ЕГЭ Профиль
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 975
Вычислите $$\frac{\sin 35\cos 35}{\sin ^{2} 10-\cos ^{2} 10}$$
$$\frac{\sin 35\cos 35}{\sin ^{2} 10-\cos ^{2} 10}=$$ $$\frac{0.5\sin 70}{-\cos 20}=\frac{0.5\cos 20}{-\cos 20}=-0.5$$
Задание 1099
Вычислите $$tg \alpha $$, если известно, что $$\cos 2\alpha =0.6$$ и $$\frac{3\pi }{4}< \alpha < \pi $$
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $$\cos 2\alpha =2\cos^{2}\alpha-1=0.6$$
С учетом того, что $$\alpha$$ - угол второй четверти, то косинус у него отрицательный, а синус положительный.
Значит: $$cos \alpha = -\sqrt{\frac{\cos 2\alpha+1}{2}}=-\sqrt{\frac{0.6+1}{2}}=-\sqrt{0.8} $$
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$sin \alpha = \sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{0.2}$$
Значит тангенс будет равен: $$tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}= \frac{\sqrt{0.2}}{-\sqrt{0.8}}=-\frac{1}{2}=-0.5$$
Задание 1238
Известно, что $$\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}=-0.8$$. Найдите $$ tg x $$
$$\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}=-0.8=\frac{-4}{5}$$ $$(\cos x-\sin x)*5=-4*(\cos x+\sin x)$$ $$5\cos x-5\sin x=-4*\cos x-4\sin x$$ $$9\cos x = \sin x $$ Поделим обе части на cos x $$9 = tg x $$
Задание 1279
Известно, что $$ tg x = \frac{2}{\sqrt{21}}$$ и $$\pi < x< \frac{3\pi }{2}$$. Найдите sin x
Угол располагается в третьей четверти, поэтому sin будет отрицательный. Найдем сначала ctg x: $$ ctg x = \frac {1}{tg x}= \frac {1}{\frac{2}{\sqrt{21}}}=\frac{\sqrt{21}}{2}$$ Выразим sin x из формулы $$ 1 + ctg^{2} x = \frac{1}{\sin^{2} x} $$ $$ \frac{1}{1 + ctg^{2} x} =\sin^{2} x $$ $$\sin x = - \sqrt{ \frac{1}{1 + ctg^{2} x} } $$ $$\sin x = - \sqrt{ \frac{1}{1 + (\frac{\sqrt{21}}{2})^{2}} }=- \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{21}{4}}}=-\frac{2}{5}=-0.4 $$
Задание 2352
Найдите значение выражения: $$\frac{38\cos 153^{\circ}}{\cos 27^{\circ}}$$
$$\frac{38\cos 153^{\circ}}{\cos 27^{\circ}}=\frac{38\cos(180^{\circ}-27^{\circ})}{\cos 27^{\circ}}=\frac{38 (-\cos 27^{\circ})}{\cos 27^{\circ}}=-38$$
Задание 2786
Найдите значение выражения: $$\sqrt{8}-\sqrt{32}\sin^{2}\frac{11\pi}{8}$$
$$\sqrt{8}-\sqrt{32}\sin^{2}\frac{11\pi}{8}=\sqrt{8}(1-\sqrt{4}\sin^{2}\frac{11\pi}{8})=$$ $$=\sqrt{8}(1-2\sin^{2}\frac{11\pi}{8})=\sqrt{8}\cdot \cos(2\cdot \frac{11\pi}{8})=$$ $$=\sqrt{8}\cdot \cos \frac{11\pi}{4}=\sqrt{8}\cdot \cos(2\pi+\frac{3\pi}{4}) =$$ $$=\sqrt{8}\cdot \cos\frac{3\pi}{4}=\sqrt{8}\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{4}{2}=-2$$
Задание 2862
Найдите значение выражения $$-18\sqrt{2}\sin (-135^{\circ})$$
$$-18\sqrt{2}\sin (-135^{\circ})=18\sqrt{2}\sin 135^{\circ}=$$ $$18\sqrt{2}\sin (90^{\circ}+45^{\circ})=18\sqrt{2}\cos 45^{\circ}=18\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}=18$$
Задание 2901
Найдите $$3\cos \alpha $$, если $$\sin\alpha=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$ и $$\alpha\in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$$.
