Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C2) Стереометрическая задача

Расстояние между прямыми и плоскостями

 

Задание 3035

Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна $$4\sqrt{2}$$ . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.
а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра AB равен 45°.
б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми.

Ответ: $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Введем ортогональную систему координат: $$CM=CB\cdot\sin60^{\circ}=4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}$$

$$\left.\begin{matrix}S(0;0;2)\\L(\sqrt{2};\sqrt{6};0)\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$SL \left \{ \sqrt{2};\sqrt{6};-2 \right \}$$

$$\left.\begin{matrix}C(0;0;0)\\M(0;2\sqrt{6};0)\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$CM\left\{0;2\sqrt{6};0\right\}$$

$$\cos(SL;CM)=\frac{|\sqrt{2}\cdot0+\sqrt{6}\cdot2\sqrt{6}+(-2)\cdot0|}{\sqrt{2+6+4}\cdot\sqrt{4\cdot6}}=$$

$$=\frac{2\sqrt{36}}{\sqrt{12}\cdot\sqrt{24}}=\frac{2\cdot6}{2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\angle (SL;CM)=45^{\circ}$$ ч.т.д.

2) Пусть $$LK\parallel CM\Rightarrow d(SL;CM)=d(C;(SLK))$$

$$K(\sqrt{2}; 2\sqrt{6}; 0)$$ Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение $$(SLK)$$

$$\left\{\begin{matrix}0\cdot a+0\cdot b+2\cdot c+d=0\\\sqrt{2}a+\sqrt{6}b+0\cdot c+d=0\\\sqrt{2}a+2\sqrt{6}b+0\cdot c+d=0\end{matrix}\right.$$

$$b=0;c=-\frac{d}{2};a=-\frac{\sqrt{2}d}{2}$$ $$-\frac{\sqrt{2}d}{2}x+0y-\frac{d}{2}z+d=0$$ $$\Rightarrow$$<

$$-\frac{\sqrt{2}}{2}x+0y-\frac{1}{2}z+1=0$$

$$d(C;(SLK))=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$<

$$=\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot0+0\cdot0-\frac{1}{2}\cdot0+1|}{\sqrt{\frac{2}{4}+0+\frac{1}{4}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

 

Задание 3159

В правильной треугольной пирамиде SABC точка К – середина ребра АВ. На ребре SC взята точка М так, что SM : СМ = 1:3. 

а) Докажите, что прямая МК пересекает высоту SО пирамиды в её середине.  
б) Найдите расстояние между прямыми МК и АС, если известно, что АВ=6, SA=4. 
Ответ: $$\frac{3\sqrt{21}}{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3662

В кубе $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ точка О1 – центр квадрата АВСD, точка О2 – центр квадрата $$CC_{1}D_{1}D$$

а) Докажите, что прямые А1О1 и В1О2 – скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми А1О1 и В1О2, если ребро куба равно 2.
Ответ: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Опустим $$O_{2}M\perp C_{1}D_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}M$$ - проекция $$B_{1}O_{2}$$ на $$(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})\Rightarrow(B_{1}MO_{2})$$ плоскость $$B_{1}O_{2}$$; достроим её до $$(B_{1}MM_{1}B)$$

2) Опустим $$O_{1}L\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}L$$ - проекция $$A_{1}O_{1}$$ на $$(AA_{1}D_{1}D)\Rightarrow(A_{1}O_{1}L)$$ плоскость $$A_{1}O_{1}$$; достроим её до $$(A_{1}LL_{1}B_{1})$$

3) $$BM_{1}\cap LL_{1}=H$$ $$B_{1}$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$B_{1}H$$ -линия пересечения $$(A_{1}LL_{1}B_{1})$$ и $$(B_{1}MM_{1}B)$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}O_{1}\cap(B_{1}MM_{1}B)$$ по $$B_{1}H$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}O_{1}$$ не пересекает $$B_{1}O_{2}$$ и $$A_{1}O_{1}$$ не параллельна $$B_{1}O_{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}O_{2}$$ и $$A_{1}O_{1}$$ - скрещивающиеся

б) 1) Введем ортогональную систему координат как на рисунке: $$B_{1}(0;0;2)$$; $$O_{2}(2;1;1)$$; $$A_{1}(0;2;2)$$

