Уравнения смешанного типа

$$ \sqrt{1-\sin ^{2}x}=\sin x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{1-\sin ^{2}x}\geq 0\\ \sin x\geq 0\\\ 1-\sin ^{2}x=\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-\sin ^{2}x\geq 0\\ \sin x\geq 0\\\ 1-\sin ^{2}x=\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin ^2 x\leq 1\\ \sin x\geq 0\\\ 1=2\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin ^{2}x\leq 1\\ \sin x\geq 0\\\ \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\ x=\frac{\pi}{4}+2\pi n , n\in Z\\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n n\in Z\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\log_{2}\sin x\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x>0\\\cos^{2}x>0\\\sin x\neq1\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x\in(2\pi n;\pi+2\pi n)\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\frac{1}{\log_{\sin x}2}\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$ $$\frac{\log_{\sin x}\cos^{2}x}{\log_{\sin x}2}=-1$$ $$\log_{2}\cos^{2}x=-1$$ $$\cos^{2}x=\frac{1}{2}$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n\\x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.$$ $$n\in Z$$ С учетом ОДЗ: $$x_{1}=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$ $$x_{2}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$ б) $$4\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}$$ $$5\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{19\pi}{4}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

a)$$\sin ^{2}x+3x^{2}\cos x+3x^{2}=0\Leftrightarrow $$$$ 1-\cos ^{2}x+3x^{2}(\cos x+1)=0\Leftrightarrow $$$$(1-\cos x)(\cos x+1)+3x^{2}(\cos x+1)=0\Leftrightarrow $$$$(\cos x+1)(1-\cos x+3x^{2})=0 $$ Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0, то есть или $$\cos x+1 = 0 $$(1) , или $$(1-\cos x+3x^{2})=0 $$(2) 1) $$\cos x+1 = 0 \Leftrightarrow $$$$\cos x=-1 \Leftrightarrow $$$$ x=\pi + 2\pi*n, n \in Z$$ 2) Пусть $$f(x)=1-\cos x ; g(x)=-3x^{2}$$. Если построить данные графики, то видно, что они пересекаются только в точке x = 0. б) На представленном отрезке $$[-\frac{\pi }{2};\pi ]$$ первый корень принимает значения $$\pi$$, а так же второй корень входит в данный отрезок

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   А) Замена : $$(\frac{6}{5})^{\cos 3x}=y>0\Rightarrow$$ $$(\frac{5}{6})^{\cos 3x}=\frac{1}{y}$$

     $$y+\frac{1}{y}=2\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-2y+1}{y}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y-1)^{2}}{y}=0\Leftrightarrow$$ $$y-1=0\Leftrightarrow$$ $$y=1$$

     $$(\frac{6}{5})^{\cos 3x}=1\Leftrightarrow$$ $$\cos 3x=0 \Leftrightarrow$$ $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z \Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n }{3}, n \in Z$$

   Б) На заданном промежутке имеем единтвенный корень: $$4 \pi +\frac{\pi}{6}=\frac{25 \pi}{6}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   А) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}log_{\frac{1}{3}}(x+5)>0\\x+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+5<1\\x+5>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<-4\\x>-5\end{matrix}\right.$$

     Решение: $$\left\{\begin{matrix}\sin 2x-2 \cos x=0(1)\\\log_{2}(\log_{\frac{1}{2}}(x+5))=0(2)\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1): $$\sin 2x-2 \cos x=0\Leftrightarrow$$ $$2 \sin x\cos x-2 \cos x=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos x(\sin x-\cos x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z\\x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z$$

     С учетом ОДЗ : $$x=-\frac{3 \pi}{2}$$

     (2): $$\log_{2}(\log_{\frac{1}{3}}(x+5))=0\Leftrightarrow$$ $$\log_{\frac{1}{3}}(x+5)=1\Leftrightarrow$$ $$x+5=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$x=-4\frac{2}{3}$$

