Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / (C7) Числа и их свойства

Задание 1330

Дано трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число (число не может на­чи­нать­ся с нуля), не крат­ное 100.
а) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 90?
б) Может ли част­ное этого числа и суммы его цифр быть рав­ным 88?
в) Какое наи­боль­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние может иметь част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?
Ответ: а) да ; б) нет ; в) 91

Задание 1331

За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за про­иг­рыш ─ 0 очков. В тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие m маль­чи­ков и d де­во­чек, причём каж­дый иг­ра­ет с каж­дым два­жды.

а) Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать де­воч­ки, если m = 3, d = 2.
б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d = 10.
в) Ка­ко­вы все воз­мож­ные зна­че­ния d, если m = 7d и из­вест­но, что в сумме маль­чи­ки на­бра­ли ровно в 3 раза боль­ше очков, чем де­воч­ки?
Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.

Задание 1332

Наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее число x, равно  $$\frac{x^{2}+6}{7}$$  Най­ди­те все такие зна­че­ния x.

Ответ: $$1 ; \sqrt{8}; \sqrt{15}; \sqrt{22}; \sqrt{29} ; 6$$

Задание 1333

Каж­дое из чисел 2, 3, …, 7 умно­жа­ют на каж­дое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каж­дым из по­лу­чен­ных про­из­ве­де­ний про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего все 54 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Ответ: 1 и 4131

Задание 1334

Най­ди­те все трой­ки на­ту­раль­ных чисел k, m и n, удо­вле­тво­ря­ю­щие урав­не­нию $$2\cdot k!=m!-2\cdot n! (1!=1;2!=1*2;n!=1*2*...*n)$$

Ответ: k=1 ,n=2, k=3 ; k=n=3 , m =4 ; k=2, n=1, m=3

Задание 1335

Най­ди­те все пары на­ту­раль­ных чисел m и n, яв­ля­ю­щи­е­ся ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния $$2^{m}-3^{n}=1$$

Ответ: m=2 , n=1

Задание 1336

Най­ди­те все пары  $$(x;y)$$  целых чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щие си­сте­ме не­ра­венств:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}< 18x-20y-166\\ 32x-y^{2}> x^2+12y+271\end{matrix}\right.$$

Ответ: (12;-8)

Задание 1337

Мно­же­ство А со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел. Ко­ли­че­ство чисел в А боль­ше семи. Наи­мень­шее общее крат­ное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наи­боль­ший общий де­ли­тель боль­ше еди­ни­цы. Про­из­ве­де­ние всех чисел из А де­лит­ся на 1920 и не яв­ля­ет­ся квад­ра­том ни­ка­ко­го це­ло­го числа. Найти числа, из ко­то­рых со­сто­ит А.

Ответ: {6,10,14,30,42,70,105,210}

Задание 1338

Перед каж­дым из чисел 5, 6, . . ., 10 и 12, 13, . . ., 16 про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего к каж­до­му из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел пер­во­го на­бо­ра при­бав­ля­ют каж­дое из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел вто­ро­го на­бо­ра, а затем все 30 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Ответ: 1 и 645

Задание 1339

Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние $$n^{k+1}-n!=5(30k+11)$$

Ответ: $$n=5 , k=3$$
 

Задание 2504

На доске записаны 20 чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, а среднее арифметическое чисел во второй группе равно В.
А) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться равным $$\frac{A+B}{2}$$?
Б) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться меньше, чем $$\frac{A+B}{2}$$?
В) Найдите наименьшее возможное значение выражения $$\frac{A+B}{2}$$.

Ответ: а) да; б) да; в) $$\frac {34}{19}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2950

Имеется арифметическая прогрессия, состоящая из пятидесяти чисел.
а) Может ли эта прогрессия содержать ровно 6 целых чисел?
б) Может ли эта прогрессия содержать ровно 29 целых чисел?
в) Найдите наименьшее число n, при котором эта прогрессия не может содержать ровно n целых чисел.
Ответ: а) да ; б) нет ; в) 11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) да, например $$1; 1\frac{1}{9};...$$

б) Нет. Два из этих 29 членов были бы соседними, тогда разность прогрессии была бы целой, а тогда и все остальные члены прогрессии были бы целыми.

в) Заметим что прогрессия $$0;\frac{1}{k};\frac{2}{k};...;\frac{49}{k}$$ содержит ровно $$[\frac{49}{k}]+1$$. Это позволяет сразу привести примеры:

Для 1 числа можно взять $$k=50$$.

Для 2 можно взять $$k=49$$.

Продолжая, подберем $$k=24,16,12,9,8,7,6,5$$ для всех чисел до 10.

Допустим можно сделать прогрессию ровно с 11 целыми членами. Разобьем ее на 10 блоков по 5 чисел. Два целых попадут в один блок, поэтому разница между ними не превосходит $$4d$$, где $$d$$ — разность прогрессии. Но тогда в каждых четырех подряд членах прогрессии попадается целое число, а 50 чисел можно разбить на 12 четверок и еще два числа.

 

Задание 3040

На листочке написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1485. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 23 заменили на число 32).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 9 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Ответ: а) 30 чисел 41 и 5 чисел 51; б) нет; в) 396
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3164

Пусть S(N) – сумма цифр натурального числа N. 

а) Может ли N+S(N) равняться 96?   
б) Может ли N+S(N) равняться 97?   
в) Найдите все N, для которых N+S(N) = 2017. 
Ответ: а)да ; б)нет ; b)1994 и 2012
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3210

В шахматном турнире участвовало 20 шахматистов, причём 6 из них – из России. Каждый шахматист сыграл по одной партии с каждым. За победу в партии шахматист получал 1 очко, за ничью – 0,5 очка, в случае проигрыша – 0 очков.
А) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 14 очков?
Б) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 100 очков?
В) Известно, что первое место занял шахматист из России, а второе место – шахматист из другой страны. Какое наибольшее суммарное количество очков могли набрать российские шахматисты?

Ответ: а) нет; б) нет; в) 96
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3335

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся? 
Ответ: да, нет, 39
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Масса любых трёх таких глыб не превосходит 5 тонн. Значит, в 60 грузовиков можно погрузить 180 таких глыб. Всего глыб 170, поэтому их можно увезти на 60 грузовиках.

б) Суммарная масса глыб равна 50 · 800 + 60 · 1000 + 60 · 1500 = 190 000 (кг), то есть в точности совпадает с грузоподъёмностью 38 грузовиков. Значит, если возможно увезти эти глыбы на 38 грузовиках, то каждый грузовик должен быть загружен полностью (по массе груза).

Если в каком-то грузовике есть глыба массой 800 кг, то единственная возможность загрузить такой грузовик полностью — это добавить ещё 4 таких глыбы и одну глыбу массой 1 000 кг. Таким образом, грузовиков, загруженных так, понадобится 10 штук. Поскольку осталось 60 глыб, массой 1 500 кг каждая, и 28 грузовиков, то в одном из грузовиков должно быть хотя бы 3 такие глыбы. Но в грузовик, в который загружено 3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, ничего больше погрузить не получится.

Значит, на 38 грузовиках увезти эти глыбы нельзя.

в) В предыдущем пункте было показано, что 38 грузовиков не хватит.

Если в 10 грузовиков загрузить по 5 глыб, массой 800 кг каждая, и глыбу массой 1 000 кг, в 25 грузовиков загрузить по 2 глыбы, массой 1 000 кг каждая, и по 2 глыбы, массой 1 500 кг каждая, в 3 грузовика загрузить

3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, и в один грузовик глыбу массой 1 500 кг, то все глыбы окажутся загружены в 39 грузовиков. Значит, наименьшее количество грузовиков — это 39.

 

Задание 3382

В роте 2 взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 50, а вместе солдат меньше, чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.
б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?
в) Сколько в роте может быть солдат?
Ответ: а) 51 и 68; б) нет; в) 117 или 119
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3430

а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в два раза. Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза.

б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в три раза. Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза.

Ответ: -
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3667

а) Могут ли выполняться равенства $$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot a_{4}=30$$, где $$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$$ – целые числа?
б) Могут ли выполняться равенства $$a_{1}+a_{2}+...+a_{6}+a_{7}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot...\cdot a_{6}\cdot a_{7}=60$$, где $$a_{1},a_{2},...,a_{6},a_{7}$$ – целые числа?
в) При каком наименьшем номере $$n\geq2$$ могут выполняться равенства $$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot...\cdot a_{n}=2018$$, где $$a_{1},a_{2},...,a_{n}$$  – целые числа?
Ответ: а) Да; б) нет; в) 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3866

Назовем натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадает первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д. Например, числа 121 и 123321 являются палиндромами.

А) Приведите пример числа‐палиндрома, которое делится на 15.
Б) Сколько существует пятизначных чисел‐палиндромов, делящихся на 15?
В) Найдите 37‐е по величине число‐палиндром, которое делится 15.
Ответ: а) 525; 585; б) 33; в) 59295
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Чтобы делилось на 15, то должно делиться и на 5, и на 3 $$\Rightarrow$$ оканчивается на 0 или 5 (на 0 не может $$\Rightarrow$$ на 5) и сумма цифр делится на 3.

Например: $$5a5$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{5+a+5}{3}\in N$$

$$\Rightarrow$$ $$\frac{10+a}{3}\in N$$ $$\Rightarrow$$ $$a=2$$; $$a=8$$ 

$$\Rightarrow$$ $$525;585$$

б) Пусть $$5aba5$$ - число $$\Rightarrow$$

$$\frac{5+a+b+a+5}{3}\in N,a,b\in N\in[0....9]$$

$$\frac{10+2a+b}{3}\in N$$, при этом $$2a+b\in[0...27]$$

$$\Rightarrow$$ $$10+2a+b\in[10...37]$$.

Выберем все кратные 3 из этого диапазона: $$12;15;18;21;24;27;30;33;36$$

1) $$10+2a+b=12$$

$$2a+b=2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=1;b=0$$ или $$a=0;b=2$$

$$52025;20205$$

2) $$10+2a+b=15$$

$$2a+b=5$$ 

$$a=\frac{5-b}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$a=0;b=5$$ или $$a=2;b=1$$

или $$a=2;b=1$$

$$50505;52125;51315$$

3)  $$10+2a+b=18$$

$$2a+b=8$$ $$\Rightarrow$$ $$a=4;b=0$$

$$a=3;b=2$$ или $$a=2;b=4$$

$$a=1;b=6$$ или $$a=0;b=0$$

4) $$10+2a+b=21$$

$$2a+b=11$$ $$\Rightarrow$$ $$a=5;b=1$$ или $$a=4;b=3$$

$$a=3;b=5$$ или $$a=2;b=7$$

$$a=1;b=9$$

5) $$10+2a+b=24$$

$$2a+b=14$$ $$\Rightarrow$$

$$a=7;b=0$$ или $$a=6;b=2$$

$$a=5;b=4$$ или $$a=4;b=6$$

$$a=3;b=8$$

6) $$10+2a+b=27$$

$$2a+b=17$$ $$\Rightarrow$$

$$a=8;b=1$$

$$a=7;b=3$$ или $$a=6;b=5$$

$$a=5;b=7$$ или $$a=4;b=9$$

7)  $$10+2a+b=30$$

$$2a+b=20$$ $$\Rightarrow$$

$$a=9;b=2$$ или $$a=8;b=4$$

$$a=7;b=6$$ или $$a=6;b=8$$

8) $$10+2a+b=33$$

$$2a+b=23$$ $$\Rightarrow$$

$$a=9;b=5$$ или $$a=8;b=7$$

$$a=7;b=9$$

9) $$10+2a+b=36$$

$$2a+b=26$$ $$\Rightarrow$$

$$a=9;b=8$$ 

Всего: $$2+3+5+5+5+5+4+3+1=33$$ числа

в) С учетом пункта б) получим: 3хзначных чисел 3 штуки

4х: $$\frac{5aa5}{3}=N$$

$$\frac{10+2a}{3}=N$$

$$2a\in[0...18]$$ $$\Rightarrow$$ $$10+2a\in[10...18]$$

12: $$2a=2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=1$$

15: $$2a=5$$ $$\Rightarrow$$ $$​\varnothing$$

18: $$2a=8$$ $$\Rightarrow$$ $$a=4$$

21: $$2a=11$$ $$\Rightarrow$$ $$​\varnothing$$

24: $$2a=14$$ $$\Rightarrow$$ $$a=7$$

27: $$2a=17$$ $$\Rightarrow$$ $$\varnothing$$

Всего 3 числа.

То есть 3х и 4х значных в сумме 6 штук.

5ти всего 33  $$\Rightarrow$$ вместе 39, нам нужно 37, то есть предпоследнее  $$\Rightarrow$$ 59295

 

Задание 4023

По кругу посажены 19 кустов ландышей.
а) Докажите, что обязательно найдутся два соседних куста, общее количество колокольчиков на которых чётно.
б) Всегда ли можно найти два соседних куста, общее количество колокольчиков на которых кратно 3?

Ответ: а) нет; б) нет
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) четные в сумме дают 2 четных или 2 нечетных; чтобы получалось нечетное надо, чтобы чередовались четные и нечетные, но, пусть 1ый куст нечетный, тогда 19ый будет тоже нчеетный $$\Rightarrow$$ т.к. дан круг, то они окажутся рядом и в сумме получим четное

б) Нет, пусть на на четных по номеру по 2, на нечетных по 3, тогда всегда сумма $$2+3$$, а у первого и 19го $$2+2=4$$, ни там, на там не делится на 3

 

Задание 4193

Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.
А) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 89?
Б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 86?
В) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Ответ: а) да; б) нет; в) 91
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Пусть $$abc\in N=K$$; $$K=100a+10b+c$$
а) $$\frac{100a+10b+c}{a+b+c}=89$$; $$100a+10b+c=89a+89b+89c$$; $$11a=79b+88c$$; $$a=\frac{79b}{11}+8c$$
Т.к. $$a,b,c\in N$$ и 79 не делится нацело на 11, то $$b=0$$. Т.к. $$b,c,\in[0;-9]$$, $$a\in[1...9]$$ то $$c=1$$ $$\Rightarrow$$ $$a=8$$ число: $$k=801$$
б) Аналогично: $$\frac{100a+10b+c}{a+b+c}=86$$; $$14a=76b+85c$$; $$a=\frac{76b}{14}+\frac{85c}{14}=\frac{38b}{7}+\frac{85c}{14}$$
Т.к. 85 не делится нацело на 14, то $$c=0$$ $$\Rightarrow$$ т.к. 38 не делится нацело на 7, то $$b=0$$ или $$b=7$$; если $$b=0$$, то $$a=0$$ - не подходит, если $$b=7$$, то $$a=38$$, тоже не подходит $$\Rightarrow$$ не может.
в)  $$\frac{100a+10b+c}{a+b+c}=N$$; $$100a+10b+c=Na+Nb+Nc$$; $$a(100-N)=b(N-10)+c(N-1)$$; $$a=\frac{N-10}{100-N}b+\frac{N-1}{100-n}c$$; $$a=(-1+\frac{90}{100-N}b+(-1+\frac{99}{100-n})c$$
$$\frac{90}{100-N}$$ и $$\frac{99}{100-N}$$ - числа натуральные. Рассмотрим $$\frac{99}{100-N}$$. Т.к. оно натуралььное,то $$100-N$$ - делитель 99:
$$100-N=99$$ $$\Rightarrow$$ $$N=1$$
$$100-N=33$$ $$\Rightarrow$$ $$N=67$$
$$100-N=11$$ $$\Rightarrow$$ $$N=89$$
$$100-N=9$$ $$\Rightarrow$$ $$N=91$$
$$100-N=3$$ $$\Rightarrow$$ $$N=97$$
$$100-N=1$$ $$\Rightarrow$$ $$N=99$$
Пусть $$N=91$$, тогда $$a=(-1+\frac{90}{9})B+(-1+\frac{99}{9})c=9b+10c$$ если $$c=0$$, $$b=1$$, то $$a=9$$, число 910.
Пусть $$N=97$$, тогда $$a=(-1+\frac{90}{3})B+(-1+\frac{99}{3})c=29a+32c$$ - решений нет
Аналогично при $$N=99$$
 

Задание 4401

А) Можно ли записать точный квадрат, использовав по 10 раз цифры 1, 2, 3?
Б) Можно ли записать точный квадрат, использовав по 10 раз цифры 2, 3, 6?
В) Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 дает остаток 1. Пусть а кратно 3 $$\Rightarrow$$ $$a=3k$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}=9k$$ делится на 9. Пусть не кратно $$\Rightarrow$$ $$a=3k+1$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}=(3k+1)^{2}=9k^{2}+6k+1=3(3k^{2}+2k)+1$$ $$\Rightarrow$$ остаток 1.

$$a=3k+2$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}=9k^{2}+12k+4=3(3k^{2}+4k+1)+1$$ $$\Rightarrow$$ остаток 1.

Аналогично тогда и сумма цифт делится на 9 или при делении на 3 дает в остатке 1.

Сумма цифт числа в таком случае: $$1\cdot10+2\cdot10+3\cdot10=60$$ - это число не делится на 9 и при делении на 3 не дает остаток 1 $$\Rightarrow$$ нет.

б) Аналогично сумма цифр $$2\cdot10+3\cdot10+6\cdot10=110$$ $$\Rightarrow$$ нет.

в) 1970 на 9 не делится. При делении на 3 дает остаток 2 $$\Rightarrow$$ нет.

 

Задание 4578

А) Может ли произведение двух различных натуральных чисел оказаться в 5 раз больше, чем разность этих чисел?
Б) Может ли произведение двух различных натуральных чисел оказаться в 5 раз больше, чем разность квадратов этих чисел?
В) Найдите все трехзначные натуральные числа, каждое из которых в 5 раз больше, чем сумма попарных произведений его цифр.

Ответ: а) да; б) нет; в) 145
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4777

На доске написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 17. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые оказались меньше 6, стерли.

А) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел больше 17?
Б) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел больше 19, но меньше 20?
В) Найдите максимально возможное значение среднего арифметического чисел, оставшихся на доске.
Ответ: а) да; б) нет; в) 23,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4824

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий ее член и снова вычислил такую же разность.

А) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.
Б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли такая прогрессия сначала состоять из 13 членов?
В) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии первоначально?
Ответ: 1,3,(5);нет;8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Обозначим разности из условия задачи через $$s_{1}$$ и $$s_{2}$$,  n-й член прогрессии - через $$x_{n}$$, сумму первых n ее членов  - через $$S_{n}$$. Как известно, квадрат суммы любого числа слагаемых равен сумме квадратов и различных удвоенных произведений  слагаемых. Поэтому: $$s_{1}=2(x_{1}x_{2}+...+x_{n-1}x_{n})$$, $$s_{2}=2(x_{1}x_{2}+..+x_{n}x_{n+1})$$. В $$s_{2}$$ входят все слагаемые из $$s_{1}$$ и удвоенные произведения $$x_{n+1}$$ на все члены прогрессии от $$x_{1}$$ до $$x_{n}$$. Значит, $$s_{2}-s_{1}=2x_{n+1}(x_{1}+..x_{n})=2x_{n+1}S_{n}(1)$$

     А) Ответ: 1,3,(5).Если  $$s_{2}-s_{1}=40, x_{n+1}S_{n}=20$$. Последнее равенство выполняется , например , для прогрессии 1,3,(5).

     Б) Ответ: не могла . В условиях задачи наименьшее значение в (1) при  n=13  равно $$2*13(0+1+..+12)=2028>1768$$

     В) Ответ: 8. Из формулы (1) получаем : $$s_{2}-s_{1}=2x_{n+1}\frac{(x_{1}+x_{n})n}{2}=x_{n+1}(x_{1}+x_{n})n=1768$$. Следовательно , $$1768=2^{3}*13*17$$ делится на  n. Из пункта Б)  $$n<13$$ ; наибольший из таких делителей равен 8 . Проверим это значение . Если $$n=8$$, $$x_{9}(x_{1}+x_{8})=13*17$$. Возможны следующие два варианта

   1. $$x_{9}=17\Rightarrow$$ $$x_{8}\leq 13\Rightarrow$$ разность прогрессии  $$d\geq 4\Rightarrow$$ $$x_{1}=x_{9}-8d\leq 17-32<0$$

   2. $$x_{9}=13\Rightarrow$$ при $$d\geq 2$$ будем иметь : $$x_{1}=x_{9}-8d\leq 13-16<0$$. Значит, $$d=1$$. Конечная прогрессия 5,6,7,8,9,10,11,12 удовлетворяет условию задачи.

 

Задание 4868

На листочке написано несколько натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое‐то число m, выписываемое на доску, посторяется несколько раз, то на доске оставляется только одно такое число m, а все остальные числа, равные m, стираются. Например, если задуманы числа 2,3,4,5, то на доске будет записан набор 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14
А) Приведите пример записанных на листочке чисел, при которых на доске будет записан набор 2,4,6,8
Б) Существует ли пример таких записанных на листочке чисел, для которых на доске записан набор чисел 1,3,4,5,6,9,10,11,12,13,14,17,18,19,20,22?
В) Приведите все примеры записанных на листочке чисел, для которых на доске будет записан набор чисел 9,10,11,19,20,21,22,30,31,32,33,41,42,43,52.
Ответ: а)2,2,2,2 б)нет в)9,10,11,11,11 или 9,10,11,22
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Можно смело утверждать, что первое число из последовательности однозначно было записано на листке. В таком случае у нас точно была 2. Далее, чтобы получить 4, у нас должна была быть еще одно 2 или просто число 4. В первом случае затем, чтобы получить шесть придется добавить еще 2. И так же еще 2, чтобы получить 8. В итоге получаем последовательность чисел на листочке: 2,2,2,2. Для второго случая необходимо будет добавить еще одну 2. И получим 2,2,4. б)Аналогично рассуждая получаем, что точно есть 1. Чтобы получить 3 она изначально должна присутствовать, или нужно число 2, или же изначально три единицы. Число 2 явно отсутствует, иначе оно было бы в последовательности, как и три единицы, так же была бы двойка. Значит уже есть 1 и 3. Далее у нас есть 5, чтобы ее получить у нас должна быть или 5, или 1,1,3 или 1,1,1,1,1 (варианты с 2ками уже отбросили). Крайние два не подходят, при сумме появилась бы двойка, значит есть 5, но тогда 3+5=8, а 8 отсутствует в последовательности, то есть не может быть в) Аналогично с пунктом б рассуждая получаем, что точно есть 9, 10 и 11. А далее путем подборов находим, что нам понадобится еще 11 и 11, или же 22.

 

Задание 4919

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа ‐ n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за все время сделала суммарно на 1615 фотографий больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
А) Могли ли они фотографировать в течение 5 дней?
Б) Могли ли они фотографировать в течение 6 дней?
В) Какое наибольшее суммарное количество фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 30 фотографий?
Ответ: а) да; б) нет; в) 1995
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть девочки фотографировали k дней. Разность между числом Наташиных и Машиных фотографий равна:

$$S_{k}^{n}-S_{k}^{m}=$$$$\frac{(n+n+k-1)k}{2}-\frac{(m+m+k-1)k}{2}=$$$$k(n-m)=1615$$   

     А) Ответ: да. Из формулы (1) при k = 5 будет n – m = 323 $$\Rightarrow$$ равенство (1) выполняется, например, при m = 1, n = 324.
     Б) Ответ: нет. При k = 6 в левой части равенства (1) четное число, а в правой – нечетное, что невозможно.
     В) Ответ: 1995. Из формулы (1): k(n-m)= 5*17*19. (2). По условию k > 1, и Маша в последний день сделала m+k-1<30 фотографий. Поэтому k<31-m, и в равенстве (2) k может быть равно 5, 17 или 19.
   1. k = 5. Наибольшее значение m, удовлетворяющее неравенству m+k-1<30 равно $$m_{max}=25\Rightarrow$$$$S_{max}^{m}=\frac{(25+29)5}{2}=135\Rightarrow$$$$S_{max}^{n}=135+1615=1750$$ 
   2. k = 17 $$\Rightarrow$$$$m_{max}=13\Rightarrow$$$$S_{max}^{m}=\frac{(13+29)17}{2}=357\Rightarrow$$$$S_{max}^{n}=357+1615=1972$$ 
   3. k = 19 $$\Rightarrow$$$$m_{max}=11\Rightarrow$$$$S_{max}^{m}=\frac{(11+29)19}{2}=380\Rightarrow$$$$S_{max}^{n}=380+1615=1995$$ 

 

Задание 4966

Для записи двух натуральных чисел c и d $$(c<d)$$ используют две различные цифры, не равные нулю, причем каждую из них ровно три раза. Например, могут быть записаны числа 17 и 7711

А) Может ли отношение $$\frac{c}{d}$$ равняться $$\frac{89}{109}$$?  
Б) Может ли отношение $$\frac{c}{d}$$ равняться $$\frac{1}{423}$$?
В) Найдите максимальное значение отношения $$\frac{c}{d}$$ .
Ответ: да, нет, $$\frac{988}{989}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     А) Ответ: да,  $$\frac{445}{545}$$

     Б) Ответ: нет. Предположим , что нашлись c и d, удовлетворяющие условию задачи, для которых $$\frac{c}{d}=\frac{1}{423}$$.Если d - пятизначное число, а c - однозначное, то $$\frac{c}{d}<\frac{10}{10000}=$$$$\frac{1}{1000}<\frac{1}{423}(1)$$. Если c и d –трехзначные число,то $$\frac{c}{d}>\frac{100}{1000}=$$$$\frac{1}{10}>\frac{1}{423}(2)$$

   Значит ,c-двухзначное число, а d-четырехзначное . Заметим, что в случае $$\frac{c}{d}<\frac{10}{1000}=\frac{1}{10}(3)$$; $$c=\frac{d}{423}<\frac{10000}{423}<24$$. Проверяя равенство $$423c=d$$ для всех $$c\in[11;23]$$ (в каждом из случаев легко устанавливается несовпадение цифр чисел c и 423c), убеждаемся, что числа c и d, удовлетворяющих условию задачи ,не существует.

     В) Ответ: $$\frac{988}{989}$$. Из неравенства (1) – (3) следует, что c и d-трехзначные числа .

   Далее, так как $$\frac{c}{d}<1$$ должно быть наибольшим ,наименьшим должно быть значение $$\Delta =1-\frac{c}{d}=\frac{d-c}{d}$$. Если $$d-c\geq 2$$, $$\Delta >\frac{2}{1000}=\frac{1}{500}$$; если $$d-c=1,\Delta =\frac{1}{d}$$ и ,например, при c=544, d=545, $$\Delta =\frac{1}{545}<\frac{1}{500}$$.Значит $$d-c=1(4)$$

   Так как для записи c и d используются не равные нулю цифры, равенство (4) возможно лишь в случае , когда одна из цифр на 1 больше другой ,а первые две цифры через c и  d совпадают : $$c=\bar{baa}$$, $$d=\bar{bab}$$ или $$c=\bar{abb}(b=a+1)$$

   Поскольку значение $$\Delta =\frac{1}{d}$$ должно быть наименьшим ,c=988,d=989

 

Задание 5015

Даны 20 чисел: 2, 3, 4,…, 20, 21.

А) Какое наибольшее количество попарно взаимно простых чисел можно выбрать из приведенных 20 чисел?
Б) Докажите, что если из приведенных 20 чисел выбрать любые 12, то обязательно найдутся два числа, из которых одно делится на другое.
В) Пусть 20 приведенных чисел являются соответственно длинами сторон 20 квадратов. Можно ли эти 20 квадратов разделить на две группы так, чтобы суммы площадей квадратов в этих группах были бы одинаковыми?
Ответ: а) 8; б) нет; в) да.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) Выпишем все числа: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21. Из них простых - 8: 2,3,5,7,11,13,17,19. Остальные составные $$\Rightarrow$$ делятся на 1 из предыдущих минимум 8

б) Т.к, необходимо взять 8 чисел есть несколько возможных вариантов. Можно взять все 8 простых и 4 составных. Но если взять 8 простых, то из 12 оставшихся только 3 нечетных, то есть минимум 1 четное $$\Rightarrow$$ делится на 2. Значит не подойдет.