2) Пусть $$B_{1}L_{2}\parallel A_{1}L$$, тогда $$(B_{1}O_{2}L_{2})\parallel A_{1}L$$, $$d(A_{1}L; B_{1}O_{2})=d((B_{1}O_{2}L_{2});A_{1})$$

$$L_{2}(1;-1;0)$$

3) Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение $$(B_{1}O_{2}L_{2})$$

$$\left\{\begin{matrix}0\cdot x+0\cdot y+2z+d=0\\2x+1y+1z+d=0\\1x+(-1)\cdot y+0\cdot z+d=0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}2z+d=0\\2x+y+z+d=0\\x-y+d=0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}z=-\frac{d}{2}\\3x+z+2d=0\\x-y+d=0\end{matrix}\right.$$

$$3x-0,5d+2d=0$$

$$3x=-1,5d$$

$$x=-0,5d$$

$$-y+0,5d=0$$

$$y=0,5d$$

$$d((B_{1}O_{2}L_{2});A_{1})=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$

$$=\frac{|1\cdot0-1\cdot2+1\cdot2-2}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Задание 4332

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1.

Ответ:

Задание 4333

Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расстояние между боковыми ребрами AA1 и CC1 равно 8. Найдите расстояние от прямой AA1 до плоскости BC1C, если известно, что двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.

Ответ:

Задание 4334

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все рёбра основания которой равны $$2\sqrt{7}$$. Сечение, проходящее через боковое ребро AA1 и середину M ребра B1C1, является квадратом. Найдите расстояние между прямыми A1B и AM.

Ответ:

Задание 4335

Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L — середина ребра MC O — центр грани ABC.

Ответ:
 

Задание 5241

Дан куб $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$. Пусть $$l$$ – линия пересечения плоскостей $$ACD_{1}$$ и $$BDC_{1}$$

А) Докажите, что прямые $$DB_{1}$$ и $$l$$ перпендикулярны.
Б) Найдите расстояние между прямыми $$DB_{1}$$ и $$l$$, если ребро куба равно 2.  
Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{6}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)     введем систему координат. Пусть ребро куба 2. Тогда :$$H(1;1;0), M(1;0;1), D(0;0;0), B_{1}(2;2;2)$$

$$\vec{HM} (0;-1;1)$$; $$\vec{DB_{1}} (2;2;2)$$

$$\cos (HM; BD)=\frac{10*2+(-1)*2+1*2}{\sqrt{2}*\sqrt{12}}=0\Rightarrow$$ угол равен 90

Б)     Построим из H прямую $$HK\left | \right | DB_{1}$$$$\Rightarrow \Delta DB_{1}B\sim \Delta HKB$$; H-середина DB, то и K-середина

$$BB_{1}\Rightarrow K(2;2;1)$$

Зададим уравнение (HKM):

$$\left\{\begin{matrix}a+b+d-0\\a+c+d=0 \\2a+ab+c+d=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=c \\a+c+d=0 \\2a+3c+d=0\end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix}a=-c-d \\-2c-2d+3c+d=0 \\b=c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}c=d \\b=c \\a=-2c\end{matrix}\right.$$

Получим: $$-2cx+cy+cz+c=0|:c \Leftrightarrow$$$$-2x+y+z+1=0$$

Найдем расстояние от D до (HKM)

$$r=\frac{\left | -2*0+1*0+1*0+1 \right |}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$$

 

Задание 6569

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости АВС, ,AB=2, AC=1, $$\angle BAC=120^{\circ}, SA=3\sqrt{2}$$ . Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку С и середину ребра АВ, а другая – через точку В, имеют равные площади.

А) Найти объемы многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости сечений
Б) Найти расстояние между секущими плоскостями.
Ответ: А)$$\frac{\sqrt{6}}{12};\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{\sqrt{6}}{12}$$ Б)$$\frac{\sqrt{2}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) Пусть E-середина $$AB\Rightarrow$$ пусть $$CE\in \alpha$$ и $$\alpha \cap AD=F$$, тогда $$\alpha =(CEF)$$

     2)Пусть $$B \in \beta$$ и $$\alpha \left | \right |\beta$$ и $$\beta \cap AD=G$$; $$\beta \cap CD=J$$. Тогда : $$EF\left | \right |BG$$ и т.к. $$\Delta AEF\sim \Delta ABG$$, то $$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BG}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$BG=2 EF(1)$$

     3) $$S_{CFE}=S_{JGB}\Rightarrow$$$$\frac{1}{2}CF*FE*\sin F=\frac{1}{2}JG*GB \sin F$$; $$\angle F=\angle G\Rightarrow$$$$CF*FE=JG*GB$$. С учетом (1) получаем, что $$JG=\frac{1}{2}CF$$. Но $$\Delta SGT\sim \Delta SFC\Rightarrow$$ $$\frac{GT}{CF}=\frac{SG}{SF}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$AF=FG=GS=\frac{1}{3}AS=\sqrt{2}$$

