 3 и $$\sin \angle AOB =\frac{3}{5}$$

Ответ:

Задание 4584

Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образующая с прямой AB угол α, tg α = 3. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 4.

Ответ:

Задание 4585

Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = 100; AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC, касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

Ответ:

Задание 4586

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF?

Ответ:

Задание 4587

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Ответ:

Задание 4588

Площадь трапеции ABCD равна 560. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции в полтора раза больше другого.

Ответ:

Задание 4589

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 34, AC = 65 и BC = 93. На стороне BC взята точка M, причём AM = 20. Найдите площадь треугольника AMB.

Ответ:

Задание 4590

Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника ABE, если известно, что ∠ABE = ∠CBD = α и $$\tan \alpha = \frac{4}{3}$$

Ответ:

Задание 4591

В прямоугольнике ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 10 на стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом P — точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.

Ответ:

Задание 4592

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Найдите BC если AB = 12.

Ответ:

Задание 4593

Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен $$\frac{15}{17}$$. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

Ответ:

Задание 4594

На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удаленная от вершины A на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника BCE, если BC = 6, AC = 4.

Ответ:

Задание 4595

Расстояния от точки M, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 3 и 6. Через точку M проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри угла.

Ответ:

Задание 4596

Из вершин острых углов B и C треугольника ABC проведены две его высоты ― BM и CN, причем прямые BM и CN пересекаются в точке H. Найдите угол BHC, если известно, что $$MN=\frac{1}{3}BC$$

Ответ:
 

Задание 6618

Точка N делит диагональ трапеции ABCD в отношении CN:NA=2:1. Длины оснований ВС и AD относятся как 1:3. Через точку N и вершину D проведена прямая, пересекающая боковую сторону АВ в точке М.

А) Какую часть площади трапеции составляет площадь четырехугольника MBCN?
Б) Найдите длину отрезка MN, если MD=9.
Ответ: А) $$\frac{7}{32}$$ Б) 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Пусть $$BC=x\Rightarrow$$ $$AD=3x$$; $$CN=2y\Rightarrow$$ $$AN=y$$

     2) $$\angle CAD=\angle BCA$$(накрест лежащие ). Пусть $$\angle CAD=\alpha$$

     3) $$S_{BCA}=\frac{1}{2}BC*AC*\sin BCA=$$$$\frac{1}{2}*x*3y*\sin \alpha =\frac{3xy \sin \alpha }{2}$$

$$S_{CAD}=\frac{1}{2}*AC*AD \sin CAD=$$$$\frac{1}{2}*3y*3x\sin \alpha =\frac{9xy\sin \alpha }{2}$$

$$S_{ABCD}=S_{BCA}+S_{CAD}=$$$$6xy\sin \alpha =S$$, тогда: $$S_{CAD}=\frac{3}{4}S$$, $$S_{BCA}=\frac{1}{4}S$$

      4) $$S_{BCN}=\frac{1}{2}BC*CN*\sin BCN=$$$$\frac{1}{2}*x*2y*\sin \alpha =$$$$xy\sin \alpha =\frac{1}{6}S\Rightarrow$$ $$S_{BNA}=\frac{1}{4}S-\frac{1}{6}S=\frac{1}{12}S$$

     5) $$\Delta BNC\sim \Delta ANH$$ ($$BN\cap AD=H$$) $$\Rightarrow$$ $$\frac{CN}{AN}=\frac{BN}{NH}=\frac{2}{1}=$$$$\frac{BC}{AH}\Rightarrow$$ $$AH=\frac{BC}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow$$ $$HD=3x-\frac{x}{2}=\frac{5x}{2}$$

     6) По т. Менелая для $$\Delta MDA$$:

$$\frac{BN}{NH}*\frac{HD}{AD}*\frac{AM}{MB}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{2}{1}*\frac{5x}{2*3x}*\frac{AM}{MB}=1\Rightarrow$$ $$\frac{AM}{MB}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{MB}{AB}=\frac{5}{8}$$