   Б) Из двух полученных корней на данном промежутке лежит только $$x=-4\frac{2}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     ОДЗ: $$1-\sin ^{2}x\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\sin^{2}x\leq 1\Leftrightarrow$$ $$x \in R$$

     $$\sqrt{1-\sin^{2}x}=\sqrt{\cos ^{2}x}=\left | \cos x \right |$$

     $$3*2^{\cos x+3 \left | \cos x \right |}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$

     1) Если $$\cos \geq 0$$, то $$3*2^{4 \cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0\Leftrightarrow$$$$3*4^{2 \cos x}+1*4^{\cos x}-34=0$$

   Пусть $$4^{\cos x}=t>0$$

   $$3t^{2}+11t-34=0$$

   $$D=121+408=529$$

   $$t_{1}=\frac{-11+23}{6}=2$$

   $$t_{2}=\frac{-11-23}{6}<0$$

   Тогда $$4^{\cos x}=2\Leftrightarrow$$ $$\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n , n \in Z$$

     2) Если $$\cos x <0$$, тогда : $$3*2^{-2 \cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$

  Пусть $$2^{2 \cos x}=t>0$$

   $$3*\frac{1}{t}+11t-34=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{11t^{2}-34t+3}{t}=0\Leftrightarrow$$ $$11t^{2}-34t+3=0$$

   $$D=1156-132=1024$$

   $$t_{1}=\frac{34+32}{22}=3$$

   $$t_{2}=\frac{34-32}{22}=\frac{1}{11}$$

     Тогда $$2^{2 \cos x}=3\Leftrightarrow$$ $$4^{\cos x}=3\Leftrightarrow$$ $$\cos x=log_{4}3>0\Rightarrow$$ не подходит

     $$2^{2 \cos x}=\frac{1}{11}\Leftrightarrow$$ $$4^{\cos x}=\frac{1}{11}\Leftrightarrow$$ $$\cos x=\log_{4}\frac{1}{11}<-1$$ - не подходит (так как $$\log_{4}\frac{1}{11}<\log_{4}\frac{1}{4}=-1$$) - решений нет

Б) На промежутке $$[-\frac{3 \pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$$

   $$\frac{\pi}{3}+2 \pi n , n \in Z: \frac{\pi}{3}$$

   $$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n ,n \in Z: -\frac{\pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А)   $$\sqrt{log_{\frac{1}{9}} ctg (\frac{2x}{9})}+\sqrt{log_{\frac{1}{9}}(\sin 4x)}=0$$$$\Leftrightarrow$$ Так как дана сумма квадратных корней, то она равна нулю только тогда, когда : $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{log_{\frac{1}{9}}ctg\frac{2x}{9}}=0\\\sqrt{log_{\frac{1}{9}}\sin 4x}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}log_{\frac{1}{9}}ctg\frac{2x}{9}=0\\log_{\frac{1}{9}}\sin 4x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}ctg \frac{2x}{9}=1\\\sin 4x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{2x}{9}=\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\\4x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k , k\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{9 \pi}{8}+ \frac{ 9\pi n}{2}, n \in Z\\x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=9(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}), n \in Z\\x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=9(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n }{2}), n \in Z$$

Б)   Рассмотрим двойное неравенство: $$\frac{3\pi}{2}\leq 9(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n }{2}) \leq 4\pi \Leftrightarrow$$$$\frac{1}{6}\leq \frac{1}{8}+\frac{n}{2}\leq \frac{4}{9}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{24}\leq \frac{n}{2}\leq \frac{23}{72}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{12}\leq n\leq \frac{23}{36} $$. Как видим, целых n не получили, следовательно, на данном промежутке корней нет

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

      A) Найдем ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}3 \left | \sin x \right |-\left | \cos x \right |>0\\\left | \cos x \right |>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3\left | tg x \right |-1>0\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left | tg x \right |>\frac{1}{3}\\\cos x \neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}tg x>\frac{1}{3}\\tg x<-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\\\cos x \neq 0\end{matrix}\right.$$

