Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C6) Задача с параметром

Уравнения с параметром

 

Задание 2503

Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень: $$\left|x-2\right|+\left|x\right|-ax=2(a-1)$$

Ответ: $$(-\infty ;-2)\cup$$ {1}$$\cup [2;\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3163

Найдите все а, при каждом из которых уравнение $$3*2^{x+1}+\frac{3}{2^{x-1}}+a(18-x^{2})=6(a^{2}+2)$$ имеет ровно одно решение 

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3381

Найдите все значения параметра a, при которых существует решение уравнения: $$|x|+|ax+2a-8|=4$$

Ответ: $$\alpha \in (-\infty ;-4]\cup [\frac{4}{3};\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3666

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение $$\lg(1-x)+\lg(a^{2}-x^{2})=\lg(x-a)^{2}$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$(-\infty ; 0)\cup (0;1]\cup $$ {2}
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4867

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$a(2\log_{2} (|x|+2) - a -3)\sqrt{\log_{2} (|x|+2) -a +2}=0$$ имеет ровно два различных корня

Ответ: $$a\in (-1;3) \cup [7;+\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)$$a\neq 0$$ - иначе получаем 0 = 0, и, следовательно, множество корней

2)Пусть $$\log_{2} (|x|+2) = $$ y при этом будет строго больше 1, так как $$|x|+2 \geq 2 \Rightarrow \log_{2} (|x|+2)\geq 1$$ при всех х, и если y равен единице, то x = 0 и мы получаем всего один корень. Так же получаем ОДЗ с учетом корня четной степени: $$y \geq a-2$$

$$a(2y-a-3)\sqrt{y-a+2}=0\Leftrightarrow $$$$y_{1}=\frac{a+3}{2} ; y_{2} =a-2$$

Если мы имеем какой-либо корень y=m, то, из-за модуля, при обратной замене мы получим два корня по х. Следовательно, чтобы выполнялось условия существования именно двух корней по x, один корень по y не должен входить в ОДЗ. Отсюда 2 случая:

а) $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2}\leq a-2\\ a-2> 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}a\geq 7\\ a> 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ a\geq 7$$

б)$$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2}> a-2\\ \frac{a+3}{2}> 1\\ a-2< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}a< 7\\a> -1 \\ a< 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$a\in (-1;3)$$

В результате получим: $$a\in (-1;3) \cup [7;+\infty )$$

 

Задание 4918

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$x^{2}-4x-12=2|x-a+2|-16$$ имеет ровно три различных решения.  

Ответ: 3,5; 4; 4,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Перенесем -16 влево: $$x^{2}-4x-12+16=2|x-(a-2)|\Leftrightarrow $$ $$(x-2)^{2}=2|x-(a-2)|$$ Рассмотрим графики функций: $$f(x)=(x-2)^{2}$$ и $$g(x)=2|x-(a-2)|$$. В первом случае представлена парабола с вершиной в точке (2;0), во втором случае график модуля (галочка) с вершиной в точке (a-2 ; 0). Данные фукциии имеют в зависимости от параметра а от двух до четырех пересечений. Нам необходимо три. Рассмотрим все возможные случаи:

 

Задание 5014

Найдите все $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\log{\frac{1,2x}{\pi}}(2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1)=0$$ имеет не более трёх корней,  входящих в отрезок $$[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: $$(-\infty;-\frac{1}{2}]\cup\frac{1}{4}$$$$\cup(\frac{1}{2};\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1>0\\\frac{1,2x}{\pi}>0\\x\in[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]\\2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1=1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1=0(1)\\x\in(0;\frac{5\pi}{2})\cup{\frac{5\pi}{6}}\end{matrix}\right.$$

1) $$2\sin^{2}x-\sin x(4a+1)+2a=0$$

$$D=16a^{2}+8a+1-16a=(4a-1)^{2}$$; $$\sin x=\frac{4a+1\pm|4a-1|}{2}=2a;\frac{1}{2}$$; $$\sin x=\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,n\in Z$$; $$\sin x=2a$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^{n}\arcsin2a+\pi n,n\in Z$$

$$\sin x=\frac{1}{2}$$ дает с учетоа ОДЗ 2 корня: $$(\frac{\pi}{6};\frac{13\pi}{6})$$, значит $$\sin x=2a$$ не более одного отличного решения $$\Rightarrow$$ $$2a\in(-\infty;-1]\cup{\frac{1}{2}}\cup(1;+\infty)$$ $$\Rightarrow$$ $$a\in(-\infty;-\frac{1}{2}]\cup{\frac{1}{4}}\cup(\frac{1}{2};+\infty)$$

 

Задание 5145

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$|a^{2}+3-x|+|x-a-2|+|x-3a-1|=a^{2}-a+1$$ имеет хотя бы один корень.  

Ответ: $$[0,5; 1]\cup [2;+\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Используем «неравенство треугольника» :$$\left | x+y \right |\leq \left | x \right |+\left | y \right |$$, где равенство достигается , если x  и y или оба неотрицательны , или оба неположительны.

     Поскольку $$a^{2}-a*1>0$$, будем иметь: $$a^{2}-a*1=\left | a^{2}-a+1 \right |=$$$$\left | (a^{2}+3-x)+(x-a-2) \right |\leq$$ $$\left | a^{2}+3-x \right |+\left | x-a-2 \right |\leq$$ $$\left | a^{2}+3-x \right |+\left | x-a-2 \right |+\left | x-3a-1 \right |=$$$$a^{2}-a+1(1)$$

     Следовательно , в цепочке (1) все неравенства обращаются в равенства. Это возможно лишь в том случае , когда $$a^{2}+3-x$$ и $$x-a-2$$ неотрицательны ( так как их сумма положительна) , а $$x-3a-1=0$$. Получим систему условий: $$\left\{\begin{matrix}x-3a-1=0\\a^{2}+3-x\geq 0\\x-a-2\geq 0\end{matrix}\right.(2)$$

     Подставим значение  $$x=3a+1$$ из первого неравенства системы (2) во второе и третье:

$$\left\{\begin{matrix}a^{2}-3a+2\geq 0\\2a-1\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in (-\infty; 1]\cup [2;+\infty )\\a\geq 0,5\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$a\in [0,5; 1]\cup [2;+\infty )$$