     4) $$V_{FACE}=\frac{1}{3}S_{AEC}*AF=$$$$\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*S_{ABC}*\frac{1}{3}AS=$$$$\frac{1}{6}V_{SABC}$$;

$$\frac{V_{SGBJ}}{V_{SABC}}=\frac{SG*SJ*SB}{SA*SC*SB}=$$$$\frac{1}{3}*\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\Rightarrow$$ $$V_{SGBJ}=\frac{1}{6}V_{SABC}$$, $$V _{FECGBJ}=\frac{4}{6} V_{SABC}$$; $$V_{SABC}=\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*2*1*\frac{\sqrt{3}}{2}*3\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

Найдем $$V_{FACE}=V_{SGJB}=\frac{\sqrt{6}}{12}$$; $$V_{FCEGBJ}=\frac{4}{6}*\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{2\sqrt{6}}{6}$$

   Б) 1)Построим $$AN\perp EC$$ . Опустим перпендикуляр из G на FN :$$GM\perp FN$$ и $$GM\cap FN=G$$. Тогда GMFи FNAявляются одной плоскостью

     2) FN\perp CE(по построению) , AN- проекция FN на $$(ABC)\Rightarrow$$ $$CE\perp (FCE)\Rightarrow$$ $$CE\perp MG$$ с учетом , что $$GM\perp FN$$, то $$GM\perp (CEF)\Rightarrow$$ GM - расстояние от (GJB) до (CEF)

     3) $$\Delta GFM$$: $$GM=FG \sin \angle MFG$$

$$\angle MFG=\angle AFN$$( вертикальные ), тогда $$\sin \angle MFG=\sin \angle AFN=\frac{AN}{FN}$$

$$\Delta ANC$$: $$AN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$$

$$\Delta AFN$$: $$FN=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$$

$$\sin \angle AFN=\frac{1}{2}:\frac{3}{2}=\frac{1}{3}$$

$$GM=\sqrt{2}*\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$

 

Задание 6825

Диагональ основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 8, высота пирамиды SO равна 1. Точка М – середина ребра SC, точка К – середина ребра CD.

А) Найдите угол между прямыми ВМ и SK
Б) Найдите расстояние между прямыми ВМ и SK
Ответ: А)$$arccos \frac{23}{27}$$ Б) $$\frac{4\sqrt{2}}{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A)     1) Зададим ортогальную систему координат как показано на рисунке:

          2)из $$\Delta ABD$$: $$AB=BD \sin D=8*\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$

          3) Найдем координаиты точек:

$$B (-\frac{BC}{2}; -\frac{AB}{2},0)\Rightarrow$$ $$B(-2\sqrt{2};-2\sqrt{2},0)$$

$$S(0;0; SO)$$$$\Rightarrow$$ $$S(0;0;1)$$

$$K (\frac{AD}{2};0;0)\Rightarrow$$ $$k(2\sqrt{2};0;0)$$

          Опустим $$MM_{1}\perp (ABC)$$, $$\Delta SOC \sim \Delta MM_{1}C$$, тогда:

$$M(\frac{AD}{4};-\frac{CD}{4};\frac{SO}{2})\Rightarrow$$ $$M (\sqrt{2};-\sqrt{2};\frac{1}{2})$$

          Тогда: $$\bar{BM} (3\sqrt{2}; \sqrt{2};\frac{1}{2})$$, $$\bar{SK}(2\sqrt{2};0;-1)$$

          Найдем угол между данными векторами:

$$\cos \angle (\bar{BM}, \bar{SK})=$$$$\frac{3\sqrt{2}*2\sqrt{2}+\sqrt{2}*0+\frac{1}{2}(-1)}{\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}* \sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}}=$$$$\frac{23}{27}\Rightarrow$$ $$\angle (\bar{BM}; \bar{SK})=arccos \frac{23}{27}$$

Б)     1) Построим $$MN \left | \right |SK (MN\cap DC=N)\Rightarrow$$ $$(BMN)\left | \right |SK\Rightarrow$$ $$\rho (SK; (BMN))=\rho (BM; SK)$$

          2) $$N (\frac{AD}{2}; -\frac{CD}{4};0) \Rightarrow$$ $$N (2\sqrt{2}; -\sqrt{2},0)$$

