ЕГЭ Профиль
Задание 7865
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$a^{2}\ctg^{2}x-9a+a^{2}=4a\sin x$$ имеет хотя бы один корень.
$$a^{2}\ctg^{2}x-9a+a^{2}=4a\sin x$$
$$a(a\cdot\ctg^{2}x-9+a-4\sin x)=0$$
1) При $$a=0$$ корни есть
2) При $$a\neq0$$: $$a(ctg^{2}x+1)-9-4\sin x=0$$
$$a(\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+1)-9-4\sin x=0$$
$$a\cdot(\frac{1}{\sin^{2}x})-9-4\sin x=0$$
Пусть $$\sin x=y$$
$$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{y^{2}}-9-4y=0&\\y\neq0&\\y\in[-1;1]&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{y^{2}}=4y+9&\\y\neq0&\\-1\leq y\leq1&\end{matrix}\right.$$
Пусть $$f(y)=\frac{a}{y^{2}}$$; $$g(y)=4y+9$$
При $$f(1)\leq g(1)$$ получим наличие корней. При этом $$a$$ должно быть меньше $$0$$, иначе ветви $$f(y)$$ вниз и $$f(y)<0$$ при всех $$y$$. Т.к. $$f(y)$$ симметричен от оси ординат, то $$f(1)\leq g(1)$$ достаточно $$\frac{a}{1}\leq4\cdot1+9$$ $$\Rightarrow$$ $$a\leq13$$ $$\Rightarrow$$ $$a\in(0;13]$$. С учетом (1) получим $$a\in[0;13]$$