 

Задание 5198

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$(x^{2}-5+\ln(x+a))^{2}=(x^{2}-5)^{2}+\ln^{2}(x+a)$$ имеет единственное решение на отрезке $$[0;3]$$

Ответ: $$(-\sqrt{5};-2)\cup (1-\sqrt{5})\cup (1; +\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(x^{2}-5+\ln(x+a))^{2}=(x^{2}-5)^{2}+\ln^{2}(x+a)$$

ОДЗ: $$x+a>0 \Leftrightarrow x>-a$$

$$(x^{2}-5)^{2}+2(x^{2}-5)\ln^{2}(x+a)=(x^{2}-5)^{2}+\ln^{2}(x-a)$$

$$(x^{2}-5)\ln(x-a)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-5=0 \\\ln(x+a)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pm \sqrt{5} \\x_{2}=1-a \end{matrix}\right.$$

$$\sqrt{5}\in [0; 3]$$, тогда есть три возможных варианта ($$x_{2}\in$$ ОДЗ при всех a)

1) $$x_{1}\notin$$ ОДЗ и $$x_{2}\in [0 ;3]$$

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{5}\leq -a \\0\leq1-a\leq 3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\leq -\sqrt{5} \\-2\leq \leq 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

2) $$x_{1}\in$$ ОДЗ и $$x_{2}\notin [0 ;3]$$

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{5}>- a \\\left\{\begin{matrix}1-a>3 \\1-a<0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}a>-\sqrt{5} \\\left\{\begin{matrix}a<-2 \\a>1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$a\in (-\sqrt{5};-2)\cup (1; +\infty )$$

3) $$x_{1}=x_{2}$$

$$1-a=\sqrt{5}\Leftrightarrow 1-\sqrt{5}$$

Объединим полученные результаты: $$a\in (-\sqrt{5};-2)\cup (1-\sqrt{5})\cup (1; +\infty)$$

 

Задание 5293

Найдите все а, при каждом из которых уравнение $$4^{1-x^{2}}-3a^{2}\cdot2^{1-x^{2}}+3a^{3}-a^{2}=0$$ имеет ровно два корня

Ответ: $$(-\frac{2}{3}; 0)\cup (0 ;\frac{1}{3}]\cup {\frac{2}{3}}\cup (1;2)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

В исходном уравнении $$4^{1-x^{2}}-3a^{2}*2^{1-x^{2}}+3a^{2}-a^{2}=0$$ выполним замену переменной $$t=2^{1-x^{2}}$$. Получим уравнение  $$t^{2}-3a^{2}t+3a^{3}-a^{2}=0$$. В этом уравнении $$t>0$$

Поскольку $$1-x^{2}\leq 1$$ имеем : $$2^{1-x^{2}}\leq 2\Leftrightarrow t\leq 2$$. Если $$x_{0}\neq 0$$ является корнем исходного уравнения, то и $$-x_{0}$$-также является его корнем. Следовательно, преобразовательное уравнение должно иметь ровно один корень в промежутке (0;2]. Более того, если 2- корень преобразованного уравнения , то исходное уравнение имеет нечётное количество корней , т.к. равенство $$2^{1-x^{2}}=2$$ выполняется только при $$x=0$$

1)Преобразованное уравнение имеет единственный корень при $$D=0$$, т.е. $$D=9a^{4}-12a^{3}+4a^{2}=a^{2}(3a-2)^{2}=0$$

При $$a=0$$ получаем $$t=0\notin (0;2)$$ . При $$a=\frac{2}{3}$$ получаем $$(t-\frac{2}{3})^{2}=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}$$-решение задачи

$$a =\frac{2}{3}$$

2) Обозначим $$f(t)=t^{2}-3a^{2}+3a^{3}-a^{2}$$ и рассмотрим теперь промежуток (0;2) для значений корня преобразованного уравнения. Обозначим $$f(t)=t^{2}-3a^{2}t+3a^{3}-a^{2}$$

Для того, чтобы единственный корень этого уравнения попадал в указанный промедуток , досаточно, чтобы a\neq 0

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}f(0)>0\\f(2)<0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}f(0)<0\\f(2)>0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}(a-1)(a-2)(a+\frac{2}{3})<0\\a^{2}(a-\frac{1}{3})>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}(a-1)(a-2)(a+\frac{2}{3})>0\\a^{2}(a-\frac{1}{3})<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

Остается рассмотреть случай $$a=\frac{1}{3}$$. В этом случае преобразованное уравнение принимает

 Вид $$t(t-\frac{1}{3})=0$$, откуда $$t=\frac{1}{3}$$-единственный корень в промежутке (0;2) , т.е.

$$a=\frac{1}{3}$$-решение задачи

 

Задание 5389

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

$$(|2x+1-a|+|2x+1+a|-2a)(|x^{2}-2x+a|+|x^{2}-2x-a|-2a)=0$$

имеет ровно четыре целых решения

Ответ: $$a \in [1 ; 3)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим каждую скобку по отдельности. Так как произведение равно нулю, когда один из множителей равно нулю, то итоговым решением будет совокупность решений каждой скобки:

Пусть : $$|2x+1-a|+|2x+1+a|-2a=0 (A)$$ или $$|x^{2}-2x+a|+|x^{2}-2x-a|-2a=0 (B)$$

A) Раскроем модули. Модули равны 0, если $$2x+1=\pm a$$. Отметим данные значения на координатной прямой, рассмотрим, какие знаки принимают подмодульные выражения:

1)Если $$2x+1 < -a \Leftrightarrow$$$$a < -2x -1$$. Тогда : $$-2x-1+a-2x-1-a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=-2x-1$$. Но данное уравнение не имеет решения в силу строгости условия раскрытия модуля
2)Если $$-a \leq 2x+1 \leq a \Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}a \geq -2x-1\\a\geq 2x+1 \end{matrix}\right.$$. Тогда $$-2x-1+a+2x+1+a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$0=0$$. Получили верное числовое равенство, следовательно решением будет любая точка, удовлетворяющая условию раскрытия модуля. Найдем область этих точек. Для этого строится график каждой функции поочередно, он разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Берется любая точка из любой полуплоскости и проверяется на выполнение неравенства, если оно выполняется, то полуплоскость является решением, если нет - то решением является другая полуплоскость. Рассмотрим на примере $$a \geq -2x-1$$. Начертим график функции $$a =-2x-1$$. Возьмем точку, не принадлежащую графики, например (0;0) и проверим выполнение неравенства:$$0 \geq -2*0 - 1 \Leftrightarrow$$$$0\geq -1$$ - неравенство верное, следовательно, полуплоскость, где лежит эта точка является решением ( на рисунке бежевым ). Для второго неравенства решение черным. Решением же системы является пересечение областей (темно-бежевый)
3)Если $$a > 2x+1$$. Тогда: $$2x+1-a+2x+1+a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=2x+1$$. Данное уравнение не имеет решений в силу строгости условия раскрытия модуля.
 