     7) $$S_{MBN}=\frac{MB}{AB}*S_{BNA}=$$$$\frac{5}{8}*\frac{1}{12}S=\frac{5S}{96}$$

     8) $$S_{MBCN}=\frac{5S}{96}+\frac{S}{6}=$$$$\frac{5S+16S}{96}=\frac{21S}{96}=\frac{7S}{32}$$

   Б) 1)По т. Менеая для $$\Delta ABH$$:

$$\frac{DN}{NM}*\frac{MB}{AB}*\frac{AH}{HD}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{DH}{NM}*\frac{5}{8}*\frac{1}{5}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{DN}{NM}=\frac{8}{1}\Rightarrow$$ $$MN=\frac{1}{9}*9=1$$

 

Задание 6827

В прямоугольном треугольнике АВС из точки Е, расположенной в середине катета ВС, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу АВ. $$AE=\sqrt{10}EL$$, $$BC>AC$$

А) Найдите углы треугольника АВС
Б) Найдите отношение $$\frac{AE}{CL}$$
Ответ: А) $$90;arcsin \frac{2\sqrt{5}}{5};arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}$$ Б) $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)    1) пусть $$EL=x$$$$\Rightarrow$$ $$AE=x\sqrt{10}$$. Тогда из $$\Delta ELA:$$ $$AL=\sqrt{AE^{2}-EL^{2}}=3x$$

       2) Пусть $$BL=y$$ $$\Rightarrow$$. Тогда из $$\Delta EBL:$$$$BE=\sqrt{BL^{2}+EL^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=EC$$

       3) $$\Delta EBL\sim \Delta ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{EB}{AB}=\frac{BL}{BC}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{y+3x}=\frac{y}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$$$\Leftrightarrow$$ $$2(x^{2}+y^{2})=y^{2}+3xy$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x^{2}+2y^{2}-y^{2}-3xy=0\Leftrightarrow$$ $$2x^{2}-3xy+y^{2}=0$$

$$D=9y^{2}-8y^{2}=y^{2}\Rightarrow$$ $$x=\frac{3y\pm y}{4}$$$$\Rightarrow$$ $$x=y$$ или $$x=\frac{y}{2}$$

  1. Если $$x=y$$ , то $$AB=4x$$ ; $$BC=2x\sqrt{2}$$$$\Rightarrow$$ $$AC=\sqrt{16x^{2}-8x^{2}}=2x\sqrt{2}$$ (но BC>AC)
  2. Если $$x=\frac{y}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$AB=5x; BC=2x\sqrt{5}$$$$\Rightarrow$$ $$AC=\sqrt{25x^{2}-20x^{2}}=x\sqrt{5}$$

       4) $$\angle C=90$$; $$\angle A=arcsin \frac{BC}{AB}=arcsin \frac{2\sqrt{5}}{5}$$; $$\angle B=arcsin \frac{AC}{AB}=arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}$$

Б)       1) $$\cos \angle A=\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow$$ из $$\Delta ALC:$$ $$CL=\sqrt{AC^{2}+AL^{2}-2 AC*AL*\cos A}=2\sqrt{2}x$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{AE}{CL}=\frac{\sqrt{10}x}{2\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

 

Задание 6878

Внутри параллелограмма ABCD взята точка К так, что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки К до прямых AD, AB и ВС равны соответственно 3, 6 и 5.

А) Найдите площадь параллелограмма
Б) Окружность, описанная около треугольника CKD пересекает сторону AD в точке Р. Найдите отношение АР:AD.
Ответ: А)$$\frac{182}{\sqrt{3}}$$ Б)$$\frac{51}{91}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)   Пусть $$CD=KD=KC=a$$, тогда из $$\Delta NKD$$ : $$ND=\sqrt{a^{2}-3^{2}}$$; Из $$\Delta KRC$$: $$RC=\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$

