Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C2) Стереометрическая задача

Угол между скрещивающимися прямыми

Задание 1154

Длина ребра пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра ABCD равна 1. Най­ди­те угол между пря­мы­ми DM и CL, где M — се­ре­ди­на ребра BC, L — се­ре­ди­на ребра AB.

Ответ: $$\arccos \frac{1}{6}$$

Задание 1155

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми SB и AD.

Ответ: $$\frac{1}{4}$$

Задание 1156

Сто­ро­на пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 равна 8. Вы­со­та этой приз­мы равна 6. Найти угол между пря­мы­ми CA1 и AB1.

Ответ: $$ \arccos 0.04$$

Задание 1157

В пи­ра­ми­де DABC пря­мые, со­дер­жа­щие ребра DC и AB, пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а) По­строй­те се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку E — се­ре­ди­ну ребра DB, и па­рал­лель­но DC и AB. До­ка­жи­те, что по­лу­чив­ше­е­ся се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б) Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка, если DC = 24, AB =10.

Ответ: $$ \arccos \frac{119}{169} $$

Задание 1158

Точка E — се­ре­ди­на ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и B1D.

Ответ: $$ \arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$$

Задание 1159

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $$8\sqrt{2}$$. Высота призмы равна 6. Найдите угол между прямыми AC1 и CB1.

Ответ:

Задание 1160

На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 от­ме­че­на точка E так, что CE : EC1 = 1 : 2. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и AC1.

Ответ: $$ \arccos \frac {2\sqrt{30}}{15}$$

Задание 1161

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равно 6, а ко­си­нус угла ASB при вер­ши­не бо­ко­вой грани равен   $$\frac{1}{9}$$  Точка M — се­ре­ди­на ребра SC. Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми BM и SA.

Ответ: $$\frac{1}{3\sqrt{41}}$$

Задание 1162

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD най­ди­те угол между вы­со­той тет­ра­эд­ра DH и ме­ди­а­ной BM бо­ко­вой грани BCD.

Ответ: $$\arccos \frac{\sqrt{2}}{3}$$

Задание 1163

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те угол между пря­мы­ми SB и CD.

Ответ: 60°

Задание 4121

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $$8\sqrt{2}$$. Высота призмы равна 6. Найдите угол между прямыми AC1 и CB1.

Ответ:

Задание 4122

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Найдите угол между прямыми DM и CL, где M — середина ребра BC, M — середина ребра AB

Ответ:

Задание 4123

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8. Высота этой призмы равна 6. Найти угол между прямыми CA1 и AB1.

Ответ:

Задание 4124

Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми PH и BM, если отрезок PH — высота данной пирамиды, точка M — середина ее бокового ребра AP.

Ответ:

Задание 4125

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что прямая AB1 параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AC и BC1.
б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.
Ответ:

Задание 4961

В основании треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник АВС, где АВ=ВС=5,  АС=6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом, синус которого равен $$\frac{3}{4}$$.  

А) Постройте сечение, проходящее через центр описанной окружности основания и перпендикулярное прямой BD  
Б) Найдите расстояние от прямой BD до прямой АС.  
Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
А) Если стороны наклонены под одинаковым углом в треугольной пирамиде, то проенкция вершины на основание является центром описанной окружности. Проведем выосту DO. Необходимо найти отношение BO к OH для правильного построения сечения: пусть R - радиус описанной окружности (BO), тогда:
$$R=\frac{abc}{4S}$$; $$S=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12$$; $$R=\frac{5\cdot5\cdot6}{4\cdot12}=\frac{25}{8}=BO$$; $$OH=4-\frac{25}{8}=\frac{7}{8}$$;
Получаем, что BO относится к OH как 25 к 7. Далее строим перпендикуляр OK. Проекцией DB на плоскость ABC является BH, но BH перпендикулярна AC, тогда и BD перпендикулярна AC (по теореме о трех перпендикулярах). 
Тогда через точку O проведем прямую параллельную AC ( например RQ, где R на AB, Q ну BC ) и получаем что она так же перпендикулярна BD. Тогда имеем две пересекающиеся прямые (OK и RQ) перпендикулярные третьей (BD), значит через них и пройдет искомая плоскость (RQK)
Б)  Проведем HN перпендикулярно BD. Из пункта A) получаем, что AC перпендикулярно плоскости BHD, так же H - середина AC - значит это общий перпендикуляр для AC и BD - то есть расстояние между ними.
Рассмотрим треугольник BNH: $$\sin DBO=\frac{3}{4}$$; $$BH=4$$ $$\Rightarrow$$ $$HN=BH\cdot\sin NBH=4\cdot\frac{3}{4}=3$$
 

Задание 7412

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. На ребре BC взята точка M, причём BM : CM=1 : 2.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через центры граней A1B1C1 и BB1C1C параллельно ребру AC, проходит через точку M.
б) Пусть K —середина ребра A1C1, N —центр грани BB1C1C. Найдите угол между прямыми B1K и MN, если AC=$$18\sqrt{3}$$; AA1=$$\sqrt{13}$$
Ответ: $$arccos\frac{9}{11}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9801

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1 причём СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB$$=30°, АВ=$$\sqrt{2}$$ , СС1=4.