Б)Раскроем модули. Модули равны 0, если $$x^{2}-2x=\pm a$$. Отметим данные значения на координатной прямой, рассмотрим, какие знаки принимают подмодульные выражения:
 
1)Если $$x^{2}-2x < -a \Leftrightarrow$$$$a < x^{2}-2x$$. Тогда : $$-x^{2}+2x-a-x^{2}+2x+a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=-x^{2}+2x$$. Но данное уравнение не имеет решения в силу строгости условия раскрытия модуля
2)Если $$-a \leq x^{2}-2x \leq a \Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}a \geq -x^{2}+2x\\ a\geq x^{2}-2x \end{matrix}\right.$$. Тогда $$x^{2}-2x+a-x^{2}+2x+a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$0=0$$. Получили верное числовое равенство, следовательно решением будет любая точка, удовлетворяющая условию раскрытия модуля. Найдем область этих точек. Для первого неравенства область чертного цвета, для второго - бежевого, для системы же - темно-бежевый
3)Если $$a > x^{2}-2x$$. Тогда: $$x^{2}-2x+a+x^{2}-2x-a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=x^{2}-2x$$. Данное уравнение не имеет решений в силу строгости условия раскрытия модуля.

Итоговой областью решения будет множество точек объединения получившихся промежутков (фиолетовая область):

Наим необходимо, чтобы было ровно 4 целых значения х. Построим прямую $$a=0,5$$ Как видим, целых абсцисс, попавших в пересечение прямой и области решения всего 2 ( 0 и 2). Построим прямую $$a=1$$. Как видим, целых абсцисс получаем 4 (-1 ; 0 ; 1 ; 2). Построим прямую $$a=3$$, там уже будет 6 целых абсцисс (-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3). Следовательно, решением будет $$a \in [1 ; 3)$$

 

Задание 6045

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$x^{4}-2x^{3}-(2a+3)x^{2}+2ax+3a+a^{2}=0$$ имеет решения, и определите то решение, которое получается только при единственном значении параметра a .

Ответ: $$a\geq 0$$; $$x=-1,5$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Преобразуем данное уравнение относительно переменной а (х будет параметром): $$x^{4}-2x^{3}-(2a+3)x^{2}+2ax+3a+a^{2}=0\Leftrightarrow$$$$x^{4}-2x^{3}-2ax^{2}+3x^{2}+2ax+3a+a^{2}=0\Leftrightarrow$$$$a^{2}+a(3+2x-2x^{2})+x^{4}-2x^{3}-3x^{2}$$

Найдем корни данного уравнения:

$$D=(3+2x-2x^{2})^{2}-4(x^{4}-2x^{3}-3x^{2})=4x^{2}+12x+9=(2x+3)^{2}$$

$$a_{1}=\frac{2x^{2}-2x-3+|2x+3|}{2}$$

$$a_{2}=\frac{2x^{2}-2x-3-|2x+3|}{2}$$

Рассмотрим график функции $$a_{1}(x)$$, раскроем модуль:

$$\left\{\begin{matrix}x\geq -1,5\Rightarrow a=x^{2}\\x< -1,5\Rightarrow a=x^{2}-2x-3\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим график функции $$a_{2}(x)$$, раскроем модуль:

$$\left\{\begin{matrix}x\geq -1,5\Rightarrow a=x^{2}-2x-3\\x< -1,5\Rightarrow a=x^{2}\end{matrix}\right.$$

Построим графики функций $$a_{1}(x);a_{1}(x)$$:

Как видим, значения $$a$$ начинаются с -4 (вершина параболы $$a_{2}(x)$$). С учетом свойств квадратичной функции, получаем, что $$a \geq -4$$. При этом значение х, пределяемое единственным значением а равно -1,5 (абсцисса точки пересечение графиков обеих квадратичных фукнций)

 

Задание 6092

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$a^{2}+8|x-5|+2\sqrt{x^{2}-10x+29}=2a+|x-2a-5|$$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$a ^{2}+8\left | x-5 \right |+2\sqrt{x^{2}-10x+29}=2a +\left | x-2a -5 \right |$$

Пусть x-5=y

$$a ^{2}+8\left | y \right |+2\sqrt{y^{2}+4}=2a +\left | y-2a \right |$$

$$2\sqrt{y^{2}+4}= 2a -a ^{2}-8\left | y \right |+\left | y-2a \right |$$

Рассмотрим обе части уравнения как отдельные функции g(y) и f(y):

$$g(y)=2\sqrt{y^{2}+4}$$ - график данной функции - ветви параболы

При этом минимальное значение будет: $$g_{min}=g(0)=2\sqrt{0+4}=4$$

Рассмотрим функцию f(y): так как там есть модуль и параметр, то будет несколько вариантов раскрытия:

$$f(g)=2a -a ^{2}-8\left | y \right |+\left | y-2a \right |$$ - кусочно-линейная функция

а)Пусть $$2a \geq 0$$, тогда

1)$$y\leq 0$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$ - синий цвет

2)$$y\in (0 ; 2a )$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y-y+2a =-9y+4a -a ^{2}$$ - зеленый цвет

3) $$y> 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$ - красный цвет

Схематичное изображение графика:

Как видим максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)=2a =a ^{2}+\left | -2a \right |$$

б)Пусть $$2a < 0$$

1)$$y\leq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$

2)$$y\in (2a; 0)$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y+y-2a =9y-a ^{2}$$

3)$$y\geq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$

Схематичное изображение графика:

И тут максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)$$. То есть, независимо от значения $$a$$ максимальное значение при $$y=0$$.

