Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Планиметрия: задачи, связанные с углами

Описанные окружности

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 900

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если известно, что ∠С = 90°, ВС=6, cos B = 2/3.

   
Ответ: 4,5
Скрыть

AB = BC / cos B = 6 * 3 / 2 = 9 Радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Получаем 9 / 2 = 4,5

 

Задание 1174

Трапеция АВСD вписана в окружность с диаметром АD. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности равен 10, а боковая сторона трапеции равна 12.

 

Ответ: 9.6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Достроим треугольник OCD: OC = OD = 10 - радиусы, OH, CN  - высоты. HD = 6 (OH - высота, биссектриса и медиана), отсюда по теореме Пифагора OH = $$\sqrt{OD^{2}-HD^{2}}=8$$.Тогда, используя формулу площади треугольника, получаем:

$$\frac{1}{2} OH*CD = \frac{1}{2} CN*OD$$

$$CN=\frac{OH*CD}{OD}=\frac{8*12}{10}=9.6$$

Задание 1919

В окруж­ность впи­сан рав­но­сто­рон­ний вось­ми­уголь­ник. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ABH.

Ответ: 22,5
Скрыть

  1) Для нахождения угла правильного n-угольника, можно воспользоваться формулой: $$\alpha=\frac{n-2}{n}*180$$

  2) $$\angle ABC = \frac{8-2}{8}*180=135^{\circ}$$

  3) Из треугольника HOA: $$\angle HOA=180-2\angle OHA=180-\angle H=45^{\circ}$$ (треугольник равнобедренный, OH - биссектрисса угла H)

  4) Меньшая дуга $$HA=\angle HOA=45^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)

  5) $$\angle ABH=\frac{1}{2}\smile HA=22,5^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)

Задание 1921

Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 4. Угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щий ос­но­ва­нию, равен 120°. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 8
Скрыть

  1) $$\angle ABC=\frac{1}{2}\smile AC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile AC=2*120=240^{\circ}$$ (большая дуга)

  2) Вся окружность равна $$360^{\circ}$$, тогда меньшая дуга AC составляет $$120^{\circ}$$

  3) $$\angle AOC=\smile AC=120^{\circ}$$ (меньшей дуге, по свойству центрального угла), тогда треугольники ABC и AOC равны (оба равнобедренных, общая сторона), следовательно OC=4, и диаметр составляет 4*2=8

Задание 1922

Окруж­ность с цен­тром в точке O опи­са­на около рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, в ко­то­ром AB = BC и ∠ABC = 177°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла BOC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 3
Скрыть

   1) Треугольник ABC - равнобедренный, $$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180-177}{2}=1,5$$.

   2) $$\angle BAC=\frac{1}{2}BC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile BC=2*1,5=3^{\circ}$$

   3) $$\angle BOC=\smile BC=3^{\circ}$$ (по свойству центрального угла)

Задание 1923

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 21
Скрыть

   1) $$\angle ABC=\frac{1}{2}\smile AC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile AC=140^{\circ}$$

   2) $$\angle CAD=\frac{1}{2}\smile DC$$ (по свойству вписанного угла), тогда $$\smile DC=98^{\circ}$$

   3) $$\smile AD=140-98=42^{\circ}$$, тогда $$\angle ABD=\frac{1}{2}\smile AD=21^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла)

Задание 3570

Точки ABC, рас­по­ло­жен­ные на окруж­но­сти, делят ее на три дуги, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся как 1 : 3 : 5. Най­ди­те боль­ший угол тре­уголь­ни­ка ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 100

Задание 3571

Угол A че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, впи­сан­но­го в окруж­ность, равен 58°. Най­ди­те угол C этого че­ты­рех­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 122

Задание 3572

Сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD AB, BC, CD и AD стя­ги­ва­ют дуги опи­сан­ной окруж­но­сти, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но $$95^{\circ}$$, $$49^{\circ}$$, $$71^{\circ}$$, $$145^{\circ}$$. Най­ди­те угол B этого че­ты­рех­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 108

Задание 3573

Точки ABCD, рас­по­ло­жен­ные на окруж­но­сти, делят эту окруж­ность на че­ты­ре дуги ABBCCD и AD, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся со­от­вет­ствен­но как 4 : 2 : 3 : 6. Най­ди­те угол A че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3575

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Най­ди­те угол ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 110

Задание 3576

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°. Най­ди­те угол CAD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 40

Задание 3577

Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна $$\sqrt{3}$$. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1

Задание 3578

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, равен $$\sqrt{3}$$. Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 3

Задание 3579

Вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна 3. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 10

Задание 3580

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, равен 3. Най­ди­те вы­со­ту этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 4,5

Задание 3581

Ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 12. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 6

Задание 3582

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, равен 4. Най­ди­те ги­по­те­ну­зу этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 8

Задание 3583

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 2,5

Задание 3585

Чему равна сто­ро­на пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен 6?

