ЕГЭ Профиль
Задание 1330
Задание 1331
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.
Задание 1333
Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Задание 1337
Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит А.
Задание 1338
Перед каждым из чисел 5, 6, . . ., 10 и 12, 13, . . ., 16 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 30 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Задание 2504
На доске записаны 20 чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, а среднее арифметическое чисел во второй группе равно В.
А) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться равным $$\frac{A+B}{2}$$?
Б) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться меньше, чем $$\frac{A+B}{2}$$?
В) Найдите наименьшее возможное значение выражения $$\frac{A+B}{2}$$.
Задание 2950
а) да, например $$1; 1\frac{1}{9};...$$
б) Нет. Два из этих 29 членов были бы соседними, тогда разность прогрессии была бы целой, а тогда и все остальные члены прогрессии были бы целыми.
в) Заметим что прогрессия $$0;\frac{1}{k};\frac{2}{k};...;\frac{49}{k}$$ содержит ровно $$[\frac{49}{k}]+1$$. Это позволяет сразу привести примеры:
Для 1 числа можно взять $$k=50$$.
Для 2 можно взять $$k=49$$.
Продолжая, подберем $$k=24,16,12,9,8,7,6,5$$ для всех чисел до 10.
Допустим можно сделать прогрессию ровно с 11 целыми членами. Разобьем ее на 10 блоков по 5 чисел. Два целых попадут в один блок, поэтому разница между ними не превосходит $$4d$$, где $$d$$ — разность прогрессии. Но тогда в каждых четырех подряд членах прогрессии попадается целое число, а 50 чисел можно разбить на 12 четверок и еще два числа.
Задание 3040
На листочке написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1485. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 23 заменили на число 32).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 9 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Задание 3210
В шахматном турнире участвовало 20 шахматистов, причём 6 из них – из России. Каждый шахматист сыграл по одной партии с каждым. За победу в партии шахматист получал 1 очко, за ничью – 0,5 очка, в случае проигрыша – 0 очков.
А) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 14 очков?
Б) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 100 очков?
В) Известно, что первое место занял шахматист из России, а второе место – шахматист из другой страны. Какое наибольшее суммарное количество очков могли набрать российские шахматисты?