Брать разные числа, но каждое из первых десяти чисел будет делителем хотя бы для одного из следующих 10ти (т.к. однозначное, умноженное на 2,в любом случае не больше 20) $$\Rightarrow$$ из 12 чисел хотя бы 1 будет однозначным  $$\Rightarrow$$ делителем  $$\Rightarrow$$ ответ: нет.

в) сумма квадратов n-первых натуральных чисел: $$p(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{21\cdot22\cdot43}{6}=3311$$; т.к. 1 не входит, то 3310  $$\Rightarrow$$ в каждом по 1655. 

$$21^{2}+20^{2}+19^{2}+18^{2}=1526$$  $$\Rightarrow$$ осталось 129

$$10^{2}+5^{2}+2^{2}=129$$ $$\Rightarrow$$ в певрвой: 2,5,10,18,19,20,21

во второй: 3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17.

 

Задание 5062

Может ли произведение цифр натурального числа быть:

а) больше 126 и меньше 130?
б) больше 731 и меньше 736?  
в) больше 887 и меньше 894.  

В случае, если такие значения существуют, то в пункте «а» необходимо  указать хотя бы одно значение, в пунктах «б» и «в» все значения.  

Ответ: а) да. Например 288 б) {3577;3757;3775;5377;5737;5773;7357;7573;7375;7735;7753} В) Не существует.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Поскольку цифры искомых чисел находятся в промежутке [1;9], то их произведен е должно иметь в качестве простых делителей только 2,3,5,7. Кроме того, в искомых числах может располагаться некоторое количество единиц.

     А) Между 126 и 130 располагаются числа  :127,128,129

   127 не имеет делителей из указанного множества

   $$128=2*8^{2}$$. Следовательно, подходящими числами могут служить :288,2222222, и т.д.

   $$129=3*31$$ ,следовательно ,такое произведение цифр невозможно .

     Б) Промежуток (731;736) содержит числа: 732,733,734,735

   $$732=2^{2}*3*31$$ – невозможное произведение .

   733,734-также невозможны, поскольку имеют простые множители ,превышающие 10.

   $$735=3*5*7^{2}$$. Таким образом , если не учитывать наличие цифры 1 ,возможны только число, имеющие одну цифру 3, одну цифру 5 и две цифры 7: {3577;3757;3775;5377;5737;5773;7357;7573;7375;7735;7753}

     В) В указанном промежутке располагаются следующие произведения 888, 889,890,891,892,893.

   $$888=2^{2}*3*37$$ - невозможные произведения

   889 и 893 - не имеют подходящих делителей

   $$890=2*5*89$$ - невозможное произведение

   $$891=3^{4}*11$$ - невозможное произведение

   $$892=2^{2}?223$$, при этом у числа 233 нет подходящих делителей, следовательно, не существует.

 

Задание 5146

На доске написан упорядоченный набор из семи различных натуральных чисел. Среднее арифметическое первых четырех и среднее арифметическое последних четырех чисел равно 12.  

А) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 12?  
Б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 8?  
В) Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать среднее  арифметическое всех чисел.
Ответ: да,нет, $$\frac{95}{7} \frac{59}{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     А) Например:{10;11;15;12;9;13;14}. Обозначим среднее число через $$a_{4}$$, а сумму всех чисел – через  S. Суммы первых четырех и последних четырех чисел равны 48, поэтому:  $$S=2*48 -a_{4}=96-a_{4}\Rightarrow$$ $$7*12=84=96-a_{4}$$. Значит , $$a_{4}=96-84=12$$. Остается преобразовать две тройки различных чисел с суммами по $$48-12=36$$

     Б) Если среднее арифметическое всех чисел равно 8, то   $$8 S=7*8=56\Rightarrow$$ $$a_{4}=96-56=40$$. Значит, сумма шести оставшихся чисел (без $$a_{4}$$) равна $$56-40=16$$, что невозможно, так как наименьшее значение суммы шести различных натуральных чисел равно 1+2+3+4+5+6=21

     B) Чтобы сумма $$S=96-a_{4}$$ была наибольшей, возьмем $$a_{4}=1$$ и образуем две тройки с суммами по $$47$$. Пример :{8;19;20;1;14;16;17},S=95

     Чтобы сумма  $$S=96-a_{4}$$ была наименьшей , сумма чисел первой и последней троек $$96-2a_{4}$$ (четное число) также должна быть наименьшей. Сумма шести наименьших натуральных чисел 1+2+3+4+5+6=21 - число нечетное, поэтому возьмем числа с суммой 22 и образуем две тройки с суммами 11: 1+3+7=2+4+5=11$$\Rightarrow$$ $$a_{4}=48-11=37$$, $$S=37+22=59$$. Пример :{1;3;7;37;2;4;5}

 

Задание 5199

По результатам теста по математике ученик получает неотрицательное число баллов. Ученик войдет в группу А, если количество баллов не менее 45. Если количество баллов меньше 45, то ученик войдет в группу Б. Чтобы не расстраивать родителей, решили каждому ученику добавить 8 баллов, поэтому количество учеников группы А увеличилось.

А) Мог ли после этого понизиться средний балл учеников группы Б?
Б) Мог ли после этого понизиться средний балл учеников группы Б, если при этом  средний балл учеников группы А тоже понизился?
В) Пусть первоначально средний балл группы А был 52 балла, группы Б – 34 балла, а средний балл всех учеников составил 46 баллов. После добавления средний балл группы А стал равен 58 баллов, группы Б – 38. При каком наименьшем числе участников возможна такая ситуация?
Ответ: да;да;15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) Пусть было 3 человека : 100;44;0. Тогда в Б был средний $$\frac{44+0}{2}=22$$ , а после прибавки в Б остался один человек с баком 8 $$\Rightarrow$$ понизился. Да

Б) Из пункта а) в группе А был один человек с баком 100,стало 2 и их средний: $$\frac{100+44+8*2}{2}=80$$. Т.е. понизился. Да.

В) Всего было N человек. В группе А сначала x $$\Rightarrow$$ в Б: N-x; стало в А: y, тогда в Б: N-y. Средний бал всех после добавлений станет: 46+8=54. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix}46N=34(N-x)+52x\\54N=38(N-y)+58y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}12N=18x\\16N=20y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{2N}{3}\\y=\frac{4N}{5}\end{matrix}\right.$$

X ;y; N-числа натуральные, значит делится нацело на 3 и 5 $$\Rightarrow N=15.$$

 

Задание 5246

Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлена обыкновенная дробь А, числитель и знаменатель которой – пятизначные числа (каждая цифра использовалась ровно один раз).

А) Какое наибольшее значение может принимать А?  
Б) Может ли значение А оказаться целым числом?  
В) Найдите такое А, чтобы значение |A‐1| было наименьшим.
Ответ: $$\frac{98765}{10234}$$, да, $$\frac{69854}{70123}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А)     Чем больше числитель, тем больше А, тогда надо использовать в числителе большие цифры $$\Rightarrow$$ 98765. В знаменателе наоборот $$\Rightarrow$$ 10234. Следовательно, $$A=\frac{98765}{10234}$$

Б)     Да, $$\frac{98760}{12345}$$

В)     Чтобы было наименьшим надо, чтобы разница между числителем и знаменателем была наименьшей:

$$\frac{49876}{50123}\Rightarrow \left | A-1 \right |=\frac{247}{50123}\approx 0,0049$$

$$\frac{59874}{60123}\Rightarrow\frac{249}{60123} \approx0,0041$$

$$\frac{69854}{70123}\Rightarrow\frac{269}{70123} \approx0,0038$$

$$\frac{79654}{80123}\Rightarrow\frac{469}{80123}\approx0,0041$$

Как видим, дальше будет увеличение, и, следовательно, наименьшее значение будет $$\frac{69854}{70123}$$

 

Задание 5294

В ряду чисел $$3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot12\cdot13\cdot14\cdot15$$ на месте каждой звездочки поставили знак «+» или «–» (по своему усмотрению) и подсчитали результат.

А) Могло ли в результате вычисления получиться число 9?
Б) Какое наименьшее натуральное число могло получиться в результате вычисления?
В) В ряду чисел $$3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot12\cdot13\cdot14\cdot15$$ на месте каждой звездочки поставили знак $$"\times"$$ или $$"\div"$$ (по своему усмотрению) и подсчитали результат. Какое наименьшее натуральное число могло получиться в результате вычисления?
Ответ: а)нет б)2 в)91
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Пусть сумма всех чисел, у которых оказался знак "+" равна $$X$$, сумма всех чисел, у которых оказался знак "-" составляет $$Y$$. Сумма всех представленных чисел равна: $$3+4+5+6+12+13+14+15=72$$. Значит мы можем составить систему: $$\left\{\begin{matrix}x+y=72\\x-y=9 \end{matrix}\right.$$ Сложим первое уравнение со вторым и получим: $$2x=81 \Leftrightarrow x=40,5$$. Но $$X$$ -сумма натуральных, он не может быть ненатуральным, следовательно, ответ на пункт а: "нет" б) Аналогично рассуждая проверим минимальные натуральные значения, начиная от единицы: $$\left\{\begin{matrix}x+y=72\\x-y=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$$$2x=73$$, следовательно вариант невозможен $$\left\{\begin{matrix}x+y=72\\x-y=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$$$2x=74 \Leftrightarrow x=37$$. Найдем такой случай: $$x=3+4+5+12+13=37$$. Значит ответ на пункт б "2" в) Разобьем на простые множители все числа: $$3 ; 2^{2} ; 5 ; 2*3 ; 2^{2}*3 ; 13 ; 2*7 ; 3* 5$$. Если выпишем все множители, получим: $$2^{6} ; 3^{4} ; 5^{2} ; 7 ; 13$$. Как видим, 7 и 13 не имеют степени, остальные имеют четную степень, то есть можно подобрать такой вариант, когда степени сократятся. Но 7 и 13 однозначно останутся, причем оба числа в числителе, так как иначе получим ненатуральное значение. Найдем такой вариант: $$\frac{12*13*14*15}{3*4*5*6}=\frac{2^{3}*3^{2}*5*7*13}{2^{3}*3^{2}*5}=91$$

 

Задание 5342

Для членов последовательности целых чисел $$a_{1},a_{2},...,a_{6}$$ при всех натуральных $$k \leq 4$$ имеет место неравенство $$a_{k+2} < 3a_{k+1} -2a_{k}$$

А) Приведите пример такой последовательности, для которой $$a_{1}=0 , a_{6}=10 $$
Б) Существует ли такая последовательность, для которой $$a_{1}=a_{3}=a_{6}$$
В) Какое наименьшее значение может принимать $$a_{2}$$, если $$a_{1}=0 ,a_{6}=1000$$
Ответ: А)0 ,2,4,6,8,10 Б)нет В)34
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10. Необходимо просто проверить выполнение условия неравенства $$a_{k+2} < 3a_{k+1} -2a_{k}$$ Б) Распишем неравенство всех членов, начиная с третьего: $$a_{3} < 3a_{2}-2a_{1}$$. Так как по условию $$a_{3}=a_{1}$$, то получаем: $$a_{1} < 3a_{2}-2a_{1} \Leftrightarrow$$$$a_{1} < a_{2}$$. Так как все числа последовательности - целые, то первый и второй член будут различаться на какое-то натуральное число (пусть оно равно x) : $$a_{2}=a_{1}+x (1)$$ $$a_{4} < 3a_{3}-2a_{2}$$. Но $$a_{3}=a_{1}$$, следовательно, подставляя равенство (1) получим: $$a_{4} < 3a_{1}-2a_{1}-2x \Leftrightarrow$$$$a_{4} < a_{1} - 2x$$. Так как неравенство строгое, то можно записать: $$a_{4} = a_{1} - 2x - y$$, где y - натуральное число. Аналогично распишем два оставшихся неравенства: $$a_{5} < 3a_{4}-2a_{3} \Leftrightarrow$$$$a_{5} < 3a_{1}-6x-3y -2a_{1} \Leftrightarrow$$$$ a_{5}< a_{1} - 6x - 3y$$. Тогда $$a_{5} = a_{1} - 6x-3y - z$$, где z - число натуральное. $$a_{6} < 3a_{5}-2a_{4} \Leftrightarrow$$$$a_{6} < 3a_{1}-18x-9y - 3z -2a_{1}+4x+2y \Leftrightarrow$$$$ a_{6} < a_{1} - 14x - 7y - 3z$$. Но $$a_{6}=a_{1}$$, тогда $$a_{1} < a_{1} - 14x - 7y - 3z \Leftrightarrow$$$$ 0 < a_{1} - 14x - 7y - 3z $$. Что невозможно, так как правая часть это три натуральных числа, взятых с минусом, то есть число отрицательное. Значит ответ на пункт Б) нет В) Рассуждение будет аналогично пункту Б). Единственное, что необходимо учитывать, что данная прогрессия будет возрастающая, и чем меньше различия между, тем меньше будет каждый из них ( то есть мы будем брать не числа x;y;z, а минимально возможное натуральное, то есть 1): $$a_{1}=0$$, тогда $$a_{3} < 3a_{2}$$ , следовательно, $$a_{3}=3a_{2}-1$$ $$a_{4} < 3a_{3}-2a_{2} \Leftrightarrow$$$$a_{4} < 9a_{2}-3-2a_{2} \Leftrightarrow$$$$ a_{4} < 7a_{2}-3$$. Тогда $$a_{4}=7a_{2}-4$$ $$a_{5} < 3a_{4}-2a_{3} \Leftrightarrow$$$$a_{5} < 21a_{2}-12-6a_{2}+2 \Leftrightarrow$$$$ a_{5} < 15a_{2}-10$$. Тогда $$a_{5}=15a_{2}-11$$ $$a_{6} < 3a_{5}-2a_{4} \Leftrightarrow$$$$a_{6} < 45a_{2}-33-14a_{2}+8 \Leftrightarrow$$$$ a_{6} < 31a_{2}-25$$. Тогда $$a_{6}=31a_{2}-26=1000$$. Тогда $$1000 < 31a_{2}-25 \Leftrightarrow$$$$ 33,064 < a_{2}$$. С учетом того, что все члены последовательности целые, получаем, что $$a_{2}=34$$

 

Задание 5390

Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n
А) Существует ли такое трехзначное число n , что K(n)=171 ?
Б) Существует ли такое трехзначное число n , что K(n)=172
В) Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n)-n, если n ‐ трехзначное число?
Ответ: да ; нет ; -582
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть число n записывается как abc, тогда n=100a+10b+c a)Разложим 171 на множители : 171 = 3*3*19. Так как K(n) сумма квадратов, и у нас присутствует два множителя 3, то исходные цифры все кратны 3 (а их квадраты кратны 9). Тогда это цифры: 3 , 6 или 9. Возьмем две 9: $$9^{2}+9^{2}=162$$. Тогда на квадрат третьего остается $$171-162=9$$, что является число $$3^{2}$$, тогда условие данного пункта удовлетворяет комбинация двух 9 и одной 3, например, 993. Следовательно, ответом будет "да" б)Разложим 172 на множители : 171 = 2*2*43. Так как K(n) сумма квадратов, и у нас присутствует два множителя 2, то исходные цифры все кратны 2 (а их квадраты кратны 4). Тогда это цифры: 2, 4, 6 или 8. Рассмотрим возможные случаи: Возьмем две 8: $$8^{2}+8^{2}=128$$. Тогда на квадрат третьего остается $$172-128=44$$. Цифры, которая в квадрате даст 44 нет, следовательно, такая комбинация не подходит. Возьмем 8 и 6: $$8^{2}+6^{2}=100$$. Тогда на квадрат третьего остается $$172-100=72$$. Цифры, которая в квадрате даст 72 нет, следовательно, такая комбинация не подходит. Возьмем 8 и 4: $$8^{2}+4^{2}=80$$. Тогда на квадрат третьего остается $$172-80=92$$. Цифры, которая в квадрате даст 92 нет, следовательно, такая комбинация не подходит. Дальше с 8 нет смысла рассматривать , так как наибольшее возможное значение квадрата цифры составляет 81 ($$9^{2}$$) , а у нас уже получилось 92 Возьмем две 6: $$6^{2}+6^{2}=72$$. Тогда на квадрат третьего остается $$172-72=100$$. Цифры, которая в квадрате даст 72 нет, следовательно, такая комбинация не подходит. Далее смысла рассматривать нет, так как на квадрат третьей цифры будет получаться всегда число большее, чем 81. Следовательно, ответ на пункт б) нет в) Распишем данное равенство через представление числа n: $$4(a^{2}+b^{2}+c^{2})-100a-10b-c \Rightarrow min$$. Выделим полные квадраты из данного выражения: $$4a^{2}-100a+625-625+4b^{2}-10b+6,25-6,25+4c^{2}-c=$$$$(2a-25)^{2}+(2b-2,5)^{2}+4c^{2}-c$$. Рассмотрим по отдельности части данного выражения (не забываем, что наибольшее значение a,b и с составляет 9): $$(2a-25)^{2}$$ принимает наименьшее значение, когда равно 0, но тогда $$a=12,5$$, что не возможно, тогда необходимо взять наибольшее значение a=9. $$(2b-2,5)^{2}$$ принимает наименьшее значение, когда равно 0, то есть при $$b=1,25$$. Так как b цифра, то ближайшее значение b=1. $$4c^{2}-c$$ принимает наименьшее значение, когда равно 0, то есть $$c=0 ; \frac{1}{4}$$ .Цифрой будет 0. Следовательно, само число 910. Найдем значение выражения: $$4(9^{2}+1^{2}+0)-910=-582$$

Задание 5633

В треугольнике ABC угол B равен 120°, а длина стороны AB на $$3\sqrt{3} меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC .

Ответ:
 

Задание 6046

В течение четверти учитель ставил школьникам отметки «1», «2», «3», «4» и «5». Среднее арифметическое отметок ученика оказалось равным 4,7.

А) Какое наименьшее количество отметок могло быть у ученика?
Б) Какое наименьшее количество отметок могло быть у ученика, если среди этих отметок есть отметка «1»
В) Учитель заменил четыре отметки «3», «3», «5» и «5» двумя отметками «4». На какое наибольшее число может увеличиться среднее арифметическое отметок ученика после такой замены?
Ответ: а)10;б)20; в)$$\frac{7}{90}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

  а) Пусть n - число отметок, $$S_{n}$$ - сумма всех отметок. Тогда $$n, S_{n} \in N$$ и $$4,7*n=S_{n}\Leftrightarrow$$$$\frac{47}{10}*2=S_{n}$$. Так как 47 - число простое, то, чтобы выполнялось условие натуральности числа отметок и их суммы, n должно быть кратно 10. Следовательно, $$n_{min}=10$$. Пример: 7 пятерок и 3 четверки

  б) Пусть n=10, тогда $$S_{n}=10*4.7-47$$. Вычтем единицу, получим $$S1_{n}=47-1=46$$, а количество оценок $$n1=10-1=9$$, но тогда среднее будет $$\frac{46}{9}=5,(1)$$, что больше 5, следовательно, невозможно. Тогда n=20

  в) Уберем 3+3+5+5=16, но добавим 4+4=8 к сумме, тогда новая сумма будет на 8 меньше первоначальной. Аналогично уберем 4 числа, а добавим 2, то есть количество чисел уменьшится на 2. Тогда новое среднее: $$\frac{4,7*n-8}{n-2}$$. Найдем разность нового и старого: $$\frac{4,7*n-8}{n-2}-4,7=$$$$\frac{4,7*2-9,4+1,4}{n-2}-4,7=$$$$\frac{4,7(n-2)+1,4}{n-2}-4,7=$$$$4,7+\frac{1,4}{n-2}-4,7=\frac{1,4}{n-2}$$. Количество числе не может быть равно 10, так как если среди них две тройки, то на остальные 8 приходится $$47-2*3=41$$, тогда среднее $$\frac{41}{8}>5$$. Следовательно, n=20, тогда разница составит: $$\frac{1,4}{20-2}=\frac{7}{90}$$

 

Задание 6093

У каждого учащегося в классе дома живет кошка или собака, а у некоторых, возможно, живет и кошка, собака. Известно, что мальчиков, имеющих собак, не более $$\frac{1}{4}$$ от общего числа учащихся, имеющих собак, а мальчиков, имеющих кошек, не более $$\frac{5}{11}$$ от общего числа учащихся, имеющих кошек.

А) Может ли в классе быть 11 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в классе 21 учащийся?
Б) Какое наибольшее количество мальчиков может быть в классе, если дополнительно известно, что всего в классе 21 учащийся?
В) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся без дополнительного условия пунктов А и Б?
Ответ: да; 11; $$\frac{6}{13}$$.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть x–число мальчиков собакой, y- с кошкой, z-с кошкой и собакой. Тогда общее кол-во мальчиков: $$S_{1}=x+y-z$$ Тогда общее количество девочек: $$S_{2}=21-x-y+z$$ Пусть у всех девочек есть кошка и собака, тогда общее количество детей с собаками : $$x+21-x-y+z$$ и согласно условию : $$x\leq \frac{1}{4}(x+21-x-y+z)=\frac{21}{4}-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$ детей с кошками $$y+21-x-y+z$$, и согласно условию: $$y\leq \frac{5}{11}(y+21-x-y+z)=\frac{5*21}{11}-\frac{5}{11}x+\frac{5}{11}z$$ Сложим оба неравенства: $$x+y\leq \frac{21}{4}+\frac{105}{11}+\frac{1}{4}z+\frac{5}{11}z-\frac{1}{4}y-\frac{5}{11}x|*44$$ $$44x+44y\leq 21*11+105*4+11z+20z-11y-20x$$ $$64x+55y\leq 651+31z$$ $$y\leq \frac{651+31z-64x}{55}(1).$$ Чем больше z, тем меньше x+y-z , тогда пусть z=0 , следовательно, $$y\leq \frac{651-64x}{55} , x,y \in N$$ пусть x=3 , тогда $$y\leq \frac{651-3*64}{55}\Rightarrow y\leq 8,34(54)$$,пусть y=8 Проверим полученные значения: Всего собак: $$a=x+21-x-y=21-y=13$$ Всего кошек: $$b=y+21-x-y=21-x=21-3=18$$ Проверяем условие: $$x\leq \frac{1}{4}a=\frac{1}{4}*13=\frac{13}{4}$$ $$3\leq \frac{13}{4}$$- верно $$y\leq \frac{5}{11}b=\frac{5}{11}*18=\frac{90}{11};$$ $$9\leq \frac{90}{11}$$-верно Из неравенства 1: $$x\in \left [ 0; 10 \right ]; y\in (0 ;11]$$ Можно проверить все $$x\in N$$ при $$x\in [0; 10]$$ и найти y с учетом выполнения(1), но $$max(x+y)=11.$$ b) Пусть d –всего девочек,$$m_{1}$$ -число мальчиков с собаками,$$m_{2}$$ - с кошками, тогда доля девочек $$\frac{d}{m_{1}+m_{2}+d}\rightarrow min (2)$$ C учетом условия задания: $$\left\{\begin{matrix}m_{1}\leq \frac{1}{4}(m_{2}+d) & & \\ m_{2}\leq \frac{5}{11}(m_{2}+d)& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\frac{3}{4}*m_{1}\leq \frac{1}{4}*d & & \\ \frac{6}{11}*m_{2}\leq \frac{5}{11}*d& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}3m_{1}\leq d & & \\6m_{2}\leq 5d & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\frac{m_{1}}{d}=\frac{1}{3} & & \\ \frac{m_{2}}{d}=\frac{5}{6}& & \end{matrix}\right.$$ Сложим оба неравенства: $$\frac{m_{1}}{d}+\frac{m_{2}}{d}\leq \frac{7}{6}\Leftrightarrow$$$$ \frac{m_{1}+m_{2}}{d}\leq \frac{7}{6}$$ Рассмотрим выражение(2) $$\frac{d}{m_{1}+m_{2}+d}=(\frac{1}{m_{1}+\frac{m_{2}}{2}+d})=(\frac{1}{\frac{m_{1}+m_{2}}{d}+1});$$ Чем больше $$\frac{m_{1}+m_{2}}{d}$$, тем меньше доля : $$\frac{1}{\frac{7}{6}+1}=\frac{6}{13}$$ Ответ: да; 11; $$\frac{6}{13}$$.

 

Задание 6140

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.

А) Может ли в последовательности быть три члена?
Б) Может ли в последовательности быть четыре члена?
В) Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?
Ответ: нет, нет, да
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) По формуле арифм. прогрессии : $$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$, тогда $$a_{2}=\frac{1+2046}{2}\notin N$$. Значит это не арифм. прогрессия. По формуле геоиетр. прогрессии: $$b_{n}=\sqrt{b_{n-1}*b_{n+1}}$$, тогда $$b_{2}=\sqrt{1*2046}\notin N$$. Значит это не геометр. прогрессия. б) $$a_{4}=a_{1}+d(4-1)=1+3d=2046$$ $$3d=2046\Rightarrow d\notin N$$ $$b_{4}=b_{1}*q^{4-1}=1*q^{3}=2046$$ $$q=\sqrt[3]{2046}\notin N$$ Так же необходимо рассмотреть случаи, когда первые три члена - арифметическая, а последние три - геометрическая прогрессии и наоборот. 1) Если сначала арифметическая, то имеем первые три члена: $$1, 1+d, 1+2d$$, тогда последние три: $$1+d, (1+d)q, (1+d)q^{2}$$(начали со второго умножать на q). Тогда получаем, что третий член выражается как $$1+2d$$ и $$(1+d)q$$, то есть $$1+2d=(1+d)q$$. Отсюда $$d=\frac{1-q}{q-2}=-1+\frac{-1}{q-2}$$. С учетом натуральности q и d, решений нет. Значит такая ситуация не подходит 2) Сначала геометрическая. Аналогично рассуждая, получим первые три члена: $$1, q, q^{2}$$, тогда последние три: $$q, q+d, q+2d$$. Тогда рассмотрим третий член: $$q^{2}=q+d$$. Данное уравнение не имеет решения в натуральный q и d. Значит, не подходит такая ситуация. в) Пусть дана арифм. прогрессия. $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)=2046$$ $$1+d(n-1)=2046\Leftrightarrow d(n-1)=2046=1*5*409.$$ Т.е. $$d=409, n-1=5\Rightarrow n=6$$. Т.е. 6 членов, разность равна 409.