Ответ: 6

Задание 3586

Сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка ABC равна 1. Про­ти­во­ле­жа­щий ей угол C равен 30°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1

Задание 3587

Одна сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те угол тре­уголь­ни­ка, про­ти­во­ле­жа­щий этой сто­ро­не. Ответ дайте в гра­ду­сах

Ответ: 30

Задание 3588

Угол C тре­уголь­ни­ка ABC, впи­сан­но­го в окруж­ность ра­ди­у­са 3, равен 30°. Най­ди­те сто­ро­ну AB этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 3

Задание 3589

Сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка ABC равна 1. Про­ти­во­ле­жа­щий ей угол C равен 150°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1

Задание 3590

Бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны 40, ос­но­ва­ние равно 48. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 25

Задание 3591

Около тра­пе­ции опи­са­на окруж­ность. Пе­ри­метр тра­пе­ции равен 22, сред­няя линия равна 5. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции.

Ответ: 6

Задание 3592

Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна ее мень­ше­му ос­но­ва­нию, угол при ос­но­ва­нии равен 60°, боль­шее ос­но­ва­ние равно 12. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этой тра­пе­ции.

Ответ: 6

Задание 3593

Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 8 и 6. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен 5. Най­ди­те вы­со­ту тра­пе­ции.

Ответ: 7

Задание 3594

Два угла впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка равны 82° и 58°. Най­ди­те боль­ший из остав­ших­ся углов. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 122

Задание 3595

Пе­ри­метр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равен 72. Най­ди­те диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти.

Ответ: 24

Задание 3596

Угол между сто­ро­ной пра­виль­но­го  -уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в окруж­ность, и ра­ди­у­сом этой окруж­но­сти, про­ве­ден­ным в одну из вер­шин сто­ро­ны, равен 54°. Най­ди­те n.

Ответ: 5
 

Задание 3853

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём BC =CD. Известно, что угол ADC равен 93°. Найдите, под каким острым углом пересекаются диагонали этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 87
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\bigtriangleup AOD\sim \bigtriangleup COB$$ $$\Rightarrow$$

$$\angle ADO=\angle OCB=\alpha$$

$$\angle DAO=\angle OBC=\beta$$

2) $$\bigtriangleup DOC\sim \bigtriangleup AOB$$ $$\Rightarrow$$

$$\bigtriangleup DCB$$ - равнобедренный

$$\angle COB=\angle DCB=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\alpha+\beta=93^{\circ}$$

$$\angle AOD=180^{\circ}-\alpha-\beta=87^{\circ}$$

 

Задание 4811

Точка O—центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Найдите ∠ABC, если $$\angle OCA=37^{\circ}$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 53
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Если рассмотреть треугольник AOC, то он окажется равнобедренным, так как OA = OC - радиусы. В таком случае: $$\angle AOC = 180 -2*37=106^{\circ}$$. Но данный угол центральный, в то время как ∠ABC - вписанный, и тогда его градусная мера равна половине градусной меры ∠AOC, то есть 53

 

Задание 6797

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров $$\angle A=60\Rightarrow$$ $$\angle B=120$$

     Пусть BM – биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle ABM =60\Rightarrow$$ $$\Delta ABM$$ - равносторонний . Пусть CH- биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle CMD=60\Rightarrow$$ $$\Delta CMD$$ - равносторонний и $$\Delta ABM=\Delta BMC=\Delta CMD$$(M и H совпадают )$$\Rightarrow$$ $$AB=BM=MC=MD$$ - радиусы $$\Rightarrow$$ $$R=6$$

 

Задание 7011

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём BC =CD. Известно, что угол ADC равен 930 . Найдите, под каким острым углом пересекаются диагонали этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 87
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\angle ADC=93$$, пусть $$\angle CDB=\alpha$$$$\Rightarrow$$ $$\angle CBD =\alpha$$ 2) $$\angle ADB=\angle ADC-\angle CDB=93-\alpha$$ . Но $$\angle ACB=\angle ADB$$(опирают на одну дугу )$$\Rightarrow$$ из $$\Delta CHB$$ ($$AC \cap DB=H$$): $$\angle CHB=180-(93-\alpha +\alpha )=87$$

 

Задание 7627

Трапеция АВСD вписана в окружность с диаметром АD. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности равен 10, а боковая сторона трапеции равна 12.