Тогда , чтобы были решения $$g_{min}\leq f_{max}$$ (графическая интерпритация):

Тогда:

$$4\leq 2a -a ^{2}+\left | -2a \right |\Leftrightarrow$$$$a ^{2}-2a -\left |- 2a \right | +4\leq 0$$

Расскроем модуль:

1)$$-2a \geq 0\Rightarrow a \leq 0$$. Тогда $$a ^{2}-2a +2a +4\leq 0\Rightarrow a ^{2}+4\leq 0\Rightarrow$$ решений нет

2) $$-2a < 0\Rightarrow a > 0$$. Тогда $$a ^{2}-2a -2a +4\leq 0\Rightarrow (a -2)^{2}\leq 0\Rightarrow a =2$$

 

Задание 6282

При каких значениях параметра a уравнение $$\log_{5} x +4(1-a^{2})\log_{25x} 5 -2=0$$ имеет два корня, расстояние между которыми больше 24/5?

Ответ: $$(-\infty ;-1)\cup (-1; -\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2}; 1)\cup (1 ;+\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$D(f):\left\{\begin{matrix} x>0 \\ 25x\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix} x>0 \\ x\neq \frac{1}{25} \end{matrix}\right.$$

1) Пусть $$a=\pm 1$$,тогда $$\log_{5}x=2\Leftrightarrow x=25$$ - один корень, что не устраивает условие задания

2) Пусть $$a\neq \pm 1$$, тогда: $$\log_{5}x+\frac{4(1-a^{2})}{\log_{5}25x}-2=0\Leftrightarrow$$$$\log_{5}x+\frac{4(1-a^{2})}{\log_{5}x+2}-2=0\Leftrightarrow$$$$\log_{5}^{2}x+2\log_{5}x-2\log_{5}x-4+4-4a^{2}=0\Leftrightarrow$$$$\log_{5}^{2}x=4a^{2}\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix} \log_{5}x=2a\\ \log_{5}x=-2a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix} x_{1}=5^{2a}\\ x_{2}=5^{-2a}\end{matrix}\right.$$

Так как по условию задания $$\left | x_{1}-x_{2} \right |>\frac{24}{5}$$ тогда: $$\left | 5^{2a}-5^{-2a} \right |\Leftrightarrow$$. Пусть $$5^{2a}=y>0$$, тогда:

$$\left | y-\frac{1}{y} \right |>\frac{24}{5}\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} y-\frac{1}{y}>\frac{24}{5}\\ y-\frac{1}{y}<\frac{-24}{5}\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \frac{5y^{2}-24y-5}{y}>0 \\ \frac{5y^{2}+24y-5}{y}<0 \end{matrix}\right.$$

т.к. y>0, то $$\left[\begin{matrix} 5y^{2}-24y-5>0 \\ 5y^{2}+24y-5<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} (y-5)(y+\frac{1}{5})>0 \\ (y+5)(y-\frac{1}{5})<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} y-5>0 \\ y-\frac{1}{5}<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} y>5 \\ y<\frac{1}{5} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} 5^{2a}>5 \\ 5^{2a}<\frac{1}{5} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} a>\frac{1}{2} \\ a<-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$

С учётом , что $$a\neq \pm 1$$, получаем: $$a\in (-\infty ;-1)\cup (-1; -\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2}; 1)\cup (1 ;+\infty )$$

 

Задание 6424

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$a^{2}|a+\frac{x}{a^{2}}|+|x+1|=1-a^{3}$$ имеет не менее четырех различных решений, являющихся целыми числами?

Ответ: $$(-\infty; \sqrt[3]{-2}]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Так как слева сумма модулей, то справа должно быть число неотрицательное :$$1-a^{3}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$a^{3}\leq 1\Leftrightarrow$$ $$a\leq 1$$

     Преобразуем уравнение :$$\left | x+1 \right |=-a^{2}\left | a+\frac{x}{a^{2}} \right |+(1-a^{3})$$

$$\left | a \right |^{2}=a^{2} \left | f \right |*\left | g \right |=\left | fg \right |$$

$$\left | x+1 \right |=-\left | a^{3}+x \right |+(1-a^{3})$$

$$f=\left | x+1 \right |$$ - график модуля смещённый на 1 по Ox влево.

$$f=-\left | a^{3}+x \right |+(1-a^{3})$$ - график $$\left | x \right |$$ смещённый на $$a^{3}$$ по Ox влево или право и $$1-a^{3}$$ по Oy вверх или низ и перевернуты (с учетом $$a\leq 1$$, то по Oy вверх и $$a^{3}$$ вправо от $$x=-1$$)

     Начертим график функции:

Есть 2 случая удовлетворения условию задачи :

(1): $$\left\{\begin{matrix}-a^{3}\leq -4\\1-a^{3}\geq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{3}\geq 4\\a^{3}\leq -2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

(2):$$\left\{\begin{matrix}-a^{3}\geq 2\\1-a^{3}\geq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a^{3}\leq -2\\a^{3}\leq -2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a\leq \sqrt[3]{-2}]$$

 

Задание 6526

Найдите все значения параметра a при которых уравнение $$\sqrt[3]{\frac{1}{2}x^{3}+x+1}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}x^{3}+x-1}=\sqrt[3]{ax}$$ имеет ровно четыре корня

Ответ: $$\frac{(\sqrt[3]{5}-1)^{3}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Вынесем $$\sqrt[3]{x}:$$ $$\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2}}+\sqrt[3]{1-\frac{1}{x}-\frac{x^{2}}{2}})=\sqrt[3]{x}*\sqrt[3]{a}$$

     Следовательно, $$\sqrt[3]{x}=0\Leftrightarrow x=0$$ является корнем, значит надо еще три отличных от 0 корня.