          Зададим уравнение (BMN):

$$\left\{\begin{matrix}-2\sqrt{2}a-2\sqrt{2}b +d=0\\\sqrt{2}a -\sqrt{2}b +\frac{1}{2}c+d=0\\2\sqrt{2}a-\sqrt{2}b +d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=\frac{\sqrt{2}d}{3}\\c=-\frac{d}{3}\\a=-\frac{\sqrt{2}d}{12}\end{matrix}\right.$$

          Тогда уравнение (BMN): $$-\frac{\sqrt{2}}{12}x+\frac{\sqrt{2}}{3}y-\frac{1}{3}z+1=0$$

          Тогда расстояние между прямыми: $$\rho (BM, SK) =\frac{\left | -\frac{\sqrt{2}}{12}*2\sqrt{2}+1 \right |}{\sqrt{(-\frac{\sqrt{2}}{12})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{3})^{2}+(-\frac{1}{2})^{2}}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$$

 

Задание 7364

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка Р – середина ребра SA, точка Q – середина ребра SC.

А) Докажите, что расстояние между прямыми ВР и DQ не зависит от высоты пирамиды.
Б) Найдите это расстояние, если площадь основания пирамиды равна 5.
Ответ: $$\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7731

В правильном тетраэдре ABCD точка К – центр грани ABD, точка М – центр грани ACD.

а) Докажите, что прямые ВС и КМ параллельны.
б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью ABD.
Ответ: $$arccos\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8893

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB=15 и BC=25. Все боковые рёбра пирамиды равны $$5\sqrt{17}$$. На рёбрах AB и BC отмечены соответственно точки K и N так, что AK=CN=8. Через точки K и N проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная ребру SB.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ проходит через точку M-середину ребра SB.

б) Найдите расстояние между прямыми DS и KM

Ответ: $$\frac{5\sqrt{17}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 8913

Основанием пирамиды TABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB=26 и BC=18. Все боковые рёбра пирамиды равны $$10\sqrt{5}$$. На рёбрах AB и CD отмечены соответственно точки N и M так, что BN=DM=12. Через точки N и M проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная ребру TA.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ проходит через точку K - середину ребра TA.

б) Найдите расстояние между прямыми TC и KN.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9046

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 2. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно 1. Точка F – середина АВ.

а) Найдите угол между прямыми SF и AC

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку F параллельно прямым BD и SС.

Ответ: а) 60 градусов; б) $$\frac{3\sqrt{2}}{8}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9111

Основание пирамиды SABC-равносторонний треугольник ABC. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N — середины рёбер BC и AB соответственно, причём SN=AM.

а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60°.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если BC=6.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9508

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2.

а) Докажите, что плоскости А1BD и В1D1С параллельны.
б) Найдите расстояние между плоскостями А1BD и В1D1С.
Ответ: $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через вершины $$A1$$, $$B$$ и $$D$$ куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Ортогональная проекция AC диагонали AC_1 куба на плоскость основания $$ABCD$$ перпендикулярна прямой $$BD$$, поэтому $$AC_1$$ и $$BD$$ перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах. Аналогично, $$AC_1$$ перпендикулярна $$DA_1$$. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, диагональ $$AC_1$$ перпендикулярна плоскости треугольника $$DA1B$$. Аналогично докажем, что плоскость треугольника $$D_1B_1C$$ перпендикулярна диагонали $$AC_1$$. Плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой. Это и требовалось доказать.

б) Рассмотрим сечение $$AA_1C_1C$$, пусть $$Е$$ и $$F$$ — основания высот $$AE$$ и $$C_1F$$ прямоугольных треугольников $$A_1AO$$ и $$СС_1O_1$$ соответственно. Тогда искомое расстояние между плоскостями равно длине отрезка $$EF$$. Катетами указанных треугольников являются ребро куба и половина диагонали грани куба. Тем самым, эти треугольники равны, а тогда равны и их высоты, проведенные к гипотенузам.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу, поэтому $$C_{1}F=AE=\frac{AA_{1}\cdot AO}{A_{1}O}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4+2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$,

а тогда $$EF=AC_{1}-AE-C_{1}F=2\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$.

 

Задание 9633

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 5, AA1 = 5, AD = 3.

а) Докажите, что прямые A1B и B1D перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми A1B и B1D.
Ответ: $$\frac{15}{\sqrt{118}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9680

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка О1 – центр квадрата ABCD, точка О2 – центр квадрата СC1D1D.

а) Докажите, что прямые A1О1 и B1О2 скрещиваются.
б) Найдите расстояние между прямыми A1О1 и B1О2 , если ребро куба равно 1.
Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10096

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания в два раза меньше высоты призмы.

