Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C1) Уравнения

Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

 

Задание 2498

Дано уравнение: $$\frac{2}{\cos (\pi -x)}-\tan ^{2}x=1$$

А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнение, принадлежащие отрезку $$\left [ -3\pi; -\frac{3\pi}{2} \right ]$$
Ответ: а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k(k\in Z)$$; б)$$-\frac{8\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) $$\frac{2}{\cos(\pi-x)}-\tan^{2}x=1$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos(\pi -x)\neq0\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi k(k\in Z)\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\cos x\neq0\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi k(k\in Z)\end{matrix}\right.$$ $$\frac{2}{-\cos x}=1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$$ $$\frac{1}{\cos x}=y^{2}$$ $$-2y=y^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+2y=0$$ $$y(y+2)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}y=0\\y=-2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\cos x}=0\\\frac{1}{\cos x}=-2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow\cos x=-\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k(k\in Z)$$

б)

$$-3\pi +\frac{\pi}{3}=-\frac{8\pi}{3}$$

 

Задание 3034

а) Решите уравнение $$(2\sin^{2}x-3\sin x+1)\sqrt{\tan x}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$$

Ответ: а) $$\frac{\pi}{6}+2\pi k$$ $$\pi k, k\in Z$$; б) $$2\pi; \frac{13\pi}{6}; 3\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(2\sin^{2}x-3\sin x+1)\sqrt{\tan x}=0$$ $$\tan x\geq 0$$ $$\Rightarrow x\in [\pi n; \frac{\pi}{2}+\pi n]$$ $$n\in Z $$ $$\left\{\begin{matrix}(2\sin^{2}x-3\sin x+1)=0\\\tan x=0\end{matrix}\right.$$ $$x=\pi k, k\in Z$$ $$D=9-8=1$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x=\frac{3+1}{4}=1\\\sin x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\\x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\end{matrix}\right.$$ 1 и 2 $$\notin$$ ОДЗ

 

Задание 3329

а) Решите уравнение $$\frac{\sin^{2} x +2\sin x}{1-\cos x}=2(1+\cos x)$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left [ -\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right ]$$
Ответ: a) $$\pi +2\pi n, n\in Z$$ ; б)$$\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3376

а) Решите уравнение $$\frac{25\sin2x-24x}{3\tan x-4}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}]$$

Ответ: a) $$\frac{\arcsin\frac{24}{25}}{2}+\pi n$$; $$n\in Z$$ б) $$\frac{\arcsin\frac{24}{25}}{2}$$; $$\pi+\frac{\arcsin\frac{24}{25}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$3\tan x-4\neq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\tan x\neq\frac{4}{3}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\neq\arctan\frac{4}{3}+\pi n$$, $$n\in Z$$ Если $$\tan x\neq\frac{4}{3}$$, то $$\sin x\neq\frac{4}{5}$$; $$\cos x\neq\frac{3}{5}$$ или $$\sin x\neq-\frac{4}{5}$$; $$\cos x\neq-\frac{3}{5}$$ $$25\sin2x-2=0$$ $$\sin2x=\frac{24}{25}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\arcsin\frac{24}{25}}{2}+\pi n\\x=\frac{\pi}{2}-\frac{\arcsin\frac{24}{25}}{2}+\pi n\end{matrix}\right.$$ $$n\in Z$$ $$\sin2x=2\sin x\cos x=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$$ Имеем совпадение, нужно сравнивать с ОДЗ

 

Задание 4017

а) Решите уравнение: $$\frac{2-3\sin x-\cos2x}{6x^{2}-\pi x-\pi^{2}}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]$$
Ответ: a) $$(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,n\in Z$$; $$\frac{\pi}{2}+2\pi k,k\in Z(k\neq0)$$; б) $$\frac{\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\frac{2-3\sin x-\cos2x}{6x^{2}-\pi x-\pi^{2}}=0$$

ОДЗ: $$6x^{2}-\pi x-\pi^{2}\neq0$$

$$D=\pi^{2}+24\pi^{2}=25\pi^{2}$$

$$x_{1}\neq\frac{\pi+5\pi}{12}=\frac{\pi}{2}$$

$$x_{2}\neq\frac{\pi-5\pi}{12}=-\frac{\pi}{3}$$

$$2-3\sin x-\cos2x=0$$

$$2-3\sin x-1+2\sin^{2}x=0$$

$$D=9-8=1$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=\frac{3+1}{4}=1\\\sin x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$

$$\sin x=1$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z,n\neq0$$

$$sin x=\frac{1}{2}$$

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$

$$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$

 

Задание 4067

а)Решите уравнение $$\frac{2\sin^{2} x-\sin x}{2\cos x +\sqrt{3}}=0$$
б)Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ:

Задание 4069

Ре­ши­те урав­не­ние $$\frac{4\cos^{2} x+8\sin x -7}{\sqrt{-\tan x}}=0$$

Ответ:

Задание 4070

Решите уравнение $$\frac{(\sin x -1)(2\cos x +1)}{\sqrt{\tan x}}=0$$

Ответ:

Задание 4071

Решите уравнение $$\frac{\sin 2x - 2\cos^{2} x}{\sqrt{\sin x}}=0$$

Ответ:

Задание 4072

Решите уравнение $$(\sin 2x +\cos x)(\sqrt{3}+\sqrt{3\tan x})=0$$

Ответ:

Задание 4073

Решите уравнение $$\frac{2\cos^{2} x-5\sin x +1}{2\sin x - \sqrt{3}}=0$$

Ответ:

Задание 4074

Решите уравнение $$(\sin 2x -\sin x)(\sqrt{2}+\sqrt{-2\tan x})=0$$

Ответ:

Задание 4075

Решите уравнение $$\sqrt{\sin x \cos x}(\frac{1}{\tan 2x}+1)=0$$

Ответ:

