ЕГЭ Профиль
Задание 1157
В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DC и AB, перпендикулярны.
а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E — середину ребра DB, и параллельно DC и AB. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником.
б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DC = 24, AB =10.
Задание 4961
В основании треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник АВС, где АВ=ВС=5, АС=6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом, синус которого равен $$\frac{3}{4}$$.
Задание 7412
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. На ребре BC взята точка M, причём BM : CM=1 : 2.
Задание 9801
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания - точка С1 причём СС1 - образующая цилиндра, а АС - диаметр основания. Известно, что $$\angle ACB$$=30°, АВ=$$\sqrt{2}$$ , СС1=4.
Задание 10497
В основании треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. На ребре ВС взята точка L, причем BL:LC=1:2
Задание 10936
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды $$SA=\sqrt{21},\ SB=\sqrt{85},\ SD=\sqrt{57}$$.
а) Заметим, что $$SA^2+AB^2=21+64=85=SA^2\to SA\bot AB$$. $$SA^2+AD^2=21+36=57=SD^2\to SA\bot AD\to SA\bot \left(ABCD\right).$$
б) Пусть $$AC\cap DB=H$$. Т.к. $$ABCD$$ - прямоугольник, то $$AH=HC$$. $$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=10\to AH=5$$. Из $$H$$ проведем среднюю линию $$\triangle SAC\to HK\parallel SC\to SC\wedge BD=HK\wedge BD$$. $$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{21+100}=\sqrt{121}\to KH=\frac{\sqrt{121}}{2}=\frac{11}{2}.$$ $$DH=\frac{DB}{2}=\frac{AC}{2}=5. DK=\sqrt{DA^2+AK^2}=\sqrt{36+\frac{21}{4}}=\frac{\sqrt{165}}{2}. $$ $${\cos KHD\ }=\frac{KH^2+DH^2-DK^2}{2\cdot KH\cdot DH}=\frac{\frac{121}{4}+25-\frac{165}{4}}{2\cdot \frac{11}{2}\cdot 5}=\frac{221-165}{4\cdot 11\cdot 5}=\frac{14}{55}\to $$ $$\to \angle KHD=arccos\frac{14}{55}.$$
Задание 11020
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды $$SA\ =\ \sqrt{21},\ SB=\sqrt{85}\ ,\ SD\ =\ \sqrt{57}.$$
а) Рассмотрим треугольник SAB. Из значения его сторон следует, что $$SB^2=SA^2+AB^2$$, Следовательно, SB - гипотенуза и угол SAB - прямой. Аналогично для треугольника SAD: $${SD}^2=AD^2+SA^2$$, получаем, что SD - гипотенуза и угол SAD - прямой. В результате получаем, что при $$SA\bot AB,\ SA\bot AD$$, следует $$SA\bot ABC$$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), и следовательно, SA - высота пирамиды.
б) Угол между прямыми SC и BD - это угол между двумя скрещивающимися прямыми, который соответствует углу $$\alpha $$ между прямыми NO и OD (см. рисунок). Так как прямая $$ON\parallel SC$$ и точка O делит прямую AC пополам, то и точка N будет делить AS пополам. Следовательно, ON - это средняя линия треугольника ASC и равна $$ON=\frac{1}{2}SC.$$
Вычислим диагональ AC из прямоугольного треугольника ACD: $$AC=\sqrt{36+64}=10.$$
Тогда длина ребра SC будет равна (учитывая, что треугольник SAC прямоугольный): $$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{21+100}=11$$ и $$ON=\frac{11}{2}=5,5.$$
Так как диагонали в прямоугольнике равны, то $$BD=AC$$. Тогда $$OD=\frac{1}{2}AC=\frac{10}{2}=5.$$
Найдем длину отрезка DN. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAD, в котором катет $$DA=6$$, катет $$AN=\frac{1}{2}SA=\frac{\sqrt{21}}{2}$$ и по теореме Пифагора имеем $$DN=\sqrt{36+\frac{21}{4}}=\frac{\sqrt{165}}{2}.$$
По теореме косинусов находим косинус угла $$\alpha $$, получаем: $${\cos \alpha \ }=\frac{OD^2+ON^2-DN^2}{2\cdot OD\cdot ON}=\frac{25+30,25-41,25}{2\cdot 5\cdot 5,5}=\frac{14}{55}$$ откуда $$\alpha ={\arccos \frac{14}{55}\ }.$$
Задание 11086
В основании прямой призмы $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ лежит равнобедренная трапеция АВСD c основаниями AD и ВС. Известно, что $$AD:BC\ =\ 2:1$$ и $$АВ\ =\ ВС.$$
а) Докажите, что $$DB_1\bot A_1B_1$$.
б) Найдите угол между прямыми $$CD_1$$ и $$DB_1$$, если боковая грань $$AA_1D_1D$$ - квадрат.
Задание 13692
В правильной призме ABCDA1B1C1D1с основанием ABCD боковое ребро равно $$\sqrt{3}$$, а сторона основания равна 2. Через точку А1 перпендикулярно плоскости AB1D1проведена прямая I.
Задание 13775
В правильной призме ABCDA1B1C1D1с основанием ABCD боковое ребро равно 2, а сторона основания равна $$\sqrt{6}$$. Через точку А1 перпендикулярно плоскости AB1D1 проведена прямая I.
