Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / (C7) Числа и их свойства

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9953

Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел в А равно q и никакие два числа в множестве А не являются взаимно простыми. Найдите все числа множества А, если:

а) q=210 , произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа.
б) q=390, произведение всех чисел из А не делится на 160 и не является четвертой степенью никакого целого числа.
в) q=330, произведение всех чисел из А не является четвертой степенью никакого целого числа, а сумма всех чисел из А равна 755.
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9933

Имеется 2 млн. рублей, которые надо полностью истратить на покупку путевок в дома отдыха. Путевки есть на 15, 27 и 45 дней. Стоимость их соответственно 21 тыс. руб., 40 тыс. руб. и 60 тыс. руб.

а) Можно ли купить 15 путевок первого типа?
б) Какое наименьшее возможно число путевок второго типа можно купить?
в) Сколько и каких путевок надо купить, чтобы сделать число дней отдыха наибольшим?
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9881

Саша придумала уравнение $$n^{3}+13n=k^{3}+273$$ 

а) Может ли данное уравнение иметь натуральные решения при k=21?
б) Может ли данное уравнение иметь натуральные решения при $$n\geq 2020$$
в) Найдите все пары (n;k) натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению.
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9806

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.

а) Может ли наибольшее из этих одиннадцати чисел равняться 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех одиннадцати чисел.
Ответ: нет; нет; $$\frac{123}{11}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9786

Вовочка написал домашнее сочинение и допустил орфографические и пунктуационные ошибки. Затем его сестра проверила сочинение и исправила часть ошибок. В новом тексте количество пунктуационных ошибок оказалось в пределах от 15,5% до 18% от числа пунктуационных ошибок в старом тексте. Количество орфографических ошибок уменьшилось втрое и составило 25% от числа пунктуационных ошибок в первоначальном тексте.

а) Может ли в новом тексте содержаться ровно 5 ошибок?
б) Может ли в новом тексте содержаться ровно 6 ошибок?
в) Какое наименьшее число ошибок могло содержаться в первоначальном тексте?
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9686

В классе учится 15 мальчиков и n девочек. Анализируя успеваемость учащихся по предмету за полугодие, завуч заметил, что общее количество оценок в журнале составляет $$n^{2}+13n-2$$, причём все ученики имеют одинаковое количество оценок.

а) Может ли в классе быть 16 девочек?
б) Сколько может быть девочек в классе?
в) Сколько оценок получил каждый ученик по предмету за полугодие?
Ответ: а)нет б)13 в)12
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9666

На доске написано 12 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 16.

а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 18?
б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 11?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел
Ответ: а) нет; б) нет; в) 11,75
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9638

а) Существует ли пара натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 5, а наименьшее общее кратное – 123?
б) Существует ли пара натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 7, а наименьшее общее кратное – 294?
в) Найдите все пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 13, а наименьшее общее кратное – 78.
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9533

Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел -1, 3, 4, -5, 7, -9, -10, 11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел -1, 3, 4, -5, 7, -9, -10, 11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Ответ: нет; нет; 16
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9513

В магазине продаются товары, каждый из которых стоит целое число рублей. Средняя цена товара составляет 500 рублей. Однажды цены всех товаров уменьшили на 10%, а потом округлили до наибольшего целого числа рублей, не превосходящего уменьшенную цену.

а) Могла ли после этого средняя цена товара стать равной 450 рублей?
б) Могла ли после этого средняя цена товара стать равной 449,5 рублей?
в) Известно, что средняя цена товара стала равной 449,1 рублей. После этого цены ещё раз уменьшили на 10%, а потом округлили до наибольшего целого числа рублей, не превосходящего уменьшенную цену, и средняя цена товара стала равной 403,29 рублей. Какое наименьшее значение могла принимать цена одного товара изначально?
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9493

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр но 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9388

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 14 раз больше, либо в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7424.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9368

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 12 раз больше, либо в 12 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 8750.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9348

В магазине продаются мобильные телефоны, каждый из которых стоит целое число тысяч рублей (больше нуля, но менее 100 тыс.). Магазин установил скидки на несколько телефонов: если цена телефона составляет N тыс. руб., то он продаётся со скидкой N%.