Задание 4076

а) Решите уравнение $$\frac{5\tan x -12}{13\cos x - 5}=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[4\pi;\frac{11\pi}{2}]$$

Ответ:

Задание 4077

Решите уравнение: $$(\cos x - 1)(\tan x + \sqrt{3})\sqrt{\cos x}=0$$

Ответ:

Задание 4078

Решите уравнение $$\frac{2\cos^{2} x-2\cos x \cos 2x -1}{\sqrt{\sin x}}=0$$

Ответ:

Задание 4079

Решите уравнение $$\frac{26\cos^{2} x-23\cos x +5}{13\sin x -12}=0$$

Ответ:

Задание 4080

а) Решите уравнение $$7\tan^{2} x - \frac{1}{\cos x}+1=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\frac{5\pi}{2};-\pi]$$

Ответ:

Задание 4081

а) Решите уравнение $$\frac{1}{\tan^{2} x} - \frac{1}{\sin x} -1 =0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}]$$

Ответ:
 

Задание 5008

Дано уравнение $$\sqrt{\sin2x}=\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt{\cos x}$$ 

А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};0]$$
Ответ: a) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n,n\in Z$$; б) $${-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\sin2x\geq0\\\cos x\geq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\pi n\leq2x\leq\pi+2\pi n\\-\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\pi n\leq x\leq\frac{\pi}{2}+\pi n\\-\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.$$

$$x\in[2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n]\cup{-\frac{\pi}{2}+2\pi n},n\in Z$$

$$\sin2x=\sqrt{2}\cos x$$; $$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0$$; $$\sqrt{2}\cos x(\sqrt{2}-1)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n\\x=(-1)^{n}\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$ 

С учетом ОДЗ: $$\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n,n\in Z$$

б) $${-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}}$$

 

Задание 5240

Дано уравнение $$\frac{1}{\cos2x\cdot\cos x}=\frac{1}{\sin2x\cdot\sin x}$$

А) Решите уравнение.  
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$$
Ответ: а)$$(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n; (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$ б)$$-\frac{11\pi}{6};-\frac{7\pi}{6};-\frac{5\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)     $$\frac{1}{\cos 2x *\cos x}=\frac{1}{\sin 2x*\sin x}$$

Найдем область определения:

$$\left\{\begin{matrix}\cos 2x\neq 0 \\\cos x \neq 0 \\\sin 2x \neq 0 \\\sin x \neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x \neq \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \\x \neq \frac{\pi}{2}+\pi n \\x \neq \frac{\pi n }{2} \\x \neq \pi n \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \neq \frac{\pi n}{4}, n \in Z$$

$$\cos 2x*\cos x=\sin 2x*\sin x\Leftrightarrow$$$$(\cos^{2}x-\sin^{2}x)\cos x-2 \sin x\cos x\sin x=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{3}x-\sin^{2}x\cos x-2 \sin^{2}x \cos x=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{3}x-3\sin^{2}x \cos x=0\Leftrightarrow$$$$\cos x(\cos^{2}x-3 \sin ^{2}x)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0 \\1-\sin^{2}x-3 \sin^{2}x=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z \notin (1) \\\sin ^{2}x=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\sin x=\pm \frac{1}{2}\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n, n \in Z \\x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n, n \in Z \end{matrix}\right.$$

Б)     Начертим единичную окружность, отметим заданный промежуток и полученные корни.

Видим, что в заданный промежуток попали:

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n$$:$$-2\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{11\pi}{6}$$

$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$:$$-\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6}$$

$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$:$$-\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{5\pi}{6}$$

 

Задание 6087

а) Решите уравнение $$(1+tg^{2} x)\cos(\frac{\pi}{2}+2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$ 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\pi]$$

Ответ: a)$$-\frac{\pi }{6}+\pi *n, n\in Z$$ б)$$-\frac{7\pi }{6};-\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а)$$(1+tg^{2}x)*\cos(\frac{\pi }{2}+2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Найдем ограничения по х:

$$\cos x\neq 0\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{2}+\pi *n, n\in Z$$

Учтем, что $$1+tg^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$$ и $$\cos(\frac{\pi }{2}+2x)=-\sin 2x$$

$$\frac{1}{\cos^{2}x}*(-\sin 2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$$\frac{-2*\sin x*\cos x}{cos^{2}x}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$ $$-tgx=\frac{1}{3}$$

$$tg x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$x=-\frac{\pi }{6}+\pi *n, n\in Z$$

б)Отметим полученные корни в общем виде на окружности, а так же интервал, данный по условию (он включает в себя полностью всю окружность (синий цвет) и сектор во второй четверти (красный цвет))

Найдем корни, которые попадут в данный промежуток:

$$-\pi -\frac{\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}$$

$$0-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$$

$$\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}.$$

 

Задание 6134

а) Решите уравнение $$\frac{4\cos x-5}{2\cos x-1}+\frac{1}{2\cos^{2} x-\cos x}=2$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}]$$
Ответ: а)$$\pm \arccos\frac{1}{3}+2\pi n, n\in Z$$ б)$$-4\pi+\arccos \frac{1}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) $$\frac{4 \cos x-5}{2 \cos x -1}+\frac{1}{2 cos^{2}x-\cos x}=2|*(2 \cos^{2} x-\cos x)$$

Найдем ограничение по y:

$$\left\{\begin{matrix}2 \cos x-1\neq 0 \\2 \cos^{2} x-\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\cos \neq \frac{1}{2} \\\cos x(2 \cos x-1)\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\cos x\neq \frac{1}{2}\\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x\neq \pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\\x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$

$$(4 \cos x-5) \cos x+1=2(2 \cos^{2 }x -\cos x)$$

$$4 \cos^{2}x -5 \cos x+1-4 \cos^{2}x+2 \cos x=0$$

$$-3 \cos x+1=0$$

$$\cos x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$$$x\pm \arccos\frac{1}{3}+2\pi n, n\in Z$$