$$\sin\alpha=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$ $$\alpha\in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$$ $$\cos\alpha=\pm \sqrt{1-\sin^{2}\alpha}$$ $$\cos\alpha=\sqrt{1-(-\frac{2\sqrt{2}}{3})^{2}}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\frac{1}{3}$$ (косинус>0, т.к. $$\alpha$$ в 4 четверти) $$3\cos\alpha=3\cdot\frac{1}{3}=1$$
Задание 2987
Найдите $$\sin 2\alpha $$, если $$\cos \alpha = 0.6$$ и $$\pi < \alpha < 2\pi $$
Угол соответствует 3 и 4 четверти координатной, следовательно, там у нас синус отрицательный: $$\sin \alpha =-\sqrt{1-(\cos \alpha)^{2}}=-\sqrt{1-0.36}=-0.8$$ $$\sin 2\alpha =2\sin \alpha * \cos \alpha=2*0.6*(-0.8)=-0.96$$
Задание 3072
Известно, что $$\tan x=3$$ и $$\pi<x<\frac{3\pi}{2}$$. Найдите значение выражения $$\sqrt{10}\sin x$$
$$\tan x=3$$ и $$\pi<x<\frac{3\pi}{2}$$
$$\Rightarrow$$ $$\sin x<0$$
$$\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{3}$$
$$1+\cot^{2}x=\frac{1}{\sin^{2}x}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin x=-\sqrt{\frac{1}{1+\cot^{2}x}}$$
$$\sin x=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{9}}}=-\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{10}}}=-\frac{3}{\sqrt{10}}$$
$$\sqrt{10}\sin x=\sqrt{10}\cdot(-\frac{3}{\sqrt{10}})=-3$$
Задание 3154
Найдите значение выражения $$\frac{2\sin 68}{\cos 34 * \cos 124}$$
$$\frac{2\sin 68}{\cos 34 * \cos 124} = \frac{4\sin 34 * \cos 34}{\cos 34 * \cos (90+34)}=\frac{4\sin 34 * \cos 34}{\cos 34 * (-\sin 34)}=-4$$
Задание 3325
Найдите значение выражения $$\frac{4\cos 146^{\circ}}{\cos 34^{\circ}}$$
$$\frac{4\cos 146}{\cos 34}=\frac{4\cos (180-34)}{\cos 34}=\frac{-4\cos 34}{\cos 34}=-4$$
Задание 3657
Найдите значение выражения: $$14\sqrt{6}\cos\frac{19\pi}{6}\cdot\cos\frac{7\pi}{4}$$
$$14\sqrt{6}\cos\frac{19\pi}{6}\cdot\cos\frac{7\pi}{4}=$$
$$=14\sqrt{6}\cos(3\pi+\frac{\pi}{6})\cdot\cos(2\pi-\frac{\pi}{4})=$$
$$=14\sqrt{6}\cdot(-\cos\frac{\pi}{6})\cdot\cos\frac{\pi}{4}=$$
$$=-14\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{14\cdot6}{2\cdot2}=-21$$
Задание 4956
Найдите значение выражения $$4\sqrt{6}\cos\frac{3\pi}{4}\cdot\sin\frac{4\pi}{3}$$
$$4\sqrt{6}\cos\frac{3\pi}{4}\cdot\sin\frac{4\pi}{3}=$$ $$4\sqrt{6}\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})=6$$
Задание 5004
Найти $$\cos4x$$, если $$\sin x-\cos x=\frac{3}{\sqrt{10}}$$
$$\sin^{2}x-2\sin x\cos x+\cos^{2}x=\frac{9}{10}$$
$$-\sin2x=-\frac{1}{10}$$; $$\sin2x=\frac{1}{10}$$; $$\cos4x=1-2\sin^{2}2x=1-2(\frac{1}{10})^{2}=1-\frac{2}{100}=0,98$$
Задание 5099
