Линейная, квадратичная и кубическая функции

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Коэффициент c всегда равен координате пересечения параболы оси $$Oy$$: $$c=-4$$Возьмём точку принадлежащую параболе $$(1:1)$$ подставим её координаты и значение $$c$$ в функцию, найдём $$b$$:

$$1=2\cdot1^2+b\cdot1-(-4)$$

$$b=3$$

Функция имеет вид:

$$f(x)=2x^2+3x-4$$

Найдём $$f(-5)$$:

$$f(-5)=2\cdot(-5)^2+3\cdot(-5)-4=50-15-4=31$$

Точки $$A(1;2)$$ и $$B(4;-4)$$ принадлежат графику функции. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 2=a+8+c\\ -4=16a+32+c \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} a+c=-6\\ -6=15a+24 \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} a=-2\\ c=-4 \end{matrix}\right.$$

$$f(x)=-2x^2+8x-4$$

$$f(6)=-72+48-4=-28$$

Учтём, что абсцисса вершины параболы для $$f(x): x_0=-\frac{-5}{2\cdot2}=1,25$$ - правая парабола.

Левая парабола пересекает $$Oy$$ в $$(0;-3),$$ значит, $$c=-3.$$

Точки $$A(1;1)$$ и $$B(-2;-5)$$ принадлежат $$g(x)=ax^2+bx+c.$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 1=a\cdot1^2+b\cdot1-3\\ -5=a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)-3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 4=a+b\\ -2=4a-2b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 4=a+b\\ -1=2a-b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=4-b\\ -1=8-2b-b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=3 \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$g(x)=x^2+3x-3$$

Тогда:

$$x^2+3x-3=2x^2-5x+4$$

$$x^2-8x+7=0$$

$$\left[\begin{matrix} x_1=1\Rightarrow y_1=1+3-3=1\\ x_2=7\Rightarrow y_2=49+21-3=67 \end{matrix}\right.$$

Абсцисса вершины для $$f(x): x_0=-\frac{(-2)}{(-2)\cdot2}=-\frac{1}{2}$$

Это правая парабола. 

$$g(x)\cap Oy$$ в точке $$(0;1),$$ значит $$c=1.$$

Точки $$A(-2;5)$$ и $$C(-4;1)$$ принадлежат $$g(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 5=a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+1\\ 1=a\cdot(-4)^2+b\cdot(-4)+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 4=4a-2b\\ 0=16a-4b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2=2a-b\\ 4a=b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2=2a-4a\\ b=4a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=-4 \end{matrix}\right.$$

Получили $$g(x)=-x^2-4x+1$$

Тогда:

$$-2x^2-2x+4=-x^2-4x+1$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$\left[\begin{matrix} x_1=3\\ x_2=-1 \end{matrix}\right.$$

Для того чтобы найти $$f(-18)$$ нам необходимо знать уравнение прямой, то есть значение коэффициентов k и b.

Прямая проходит через точки $$(3;-1)$$ и $$(-4;-3).$$ Подставим их координаты в уравнение прямой:

$$-1=3k+b$$ (1)

$$-3=-4k+b$$ (2)

Вычтем из (1) уравнения (2):

$$-1-(-3)=3k+b-(-4k+b)$$

Раскроем скобки:

$$-1+3=3k+b+4k- b$$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$$2=7k$$

Найдем k:

$$k=\frac{2}{7}$$

Найдем b из (1), подставив в него значение коэффициента $$k = \frac{2}{7}:$$

$$-1=3\cdot\frac{2}{7}+b$$

$$-1=\frac{6}{7}+b$$

$$b=-1-\frac{6}{7}$$

$$b=-\frac{13}{7}$$

Получим следующее уравнение прямой:

$$f(x)=\frac{2}{7}\cdot x-\frac{13}{7}$$

Найдем $$f(-18):$$

$$f(-18)=\frac{2}{7}\cdot(-18)-\frac{13}{7}$$

$$f(-18)=-\frac{36}{7}-\frac{13}{7}$$

$$f(-18)=-\frac{49}{7}$$

$$f(-18)=-7$$

Точки $$(3;-3)$$ и $$(-1;4)$$ принадлежат графику функции. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} -3=k\cdot3+b\\ 4=k\cdot(-1)+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -7=4k\\ b=4+k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} k=-\frac{7}{4}\\ b=\frac{9}{4} \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$f(x)=-\frac{7}{4}x+\frac{9}{4}$$