     Введем замену : $$\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}=t$$. Тогда: $$\sqrt[3]{1+t}+\sqrt[3]{1-t}=\sqrt[3]{a}$$

     Рассмотрим замену: пусть $$f(x)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}$$ и g(x)=t. g(x)=t – прямая, параллельная Ox. При этом f(x)-совмещенный график параболы и обратной пропорциональности. Исследуем график:

$$f(x)=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}+2}{2x}=0\Leftrightarrow$$ $$x=-\sqrt[3]{2}$$

$$f'(x)=0\Leftrightarrow$$ $$x-\frac{1}{x^{2}}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{3}-1}{x^{2}}=0$$

$$x=1$$  –точка минимума. При x=1: $$f(1)=\frac{1}{2}+1=1,5$$.

$$lim_{x\rightarrow -\infty} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=+\infty$$; $$lim_{x\rightarrow +\infty} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=+\infty$$

$$lim_{x\rightarrow -0} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=-\infty$$; $$lim_{x\rightarrow +0} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=+\infty$$.

     При x=1: $$f(1)=\frac{1}{2}+1=1,5$$. Построим эскиз :

     Видим что при t<1,5-одно решение, при t=1,5-два решения , при t>1,5 – три решения.

     Рассмотрим уравнение: $$\sqrt[3]{t+1}+\sqrt[3]{1-t}=\sqrt[3]{a}$$. Пусть $$f(t)=\sqrt[3]{1+t}+\sqrt[3]{1-t}; g(t)=\sqrt[3]{a}$$

     Построим график :

     Каждое пересечение при t<1,5 , дает одно решение, при t>1,5 даёт три решения и т.е. есть всегда 1(при t<0) , то нас не устраивает .

     При t=1,5 будет 2 решения, да еще одно ( область t<0)-следовательно, в общем получим 3, что и нужно .

     Найдем a : $$\sqrt[3]{1+\frac{3}{2}}+\sqrt[3]{1-\frac{3}{2}}=\sqrt[3]{a}$$

$$\sqrt[3]{\frac{5}{2}}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{a}\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt[3]{5}-1}{\sqrt[3]{2}} =\sqrt[3]{a}\Leftrightarrow$$ $$a=\frac{(\sqrt[3]{5}-1)^{3}}{2}$$

 

Задание 6620

Найдите все значения параметра p, при которых уравнение $$3-2 \cos x=p(1+tg^{2}x)$$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: $$(0;5]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     $$3-2 \cos x=p(1+tg^{2}x)\Leftrightarrow$$ $$3-2\cos x=p*\frac{1}{\cos ^{2}x}$$

ОДЗ: $$\cos x\neq 0$$

     $$\frac{p}{\cos ^{2}x}+2 \cos x-3=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos ^{3}x-3 \cos ^{2}x+p=0$$

Замена: $$\cos x=t \in [-1;0)\cup (0;1]$$

$$2 t^{3}-3t^{2}+p=0$$

1 способ:

     Пусть $$f(t)=2t^{3}-3t^{2}+p$$

$${f}'(t)=6t^{2}-6t=0\Leftrightarrow$$ $$6t(t-1)=0\Rightarrow$$ $$t=0-max, t=1-min$$

     С учетом , что $$t \in [-1;0)\cup (0;1](1)$$ имеем следующие возможные расположения графика, при котором будет хотя бы одно решение из (1):

     1) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\geq 0\\f(0)>0\\f(1)\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2(-1)^{3}-3(-1)^{2}+p\geq 0\\p>0\\2(1)^{3}-3*1^{2}+p\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\geq 5\\p>0\\p\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

     2) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\leq 0\\f(0)>0\\f(1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\leq 5\\p>0\\p\geq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$p \in [1;5]$$

     3) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\leq 0\\f(0)>0\\f(1)\leq 1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\leq 5\\p>0\\p\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$p \in (0; 1]$$

     Итог: $$p \in (0;5]$$

2 способ:

     Рассмотрим график функции $$p=3t^{2}-2t^{3}$$. 

     Найдем экстремумы: $${f}'(t)=6t-6t^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$6t(1-t)=0\Rightarrow$$ $$t=0-min, t=1-max$$

     Тогда $$p(0)=0; p(1)=1$$. При этом $$p(-1)=5$$. С учетом, что на промежутке от [-1;0) - убывает, а на (0;1] - возрастает, то $$p \in (0;5]$$

 

Задание 6668

Найдите все значения x , удовлетворяющие уравнению $$\log_{2}(a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x})=\log_{2+a^{2}}(3-\sqrt{x-1})$$ при любом значении параметра a .

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x} >0\\3-\sqrt{x-1}>0\\2+a^{2}>0\\x-1\geq 0\\6-x\geq 0\end{matrix}\right.$$

     Данная система будет иметь решения при следующих условиях: $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x}=1\\3-\sqrt{x-1}=1\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x}= 3-\sqrt{x-1}\\2=2+a^{2}\end{matrix}\right.(2)\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1): $$3-\sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow$$ $$2=\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x=5$$. Тогда : $$a^{2}5^{3}-5a^{2}*5^{2}+\sqrt{6-5}=1\Leftrightarrow$$ $$1=1$$ - верное при $$\forall a\Rightarrow x=5$$ - решение (в ОДЗ попадает)

     Рассмотрим (2): $$2=2+a^{2}\Leftrightarrow$$ $$a^{2}=0\Leftrightarrow a=0$$, тогда нет смысла рассматривать , т.е. выполнение не при $$\forall a$$

 

Задание 6829

Найдите все значения параметра a , при которых уравнение $$4a^{2}x^{4}+(2a-8)x^{2}+a+|a|=0$$ имеет ровно три корня на промежутке (-1;1]

Ответ: $$(-\infty ; \frac{-1-\sqrt{33}}{4})\cup {1}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

       Если один из корней лежит на промежутке (0;1], то всегда будет ему симметричный относительно О на [-1;0)(например , $$\frac{1}{2}$$ и $$-\frac{1}{2}$$) т.к дано биквадратное уравнение . Чтобы было три корня существует 2 случая :

       1) $$x_{1}=x_{2}=0$$;$$x_{3,4}=\pm b_{m}$$; $$b_{m} \in (0;1)$$

       Если $$x_{1}=x_{2}=0$$, то $$a+\left | a \right |=0$$$$\Rightarrow$$ $$a<0$$. Получим : $$4a^{2}x^{4}+(2a-8)x^{2}+a-a=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}(4a^{2} x^{2}+(2a-8))=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x^{2}=\frac{8-2a}{4a^{2}}\\x^{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm \sqrt{\frac{8-2a}{4a^{2}}}\\x=0\end{matrix}\right.$$