б) Отметим полученные корни, заданный промежуток на единичной окружности:

Как видим один корень попадает в заданный промежуток. Найдем его частный случай: $$-4\pi+\arccos \frac{1}{3}$$

 

Задание 6229

а) Решите уравнение $$\frac{ctg x -tg x}{3 \sin x +\cos 2x}=ctg 2x$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};0]$$

Ответ: а)$$(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+2\pi*n;\frac{\pi*n}{4}$$ б)$$-\frac{7\pi}{6};-\frac{5\pi}{4};-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) $$\frac{ctg x -tg x}{3 \sin x +\cos 2x}=ctg 2x$$

Область определения D(f): $$\left\{\begin{matrix}3 \sin x+\cos 2x\neq 0 \\\sin x \neq 0 \\\cos x\neq 0 \\\sin 2x\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1-2\sin ^{2}x+3 \sin x\neq 0 (1)\\x\neq \frac{\pi n }{2} n\in Z\end{matrix}\right.$$

(1)$$2 \sin^{2}x -3 \sin x-1\neq 0$$

$$D=9+8=17$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x \neq\frac{3+\sqrt{17}}{4} \\\sin x \neq \frac{3-\sqrt{17}}{4} \end{matrix}\right.$$

Решим данное уравнение:

$$\frac{\frac{\cos x }{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{1+3 \sin x-2 \sin^{2}x}=\frac{\cos ^{2}x-\sin^{2}x}{2\sin x *\cos x}$$

$$\frac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin x \cos x(1+3\sin x-2 \sin ^{2})}=\frac{\cos ^{2}x-\sin^{2}x}{2 \sin x \cos x}$$

$$\frac{\cos 2x}{\sin 2x}(\frac{1}{1+3 \sin x-2 \sin ^{2}}-\frac{1}{2})=0$$

$$\left\{\begin{matrix}ctg 2x=0 \\1+3 \sin x-2 \sin^{2}x -2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z \\2 \sin^{2} x-3 \sin x+1=0(2) \end{matrix}\right.$$

(2)$$2 \sin^{2}x -3 \sin x+1= 0$$

$$D=9+8=1$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x =\frac{3+1}{4}=1 \notin D(f) \\\sin x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$

     Б) Найдем данный промежуток на единичной окружности (розовым выделен) и отметим общий вид корней. Найдем корни, которые попали на жанный промежуток:

     1)Найдем корни вида $$(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+2\pi*n(2)$$ : $$-\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6}$$

     2) Найдем корни вида $$\frac{\pi*n}{4}$$:

$$(2)-\pi-\frac{\pi}{4}=-\frac{5\pi}{4}$$ ; 

$$(3)-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}$$ ; 

$$(4)0-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}$$

 

Задание 6277

а) Решите уравнение $$\sqrt{4+3\cos x-\cos 2x}=\sqrt{6}\sin x$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$$
Ответ: а)$$-arccos\frac{1}{4}+2 \pi n ; -\pi+2 \pi k, n,k\in Z$$ б)$$-3 \pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)     Найдем область определения D(f):

$$\left\{\begin{matrix}4+3 \cos x-\cos 2x\geq 0(1) & & \\\sin x\geq 0(2) & &\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим первое неравенство системы $$(1): 2 \cos ^{2}x-1-3 \cos x-4\leq 0$$

$$2 \cos ^{2}x-3 \cos x-5\leq 0$$

$$D=9+40=49$$

$$\cos x=\frac{3+7}{4}=2,5$$

$$\cos x=\frac{3-7}{4}=-1$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x\geq -1\\\cos x\leq 2,5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in R$$

     Рассмотрим второе неравенство системы $$(2): \sin x\geq 0 \Leftrightarrow x\in [2\pi n, \pi+2\pi n], n \in Z$$

     Решим данное уравнение:

$$5+3 \cos x-2 \cos^{2}x=6\sin ^{2}x=6-6 \cos ^{2}$$

$$4 \cos ^{2}+3 \cos x-1=0$$

$$D=9+16=25$$

$$\left[\begin{matrix}\cos x=\frac{-3+5}{8}=\frac{1}{4}\\\cos x=\frac{-3-5}{8}=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=arccos \frac{1}{4}+2\pi n\\x=-arccos\frac{1}{4}+2 \pi n \notin D(f)\\x=-\pi+2 \pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$

Б)     Найдем корни на заданном промежутке

Как видим корень (1) не попадает в заданный промежуток а корень (3) попадает. Найдем его: $$-\frac{7\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=-3\pi.$$

 

Задание 6325

а) Решите уравнение $$\frac{3+\cos 4x -8\cos^{4} x}{4(\cos x +\sin x)}=\frac{1}{\sin x}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5;2]
Ответ: А)$$\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z$$ Б)$$\frac{3\pi}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А)   $$\frac{2+\cos 4x-8\cos^{4}x }{4(\cos x+\sin x)}=\frac{1}{\sin x}$$

     Область определения D: $$\left\{\begin{matrix}\cos x+\sin x \neq 0\\\ \sin x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}tg x\neq -1\\x\neq \pi n , n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix} x\neq -\frac{\pi}{4}+\pi n\\x\neq \pi n\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим числитель первой дроби:

$$\cos 4x=2 \cos^{2}2x-1=$$$$2(2 \cos ^{2}x-1)^{2}-1=2(4\cos ^{4}x-4\cos ^{2}x+1)=$$$$8\cos^{4}x-8 \cos ^{2}x+1=$$$$3+8\cos^{4}x-8 \cos ^{2}x+1-8\cos ^{4}x=4-8\cos ^{2}x$$