Ответ: 9,6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7774

Точка О – центр описанной окружности остроугольного треугольника АВС. Найдите угол АВС, если угол ОСА равен 370. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 53
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7935

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 1400, угол CAD равен 840. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 56
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8752

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 112° и 125°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах

Ответ: 68
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8864

Около окружности описана равнобедренная трапеция с боковой стороной равной 25. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Ответ: 25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9036

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 8, а радиус описанной вокруг неё окружности равен 5. Центр окружности лежит вне трапеции. Найдите высоту трапеции.

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9152

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 122°, угол ABD равен 36°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9520

Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 10. Радиус описанной окружности равен 13. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Ответ: 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10383

Найдите площадь правильного двенадцатиугольника, если его сторона равна $$6\sqrt{2-\sqrt{3}}$$ .

Ответ: 108
 

Задание 10548

Найдите площадь треугольника АВС, изображенного на рисунке.

Ответ: 27
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть 1) Пусть BH -- высота через O. Тогда $$AH=3\to {\sin AOH=\frac{AH}{AO}=\frac{3}{5}\to {\cos AOH=\frac{4}{5}\ }\ }$$ $$2)\ \angle ABC=\frac{\angle AOC}{2}=\angle AOH$$ 3) Пусть $$AB=BC=x\to $$ по теореме косинусов: $$6^2=x^2+x^2-2*x*x*\frac{4}{5}\to x^2=90$$ $$4) S_{ABC}=\frac{1}{2}*AB*BC*{\sin ABC\ }=\frac{1}{2}*90*\frac{3}{5}=27$$
 

Задание 10648

В треугольнике MNP известно, что $$MM_1$$ и $$PP_1$$ - медианы, $$MM_1=9\sqrt{3},PP_1=6,\angle MOP=150{}^\circ .$$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$MOP$$.

Ответ: 14
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть По свойству медиан: $$MO=\frac{2}{3}\cdot 9\sqrt{3}=6\sqrt{3}$$ $$PP_1=\frac{2}{3}\cdot 6=4\to$$ $$MP=\sqrt{MO^2+OP^2-2MO\cdot OP\cdot {\cos MOP\ }}=14$$ $$S_{MOP}=\frac{MO\cdot OP\cdot MP}{4R}\to$$ $$R=\frac{6\sqrt{3}\cdot 4\cdot 14}{4\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 4\cdot \frac{1}{2}}=14$$ или $$R=\frac{MP}{2{\sin MOP\ }}=\frac{14}{2\cdot \frac{1}{2}}=14$$
 

Задание 10871

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен $$82{}^\circ $$, угол ABD равен $$47{}^\circ $$. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 35
Скрыть Углы ABC и ABD являются вписанными в окружность. Следовательно, градусные меры дуг, на которые они опираются в два раза больше значений самих углов. То есть, градусная мера дуги AC равна $$82{}^\circ \cdot 2=164{}^\circ $$, а градусная мера дуги AD равна $$47{}^\circ \cdot 2=94{}^\circ $$. Тогда градусная мера дуги CD равна$$164{}^\circ -94{}^\circ =70{}^\circ $$ и угол CAD равен $$\angle CAD=70{}^\circ :2=35{}^\circ $$.
 

Задание 12288

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол BAD равен 127$${}^\circ$$. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 53
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12324

Радиус окружности, описанной около треугольника АВС равен $$2\sqrt{3}.$$ Найдите АВ, если угол АСВ равен 120$${}^\circ$$.

Ответ: 6
 

Задание 12444

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $$112{}^\circ$$ и $$125{}^\circ$$. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 68
 

Задание 12585

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 122$${}^\circ$$, угол ABD равен 36$${}^\circ$$. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 86
 

Задание 12845

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 72$${}^\circ$$, угол CAD равен 58$${}^\circ$$. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 130
Скрыть

Угол ∠АВD = 72° – вписанный в окружность угол. Вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга АD = 144°.

Угол ∠CAD = 58° – вписанный в окружность угол, следовательно, дуга CD = 116°.

Дуга AC = AD + DC AC = AD + DC = 144° + 116° = 260°

Угол ∠ABC – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу АС, следовательно, ∠AВС = 130°.

 

Задание 13532

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 38, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13551

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 28. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Ответ: 14
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!