      Решение: $$\log_{2}(3\left | \sin x\right |-\left | \cos x \right |)+\log_{2}\left | \cos x \right |=0\Leftrightarrow$$$$\log_{2}((3\left | \sin x \right |-\left | \cos x \right |)\left | cos x \right |)=0\Leftrightarrow$$$$3\left | \sin x \cos x \right |-\cos ^{2}x=1\Leftrightarrow$$$$-\cos ^{2}x+3\left | \sin x*\cos x \right |=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\Leftrightarrow$$$$\left | \sin x \right |^{2}-3\left | \sin x \right |\left | \cos x \right |+2 \left | \cos x \right |^{2}=0|:\left | \cos x \right |^{2}\Leftrightarrow$$$$\left | tg x \right |^{2}-3\left | tg x \right |+2=0$$

      $$\left[\begin{matrix}\left | tg x \right |=2 \\\left | tg x \right |=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}tg x=\pm 2\\tg x= \pm 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm arctg 2+\pi n \\x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi k, n,k \in Z\end{matrix}\right.$$

      Б ) Найдем корни на заданном промежутке:

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

A)   ОДЗ: $$16x-7-4x^{2}>0\Leftrightarrow$$ $$4x^{2}-16x+7<0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0,5\\x<3,5\end{matrix}\right.$$

     Решение: разложим $$\cos 2\pi x=2 \cos^{2} \pi x-1$$; $$\sin^{2} \pi x=1-\cos^{2} \pi x$$. Тогда получим : $$\cos^{2}(\pi x)*\log_{3}(16x-7-4x^{2})=6 \cos^{2} \pi x-3+3-3 \cos^{2} \pi x\Leftrightarrow$$$$\cos^{2} (\pi x)(\log_{3}(16x-7-4x^{2})-3)=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix} \cos ^{2}(\pi x)=0(1)\\ \log_{3}(16x-7-4x^{2})=3 (2)\end{matrix}\right.$$

     (1): $$\cos ^{2}\pi x=0\Leftrightarrow$$ $$\cos \pi x=0\Leftrightarrow$$ $$\pi x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z$$$$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{1}{2}+n , n \in Z$$

     (2): $$\log_{3}(16x-7-4x^{2})=3\Leftrightarrow$$ $$16x-7-4x^{2}=27\Leftrightarrow$$ $$4x^{2}-16x+34=0\Leftrightarrow$$$$2x^{2}-8x+17=0\Leftrightarrow$$ $$x=\varnothing$$

     С учетом ОДЗ: $$0,5<\frac{1}{2}+n<3,5\Leftrightarrow$$ $$0<n<3 \Rightarrow$$ $$n=1; 2\Rightarrow$$ $$x=1,5; 2,5$$

Б)  На промежутке $$[\frac{\pi}{2}; \pi]$$ лежит только 2,5

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     A) $$4^{\cos ^{2} (x+\frac{\pi}{4})}=2*2^{\cos x }\Leftrightarrow$$ $$2 ^{2 \cos ^{2}(x+\frac{\pi}{4})}=2^{1+\cos x}\Leftrightarrow$$ $$2 \cos ^{2}(x+\frac{\pi}{4})= 1+\cos x\Leftrightarrow$$ $$2*\frac{1}{2}(1+\cos (2(x+\frac{\pi}{4})))=1+\cos x\Leftrightarrow$$ $$1+\cos(\frac{\pi}{2}+2x)=1+\cos x\Leftrightarrow$$ $$-\sin 2x-\cos x=0\Leftrightarrow$$ $$-2 \sin x \cos x-\cos x=0\Leftrightarrow$$ $$-\cos x(2 \sin x+1)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z\\x=-\frac{\pi}{6}+2 \pi k\\x=-\frac{5 \pi}{6}+2 \pi k , k \in Z\end{matrix}\right.$$