 

Задание 6188

А) Существует ли натуральное число n, делящееся нацело на 12 и при этом имеющее ровно 12 различных делителей (включая единицу и само число n)? 
Б) Найдите все натуральные числа, делящиеся нацело на 14 и имеющие ровно 14 различных натуральных делителей.
В) Существует ли натуральное число, делящееся нацело на 2014 и имеющее ровно 2014 различных натуральных делителей?
Ответ: да, $$2*7^{6}$$ и $$2^{6}*7$$, да
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
   a) Пусть число $$N=a_{1}^{\alpha _{1}}*a_{2}^{\alpha _{2}}...a_{n}^{\alpha _{n}}$$
   Тогда количество делителей данного числа составит: $$M=(\alpha _{1}+1)(\alpha _{2}+1)...(\alpha _{n}+1)$$
   Разложим число 12 на множители:$$12=2*2*3=2^{2}*3^{1}(1)$$. То есть, чтобы число N делилось нацело на 12, среди множителей $$a_{1}..a_{n}$$ данного числа должны встретиться 2 со степенью, кратной 2 и 3 с любой степенью. С другой стороны, необходимо 12 множителей, то есть $$(\alpha _{1}+1)(\alpha _{2}+1)...(\alpha _{n}+1)=12$$ или $$12=2*2*3=(\alpha _{1}+1)(\alpha _{2}+1)...(\alpha _{n}+1)(2)$$. То есть мы имеем произведение трех чисел, следовательно, количество множителей будет не более 3.
   Рассмотрим вариант с тремя множителями, то есть $$N=2^{2\alpha _{1}}*3^{\alpha _{2}}*a_{3}^{\alpha _{3}}$$
   Раз три множителя, то с учетом разбиения (1) получим, что множители будут 2,3 и еще любой другой (не кратный 2 и 3), пусть будет 5, при этом с учетом равенства (2) получим степени 2,1 и 1, то есть : $$N =2^{2}*3^{1}*5^{1}=60$$
 
   б) Аналогично рассуждаем: $$N=a_{1}^{\alpha _{1}},a_{2}^{\alpha _{2}}...a_{n}^{\alpha _{n}}$$. $$14=2*7\Rightarrow$$ есть делитель 2 и 7 , следовательно $$N=2^{\alpha _{1}}*7^{\alpha _{2}}*a_{n}^{\alpha _{n}}$$. Пусть $$(\alpha _{1}+1)=2$$ и $$(\alpha _{2}+1)=7$$, тогда $$\alpha _{1}=1 ; \alpha _{2}=6$$. То есть числа : $$N=2*7^{6}$$ или $$7*2^{6}$$
 
   в)  Аналогично 2014=2*19*53. То есть среди множителей есть 2,19 и 53. Пусть $$2014=2^{m}*19^{n}*53^{l}$$, тогда $$(m+1)(n+1)(l+1)=2014=2*19*53\Rightarrow m=1, n=18, l=52$$
 

Задание 6235

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 2800, и

а) пять;
б) четыре;
в) три из них образуют геометрическую прогрессию?
Ответ: нет, нет, да
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть даны числа :$$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\in N$$. Разложим 2800 на множителей : $$2800=2^{4}*5^{2}*7$$

    А) Пусть $$a_{1}$$-первый член, q-знаменатель геометрической прогрессии ($$q\in N$$), $$a_{1}; a_{1}q;a_{1}q^{2};a_{1}q^{3}; q^{4}$$-пять ее членов, тогда их произведение: $$a_{1}^{5}*q^{10}=2^{4}*5^{2}*7$$. Видим ,что степени не кратны, значит нет.

    Б) Аналогично : $$a_{1};a_{1}q;a_{1}q^{2}; a_{5}, a_{1}^{4}q^{6}*a_{5}=2^{4}*5^{2}*7$$. Выполняется ,если $$q=1; a_{1}=2; a_{5}=5^{2}*7$$, но  это не геометрическая прогрессия ,значит нет.

    B) Аналогично, $$a_{1}, a_{1}q,a_{1}q^{2},a_{4}, a_{5}$$. Тогда $$a_{1}^{3}q^{3}*a^{4}*a_{5}=0,2^{4}*5^{2}*7$$. Пусть $$a_{1}=1; q=2; a_{4}=5^{2}*2;a_{5}=7$$. Получаем : 1;2;4;50;7, значит ,да.

 

Задание 6283

На доске написано 19 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 11. Среднее арифметическое написанных на доске чисел равно 10. С этими числами произвели следующие действия: четные числа разделили на 2, а нечетные – умножили на 2. Пусть А – среднее арифметическое полученных чисел.

А) Могли ли оказаться так, что А=17?
Б) Могли ли оказаться так, что А=7?
В) Найдите наибольшее возможное значение А.
Ответ: да, нет, $$\frac{377}{19}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть даны числа: $$a_{1}...a_{19}\in N \leq 11$$. Т.к. среднее арифметическое равно 10 , то $$\frac{a_{1}+...+a_{19}}{19}=10\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{19}a_{i}=190$$. Пусть x-сумма четных; y-нечетных;

   A) $$\left\{\begin{matrix}x+y=190\\\frac{x}{2}+2y=17*19=323\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=190-y\\x+4y=646\end{matrix}\right.$$. Тогда: $$190-y+4y=646\Leftrightarrow$$ $$3y=456\Leftrightarrow$$ $$y=152$$. Значит может.

   Б) $$\left\{\begin{matrix}x+y=190\\\frac{x}{2}+2y=7*19=133\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=190-y\\x+4y=226\end{matrix}\right.$$. Тогда: $$190-y+4y=226\Leftrightarrow$$ $$3y=76\Leftrightarrow$$ $$y=\frac{76}{3}\notin N$$. Значит, не может

   B) $$\left\{\begin{matrix}x+y=190\\\frac{x}{2}+4y\rightarrow max\end{matrix}\right.$$. Получаем : $$190+3y\rightarrow max$$. Чем больше y, тем больше 190+3y. Так как чисел 19, если они все нечетные , то сумма 190( четные ) не получается (сумма нечетного количества нечетных чисел - число нечетное) , следовательно, возможно, что 18 нечетных и 1четное . Так как, при увеличении y ,x уменьшается и одно число четное, то надо взять наименьшее четное - 2 и наибольшее нечетное 11 . 11*18=198, а должно быть 188. Тогда 17 чисел по 11, 1 число равно 1 и 1 число 2. Тогда: $$A=\frac{\frac{2}{2}+17*11*2+1*1*2}{19}=\frac{377}{19}$$

 

Задание 6331

Целые числа от 2 до 11 записаны в строчку в некотором порядке. Всегда ли можно вычеркнуть несколько чисел так, чтобы осталось:

А) три числа в порядке возрастания или в порядке убывания?
Б) пять чисел в порядке возрастания или в порядке убывания?
В) четыре числа в порядке возрастания или в порядке убывания?
Ответ: да,нет,да
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А)   Да.Есть два возможных расположения чисел 2 и 11 относительно других чисел. 

  • если они идут рядом. Пусть числа идут в порядке возрастания (2,11). Тогда мы всегда сможем начать убывающую последовательно с 11. Из оставшихся 9 чисел в любом случае надется расположение двух, идущих друг за другом, в порядке убывания). Исключение составляет случай, когда все следующие будут расположены в порядке возрастания, но тогда из них мы сможем построить возрастающую последовательность. Аналогичное рассуждение для убывания.
  • если между ними есть число. Тогда они в любом случае будут или возрастающей последовательностью (2,а,11) или убывающей (11, а, 2)

Б)   Нет. Достаточно привести пример: 7 5 2 9 6 11 4 10 3 8. (Смысл его построения сводится к тому, что в середину ставится 11, а далее через одно раскидываются больше оставшиеся, а промежутки заполняются меньшими. Подобное расположение не дает построить последовательность, будь то возрастающая или убывающая, более, чем из 4 чисел) 

В)   Да. Рассмотрим уже имеющуюся в пункте (Б) полседовательность. Для каждого числа из нее мы подберем пару чисел (a,b), где а - количество чисел максимально длинной возрастающей последовательности, начинающей с текущего числаб b - убывающей: 7(3,4)  5(3,3)  2(3,1)  9(2,4)  6(2,3)  11(1,3)  4(2,2)  10(1,2)  3(2,1)  8(1,1). Как видим среди встречающихся пар чисел нет повторяющихся. При этом, в пункте (Б) мы доказали, что a,b<5, то есть числа в парах могут быть только 1,2,3,4. Согласно комбинаторике, если $$a,b \in [1;3]$$, то число возможных пара (a,b) составляет $$3*3=9$$. А у нас пар числе 10. Это означает, что однозначно одна пара чисел будет содержать хоть одну 4. Следовательно, будет последовательность из 4 чисел.

 

Задание 6378

А)Можно ли в выражении $$\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*\frac{1}{5}*\frac{1}{6}*\frac{1}{7}*\frac{1}{8}$$ вместо всех знаков * так расставить знаки «+» и «‐», чтобы модуль этого выражения стал меньше $$\frac{1}{8}$$ ?

Б) Можно ли в выражении $$\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*\frac{1}{5}*\frac{1}{6}*\frac{1}{7}*\frac{1}{8}$$ вместо всех знаков * так расставить знаки «+» и «‐», чтобы модуль этого выражения стал меньше $$\frac{1}{500}$$ ?

В) Какое наименьшее значение может принимать выражение $$|\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*\frac{1}{5}*\frac{1}{6}*\frac{1}{7}*\frac{1}{8}|$$ , если разными способами заменять каждый из знаков * заменять знаками «+» и «‐»?

Ответ: да, нет, $$\frac{13}{840}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)   да, $$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$$

Б)   Приведем к общему знаменателю и найдем наибольшую сумму: $$\frac{4*3*5*7+8*5*7+2*3*5*7+8*3*7+4*5*7+8*3*5+3*5*7}{840}=$$$$\frac{420+280+210+168+140+120+105}{840}=\frac{1443}{840}$$

     Очевидно, что $$\frac{1}{840}<\frac{1}{500}$$, $$\frac{2}{840}>\frac{1}{500}$$

     То есть в числителе обязательно должна быть 1. С учетом того, что общая сумма 1443: пусть сумма m , разность - n.

     Тогда $$\left | m-n \right |=1$$. Но из всех представленных чисел все, кроме 168 и 105 оканчиваются на 0, следовательно, их сумма/разность тоже на 0. $$\left | 168 \pm 105 \right |$$ оканчивается на 3 , то есть min значение в числителе $$\geq 3$$. Значит, не может быть.

B)     $$1443=722+721$$. Т.е. идеальная сумма/разность для min была бы $$\left | 722-721 \right |$$. Но мы доказали , что $$\left | m \pm n \right |\geq 3$$. Т.е. $$\left\{\begin{matrix}m+n=1443\\m-n=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2m=1446\\n=m*3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}m=723\\n=720\end{matrix}\right.$$

     Число 720 сумма тех, что оканчиваются на 0 . Но из {420;480;210;140;120} сумму в 720 не получить.

     Пусть теперь: $$\left\{\begin{matrix}m+n=1443\\m-n=13\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}m=728\\n=715\end{matrix}\right.$$

$$715=105+120+210+280$$, т.е. $$min=\frac{13}{840}$$

 

Задание 6425

При изучении темы «Среднее арифметическое» в классе из 34 учащихся раздали синие и красные карточки, при этом каждый из учеников получил хотя бы одну карточку, но не более одной каждого цвета. На каждой карточке написано одно целое число от 0 до 20 (на различных карточках могут быть записаны одинаковые числа). Среднее арифметическое по всем розданным карточкам оказалось равным 15 по каждому цвету в отдельности. Затем каждый ученик назвал наибольшее из чисел на своих карточках (если ему досталась одна карточка, то он назвал число, написанное на этой карточке). Среднее арифметическое всех названных чисел оказалось равно S.

а) Приведите пример, когда S<15
б) Могло ли S быть равным 9?
в) Найдите наименьшее значение S , если по две карточки получили 17 учеников.
Ответ: да,нет,12,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) Пусть у 30 человек и синие, и красные , но каждой из которых по 16 , у двух синие с О и у двух красных с О

Синие: $$\frac{30*16+2*0}{32}=15$$

Красные :$$\frac{30*16+2*0}{32}=15$$

     Условие среднего арифметического выполняются : $$S=\frac{30*16+4*0}{34}<15\Rightarrow$$ да

Б) Пусть:

   k людей , у которых и синие и красные
   a-сумма всех чисел у людей только с одной карточкой
   b-сумма максимальных чисел у людей с двумя карточками
   c-минимальных

     Так как средняя для синих и красных отдельно составляет 15, то и среднее для всех вообще чисел равно 15.

     При этом всего было выдано $$34+k$$ карточек. Значит общая сумма $$15(34+k)=510+15k$$ . С другой стороны эту же сумму можно представить как $$a+b+c$$: $$a+b+c=510+15k(1)$$. При этом $$a+b=9*34=306$$ . Подставим в (1): $$306+c=510+15k\Leftrightarrow$$ $$c=204+15k$$

     С другой стороны $$c\leq 20k$$ ( сумма наименьших будет максимальна если на всех карточках число 20)

     Получаем: $$204+15k\leq 20k\Leftrightarrow$$ $$5k\geq 204\Leftrightarrow$$ $$k\geq 40,8$$ но $$k\leq 34$$, следовательно , нет.

   B) Аналогично, $$a+b =34S, a+b+c=15(34+17)$$.Тогда $$34S+c=765\Rightarrow$$ $$S=\frac{765-c}{34}$$. Очевидно , что $$S\Rightarrow min$$, при $$c\Rightarrow max$$, т.е. $$S\geq \frac{765-17*20}{34}=12,5$$

     Найдем такой пример :

У нас 17 человек с карточками красными и синими на каждой из которых по 20, тогда сумма на все оставшиеся карточки (по одной) составит :

$$765-2*340=85$$. При этом она приходится на 17 человек с одной карточкой . Пусть y-сумма на синих, тогда 85-y-на красных. Учитывая среднее 15 для синих и красных :

$$\left\{\begin{matrix}340+y=15(17+N)\\340+85-y=15(17+17-N)\end{matrix}\right.$$, Где N-число синих , тогда красных 17-N (речь идет об одиночных карточках)

$$\left\{\begin{matrix}\frac{340+y}{15}=17+N\\\frac{425-y}{15}=34-N\end{matrix}\right.$$

     Слева должны быть натуральные числа, т.е. 340+y и 435-y делятся нацело на 15 . При y=20 получим :

$$\frac{340+20}{15}=\frac{360}{15}=24=17+N\Rightarrow N=7$$

$$\frac{425-20}{15}=27$$

    Условия выполнились, следовательно , если у 17 человек синие и красные с числами 20, у 17 человек только синие с общей суммой 20( например 1+2+3+4+5+2+3) и у 10 только красных с суммой 65 (7+7+7+7+7+7+7+7+7+2), то S=12,5

 

Задание 6473

Из 26 последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, … , 51 выбрали 11 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть А – шестое по величине среди этих чисел, а В – среднее арифметическое выбранных одиннадцати чисел.

А) Может ли В‐А равняться $$\frac{3}{11}$$?  
Б) Может ли В‐А равняться $$\frac{4}{11}$$?
В) Найдите наибольшее возможное значение В‐А.
Ответ: нет,да,$$\frac{150}{11}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть мы выбрали 11 чисел $$a_{1},...a_{11}$$. Все данные числа являются нечетными и натуральными. Следовательно, $$B=\frac{a_{1}+...+a_{11}}{11}$$. При этом $$A=a_{6}$$. Тогда $$B-A=\frac{a_{1}+...+a_{11}}{11}-a_{6}=$$$$\frac{a_{1}+...+a_{11}-11a^{6}}{11}=$$$$\frac{a_{1}+...+a_{5}+a_{7}+...+a_{11}-10a_{6}}{11}$$.

   A) $$\frac{a_{1}+...+a_{5}+a_{7}+...+a_{11}-10a_{6}}{11}=\frac{3}{11}$$. При этом $$a_{1}+...+a_{5}$$ - число нечетное (сумма 5 нечетных), $$a_{7}+...+a_{11}$$ - нечетное, $$10a_{6}$$ - четное, тогда в знаменателе сумма 2 нечетных, что даст четное, и из него вычитается четное. То есть в результате мы получаем число четное. То есть 3 (нечетное) получить невозможно и ответ на пункт А - нет

   Б) Аналогично пункту А получаем, что такая возможно возможна. Найдем пример. Пусть $$a_{1},...,a_{5}$$ соответственно равны 1,3,5,7,11. А $$a_{7}+...+a_{11}=N$$. Тогда получим: $$27+N-10a_{6}=4$$ или $$a_{6}=\frac{23+N}{10}$$. С учетом того, что минимальное значение $$a_{6}$$ при данное выборке составяет 13 и оно обязательно нечетно: $$13=\frac{23+N}{10}$$, тогда N=107. Приведем пример выборки: 1 3 5 7 11 13 15 17 19 21 35.

   В) Чтобы $$B-A\Rightarrow max$$, необходимо, чтобы $$a_{6}\Rightarrow min$$. Наименьшее возможное $$a_{6}=11$$. При этом $$a_{7}+...+a_{11}\Rightarrow max$$. То есть $$a_{7},...,a_{11}$$ соответственно равны 43,45,47,49,51. Тогда: $$B-A=\frac{1+3+5+7+9+43+45+47+49+51-10*11}{11}=\frac{150}{11}$$

 

Задание 6480

Бесконечная геометрическая прогрессия $$b_{1},b_{2},...,b_{n},...$$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $$S_{1}=b_{1}$$ и $$S_{n}=b_{1}+b_{2}+...+b_{n}$$ при всех натуральных $$n\geq 2$$.

А) Приведите пример такой прогрессии, для которой среди чисел ровно два числа $$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$$ делятся на 24.
Б) Существует ли такая прогрессия, для которой среди чисел $$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$$ ровно три числа делятся на 24.
В) Какое наибольшее количество чисел среди $$S_{1},S_{2},...,S_{8}$$ может делиться на 24, если известно, что $$S_{1}$$ на 24 не делится?
Ответ: да,нет,4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Обозначим первый член прогрессии через b, а знаменатель прогрессии- через q (b,q- натуральные числа) . Докажем два вспомогательных утверждения

     1.Если b не делится на  24, то на  24 не могут делиться никакие две подряд идущие суммы. Доказательство следует из равенства  : $$b=S_{n+1}-qS_{n}$$

Действительно , если предположить , что $$S_{n}$$ и $$S_{n+1}$$ делятся на 24, то  b тоже будет делиться на 24.Противоречие .

     2. Если $$S_{2}$$ делиться на 24, то на  24 делятся все четные суммы $$S_{2n}$$. Доказательство следует по индукции из равенства : $$S_{2n+2}=q^{2}S_{2n}+S_{n}, n \in Z$$

     A) Ответ: да, например, прогрессия : 8,16,32,64….(b=8 ,q=2)

     Б)Ответ : нет. Если b делится на 24 , то на 24 делятся все четыре суммы. Если b  не делится на 24 , то $$S_{2},S_{3}$$ и $$S_{4}$$ не могут одновременно делиться на 24 в силу утверждения 1

     В)Ответ: 4. Из утверждения 1 следует , что количество сумм, которые делятся на 24, не больше четырех . В примере из пункта А) на 24 делятся $$S_{2},S_{4},S_{6}$$ и $$S_{8}$$( утверждение 2)

 

Задание 6527

а) Приведите пример такого натурального числа n , что числа $$n^{2}$$ и $$(n+24)^{2}$$ дают одинаковый остаток при делении на 100.
б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?
в) Сколько существует двузначных чисе m , для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных сел n , таких то $$n^{2}$$ и $$(n+m)^{2}$$ дают одинаковый остаток при делении на 100.
Ответ: 13,36,36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) Пусть $$n=10a+b$$ , тогда $$n +24=10(a+2)+(b+4)$$ или $$n+24=10(a+3)+(b+4-10)$$ (если n оканчивается на число $$\geq 6$$). Рассмотрим первый вариант. Одинаковый остаток при делении на 100 дадут 2 числа, одно из которых оканчивается на 1, второе на 9 ( 2 и 8; 3 и 7; 4 и 6) .Как видим, для первого варианта (b и b+4) устраивают окончания 3 и 7 . Тогда $$n=10a+3$$,

$$n+24=10(a+2)+7$$. Тогда $$n^{2}=100x^{2}+60x+9$$; $$(n+24)^{2}=100x^{2}+540x+729$$

     При делении на 100 у $$n^{2}$$ остаток $$60x+9$$, у $$(n+24)^{2}$$: $$540x+729$$. При этом, они отличаются на натуральное число : $$\frac{540x+729}{100}=N+\frac{69x+9}{100}\Leftrightarrow$$$$N=\frac{480x+720}{100}=\frac{48x+72}{10}$$. Откуда $$x=1$$ или 6 .То есть число 13 или 63.

     Б) Если остатки одинаковы, то разность этих чисел кратна 100: $$\frac{(n+24)^{2}-n^{2}}{100}\in N \Rightarrow$$ $$\frac{24(2n+24)}{100}\in N \Leftrightarrow$$ $$\frac{12(n+12)}{25}\in N$$. Т.к. n $$\in [100; 999]$$ , то $$n+12\in [112;1011]$$. При этом, кратных 25 там: $$\frac{1011-111}{25}=36$$ чисел.

     B) $$m \in [10;99], n \in [100; 999]$$. Ищем аналогично Б): $$\frac{(n+m)^{2}-n^{2}}{100}\in N \Leftrightarrow$$ $$\frac{m(2n+m)}{100}\in N$$. В данном случае m-четное( иначе не будет кратно 100-четному) .Путсь $$m=2k : k \in [\frac{10}{2}, \frac{99}{2}]\Leftrightarrow [5;49]$$. $$\frac{2k(2n+2k)}{100}\Leftrightarrow$$ $$\frac{k(n+k)}{25}\in N$$

     При k кратному 5 получаем, что n+k тоже кратно 5, а таких чисел больше. Тогда k-не кратно 5, следовательно , n+k кратно 25. С учетом , что $$n \in [100; 999]$$, то $$n+k \in [100+k; 999+k]$$, тогда кратных к 25 среди них: $$\frac{999+k-(99+k)}{25}=36$$. Т.е. все числа [5;49] не кратных 5 подойдут, а их 36.

 

Задание 6574

S(n) ‐ сумма цифр натурального числа n

А) Существует ли такое двузначное число n, для которого выполняется условие S(n)=S(2n)?
Б) Существует ли такое двузначное число n, все цифры которого четны, для которого выполняется условие S(n)=S(2n)?
В) Найдите количество трехзначных чисел n, все цифры которых нечетны, для которых выполняется условие S(n)=S(2n)? .
Ответ: да,нет,10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) Пусть $$n=10a+b$$, $$a,b \in N [0;9]$$. Пусть $$a\leq 4$$ и $$b \leq 4$$, тогда $$2n=1-*2a+10*2b$$. Тогда $$a+b=2a+2b\Leftrightarrow$$ $$a+b=0$$,что невозможно . Пусть $$a\leq 4$$ и $$b\geq 5$$, тогда $$2n=10(2a+1)+10(2b-10)$$ и $$a+b=2a+1+2b-10\Leftrightarrow$$ $$a+b=9$$. Су четом условия можно взять числа a=4 и b=5.Значит, может

   Б) Аналогично А:

-пусть $$a\leq 4 ;b\leq 4\Rightarrow$$ решений нет

-пусть $$a\leq 4; b\geq 5\Rightarrow a+b=9$$, но тогда a и b не могут быть четными.

-пусть $$a\geq 5, b\leq 4\Rightarrow a+b=9\Rightarrow$$ нет

-пусть $$a\geq 5$$ и $$b\geq 5\Rightarrow$$ $$2n=100*1+10(2a-10+1)+2b-10$$. Тогда $$a+b=18$$. С учетом условия a=8, b=10, но $$a,b \leq 9\Rightarrow$$ нет

   B) Аналогично A и Б. Пусть $$n=100a+10b+c$$

   1) $$a\leq 4, b\leq 4, c\leq 4\Rightarrow$$ $$a+b+c=0\Rightarrow$$ нет

   2) $$a\leq 4, b\leq 4, c\geq 5\Rightarrow$$ $$a+b+c=9$$. Тогда $$a=1,3;b=1,3; c=5,7,9$$. Возможные варианты: 135;117;315 - 3 числа

   3) $$a\leq 4; b\geq 5; c\leq 4\Rightarrow a+b+c=9$$. Возможные варианты: $$153;171;351$$ - 3 числа.

   4) $$a\leq 4; b\geq 5; c\geq 5\Rightarrow a+b+c=18$$, но a,b,c-нечетные $$\Rightarrow$$ нет чисел

   5) $$a\geq 5; b\leq 4; c\leq 4\Rightarrow a+b+c=9$$$$\Rightarrow 513;531;711$$ - 3 числа.

   6) $$a\geq 5; b\leq 4; c\geq 5\Rightarrow a+b+c=18$$$$\Rightarrow$$ нет

   7) $$a\geq 5; b\geq 5; c\leq 4\Rightarrow a+b+c=18$$$$\Rightarrow$$ нет

   8) $$a\geq 5; b\geq 5; c\geq 5\Rightarrow a+b+c=27$$$$\Rightarrow 999$$ - 1 число

Всего получим 10 чисел.

 

Задание 6621

На доске написаны числа 3 и 5. За один ход разрешено заменить написанную на доске пару чисел a и b парой чисел 2a-1 и a+b+1 (например, из пары чисел 3 и 5 за один ход можно получить либо числа 5 и 9 либо числа 9 и 9)

А) Может ли получиться так, что после нескольких ходов на доске будут написаны числа 73 и 75?
Б) Может ли получиться так, что после нескольких ходов одно из написанных на доске чисел будет равно 35?
В) После 2017 ходов на доске получили пару чисел, не равных друг другу. Какое наименьшее значение может иметь разность между большим и меньшим из этих чисел?
Ответ: да, нет, 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     А) Да, например , $$a =5, b=3\Rightarrow (9;9)$$; $$a=9,b=9\Rightarrow (17;19)$$; $$a=19, b=17\Rightarrow (37;37)$$; $$a=37, b=37\Rightarrow (73;75)$$.

     Б) Нет. Рассмотрим всевозможные варианты:

  • Если $$(5;3)\Rightarrow$$ (9;9) или (5;9)
  • Если (9;9)$$\Rightarrow$$ (17;19) $$\Rightarrow$$ (33;37) или (37,37) - не подходит
  • Если (5;9) $$\Rightarrow$$ (9;15) или (17;15)
  • Если (17; 15) $$\Rightarrow$$ (33;33) или (29;33) - не подходит
  • Если (9;15) $$\Rightarrow$$ (17;25) или (29;25) - не подходит

     B) Как видим из Б) каждый нечетный ход можно получить симметренную пару чисел $$\Rightarrow min=0$$. Но в таком случае числа будут равны, нам же нужны неравные числа. Тогда: пусть даны числа a и b, b>a, тогда следующий ход получим 2a-1 и a+b+1 или 2b-1 и a+b+1. В первом случае разность: b-a+2, во втором : b-a-2. Т.е. будет уменьшение или увеличение разности (b-a) на 2. Следовательно, 2015 ходов мы будем выводить разность в 0, а потом двумя ходами дважды увеличим или уменьшим ее на 2, тем самым получим, что наименьшая разность составит 4.

 

Задание 6669

Дано натуральное четырехзначное число n, в записи которого нет нулей. Для этого числа составим дробь $$f(n)$$ , в числителе которой само число n , а в знаменателе – произведение всех цифр числа n. 

А) Приведите пример такого числа , для которого $$f(n)=\frac{643}{160}$$
Б) Существует ли такое n, что $$f(n)=\frac{343}{160}$$ ?
В) Какое наименьшее значение может принимать дробь $$f(n)$$, если она равна несократимой дроби со знаменателем 160?
Ответ: А) 3858 Б) нет В) $$\frac{489}{160}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть число $$M=10^{3}a+10^{2}b+10c+d$$, $$0<a,b,c,d<9 \in N$$

   A) $$\frac{643}{160}=\frac{643*k}{160*k}$$. $$M=643k$$ ; $$abcd=160k$$

Разложим 160: $$160=2^{5}*5$$. С учетом , что $$a,b,c,d \in N$$ и $$a,b,c,d \in [1;9]$$, то среди чисел точно есть 5. Рассмотрим умножение 643 на натуральное $$k\geq 2$$.

$$643*2=1286$$ - нет 5

$$643*3=1929$$ - нет 5

$$643*4=2572$$. При этом 2*5*7*2=140 не кратно 160.

$$643*5=3215\Rightarrow$$ $$3*2*1*5=30$$ - не подходит.

$$643*6=3858\Rightarrow$$ $$3*8*5*8=960=160*6$$ - подходит

Т.е. пример числа: 3858

   B) Рассмотрим сначала наименьшее возможное f(n) . С учетом , что $$160=2^{5}*5$$ и $$a,b,c,d$$ – натуральные, меньшие 10, то возможные a,b,c и d : $$1,4,8,5$$; $$2,2,8,5$$; $$2,4,4,5$$ . При этом $$\frac{M}{abcd}\rightarrow min$$, при $$abcd\rightarrow max$$. Пусть k-множитель, который бы сокращался . $$k_{max}=18=2*3^{2}$$ т.к. тогда бы $$1\rightarrow 9$$; $$4\rightarrow 8$$ и M состояло бы из цифр $$9,8,8,5$$ (очевидно, что наибольшее k именно для множителей $$1,4,8,5$$) . При k>18 получим, что одна из цифр станет больше 9. При этом k - число составное.