     Выполним преобразования:

$$\frac{4(1-2\cos^{2}x)}{4(\cos x+\sin x)}=\frac{1}{\sin x}\Leftrightarrow$$$$\frac{1-2 \cos ^{2}x}{\cos x+\sin x}=\frac{1}{\sin x}\Leftrightarrow$$$$\sin x-2 \cos^{2}x*\sin x=\cos x+\sin x\Leftrightarrow$$$$\cos x+2 \cos^{2}x \sin x=0\Leftrightarrow$$$$\cos x(1+2\cos x \sin x)=0\Leftrightarrow$$

     Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 

$$\left[\begin{matrix}\cos x=0\\1+\sin 2x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n\\2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n\\x=-\frac{\pi}{4}+\pi n\notin D\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни, принадлежащие данному промежутку: $$\pi\approx 3,14\Rightarrow$$ $$\frac{\pi}{2}\approx 1,57$$. Тогда $$\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3 \pi}{2}\in [2 ;5]$$

 

Задание 6372

а) Решите уравнение $$\frac{2\cos x -3}{2\cos x -1}+\frac{1}{2\cos^{2} x -\cos x}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}]$$
Ответ: a)$$2\pi n$$б)$$-4\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)   Область определения D(x):

$$\left\{\begin{matrix}2\cos x-1\neq 0\\2 \cos ^{2}x-\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{1}{2}\\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.$$

$$\frac{2\cos x-3}{2\cos x-1}+\frac{1}{\cos x(2 \cos x-1)}=0$$

     Приведем к общему знаменателю и приравняем числитель к нулю:

$$2 \cos^{2}x-3\cos x+1=0$$

     Пусть $$\cos x=t \in [-1 ;1]$$

$$2t^{2}-3t+1=0$$

$$D=9-8=1$$

$$t_{1}=\frac{3+1}{4}=1$$

$$t_{2}=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$$

     Тогда : $$\left\{\begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2\pi n , n \in Z\\\notin D(x)\end{matrix}\right.$$

Б)   На данном промежутке при n=-2 получаем $$x=-4\pi$$

 

Задание 6419

а) Решите уравнение $$\sin^{2} 2x+\sin^{2} 4x=1-\frac{\cos 2x}{\cos 3x}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{3};\pi]$$
Ответ: А)$$\frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}$$ Б) $$0;\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\cos 3x\neq 0\Leftrightarrow$$ $$3x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,n \in Z\Leftrightarrow$$$$x\neq \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}, n\in Z$$

     Рассмотрим левую часть уравнения:

$$\sin^{2}2x+\sin ^{2}4x=$$$$\sin^{2}2x+ (2\sin 2x\cos 2x)^{2}=$$$$\sin^{2}2x(1+4\cos^{2}2x)=$$$$(1-\cos ^{2}2x)(1+4\cos ^{2}2x)=$$$$1+3\cos ^{2}2x-4 \cos^{4}2x$$

     Подставим полученное выражение в уравнение:

$$1+3\cos^{2}2x-4\cos^{4}2x=1-\frac{\cos 2x}{\cos 3x}\Leftrightarrow$$$$4\cos ^{4}2x-3\cos ^{2}2x=\frac{\cos 2x}{\cos 3x}\Leftrightarrow$$$$\cos 2x(4\cos^{3}2x-3 \cos 2x)=\frac{\cos 2x}{\cos 3x}\Leftrightarrow$$$$\cos 2x*\cos 6x-\frac{\cos 2x}{\cos 3x}=0\Leftrightarrow$$$$\cos 2x(\cos 6x-\frac{1}{\cos 3x})=0$$

     Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0:

$$\left[\begin{matrix}\cos 2x=0\\\cos 6x-\frac{1}{\cos 3x}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n }{2}\\(-1+2\cos^{2}3x)-\frac{1}{\cos 3x}=0(2)\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим уравнение (2):$$2\cos ^{2}3x-1-\frac{1}{\cos 3x}=0$$, пусть $$\cos 3x=y$$, тогда: $$\frac{2y^{3}-y-1}{y}=0\Leftrightarrow$$$$(y-1)(2y^{2}+2y+1)=0$$. Так как вторая скобка всегда положительна, то: $$y=1\Leftrightarrow$$$$\cos 3x=1\Leftrightarrow 3x=2\pi n \Leftrightarrow x=\frac{2\pi n }{3}, n \in Z$$

   Б) Отметим полученные корни и промежуток на единичной окружности, найдем корни:

Для $$\frac{2\pi n}{3}$$ (красный цвет): $$0;\frac{2\pi}{3}$$

Для $$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}$$ (синий цвет): $$-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}$$

 

Задание 6474

А) Решите уравнение $$\frac{\cos 2x -\cos 4x -4\sin 3x -2\sin x+4}{2\sin x -1}=0$$

Б) Найдите корни, принадлежащие промежутку $$[-\pi; \frac{3\pi}{2})$$

Ответ: А) $${-\frac{\pi}{2}+2\pi k | k\in Z}$$ Б) $${-\frac{\pi}{2}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) $$\frac{\cos 2x-\cos 4x-4\sin 3x-2\sin x+4}{2\sin x-1}=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos 2x-\cos 4x-4\sin 3x-2\sin x+4=0\\2\sin x\neq 1\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим первое условие полученной системы. $$2\sin x \sin 3x-4 \sin 3x-2 \sin x+4=0\Leftrightarrow$$ $$\sin 3x(\sin x-2)-(\sin x-2)=0\Leftrightarrow$$ $$(\sin 3x-1)(\sin x-2)=0$$

     Поскольку $$\left | \sin x \right |\leq 1$$, остаётся только уравнение : $$\sin 3x-1=0$$, откуда $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}n$$.