     Б) На отрезке $$[4 \pi ; \frac{11 \pi}{2}]$$:

$$\frac{\pi}{2}+\pi n$$ : $$4\pi+\frac{\pi}{2}=\frac{9 \pi}{2}$$; $$5 \pi+\frac{\pi}{2}=\frac{11 \pi}{2}$$

$$-\frac{5\pi}{6}+2 \pi n$$ : $$5 \pi+\frac{\pi}{6}=\frac{31 \pi}{6}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     A) $$3*2^{\cos x+3\sqrt{1-\sin ^{2}x}}+11 *2^{2 \cos x}-34=0\Leftrightarrow$$ $$3*2^{\cos x+3\sqrt{\cos ^{2}x}}+11*2^{2 \cos x}-34=0\Leftrightarrow$$ $$3*2^{\cos x+3\left | \cos ^{2}x \right |}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$

     1)  при $$\cos x\geq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$x \in [-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+2 \pi n], n \in Z$$: $$3*2^{4 \cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$

     Пусть $$2^{2 \cos x}=y>0$$, тогда $$3y^{2}+11y-34=0$$: $$D=121+408=529$$

   $$\left[\begin{matrix}y_{1}=\frac{-11+23}{6}=2\\y_{2}=\frac{-11-23}{6}<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2 ^{2 \cos x}=2\Leftrightarrow$$ $$2 \cos x=1\Leftrightarrow$$ $$\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n , n \in Z$$

     2) при $$\cos x<0$$: $$3*2^{\cos x-3 \cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0\Leftrightarrow$$$$3*2^{-2\cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$

Пусть $$2^{2 \cos x}=y>0$$ , тогда $$\frac{3}{y}+11*y-34=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{11y^{2}-34y+3}{y}=0\Leftrightarrow$$ $$11y^{2}-34y+3=0$$

$$D=1156-132=1024$$

$$\left[\begin{matrix}y_{1}=\frac{34+32}{22}=3\\y_{2}=\frac{34-32}{22}=\frac{1}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}2^{2 \cos x}=3\\2 ^{2 \cos x}=\frac{1}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}4^{\cos x}=3\\4^{\cos x}=\frac{1}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=\log_{4}3>0\Rightarrow \varnothing\\\cos x=\log_{4}\frac{1}{11}<-1\Rightarrow \varnothing & &\end{matrix}\right.$$

Б) На промежутке  $$[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]$$:

$$\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$\frac{\pi}{3};\frac{7\pi}{3}$$

$$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А)     Учтем, что: $$\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{3x}{2}=$$$$2\sin \frac{\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}}{2}\cos \frac{\frac{x}{2}-\frac{3x}{2}}{2}=$$$$2 \sin x \cos x$$

     Выразим: $$2 \sin x cos \frac{x}{2}=$$$$\sin (-x)\Leftrightarrow$$ $$2 \sin x \cos \frac{x}{2}+\sin x=0\Rightarrow$$ $$\sin x(2\cos \frac{x}{2}+1)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\2 \cos \frac{x}{2}+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\\cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n , n \in Z\\\frac{x}{2}=\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi k,k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n,n\in Z\\x=\pm \frac{4 \pi}{3}+4 \pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\sin (-x)>0\\\sin (-x)\neq 1\\2 \sin x \cos \frac{x}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x <0\\\sin x \neq -1\\\sin x \cos \frac{x}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in (-\pi +2 \pi n , 2 \pi n) (2)\\x \neq -\frac{\pi}{2}+2 \pi n \\\sin x \cos \frac{x}{2}>0 (1)\end{matrix}\right.$$