Рассмотрим их. $$k=18\Rightarrow$$ $$a,b,c,d: 9,8,8,5$$. Но $$9+8+8+5=30$$, число 30 не делится нацело на 9, значит при сокращении на k мы не получим знаменатель 160.

     $$k=16$$; $$a,b,c,d\Rightarrow$$ $$8,8,8,5$$. Комбинации с этими цифрами:

$$\frac{5888}{160*16}=\frac{368}{160}$$ - сократима дальше

$$\frac{8588}{160*16}=\frac{2147}{640}$$ - нет знаменателя 160

$$\frac{8858}{160*16}=\frac{4429}{1280}$$

$$\frac{8885}{160*16}$$ - не делится на 16

     $$k=14$$: $$a,b,c,d: 7,8,8,5$$. Аналогично предыдущему нет чисел.

     $$k=12$$: $$a,b,c,d :6,8,8,5$$. При использовании данных чисел наименьшее $$f(n)=\frac{5868}{160*12}=\frac{489}{160}$$

Задание 6704

Конечная последовательность a1,a2,...,an состоит из $$n \geq 3$$ не обязательно различных натуральных чисел, причем при всех натуральных $$k \leq n-2$$ выполнено равенство $$a_{k+2}=2a_{k+1}-a_{k}+1$$.

   А) Приведите пример такой последовательности при n=5 , в которой a5=3
   Б) Может ли в такой последовательности оказаться так, что a3=a11 ?
   В) При каком наибольшем такая последовательность может состоять только из n чисел, не превосходящих 50?
Ответ: А) 9;6;4;3;3 Б) нет В) 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$a_{1}, a_{2} .., a_{n }, n \geq 3$$. При $$\forall k \leq n-2$$; $$a_{n+2}=2a_{k+1}-a_{k}+1$$

   A) Видим, что $$a_{k+2}-a_{k+1}=a_{k+1}-a_{k}+1$$. Т.е разница соседних членов увеличивается на 1. Если $$a_{5}=3$$, то пусть $$a_{4}=3$$. Разница $$a_{5}-a_{4}=0$$, следовательно , $$a_{4}-a_{3}=-1$$, $$a_{3}-a_{2}=-2$$, $$a_{2}-a_{1}=-3$$. Получим : 9 6 4 3 3.

   Б) Последовательность с какого-то момента возрастает .При этом , чтобы $$a_{3}=a_{11}$$ она должна сначала возрастать . Тогда будет 2 одинаковых члена (когда их разность равна 0) , но 11-2=9 , то есть с $$a_{3}$$ по $$a_{11}$$ - 9 членов , с учетом необходимости симметрии нужно четное количество , следовательно, не может.

   В) Очевидно, что наибольшее количество чисел, в случае, когда есть убывание и возрастание . Рассмотрим симметрию в середине числа 50:

4 10 15 19 22 24 25 25 26 28 31 35 40 46

Мы видим, что можем сдвинуть центр на 3 единицы влево (до 1) :

1 7 12 16 19 21 22 22 23 25 28 32 37 43 50

Всего 15 чисел.

 

Задание 6763

В последовательности натуральных чисел a1=47 , каждый следующий член равен произведению суммы цифр предыдущего члена и a1

   А) Найдите пятый член последовательности
   Б) Найдите 50‐й член последовательности
   В) Вычислите сумму первых пятидесяти членов этой последовательности.
Ответ: А)752 Б)940 В)34404
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) $$a_{2}=(4+7)*47=517$$

$$a_{3}=(5+1+7)*47=611$$

$$a_{4}=(6+1+1)*47=376$$

$$a_{5}=(3+7+6)*47=752$$

Б) вычислим еще несколько членов.

$$a_{6}=(7+5+2)*47=14*47=658$$

$$a_{7}=(6+5+8)*47=19*47=893$$

$$a_{8}=(8+9+3)*47=20*47=940$$

$$a_{9}=(9+4+0)*47=13*47=611=a_{3}$$

Получаем повторение с периодом: $$9-3=6 \Rightarrow$$ $$a_{50}=a_{8}=940$$ (можно составить таблицу, можно посчитать 50-2=48(т.к. начинаем с 3-го) и 48/6=8 полных повторений без остатка , следовательно $$a_{50}$$ равен крайнему в выборке $$a_{3}...a_{8}$$)

B) $$\sum_{8}^{n=3} a_{n}=61+376+752+..+940=4230$$

Тогда $$\sum_{n=3}^{5a}=4230*8=33840$$

С учетом $$a_{1}$$ и $$a_{2}$$, получим $$34404$$

 

Задание 6810

В некотором царстве было несколько (более двух) княжеств. Однажды некоторые из этих княжеств объявили себя царствами и разделились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале. Затем всё новые и новые княжества из числа прежних и вновь образующихся объявляли себя царствами и делились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале.

А) Могло ли сразу после одного из делений общее число княжеств стать равным 102?
Б) Могло ли в какой‐то момент времени общее число княжеств стать равным 320, если известно, что сразу после одного из делений общее число княжеств было равно 162?
В) Сколько княжеств было в самом начале, если сразу после какого‐то из делений общее число княжеств стало ровно в 38 раз больше первоначального?
Ответ: нет,нет,38
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) Пусть было x княжеств ( $$x\in N$$; $$x\geq 3$$), $$y_{i}$$ - число княжеств, объявляющие деление на i-ый раз, $$S_{i}$$ - сумма княжеств после i-го деления, тогда :

$$S_{1}=x-y_{1}+xy_{1}=x+y_{1}(x-1)\Rightarrow$$$$S_{2}=S_{1}-y_{2}+xy_{2}=$$$$x+y_{1}(x-1)+y_{2}(x-1)=$$$$x+(x-1)(y_{1}+y_{2})\Rightarrow$$$$S_{n}=x+(x-1)(y_{1}+....+y_{n})=x+(x-1)\sum_{i=1}^{n}y_{i}$$

Тогда, $$x+(x-1)\sum_{i=1}^{n}y_{i}= 102 \Leftrightarrow$$ $$\sum_{i=1}^{n}y_{i}=\frac{102-x}{x-1}=\frac{101}{x-1}-1 \in N \Rightarrow$$ $$x-1=101\Rightarrow$$ $$i=1\Rightarrow x=102$$ . Т.е изначально (до деления) было уже 102 , что не удовлетворяет условию , хотя бы одного деления.

   Б) Пусть сумма после n-го : $$S_{n}=168$$, после m-го: $$S_{m}=320 (m\geq 2)$$. Тогда :

$$S_{m}-S_{n}=x+(x-1)\sum_{i=1}^{m} y _{i}-x-(x-1)\sum_{i=1}^{n} y_{i}=$$$$(x-1)\sum_{i=n+1}^{m} y_{i}=$$$$320-168=79*2$$. Но 79 и 2 -простые , тогда:

  1. $$x-1=2\Rightarrow$$ $$x=3\Rightarrow$$ $$S_{m}=3+(3-1)\sum_{i=1}^{m} y_{i}=320\Rightarrow$$ $$2 \sum_{i=1}^{m} y_{i}=317$$ – не может быть, т.к. $$\sum_{i=1}^{m} y_{i}\in N$$
  2. $$x-1=79\Rightarrow$$ $$x=80\Rightarrow$$ $$S_{m}=80+(80-1) \sum_{i=1}^{m} y_{i}=320\Rightarrow$$ $$79 \sum_{i=1}^{m} y_{1}=240$$ – не может быть
  3. $$x-1=1\Rightarrow$$ $$x=2$$ – не подходит , т.к. $$x\geq 3$$
  4. $$x-1=158$$ - не подходит

   B) Получим, что $$x+(x-1) \sum_{i=1}^{n} y_{i}=38 x\Rightarrow$$ $$(x-1)\sum_{i=1}^{n} y_{i}=37x$$. x и (x-1) взаимопростые $$\Rightarrow$$ $$\sum_{i=1}^{n} =xN\Rightarrow$$ $$(x-1)xN=37x\Leftrightarrow$$ $$(x-1)N=37\Rightarrow$$ или $$x-1=1$$ и $$N=37$$, тогда $$x=2$$ - не подходит, или $$N=1$$ и $$x-1=37\Rightarrow$$ $$x=38$$

 

Задание 6830

Бесконечная арифметическая прогрессия a1,a2,...,an,... состоит из различных натуральных чисел. 

А) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1,a2,...,a7 ровно три числа делятся на 24?
Б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1,a2,...,a30 ровно 9 чисел делятся на 24?
В) Для какого наибольшего натурального числа могло оказаться так, что среди чисел a1,a2,...,a3n больше кратных 24, чем среди чисел a3n+1,a3n+2,...,a7n , если известно, что разность прогрессии равна 1?
Ответ: да, нет, 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)    Да, например, 12;24;36;48;60;72;84.

Б)    Пусть $$a_{m}$$ и $$a_{n}$$ (m>n) - члены, кратные 24, d - разность прогрессии (при этом очевидно, что d - делитель 24), получаем: $$a_{m}-a_{n}=$$$$a_{1}+d(m-1)-(a_{1}+d(n-1))=$$$$d(m-n)$$. При этом $$\frac{a_{m}-a_{n}}{24}=R$$, где R - из последовательности целых от 0 $$\Rightarrow$$ $$\frac{d(m-n)}{24}=R$$. Раз d –делитель 24, то пусть $$\frac{24}{d}=k$$ ($$k \in N, k\leq 24$$)$$\Rightarrow$$ $$\frac{d(m-n)}{dk}=R$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{m-n}{k}=R$$$$\Rightarrow$$ $$m=R*k+n$$. Следовательно, из любых k последовательных членов - одно делится на 24. При $$k\leq 3$$ получим $$\frac{30}{k}\geq 0$$$$\Rightarrow$$ не подходит (надо 9) , при $$k\geq 4$$ имеем , что $$\frac{30}{k}<8$$ - не подходит $$\Rightarrow$$ не может.

B)   Среди чисел $$a_{1},a_{2}, a_{3n}$$ делится на 24 не более $$[\frac{3 n}{k}]+1$$, где $$[\frac{3 n }{k}]$$ - целая часть числа $$\frac{3n}{k}$$(рассмотрите числа при n=17 для понимания) , из чисел $$a_{3n+1}....a_{7n}$$ не менее $$[\frac{7n-3n}{k}]=[\frac{4n}{k}]$$. При этом : $$[\frac{3n}{k}]+1>[\frac{4n}{k}]$$. Очевидно, что выполняется только, если $$[\frac{3n}{k}]=[\frac{4n}{k}]$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{4n}{k}-\frac{3n}{k}<1$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{n}{k}<1$$$$\Rightarrow$$ $$[\frac{3n}{k}]<3$$ как и $$[\frac{4n}{k}]<3$$. Тогда получим , что и $$\frac{4n}{k}<3$$$$\Rightarrow$$ $$n<\frac{3k}{4}$$, но так как k $$\leq 24$$, то $$n<\frac{3*24}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$n<18$$, т.е. $$n=17$$. (Например, при $$a_{1}=22$$ получим , что: $$a_{1}.. a_{3n} =a_{1}... a_{51}$$ : 24,48,72-3 кратных; $$a_{3n+1}... a_{5n}=a_{52}....a_{119}$$: 96,120-2 кратных).

 

Задание 6881

На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода – вырастет апельсин, а если два разных – вырастет банан.

а) В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод?
б) Можете ли вы определить, какой это будет плод?
в) Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?
Ответ: А) 7 по 2 банана, 26 по два апельсина, 1 по одному разному Б) банан В) нет
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

19) A)    Если сорвать 1 шт. , то вырастет такой же , т.е. общее число не меняется. Тогда срываем по 2. Пусть Sx=15 число бананов,Sy=20-число апельсинов.

-если срываем 2 одинаковых, то будет -2x и + y (если 2 банана) или – y(если 2 апельсина)

-если 2 разных, то – y.

Тогда будем срывать сначала 2 банана 7 раз и получим : $$S_{x}=15-7*2=1$$ банан и $$S_{y}=20+7*1=27$$ апельсинов

А потом 26 раз по 2 апельсина: $$S_{x}=1$$ банан ; $$S_{y}=27-26*1=1$$ – апельсин. И оба плода, тогда: $$S_{x}=1$$ и $$S_{y}=0$$

Б)    из п. A это будет банан.

B)    Нет, так как изначально имеем нечетное количество бананов, следовательно, убирая по 2 банана в итоге в остатке получим 1 банан (других вариантов, кроме как убрать 2 банана, нет) . А далее мы в любом случае будем его получать, уменьшая Sy до 0 апельсинов.

 

Задание 6929

Из натурального числа вычли сумму его цифр, из полученного числа снова вычли сумму его (полученного числа) цифр и т.д.
а) Может ли в результате получиться 1?
б) Каким может быть предпоследнее полученное число, если в результате получился ноль?
в) Найдите все возможные исходные числа, если после одиннадцати таких вычитаний получился ноль.
Ответ: нет;9; любое натуральное из [100;109]
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

        A) Пусть дано число $$10^{n}a_{n}+10^{n+1}a_{n+1}+10^{1}*a_{1}+a_{0}$$. Если мы вычтем из него сумму цифр, то получим : $$(10^{n}-1)a_{n}+(10^{n-1}-1)a_{n-1}+...+(10^{1}-1)a_{1}$$. Видим, что каждый из множителей $$(10^{n}-1)$$; $$(10^{n-1}-1)$$ и т.д. кратен 9 $$\Rightarrow$$ полученное число кратно 9 . Но 1 не кратно 9 $$\Rightarrow$$ не может .

        Б) Раз последнее равно 0 и разность последнего и предпоследнего кратно 9, то очевидно, что предпоследнее 9.

        B) Аналогично, Б и учитывая, что каждая разность делится на 9 , получим последовательность разностей: 0,9,18,27…81. Из 81 можно получить 90 или 99. Если взять 90 , то следующее должно быть 90+9=99 , но 99-(9+9)=81. Следовательно, после 81 идет 99 . А 99 можно получить уже из любого изначального целого числа из промежутка [100;109]

 

Задание 6977

В двух группах учится одинаковое количество студентов. Каждый студент изучает по крайней мере один язык: английский или французский. Известно, что 5 человек в первой и 5 во второй группе изучают оба языка. Количество изучающих французский в первой группе в 3 раза меньше, чем во второй. Количество изучающих английский во второй группе в 4 раза меньше, чем в первой.

А) Может ли в каждой группе быть 33 студента?
Б) Может ли число студентов, изучающих только английский язык во второй группе быть равно 2?
В) Каково минимально возможное количество студентов в каждой группе?
Ответ: нет, нет, 28
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть французский в первой группе учат x человек (и только французский, и оба языка), тогда во второй - 3x. Английский во второй y ( и только английский, и оба языка) человек, тогда в первой 4y. Всего в первой : x+4y-5 ; во второй : 3x+y-5

     A) Получим: $$x+4y-5=3x+y-5\Leftrightarrow$$ $$2x=3y\Rightarrow$$ $$x=\frac{3y}{2}\Rightarrow$$ y - четное. Тогда $$x+4y-5=33\Leftrightarrow$$ $$x+4y=38\Leftrightarrow$$ $$\frac{3y}{2}+4y=38\Leftrightarrow$$ $$3y+8y=76\Leftrightarrow$$ $$y=\frac{76}{11}\in N$$ - не может

     Б) Если 2 учат только английский, то всего английский учат $$2+5=7=y$$, но y - четное $$\Rightarrow$$ не может

     B) $$x=\frac{3y}{2}$$. При этом $$y\geq 5$$ и y - четное . Чем меньше y, тем меньше группа $$\Rightarrow$$ $$y=6; x=9$$ (минимальное четное больше 5). Общее число в группе тогда: 9+4*6=28.

 

Задание 7024

А) Приведите пример такого двухзначного числа A, что последние цифры числа A2 составляют число А.
Б) Может ли такое двухзначное число А заканчиваться на 1?
В) Найдите все такие трёхзначные числа A, что последние три цифры числа A2 составляют число А.
Ответ: 25;нет;376 и 625.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) Все числа, что при возведении в квадрат имеют аналогичную цифру в единицах , как и первоначальное оканчиваются на 0,1,5 или 6 ($$0^{2}=0$$ ;$$1^{2}=1$$; $$5^{2}=25$$; $$6^{2}=36$$). Возьмем число 25: $$25^{2}=625\Rightarrow$$ подходит

     Б) Самый простой способ рассмотреть двузначное числа, оканчивающиеся на 1: $$11^{2}=121$$; $$21^{2}=441$$; $$31^{2}=961$$; $$41^{2}=1681$$; $$51^{2}=2601$$; $$61^{2}=3721$$; $$71^{2}=5041$$; $$81^{2}=6561$$; $$91^{2}=8281$$. Видим , что не может .

     B) Пусть дано трёхзначное число x. При возведении такого числа в квадрат мы получим числа 4х, 5-ти или 6-ти значимые . Следовательно, чтобы данное $$x^{2}$$ оканчивалось на x должно выполняться условие: $$x^{2}-1000K=x$$, где $$K \in N$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-x=1000K\Leftrightarrow$$ $$x(x-1)=2^{3}*5^{3}K$$

     Следовательно, x и x-1 числа последовательные натуральные, одно из них четное, второе –нет . При этом одно из них вида $$2^{3}*m$$, второе $$5^{3}*n$$, где m и n -делители $$K$$ ($$K_{max }=998$$). Рассмотрим 1 случай: $$x=2^{3}m$$, тогда $$x-1=2^{3}m-1$$ и оно трехзначное кратное 125:

$$2^{3}m-1=125\Rightarrow$$ $$2^{3}m=126\Rightarrow m \notin N$$
$$2^{3}m-1=250\Rightarrow$$ $$2^{3}m=251\Rightarrow m \notin N$$
$$2^{3}m-1=375\Rightarrow$$ $$2^{3}m=376\Rightarrow m =47$$
$$2^{3}m-1=500\Rightarrow$$ $$^{3}m=501\Rightarrow m \notin N$$
$$2^{3}m-1=625 \Rightarrow$$ $$2^{3}m=626 \Rightarrow m \notin N$$
$$2^{3}m-1=750\Rightarrow$$ $$2^{3}m=751\Rightarrow m \notin N$$
$$2^{3}m-1=875\Rightarrow$$ $$2^{3}m=876\Rightarrow m \notin N$$

     Т.е. одно число равно 376. Рассмотрим 2-ой случай : $$x=5^{3} *n \Rightarrow$$ $$x-1=5^{3} *n-1$$, и оно трехзначное , кратное 8 :

$$n=1 \Rightarrow x-1=124$$,не кратно 8
$$n=2\Rightarrow x-1=249$$, не кратное 8
$$n=3 \Rightarrow x-1=374$$, не кратно 8
$$n=5 \Rightarrow x-1=624$$ $$\Rightarrow$$ кратно 8 $$\Rightarrow$$ $$x =625$$
$$n=7 \Rightarrow$$ $$x-1=724$$ , не кратно 8
$$n=9 \Rightarrow$$ $$x-1>100$$

     Четыре n не рассматриваем, т.к. x-1 нечетно и не кратно 8 . Получим 2 числа: 376 и 625.

 

Задание 7044

В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:

а) набор цифр 1234; 3269;
б) вторично набор 1975;
в) набор 8197?
Ответ: нет, да, да
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

        А) Рассмотрим последовательность: 19752.. Сначала идет сумма 4 нечетных , что даст четное. Затем получим 19752d , где d –нечетное (т.к. получается из суммы трех нечетных (9,7,5) и четного) Далее , аналогично , из 19752defgh, цифры e,f,g-нечетные и h-четные . Т.е. будет всегда на 4 нечетных и 1 четное , тогда 1234 и 3269 не получается никак.

        Б) Докажем, что четверка цифр однозначно и единственно определяет последующее и предыдущее . Пусть дано a b c d. Допустим, что не определяет, тогда есть числа m и n такие, что $$\frac{m+a+b+c}{10}$$ и $$\frac{n+a+b+c}{10}$$ в остатке даст d. Тогда $$m-n$$ кратно 10 , но m и n цифры от 0 до 9 и не могут в разности быть кратны 10. Значит доказано. Но последовательность вида a b c d не могут быть больше 10^{4} (каждая цифра от 0 до 9 - 10 штук и всего их 4), то есть они могут повториться в силу единственности определения последующего $$\Rightarrow$$ 1975 снова появится.

         В) Раз 1975 снова появятся , то перед ним однозначно будет 8, т.к. $$\frac{8+1+9+7}{10}$$ в остатке дает 5.

 

Задание 7065

16 учеников пишут контрольную работу, составленную в нескольких вариантах. Их рабочие места расположены в виде квадрата 4х4. Будем называть пару учеников «подозрительной», если они сидят на соседних (по вертикали, горизонтали или диагонали) местах и пишут один и тот же вариант. (Ученик может входить в несколько «подозрительных» пар).

А) Может ли не оказаться ни одной «подозрительной» пары, если имеется 4 варианта контрольной работы?
Б) Может ли не оказаться ни одной «подозрительной» пары, если имеется 3 варианта контрольной работы?
В) Найдите наименьшее возможное количество «подозрительных» пар, если имеется 3 варианта контрольной работы.
Ответ: да,нет,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

19) A) Да, возможно, например:

Б) Нет, т.к. в квадрате размерностью 2*2 однозначно попадает минимум 1 подозрительная пара:

В) Из Б следует, что в квадрате 4*4 мы можем расположить минимум 5 квадратов 2 *2 $$\Rightarrow$$ минимум 5 подозрительных пар:

Например:

 

Задание 7112

Задано число от 1 до n. За один ход можно выбрать произвольное подмножество множества чисел от 1 до n и спросить, принадлежит ли ему заданное число. При ответе «да» будет начислено a баллов, при ответе «нет» – b баллов.

а) Можно ли наверняка угадать число, получив не менее 16 и не более 21 баллов, если $$a=3, b=1, n=128$$ 
б) Может ли n быть равным 144, если известно, что число можно наверняка угадать, получив не менее 11 баллов, и при этом $$a=2, 1\leq b\leq 4$$ ?
в) Какую наименьшую сумму баллов можно получить, чтобы наверняка угадать число, если $$a=3,b=1, 128\leq n\leq 170$$ ?
Ответ: а) да; б) нет; в) 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7185

Пусть n ‐ трехзначное число, а f (n) ‐ сумма квадратов его цифр 
А) Существует ли такое, что $$\frac{f(n)}{n}>1$$ ?
Б) Существует ли такое n, что $$\frac{f(n)}{n}>\frac{1}{2}$$?
В) Найдите наибольшее возможное значение отношения $$\frac{f(n)}{n}$$.
Ответ: нет, да, $$\frac{163}{199}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$n=100a+10b+c$$, где $$a \in [1; 9]\in N, b,c \in [0; 9]\in Z$$

     A) $$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{100a+10b+c}>1\Rightarrow$$ $$a^{2}+b^{2}+c^{2}>100a+10b+c\Rightarrow$$ $$a^{2}-100a+b^{2}-10b+c^{2}-c>0\Leftrightarrow$$ $$(a-50)^{2}-2500+(b-5)^{2}-25+(c-\frac{1}{2})^{2}-0,25>0\Leftrightarrow$$ $$(a-50)^{2}+(b-5)^{2}+(c-\frac{1}{2})^{2}>2525,25$$

   $$(a-50)^{2}=(1-50)^{2}=49^{2}=2401$$. При этом $$max(b-5)^{2}=max(0-5)^{2}=25$$; $$max(c-\frac{1}{2})^{2}=72,25$$. При этом сумма этих максимальных значений : $$2401+25+72,25=2498,25$$, что меньше , чем $$2525,25$$ $$\Rightarrow$$ не может

     Б) Аналогично п.А : может , например 199: $$\frac{1^{2}+9^{2}+9^{2}}{199}>\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{163}{199}>\frac{1}{2}$$

     B) Рассмотрим $$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{100a+10b+c}\rightarrow max$$. Очевидно , что a=1 (иначе в знаменателе прибавится сотня),а c=9 $$\Rightarrow$$ $$\frac{^{2}+b^{2}+9^{2}}{100+10b+9}=\frac{82+b^{2}}{109+10b}\rightarrow max$$

     Найдем производную: $$\frac{(82+b^{2})^{'}(109+10b)-(109+10b)^{'}(82+b^{2})}{(109+10b)^{2}}=$$$$\frac{2b(109+10b)-10(82+b^{2})}{(109+10b)^{2}}=$$$$\frac{10b^{2}+218b-820}{(109+10b)^{2}}=0\Leftrightarrow$$ $$5b^{2}+114b-410=0$$: $$D=20081\approx 141\Rightarrow$$ $$b_{1}=\frac{-114+141}{2*5}=2,7$$; $$b_{2}=\frac{-114-141}{10}=-25,5\rightarrow$$ 2,7-точка минимума $$\Rightarrow$$ $$\frac{82+b^{2}}{109+10b}\rightarrow$$ $$max$$ при $$b=0$$ или при $$b=9$$:

  • $$b=0$$: $$\frac{82+0^{2}}{109+10*0}=\frac{82}{109}$$;
  • $$b=9$$ :$$\frac{82+9^{2}}{109+10*9}=\frac{163}{199}$$;

$$\frac{163}{199}>\frac{82}{109}\Rightarrow$$ максимальное значение $$\frac{163}{199}$$

 

Задание 7205

А) Чему равно максимальное значение разности трёхзначного числа и суммы кубов его цифр?
Б) Для какого числа оно достигается?
В) Чему равно минимальное значение этой разности?
Ответ: 396; 620 и 621; -1260
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть дано число $$100a+10b+c$$ ,где $$a \in [1; 9] \in N$$ ; $$b,c \in [0;9] \in Z$$. Тогда мы получим разность $$f=100a-a^{3}+10b-b^{3}+c-c^{3}=$$$$g(a)+g(b)+g(c)$$

     A) Рассмотрим п отдельности части f:

   1) $$g(a)=100a-a^{3}\Rightarrow$$ $$g^{'}(a)=100-3a^{2}\Rightarrow$$ $$a=\sqrt{\frac{100}{3}}\approx 5,7$$ (с учетом , что $$a\geq 1$$)$$\Rightarrow$$ $$g_{max}(a)=g(5)$$ или $$g_{max}=g(6)$$

$$g(5)=500-125=375$$
$$g(6)=600-216=384\Rightarrow a=6$$

   2) Аналогично, $$g^{'}(b)=10-3b^{2}\Rightarrow$$ $$b=\sqrt{\frac{10}{3}}\approx 1,8$$ - точка максимума $$\Rightarrow$$ $$g_{max}(b)=g(1)$$ или $$g_{max}(b)=2$$

$$g(1)=10-1=9$$
$$g(2)=20-8=12\Rightarrow b=2$$

   3) $$g^{'}(c)=1-3c^{2}\Rightarrow$$ $$c=\sqrt{\frac{1}{3}}\Rightarrow$$ $$g_{max}(c)=g(0)$$ или $$g_{max}(c)=g(1)$$

$$g(0)=0-0=0$$
$$g(1)=1-1=0$$

   Когда число 620 или 621 и $$f=396$$

     Б) Для чисел 620 и 621.

     B) С учетом п.А получим, что $$g_{min }(a)=g(1)$$ или $$g(9)$$ (т.к. точка максимума на промежутке [1 ; 9], следовательно, минимальное значение на концах:

$$g(1)=100-1=99$$
$$g(9)=900-9^{3}=171\Rightarrow g_{min}(a)=99$$

   Аналогично, $$g_{min}(b)=g(0)$$ или $$g(9)$$:

$$g(0)=0-0=0$$;
$$g(9)=90-9^{3}=-639$$

   Аналогично, $$g_{min}(c)=g(0)$$или $$g(9)$$:

$$g(0)=0$$ ;
$$g(9)=9-9^{3}=-720$$

   Тогда $$f_{min}=99-639-720=-1260$$

 

 

Задание 7226

Для членов последовательности a1,a2,...,a10 целых чисел при всех натуральных $$k\leq 8$$ выполняется неравенство ak+ak+2>2ak+1

А) Может ли в такой последовательности выполняться равенство a10=0 ?
Б) Может ли в такой последовательности выполняться равенство a1+a10=2a7 ?
В) Какое наименьшее значение может принимать выражение a1-a5-a6+a10 ?
Ответ: да, нет, 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) т.к. $$a_{k}+a_{k+2}>2a_{k+1}\Leftrightarrow$$ $$a_{k}-a_{k+1}>a_{k+1}-a_{k}(*)$$ Пусть $$a_{10}=0$$, рассмотрим убывающую последовательность . Т.к. все числа целые и с учетом (*) получаем , что разность смежных меняется на 1. Например: $$a_{10}=0; a_{9}=1$$$$\Rightarrow$$ $$a_{9}-a_{10}=1$$$$\Rightarrow$$ $$a_{8}-a_{9}=2$$; $$min (a_{7} -a_{8})=3$$ и т.д. Получим : 45;36;28;21;15;10;6;3;1;0 , следовательно , может.