     Сравним решения второго условия системы с полученными решениями: $$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}n\neq \frac{\pi}{6}+2\pi k\Rightarrow$$ $$n\neq 3k,k \in Z$$ и $$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}n\neq \frac{5\pi}{6}+2\pi k\Rightarrow$$ $$n\neq 1+3k,k\in Z$$

     Таким образом ,остаются только те решения первого уравнения , для которых $$n=3k-1$$: $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi*(3k-1)}{3}=-\frac{\pi}{6}+2\pi k$$

   Б) $$-\pi\leq -\frac{\pi}{2}+2\pi k<\frac{3\pi}{2}\Leftrightarrow$$ $$-\frac{1}{4}\leq k<1\Leftrightarrow$$ $$k=0\Rightarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{2}$$

 

Задание 6615

а) Решите уравнение $$\sqrt{2\cos^{2} x-\sqrt{2}}+\sqrt{2}\sin x=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-7\pi;-\frac{11\pi}{2}]$$
Ответ: А) $$-\frac{\pi}{8}+\pi n;-\frac{5\pi}{8}+\pi n,n\in Z$$ Б)$$-\frac{55\pi}{8};-\frac{49\pi}{8}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) $$\sqrt{2\cos^{2} x-\sqrt{2}}+\sqrt{2}\sin x=0\Leftrightarrow$$$$\sqrt{2\cos^{2} x-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\sin x$$

     ОДЗ:  $$\left\{\begin{matrix}2\cos^{2}x\geq \sqrt{2}\\-\sqrt{2}\sin x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos x \in (-\infty;-\frac{1}{\sqrt[4]{2}}]\cup[\frac{1}{\sqrt[4]{2}};+\infty)\\\sin x\leq 0\end{matrix}\right.$$

     Возведем обе части в квадрат: $$2\cos^{2} x-\sqrt{2}=2\sin^{2}x$$

     Применим формулы понижения степени: $$1+\cos 2x -\sqrt{2}=1-\cos 2x\Leftrightarrow$$$$2\cos 2x=\sqrt{2}\Leftrightarrow$$$$\cos 2x=\sqrt{2}{2}\Leftrightarrow$$$$2x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z\Leftrightarrow$$$$x=\pm \frac{\pi}{8}+\pi n,n \in Z$$

     С учетом ОДЗ (синус меньше или равен 0): $$x_{1}=-\frac{\pi}{8}+\pi n,n \in Z$$ и $$x_{2}=-\frac{7\pi}{8}+\pi n,n \in Z$$

   Б) На заданном промежутке: 

$$x_{2}: -7\pi + \frac{\pi}{8}=-\frac{55\pi}{8}$$

$$x_{1}: -6\pi -\frac{\pi}{8}=-\frac{49\pi}{8}$$

 

Задание 6757

а) Решите уравнение $$\sqrt{10}\cos x-\sqrt{4\cos x-\cos 2x}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$(-\frac{\pi}{3};2\pi]$$
Ответ: A) $$\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n , n \in Z$$ Б) $$\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)    $$\sqrt{10}\cos x-\sqrt{4 \cos x- \cos 2x}=0\Leftrightarrow$$$$\sqrt{4 \cos x-\cos 2x}=\sqrt{10}\cos x$$

     Прейдем к равносильной системе:$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{10} \cos x\geq 0(2)\\4 \cos x- \cos 2x =10 \cos ^{2}x (1)\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1): $$4 \cos x-(2 \cos^{2}x-1)-10 \cos ^{2}x=0\Leftrightarrow$$$$-12 \cos ^{2}x+4 \cos x+1=0\Leftrightarrow$$$$12 \cos ^{2}x-4 \cos x-1=0$$

$$D=16+48=64=8^{2}$$

     $$\left[\begin{matrix}\cos x=\frac{4+8}{24}=\frac{1}{2}\\\cos x=\frac{4-8}{24}=-\frac{1}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n , n \in Z\\ \varnothing (\cos x\geq 0)\end{matrix}\right.$$

Б)    На промежутке $$[-\frac{\pi}{3};2 \pi n ]$$:

$$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n:n=1\Rightarrow \frac{5 \pi}{3}$$

$$\frac{\pi}{3}+2 \pi n:n=0\Rightarrow \frac{\pi}{3}$$

 

Задание 6971

а) Решите уравнение $$\frac{\sin 3x}{1+2\cos 2x}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\pi;\pi)$$
Ответ: А)$$x=\pi n , n \in Z$$ Б) $$-\pi$$ и $$0$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) $$\frac{\sin 3x}{1+2 \cos 2x}=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin 3x=0\\\cos 2x\neq -\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3x=\pi n , n \in Z\\2x\neq \pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n , n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi n }{3} , n \in Z\\x\neq \pm \frac{\pi}{3} +\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим полученные корни и ограничения (черными - корни, пустые - ограничения):

     С учетом полученных пересечений получим итоговое решение : $$x=\pi n , n \in Z$$

   Б) На промежутке $$[-\pi; \pi)$$ получим следующие корни: $$-\pi$$ и $$0$$

 

Задание 7038

а) Решите уравнение $$\sqrt{21}\cos x*ctg x-\sqrt{7}\cos x-\sqrt{7}ctg x=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\pi;\pi]$$
Ответ: А) $$x=\frac{\pi}{2} + \pi n , n \in Z$$; $$\frac{\pi}{6}+2 \pi k , k \in Z$$ Б) $$\pm \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     А) ОДЗ: $$\sin x\neq 0 \Leftrightarrow$$ $$x\neq \pi n , n \in Z$$

$$\sqrt{7} \cos x(\sqrt{3} ctg x-1-\frac{1}{\sin x})=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0(1)\\\sqrt{3} ctg x-1-\frac{1}{\sin x}=0 (2)\end{matrix}\right.$$