       Учитывая, что $$\sqrt{\frac{8-2a}{4a^{2}}}<1$$ (если будет равен 1 , то ему симметричный =-1, не попадет в (-1; 1]):

       $$\left\{\begin{matrix}\frac{8-2a}{4a^{2}}<1\\\frac{8-2a}{4a^{2}}>0\\a<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4a^{2}+2a-8>0\\8-2a>0\\a<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x<\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\\x>\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\end{matrix}\right.\\a<4\\a<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x<\frac{-1-\sqrt{33}}{4}$$

       2) Если один из корней равен 1, а симметричный $$\in (-1,1]$$(тогда $$-1 \in (-1;1]$$ и получим 3 корня):

       $$4a^{2}*1^{4}+(2a-8)*1^{2}+a+\left | a \right |=0\Leftrightarrow$$$$4a^{2}+2a-8+a+\left | a \right |=0$$

       Учитываем, что a>0 (смотреть п.1): $$4a^{2}+4a-8=0\Leftrightarrow$$ $$a^{2}+a-2=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}a=1\\a=-2(a<0)\end{matrix}\right.$$

       Сделаем проверку: при a=1: $$4x^{4}-6x^{2}+2=0$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x^{4}-3x^{2}+1=0$$

       $$D=9-8=1$$ 

       $$x_{1,2}^{2}=\frac{3\pm 1}{4}=1, \frac{1}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$x=\pm 1$$ и $$x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ - три корня на (-1;1]

       Отдельно рассмотрим a=0

       $$4*0*x^{4}+(2*0-8)x^{2}+0+\left | 0 \right |=0\Leftrightarrow$$$$-8x^{2}=0\Rightarrow$$ $$x=0$$ - один корень

 

Задание 6880

При каких значениях параметра a уравнение $$(a-1)4^{x}+(2a-3)6^{x}=(3a-4)9^{x}$$ имеет единственное решение?

Ответ: $$(-\infty ;1]\cup {\frac{5}{4}}\cup [\frac{4}{5}; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

      $$(a-1)*4^{x}+(2a-3)*6^{x}=(3a-4)*9^{x}|:3^{2x}\Leftrightarrow$$$$(a-1)(\frac{2}{3})^{2x}+(2a-3)(\frac{2}{3})^{x}-(3a-4)=0$$

Пусть: $$(\frac{2}{3})^{x}=y>0$$

      $$(a-1) *y^{2}+(2a-3)y-(3a-4)=0$$

      $$D=(2a-3)^{2}+4(a-1)(3a-4)=16a^{2}-40a+25=(4a-5)^{2}$$

$$y_{1}=\frac{3-2a+\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}$$

$$y_{2}=\frac{3-2a-\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}$$

      Существуют следующие варианты единственного решения :

1) $$y_{1}=y_{2}\Rightarrow$$ $$4a-5=0\Rightarrow$$ $$a=\frac{5}{4}$$. Выполним проверку: $$(\frac{2}{3})^{x}=\frac{3-2,5}{2(1,25-1)}=1\Rightarrow$$ $$x=0$$ - один корень

2) Один из корней меньше или равен 0 , второй больше 0. Сравним корни: $$\frac{3-2a+\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}>\frac{3-2a-\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{2\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}>0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\left | 4a-5 \right |}{a-1}>0$$$$\Rightarrow$$

При $$a>1: y_{1}>y_{2}$$;

При $$a<1 : y_{2}>y_{1}$$,

Тогда решение будет при условии: $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>1\\y_{2}\leq 0& &\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}a<1\\y_{1}\leq 0\end{matrix}\right. (2)\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим системы отдельно:

(1):    $$\left\{\begin{matrix}a>1\\\frac{3-2a-\left | 4a-5 \right |}{a-1}\leq 0 & &\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a>1\\\left | 4a-5 \right |\geq 3-2a\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a>1\\\left[\begin{matrix}4a-5\geq 3-2a\\4a-5\leq 2a-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a>1\\\left[\begin{matrix}a\geq \frac{4}{3}\\a\leq 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$a \in [\frac{4}{3}; +\infty )$$

(2):    $$\left\{\begin{matrix}a<1\\\frac{3-2a+\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)} \leq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a<1\\3-2a+\left | 4a-5 \right |\geq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a<1\\\left | 4a-5 \right |\geq 2a-3\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a<1\\\left[\begin{matrix}4a-5\geq 2a-3\\4a-5\leq 3-2a\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a<1\\\left[\begin{matrix}a\geq 1\\a\leq \frac{4}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$a<1$$

      Проверим случай $$a=1$$: $$-6^{x}=-9^{x}\Rightarrow$$ $$x=0$$ - один корень

      Тогда конечный ответ: $$a \in (-\infty ;1]\cup {\frac{5}{4}}\cup [\frac{4}{5}; +\infty )$$

 

Задание 6928

Найдите все значения параметра a, для которых при любом положительном b уравнение $$a \log_{\frac{1}{x}-2}4=\log_{2}(\frac{1}{x}-2)-b$$ имеет хотя бы одно решение, меньшее $$\frac{1}{3}$$

Ответ: $$[0;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

        Так как $$x<\frac{1}{3}$$, то $$\frac{1}{x}-2>1$$. Пусть $$\frac{1}{x}-2=y$$. Тогда получим : $$a \log_{y}4=\log_{2}y-b$$$$\Leftrightarrow$$ $$2a \log_{y}2+b=\log_{2}y$$

        Пусть $$f(y)=2a \log_{y}2+b$$ и $$g(y)=\log_{2}y$$

        Рассмотрим $$f(y)$$: данный график имеет растяжение по Oy и располагается так же как $$m(y)=\log_{y}2+b$$ при $$a>0$$. При a<0 симметрично отобразится относительно Ox .