     Б) Пусть разница между 1-ым и 2-м членами последовательности равна $$x_{1}$$, между 2-ым и 3-ым - $$x_{2}$$ и т .д. С учетом (*) получим $$x_{1}>+x_{2}...>x_{9}(**)$$ При этом $$x_{1}, ,,, x_{9}\in Z$$. Выразим $$a_{1}$$ и $$a_{7}$$ через $$a_{10}$$ и разницы ($$x_{1}...x_{9}$$):

$$a_{1}=a_{10}+(x_{1}+x_{2}+..+x_{9})=a_{10}+\sum_{i=1}^{9} x_{i}$$

$$a_{7}=a_{10}+(x_{9}+x_{8}+x_{7})=a_{10}+\sum_{i=7}^{9} x_{i}$$

   Тогда $$a_{10}+\sum_{i=1}^{9} x_{i}+a_{10}=2(a_{10}+\sum_{i=1}^{9})\Leftrightarrow$$ $$x_{1}+x_{2}+..+x_{6}=x_{7}+x_{8}+x_{9}$$

   С учетом (**) : $$x_{1}+x_{2}+..+x_{6}>x_{7}+x_{8}+x_{9}\Rightarrow$$ не может быть

     B) Аналогично (Б) представим все через разности и $$a_{10}$$:

     $$a_{1}=a_{10}+\sum_{i=1}^{9} x_{i}$$;    $$a_{5}=a_{10}+\sum_{i=5}^{9} x_{i}$$;    $$a_{6}=a_{10}+\sum_{i=6}^{9} x_{i}$$.

     Тогда получим : $$a_{10}+\sum_{i=1}^{9} x_{i}-a_{10}+\sum_{i=5}^{9}x_{i}-a_{10}+\sum_{i=6}^{9} x_{i}-a_{10}=$$$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}-(x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9})$$

     Необходима минимальная разность между членами $$\Rightarrow$$ $$x_{8}=x_{9}+1$$; $$x_{7}=x_{8}+1=x_{9}+2$$ и $$x_{1}=x_{9}+8$$

     Тогда получим : $$x_{9}+8+x_{9}+7+x_{9}+6+x_{9}+5-(x_{9}+3+x_{9}+2+x_{9}+1+x_{9})=$$$$5*4=20$$

 

Задание 7328

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три непустые группы. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли получиться одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли получиться одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите минимальное возможное значение максимального из получаемых средних арифметических.
Ответ: да, нет, $$\frac{43}{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) да могут, например 1-ая группа 2-ая группа 4;6 $$\Rightarrow$$ среднее арифметическое равно 5.

     Б) Учтем, что сумма всех чисел 61. Пусть группа составляет из x,y,z элементов ($$x,y,z, \in N$$ ) , тогда $$x+y+z=10$$. Пусть среднее арифметическое для них равно k ,тогда $$kx+ky+kz=61\Rightarrow$$ $$k(x+y+z)=61\Leftrightarrow$$ $$10k=61\Rightarrow$$ $$k=6,1$$. Но тогда $$6,1x$$ - целое число(т.к. это сумма целх чисел) $$\Rightarrow$$ x кратно 10, но при этом $$x\leq 8$$, т.к. в двух остальных группах минимум 1 число $$\Rightarrow$$ не может.

     B) Рассмотрим разбиение (6) ; (3;9) ; (1;2;4;5;7;8;16) .Среднее арифметическое для первых двух групп равно 6, для третьей $$\frac{43}{7}$$. Очевидно, что среднее арифметическое одной из групп больше 6 , иначе бы сумма всех чисел не превосходила бы 60. Тогда не меньше $$6k+1$$ для к чисел , и среднее арифметическое для нее не меньше , чем $$\frac{6k+1}{k}=6+\frac{1}{k}$$. Чем меньше $$\frac{1}{k}$$ , тем больше k. Минимальное количество чисел в двух других группах равно 2. Если одно из чисел больше или равно 7 , то $$\frac{43}{7}<7$$ , следовательно, не рассматриваем (т.к. нужно минимальное среднее).Иначе меньше или равно 5 , тогда среднее арифметическое для оставшихся $$\frac{(61-(5+6))}{8}=\frac{50}{8}$$ больше или равно $$\frac{50}{8}$$ , но $$\frac{50}{8}>\frac{43}{7}$$, не подходит . При $$k\leq 7$$ же среднее арифметическое больше или равно $$\frac{43}{7}\Rightarrow$$ минимум $$\frac{43}{7}$$

 

Задание 7370

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо нескольких (возможно, одного) из чисел на доске написали числа, меньшие первоначальных на 1. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли среднее арифметическое чисел на доске увеличиться после произведённой операции?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел было равно 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел получиться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел было равно 27. Найдите максимальное возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.
Ответ: а) да; б) нет; в) $$38\frac{1}{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7417

Ученики писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из‐за того, что задания оказались трудными, всем участникам теста добавили по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Мог ли средний балл участников, не сдавших тест, понизиться?
б) Мог ли средний балл участников, сдавших тест, понизиться и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизиться?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших тест—79. При каком минимальном числе участников теста возможна такая ситуация?
Ответ: да, да, 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А)   Да. Например, не сдали два человека, их баллы 0 и 82, т.е. среднее арифметическое: $$\frac{0+82}{2}=41$$. После повышения на пять балов один из них сдал, остался один с 5 баллами, то есть новое среднее арифметическое составляет 5. 

Б)   Да. Например, не сдало два человека с баллами 0 и 79, сдал один, и его балл 200. Тогда среднее арифметическое для не сдавших составит 39,5, для сдавших 200. После повышения среднее арифметичекое не сдавших будет 5, а сдавших 144,5

В)    Пусть изначально было Х сдавших, У - не сдавших, тогда сумма баллов славших 100х, не сдавших 75у. Пусть Z сдали после повышения на 5 баллов, и их начальная сумма составляла N. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix}\frac{100x+75y}{x+y}=90\\\frac{100x+5(x+z)+N}{x+z}=103\\\frac{75y+5(y-z)-N}{y-z}=79\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x=3y\\2x+N=98x\\y-N=-74z\end{matrix}\right.$$

     Сложим 2 и 3 уравнения: $$2x+y=24z$$, подставим из 1: $$3y+y=24z\rightarrow$$$$y=6z;x=9z$$. Так как минимальное z составляет 1 (иначе бы изменения среднего было на 5 баллов), то  y=6 и x=9. То есть всего было 15 человек минимум

Задание 7427

Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины ребер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером 1x1x3. При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада.

А) Могли ли получиться так, что склад объемом 150 невозможно полностью заполнить контейнерами?
Б) Могло ли получиться так, что на складе объемом 400 невозможно разместить 133 контейнера?
В) Какой наибольший процент объема любого склада объемом не менее 200 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
Ответ: нет; да; 96
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7446

   а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр десятичной записи которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.
   б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр десятичной записи которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?
   в) Найдите все такие четырёхзначные числа, произведение цифр десятичной записи которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.
Ответ: а) 3525; б) нет; в) 8655 и все числа, полученные перестановкой цифр этого числа
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7519

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три непустые группы. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

     а) Могут ли получиться одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
     б) Могут ли получиться одинаковыми все три значения средних арифметических?
     в) Найдите минимальное возможное значение максимального из получаемых средних арифметических.
Ответ: а) да; б) нет; в) $$\frac{43}{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Пусть группы будут, например, такими: 1) 2; 2) 1, 3; 3) 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16. Тогда среднее арифметическое в первых двух группах равно 2.

б) Пусть среднее арифметическое в каждой группе равно x. Тогда сумма всех чисел равна количеству чисел, умноженному на x, значит, $$x=(1+2+3+...+9+16):10=\frac{61}{10}$$ . Таким образом, среднее арифметическое в каждой группе равно $$\frac{61}{10}$$ , но это значит, что количество чисел в каждой группе не меньше 10, но этого не может быть.

в) Среднее арифметическое всех данных чисел равно $$6\frac{1}{10}$$ . В пункте б) мы выяснили, что при разбиении чисел на три группы такое среднее в группах получить невозможно. Ясно, что возможные средние это рациональные числа со знаменателем меньшим или равным количеству чисел в группе. Максимальное количество чисел в одной группе равно 8, поэтому среднее арифметическое $$6\frac{1}{9}$$ получить тоже нельзя. Покажем, что среднее 6 дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби тоже не получится. Действительно, если группа состоит из 8 чисел со средним $$6\frac{1}{8}$$ , то сумма чисел в этой группе равна 49. Тогда сумма двух оставшихся чисел равна 12. Это могут быть пары чисел 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7. Все они не подходят, одно из средних будет больше, чем $$6\frac{1}{8}$$ .

Приведем теперь пример для наибольшего из средних равного $$6\frac{1}{7}$$ . Разобьем наши числа на такие три группы: 1) 6; 2) 5, 7; 3) 1, 2, 3, 4, 8, 9, 16. Их средние арифметические будут равны соответственно $$6;6;6\frac{1}{7}$$.

 

Задание 7566

Известно, что все члены арифметической прогрессии an являются различными натуральными числами и что ее второй член в 8 раз больше первого.

А) Может ли один из членов этой прогрессии быть больше другого ее члена в 567 раз?
Б) Найдите наименьшее возможное отношение двух членов этой прогрессии, отличных от a1, если известно, что отношение является целым числом, и укажите любую пару таких ее членов
В) Найдите третий член этой прогрессии, если известно, что один из ее членов равен 546.
Ответ: а) нет; б) 8; $$a_{n}=7n-6, a_{2}=8; a_{10}=64$$; в) 105 или 8190
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7641

Бесконечная арифметическая прогрессия $$a_{1},a_{2},...,a_{n}$$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $$S_{1}=a_{1}$$, $$S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$$ при всех натуральных $$n\geq 2$$.

А) Существует ли такая прогрессия, для которой $$S_{10}=100S_{1}$$?
Б) Существует ли такая прогрессия, для которой $$S_{10}=50S_{2}$$?
В) Какое наименьшее значение может принимать дробь $$\frac{S_{5}^{2}}{S_{1}\cdot S_{10}}$$-?
Ответ: а) да; б) нет; в) $$\frac{200}{81}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7688

Ваня играет в игру. В начале игры на доске написано два различных натуральных числа от 1 до 9999. За один ход игры Ваня должен решить квадратное уравнение $$x^{2}-px+q=0$$ , где p и q — взятые в выбранном Ваней порядке два числа, написанные к началу этого хода на доске, и, если это уравнение имеет два различных натуральных корня, заменить два числа на доске на эти корни. Если же это уравнение не имеет двух различных натуральных корней, Ваня не может сделать ход и игра прекращается.

а) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать не менее двух ходов?
б) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать десять ходов?
в) Какое наибольшее число ходов может сделать Ваня при этих условиях?
Ответ: а) да; б) нет; в) 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7736

Задуман набор последовательных (идущих подряд) натуральных чисел, сумма которых больше 231 и меньше 245.

А) Может ли в наборе быть 13 чисел?
Б) Может ли в наборе быт ь14 чисел?
В) Какое наибольшее количество чисел, которые удовлетворяют заданному условию, может быть в наборе?
Ответ: а) да, б) нет, в) 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7787

В магазине продаются мобильные телефоны, каждый из которых стоит целое число тысяч рублей (больше нуля, но менее 100 тыс.). Магазин установил скидки на несколько телефонов: если цена телефона составляет N тыс. руб., то он продаётся со скидкой N %.

а) Могла ли средняя величина скидки составить ровно 1 тыс. руб?
б) Могла ли средняя величина скидки составить ровно 2 тыс. руб?
в) Известно, что средняя величина скидки составила ровно 3 тыс. руб. Какое наименьшее количество телефонов могло продаваться со скидкой?
Ответ: а) да; б) да; в) 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7879

Учащиеся 11 классов сдавали тесты по различным предметам. Каждый тест оценивается от 0 до 100 баллов. После получения результатов пятеро друзей решили сравнить полученные баллы. Каждый сдавал русский язык и профильную математику, четверо сдавали физику, трое сдавали информатику, и двое сдавали обществознание. Общая сумма баллов по физике не больше 300, а по информатике – не меньше 220. Сумма баллов по обществознанию оказалась равна сумме двух лучших результатов по физике и информатике.

   а) Мог ли один из друзей не сдать хотя бы один экзамен?
   б) Могли ли двое не сдать какой‐то экзамен, если два участника написали обществознание на 87 и 78 баллов?
   в) Какое наибольшее количество участников могли не сдать хотя бы один экзамен, если лучшая работа по физике оценена не более чем в 80 баллов, по информатике – не более 75 баллов, по обществознанию – не менее 90 баллов?

(*) тест считается не сданным, если за него получено 0 баллов

Ответ: а) да; б) да; в) 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7899

Имеется несколько камней, массы которых – различные натуральные числа

   а) Можно ли разложить 50 камней с массами 1,2,3…,10 по 6‐ти кучкам, чтобы вес каждой кучки не превосходил 10?
   б) Можно ли разложить камни массами 370,372,374…468 на семь кучек, чтобы вес каждой кучки не превосходил 3000?
   в) Дополнительно известно, что общая сумма масс камней равна 4000, а масса каждой кучки, как и каждого камня не превосходит 100.

Какое минимальное количество таких кучек придется задействовать, чтобы гарантированно распределить данные камни.

Ответ: а) можно; б) нельзя; в) 51
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Суммарная масса камней: $$\frac{1+10}{2}\cdot10=55$$. $$\frac{55}{6}=9\frac{1}{6}$$, т.е. не превосходит $$6\cdot10$$ (шесть кучек на максимальную массу одной), следовательно, необходимо подбирать. Например: $$1+9$$; $$2+8$$; $$3+7$$; $$4+6$$, $$5$$ - пять кучек, разобьем одну из них и получим $$6$$ $$\Rightarrow$$ да, можно.

б) Найдем общее количество камней, используя формулы арифметической прогрессии: $$468=370+2(n-6)$$ $$\Rightarrow$$ $$n=50$$ камней. Если разбивать попровну, то получим 7 кучек по 7 и одну кучку по 8 камней. Минимальное значение кучки с 8 камнями: $$370+372+...+384=3016$$, что больше 3000. При любом другом разбиении будет хотя бы одна кучка с 8 или более камнями $$\Rightarrow$$ нет, нельзя.

в) Очевидно, что необходимо использовать максимальные массы , начиная со 100 (100, 99, 98 и т.д.). При этом понадобится $$n$$ камней, чтобы набрать 4000 (т.е. рассмотреть арифметическую прогрессию, убывающую,где $$a_{1}=100$$, $$d=-1$$): $$\frac{2\cdot100-1(n-1)}{2}\cdot n\leq4000$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(200-n+1)\cdot n\leq8000$$ $$\Rightarrow$$ $$-n^{2}+201n-8000\leq0$$ $$\Rightarrow$$ $$n^{2}-201n+8000\leq0$$

$$D=40401-32000=8401\in(91^{2};92^{2})$$

$$n_{1}=\frac{201+\sqrt{8401}}{2}\in(146;147)$$

$$n_{2}=\frac{201-\sqrt{8401}}{2}\in(54;55)$$

Т.к. $$n\leq100$$, то рассматриваем $$n_{2}$$, т.е. $$n=54$$

При этом $$a_{54}=47$$ Т.к. сумма $$\leq100$$, то $$47+53$$; $$48+52$$; $$49+51$$ дают $$\leq100$$ $$\Rightarrow$$ число кучи будет не 54, а $$54-3=51$$

 

Задание 7948

На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число 300?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 17?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 17, может быть на доске?
Ответ: а) не может; б) не может; в) 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Предположим, что на доске есть число 240. Тогда сумма остальных девяноста девяти чисел $$S_{99}=5130-240=4890$$. Эта сумма не меньше, чем сумма первых 99 членов натурального ряда: $$S_{99} \geq 1 + 2 + 3... + 99;$$ $$S_{99} \geq 4950$$. В то же время $$S_{99} = 4890$$ – противоречие! Значит, число 240 не может находиться на доске.

б) Попробуем обойтись без числа 16. Посчитаем сумму натуральных чисел от 1 до 100. $$S_{100}=1+2+...+100=5050$$. Теперь заменим число 16 на наименьшее из тех, на которые его можно заменить, – то есть на число 101. Пусть $$Z_{100}$$ – сумма 100 чисел после замены. Оценим ее: $$Z_{100}\geq 5050-16+101=5135$$. Опять противоречие с условием! Значит, число 16 обязательно должно быть на доске.

в) Посмотрим, какое наименьшее количество чисел, кратных 16, может быть на доске. Число 16 должно быть обязательно. Может ли оно быть единственным числом, кратным 16? Оценим в этом случае сумму 100 чисел на доске:

$$S_{100} \geq 1+2+...+31+33+...+47+49+...+63+65+...+79+81+...+ \newline \newline +95+97+98+99+100+101+102+103+104+105$$.

Мы убрали числа 32, 48, 64, 80 и 96 и заменили их числами 101, 102, 103, 104 и 105.

Тогда $$S_{100} \geq \frac{1+105}{2}\cdot 105-32-48-64-80-96$$ $$S_{100} \geq 5245$$, и равенство $$S_{100} =5130$$ невозможно.

Аналогично, если на доске есть только два числа, кратные 16,

$$S_{100} \geq 1+2+...+47+49+...+63+65+...+79+81+...+ \newline \newline +95+97+98+99+100+101+102+103+104$$;

$$S_{100} \geq \frac{1+104}{2}\cdot 104-48-64-80-96$$ $$S_{100} \geq 5172$$ , и мы снова получим противоречие с условием. Три числа, кратные 16, могут быть на доске.

Пусть это числа 16, 32 и 48.

Тогда

$$S_{100} \geq 1+2+...+63+65+...+79+81+...+95+97+98+ \newline \newline +99+100+101+102+103$$;

$$S_{100} \geq \frac{1+103}{2}\cdot 103-64-80-96$$ $$S_{100} \geq 5116$$, противоречий с условием нет.

Сумма 100 чисел 1, 2,…,63, 65…79,81,…95, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 117 равна 5130, и среди этих 100 чисел есть ровно 3 числа, кратные 16.

 

Задание 8222

Известно, что уравнение $$x^{3}-3x^{2}+bx+12=0$$ имеет три различных целых корня.

а)Могут ли все корни этого уравнения быть четными?
б) Найдите количество отрицательных корней
в) Найдите все возможные значения коэффициента b
Ответ: а) нет; б) 1; в) -4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$c,d,e$$ - корни данного уравнения. Тогда получим: $$(x-c)(x-d)(x-e)=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(x^{2}-xc-xd+cd)(x-e)=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{3}-x^{2}e-x^{2}(c+d)+xe(c+d)+cdx-cde=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{3}-x^{2}(c+d+e)+x(ce+de+cd)-cde=0$$

Получим, что $$c+d+e=-3$$; $$ce+ed+cd=b$$; $$-cde=12$$

А) Т.к. $$-cde=12$$. Т.е. $$-cde=2\cdot2\cdot3$$. Т.е. один точно будет нечетным $$\Rightarrow$$ нет

Б) $$-cde=12$$ тогда или 1 или 3 отрицательных. Но 3 не может быть, т.к. $$c+d+e=-3$$ выполнялось бы только при $$c=d=e=-1$$ (т.е. $$c,d,e,\in Z$$), но тогда они не различны и не дают $$-cde=12$$ $$\Rightarrow$$ один отрицательный

В) Рассмотрим возможные комбинации корней $$12=1\cdot2\cdot6=1\cdot3\cdot4=2\cdot2\cdot3=1\cdot1\cdot12$$. Учтем, что один корень отрицательный (иначе $$2\cdot2\cdot3$$ и $$1\cdot1\cdot12$$ не рассматривали бы): имеем $$(x-c)(x-d)(x-e)=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{3}+x^{2}(e-c-d)+x(cd-ec-ed)+abc=0$$

При этом $$e-c-d=-3$$

1) $$6-2-1\neq-3$$; $$2-6-1\neq-3$$; $$1-2-6\neq-3$$

3) $$4-1-3\neq-3$$; $$1-4-3\neq-3$$; $$3-1-4\neq-3$$

3) $$2-2-3=-3$$; $$3-2-2\neq-3$$

4) $$12-1-1\neq-3$$;  $$1-12-1\neq-3$$

 

Задание 8273

На полке расставлен 12‐титомник Марка Твена. Можно тома расставить так, что:

а) Сумма номеров любых 2‐х подряд стоящих томов делилось бы на 3?
б) Сумма номеров любых 3‐х подряд стоящих томов делилось бы на 3?
в) Сумма номеров любых 4‐х подряд стоящих томов делилась бы на 3?
Ответ: а) нет; б) да; в) нет
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
А) Нет. Возьмем любое из кратных $$3$$. Тогда рядом с ним обязательно число кратное $$3$$, иначе их сумма не будет делиться на $$3$$. Но тогда и дальше будет аналогично кратное $$3$$ и т.д. что невозможно, т.к. кратных $$3$$ всего $$4$$ числа.

Б) Да, например $$1234567891011$$

В) Пусть такая комбинация есть $$b_{1},b_{2},....,b_{12}$$. Пусть $$a_{1}.....a_{12}$$ - остатки от деления чисел на $$3$$. При этом $$a_{1}....a_{12}$$ равны $$0,1$$ или $$2,a$$ $$a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=3$$ (сумма остатков от деления равна $$3$$, иначе бы сама сумма $$b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}$$ и др не были кратны $$3$$)

 

Задание 8292

а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере 2/3 задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере 2/3 школьников. Известно также, что по крайней мере 2/3 школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере 2/3 задач контрольной. Могло ли такое быть?
б) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в её условии 2/3 на 3/4?
в) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в её условии 2/3 на 7/10?
Ответ: а) да б) да в) да
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8311

Даны $$n\geq 3$$ натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.
Ответ: а) да б) 44 в) 3,6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) Да,например $$1,2,3,4$$

Б) Рассмотрим стационарную арифметич. прогрессию, где $$a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=1$$ $$(d=0)$$, Тогда из формулы суммы $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$: 

$$\frac{1+1}{2}\cdot n<1000$$ $$\Rightarrow$$ $$n<1000$$ $$\Rightarrow$$ $$n=999$$

Если рассматривать нестационарную, то $$n\rightarrow max$$ при $$a_{1}\rightarrow1$$ и $$d\rightarrow1$$. Т.е. $$\frac{2\cdot1+1(n-1)}{2}\cdot n<2000$$ $$\Rightarrow$$ $$n^{2}+n-2000<0$$ $$\Rightarrow$$ $$x_{1},x_{2}=\frac{-1\pm\sqrt{8001}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$n<\frac{-1+\sqrt{8001}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$n=44$$

В) Из формулы суммы арифм. прогрессии: $$S_{n}=\frac{2a_{1+d(n-1)}}{2}\cdot n$$ имеем: $$(2a_{1}+d(n-1))\cdot n=129\cdot2=2\cdot3\cdot43$$ Т.к. $$a_{n}\in N$$, $$n\in N$$ и $$0$$, то имеем:

$$N$$ $$2a_{1}+d(n-1)$$ $$n$$
$$1$$ $$2$$ $$3\cdot43$$
$$2$$ $$3$$ $$2\cdot43$$
$$3$$ $$43$$ $$2\cdot3$$
$$4$$ $$2\cdot3$$ $$43$$
$$5$$ $$2\cdot43$$ $$3$$
$$6$$ $$3\cdot43$$ $$2$$
$$7$$ $$2\cdot3\cdot43$$ $$1$$
$$8$$ $$1$$ $$2\cdot3\cdot43$$

С учетом $$n\geq3$$ $$6$$ и $$7$$ не подходят, $$2$$ и $$8$$ тоже (при данном занчении $$n$$ никак не получим левую колонку) $$\Rightarrow$$ $$n=3;6$$ при возрастающей и $$43$$ и $$129$$ при стационарной

 

Задание 8329

Сева каждый день заполняет таблицу 3 на 3 клетки числами 0, 2 или 4. При этом он рассчитывает день ото дня решать все более и более амбициозные задачи:

Пн: добиться того, чтобы суммы чисел по строкам были различны
Вт: суммы чисел по строкам и хотя бы в одном из столбцов были различны
Ср: суммы чисел по строкам и хотя бы в двух столбцах были различны
Чт: суммы чисел по строкам и столбцам были различны
Пт: суммы чисел по строкам, столбцам и одной из главных диагоналей были различны
Сб: суммы чисел по строкам, столбцам и обеим главным диагоналям были различны
а) Сможет ли Сева выполнить свой план на Вт, если хорошо постарается?
б) Сможет ли Сева выполнить свой план на Сб, если постарается пуще прежнего?
в) За какие дни Сева точно не сможет выполнить свой план?
Ответ: а) да; б) нет; в) Чт, Пт, Сб
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) Да,например составим: 

0 2 4 6
2 0 0 2
2 4 4 10
4 6 8  

Б) Нет, т.к.добиться разных во всех строках и столбцах нельзя. Возможные суммы из трех нулей, двоек и четверок: $$0;2;4;6;8;10;12$$. Но если мы получаем 12, то используются 3 четверки в столбце или строке, следовательно, останутся еще 5 сумм,которые необходимо составить из 3х нулей и 3х двоек, а они дают всего четыре разные суммы: $$0;2;4;6$$, т.е.нельзя. Так же и стремя нулями. Но кроме 0 и 12 остается 5 возможных разных сумм на 6 необходимых $$\Rightarrow$$ не получится. Аналогично, если использовать не по 3 числа: сума строки или столбца не будет больше 12.

В) Из п.Б: четверг, пятница и суббота

 

Задание 8348

В 16‐битном регистре процессора 80286 каждый из 16 бит может принимать значения «0» и «1». Таким образом, число, записанное в регистр, представляет собой последовательность длиной 16, состоящую из нулей и единиц.

а) Можно ли записать в регистр 30 различных чисел так, чтобы между любыми двумя единицами в записи числа было не менее 7 нулей?
б) Можно ли записать 30 чисел с тем же условием, что и в пункте а, если 5 младших битов регистра (то есть последних цифр в последовательности) глючат и всегда равны нулю?
в) Сколько различных чисел с не менее, чем 7‐ю нулями между любыми двумя единицами можно записать в нормальный (со всеми 16‐ю битами) 16‐битный регистр?
Ответ: а) да; б) нет; в) 53
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8686

Сева продолжает эксперимент с таблицей 3 на 3 клетки, начатый в варианте 285. Теперь его задача ‐ разместить в ней монеты таким образом, чтобы во всех строках и столбцам таблицы количество монет было различным. Некоторые клетки могут остаться пустыми.

а) Есть ли шанс у Севы расположить в таблице 18 монет указанным способом?
б) А 6 монет указанным способом?
в) Какое наименьшее количество монет потребуется Севе для выполнения поставленной задачи?
Ответ: а) да; б) нет; в) 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8703

В ящике лежит 76 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 85 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 124 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 8 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Ответ: нет, нет, 676 гр.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8723

В ящике лежит 58 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 976 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1036 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 12 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Ответ: нет; нет; 240 гр.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8746

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Ответ: нет; нет; 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8765

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе 1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.
Ответ: да; нет; 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8784

Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 30, но меньше 40, а в автобусах модели Б — больше 40, но меньше 50. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.