     1) $$\cos x=0\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n , n \in Z$$

     2) $$\frac{\sqrt{3}\cos x}{\sin x}-\frac{1}{\sin x}-1=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt{3 } \cos x-\sin x-1}{\sin x}=0\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{3} \cos x-\sin x=1 \Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x-\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\sin \frac{\pi}{3} \cos x-\cos \frac{\pi}{3}\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\sin x \cos \frac{\pi}{3}-\cos x \sin \frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\sin (x-\frac{\pi}{3})=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2 \pi k , k \in Z\\x-\frac{\pi}{3}=-\frac{5 \pi}{6}+2 \pi k\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+2 \pi k\\x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi k , k \in Z\end{matrix}\right.$$

     Б) На промежутке $$[-\pi;\pi]$$:

$$\frac{\pi}{2}+\pi n: -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}$$
$$\frac{\pi}{6}+2 \pi k: \frac{\pi}{6}$$
 

Задание 7106

а) Решите уравнение $$2|\sin x|+\log_{tg x} (-\frac{|\cos x|}{\sin x})=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};0]$$
Ответ: А)$$-\frac{5\pi }{6} +2 \pi n,n \in Z$$ Б)$$-\frac{5\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     А) $$2 \left | \sin x \right |+\log_{tg x}(-\frac{\left | \cos x \right |}{\sin x})=0$$

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\frac{-\left | \cos x \right |}{\sin x}>0\\tg x>0\\tg x \neq 1\\\sin x\neq 0\\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x<0\\\cos x<0 (1)\\tg x\neq 1\end{matrix}\right.$$

     Решение с учетом ОДЗ: $$-2 \sin x+\log_{tg x}\frac{\cos x}{\sin x}=0\Leftrightarrow$$ $$-\log_{tg x}\frac{\sin x}{\cos x}=2 \sin x\Leftrightarrow$$ $$2 \sin x=-1\Leftrightarrow$$ $$\sin x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+2 \pi n \notin (1)\\x=-\frac{5\pi }{6} +2 \pi n\end{matrix}\right.$$$$n \in Z$$

     Б) На промежутке: $$[-\frac{3\pi}{2};0]$$ : $$-\frac{5\pi}{6}$$

 

Задание 7220

а) Решите уравнение $$ctg \frac{11\pi}{6}=\frac{2ctg x+3}{tg(x+\frac{\pi}{6})}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-2\pi;\frac{5\pi}{3}]$$
Ответ: А)$$\frac{\pi}{2}+ \pi n; -arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}+ \pi k , n,k \in Z$$ Б)$$-\frac{3 \pi}{2}$$; $$-\frac{\pi}{2}$$ ;$$\frac{\pi}{2}$$; $$\frac{3 \pi}{2}$$; $$\pm\pi-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}$$;$$-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1};$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}tg (x+\frac{\pi}{6})\neq 0\\\sin x\neq 0\\\cos (x+\frac{\pi}{6})\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x+\frac{\pi}{6}\neq \pi n , n \in Z\\x\neq \pi k, k \in Z\\x+\frac{\pi}{6}\neq \frac{\pi}{2}+\pi m, m \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq -\frac{\pi}{6}\\x\neq \pi k\\x\neq \frac{\pi}{3}+\pi m, n,k,m \in Z\end{matrix}\right.$$

     Решение: $$ctg \frac{110}{6}=-\sqrt{3}$$; $$tg(x+\frac{\pi}{6})=\frac{\sin (x+\frac{\pi}{6})}{\cos (x+\frac{\pi}{6})}=$$$$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x +\frac{1}{2} \cos x}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x -\frac{1}{2} \sin x}=$$$$\frac{\sqrt{3} \sin x+\cos x}{\sqrt{3} \cos x-\sin x}$$; $$ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}$$;

     Получим $$-\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3} \sin x+\cos x}{\sqrt{3} \cos x -\sin x})=$$$$\frac{2 \cos x}{\sin x}+3\Leftrightarrow$$ $$\frac{-3 \sin x -\sqrt{3} \cos x}{\sqrt{3} \cos x-\sin x}=$$$$\frac{2 \cos x+3 \sin x}{\sin x}\Leftrightarrow$$ $$-3\sin ^{2}x-\sqrt{3} \sin x\cos x=$$$$2\sqrt{3}\cos ^{2}x+3\sqrt{3} \cos x \sin x-2 \sin x \cos x-3 \sin ^{2}x\Leftrightarrow$$ $$2\sqrt{3} \cos ^{2}x+4\sqrt{3} \sin x \cos x-2 \sin x \cos x=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos x(\sqrt{3} \cos x+\sin x(2\sqrt{3}-1))=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x (2\sqrt{3} -1)+\sqrt{3} \cos x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2} +\pi n\\tg x=\frac{-3}{2\sqrt{3}-1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+ \pi n\\x=-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}+ \pi k , n,k \in Z\end{matrix}\right.$$

     Б) С учетом тригонометрической окружности : $$\frac{\pi}{2} +\pi n$$ :$$-\frac{3 \pi}{2}$$; $$-\frac{\pi}{2}$$ ;$$\frac{\pi}{2}$$; $$\frac{3 \pi}{2}$$

$$-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}+\pi k$$: $$-\pi-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}$$;$$-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1};$$ $$\pi-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}$$.