      2) Пусть $$DH\perp BC$$ , тогда $$DH=NR=8$$; $$CH=ND=RC=\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$. $$\Delta DHC$$: $$a^{2}=8^{2}+(\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}})^{2}\Leftrightarrow$$$$a^{2}-8^{2}=2a^{2}-34-2\sqrt{a^{4}-34a^{2}+225}\Leftrightarrow$$$$2\sqrt{A^{4}-34a^{2}+225}=a^{2}+30\Leftrightarrow$$$$4a^{4}+136a^{2}+900=a^{4}+60a^{2}+900\Leftrightarrow$$$$3a^{4}-196 a^{2}=0$$. Тогда a=0(не может быть) член $$a=\pm \frac{14\sqrt{3}}{3}$$ ( отрицательным не может быть )

      3) $$KQ=CD \sin 60$$; $$CD=\sqrt{DH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{64+((\sqrt{\frac{14^{2}}{3}-9}-\sqrt{(\frac{14^{2}}{3}-25)})^{2}}=$$$$\sqrt{64+(\frac{13}{\sqrt{3}}-\frac{11}{\sqrt{3}})^{2}}=\sqrt{\frac{196}{3}}=$$$$\frac{14}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$KQ=\frac{14}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{2}=7$$$$\Rightarrow$$ $$MQ=13$$

      4) $$S_{ABCD}=MQ*CD=13*\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{182}{\sqrt{3}}$$

Б)  1) из $$\Delta CHD$$: $$\sin \angle DCH=\frac{DH}{CD}=\frac{8}{\frac{14}{\sqrt{3}}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$$$$\Rightarrow$$ $$\sin \angle ADC=\frac{4\sqrt{3}}{7}=\sin \alpha$$

      2) $$\angle ODQ=\frac{1}{2} \angle KDC=30$$$$\Rightarrow$$ $$\angle PDO=\angle (\alpha -30)$$, где $$\angle \alpha =\angle ADC$$; $$\cos \alpha =\sqrt{1-\sin ^{2}\alpha }=\frac{1}{7}$$; $$\sin (\alpha -30)=\sin \alpha \cos 30-\cos \alpha \sin 30=$$$$\frac{4\sqrt{3}}{7}*\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{7}*\frac{1}{2}=$$$$\frac{11}{14}\Rightarrow$$ $$\cos(\alpha -30)=\frac{5\sqrt{3}}{14}$$

      3) OD - радиус описанной окружности $$\Rightarrow$$ $$OD=\frac{2}{3}$$; $$KQ=\frac{2*7}{3}=\frac{14}{3}$$$$\Rightarrow$$ из $$\Delta EDO$$: $$ED=DO \cos PDO=\frac{14}{3}*\frac{5\sqrt{3}}{14}=$$$$\frac{5\sqrt{3}}{3}\Rightarrow$$ $$PD=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

      4) $$S_{ABCD}=\frac{182}{\sqrt{3}}=AD*DH\Rightarrow$$ $$AD=\frac{182}{\sqrt{3}*8}=\frac{91}{4\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$AP=\frac{91}{4\sqrt{3}}-\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{51}{4\sqrt{3}}$$, $$\frac{AP}{AD}=\frac{51}{4\sqrt{3}}:\frac{91}{4\sqrt{3}}=\frac{51}{91}$$

 

Задание 6926

Даны треугольник АВС и ромб BDEF, все вершины которого лежат на сторонах треугольника АВС, а угол при вершине Е – тупой, АЕ=3, СЕ=7, а радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1.

А) Найдите площадь треугольника АВС
Б) Найдите расстояние между центром окружности, вписанной в ромб, до центра окружности, вписанной в треугольник АВС
Ответ: А)$$5\sqrt{5}$$ Б) $$\frac{\sqrt{21}}{4}(9-4\sqrt{5})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1)Пусть r - радиус вписанной окружности в ромб (r=1); $$EG\perp AB$$; $$EH\perp CB$$. Тогда $$EG=EH=2r=2$$(высота в 2 раза больше радиуса в ромбе) .