Найдите значение выражения $$8\tan\frac{7\pi}{3}\cdot\tan\frac{11\pi}{6}$$
$$8 tg \frac{7 \pi}{3}* tg\frac{11 \pi}{6}=$$$$8 tg(2 \pi+\frac{\pi}{3})tg(2 \pi -\frac{\pi}{6})=$$$$-8tg\frac{\pi}{3}tg\frac{\pi}{6}=$$$$-8*\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{3}=-8$$
Задание 5236
Найдите значение выражения $$\sin\frac{7\pi}{6}\cdot\cos\frac{5\pi}{3}$$
$$\sin\frac{7\pi}{6}\cdot\cos\frac{5\pi}{3}=$$$$\sin(\pi+\frac{\pi}{6})\cdot\cos(2\pi-\frac{\pi}{3})=$$$$-\sin\frac{\pi}{6}\cdot\cos\frac{\pi}{3}=$$$$-\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=-0,25$$
Задание 6225
Найдите значение выражения $$-\frac{4}{\sin ^{2}27+\sin^{2}117}$$
$$-\frac{4}{\sin ^{2}27+\sin^{2}117}=$$$$-\frac{4}{\sin ^{2}27+\sin^{2}(90+27)}=$$$$-\frac{4}{\sin ^{2}27+\cos^{2}27}=-4$$
Задание 6273
Найдите значение выражения $$\frac{2 \cos^{2}\frac{1 \pi}{10}}{ctg \frac{11\pi}{10}\sin \frac{\pi}{5}}$$
$$\frac{1 \cos ^{2}\frac{2 \pi}{10}}{ctg \frac{11\pi}{10}\sin \frac{\pi}{5}}=$$$$\frac{2 \cos ^{2}\frac{\pi}{10}}{ctg (\pi+\frac{\pi}{10})\sin \frac{2\pi}{5}}=$$$$\frac{2 \cos^{2}\frac{\pi}{10}}{ctg \frac{\pi}{10}*2 \sin \frac{\pi}{10}\cos \frac{\pi}{10}}=$$$$\frac{\cos^{2} \frac{\pi}{10}}{\cos^{2} \frac{\pi}{10}}=1$$$$
Задание 6694
Найдите значение выражения $$\frac{-19\sin 94^{\circ}}{\sin 47^{\circ}\sin 43^{\circ}}$$
$$\frac{-19 \sin 94}{\sin 47 \sin 43}=$$$$\frac{-38 \sin 47 \cos 47}{\sin 47 \sin (90-47)}=$$$$\frac{-38 \cos 47}{\cos 47}=-38$$
Задание 6753
Найдите значение выражения $$7\cos (\pi+\beta)-2\sin (\frac{\pi}{2}+\beta)$$, если $$\cos \beta=-\frac{1}{3}$$
$$7 \cos (\pi +B)-2\sin (\frac{\pi}{2}+B)=$$$$-7\cos \beta -2\cos \beta =-9\cos\beta =-9*(-\frac{1}{3})=3$$
Задание 6800
Найдите $$tg \alpha$$ , если $$\frac{5 \cos \alpha +3 \sin \alpha +1}{2 \sin \alpha +\cos x+4}=\frac{1}{4}$$
$$\frac{5 \cos \alpha +3 \sin \alpha +1}{2 \sin \alpha +\cos x+4}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow$$ $$20 \cos \alpha +12 \sin \alpha +4=2 \sin \alpha +\cos \alpha +4\Leftrightarrow$$ $$19 \cos \alpha +10 \sin \alpha =0|: \cos \alpha \Leftrightarrow$$ $$10tg \alpha =-19\Leftrightarrow$$ $$tg \alpha =-1,9$$
Задание 6919
Найдите значение выражения $$\frac{2-4\cos ^{2}19}{5 \sin 128}$$
$$\frac{2-4\cos ^{2}19}{5 \sin 128}=$$$$\frac{2(1-2\cos ^{2}19)}{5 \sin (90+38)}=$$$$\frac{-2\cos 38}{5 \cos 38}=-0,4$$
Задание 6967
Найдите значение выражения $$\frac{\sin 26^{\circ}-\sin 86^{\circ}}{2\sin 34^{\circ}}$$
$$\frac{\sin 26-\sin 86}{2 \sin 34}=$$$$\frac{2 \sin \frac{26-86}{2} \cos \frac{26+86}{2}}{2 \sin 34}=$$$$\frac{\sin (-30) \cos 56}{\sin (90-56)}=$$$$\frac{-\frac{1}{2} \cos 56}{\cos 56}=-0,5$$