 

Задание 7513

   а) Решите уравнение $$\sqrt{\frac{3}{2}+\cos^{2} x}=\sin x-\cos x$$
   б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\pi]$$
Ответ: а) $$\frac{3\pi }{4}+2\pi n, \pi -arctg3+2\pi n, n\in Z$$; б)$$\frac{3\pi }{4};\pi -arctg3 $$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7560

а) Решите уравнение $$\frac{\sin 5x \cos 3x -\sin 7x \cos x}{\cos 2x+\sin 2x}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$(\frac{\pi}{2};\pi]$$
Ответ: а) $$\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2}, \frac{\pi n}{2}, n\in Z$$; б) $$\frac{5\pi }{8}; \pi $$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7635

а) Решите уравнение $$6tg^{2}x-2\cos^{2} x=\cos 2x$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi}{2};-\frac{\pi}{2}]$$
Ответ: а) $$\pm \frac{\pi }{6}+\pi n, n\in Z$$; б)$$-\frac{13\pi }{6}; -\frac{11\pi }{6}; -\frac{7\pi }{6}; -\frac{5\pi }{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7730

а) Решите уравнение $$\sqrt{1+\cos 4x}\cdot \sin x=2\sin \frac{\pi}{4}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{7\pi}{2};-\pi]$$
Ответ: а) $$\frac{\pi }{2}+2\pi n$$; б)$$-\frac{7\pi }{2}; -\frac{3\pi }{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8267

А) Решите уравнение $$\sin 2x+\sqrt{2\cos x-2\cos^{3} x}=0$$
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-pi;-\frac{\pi}{6}]$$
Ответ: а) $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n; \frac{\pi n}{2}, n\in Z$$; б) $$-\frac{\pi}{2}$$; $$-\frac{\pi}{3}$$; $$-\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) $$\sin2x+\sqrt{2\cos x-2\cos^{3}x}=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{2\cos x-2\cos^{3}x}=-\sin2x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\cos x-2\cos^{3}x=\sin^{2}2x(2)&\\-\sin2x\geq0(1)&\end{matrix}\right.$$ 

$$(1)$$: $$-\sin2x\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin2x\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2x\in{-\pi+2\pi n;2\pi n},n\in Z$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in{-\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi n},n\in Z$$

$$(2)$$: $$2\cos x(1-\cos^{2}x)=4\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2\cos x\cdot\sin^{2}x-4\cos^{2}x\cdot\sin^{2}x=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2\cos x\cdot\sin^{2}x(1-2\cos x)=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}\cos x=0&\\\sin x=0&\\\cos x=\frac{1}{2}&\end{bmatrix}$$  $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n&\\x=\pi n&\\x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z&\end{bmatrix}$$

С учетом $$(1)$$: $$x=\frac{\pi n}{2};-\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z$$

Б) На промежутке $$[-\pi;-\frac{\pi}{6}]$$: $$\frac{\pi n}{2}:-\pi;-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3}+2\pi n:-\frac{\pi}{3}$$

 

Задание 9487

а) Решите уравнение $$\frac{4}{\sin^{2}(\frac{7\pi}{2}-x)}-\frac{11}{\cos x}+6=0$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[2\pi;\frac{7\pi}{2}]$$

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9507

а) Решите уравнение $$tg x\cdot \sin^{2} x=tg x$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{2\pi}{7};\frac{13\pi}{11}]$$

Ответ: $$\pi n, n\in Z$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9660

а) Решите уравнение $$(2\cos^{2}x+3\sin x-3)\cdot \log_{2}(\sqrt{2}\cos x)=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi;-3\pi]$$.
Ответ: а)$$\frac{\pi}{6}+2\pi k, \pm \frac{\pi}{4}+2\pi k, k\in Z$$ б)$$-\frac{23\pi}{6}$$;$$-\frac{15\pi}{4}$$,$$-\frac{17\pi}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9780

а) Решите уравнение $$\frac{2\sin^{2}x-3\sin x+1}{tg x}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\pi;\frac{\pi}{2}]$$
Ответ: а)$$\frac{\pi}{6}+2\pi k$$,$$\frac{\pi}{6}+2\pi k,k\in Z$$ б)$$\frac{\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9800

а) Решите уравнение: $$(2\sin^{2}x-\cos x-1)\log_{3}(-0,2\sin x)=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: $$[5\pi;7\pi]$$
Ответ: а)$$-\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z$$ б)$$\frac{17\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9927

а) Решите уравнение $$\sqrt{\sin(\frac{\pi}{4}+x)\cos(\frac{\pi}{4}-x)}\cdot \cos x=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$ 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{4};\pi]$$
Ответ: а) $$-\frac{\pi }{8}+2\pi n, \frac{3\pi }{8}+2\pi n, n\in Z$$; б) $$-\frac{\pi }{8}; \frac{3\pi }{8}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10095

а) Решите уравнение $$\frac{4\sin (\frac{3\pi}{2}+x)(\cos x-1)}{\sqrt{\sin x}}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi;4\pi]$$
Ответ: А)$$\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z$$ Б)$$\frac{5\pi}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 10152

а) Решите уравнение $$\frac{1+2\sin^{2}x-3\sqrt{2}\sin x+\sin 2x}{2\sin x\cos x -1}=1$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\pi;\frac{\pi}{2}]$$
Ответ: А)$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n,n\in Z$$ Б)нет решений
 

Задание 10192

а) Решите уравнение $$\sqrt{\sin^{2}x+3\sin x-\frac{17}{9}}=-\cos x$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\pi]$$
Ответ: А)$$\pi-\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n, n\in Z$$ Б)$$\pi-\arcsin \frac{2}{3}$$, $$-\pi-\arcsin \frac{2}{3}$$
 

Задание 10286

а) Решите уравнение $$(\cos 2x+3\sin x-2)\sqrt{\cos x-\sin x}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[0;\pi]$$
Ответ: А)$$\frac{\pi}{6}+2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{4}+\pi k,n,n \in Z$$ Б)$$\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{4}$$
 

Задание 10496

а) Решите уравнение $$\sqrt{3-\tg^{2}(\frac{3x}{2})}\cdot \sin x-\cos x=2$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-17;2]$$
Ответ: А) $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$$ Б) $$\frac{-16\pi}{3};-\frac{10\pi}{3};-\frac{4\pi}{3}$$
 

Задание 10507

а) Решите уравнение $$\sqrt{\ctg x}(\sin^{2}x-\frac{1}{4})=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};0]$$
Ответ: А)$$\frac{\pi}{6}+\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z$$ Б)$$-\frac{3\pi}{2};-\frac{5\pi}{6};-\frac{\pi}{2}$$
 