        2)из $$\Delta AEG$$: $$\sin A=\frac{EG}{AE}=\frac{2}{3}$$$$\Rightarrow$$ $$\cos A=\frac{\sqrt{5}}{3}$$

Из $$\Delta ECH$$: $$\sin C=\frac{EH}{EC}=\frac{2}{7}$$$$\Rightarrow$$ $$\cos C=\frac{\sqrt{45}}{7}=\frac{3\sqrt{5}}{7}$$

Из $$\Delta ACB$$: $$\sin B=\sin (180-(A+C))=\sin (A+C)$$

$$\sin (A+C)=\sin A* \cos C+\sin C*\cos A=$$$$\frac{2}{3}*\frac{3\sqrt{5}}{7}+\frac{2}{7}*\frac{\sqrt{5}}{3}=$$$$\frac{8\sqrt{5}}{21}\Rightarrow$$ $$\cos (A+C)=-\frac{11}{21}$$ ($$\angle A+\angle C>90$$)

        3)По т. cинусов : $$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\Rightarrow$$ $$AB=10*\frac{2}{7}:\frac{8\sqrt{5}}{21}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

        4) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}*AB*AC* \sin A=5\sqrt{5}$$

   Б) 1) По т. синусов : $$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$$$$\Rightarrow$$ $$AB=\frac{AC*\sin C}{\sin B}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$$; $$BC=\frac{AC* \sin A}{\sin B}=\frac{7\sqrt{5}}{2}$$. Тогда $$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{10+5\sqrt{5}}{2}$$

        2) Пусть $$R=KO_{1}$$ - радиус вписанной в $$\Delta ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$R=\frac{S}{p}=10-4\sqrt{5}$$

     3) $$\angle KBO=\frac{\angle B}{2}\Rightarrow$$ $$\cos \angle B=1-2 \sin ^{2}\angle KBO\Rightarrow$$ $$\sin \angle KBO=\frac{4}{\sqrt{21}}$$

        4) из $$\Delta KO_{1}B$$: $$BO_{1}=\frac{O_{1}K}{\sin \angle KBO}=\frac{(10-4\sqrt{5})\sqrt{21}}{4}$$

Из $$\Delta NOB$$: $$OB=\frac{ON}{\sin \angle KBO}=\frac{\sqrt{21}}{4}$$

$$OO_{1}=BO_{1}-BO=\frac{\sqrt{21}}{4}(10-4\sqrt{5}-1)=\frac{\sqrt{21}}{4}(9-4\sqrt{5})$$

 

Задание 7109

В треугольнике АВС длина АВ равна 3, $$\angle ACB=\arcsin \frac{3}{5}$$ , хорда KN окружности, описанной около треугольника АВС, пересекает отрезки АС и ВC в точках M и L соответственно. Известно, что $$\angle ABC=\angle CML$$ , площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1.

А) Найдите высоту треугольника KNC, опущенную из вершины С
Б) Найдите площадь треугольника KNC
Ответ: А)$$\frac{1}{2}$$ Б)$$\frac{3}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) $$\angle C$$ – общий ; $$\angle ABC =\angle CML\Rightarrow$$ $$\Delta ABC\sim \Delta CML$$: $$\frac{MC}{BC}=\frac{CN}{AC}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$S_{MCN}=(\frac{1}{3})^{2} S_{ABC}\Rightarrow$$ $$S_{AMNB}=\frac{8}{9}S_{ABC}\Rightarrow$$ $$S_{ABC}=\frac{9 S_{AMNB}}{8}=\frac{9}{4}$$$$\Rightarrow$$ $$S_{MCN}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2} MN*h$$ ,где h-высота из $$C\Rightarrow h=\frac{1}{2}$$

     Б) 1) Пусть O - центр описанной около $$\Delta ABC$$ окружности , тогда $$OC=OB=OA$$ - радиусы и $$OC=\frac{AB}{2 \sin ACB}=\frac{5}{2}$$

     2) Пусть $$\angle ABC=\alpha \Rightarrow$$ $$\smile AC=2\alpha$$ (вписанный угол) и $$\angle LMC=\alpha$$ .