Задание 7055
Найдите значение выражения $$tg 199^{\circ}\cdot tg 289^{\circ}$$
$$tg 199*tg 289=$$$$tg(180+19)*tg(270+19)=$$$$tg 19 *(-ctg 19)=-1$$
Задание 8263
Задание 10523
Найдите $$28\cos 2\alpha$$, если $$\cos \alpha=-0,7$$
$$28\cos 2\alpha=28(2\cos^{2} \alpha-1)=$$$$28((-0,7)^{2}-1)=28\cdot (-0,02)=-0,56$$
Задание 10591
Найдите значения выражения $$14\sqrt{6}{\cos \frac{19\pi }{6}\cdot{\cos \frac{7\pi }{4}\ }\ }$$
Задание 10651
Найдите значение выражения $$\frac{{{\sin }^3 \alpha \ }-{{\cos }^{{\rm 3}} \alpha \ }}{{\sin \alpha \ }-{\cos \alpha \ }}-\frac{{\cos \alpha \ }}{\sqrt{1+{{\ctg }^{{\rm 2}} \alpha \ }}}-2{\tg \alpha \ }{\ctg \alpha \ }$$, если известно, что $$\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $$
Задание 10687
9. Найдите значение выражения $$\sqrt[4]{{({{\sin }^{{\rm 2}} x\ }-1)}^4}+\sqrt[4]{{({{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-3)}^4}$$
Задание 10727
Найдите значение выражения $$3\sqrt{2}{{\cos }^{{\rm 2}} \frac{13\pi }{8}\ }-3\sqrt{2}{{\sin }^{{\rm 2}} \frac{13\pi }{8}\ }$$
Задание 10747
Найдите значение выражения $$2\sqrt{3}{{\cos }^{{\rm 2}} \frac{17\pi }{12}\ }-2\sqrt{3}{{\sin }^{{\rm 2}} \frac{17\pi }{12}\ }$$
Задание 10855
Найдите значение выражения $$\sqrt{108}{{\cos }^{{\rm 2}} \frac{\pi }{12}\ }-\sqrt{27}$$.
Задание 10874
Найдите значение выражения $$7\sqrt{2}{\sin \frac{15\pi }{8}\ }\cdot {\cos \frac{15\pi }{8}\ }$$
Задание 11081
Вычислите $${\sin \alpha \ },$$ если $${\sin \frac{\alpha }{2}\ }-{\cos \frac{\alpha }{2}=1,4\ }$$
$${\sin \frac{\alpha }{2}\ }-{\cos \frac{\alpha }{2}=1,4\ }\to {\cos \frac{\alpha }{2}\ }={\sin \frac{\alpha }{2}\ }-1,4.$$
$${{\sin }^{{\rm 2}} \frac{\alpha }{2}\ }-{{\cos }^{{\rm 2}} \frac{\alpha }{2}\ }=1\to {{\sin }^{{\rm 2}} \frac{\alpha }{2}\ }+{{\sin }^{{\rm 2}} \frac{\alpha }{2}\ }-2,8{\sin \frac{\alpha }{2}\ }+1,96=1.$$
$${{{\rm 2sin}}^{{\rm 2}} \frac{\alpha }{2}\ }-2,8{\sin \frac{\alpha }{2}\ }+0,96=0\to {{\sin }^{{\rm 2}} \frac{\alpha }{2}\ }-1,4{\sin \frac{\alpha }{2}\ }+0,48=0.$$
$$D=1,96-1,92=0,04$$
$$\left[ \begin{array}{c} {\sin \frac{\alpha }{2}\ }=\frac{1,4+0,2}{2}=0,8 \\ {\sin \frac{\alpha }{2}\ }=\frac{1,4-0,2}{2}=0,6 \end{array} \leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c} {\cos \frac{\alpha }{2}\ }=0,6 \\ {\cos \frac{\alpha }{2}\ }=-0,8 \end{array} \right.$$ $${\sin \alpha \ }=2{\sin \frac{\alpha }{2}\ }{\cos \frac{\alpha }{2}\ }=2\cdot 0,8\cdot \left(-0,6\right)=-0,96$$
Задание 11120
Найдите $${\tan \alpha \ }$$, если $${\sin \alpha \ }=\frac{5\sqrt{26}}{26}$$ и $$\alpha \in (0;\frac{\pi }{2})$$