а) Может ли потребоваться 5 автобусов модели А?
б) Найдите наименьшее возможное количество детей в группе, если известно, что их больше 150.
в) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе.
Ответ: да; 180; 546
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8803

Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 40, но меньше 50, а в автобусах модели Б — больше 50, но меньше 60. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.

а) Может ли потребоваться 4 автобуса модели Б?
б) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе, если известно, что их меньше 300.
в) Найдите наибольшее возможное количество автобусов модели А.
Ответ: да; 270; 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8877

На листочке записано 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 7, среднее арифметическое семи наибольших из них равно 16.

а) Может ли наименьшее из 13 чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех 13 чисел равняться 12?

в) Пусть P – среднее арифметическое всех 13 чисел, Q – седьмое по величине число. Найдите наибольшее значение выражения.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $$\frac{21}{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8898

Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги — натуральное число рублей. Если цена книги меньше 100 рублей, на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 10 рублей, из-за чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось.

а) Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки?

б) Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки?

в) Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 110 рублей, средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 81 рубль, а средняя цена книг без бирки — 226 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 90 рублей, а средняя цена книг без бирки — 210 рублей. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?

Ответ: да; да; 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8918

Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги — натуральное число рублей. Если цена книги меньше 80 рублей, на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 5 рублей, из-за чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось.

а) Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки?

б) Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки?

в) Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 103 рубля, средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 67 рублей, а средняя цена книг без бирки — 157 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 70 рублей, а средняя цена книг без бирки — 146 рублей. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9051

На сайте школы идет голосование на звание «Лучший ученик года», где каждый посетитель голосует только за одного из претендентов. Рейтинг каждого претендента (доля голосов, отданных за него) выражается в процентах, округленных до целого числа. Например, числа 9,3; 17,5 и 19,9 округляются до 9; 18 и 20 соответственно.

а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Мог ли рейтинг одного из претендентов равняться 41?

б) Пусть претендентов четверо. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?

в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого претендента равнялся 5. Это число не изменилось и после того, как Игорь проголосовал за него. При каком наименьшем числе отданных за всех претендентов голосов, включая Игоря, такое возможно?

Ответ: а) нет; б) да; в) 110
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9097

Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 30, но меньше 40, а в автобусах модели Б — больше 40, но меньше 50. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.

а) Может ли потребоваться 6 автобусов модели А?

б) Найдите наименьшее возможное количество детей в группе.

в) Сколько в группе детей, если для их перевозки потребовалось 3 автобуса модели Б?

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9116

Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги — натуральное число рублей. Если цена книги меньше 75 рублей, на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 15 рублей, из-за чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось.

а) Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки?

б) Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки?

в) Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 80 рубля, средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 56 рублей, а средняя цена книг без бирки — 152 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 70 рублей, а средняя цена книг без бирки — 145 рублей. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9167

Будем называть дробь «простой», если её числитель равен 1, а знаменатель – натуральное число.

а) Запишите число 1 в виде суммы трёх различных простых дробей.

б) Можно ли записать число 1 в виде суммы двух различных простых дробей?

в) Какие действительные числа, меньшие 1, можно записать в виде суммы некоторого числа различных простых дробей?

Ответ: да; нет; положительное рациональное число, меньшее 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9234

Известно, что в кошельке лежало п монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n=14?

б) Могли ли все её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n=19?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n=24?

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9251

Известно, что в кошельке лежало п монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Таня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 64 рубля и ручки за 31 рубль, если n=16?

б) Могли ли все её покупки состоять из стакана компота за 15 рублей, сырка за 20 рублей и булочки за 25 рублей, если n=26?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Таня купила только альбом за 96 рублей и n=19?

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9348

В магазине продаются мобильные телефоны, каждый из которых стоит целое число тысяч рублей (больше нуля, но менее 100 тыс.). Магазин установил скидки на несколько телефонов: если цена телефона составляет N тыс. руб., то он продаётся со скидкой N%.

а) Могла ли средняя величина скидки составить ровно 1 тыс. руб?

б) Могла ли средняя величина скидки составить ровно 2 тыс. руб?

в) Известно, что средняя величина скидки составила ровно 3 тыс. руб. Какое наименьшее количество телефонов могло продаваться со скидкой?

Ответ: а) да; б) да; в) 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9368

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 12 раз больше, либо в 12 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 8750.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9388

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 14 раз больше, либо в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7424.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9493

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр но 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9513

В магазине продаются товары, каждый из которых стоит целое число рублей. Средняя цена товара составляет 500 рублей. Однажды цены всех товаров уменьшили на 10%, а потом округлили до наибольшего целого числа рублей, не превосходящего уменьшенную цену.

а) Могла ли после этого средняя цена товара стать равной 450 рублей?
б) Могла ли после этого средняя цена товара стать равной 449,5 рублей?
в) Известно, что средняя цена товара стала равной 449,1 рублей. После этого цены ещё раз уменьшили на 10%, а потом округлили до наибольшего целого числа рублей, не превосходящего уменьшенную цену, и средняя цена товара стала равной 403,29 рублей. Какое наименьшее значение могла принимать цена одного товара изначально?
Ответ: а) да; б) да; в) 91
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9533

Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел -1, 3, 4, -5, 7, -9, -10, 11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел -1, 3, 4, -5, 7, -9, -10, 11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Ответ: нет; нет; 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9638

а) Существует ли пара натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 5, а наименьшее общее кратное – 123?
б) Существует ли пара натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 7, а наименьшее общее кратное – 294?
в) Найдите все пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 13, а наименьшее общее кратное – 78.
Ответ: а) нет; б) да; в) 13 и 78, 26 и 39
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9666

На доске написано 12 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 16.

а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 18?
б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 11?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел
Ответ: а) нет; б) нет; в) 11,75
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9686

В классе учится 15 мальчиков и n девочек. Анализируя успеваемость учащихся по предмету за полугодие, завуч заметил, что общее количество оценок в журнале составляет $$n^{2}+13n-2$$, причём все ученики имеют одинаковое количество оценок.

а) Может ли в классе быть 16 девочек?
б) Сколько может быть девочек в классе?
в) Сколько оценок получил каждый ученик по предмету за полугодие?
Ответ: а)нет б)13 в)12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9786

Вовочка написал домашнее сочинение и допустил орфографические и пунктуационные ошибки. Затем его сестра проверила сочинение и исправила часть ошибок. В новом тексте количество пунктуационных ошибок оказалось в пределах от 15,5% до 18% от числа пунктуационных ошибок в старом тексте. Количество орфографических ошибок уменьшилось втрое и составило 25% от числа пунктуационных ошибок в первоначальном тексте.

а) Может ли в новом тексте содержаться ровно 5 ошибок?
б) Может ли в новом тексте содержаться ровно 6 ошибок?
в) Какое наименьшее число ошибок могло содержаться в первоначальном тексте?
Ответ: а) да; б) нет; в) 21
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9806

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.

а) Может ли наибольшее из этих одиннадцати чисел равняться 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех одиннадцати чисел.
Ответ: нет; нет; $$\frac{123}{11}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9881

Саша придумала уравнение $$n^{3}+13n=k^{3}+273$$ 

а) Может ли данное уравнение иметь натуральные решения при k=21?
б) Может ли данное уравнение иметь натуральные решения при $$n\geq 2020$$
в) Найдите все пары (n;k) натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению.
Ответ: а) да; б) нет; в) (8;7),(21;21)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9933

Имеется 2 млн. рублей, которые надо полностью истратить на покупку путевок в дома отдыха. Путевки есть на 15, 27 и 45 дней. Стоимость их соответственно 21 тыс. руб., 40 тыс. руб. и 60 тыс. руб.

а) Можно ли купить 15 путевок первого типа?
б) Какое наименьшее возможно число путевок второго типа можно купить?
в) Сколько и каких путевок надо купить, чтобы сделать число дней отдыха наибольшим?
Ответ: а) нет; б) 2; в) 1-го типа - 0, 2-го - 2, 3-го 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9953

Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел в А равно q и никакие два числа в множестве А не являются взаимно простыми. Найдите все числа множества А, если:

а) q=210 , произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа.
б) q=390, произведение всех чисел из А не делится на 160 и не является четвертой степенью никакого целого числа.
в) q=330, произведение всех чисел из А не является четвертой степенью никакого целого числа, а сумма всех чисел из А равна 755.
Ответ: а) 6, 10, 14, 30, 42, 70, 105, 210; б) 15, 30, 39, 65, 78, 130, 195, 390; в) 6, 15, 30, 33, 66, 110, 165, 330
 

Задание 10058

Известно, что m и n – натуральные числа.

а) Существует ли пара чисел n и m, для которых выполняется равенство $$\frac{1}{n}-\frac{1}{m}=\frac{1}{72}$$ ?
б) Существует ли пара чисел п и т, для которых выполняется равенство $$\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}=\frac{1}{72^2}$$?
в) Найдите все пары чисел п и т, для которых выполняется равенство $$\frac{1}{n^{3}}-\frac{1}{m^2}=\frac{1}{72}$$.
Ответ: а)да, например, m=9,n=8 б)да, например, m=24,n=8 в) $$(m;n)\in \left \{(3;2);(24;4) \right \}$$
 

Задание 10078

а) Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей $$\frac{14}{25}$$ и $$\frac{21}{40}$$ получаются натуральные числа
б) Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей $$\frac{35}{66}$$,$$\frac{28}{165}$$ и $$\frac{25}{231}$$ получаются натуральные числа
в) Найдите наибольшую дробь, при делении на которую каждой из дробей $$\frac{154}{195}$$,$$\frac{385}{156}$$ и $$\frac{231}{130}$$ получаются натуральные числа
Ответ: А) 42/5 Б) 700/33 В) 77/780
 

Задание 10101

Про натуральное число n известно, что оно делится на 17, а число, полученное из числа n вычеркиванием последней цифры, делится на 13.

а) Приведите пример такого числа n
б) Сколько существует трехзначных чисел n ?
в) Найдите наибольшее шестизначное число n .
Ответ: А)да, например, 136 Б) 5 В) 999838

Задание 10120

Написаны три различных натуральных числа. Затем написаны три различных попарных произведения этих чисел и произведение всех трех исходных чисел. Сумма полученных семи чисел оказалась равной 1514 .

а) Может ли хотя бы одно из исходных чисел быть нечетным?
б) Может ли одно из исходных чисел быть больше чем число 200 ?
в) Найдите три исходных числа.
Ответ: А) нет Б) нет В)2, 4 ,10
 

Задание 10139

В фирме имеется n отделов, в одном из которых работает 1/8 сотрудников, в другом ‐ 210 сотрудников, а численность каждого из оставшихся отделов составляет 1/9 от всей численности сотрудников фирмы.

а) Может ли быть n>9 ?
б) Найдите наименьшее возможное значение n
б) Найдите наибольшее возможное значение n
Ответ: нет; 8; 9
 

Задание 10173

Последовательность $$(a_{n})$$ состоит из 100 натуральных чисел. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше его на 150.

а) Может ли такая последовательность быть образована ровно пятью различными числами?
б) Чему может равняться , $$a_{100}$$ если $$a_{1}=75$$ ?
в) Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел такой последовательности?
Ответ: а) да б) 14925 в) 160
 

Задание 10179

Два натуральных числа a и b таковы, что если к десятичной записи числа приписать справа десятичную запись числа b, то получится число, большее произведения a и b на 32.

а) Приведите пример таких чисел a и b 
б) Может ли число b быть двухзначным?
в) Найдите все числа a и b , удовлетворяющие условию задачи. (Для «крутых» ‐ ноль натуральным числом не считается)
Ответ: А)a=12, b=8 Б)нет В)a=12, b=8 или a=23, b=9
 

Задание 10198

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник размера $$m\times n$$ клеток и проведена его диагональ. Все вершины прямоугольника лежат в узлах сетки и стороны прямоугольника не пересекают клетки.

а) Через сколько узлов сетки пройдет диагональ, если $$m=100, n=64$$
б) На сколько частей эта диагональ делится линиям сетки, если $$m=195, n=221$$
в) Найдите m и n, если известно, что числа m и n взаимно простые, m<n и диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 2020 клеток этого прямоугольника.
Ответ: А)5 Б)403 В)(2;2021), (5;506), (11;203)
 

Задание 10219

В течение дня посетители приходили к кассиру, желая произвести различные платежи (сумма любого платежа – четное число рублей). Каждый протягивал купюру номиналом 5000 рублей. Кассир выдавал сдачу, имея только 300 монет по 10 рублей и 500 монет по 2 рубля. По итогам дня все монеты оказались потраченными на сдачу.

а) Могло ли за день быть 250 посетителей, если они получили равную сдачу?
б) Каким могло быть наибольшее число посетителей, если каждый получил одинаковую сдачу?
в) Для какого наибольшего количества посетителей кассир мог выдать на сдачу монеты указанным способом при любом распределении сдач, не противоречащим условию?
Ответ: а) нет б) 400 в) 126
 

Задание 10266

За круглым столом сидели 110 человек, а на столе лежали абрикосы. Для каждой пары соседей число съеденных ими абрикосов отличается на 3.

а) Могли ли быть съедены все абрикосы, если изначально их было 1000?
б) Какое наименьшее число абрикосов могло остаться, если изначально их было 1000?
в) Пусть один из присутствующих съел a абрикосов, а другой b. Найдите наибольшее возможное значение a-b при условии, что изначально было 10 000 абрикосов?
Ответ: нет; 1; 165
 

Задание 10292

Имеются два многочлена от целочисленной переменной x :

$$p(x)=1+x^{2}+x^{4}+...+x^{2k}$$
$$q(x)=1+x+x^{2}+...+x^{k}$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$ от целочисленной переменной x , определенную для тех значений x , для которых $$q(x)\neq 0$$

а) Может ли функция $$f(x)$$ принимать не целые значения при k=3?
б) Может ли функция $$f(x)$$ принимать не целые значения при k=2 ?
в) При каких натуральных значениях k функция $$f(x)$$ может принимать только целые значения?
Ответ: а)да б)нет в)$$k=2n,n\in Z$$
 

Задание 10396

В ячейках таблицы 5 на 9 расставлены натуральные числа, среди которых ровно 33 нечетных. Александра рассматривает пары соседних ячеек, имеющих общую сторону. Если произведение чисел в паре четно, наша героиня считает такую пару зачетной.

А) Может ли в таблице быть ровно 22 зачетные пары?
Б) Может ли в таблице быть ровно 49 зачетных пар?
В) Какое наибольшее число зачетных пар может быть в таблице?
Ответ: да,нет,47
 

Задание 10446

В рамках проекта ежегодной аттестации учителей начальных классов, в котором приняли участие два города А и В, 51 учитель написал тест. Известно, что из каждого города тест написали хотя бы два учителя, причем каждый набрал целое положительное количество баллов, а после предварительных подсчетов средний балл в каждом городе оказался целым числом. Затем один из учителей, писавших тест, переехал из города А в город В, и средние баллы по городам пришлось пересчитать.

а) Мог ли средний балл в городе А после пересчета вырасти в два раза?
б) Известно, что после пересчета средние баллы в городах выросли на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в городе В равняться 1?
в) Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в городе В в условиях пункта б) (если после пересчета средние баллы в городах выросли на 10%)
Ответ: нет, нет, 3
 

Задание 10502

Набор состоит из сорока пяти целых положительных чисел, среди которых есть числа 6, 7, 8. Среднее арифметическое любых тридцати пяти чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно 26 единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее 26 единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 50.
Ответ: да; нет; ч.т.д.
 

Задание 10513

На доске выписаны все натуральные числа от 1 до 2014 без пропусков и повторений: 1, 2, 3, …, 2013, 2014. С выписанными на доске числами проделывают следующие операции: выбирают какие‐либо два числа и записывают на доске модуль их разности, увеличенный на 1, а сами выбранные числа стирают. Так продолжают до тех пор, пока на доске не останется только одно число.

а) Какое наименьшее число может остаться на доске?
б) Какое наибольшее число может остаться на доске?
Ответ: А)2 Б)2014
 

Задание 10533

На доске написано 38 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 5. Сумма написанных чисел равна 1255.

а) Может ли на доске быть ровно 31 чётное число?
б) Могут ли ровно три числа на доске оканчиваться на 5?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 5, может быть на доске?
Ответ: да; нет; 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10561

Натуральное число $$A$$ таково, что, если его первую цифру переставить на последнее место, получится число, в $$n>1$$ раз меньше числа $$A$$.

а) Существует ли двухзначное число $$A$$, удовлетворяющее указанным условиям?

б) Найдите наименьшее число $$A$$, удовлетворяющее указанным условиям, если $$n=5$$, а число $$A$$ начинается с цифры 7. в) Приведите пример числа, которое при перестановке его первой цифры на последнее место увеличивается в 3 раза.

Ответ: а)нет б)714285 в)142857
 

Задание 10581

Имеется прямоугольная таблица размером $$M\times N$$, заполненная числами 0 и 1, обладающая следующими свойствами. Во-первых, в каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы один элемент, равный 1. Во-вторых, нет ни одной пары одинаковых строк, а также ни одной пары одинаковых столбцов. Таблицы, обладающие этими свойствами, назовем «хорошими».

Две таблицы назовем эквивалентными в том (и только в том) случае, если из одной из них можно получить другую путем перестановки строк и/или столбцов. Приведем пример двух эквивалентных таблиц размером $$3\times 3$$.

1 1 1
1 1 0
0 1 0

 

1 0 1
0 0 1
1 1 1

Вторая таблица получается из первой сначала перестановкой в ней 1-й и 3-й строк, потом 2-го и 3-го столбца в полученной таблице, а затем 1-й и 2-й строки в последней полученной таблице.

а) Сколько существует различных попарно неэквивалентных «хороших» таблиц размером $$2\times 3$$?

б) Укажите количество всех таблиц, эквивалентных «хорошей» таблице

1 1 0
1 0 1
0 1 1

в) Какое максимальное число столбцов может быть в «хорошей» таблице, содержащей М строк?

Ответ: а)1 б)6 в)$$2^{M}-1$$
 

Задание 10601

На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 4 до 30 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 14?

б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 13?

в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа $$k$$ можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше $$k$$?

Ответ: нет,да,8
 

Задание 10621

Склад имеющий форму прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ размером $$p\times n\times k$$ м$$^{3}$$ $$(p,n,k\in N)$$, плотно заставлен канистрами размером $$1\times 1\times 1$$ м$${}^{3}$$. Пуля летит по прямой и повреждает канистру только, если делает в ней две дырки. Возможно ли одним выстрелом повредить более чем $$\left(p+n+k-3\right)$$ канистр, если

а) $$p=5,n=3,k=2$$ и выстрел произведен по диагонали $$AC_1$$

б) $$p=26,n=13,k=5$$ и выстрел произведен по диагонали $$AC_1$$

в) Сколько канистр повредит пуля, пролетающая по диагонали $$AC_1$$, если $$p=1812,n=1914,k=1941$$

Ответ: а) да; б) нет; в) 5658
 

Задание 10641

За прохождение каждого уровня платной сетевой игры можно получить от одной до трех звезд. При этом со счета участника игры списывается 75 рублей при получении одной звезды, 60 рублей - при получении двух звезд и 45 рублей при получении трех звезд. Миша прошел несколько уровней игры подряд.

а) Могла ли сумма на его счете уменьшиться при этом на 330 рублей?

б) Сколько уровней игры прошел Миша, если сумма на его счете уменьшилась на 435 рублей, а число полученных им звезд равно 13?

в) За пройденный уровень начисляется 5000 очков при получении трех звезд, 3000 - при получении двух звезд и 2000 - при получении одной звезды. Какую наименьшую сумму (в рублях) мог потратить на игру Миша, если он набрал 50000 очков, получив при этом 32 звезды?

Ответ: да;7;780
 

Задание 10661

На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма всех записанных на доске чисел равна 1135.

а) Может ли на доске быть ровно 31 четное число?
б) Могут ли ровно семь чисел на доске оканчиваться на 7?
в) Какое наибольшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?
Ответ: а) нет; б) да; в) 9
 

Задание 10697

На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 2, но не превосходит 42. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 6. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 2, с доски стерли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 10?

б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске оказаться больше 8, но меньше 9?

в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Ответ: а) да; б) нет; в) 16,5
 

Задание 10737

Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа - n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 935 фотографий больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 5 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 6 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 50 фотографий?
Ответ: а) да б) нет в) 1632
Скрыть

а) Пусть в первый день Маша сделала m фотографий, тогда за 5 дней она сделает $$m+\left(m+1\right)+\left(m+2\right)+\left(m+3\right)+\left(m+4\right)=5m+10$$

Аналогично Наташа, за первый день она сделала n фотографий, а за 5 дней $$5n+10.$$ фотографий.

Необходимо найти такие m и n, чтобы выполнялось условие: $$5n+10-5m-10=935\to n-m=\frac{935}{5}=187$$. Очевидно, можно взять, например, числа $$n=188$$ и $$m=1$$.

б) Если фотографии делались в течение 6 дней, то получим условие: $$n-m=\frac{935}{6}$$. Так как 935 не делится нацело на 6, то подобрать целые значения n и m невозможно.

в) Допустим, что Маша и Наташа делали фотографии x дней. Тогда в последний день Маша должна была сделать $$m+x-1<50\to m+x<51$$. То есть число дней должно быть $$1<x<51$$. Кроме того из условия $$nx-mx=935\to n-m=\frac{935}{x}$$ число x должно являться делителем числа 935. Отсюда получаем, что $$x=5,\ 11,\ 17.$$

Сначала вычислим максимальное число фотографий, сделанных Машей, получим:

- для $$x=3$$ имеем: $$m+3<51\to m=47$$. $$S=\frac{2\cdot m+x-1}{2}\cdot x\to S_3=144$$.

- для $$x=11$$ имеем: $$m=39,\ S_{11}=484$$. 

- для $$x=17$$ имеем: $$m=33,\ S_{17}=697$$.

Следовательно, максимальное число фотографий, сделанных Наташей, равно: $$697+935=1632$$.

 

Задание 10757

Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа - n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 13 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 12 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 35 фотографий?
Ответ: а) да б) нет в) 1711
Скрыть

а) Пусть в первый день Маша сделала m фотографий, тогда за 13 дней она сделает $$m+\left(m+1\right)+\left(m+2\right)+\dots +\left(m+13\right)=13m+91$$

Аналогично Наташа, за первый день она сделала n фотографий, а за 13 дней $$13n+91.$$ фотографий.

Необходимо найти такие m и n, чтобы выполнялось условие: $$13n+91-13m-91={\rm 1131}\to n-m=\frac{{\rm 1131}}{13}=87$$. Очевидно, можно взять, например, числа $$n=88$$ и $$m=1$$.

б) Если фотографии делались в течение 12 дней, то получим условие: $$n-m=\frac{1131}{12}$$. Так как 1131 не делится нацело на 12, то подобрать целые значения n и m невозможно.

в) Допустим, что Маша и Наташа делали фотографии x дней. Тогда в последний день Маша должна была сделать $$m+x-1<35\to m+x<36$$. То есть число дней должно быть $$1<x<36$$. Кроме того из условия $$nx-mx=1131\to n-m=\frac{1131}{x}$$ число x должно являться делителем числа 1131. Отсюда получаем, что $$x=3,\ 13,\ 29.$$

Сначала вычислим максимальное число фотографий, сделанных Машей, получим:

- для $$x=3$$ имеем: $$m+3<36\to m=33$$. $$S=\frac{2\cdot m+x-1}{2}\cdot x\to S_3=102$$.

- для $$x=13$$ имеем: $$m=23,\ S_{13}=377$$. 

- для $$x=29$$ имеем: $$m=7,\ S_{29}=580$$.

Следовательно, максимальное число фотографий, сделанных Наташей, равно: $$580+1131=1711$$.

 

Задание 10826

Аня играет в игру: на доске написаны два различных натуральных числа $$a$$ и $$b$$ , оба меньше 1000. Если $$\frac{3a+b}{4}$$ и $$\frac{a+3b}{4}$$ оба натуральные, то Аня делает ход - заменяет этими двумя числами предыдущие. Если хотя бы одно из этих чисел не является натуральным, то игра прекращается.

а) Может ли игра продолжаться ровно три хода?

б) Существует ли два начальных числа таких, что игра будет продолжаться не менее 9 ходов?

в) Аня сделала первый ход в игре. Найдите наибольшее возможное отношение произведения полученных двух чисел к произведению предыдущих двух чисел.

Ответ: да, нет, $$\frac{187000}{997}$$
 

Задание 10846

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.
Ответ: а) 5523 б) нет в) $$5568,\ 5658,\ 6558,\ 6585,\ 6855,\ 8655,\ 8565,\ 8556,\ 5856,\ 5865,\ 5685,$$
Скрыть

а) Пусть a,b,c,d - цифры четырехзначного числа. Их произведение должно быть в 10 раз больше их суммы, т.е. $$a\cdot b\cdot c\cdot d=10\left(a+b+c+d\right)=10a+10b+10c+10d$$.

Возьмем числа a и b кратные 10, например, 5, а число c, также кратное 10, равное 2, получим уравнение для d: $$5\cdot 5\cdot 2d=50+50+20+10d\to d=3$$.

Значение d соответствует цифре 3, значит, мы удачно выбрали предыдущие цифры a, b и c. Таким образом, получили число 5523.

Путем подбора можно найти и другие четырехкратные числа, удовлетворяющие этому условию.

б) Поступаем аналогично, имеем уравнение $$a\cdot b\cdot c\cdot d=175a+175b+175c+175d$$.

Рассуждаем аналогично. Чтобы получить d как цифру, она должна быть в диапазоне от 1 до 9 (цифра 0 исключается, т.к. в произведении даст 0). Для этого, множитель перед d должен получиться больше 175. Подберем первые три цифры так, чтобы получилось ближайшее большее к 175: $$a=5,\ b=6,\ c=6$$. $$180d=2975+175d\to d=595$$.

Не соответствует цифре. Найдем наибольшее число для d: $$a=9,\ b=9,\ c=9$$: $$729d=4725+175d\to d\approx 8,5$$ не является целым значением. Попробуем найти его при: $$a=9,\ b=9,\ c=8$$: $$648d=4550+175d\to d\approx 9,62$$.

Также не является целым и больше 9, следовательно, другие варианты будут приводить к $$d>9$$, что не является цифрой. Следовательно, нельзя подобрать четырехзначное число, удовлетворяющее данному условию.

в) Для уравнения $$a\cdot b\cdot c\cdot d=50a+50b+50c+50d$$ возьмем цифры $$a=5,\ b=5,\ c=8$$, получим для d: $$200d=900+50d\to d=6$$.

Получили четырехзначное число - 5586.

Можно заметить, что все остальные четырехзначные числа будут соответствовать всем возможным перестановкам найденных цифр, то есть получаем варианты: $$5568,\ 5658,\ 6558,\ 6585,\ 6855,\ 8655,\ 8565,\ 8556,\ 5856,\ 5865,\ 5685,$$ то есть всего 12 вариантов.

 

Задание 10865

На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Ответ: а) да; б) нет; в)$$\ 38\frac{1}{7}$$.
Скрыть

а) Да, может, например, если взять 19 чисел, равных 10, а 20-е равное 1, то после уменьшения 20-го числа на 1, оно становится равным 0 и получается среднее значение уже не 20 чисел, а 19-ти, то есть имеем:

- первоначальное среднее значение: $$S_1=\frac{19\cdot 10+1}{20}=9,55$$;

- среднее значение после изменения: $$S_2=\frac{19\cdot 10}{19}=10$$.

Как видим, второе среднее значение стало больше исходного.

б) Предположим, что для выполнения этого условия нужно взять $$n$$ единиц, затем взять $$19-n$$ чисел $$b$$ и одно число $$a$$, всего 20 чисел. Их среднее арифметическое будет равно $$\frac{n+b\left(19-n\right)-a}{20}=27$$, а после стирания единиц должны получить $$\frac{b\left(19-n\right)+a}{19-n+1}=34$$, то есть имеем систему уравнений: $$\left\{ \begin{array}{c} n+19b-bn+a=540 \\ 19b-bn+a=680-34n \end{array} \right.$$.