     3) $$\angle LMC$$ - угол между хордами AC и KN $$\Rightarrow$$ $$\frac{\smile AK+\smile CN}{2}=\alpha \Rightarrow$$ $$\smile AK+\smile CN=2\alpha$$. При этом $$\smile AC=\smile AK+\smile KC=2\alpha \Rightarrow$$ $$\smile CN=\smile KC\Rightarrow$$ $$KC=CN$$

      4) Пусть $$OC\cap KN=D\Rightarrow$$ $$CD=h=\frac{1}{2}$$( расстояние от C до ML ) $$\Rightarrow$$ $$OD=OC-DC=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2\Rightarrow$$ $$KD=\sqrt{OK^{2}-OD^{2}}=1,5\Rightarrow$$ $$KN=3\Rightarrow$$ $$S_{KCN}=\frac{1}{2}*CD*KN=\frac{3}{4}$$

 

Задание 7182

На основаниях AD и ВС трапеции ABCD построены квадраты ADMN и BCRS, расположенные вне трапеции. Диагонали трапеции пересекаются в точке Т.
А) Докажите, что центры квадратов и точка Т лежат на одной прямой.
Б) Найдите длину отрезка RN, если AD=8, BC=3, а TN=20.
Ответ: 27,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) 1) $$\angle KBL=\angle ADL=45$$ (угол между диагональю и стороной квадрата);

$$\angle HBT=\angle TDA$$ (накрест лежащие )$$\Rightarrow$$ $$\angle KBT=\angle TDL$$;

$$\angle BTK=\angle LTD$$ (вертикальные )$$\Rightarrow$$ $$\Delta KBT\sim \Delta TDL$$$$\Rightarrow$$ $$\angle BKT=\angle TLD$$

     2) из $$\angle KBT=\angle NDL\Rightarrow$$ $$BK\left | \right |LD$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BKT=\angle TLD$$, то они накрест лежащие $$\Rightarrow$$ $$KT\left | \right |TL$$ или $$K,T,L \in KL$$, но параллельны быть не могут (так как имеют общую точку) $$\Rightarrow$$ KL-секущая

     Б) 1) Аналогично п. A $$\Delta RCT \sim TAN$$ ($$\angle C=90$$; $$\angle BCD=\angle TAD$$ - накрест лежащие )$$\Rightarrow$$ $$AN\left | \right |RC$$; $$\angle TNA=\angle TRC$$$$\Rightarrow$$ $$R,T,N \in RN$$

     2) из подобия : $$\frac{AN}{RC}=\frac{NT}{TR}\Leftrightarrow$$ $$\frac{8}{3}=\frac{20}{x}\Rightarrow$$ $$x=\frac{3*20}{8}=7,5\Rightarrow$$ $$RN=27,5$$

 

Задание 7325

Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM. Окружность радиуса 5 проходит через вершину KB, касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A . Известно, что $$ML=9\sqrt{3}$$, $$KA:LB=5:6$$ 

А) Найдите угол K треугольника KLM
Б) Найдите площадь треугольника  KLM
Ответ: А) 60 Б)$$\frac{405\sqrt{3}}{16}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) 1) Пусть KC пересекает окружность в C.

     2) По свойству хорды и секущей $$\angle ABL=\angle AKB$$; $$\angle BKC=\angle CAB$$; т.к. KB – биссектриса, то $$\angle AKB=\angle BKC \Rightarrow$$ $$\angle ABL=\angle BAC\Rightarrow$$ $$LM\left \| \right \|AC$$

     3) Пусть $$AK=5x$$ $$\Rightarrow$$ $$LB=6x$$, $$AL=y$$, тогда свойству секущей и хорды : $$AL*LK=LB^{2}\Rightarrow$$ $$y(y+5x)=(6x^{2})\Rightarrow$$ $$y^{2}+5xy-36y^{2}\Rightarrow$$ $$D=(5x)^{2}+4*36x^{2}=(13x)^{2}\Rightarrow$$ $$y_{1}=4x , y_{2}<0$$

     4) $$\frac{AK}{AL}=\frac{5}{4}\Rightarrow$$ $$\frac{AK}{KL}=\frac{5}{9}=\frac{AC}{LM}\Rightarrow$$ $$AC=\frac{5}{9} *9\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$