        Необходимо решение при y>1. На данном промежутке $$m(y)=\log_{y}2+b$$ убывает, при этом $$\lim _{y\rightarrow \infty }m(y)=b$$ и предел достигается сверху. Следовательно, при a>0 и b>0, $$\lim _{y\rightarrow \infty }f(y)=b\Rightarrow$$ будет пересечение с g(y) , т.к. $$\lim_{y\rightarrow \infty }g(y)=\infty$$

        При $$a<0$$ , $$f(y)$$ на $$y>1$$ возрастает и $$\lim _{y\rightarrow \infty } f(y)=b$$. При этом предел достигается снизу, и так как в задании необходимо решение для любого положительного b, а, например, при b=0,1, пересечений графика f(y) и g(y) не будет. Следовательно, данный промежуток мы не учитываем.

        При a=0 имеем $$\log_{2}y=b\Rightarrow y=2^{b}$$. Т.к. $$b>0$$, то $$y>1$$ $$\Rightarrow$$ $$a \in [0;+\infty)$$

 

Задание 7043

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$\left | \frac{x(3^{x}-1)}{3^{x}+1} -2a\right |=a^{2}+1$$ имеет нечетное число решений.

Ответ: $$\pm 1$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$(x)=\frac{x(3^{x}-1)}{3^{x}+1}$$ и $$g(x)=a^{2}+1$$

     1) $$f(x) \geq 0$$ при любом x. Найдем промежутки возрастания и убывания: $${f}'(x)=\frac{(x{(3^{x}-1)}'(3^{x}+1)-{(3^{x}+1)}'(x(3^{x}-1)))}{(3^{x}+1)^{2}}=0|* (3^{x}+1)^{2}\Leftrightarrow$$$$((3^{x}-1)+x*3^{x}\ln 3)(3^{x}+1)-3 ^{x}\ln 3* x(3^{x}-1)=0\Leftrightarrow$$ $$3 ^{2x}-1+3^{2x}*x\ln 3+x*3^{x}\ln 3-x*3^{2x}\ln 3 +3 ^{x}*x\ln 3=0\Leftrightarrow$$ $$3 ^{2x}-1+2x*3^{2x}\ln 3=0\Leftrightarrow$$ $$3^{2x}+2x*3 ^{x}\ln 3=1\Leftrightarrow$$ $$1-2x\ln3=3^{x}$$

     Пусть $$m(x)=1-2x\ln 3$$ и $$n(x) =3^{x}$$: m(x) - линейная убывающая и n (x)-степенная возрастающая $$\Rightarrow$$ одна точка пересечения x=0

     Для f(x): x=0 - точка минимума $$\Rightarrow$$ $$(-\infty ; 0)$$ – убывает монотонно, $$(0; +\infty )$$ - возрастает . При этом

$$\left | \frac{x(3^{x}-1)}{3^{x}+1}-2a \right |=f_{1}(x)$$ - это график f(x), у которого вся часть графика под Ox отражается симметрично относительно Ox. g(x) –прямая, параллельная Ox ($$a^{2}+1>0$$, при любом a ). Тогда возможен только один вариант нечетного числа корней, когда $$\left | 2a \right |=a^{1}+1\Leftrightarrow$$ $$a^{2}-\left | 2a \right |+1=0\Leftrightarrow$$ $$(\left | a \right |-1)^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$a=\pm 1$$

     2) Возможно решение с использованием инвариантности: доказать четность левой функции (f(-x)=f(x)), тогда нечетное количество решений будет лишь в том случае, когда один из корней равен 1. Подставить вместо х в начальное уравнение 1 и получим сразу уравнение отностильно а

 

Задание 7064

Найти все а, при каждом из которых уравнение $$\lg (2-x)\sqrt{2ax-3a^{2}}=x\cdot \lg x$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$a \in (-2; -1)\cup (-1 ;-\frac{2}{3}]\cup(0 ;\frac{1}{3})\cup [\frac{1}{3}; \frac{2}{3}]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}2-x>0\\2ax+3a^{2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<2(1)\\2ax+3a^{2}\geq 0 (2)\end{matrix}\right.$$

   Решение: $$\lg(2-x)(\sqrt{2ax+3a^{2}}-x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\lg(2-x)=0\\\sqrt{2ax+3a^{2}}=x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2-x=1\\\left\{\begin{matrix}2ax+3a^{2}=x^{2}\\x\geq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1\\\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x_{2}=3a\\x_{3}=-a\end{matrix}\right.\\x\geq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

   Т.к. $$x\geq 0$$, то $$x_{2}$$ и $$x_{3}$$ будут одновременно существовать , если $$x_{2}=x_{3}=0\Rightarrow a=0$$, условие двух корней соблюдается. В противном случае решениями будут $$x_{1}$$ и $$x_{2 }$$ или $$x_{1}$$ и $$x_{3}$$. При этом , чтобы было два корня , должно выполняться ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x_{1}\in (2)\\x_{2} \in (1)\\x_{2}\geq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x_{1}\in (2)\\x_{3}\in (1)\\x_{3}\geq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}2a*1+3a^{2}\geq 0\\0\leq 3a<2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}2a*1+3a^{2}\geq 0\\0\leq -a<2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x \in (-\infty -\frac{2}{3}]\cup [0 +\infty )\\a \in [0 \frac{2}{3})\\\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a \in (-\infty -\frac{2}{3}]\cup [0 +\infty )\\-2<a\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a \in (-2; -\frac{2}{3}]\cup [0; \frac{2}{3})$$

   $$x_{1}$$ и так входит в [0 ;2) , потому проверяется только условие (2) для него , $$x_{2}$$ и $$x_{3}$$ и так получились из (2) , потому проверим (1) для них. При этом учитываем, что $$x_{1}\neq x_{2}$$ и $$x_{1}\neq x_{3}$$, иначе получим 1 корень $$\Rightarrow$$ $$3a\neq 1\Rightarrow$$ $$a\neq \frac{1}{3}$$ и $$-a\neq 1\Rightarrow$$ $$a\neq -1$$. Тогда: $$a \in (-2; -1)\cup (-1 ;-\frac{2}{3}]\cup(0 ;\frac{1}{3})\cup [\frac{1}{3}; \frac{2}{3}]$$

 

Задание 7184

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$(\cos x -1)^{2}=a(\cos x+4\sin^{2} x-8)$$ имеет на промежутке $$(0;\frac{\pi}{2}]$$ единственный корень.