Вычтем из первого уравнения второе, получим: $$n=540-680+34n\to n\approx 4,24$$.

Таким образом, для выполнения условия данного пункта нужно взять дробное количество чисел, что невозможно в рамках данной задачи. 

в) Чтобы получить максимальное среднее оставшихся на доске чисел, изначально нужно записать набор чисел, состоящих из наибольшего числа единиц (которые, затем, будут стерты с доски), а остальные числа должны быть максимальными. Запишем это условие в виде $$\frac{n\cdot 1+40\left(19-n\right)+a}{20}=27$$, где $$n$$ - число единиц; $$a$$ - 20-е число (оно выбирается так, чтобы обеспечить среднее равным 27). Отсюда имеем: $$n+760-40n+a=540\to n=\frac{220+a}{39}$$.

Из полученного выражения видно, что минимальное значение $$a=14$$, при котором получим максимальное значение $$n=6$$. Таким образом, имеем последовательность чисел, сумма которых равна $$6\cdot 1+13\cdot 40+14$$ и среднее арифметическое $$S_1=\frac{6+13\cdot 40+14}{20}=27$$, а после стирания единиц, имеем: $$S_2=\frac{13\cdot 40+14}{14}=38\frac{1}{7}$$.

 

Задание 10884

Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших тест - 79. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Ответ: а) да; б) да; в) 15
Скрыть

а) Да, могло. Пример: пусть получены результаты теста 90, 90, 90, 78, 78, 78, 60, 60, 60.

Средний балл шести участников, не сдавших тест, равен $$\frac{78+78+78+60+60+60}{6}\ =\ 69$$. После добавления всем участникам по 5 баллов результаты будут такими: 95, 95, 95, 83, 83, 83, 65, 65, 65.

Средний балл трёх участников, не сдавших тест равен $$\frac{65+65+65}{3}\ =\ 65$$. Как видим, средний балл участников, не сдавших тест, понизился.

б) Да, так могло быть. Вернемся к примеру, рассмотренному в пункте а). Итак, пусть получены результаты теста 90, 90, 90, 78, 78, 78, 60, 60, 60. Сдали тест всего трое учащихся.

Средний балл участников, сдавших тест равен $$\frac{90+90+90}{3}=\ 90$$.

После добавления всем участникам по 5 баллов результаты будут такими: 95, 95, 95, 83, 83, 83, 65, 65, 65. Участников, сдавших тест уже шестеро. Средний балл равен $$\frac{95+95+95+83+83+83}{6}=\ 89$$. Таким образом, средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился.

в) Пусть первоначально было $$х$$ участников, сдавших тест и $$у$$ участников, не сдавших тест.

Зная, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75, можно записать равенство: $$90(х+у)\ =\ 100х+75у$$. Упростим это выражение: $$90х+90у=100х+75у$$, отсюда $$10х=15у$$ или $$2х=3у$$.

Затем всем участникам добавили по 5 баллов, и, возможно, это помогло $$р$$ учащимся пополнить списки сдавших тест.

Тогда сдали тест $$(х+р)$$ участников, а не сдавших будет$$\ (у-р)$$ человек.

Зная, что при этом средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших тест - 79, составим равенство: $$95(х+у)\ =\ 103(х+р)+79(у-р)$$. Упрощаем это выражение. $$95х+95у\ =\ 103х+103р+79у-79р$$;

$$8х+24р=16у$$ или $$2х+6р=4у$$. Так как $$2х=3у$$, то $$3у+6р=4у$$, тогда $$у=6р$$.

Так как мы выясняем, при каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация, то возьмём $$р=1$$. Это будет означать, что добавление пяти баллов каждому участнику помогло лишь одному из них попасть в списки сдавших тест.

Тогда $$у=6$$ - это количество участников, не сдавших тест при первоначальном подсчёте баллов;

$$х\ =\frac{3\ \cdot \ 6}{2}=9\ $$- это количество участников, сдавших тест при первоначальном подсчёте баллов. Вывод: $$х+у\ =\ 9+6\ =\ 15\ $$- наименьшее число участников, при которых стала возможной описанная в пункте в) ситуация.

 

Задание 10903

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $$\frac{3}{10}$$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $$\frac{5}{12}$$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов А и Б?
Ответ: а) да; б) 8; в) $$\frac{7}{15}$$
Скрыть

а) Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 5 мальчиков, посетивших только кино, и 8 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 16 учащихся могло быть 8 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 9 или больше. Тогда девочек было 7 или меньше. Театр посетило не более 3 мальчиков, поскольку если бы их было 4 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше $$\frac{4}{4+7}=\frac{4}{11}$$, что больше $$\frac{3}{10}$$. Аналогично кино посетило не более 5 мальчиков, поскольку $$\frac{6}{6+7}=\frac{6}{13}>\frac{5}{12}$$, но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 16 учащихся могло быть 8 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе - 8.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой - только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе $$m_1$$ мальчиков, посетивших театр, $$m_2$$ мальчиков, посетивших кино, и d девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

По условию $$\frac{m_1}{m_1+d}\le \frac{3}{10},\ \frac{m_2}{m_2+d}\le \frac{5}{12}$$, значит, $$\frac{m_1}{d}\le \frac{3}{7},\ \frac{m_2}{d}\le \frac{5}{7}$$. Тогда $$\frac{m_1+m_2}{d}\le \frac{8}{7}$$, поэтому доля девочек в группе: $$\frac{d}{m_1+m_2+d}=\frac{1}{\frac{m_1+m_2}{d}+1}\ge \frac{1}{\frac{8}{7}+1}=\frac{7}{15}$$.

Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 5 мальчиков, посетивших только кино, и 7 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна $$\frac{7}{15}$$.

 

Задание 10941

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы - цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?
Ответ: а) да б) нет в) 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Пусть в первой группе $$x$$ чисел суммой $$A$$, во второй: $$y$$ суммой $$B$$ и в третьей $$Z$$ суммой $$C$$. Тогда: $$A\to 10a+x\cdot 1;B\to 10B+8y;C\to C.\ 10A+x+10B+8y+C=4(A+B+C)$$ $$\to x+8y=3C-6A-6B$$. $$\frac{x+8y}{3}=C-2A-2B$$. Пусть $$x=1;y=4$$. (1 и 2;3;4;5) тогда: $$\frac{1+32}{3}=C-2-2\cdot 14\leftrightarrow 11=C-30\to C=41$$, т.е. в третьей одно число 41 $$\to $$ может.

б) Аналогично, $$10A+x+10B+8y+C=18A+18B+18C\to x+8y=8A+8B+17C$$. Но $$x\le A$$ и $$y\le B\to x+8y\le A+8B\to $$ т.к. $$A,B,C\in N$$, то не может.

в) Аналогично, $$10A+x+10B+8y+C=11A+11B+11C\to x+8y=A+B+10C\to $$ Необходимо, чтобы $$x+y+z\to max$$. Сумма справа больше при $$y\to max$$. Тогда $$x=z=1$$.

И: 1) $$x=z=1;A=1;C=2$$. Тогда: $$1+8y\le 1+B+20\to 8y\le B+20$$. При этом минимальная сумма справа при $$B\to min$$, то есть сумма $$y$$ - последовательных натуральных чисел с 3. $$8y\le \frac{2\cdot 3+1\left(y-1\right)}{2}\cdot y+20\leftrightarrow y^2-11y+40\le 0\to D<0\to $$ решений нет.

2) $$x=z=1:A=2;C=1$$. Тогда: $$1+8y\le 2+B+10\to 8y\le B+11\leftrightarrow 8y\le \frac{2\cdot 3+1\left(y-1\right)}{2}\cdot y+11\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow y^2-11y+22\le 0:D=33\to \left[ \begin{array}{c} y_1=\frac{11+\sqrt{33}}{2}\in (8;9) \\ y_2=\frac{11-\sqrt{33}}{2} \end{array} \right.$$.

Тогда $$y\le 8\to y=8$$. Тогда всего чисел 10. Приведем пример: Пусть 1-ая группа: 2, третья: 1; вторая: 3,4,5,6,7,8,9,m. Получим: $$1+8\cdot 8=2+42+m+10\leftrightarrow m=65-54=11$$.

 

Задание 11005

Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр.

а) Чему равна сумма цифр две тысячи пятнадцатого замечательного числа?

б) Сколько существует двухзначных замечательных чисел?

в) Какой порядковый номер замечательного числа 5999?

г) Чему равна сумма всех четырехзначных замечательных чисел?

Ответ: а)2015 б)9 в)32 г)53991
 

Задание 11025

а) Приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 7 натуральных делителей.

б) Существует ли такое трёхзначное число, у которого ровно 21 натуральный делитель?

в) Сколько существует таких трёхзначных чисел, у которых ровно 18 натуральных делителей?

Ответ: а) 729; б) 576; в) 17
Скрыть

а) Рассмотрим трехзначное число, например, 121, оно разлагается на два простых числа 11 и 11: $$121={11}^2.$$ Если к степеням простых множителей добавить 1 и полученные числа перемножить, то получим общее число делителей числа. В данном случае имеем $$2+1=3$$ - общее число делителей числа 121, это числа: 1, 11 и 121.

Чтобы получить ровно 7 делителей можно взять число $$3^6=729$$, у которого будет $$6+1=7$$ делителей. Это делители: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729. Ответ: 729.

б) Если у числа 21 делитель, то можно, например, подобрать простые множители со степенью 20, но минимальное число $$2^{20}$$ - это явно не трехзначное число. Вместе с тем, число 21 можно представить в виде произведения $$21=3\cdot 7$$ и взять множители $$2^6\cdot 3^2=64\cdot 9=576$$. У числа 576 21 делитель:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 144, 192, 288, 576. Ответ: 576.

в) Ровно 18 делителей для трехзначных чисел можно получить следующим образом. Число 18 можно представить в виде множителей $$\prod_i{(a_i+1)}$$ следующими вариантами: $$18=2\cdot 3\cdot 3=\left(1+1\right)\cdot \left(2+1\right)\cdot \left(2+1\right);18=\left(5+1\right)\cdot \left(2+1\right);18=\left(8+1\right)\cdot \left(1+1\right).$$

То есть для получения трехзначных чисел с 18-ю делителями, необходимо перебрать все простые множители, с соответствующим числом делителей и степенями:

- для первого варианта имеем:

$$2^1\cdot 3^2\cdot 5^2=450$$

$$2^1\cdot 3^2\cdot 7^2=882$$

$$2^2\cdot 3^1\cdot 5^2=300$$

$$2^2\cdot 3^1\cdot 5^2=588$$

$$2^2\cdot 5^1\cdot 7^2=980$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot 5^1=180$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot 7^1=252$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot {11}^1=396$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot {13}^1=468$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot {17}^1=612$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot {19}^1=684$$

$$2^2\cdot 3^2\cdot {23}^1=828$$

$$2^2\cdot 5^2\cdot 7^1=700$$

- для второго варианта:

$$2^5\cdot 3^2=288$$

$$2^5\cdot 5^2=800$$

$$2^2\cdot 3^5=972$$

- для третьего варианта:

$$2^8\cdot 3^1=768$$

Всего имеем 17 вариантов трехзначных чисел с 18-ю делителями.

 

Задание 11091

Последовательность $$a_1,a_2,a_3,\dots $$ состоит из натуральных чисел, причем $$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$$ при всех натуральных $$n$$.

а) Может ли выполняться равенство $$\frac{a_5}{a_4}=\frac{9}{5}$$

б) Может ли выполняться равенство $$\frac{a_5}{a_4}=\frac{7}{5}$$

в) При каком наибольшем натуральном $$n$$ может выполняться равенство $$6na_{n+1}=(2n^2-2)a_n$$?

Ответ: а) да; б) нет; в) 5
 

Задание 11110

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 3/10 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 5/12 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Ответ: а) да; б) 8; в) $$\frac{7}{15}.$$
Скрыть

а) Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 5 мальчиков, посетивших только кино, и 8 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 16 учащихся могло быть 8 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 9 или больше. Тогда девочек было 7 или меньше. Театр посетило не более 3 мальчиков, поскольку если бы их было 4 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше $$\frac{4}{4+7}=\frac{4}{11}$$, что больше 3/10. Аналогично кино посетило не более 5 мальчиков, поскольку $$\frac{6}{6+7}=\frac{6}{13}>\frac{5}{12}$$, но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию. В предыдущем пункте было показано, что в группе из 16 учащихся могло быть 8 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе - 8.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой - только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе $$m_1$$ мальчиков, посетивших театр, $$m_2$$ мальчиков, посетивших кино, и $$d$$ девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

По условию $$\frac{m_1}{m_1+d}\le \frac{3}{10},\frac{m_2}{m_2+d}\le \frac{5}{12},$$ значит, $$\frac{m_1}{d}\le \frac{3}{7},\frac{m_2}{d}\le \frac{3}{7}.$$ Тогда $$\frac{m_1+m_2}{d}\le \frac{8}{7},$$ поэтому доля девочек в группе: $$\frac{d}{m_1+m_2+d}=\frac{1}{\frac{m_1+m_2}{d}+1}\ge \frac{1}{\frac{8}{7}+1}=\frac{7}{15}.$$

Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 5 мальчиков, посетивших только кино, и 7 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна $$\frac{7}{15}.$$

 

Задание 11130

Назовём натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д.). Например, числа 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 10 и 953953 не являются палиндромами.

а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.
б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?
в) Найдите 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15.
Ответ: а) 5115; 5445; б) 33; в) 59295
Скрыть

а) Число-палиндром - это число, которое остается неизменным, если его читать наоборот. Возьмем четырехзначное число-палиндром и составим его из цифр a и b, получим: abba. Нужно подобрать цифры a и b так, чтобы число abba делилось на 15, т.е. оно должно быть кратно 15. Чтобы число было кратно 15, цифра a должна быть равна 5. Остается подобрать цифру b так, чтобы число было кратно 15, получим:

- число 5115 - кратно 15;

- число 5225 - не кратно 15;

- число 5335 - не кратно 15;

- число 5445 - кратно 15; и т.д.

б) Чтобы число делилось на 15, последняя цифра должна быть 5 (0 на конце недопустим), получим числа по форме 5aba5. Также это число должно делиться еще и на 3, т.к. $$15=3\cdot 5$$, где 3 и 5 - простые числа. Признаком делимости числа на 3 является то, что сумма цифр числа делится на 3, таким образом, получаем условие: $$5+a+b+a+5=10+2a+b$$ должно быть кратно 3. Очевидно, цифра b может быть от 0 до 9, имеем:

- для b=0: $$10+2a\to a=1;4;7$$;

- для b=1: $$11+2a\to a=2;5;8$$;

- для b=2: $$12+2a\to a=0;3;6;9$$;

- для b=3: $$13+2a\to a=1;4;7$$.

Дальше все повторяется, т.к. сумма увеличилась на 3. Таким образом, в первой тройке значений имеем 10 вариантов чисел-палиндромов. Аналогично для второй и третьей тройки. В последнем варианте при $$b=9$$ имеем 3 варианта и того $$30+3=33$$ варианта.

в) Найдем 37-е по счету число-палиндром, начиная с самого младшего, т.е. с трехзначного числа типа 5a5, затем переберем четырехзначные 5aa5, получим:

- для трехзначных: 525, 555, 585;

- для четырехзначных: 5115, 5445, 5775;

Итак, имеем 6 первых чисел-палиндромов. В соответствии со схемой, представленной в пункте б), найдем 37-е число-палиндром. По сути, нужно найти $$37-6=31$$-е пятизначное число-палиндром, которое будет соответствовать $$b=2$$ и $$a=9$$, т.е. получим число 59295

 

Задание 11149

Моток веревки режут без остатка на куски длиной не меньше 80 см, но не больше 85 см (назовем такие куски стандартными).

а) Некоторый моток веревки разрезали на 16 стандартных кусков, среди которых есть куски разной длины. На какое наибольшее число одинаковых стандартных кусков можно было бы разрезать тот же моток веревки?

б) Можно ли нарезать на стандартные куски моток длиной 700 см.

в) Найдите такое наименьшее число $$l$$, что любой моток веревки, длина которого больше $$l\ $$см, можно разрезать на стандартные куски.

Ответ: а) 22; б) нет; в) 1280
Скрыть

Рассмотрим моток веревки длиной x см. Условие того, что его можно разрезать на n стандартных кусков, записывается в виде $$80n\le x\le 85n$$ или~$$80\le \frac{x}{n}\le 85$$

а) В данном случае имеем $$80\cdot 16<x<85\cdot 16$$ (неравенства строгие, поскольку среди кусков есть неравные). Пусть эту веревку можно разрезать на 16 стандартных кусков, тогда получаем $$1280<x<1360$$. Разрежем веревку на 22 куска, тогда должно выполняться неравенство $$x\ge 22\cdot 80=1760=20,7\cdot 80$$ - подходит. При $$n=23$$, $$23\cdot 80=1840=85\cdot 21,6>x$$, т.е. этот моток веревки нельзя разрезать больше, чем на 22 стандартных куска.

б) $$80\le \frac{x}{n}\le 85\to 80\le \frac{700}{n}\le 85\to $$ из этого неравенства получаем, что нет целого числа n кусков, на которые можно поделить моток.

в) Отрезки $$\left[80n;85n\right]$$ и $$\left[80(n+1);85(n+1)\right]$$, являющиеся решением неравенств $$80n\le x\le 85n$$ и $$80(n+1)\le x\le 85(n+1)$$ , имеют общие точки для всех $$n$$, при которых $$80\left(n+1\right)\le x\le 85n$$, т.е. при $$n\ge 16$$.

Наибольшее $$n$$ при котором существует интервал $$\left[85n;80(n+1)\right]$$ $$n=16$$, а все точки $$x\ge 80\cdot 16=1280$$ принадлежат отрезку $$\left[80n;85n\right]$$, где $$n\ge 16$$. При $$x\ge 1280$$ веревку можно разрезать на стандартные куски. 
Таким образом, искомое число равно 1280.

 

Задание 11280

Для получения членства в одном престижном клубе проводится отбор. Каждый из претендентов вносит залог, который является целым неотрицательным числом тысяч. Сумма залога в 150 тысяч гарантирует получение членства. После окончания сроков приема залога с целью увеличения численности клуба руководство приняло решение добавить к сумме залога каждого из претендентов 10 тысяч.

а) Могло ли оказаться так, что после этого понизится средняя сумма залога у тех, кто не достиг достаточной суммы?
б) Могло ли оказаться так, что после этого понизится средняя сумма залога у тех, кто достиг достаточной суммы, и тех, кто не достиг достаточной суммы?
в) Известно, что первоначально средняя сумма залога всех участников составила 130 тысяч рублей, средняя сумма тех, кто сдал достаточную сумму, составила 160 тысяч рублей, а у тех, кто не сдал достаточной суммы, она составила 125 тысяч. После добавления 10 тысяч средняя сумма залога среди тех, кто достиг достаточной суммы, составила 155 тысяч, а средняя сумма залога у тех, кто не достиг достаточной суммы, составила 120 тысяч. При каком наименьшем числе участников возможна такая ситуация?
Ответ: а) да б) да в) 7
 

Задание 11381

У Миши в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 10 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 15 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублёвая.

а) Может ли у Миши быть 30 монет?
б) Какое наибольшее количество монет может быть у Миши?
в) Какая наибольшая сумма рублей может быть у Миши?
Ответ: а)нет б)21 в)82
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11425

Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо в 11 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 2231.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Ответ: а) нет; б) да; в) 371
 

Задание 11453

Про число А известно, что оно не является 2020‐й степенью натурального числа и имеет ровно 2020 различных делителей, включая его самого и единицу.

а) может ли А быть кубом целого числа
б) может ли А быть четвертой степенью целого числа.
в) найти минимальное значение А.
Ответ: а) да; б) нет; в) $$2^{100}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7$$
 

Задание 11472

Группа школьников отправилась в поход. Каждый из группы взял либо удочку, либо корзинку, при этом возможно, что кто‐то мог взять и удочку, и корзинку. Известно, что девочек, взявших удочки, не более $$\frac{2}{9}$$ от общего числа школьников, взявших удочку, а девочек, взявших корзинки, не более $$\frac{1}{3}$$ от общего числа школьников, взявших корзинки.

А) Могло ли быть в группе 11 девочек, если дополнительно известно, что всего было 26 школьников?
Б) Какое наибольшее количество девочек могло быть среди школьников, если дополнительно известно, что всего было 26 школьников?
В) Какую наименьшую долю могли составлять мальчики, если в группе может быть любое число школьников?
Ответ: а) да; б) 11; в) $$\frac{14}{25}$$
 

Задание 11716

Страницы тетради пронумерованы на полиграфической фабрике числами от 1 до 36. Девочка на случайной странице записывает 0 и нумерует далее страницы тетради числами 1, 2, 3, … до конца тетради без пропусков, возвращается к странице с 0 и, листая страницы тетради назад, записывает числа ‐1, ‐2, ‐3, … до начала тетради без пропусков. Сумма чисел, которые записала девочка на страницах этой тетради, равна S. На какой странице по фабричной нумерации девочка записала число 0, если:

а) S = 18;
б) S = 630;
в) S = 450.
Ответ: а) 18 б) 1 в) 6
 

Задание 11735

На асфальте мелом написали в ряд 333 цифры 3 и расставили между некоторыми из них знаки «плюс» и «минус».

А) Может ли значение полученного числового выражения равняться 333?
Б) У значения полученного выражения сложили все цифры, затем с полученным значением сделали то же самое и так 3 раза. Могло ли в итоге получиться число 33?
В) Найдите все числа, которые могли получиться после 33‐х переходов, описанных в пункте «б».
Ответ: а) да б) не в) 0,3,6,9
 

Задание 11754

На доске записаны числа 1, 2, 3, …, 27. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 31 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых на предыдущих ходах.

а) Можно ли сделать 4 хода?
б) Можно ли сделать 9 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Ответ: да,нет,5
 

Задание 11773

На психологический тренинг пришли m человек. В начале работы психолог попросил каждого пришедшего написать записку с вопросом к любому другому из участников (ровно одному). После этого в группу А были отобраны те, кто получил не более 1 вопроса. m

А) Какое наибольшее число участников могло оказаться в группе А, если m=100 ?
Б) Какое наименьшее число участников могло оказаться в группе А, если m=144 ?
В) Какое наименьшее число участников могло оказаться в группе А, если m=97, а в группу А вошли те, кто не получил ни одного вопроса и половина тех, кто получил ровно один вопрос (если ровно один вопрос получило нечетное число человек, то берется наибольшее число, не превосходящее половину)?
Ответ: А)100 Б)72 В)48
 

Задание 11858

Имеется m одинаковых шоколадок, которые можно разделить поровну на n школьников. Каждую шоколадку разрешается разломить не более одного раза (необязательно на равные части).

а) Возможно ли требуемое при m=18, n=27?
б) Возможно ли требуемое при m=18, n=28?
в) При каких n требуемое возможно, если m=14?
Ответ: а) да б) нет в) 1;2;3;4;...;14,15,16,21,28
 

Задание 12287

У Коли в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 25 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 30 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублёвая.

а) Может ли у Коли быть 50 монет?

б) Какое наибольшее количество монет может быть у Коли?

в) Какая наибольшая сумма рублей может быть у Коли?

Ответ: а) нет; б) 36; в) 192
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12317

Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел $$(1!\ =\ 1).$$

а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 9 нулями?
б) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 23 нулями?
в) Сколько существует натуральных чисел n, меньших 100, для каждого из которых десятичная запись числа $$n!\cdot (100\ -\ n)!$$ оканчивается ровно 23 нулями?
Ответ: а) да; б) нет; в) 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12337

Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1).

а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 10 нулями?
б) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 17 нулями?
в) Сколько существует натуральных чисел n, меньших 75, для каждого из которых десятичная запись числа $$n!\ \cdot \ (75\ -\ n)!$$ оканчивается ровно 17 нулями?
Ответ: а) да; б) нет; в) 12
 

Задание 12357

Для набора 30 различных натуральных чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.

а) Может ли одним из этих чисел быть число 999?
б) Может ли одним из этих чисел быть число 66?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого набора?
Ответ: а) да; б) нет; в) 2805
 

Задание 12378

Для набора 40 различных натуральных чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.

а) Может ли одним из этих чисел быть число 777?
б) Может ли одним из этих чисел быть число 33?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого набора?
Ответ: а) да; б) нет; в) 2220
 

Задание 12398

В ящике лежит 76 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 85 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 124 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 8 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 676 г.
 

Задание 12418

В ящике лежит 58 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 976 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1036 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 12 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 240 г.
 

Задание 12438

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10 %, средний балл в школе № 2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 1?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 3
 

Задание 12457

В школах № 1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?
в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5
 

Задание 12476

Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 30, но меньше 40, а в автобусах модели Б - больше 40, но меньше 50. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.

а) Может ли потребоваться 5 автобусов модели А?
б) Найдите наименьшее возможное количество детей в группе, если известно, что их больше 150.
в) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе.
Ответ: а) да; б) 180; в) 546
 

Задание 12498

Группу детей можно перевезти автобусами модели А или автобусами модели Б. Известно, что в автобусе модели А количество мест больше 40, но меньше 50, а в автобусах модели Б - больше 50, но меньше 60. Если всех детей рассадить в автобусы модели А, то все места будут заняты. Если всех детей рассадить в автобусы модели Б, то все места также будут заняты, но потребуется на один автобус меньше.

а) Может ли потребоваться 4 автобуса модели Б?
б) Найдите наибольшее возможное количество детей в группе, если известно, что их меньше 300.
в) Найдите наибольшее возможное количество автобусов модели А.
Ответ: а) да; б) 270; в) 17
 

Задание 12518

Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги - натуральное число рублей. Если цена книги меньше 100 рублей, на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 10 рублей, из-за чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось.

а) Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки?

б) Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки?

в) Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 110 рублей, средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 81 рубль, а средняя цена книг без бирки - 226 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 90 рублей, а средняя цена книг без бирки - 210 рублей. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?

Ответ: а) да; б) да; в) 20
 

Задание 12537

Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги - натуральное число рублей. Если цена книги меньше 80 рублей, на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 5 рублей, из-за чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось.

а) Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки?

б) Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки?

в) Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 103 рубля, средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 67 рублей, а средняя цена книг без бирки - 157 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 70 рублей, а средняя цена книг без бирки - 146 рублей. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?

Ответ: а) да; б) да; в) 10
 

Задание 12556

Сторона квадрата на 3 см длиннее ширины прямоугольника, площади этих фигур равны, а все длины сторон - целые числа.

а) Может ли ширина прямоугольника быть равной 8?

б) Может ли длина прямоугольника быть равной 16?

в) Найдите все возможные варианты таких пар прямоугольников и квадратов.

В ответе укажите длины их сторон.

Ответ: а) нет; б) да; в) 9 х 16 и 12 х 12; 3 х 12 и 6 х 6; 1 х 16 и 4 х 4
 

Задание 12578

Сторона квадрата на 2 см длиннее ширины прямоугольника, площади этих фигур равны, а все длины сторон - натуральные числа.

а) Может ли ширина прямоугольника быть равной 6?

б) Может ли длина прямоугольника быть равной 9?

в) Найдите все возможные варианты таких пар прямоугольников и квадратов. В ответе укажите длины их сторон.

Ответ: а) нет; б) да; в) 4 х 9 и 6 х 6; 2 х 8 и 4 х 4; 1 х 9 и 3 х 3
 

Задание 12598

Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если $$n\ =\ 14?$$

б) Могли ли все её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если $$n\ =\ 19?$$

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и $$n\ =\ 24?$$

Ответ: а) да; б) нет; в) 7
 

Задание 12618

Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Таня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 64 рубля и ручки за 31 рубль, если $$n\ =\ 16?$$

б) Могли ли все её покупки состоять из стакана компота за 15 рублей, сырка за 20 рублей и булочки за 25 рублей, если $$n\ =\ 26?$$

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Таня купила только альбом за 96 рублей и $$n\ =\ 19?$$

Ответ: а) да; б) нет; в) 6

Задание 12638

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 12 раз больше, либо в 12 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 8750.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Ответ: а) нет; б) да; в) 1347
 

Задание 12658

Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел -1, 3, 4, -5. 7, -9, -10, 11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел -1, 3, 4, -5, 7, -9, -10, 11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Ответ: а) нет; б) нет; в) 16
 

Задание 12677

На доске написано 12 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 16.