Задание 10555

а) Решите уравнение $$\frac{{\cos 2x*{\cos 8x\ }-{\cos 10x\ }\ }}{{\cos x\ }+1}=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[0;;\pi \right]$$

Ответ: а)$$\frac{\pi n}{8}, n\in Z; n\neq 8+16m, m\in Z$$ б)$$0;\frac{\pi}{8};\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{8};\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{8};\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{8}$$
 

Задание 10615

а) Решите уравнение $$\sqrt{{\sin x\ }-{\cos x\ }}\left({ctg x\ }-\sqrt{3}\right)=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$$

Ответ: а) $$\frac{\pi }{4}+\pi n, \frac{7\pi }{6}+2\pi n, n\in Z$$; б) $$\frac{9\pi }{4}$$
 

Задание 10635

а) Решите уравнение $$\sqrt{{\cos 2x\ }-{\left({\sin x\ }\right)}^3+3}={\sin x\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left(\frac{73\pi }{2};\left.41\pi \right]\right.$$

Ответ: а)$$\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$$ б)$$\frac{77\pi}{2};\frac{81\pi}{2}$$
 

Задание 11466

а) Решите уравнение $$\ctg x-\sin x-\sqrt{3}\cos x+\frac{1}{\sin x}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-0,75\pi;0,5\pi)$$
Ответ: а) $$\frac{\pi }{2}+\pi n; \frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in Z$$; б) $$-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11748

а) Решите уравнение $$10\cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{11+5\ctg(\frac{3\pi}{2}-x)}{1+\tg x}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$(-2\pi;-\frac{3\pi}{2})$$
 
Ответ: А)$$\frac{\pi}{4}\pm \arccos \frac{3\sqrt{2}}{5}+2\pi n,n \in Z$$ Б) $$-\frac{7\pi}{4}\pm \arccos \frac{3\sqrt{2}}{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12671

а) Решите уравнение $$(2\cos^{2} x+3\sin x-3)\cdot \log_{2}(\sqrt{2}\cos x)=0$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi ;\ -З\pi ].$$

Ответ: а) $$\frac{\pi }{6}+2\pi k, \pm \frac{\pi }{4}+2\pi k, k \in Z$$; б) $$-\frac{23\pi }{6}; -\frac{15\pi }{4}; -\frac{17\pi }{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12692

а) Решите уравнение $$(2{{\sin }^2 x\ }-\cos x-1){\log}_3(-0,2\sin x)\ =\ 0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[5\pi ;7\pi ]$$

Ответ: а) $$-\frac{\pi }{3}+2\pi k, k \in Z$$; б) $$\frac{17\pi }{3}$$
 

Задание 12893

а) Решите уравнение $$\frac{4}{{{\sin }^2 (\frac{7\pi }{2}-x)\ }}-\frac{11}{{\cos x\ }}+6=0$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[2\pi ;\ \frac{7\pi }{2}]$$

Ответ: а) $$\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n \in Z$$; б) $$\frac{7\pi }{3}$$
 

Задание 14233

Дано уравнение $$\frac{\sin 2x-1+2\cos x-\sin x}{\sqrt{-\sin x}}=0$$.

a) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{5\pi}{2};4\pi]$$
Ответ: А)$$-\frac{\pi}{2}+2\pi k, -\frac{\pi}{3}+2\pi n, n,k\in Z$$ Б) $$\frac{11\pi}{3};\frac{7\pi}{2}$$
 

Задание 14247

Дано уравнение $$2ctg^2x+\frac{3}{\sin x}=0$$.

а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[16\pi;18\pi]$$.
Ответ: а) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n, -\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z$$; б) $$\frac{103\pi}{6};\frac{107\pi}{6}$$.
 

Задание 14254

Дано уравнение $$\frac{2\sqrt 3\cos^2 x+\sin x}{2\cos x-1}=0$$.

а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[3\pi;\frac{9\pi}{2}]$$.
Ответ: а) $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in Z$$; б) $$\frac{10\pi}{3}$$.
 

Задание 14261

Дано уравнение $$4\sin x-5\sqrt{2\sin x}+3=0$$.

а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{5\pi}{2};4\pi ]$$.
Ответ: а) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$$; б)$$\frac{17\pi}{6}$$.
 

Задание 14274

Дано уравнение $$\cos^{2}x(tg(\frac{9\pi}{2}+x)-3tg^{2}(\pi-x))=\cos 2x-1$$

А) Решите уравнение.
Б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку $$[-4;-1]$$.
Ответ: А)$$-\frac{\pi}{4}+\pi n,n \in Z$$ Б)$$-\frac{5\pi}{4}$$
 

Задание 14281

Дано уравнение $$\sqrt{0,5+\sin^{2}x}+\cos 2x=1$$

a) Решите уравнение.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $$[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$$
Ответ: А)$$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z$$ Б)$$-\frac{13\pi}{4};-\frac{11\pi}{4};-\frac{9\pi}{4}$$
 

Задание 14291

Дано уравнение $$tg 2x+ctg x=8\cos^{2}x$$

А) Решите уравнение.
Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $$[\frac{11\pi}{2};4\pi]$$
Ответ: А)$$\frac{\pi}{2}+\pi k; (-1)^{n}\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4}, k,n \in Z$$ Б)$$\frac{73\pi}{2};\frac{77\pi}{24};\frac{85\pi}{24};\frac{89\pi}{24}$$
 

Задание 14329

Дано уравнение $$\frac{1+2\sin^2 x-\sqrt{3}\sin 2x}{2\sin x-1}=0$$.

а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$.
Ответ: а) $$\frac{7\pi}{6}+2\pi n,n\in Z$$; б) $$\frac{7\pi}{6}$$.