а) Могла ли средняя величина скидки составить ровно 1 тыс. руб?

б) Могла ли средняя величина скидки составить ровно 2 тыс. руб?

в) Известно, что средняя величина скидки составила ровно 3 тыс. руб. Какое наименьшее количество телефонов могло продаваться со скидкой?

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9251

Известно, что в кошельке лежало п монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Таня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 64 рубля и ручки за 31 рубль, если n=16?

б) Могли ли все её покупки состоять из стакана компота за 15 рублей, сырка за 20 рублей и булочки за 25 рублей, если n=26?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Таня купила только альбом за 96 рублей и n=19?

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9234

Известно, что в кошельке лежало п монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n=14?

б) Могли ли все её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n=19?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n=24?

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9167

Будем называть дробь «простой», если её числитель равен 1, а знаменатель – натуральное число.

а) Запишите число 1 в виде суммы трёх различных простых дробей.

б) Можно ли записать число 1 в виде суммы двух различных простых дробей?

в) Какие действительные числа, меньшие 1, можно записать в виде суммы некоторого числа различных простых дробей?

Ответ: да; нет; положительное рациональное число, меньшее 1
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9116

Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги — натуральное число рублей. Если цена книги меньше 75 рублей, на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 15 рублей, из-за чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось.

а) Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки?

б) Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки?

в) Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 80 рубля, средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 56 рублей, а средняя цена книг без бирки — 152 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 70 рублей, а средняя цена книг без бирки — 145 рублей. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9097

Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 30, но меньше 40, а в автобусах модели Б — больше 40, но меньше 50. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.

а) Может ли потребоваться 6 автобусов модели А?

б) Найдите наименьшее возможное количество детей в группе.

в) Сколько в группе детей, если для их перевозки потребовалось 3 автобуса модели Б?

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9051

На сайте школы идет голосование на звание «Лучший ученик года», где каждый посетитель голосует только за одного из претендентов. Рейтинг каждого претендента (доля голосов, отданных за него) выражается в процентах, округленных до целого числа. Например, числа 9,3; 17,5 и 19,9 округляются до 9; 18 и 20 соответственно.

а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Мог ли рейтинг одного из претендентов равняться 41?

б) Пусть претендентов четверо. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?

в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого претендента равнялся 5. Это число не изменилось и после того, как Игорь проголосовал за него. При каком наименьшем числе отданных за всех претендентов голосов, включая Игоря, такое возможно?

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 8918

Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги — натуральное число рублей. Если цена книги меньше 80 рублей, на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 5 рублей, из-за чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось.

а) Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки?

б) Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки?

в) Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 103 рубля, средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 67 рублей, а средняя цена книг без бирки — 157 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 70 рублей, а средняя цена книг без бирки — 146 рублей. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8898

Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги — натуральное число рублей. Если цена книги меньше 100 рублей, на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 10 рублей, из-за чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось.

а) Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки?

б) Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки?

в) Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 110 рублей, средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 81 рубль, а средняя цена книг без бирки — 226 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 90 рублей, а средняя цена книг без бирки — 210 рублей. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?

Ответ: да; да; 20
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8877

На листочке записано 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 7, среднее арифметическое семи наибольших из них равно 16.

а) Может ли наименьшее из 13 чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех 13 чисел равняться 12?

в) Пусть P – среднее арифметическое всех 13 чисел, Q – седьмое по величине число. Найдите наибольшее значение выражения.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 8803

Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 40, но меньше 50, а в автобусах модели Б — больше 50, но меньше 60. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.

а) Может ли потребоваться 4 автобуса модели Б?
б) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе, если известно, что их меньше 300.
в) Найдите наибольшее возможное количество автобусов модели А.
Ответ: да; 270; 17
Аналоги к этому заданию:

Задание 8784

Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 30, но меньше 40, а в автобусах модели Б — больше 40, но меньше 50. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.