а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 18?

б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 11?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 11,75
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12698

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.

а) Может ли наибольшее из этих одиннадцати чисел равняться 16?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех одиннадцати чисел.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $$\frac{123}{11}$$
 

Задание 12718

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

Ответ: а) да; б) нет; в) $$6\frac{1}{7}$$
 

Задание 12738

Первый набор чисел состоит из чисел $$2,\ 4,\ 8,\ ...,\ 2^{10}.$$ Второй набор состоит из чисел $$3,\ 9,\ 27,\ ...,\ З^{10}.$$ Числа разбиты на пары. В каждой паре на первом месте - число из первого набора, а на втором - число из второго. В каждой паре два числа умножили друг на друга и полученные произведения сложили.

а) Может ли полученная сумма делиться на 9?

б) Может ли полученная сумма быть больше 1 000 000?

в) Найдите наименьшее возможное значение полученной суммы.

Ответ: а) нет; б) да; в) $$6(3^{10}-2^{10})$$
 

Задание 12757

На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 1062.

а) Может ли на доске быть ровно 27 чётных чисел?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?

Ответ: а) да; б) нет; в) 6
 

Задание 12778

На доске написано 38 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 5. Сумма написанных чисел равна 1255.

а) Может ли на доске быть ровно 31 чётное число?

б) Могут ли ровно три числа на доске оканчиваться на 5?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 5, может быть на доске?

Ответ: а) да; б) нет; в) 5
 

Задание 12799

На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -7.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Ответ: а) 42; б) положительных; в) 24
 

Задание 12819

На доске написано более 55, но менее 65 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 15, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -5.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Ответ: а) 60; б) положительных; в) 36
 

Задание 12839

Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа - n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 935 фотографий больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 5 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 6 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 50 фотографий?

Ответ: а) да; б) нет; в) 1632
 

Задание 12858

Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа - n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1131 фотографий больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 13 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 12 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 35 фотографий?

Ответ: а) да; б) нет; в) 1711
 

Задание 12880

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 14 раз больше, либо в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7424.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов?

б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Ответ: а) нет; б) да; в) 989
 

Задание 12899

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника - целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?

в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

Ответ: а) да; б) нет; в) 26
 

Задание 12920

Натуральное число, являющееся полным квадратом, обладает следующим свойством: если все его цифры уменьшить на одно и то же натуральное число, то получится число, также являющееся полным квадратом.

а) Приведите пример двухзначного числа, обладающего указанным свойством
б) Найдите все двухзначные числа, обладающие указанным свойством
в) Найдите все четырехзначные числа, обладающие указанным свойством
Ответ: а) 36 б) 36 и 49 в) 3136, 4489
 

Задание 13377

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?
Ответ: а)да б)нет в)97
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13396

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?
Ответ: а) да б) нет в) 85
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13548

Известно,то а, b, с, d, е и f — это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 5, 6 и 16.

а) Может ли выполняться равенство $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=6$$?
б) Может ли выполняться равенство $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{961}{240}$$?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}$$?
Ответ: а)да б)нет в)$$\frac{23}{20}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13566

Известно,то а, b, с, d, е и f — это различные, расставленные в некотором, возможно ином, порядке числа 2, 3, 4, 6, 7 и 16.

а) Может ли выполняться равенство $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=11$$?
б) Может ли выполняться равенство $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{1345}{336}$$?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}$$?
Ответ: а)да б)нет в)$$\frac{71}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13697

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.

а) Может ли это отношение быть равным 34?
б) Может ли это отношение быть равным 84?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?
Ответ: а)да б)нет в)26
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13780

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.

а) Может ли это отношение быть равным 11?
б) Может ли это отношение быть равным 5?
в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
Ответ: а)да б)нет в) 80
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13802

Для действительного числа х обозначим через [х] наибольшее целое число, не превосходящее х. Например, $$[\frac{11}{4}]=2$$, так как $$2\leq \frac{11}{4}<3$$.

а) Существует ли такое натуральное число n, что $$[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{9}]=n$$
б) Существует и такое натуральное число n, что $$[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{5}]=n+2$$
в) Сколько существует различных  натуральных n, для которых $$[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{8}]+[\frac{n}{23}]=n+2021$$?
Ответ: а)нет б)да в)552
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13905

Для действительного числа х обозначим через [х] наибольшее целое число, не превосходящее х. Например, $$[\frac{11}{4}]=2$$, так как $$2\leq \frac{11}{4}<3$$.

а) Существует ли такое натуральное число n, что $$[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{4}]+[\frac{n}{7}]=n$$?
б) Существует ли такое натуральное число n, что $$[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{4}]=n+2$$?
в) Сколько существует различных натуральных n, для которых $$[\frac{n}{2}]+[\frac{n}{3}]+[\frac{n}{9}]+[\frac{n}{17}]=n+1945$$?
Ответ: а)нет б)да в)306
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14035

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.

а) Может ли наибольшее из этих одиннадцати чисел равняться 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех одиннадцати чисел.
Ответ: а)нет б)нет в)$$\frac{123}{11}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14218

Дана последовательность $$(a_{n})$$: $$a_{n}=n(n+1)+25$$.

а) Докажите, что при любом натуральном $$n$$ верно равенство $$a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+2$$.
б) Определите, сколько четырехзначных чисел содержит эта последовательность.
в) Найдите все члены этой последовательности, являющиеся точными квадратами.
Ответ: Б)$$69$$ В)$$a_{7}=81, a_{24}=625$$
 

Задание 14225

Дана последовательность $$(a_{n})$$: $$a_{n}=(n-1)\cdot n\cdot (n+1)+133$$.

а) Найдите два соседних члена этой последовательности, разность которых равна 29700.
б) Найдите сумму всех $$n$$, при каждом из которых $$1033<a_{n}<1000033$$.
в) Найдите все члены этой последовательности, являющиеся точными кубами.
Ответ: А)$$a_{99}=970333, a_{100}=1000033$$ Б)$$4905$$ В)$$a_{6}=7^{3}, a_{133}=133^{3}$$
 

Задание 14232

А) Можно ли квадрат размером 6х6 выложить двенадцатью плитками следующего вида  ?
Б) Можно ли квадрат размером 6х6 выложить девятью плитками следующего вида
В) Какое наибольшее количество плиток следующего вида можно использовать для выкладывания квадрата размером 6х6 ?
Ответ: А)да Б)нет В)8
 

Задание 14239

Пусть $$S_{n}$$ – сумма $$n$$ первых членов арифметической прогрессии $$(a_{n})$$. Известно, что $$S_{n+1}=2n^{2}-21n-23$$.

а) Укажите формулу $$n$$‐го члена этой прогрессии.
б) Найдите наименьшую по модулю сумму $$S_{n}$$.
в) Найдите наименьшее $$n$$, при котором $$S_{n}$$ будет квадратом целого числа.
Ответ: А)$$a_{n}=4n-27$$ Б)-12 В)25
 

Задание 14246

Множество А состоит из всех простых чисел, не превосходящих 50, взятых по одному разу.

а) Можно ли элементы множества А разбить на пять групп, в каждой из которых сумма чисел будет числом чётным?
б) Можно ли элементы множества А разбить на пять групп, в каждой из которых сумма чисел будет числом нечётным?
в) На какое наибольшее число групп можно разбить элементы множества А так, чтобы сумма чисел во всех группах была одинакова?
Ответ: А)да Б)нет В)4, например, 2;37;43| 5;7;23;47|3;19;29;31|11;13;17;41
 

Задание 14253

Василий Кузякин возвращался из санатория домой на поезде. На перроне одной из ж/д станций продавали варёных раков: больших – по 200 руб. за штуку, средних – по 150 руб. за штуку и маленьких – по 100 руб. за штуку. Василий решил потратить на покупку раков последние пять тысяч рублей. Для себя он определил, что непременно купит и больших, и средних, и маленьких, причём их количества не будут отличаться более, чем на 2.

a) Сможет ли Василий при таких условиях купить раков ровно на 5000 рублей?
б) Сможет ли Василий при таких условиях купить 14 больших раков?
в) Какое наибольшее число раков сможет купить Василий при таких условиях?
Ответ: а) да; б) нет; в) 34.
Скрыть

a) Пусть Василий купил $$x$$ штук больших раков, $$y$$ штук средних и $$z$$ штук маленьких. Тогда $$200x+150y+100z=5000$$ или 4x+3y+2z=100. При этом $$|x-y|\leq 2,|x-z|\leq 2, |z-y|\leq 2.$$ Значения $$x=11,y=12,z=10$$ удовлетворяют указанным требованиям. Да, Василий может купить раков при указанных условиях ровно на 5000 рублей.

б) Допустим, Василий сможет купить 14 больших раков при указанных условиях. Тогда $$3y+2z\leq 44$$, откуда $$y\leq \frac{44-2z}{3}$$. С учетом того, что $$y\geq z-2$$, получаем: $$z-2\leq \frac{44-2z}{3}$$; $$z\leq 10$$. Видим, что $$z$$ будет отличаться от $$x$$ более чем на 2, а это противоречит условию. Нет, Василий не сможет купить 14 раков при заданных условиях.

в) Имеем $$4x+3y+2z\leq 100.$$ С учетом $$z-x\leq 2,$$ получаем $$3x+3y+3z\leq 102;$$ $$x+y+z\leq 34;$$ Василий может купить 10 больших раков и по 12 средних и мелких, тогда общее количество раков будет максимальным, равным 34.

 

Задание 14260

а) Найдите значение выражения $$tg1^{\circ}\cdot tg2^{\circ}\cdot tg3^{\circ}\cdot ...\cdot tg88^{\circ}\cdot tg89^{\circ}$$.
б) Докажите, что $$tg40^{\circ}+tg55^{\circ}+tg85^{\circ}=tg40^{\circ}\cdot tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ}$$.
в) Найдите значение выражения $$(1+tg1^{\circ})\cdot (1+tg2^{\circ})\cdot ...\cdot (1+tg44^{\circ})$$.
Ответ: а) 1; б) $$2^{22}$$.
Скрыть
a) $$tg1^{\circ}\cdot tg2^{\circ}\cdot tg3^{\circ}\cdot ...\cdot tg88^{\circ}\cdot tg89^{\circ}=$$
$$=tg1^{\circ}\cdot tg2^{\circ}\cdot tg3^{\circ}\cdot ...\cdot tg44^{\circ}\cdot tg45^{\circ}\cdot tg(90^{\circ}-44^{\circ})\cdot...\cdot tg(90^{\circ}-2^{\circ})\cdot tg(90^{\circ}-1^{\circ})=$$
$$=tg1^{\circ}\cdot tg2^{\circ}\cdot tg3^{\circ}\cdot ...\cdot tg44^{\circ}\cdot 1\cdot ctg44^{\circ}\cdot...\cdot ctg2^{\circ}\cdot ctg1^{\circ}=$$
$$=(tg1^{\circ}\cdot ctg1^{\circ})\cdot (tg2^{\circ}\cdot ctg2^{\circ})\cdot ...\cdot (tg44^{\circ}\cdot ctg44^{\circ})=1.$$

б) Покажем, что

$$tg40^{\circ}+tg55^{\circ}+tg85^{\circ}-tg40^{\circ}\cdot tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ}=0.$$
$$tg40^{\circ}(1-tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ})+tg55^{\circ}+tg85^{\circ}=$$
$$=(1-tg 55^{\circ}\cdot tg 85^{\circ})(tg 40^{\circ}+\frac{tg 55^{\circ}+tg 85^{\circ}}{1-tg 55^{\circ}\cdot tg 85^{\circ}})=$$
$$=(1-tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ})(tg40^{\circ}+tg140^{\circ})=$$
$$=(1-tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ})(tg40^{\circ}+tg(180^{\circ}-40^{\circ}))=$$
$$=(1-tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ})(tg40^{\circ}-tg40^{\circ})=0.$$

Что и требовалось доказать.

в) $$(1+tg1^{\circ})\cdot (1+tg2^{\circ})\cdot ...\cdot (1+tg44^{\circ})=$$
$$=(\frac{cos1^{\circ}}{cos1^{\circ}}+\frac{sin1^{\circ}}{cos1^{\circ}})(\frac{cos2^{\circ}}{cos2^{\circ}}+\frac{sin2^{\circ}}{cos2^{\circ}})\cdot ...\cdot (\frac{cos44^{\circ}}{cos44^{\circ}}+\frac{sin44^{\circ}}{cos44^{\circ}})=$$
$$=\frac{cos1^{\circ}+sin1^{\circ}}{cos1^{\circ}}\cdot \frac{cos2^{\circ}+sin2^{\circ}}{cos2^{\circ}}\cdot ...\cdot\frac{cos44^{\circ}+sin44^{\circ}}{cos44^{\circ}}=$$
$$=\frac{\frac{\sqrt2}{2}cos1^{\circ}+\frac{\sqrt2}{2}sin1^{\circ}}{\frac{\sqrt2}{2}cos1^{\circ}}\cdot \frac{\frac{\sqrt2}{2}cos2^{\circ}+\frac{\sqrt2}{2}sin2^{\circ}}{\frac{\sqrt2}{2}cos2^{\circ}}\cdot ...\cdot \frac{\frac{\sqrt2}{2}cos44^{\circ}+\frac{\sqrt2}{2}sin44^{\circ}}{\frac{\sqrt2}{2}cos44^{\circ}}=$$
$$=\frac{cos(1^{\circ}-45^{\circ})}{\frac{\sqrt2}{2}cos1^{\circ}}\cdot \frac{cos(2^{\circ}-45^{\circ})}{\frac{\sqrt2}{2}cos2^{\circ}}\cdot ...\cdot \frac{cos(44^{\circ}-45^{\circ})}{\frac{\sqrt2}{2}cos44^{\circ}}=$$
$$=\frac{\sqrt2\cdot cos44^{\circ}}{cos1^{\circ}}\cdot \frac{\sqrt2\cdot cos43^{\circ}}{cos2^{\circ}}\cdot ...\cdot \frac{\sqrt2\cdot cos1^{\circ}}{cos44^{\circ}}=(\sqrt2)^{44}=2^{22}.$$
 

Задание 14267

На доске записано несколько (не менее трёх) различных натуральных чисел, меньших 100, среди которых есть число 51. Известно, что сумма любых двух из записанных чисел делится на какое‐либо из оставшихся чисел (*).

А) Может ли на доске быть написано ровно три числа?
Б) Может ли на доске быть написано ровно 51 число?
В) Петя записал на доске все числа от 1 до 99 и проверил, что для них выполняется условие (*). Миша стёр одно число, после чего условие (*) перестало выполняться. Какое число мог стереть Миша?
Ответ: А)Да; 17;34;51 Б)Да; все нечетные и 2 В)1 или любое просто число, отличное от 2
Скрыть

а) Да, например 17, 34, 51.

б) Да, например все нечетные и число 2. Любые суммы двух нечетных делятся на 2, 2 + 1 делится на 3, а все прочие суммы делятся на 1.

в) Очевидно, он мог стереть число 1 (поскольку 99 + 2 больше ни на что не делилось). Если он стер 2, то свойство сохранится. В самом деле, любая сумма делится на 1. Если же использовать сумму 1 + n, где n < 99, то она будет делиться на n + 1, а в том случае, если n = 99, полученная сумма будет делиться на 4. Если он стер p — нечетное простое число, то 1 + (p − 1) ни на что больше не делится. Если же он стер составное число, то свойство сохранится. В самом деле, любая сумма делится на 1. Если же использовать сумму 1 + (n − 1), то она будет делиться на любой делитель n, кроме единицы и самого числа (они под запретом). n − 1 не может быть делителем n при n > 2.

 

Задание 14273

Дано двузначное натуральное число.

а) Оказалось, что частное этого числа и суммы его цифр, равно 7. Найдите все такие числа.
б) Какие натуральные значения может принимать частное данного числа и суммы его цифр?
в) Какое наименьшее значение может принимать частное данного числа и суммы его цифр?
Ответ: а) 21;42;63;84; б) 2;3;4;5;6;7;8;9;10; в) 1,9.
 

Задание 14280

Государство Новая Анчурия расположено на острове, имеющем форму круга. В стране 11 городов, расположенных на побережье. Каждый город напрямую соединен с каждым из остальных городов автотрассой.

А) Сколько автотрасс в государстве Новая Анчурия?
Б) После наводнения несколько автотрасс в стране закрыли на ремонт. Могло ли оказаться так, что теперь каждый город острова стал напрямую соединен автотрассой ровно с пятью другими городами?
В) Какое наибольшее число автотрасс в Новой Анчурии можно одновременно закрыть на ремонт, чтобы из каждого города можно было добраться на автомобиле до любого другого?
Ответ: А)55 Б)Нет В)45
Скрыть

а) Из каждого города выходит 10 дорог, поэтому всего есть 10 умножить на 11=110 концов дорог. Значит, дорог 55.

б) Если теперь из каждого города выходит 5 дорог, то всего есть 5 умножить на 11=55 концов дорог. Значит, дорог 27,5, что невозможно.

в) Можно оставить 10 дорог (например, соединяющих столицу со всеми городами, тогда откуда угодно куда угодно можно будет проехать через столицу), поэтому удастся закрыть 45.

Если оставить всего n-2 или меньше дорог на n городов, то это будет невозможно. В самом деле, у n-2 дорог 2n-4 конца, поэтому найдется город (на самом деле даже минимум 4 таких города) из которых выходит по одной дороге (0 дорог быть не может, из него тогда никуда нельзя доехать). Ясно, что проезжать транзитом через такой город нельзя. Поэтому если мысленно убрать с карты этот город и эту дорогу, на остальной карте можно будет проехать от любого города до любого другого. При этом число дорог снова на 2 меньше числа городов. Продолжая эти действия, придем к ситуации 0 дорог и 2 города, которая нам не подходит.

 

Задание 14287

Известно, что $$a, b, c, d$$ – попарно различные натуральные числа, большие 1.

А) Может ли выполняться равенство $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$$ ?
Б) Может ли выполняться равенство $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=1,26$$
В) Найдите наименьшее и наибольшее значение суммы $$S=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$$ , если известно, что $$1,2 < S < 1,3$$.
Ответ: А)да Б)нет В)$$1\frac{5}{24};1\frac{17}{60}$$
 

Задание 14297

а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести последовательных нечётных натуральных чисел?
б) Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести последовательных чётных натуральных чисел?
в) Представьте число 2016 в виде суммы наибольшего количества последовательных чётных натуральных чисел.
Ответ: А)да, $$331+333+335+337+339+341$$ Б)нет В)$$32+34+36+...+92+94$$
 

Задание 14302

А) Пусть произведение восьми различных натуральных чисел равно А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, равно В. Найдите наибольшее значение $$\frac{B}{A}$$ .

Б) Пусть произведение восьми натуральных чисел (не обязательно различных) равно А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, равно В. Может ли значение выражения $$\frac{B}{A}$$ равняться 210?

В) Пусть произведение восьми натуральных чисел (не обязательно различных) равно А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, равно В. Может ли значение выражения $$\frac{B}{A}$$ равняться 63?

Ответ: А)9 Б)нет В) да, например, для чисел $$1;1;1;1;1;2;6;8$$
 

Задание 14306

Четырехзначное число $$A$$ содержит в своей десятичной записи попарно различные цифры, отличные от нуля. Число $$B$$ записано теми же цифрами, но в обратном порядке.

а) Найдите наибольшее значение выражения $$A-B$$.
б) Найдите наименьшее значение выражения $$A-B$$.
в) Найдите числа $$A$$ и $$B$$, для которых значение выражения $$\frac{A}{B}$$ будет наименьшим.
Ответ: а) 8532; б) 279; в) 8197, 7918.
 

Задание 14310

Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а) Даны 5 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 10 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
Ответ: А)да, например, $$3;4;8;14;25$$ Б)нет В)$$20$$
 

Задание 14319

Даны $$n$$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $$(n>3)$$.

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение $$n$$, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения $$n$$, если сумма всех данных чисел равна 123.
Ответ: а) да; б) 41; в) 6.
Скрыть

a) Пусть сумма всех $$n$$ штук данных чисел равна 14.

Пусть $$a_1$$ – первый член данной прогрессии, $$d$$ – шаг прогрессии. Тогда $$\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}=14$$; $$(2a_1+d(n-1))n=28$$; Пусть $$n=4$$.

Имеем $$(2a_1+3d)\cdot 4=28$$; $$2a_1+3d=7$$.

Если $$a_1=2$$,$$d=1$$, то имеем следующий ряд чисел: $$2;3;4;5$$. Это арифметическая прогрессия $$(n>3)$$, сумма которой равна $$14$$.

б) Пусть $$n$$ – наибольшее количество чисел данного ряда.

Тогда $$\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}<900$$; $$(2a_1+d(n-1))n<1800$$.

Очевидно, $$(2+1(n-1))n\leq (2a_1+d(n-1))n<1800$$; Поэтому $$(2+1(n-1))n<1800$$; $$n^2+n-1800<0$$; $$(n-\frac{-1+\sqrt{7201}}{2})(n-\frac{-1-\sqrt{7201}}{2})<0$$;

Так как $$84=\sqrt{7056}<\sqrt{7201}<\sqrt{7225}=85$$, то наибольшее натуральное значение $$n$$, отвечающее неравенству, – это $$41$$. Сумма ряда $$1;2;3;...41$$ равна $$\frac{(1+41)\cdot 41}{2}=861$$ (а уже у ряда $$1;2;3;...42$$ – сумма будет $$903$$).

в) $$\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}=123$$; $$(2a_1+d(n-1))n=246$$.

Так как $$246=2\cdot 3\cdot 41$$, то следует рассмотреть (учитывая, что $$n$$ уж точно меньше 41 и больше 3 по условию) лишь случай:

$$n=6, 2a_1+d(n-1)=41$$; $$n=6, 2a_1+5d=41$$;

При $$n=6$$ можно взять $$a_1=3, d=7$$.

 

Задание 14323

Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
 

Задание 14328

Числовая последовательность задана формулой общего члена: $$a_{n}<\frac{1}{n^{2}+n}$$.

а) Найдите наименьшее значение $$n$$, при котором $$a_{n}<\frac{1}{2017}$$.
б) Найдите наименьшее значение $$n$$, при котором сумма $$n$$ первых членов этой последовательности будет больше, чем 0,99.
в) Существуют ли в данной последовательности члены, которые образуют арифметическую прогрессию?
Ответ: а) 45; б) 100; в) Да, например, $$\frac{1}{30}$$;$$\frac{1}{56}$$;$$\frac{1}{420}$$
Скрыть

а) Поскольку $$f(n)=n^{2}+n $$ — возрастающая функция при натуральных $$n$$ и $$f(44)<2017<f(45) $$, имеем $$a_{1}>a_{2}>...>a_{44}>\frac{1}{2017}>a{45} $$. Ответ n=45.

б) Поскольку $$a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$, то $$a_{1}+a_{2}+...a_{n}=$$$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$$ , требуется чтобы $$\frac{1}{n+1}<0,01$$, откуда $$n\geq 100$$. Ответ n=100.

в) Если речь идет о бесконечной прогрессии — очевидно это невозможно, поскольку все члены последовательности лежат в промежутке $$(0;1)$$. Трехчленные прогрессии возможны, например $$a_{5}=\frac{1}{30}$$, $$a_{7}=\frac{1}{56}$$, $$a_{20}=\frac{1}{420}$$ образуют арифметическую прогрессию.

 

Задание 14335

Даны $$n$$ ($$ n\geq 3$$ ) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию.

а) Может ли сумма всех данных чисел равняться 22?
б) Может ли сумма всех данных чисел равняться 23?
в) Найдите все возможные значения $$n$$, если сумма всех данных чисел равна 48.
Ответ: а) да; б) нет; в) 3;4;6.
Скрыть

а) Согласно условию $$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=22$$.

Или $$(a_1+a_n)\cdot n=4\cdot 11$$. Пусть $$n=4$$, тогда $$ a_1+a_4=11$$.

Сумма чисел арифметической прогрессии $$1;4;7;10$$ равна $$22$$.

б) Допустим, сумма всех данных чисел равна $$23$$. Тогда $$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=23$$. Или $$(a_1+a_n)\cdot n=2\cdot 23$$.

Так как 23 – простое число и по условию $$n\geq 3$$, то последнее равенство могло бы выполняться при $$n=23$$. Но тогда $$a_1+a_{23}=2$$, что невозможно.

в) Имеем $$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=48$$; $$(a_1+a_n)\cdot n=2^5\cdot 3$$.

Заметим, что $$a_1+a_2+...+a_n\geq 1+2+...+n=\frac{(n+1)n}{2}$$. Поэтому $$n^2+n\leq 96$$, откуда $$n\leq 9$$.

Тогда возможны лишь следующие варианты среди прочих: $$\left\{\begin{matrix} n=3,\\ a_1+a_3=32;\end{matrix}\right.$$ или $$\left\{\begin{matrix} n=4,\\ a_1+a_3=24;\end{matrix}\right.$$ или $$\left\{\begin{matrix} n=6,\\ a_1+a_3=16;\end{matrix}\right.$$ или $$\left\{\begin{matrix} n=8,\\ a_1+a_3=12;\end{matrix}\right.$$

В первом случае, когда $$n=3$$ и $$a_1+a_3=32$$, на роль арифметической прогрессии, сумма которой $$48$$, подходит ряд чисел $$14;16;18$$.

Во втором случае, когда $$n=4$$ и $$a_1+a_4=24$$, на роль арифметической прогрессии, сумма которой $$48$$, подходит ряд чисел $$3;9;15;21$$.

В третьем случае, когда $$n=6$$ и $$a_1+a_6=16$$, на роль арифметической прогрессии, сумма которой $$48$$, подходит ряд чисел $$3;5;7;9;11;13$$.

В четвертом случае, когда $$n=8$$ и $$a_1+a_8=12$$, подобрать подходящие числа $$a_1,a_2,...,a_8$$ нам не удастся.

Действительно, $$\frac{2a_1+7d}{2}\cdot 8=48$$ ($$d$$ – разность прогрессии), откуда $$2a_1+7d=12$$, что означает, что $$7d$$ кратно $$2$$, то есть $$d=2m,m\in N$$. Это бы означало, что $$a_1+7m=7$$, что невозможно для натуральных чисел $$a_1,m$$.

Итак, всевозможные значения $$n$$ при заданных условиях – это $$3;4;6$$.

 

Задание 14340

Подковывая лошадь, кузнец тратит на одну подкову 5 минут.

а) Смогут ли два кузнеца за полчаса подковать трёх лошадей?
б) Смогут ли четыре кузнеца за 15 минут подковать трёх лошадей?
в) За какое наименьшее время 48 кузнецов смогут подковать 60 лошадей? (Известно, что лошадь не может стоять на двух ногах, поэтому два кузнеца не могут одновременно работать с одной лошадью).
Ответ: А)да Б)нет В)25 минут
 

Задание 14347

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

а) Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа?
б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?
Ответ: А)да Б)нет В)4
 

Задание 14366

Пусть $$S(x)$$ ‐ сумма цифр натурального числа $$x$$ . Решите уравнения:

a) $$x+s(x)=2017$$
б) $$x+S(x)+S(S(x))=2017$$
в) $$x+S(x)+S(S(x))+S(S(S(x)))=2017$$
Ответ: А)1994, 2012 Б)нет решений В)1978
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14385

а) Приведите пример натурального числа, меньшего 100 000, которое делится на 2018 и у которого сумма цифр равна 26
б) Найдите все такие числа
в) Найдите все натуральные числа, меньшие 100 000, которые делятся на 2017 и у которых сумма их цифр равна 23.
Ответ: А,Б)44396;62558 В)28238;46391;64544
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!