     С учетом (2) $$x =\pi n$$ не подходит, $$x=-\frac{4 \pi}{3} +4 \pi n$$ не подходит. Подставим $$x= \frac{4 \pi}{3} + 4 \pi k$$ в (1) : $$\sin (\frac{4 \pi}{3})\cos \frac{\frac{4\pi}{3}}{2}=$$$$-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \frac{ \pi}{3}=$$$$-\frac{\sqrt{3}}{2}*(-\frac{1}{2})>0$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{4 \pi}{3}+2 \pi k, k \in Z$$-корень

Б)      На промежутке $$[-2 \pi ; 2 \pi]$$: $$-2 \pi\leq \frac{4 \pi}{3}+2 pi k \leq 2 \pi\Leftrightarrow$$ $$-\frac{20 \pi}{3}\leq 4 \pi\leq k\leq \frac{2 \pi}{3}\Leftrightarrow$$ $$-\frac{10}{12}\leq k\leq \frac{1}{6}\Rightarrow$$ $$k=0\Rightarrow$$ $$\frac{4 \pi}{3}+0*\pi =\frac{4 \pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

A) $$4^{\cos 2x}-\frac{1}{2}\cdot 16^{\sin^{2}x}=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4^{1-2\sin^{2}x}-\frac{1}{2}(4^{2})^{\sin^{2}x}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$4^{\frac{4}{2\sin^{2}x}}-\frac{1}{2}\cdot4^{2\sin^{2}x}=1$$. Замена: $$4^{2\sin^{2}x}=y>0$$

Решение: $$\frac{4}{y}-\frac{y}{2}=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{8-y^{2}-2y}{2y}=0|\cdot(-2y)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+2y-8=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}y_{1}+y_{2}=-2&\\y_{1}\cdot y_{2}=-8&\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}y_{1}=-4<0&\\y_{2}=2&\end{bmatrix}$$ 

Обратная замена: $$4^{2\sin^{2}x}=2$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2^{4\sin^{2}x}=2$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin^{2}x=\frac{1}{4}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin x=\pm\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k,k\in Z$$

Б) Отметим на единичной окружности полученные корни и найдем их значения на $$[0;\frac{3\pi}{2}]$$: 

1) $$0+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$$;

2) $$\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$$;

3) $$\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$$;

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А) $$(32^{\cos x})^{\sin x}=4\sqrt{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(2^{5})^{\sin x\cos x}=2^{2}\cdot2^{\frac{1}{2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2^{5\sin x\cos x}=2^{\frac{5}{2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$10\sin x\cos x=5$$ $$\Leftrightarrow$$ $$5\sin2x=5$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin2x=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z$$; $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z$$

Б) С помощью тригонометричексой окружности найдем корни: $$-4\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{15\pi}{4}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}3-4\cos^{2}x>0&\\3-4\cos^{2}x\neq1&\\9-16\cos^{4}x>0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos^{2}x<\frac{3}{4}&\\\cos^{2}x\neq1&\\\cos^{4}x<\frac{9}{16}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x\in(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})&\\\cos x\neq\pm1&\\\cos^{2}x\in(-\frac{3}{4};\frac{3}{4})&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;-\frac{\pi}{6}+2\pi n)\cup(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n)$$

Решение: $$\log_{3-4\cos^{2}x}(3-4\cos^{2}x)(3+4\cos^{2}x)=2+\log_{3-4\cos^{2}x}2$$

$$1+\log_{3-4\cos^{2}x}(3+4\cos^{2}x)=2+\log_{3-4\cos^{2}x}2$$

$$\log_{3-4\cos^{2}x}(3+4\cos^{2}x)=\log_{3-4\cos^{2}x}(3-4\cos^{2}x)+\log_{3-4\cos^{2}x}2$$

$$3+4\cos^{2}x=6-8\cos^{2}x$$

$$12\cos^{2}x=3$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos^{2}x=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos x=\pm\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$

Б) С помощью тригономентрической окружности найдем корни на данном отрезке: $$\frac{\pi}{3}+\pi n$$: $$\frac{\pi}{3}$$; $$-\frac{\pi}{3}+\pi n$$: $$-\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!