а) Может ли потребоваться 5 автобусов модели А?
б) Найдите наименьшее возможное количество детей в группе, если известно, что их больше 150.
в) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе.
Ответ: да; 180; 546
Аналоги к этому заданию:

Задание 8765

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе 1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.
Ответ: да; нет; 5
Аналоги к этому заданию:

Задание 8746

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Ответ: нет; нет; 3
Аналоги к этому заданию:

Задание 8723

В ящике лежит 58 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 976 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1036 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 12 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Ответ: нет; нет; 240 гр.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8703

В ящике лежит 76 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 85 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 124 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 8 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Ответ: нет, нет, 676 гр.
Аналоги к этому заданию:

Задание 5633

В треугольнике ABC угол B равен 120°, а длина стороны AB на $$3\sqrt{3} меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC .

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 1339

Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние $$n^{k+1}-n!=5(30k+11)$$

Ответ: $$n=5 , k=3$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1338

Перед каж­дым из чисел 5, 6, . . ., 10 и 12, 13, . . ., 16 про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего к каж­до­му из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел пер­во­го на­бо­ра при­бав­ля­ют каж­дое из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел вто­ро­го на­бо­ра, а затем все 30 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Ответ: 1 и 645
Аналоги к этому заданию:

Задание 1337

Мно­же­ство А со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел. Ко­ли­че­ство чисел в А боль­ше семи. Наи­мень­шее общее крат­ное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наи­боль­ший общий де­ли­тель боль­ше еди­ни­цы. Про­из­ве­де­ние всех чисел из А де­лит­ся на 1920 и не яв­ля­ет­ся квад­ра­том ни­ка­ко­го це­ло­го числа. Найти числа, из ко­то­рых со­сто­ит А.

Ответ: {6,10,14,30,42,70,105,210}
Аналоги к этому заданию:

Задание 1336

Най­ди­те все пары  $$(x;y)$$  целых чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щие си­сте­ме не­ра­венств:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}< 18x-20y-166\\ 32x-y^{2}> x^2+12y+271\end{matrix}\right.$$

Ответ: (12;-8)
Аналоги к этому заданию:

Задание 1335

Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния $$2^{m}-3^{n}=1$$

Ответ: m=2 , n=1
Аналоги к этому заданию:

Задание 1334

Най­ди­те все трой­ки на­ту­раль­ных чисел k, m и n, удо­вле­тво­ря­ю­щие урав­не­нию $$2\cdot k!=m!-2\cdot n! (1!=1;2!=1*2;n!=1*2*...*n)$$

Ответ: k=1 ,n=2, k=3 ; k=n=3 , m =4 ; k=2, n=1, m=3
Аналоги к этому заданию:

Задание 1333

Каж­дое из чисел 2, 3, …, 7 умно­жа­ют на каж­дое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каж­дым из по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ний про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего все 54 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Ответ: 1 и 4131
Аналоги к этому заданию:

Задание 1332

Наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее число x, равно  $$\frac{x^{2}+6}{7}$$  Най­ди­те все такие зна­че­ния x.

Ответ: $$1 ; \sqrt{8}; \sqrt{15}; \sqrt{22}; \sqrt{29} ; 6$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1331

За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за про­иг­рыш ─ 0 очков. В тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие m маль­чи­ков и d де­во­чек, причём каж­дый иг­ра­ет с каж­дым два­жды.

а) Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать де­воч­ки, если m = 3, d = 2.
б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d = 10.
в) Ка­ко­вы все воз­мож­ные зна­че­ния d, если m = 7d и из­вест­но, что в сумме маль­чи­ки на­бра­ли ровно в 3 раза боль­ше очков, чем де­воч­ки?
Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.
Аналоги к этому заданию:

Задание 1330

Дано трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число (число не может на­чи­нать­ся с нуля), не крат­ное 100.
а) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 90?
б) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 88?
в) Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?
Ответ: а) да ; б) нет ; в) 91