     5) из $$\Delta AKC$$: $$\frac{AC}{\sin \angle AKC}=2 R$$ , $$R =5\Rightarrow$$ $$\sin \angle AKC=\frac{5\sqrt{3}}{2*5}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$$ $$\angle AKC=60$$ или 120 (120 не может, т.к. $$\frac{AK}{AL}$$ должно быть тогда < 1)

Б) 1) Пусть $$KC=5t\Rightarrow$$ $$CM=4t\Rightarrow$$ по свойству биссектрисы $$BM=6t\Rightarrow$$ $$ML=6(x+t)=9\sqrt{3}\Rightarrow$$ $$x+t=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

     2) из $$\Delta KLM$$: $$LM^{2}=LK^{2}+KM^{2}-2 LM*KM*\cos LKM\Leftrightarrow$$ $$(6(x+t))^{2}=81x^{2}+81t^{2}-81xt\Leftrightarrow$$ $$36x^{2}+36t^{2}+72xt=81x^\Leftrightarrow$$ $$2+81t^{2}-81xt\Leftrightarrow$$ $$5x^{2}+5t^{2}-17 xt=0\Leftrightarrow$$ $$5(x+t)^{2}=27xt\Leftrightarrow$$ $$5(\frac{3\sqrt{3}}{2})^{2}=27xt\Leftrightarrow$$ $$xt=\frac{5}{4}$$

     3) $$S_{LKM}=\frac{1}{2} LK*KM*\sin LKM\Rightarrow$$ $$S_{LKM}=\frac{1}{2}*9x*9t*\frac{\sqrt{3}}{2}=$$$$\frac{81xt\sqrt{3}}{4}=\frac{405\sqrt{3}}{16}$$

 

Задание 7516

В трапеции ABCD с меньшим основанием ВС и площадью, равной 2, прямые ВС и AD касаются окружности диаметром $$\sqrt{2}$$ в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции АВ и CD пересекают окружность в точках М и N соответственно. Длина MN равна 1.

   А) Найдите величину угла MBN
   Б) Найдите длину основания AD
Ответ: а) $$135^{\circ}$$; б) $$\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9682

В пятиугольнике А1А2А3А4А5 площади всех треугольников А1А2А3, А2А3А4, А3А4А5, А4А5А1, А5А1А2 равны 1.

а) Докажите, что А1А2||A3A5
б) Найдите площадь пятиугольника А1А2А3А4А5
Ответ: $$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9878

Квадраты ABCD и A1B1C1D1 (вершины названы по часовой стрелке) совпадают вершинами С и В1. Точки О и О1 – центры квадратов.

а) Докажите, что прямая ОО1 пересекает отрезки А1В и С1D под одинаковыми углами.
б) Найдите ОО1, если $$A_{1}B+C_{1}D=12\sqrt{2}$$
Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10098

Два одинаковых правильных треугольника АВС и CDE расположены на плоскости так, что имеют только одну общую точку С, и угол BCD меньше, чем $$\frac{\pi}{3}$$. Точка К – середина отрезка АС, точка L – середина отрезка СЕ, точка М – середина отрезка BD.

а) Докажите, что треугольник KLM ‐ равносторонний
б) Найдите длину отрезка BD, если площадь треугольника KLM равна $$\frac{\sqrt{3}}{5}$$, а сторона треугольника АВС равна 1.
Ответ: $$\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$$
 

Задание 10170

Биссектриса острого угла А трапеции ABCD пересекает боковую сторону CD в точке Т, а продолжение основания ВС трапеции в точке К так, что ABKD – параллелограмм и TD:TC=4:1

а) Докажите, что АК$$\perp$$BD
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если ее сторона AB=8 и $$\angle B=120^{\circ}$$
Ответ: $$28\sqrt{3}$$
 

Задание 10289

В трапеции ABCD (AD – нижнее основание) площади треугольников ABD и BDC равны соответственно 12 и 4, а точка G является серединой BD. Ниже прямой AD выбрана точка Е, АЕ=BD, а на отрезке ЕС выбрана точка F такая, что CF в 4 раза короче СЕ.