а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Ответ: $$8\sqrt{2}\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10497

В основании треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. На ребре ВС взята точка L, причем BL:LC=1:2

а) Докажите, что плоскость проходящая через точку N пересечения медиан грани А1В1С1 и точку пересечения диагоналей грани ВВ1С1С параллельно АС, проходит через точку L
б) Пусть Q – середина ребра А1С1. Найдите угол между прямыми BQ и LN, если призма АВСА1В1С1 прямая, АВ=ВС=6, ВВ1=6
Ответ: $$\arccos \frac{7\sqrt{15}}{30}$$
 

Задание 10936

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды $$SA=\sqrt{21},\ SB=\sqrt{85},\ SD=\sqrt{57}$$.

а) Докажите, что SA - высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Ответ: $$arccos\frac{14}{55}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Заметим, что $$SA^2+AB^2=21+64=85=SA^2\to SA\bot AB$$. $$SA^2+AD^2=21+36=57=SD^2\to SA\bot AD\to SA\bot \left(ABCD\right).$$

б) Пусть $$AC\cap DB=H$$. Т.к. $$ABCD$$ - прямоугольник, то $$AH=HC$$. $$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=10\to AH=5$$. Из $$H$$ проведем среднюю линию $$\triangle SAC\to HK\parallel SC\to SC\wedge BD=HK\wedge BD$$. $$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{21+100}=\sqrt{121}\to KH=\frac{\sqrt{121}}{2}=\frac{11}{2}.$$ $$DH=\frac{DB}{2}=\frac{AC}{2}=5. DK=\sqrt{DA^2+AK^2}=\sqrt{36+\frac{21}{4}}=\frac{\sqrt{165}}{2}. $$ $${\cos KHD\ }=\frac{KH^2+DH^2-DK^2}{2\cdot KH\cdot DH}=\frac{\frac{121}{4}+25-\frac{165}{4}}{2\cdot \frac{11}{2}\cdot 5}=\frac{221-165}{4\cdot 11\cdot 5}=\frac{14}{55}\to $$ $$\to \angle KHD=arccos\frac{14}{55}.$$

 

Задание 11020

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды $$SA\ =\ \sqrt{21},\ SB=\sqrt{85}\ ,\ SD\ =\ \sqrt{57}.$$

а) Докажите, что SA - высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Ответ: $${\arccos \frac{14}{55}\ }.$$
Скрыть

а) Рассмотрим треугольник SAB. Из значения его сторон следует, что $$SB^2=SA^2+AB^2$$, Следовательно, SB - гипотенуза и угол SAB - прямой. Аналогично для треугольника SAD: $${SD}^2=AD^2+SA^2$$, получаем, что SD - гипотенуза и угол SAD - прямой. В результате получаем, что при $$SA\bot AB,\ SA\bot AD$$, следует $$SA\bot ABC$$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), и следовательно, SA - высота пирамиды.

б) Угол между прямыми SC и BD - это угол между двумя скрещивающимися прямыми, который соответствует углу $$\alpha $$ между прямыми NO и OD (см. рисунок). Так как прямая $$ON\parallel SC$$ и точка O делит прямую AC пополам, то и точка N будет делить AS пополам. Следовательно, ON - это средняя линия треугольника ASC и равна $$ON=\frac{1}{2}SC.$$

Вычислим диагональ AC из прямоугольного треугольника ACD: $$AC=\sqrt{36+64}=10.$$

Тогда длина ребра SC будет равна (учитывая, что треугольник SAC прямоугольный): $$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{21+100}=11$$ и $$ON=\frac{11}{2}=5,5.$$

Так как диагонали в прямоугольнике равны, то $$BD=AC$$. Тогда $$OD=\frac{1}{2}AC=\frac{10}{2}=5.$$

Найдем длину отрезка DN. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAD, в котором катет $$DA=6$$, катет $$AN=\frac{1}{2}SA=\frac{\sqrt{21}}{2}$$ и по теореме Пифагора имеем $$DN=\sqrt{36+\frac{21}{4}}=\frac{\sqrt{165}}{2}.$$

По теореме косинусов находим косинус угла $$\alpha $$, получаем: $${\cos \alpha \ }=\frac{OD^2+ON^2-DN^2}{2\cdot OD\cdot ON}=\frac{25+30,25-41,25}{2\cdot 5\cdot 5,5}=\frac{14}{55}$$ откуда $$\alpha ={\arccos \frac{14}{55}\ }.$$

 

Задание 11086

В основании прямой призмы $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ лежит равнобедренная трапеция АВСD c основаниями AD и ВС. Известно, что $$AD:BC\ =\ 2:1$$ и $$АВ\ =\ ВС.$$

а) Докажите, что $$DB_1\bot A_1B_1$$.

б) Найдите угол между прямыми $$CD_1$$ и $$DB_1$$, если боковая грань $$AA_1D_1D$$ - квадрат.

Ответ: $$arccos\frac{\sqrt{35}}{14}$$
 

Задание 13692

В правильной призме ABCDA1B1C1D1с основанием ABCD боковое ребро равно $$\sqrt{3}$$, а сторона основания равна 2. Через точку А1 перпендикулярно плоскости AB1D1проведена прямая I.

а) Докажите, что прямая I пересекает отрезок АС и делит его в отношении 3:1.
б) Найдите угол между прямыми I и СВ1.
Ответ: $$arccos \frac{2\sqrt{210}}{35}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13775

В правильной призме ABCDA1B1C1D1с основанием ABCD боковое ребро равно 2, а сторона основания равна $$\sqrt{6}$$. Через точку А1 перпендикулярно плоскости AB1D1 проведена прямая I.

а) Докажите, что прямая I пересекает отрезок АС и делит его в отношении 2:1 .
б) Найдите угол между прямыми I и CD1.
Ответ: $$\arccos \frac{2\sqrt{210}}{35}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!