Тогда:

$$-\frac{7}{4}x+\frac{9}{4}=-20,5$$

$$-7x+9=-82$$

$$-7x=-91$$

$$x=13$$

Точки $$(0;5)$$ и $$(-2;-3)$$ принадлежат графику $$g(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 5=\alpha\cdot0+b\\ -3=\alpha\cdot(-2)+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=5\\ -3=-2\alpha+5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=5\\ \alpha=4 \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$g(x)=4x+5$$

Точки $$(0;5)$$ и $$(-2;-3)$$ принадлежат графику $$f(x).$$ Тогда:

$$-2=\frac{k}{-3}$$

$$k=6$$

Получили:

$$f(x)=\frac{6}{x}$$

Тогда:

$$4x+5=\frac{6}{x}\Rightarrow\left\{\begin{matrix} 4x^2+5x-6=0\\ x\neq0 \end{matrix}\right.$$

$$D=25+96=121$$

$$x_1=\frac{-5+11}{8}=0,75$$

$$x_2=\frac{-5-11}{8}=-2$$

Точки $$(4;-2)$$ и $$(-4;-5)$$ принадлежат графику $$g(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} -2=\alpha\cdot4+b\\ -5=\alpha\cdot(-4)+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -7=2b\\ a=\frac{-2-b}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-3,5\\ a=\frac{-2+3,5}{4}=\frac{3}{8} \end{matrix}\right.$$

Точка $$(4;-1)$$ принадлежит графику функции $$f(x).$$ Тогда:

$$-1=\frac{k}{4}\Leftrightarrow k=-4$$

Получили:

$$f(x)=-\frac{4}{x}$$

$$g(x)=\frac{3}{8}x-\frac{7}{2}$$

Тогда:

$$\frac{3}{8}x-\frac{7}{2}=-\frac{4}{x}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 3x^2-28x+32=0\\ x\neq0 \end{matrix}\right.$$

$$\frac{D}{4}=(14)^2-3\cdot32=100$$

$$x_1=\frac{14+10}{3}=8$$

$$x_2=\frac{14-10}{3}=\frac{4}{3}$$

Ордината $$B:$$

$$f(8)=-\frac{4}{8}=-0,5$$

$$f(x)$$ проходит через $$(-7;2)$$ и $$(-2;4).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 2=-7k+b\\ 4=-k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2=-2,8+b\\ 2=5k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=4,8\\ k=0,4 \end{matrix}\right.$$

Получили: $$f(x)=0,4x+4,8$$

Тогда: $$f(-10)=0,4\cdot(-10)+4,8=0,8$$

$$f(x)$$ проходит через $$(-2;4)$$ и $$(-7;2).$$

При этом изображено "положительное" раскрытие модуля, т. е. $$f(x)=kx+b,k\geq0.$$

Получим:

$$\left\{\begin{matrix} 4=-2k+b\\ 2=-7k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} k=0,4\\ b=4,8 \end{matrix}\right.$$

Получим:

$$f(x)=|0,4x+4,8|, тогда: f(-15)=|0,4\cdot(-15)+4,8|=|-1,2|=1,2.$$

Пусть $$f(x)=a(x-m)^2+n.$$ Вершина смещена относительно $$(0;0)$$ на 5 вправо $$\Rightarrow m=5$$ и на 2 вниз $$\Rightarrow n=-2.$$ Наклон параболы стандартный (соответствует $$y=x^2$$), значит $$a=1.$$ Получим $$f(x)=(x-5)^2-2.$$

Тогда $$f(-1)=(-1-5)^2-2=36-2=34$$

Правый график уже, значит модуль коэффициента при $$x^2$$ у него больше, т.е. это $$f(x).$$

$$g(x)$$ проходит через $$(0;3),$$ значит $$c=3$$ и через $$(-1;1)$$ и $$(1;3).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 1=a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+3\\ 3=a\cdot1^2+b\cdot1+3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -2=a-b\\ 0=a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2a=-2\\ 2b=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=1 \end{matrix}\right.$$

Получили $$g(x)=-x^2+x+3.$$ Тогда:

$$-2x^2+7x-2=-x^2+x+3\Rightarrow x^2-6x+5=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} x=1\\ x=5 \end{matrix}\right.$$

Тогда $$B_x=5$$