А) Докажите, что $$\angle BFG=90^{\circ}$$ 
Б) Найдите длину отрезка BD, если дополнительно известно, что $$\angle CFG=75^{\circ}, \angle BGC=15^{\circ}, $$
Ответ: 8
 

Задание 10443

На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая MQ пересекает гипотенузу KL в точке N.

а) Докажите, что KN:NL=1:2
б) Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно MQ, пересекает отрезок LP в точке R. Найдите LR, ели KQ=9.
Ответ: Б) 2
 

Задание 10558

В выпуклом четырехугольнике ABCD точка Е - точка пересечения диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DCE равна 1.

а) Докажите, что ABCD - трапеция

б) Найдите ВС, если площадь всего четырехугольника не превосходит 4, и AD = 3.

Ответ: 3
 

Задание 10598

Биссектрисы углов С и D четырехугольника ABCD пересекаются в точке К. Диагональ BD разбивает отрезок КС в отношении 2:1, считая от вершины С. При этом площадь треугольника ACD в два раза больше площади треугольника AKD.

а) Докажите, что угол CKD прямой

б) Найдите ВК, если ВС=6

Ответ: 6
 

Задание 10638

Точка Е - середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки ВЕ и СК пересекаются в точке L.

а) Докажите, что EL - медиана треугольника КСЕ

б) Найдите отношение площади треугольника ВLC к площади четырехугольника AKCD, если площадь трапеции ABCD равна 100, а $$BC:AD=2:3$$.

Ответ: 2:21
 

Задание 10823

Хорды АС и BD пересекаются в точке Т. На хорде ВС отложен отрезок СР, равный AD. Точки Р и D равноудалены от хорды АС, а отрезок ТР перпендикулярен хорде ВС.

а) Докажите, что площади четырехугольников ABPD и APCD равны.

б) Найдите эти площади, если площадь треугольника ATD равна трем.

Ответ: 18
 

Задание 11422

На стороне АВ выпуклого четырехугольника АВCD выбрана точка М так, что $$\angle AMD$$=$$\angle ADB $$ и $$\angle ACM$$=$$\angle ABC $$. Утроенный квадрат отношения расстояния от точки А до прямой CD к расстоянию от точки С до прямой AD равен 2, СD=20.

а) Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
б) Найдите длину радиуса вписанной в треугольник АСD окружности.
Ответ: $$4\sqrt{10}-2\sqrt{15}$$
 

Задание 11469

На стороне АВ треугольника АВС взята точка Е, а на стороне ВС ‐ точка D так, что АЕ=2, CD=1. Прямые AD и СЕ пересекаются в точке О. Известно, что АВ=ВС=8, АС=6.

а) Докажите, что АО:АD=8:11
б) Найдите площадь четырехугольника BDOE
Ответ: $$\frac{189\sqrt{55}}{88}$$
 

Задание 11713

Дан АВС с тупым углом С и со стороной АВ=21. К прямым ВС и АС проведены высоты АН1и ВН2. Известно, что 17АН = 30R, 5ВН = 6R, где Н – точка пересечения прямых АН1и ВН2, R – радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

а) Докажите, что $$\sin \angle ACB=\frac{84}{85}$$
б) Найдите площадь треугольника АВС
Ответ: 84
 

Задание 14307

Диагонали $$AC$$ и $$CE$$ правильного шестиугольника $$ABCDEF$$ разделены точками $$M$$ и $$N$$ так, что $$AM:AC=CN:CE$$ и точки $$B$$, $$M$$ и $$N$$ лежат на одной прямой.

а) Докажите, что точки $$B$$, $$O$$, $$N$$ и $$D$$ лежат на одной окружности (точка $$O$$ – центр шестиугольника)
б) Найдите отношение $$AM:AC$$.
Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
 

Задание 14325

А) Докажите, что сумма углов $$A, B, C, D, E$$ в вершинах произвольной 5‐конечной звезды равна 180о (рис.1).
Б) Найдите площадь 5‐конечной звезды, вершины которой совпадают с пятью вершинами правильного шестиугольника, если известно, что сторона последнего равна 6 (рис. 2).

Ответ: $$21\sqrt{3}$$