а) Докажите, что расстояние от точки О1 ‐ пересечения диагоналей основания A1B1C1D1 до плоскости BDC1 в три раза меньше высоты призмы
б) Найдите расстояние между прямыми С1О и АВ, если сторона основания призмы равна 1, где О ‐ пересечения диагоналей основания ABCD
Ответ: $$\frac{2}{\sqrt{17}}$$
 

Задание 10115

В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N – середины ребер АВ и CD.

а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 450
б) Найдите расстояние между прямыми MN и AD.
Ответ: $$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$
 

Задание 10134

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ:BC:CC1=1:2:3

а) Найдите угол между прямой BD1 и плоскостью ВС1D
б) Найдите угол между плоскостями АА1D и ВС1D
Ответ: А)$$arcsin (\frac{3\sqrt{2}}{7\sqrt{7}})$$ Б)$$arccos(\frac{6}{7})$$
 

Задание 10153

Длина высоты правильной треугольной пирамиды SABC ( S – вершина) в $$\frac{5}{\sqrt{6}}$$ раз больше длины стороны основания. Точка D – cередина апофемы SN, где N – середина АС.

а) Докажите, что угол между прямой BD и плоскостью $$\alpha$$, проходящей через ребро SC и середину ребра АВ равен 300
б) Найдите расстояние между BD и SC, если сторона основания равна 3.
Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$
 

Задание 10261

Основание пирамиды SABCD – квадрат ABCD, боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. BC=2SA. Точка М – середина ребра АВ.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую SM параллельно BD, ‐ равносторонний треугольник
б) Найдите расстояние между прямыми SM и BD, если $$AB=6\sqrt{3}$$
Ответ: 3
 

Задание 10656

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ все ребра равны 1.

а) Докажите, что точки F и С равноудалены от плоскости $$BED_1$$
б) Найдите расстояние между прямыми $$ED_1$$ и $$FE_1$$
Ответ: $$\frac{\sqrt{21}}{7}$$
 

Задание 11853

Основание АВС правильной треугольной пирамиды SABC вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси О1О2цилиндра (точка О1– центр верхнего основания). Объем цилиндра равен $$21\pi$$, а объем пирамиды 33 .

а) Докажите, что SO1:SO2=3:4
б) Найдите расстояние между прямыми АС и SB, если радиус основания цилиндра равен 32 .
Ответ: $$\frac{3\sqrt{39}}{13}$$
 

Задание 12551

Основание пирамиды SABC - равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N - середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём $$SN\ =\ AM.$$

а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60$${}^\circ$$.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $$BC\ =3\sqrt{2}.$$

Ответ: 1
 

Задание 12573

Основание пирамиды SABC - равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N - середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём $$SN\ =\ AM.$$

а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60$${}^\circ$$.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $$BC\ =\ 6.$$

Ответ: $$\sqrt{2}$$
 

Задание 14213

Дана правильная шестиугольная призма $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$

а) Докажите, что прямые $$CF$$ и $$AE_{1}$$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $$CF$$ и $$AE_{1}$$, если $$AA_{1}=8, AB=2\sqrt{3}$$ .
Ответ: 2,4
 

Задание 14220

На продолжении высоты $$PO$$ правильной четырехугольной пирамиды $$PABCD$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$OP=OK$$.

а) Докажите, что плоскости $$PBC$$ и $$KAD$$ параллельны.
б) Найдите расстояние между плоскостями $$PBC$$ и $$KAD$$ , если $$AB=2, PO=2\sqrt{2}$$.
Ответ: $$\frac{4\sqrt{2}}{3}$$
 

Задание 14361

В правильном тетраэдре $$MNPQ$$ через биссектрисы $$NA$$ и $$QB$$ граней $$MNP$$ и $$QNP$$ проведены параллельные плоскости.

а) Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от $$MNPQ$$ тетраэдров к объему $$MNPQ$$
б) Найдите расстояние между $$NA$$ и $$QB$$, если ребро тетраэдра равно 1.
Ответ: А)$$\frac{11}{24}$$ Б)$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{35}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14380

В правильном тетраэдре $$ABCD$$ точка $$K$$ – середина ребра $$АВ$$, точка $$E$$ лежит на ребре $$CD$$ и $$EC:ED=1:2$$.

а) Найдите угол между прямыми $$BC$$ и $$KE$$.
б) Найдите расстояние между прямыми $$BC$$ и $$KE$$, если сторона тетраэдра равна $$\sqrt{6}$$
Ответ: А)$$\arccos \frac{7}{2\sqrt{19}}$$ Б) $$\frac{2}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!