1. Выразим тангенс через синус. Для этого возведем тангенс в квадрат (в данном случае это допустимо, т.к. при $$\alpha \in (0;\frac{\pi }{2})$$ и синус и косинус положительны. Получим: $${{\tan }^{{\rm 2}} \alpha \ }=\frac{{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }}{{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha \ }}=\frac{{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }}{{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha \ }+1-1}=\frac{{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }}{{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha \ }+1-{{\cos }^{{\rm 2}} \alpha \ }-{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }}=\frac{{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }}{1-{{\sin }^{{\rm 2}} \alpha \ }}$$
2. Подставим вместо синуса числовое выражение: $${{\tan }^{{\rm 2}} \alpha \ }=\frac{25\cdot 26}{{26}^2}:\left(1-\frac{25\cdot 26}{{26}^2}\right)=\frac{25\cdot 26}{{26}^2}:\frac{{26}^2-25\cdot 26}{{26}^2}=\frac{25\cdot 26}{{26}^2}\cdot \frac{{26}^2}{26}=25$$ и $${\tan \alpha \ }=\sqrt{25}=5$$
Задание 11139
Найдите значение выражения $$46\sqrt{2}{\cos (-\frac{\pi }{4})\ }{\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\ }.$$
Задание 12809
Найдите значение выражения $$\frac{-11{\sin 42\ }{}^\circ }{{\cos 21\ }{}^\circ \cdot {\cos 69\ }{}^\circ }$$
$$\frac{-11{\sin 42\ }{}^\circ }{{\cos 21\ }{}^\circ \cdot {\cos 69\ }{}^\circ }=$$ $$\frac{-11{\sin 42\ }{}^\circ }{{\cos 21\ }{}^\circ \cdot {\sin (90-21\ }{}^\circ }=$$$$\frac{-11{\sin 42\ }{}^\circ }{{\cos 21\ }{}^\circ \cdot {\sin 21\ }{}^\circ }=$$ $$\frac{-11\sin 42^{\circ}}{0,5\sin 42^{\circ}}=-22$$
Задание 12829
Найдите значение выражения $$3\sqrt{2}{{\cos }^{{\rm 2}} \frac{13\pi }{8}\ }-3\sqrt{2}{{\sin }^{{\rm 2}} \frac{13\pi }{8}\ }$$
$$3\sqrt{2}\cos^{2}\frac{13\pi}{8}-3\sqrt{2}\sin^{2}\frac{13\pi}{8}=$$$$3\sqrt{2}(\cos^{2}\frac{13\pi}{8}-\sin^{2}\frac{13\pi}{8})=$$$$3\sqrt{2}\cos \frac{13\pi}{4}=$$$$3\sqrt{2}\cos \frac{5\pi}{4}=3\sqrt{2}\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})=-3$$
Задание 12848
Найдите значение выражения $$2\sqrt{3}{{\cos }^{{\rm 2}} \frac{17\pi }{12}\ }-2\sqrt{3}{{\sin }^{{\rm 2}} \frac{17\pi }{12}\ }$$
$$2\sqrt{3}{{\cos }^{{\rm 2}} \frac{17\pi }{12}\ }-2\sqrt{3}{{\sin }^{{\rm 2}} \frac{17\pi }{12}\ }=$$$$2\sqrt{3}(\cos^{2}\frac{17\pi}{12}-\sin^{2}\frac{17\pi}{12})=$$$$2\sqrt{3}\cos \frac{17\pi}{6}=$$$$2\sqrt{3}\cos \frac{5\pi}{6}=$$$$2\sqrt{3}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-3$$