Ответ: $$[-\frac{1}{4};0)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(\cos x-1)^{2}=a(3 \cos x+4 \sin ^{2}x-8)\Leftrightarrow$$ $$(\cos x-1)^{2}=a(3 \cos x+4-4\cos^{2}x-8)\Leftrightarrow$$ $$(\cos x-1)^{2}=a(3\cos x-4 \cos ^{2}x-4)$$

     Рассмотрим правую часть : -$$4 \cos^{2}x-4 \in [-8 ;-4]$$ $$(\cos ^{2}x \in [0 ;1] )\Rightarrow$$ $$3 \cos x-4 \cos ^{2}x-4\leq -1$$ при любом x) , при этом $$(\cos x-1)^{2}\geq 0\Rightarrow$$ чтобы выполнялось решение должно быть $$a<0$$ (при a=0 получим, что $$\cos x-1=0 \Rightarrow$$ $$\cos x=1\Rightarrow$$ $$x=2 \pi n \notin (0 \frac{\pi}{2}]$$)

     При этом, чтобы было решение на $$(0 ;\frac{\pi}{2}]$$, то $$\cos x \in [0; 1)$$

     Сделаем замену $$\cos x=t \in [-1; 1]$$: $$(t-1)^{2}=a(3t-4t^{2}-4)\Leftrightarrow$$ $$\frac{(t-1)^{2}}{a}=-4t^{2}+3t-4$$

     Рассмотрим функции : $$f_{1}(t)=\frac{(t-1)^{2}}{a}$$ и $$f_{2}(t)=4t^{2}+3t-4p$$

  • $$f_{2}(t): t_{0}=-\frac{3}{-8}=\frac{3}{8}\Rightarrow$$ $$f_{2}(t_{0})=-\frac{55}{16}$$ - парабола, ветви вниз, вершина $$(\frac{3}{8};-\frac{55}{16})$$, сужение к оси симметрии
  • $$f_{1}(t)$$: парабола, вершина (1; 0) , ветви в зависимости от a ($$a<0 \Rightarrow$$ вниз )

     При этом необходимо единственное решение на $$x \in (0 ;\frac{\pi}{2}]\Rightarrow$$ $$\cos x \in [0; 1) \Rightarrow$$ $$t \in [0; 1)$$ -единственное решение на данном промежутке.

     Решение такое будет при $$f_{1}(0)\leq -4$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{(01)^{2}}{a}\leq -4\Rightarrow$$ $$\frac{1}{a}\leq -4\Leftrightarrow$$ $$\frac{1+4a}{a}\leq 0\Rightarrow$$ $$a\in [-\frac{1}{4};0)$$

 

Задание 7416

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$a^{2}+5|x|+7\sqrt{2x^{2}+49}=2x+2|x-7a|$$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: $$\pm 7$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$f(x)=7\sqrt{2x^{2}+49}$$ и $$g(x)=2x+x|x-7a|-5|x|-a^{2}$$. Рассмотрим g(x): если $$7a>0$$, то получим следующее раскрытие модулей:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<0\\g(x)=5x+14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq 7a\\g(x)=5x+14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>7a\\g(x)=-x-14a-a^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     Если же $$7a<0$$, то:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<7a\\g(x)=5x+14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}7a\leq x\leq 0\\g(x)=9x-14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>0\\g(x)=-x-14a-a^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     В обоих случаях необходимо, чтобы $$g(0)\geq f(0)$$:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>0\\14a-a^{2}\geq 49\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a<0\\-14a-a^{2}\geq 49\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>0\\a^{2}-14a+49\leq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a<0\\a^{2}+14a+49\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>0\\(a-7)^{2}\leq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a<0\\(a+7)^{2}\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a=\pm 7$$

     При $$a=0$$ получим: $$7\sqrt{2x^{2}+49}=2x+2|x|-5|x|\Leftrightarrow$$$$7\sqrt{2x^{2}+49}=2x-3|x|$$ - решений не имеет, так как левая часть всегда больше нуля, а правая - меньше.

Задание 7426

Найти все значения параметра a , при каждом из которых уравнение $$3\sin x +\cos x=a$$ имеет ровно один корень на отрезке $$[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}]$$

Ответ: $$[\sqrt{2};2\sqrt{2});\sqrt{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7687

Найдите наименьшее значение параметра a , при котором уравнение $$\frac{4}{\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}=a$$ на интервале $$(0;\frac{\pi}{2})$$ имеет хотя бы одно решение

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7735

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение $$\cos^{2} x-a^{2}\cos x+(a^{2}-a+12)(a-12)=0$$ имеет ровно одно решение на промежутке $$(-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}]$$.

Ответ: $$[12;\frac{25}{2}]$$,{13}
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7865

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$a^{2}\ctg^{2}x-9a+a^{2}=4a\sin x$$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: $$a\in[0;13]$$
Скрыть

$$a^{2}\ctg^{2}x-9a+a^{2}=4a\sin x$$

$$a(a\cdot\ctg^{2}x-9+a-4\sin x)=0$$

1) При $$a=0$$ корни есть

2) При $$a\neq0$$: $$a(ctg^{2}x+1)-9-4\sin x=0$$

$$a(\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+1)-9-4\sin x=0$$

$$a\cdot(\frac{1}{\sin^{2}x})-9-4\sin x=0$$

Пусть $$\sin x=y$$

$$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{y^{2}}-9-4y=0&\\y\neq0&\\y\in[-1;1]&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{y^{2}}=4y+9&\\y\neq0&\\-1\leq y\leq1&\end{matrix}\right.$$

Пусть $$f(y)=\frac{a}{y^{2}}$$; $$g(y)=4y+9$$

При $$f(1)\leq g(1)$$ получим наличие корней. При этом $$a$$ должно быть меньше $$0$$, иначе ветви $$f(y)$$ вниз и $$f(y)<0$$ при всех $$y$$. Т.к. $$f(y)$$ симметричен от оси ординат, то $$f(1)\leq g(1)$$ достаточно $$\frac{a}{1}\leq4\cdot1+9$$ $$\Rightarrow$$ $$a\leq13$$ $$\Rightarrow$$ $$a\in(0;13]$$. С учетом (1) получим $$a\in[0;13]$$

 

Задание 7947

Найдите все значения параметра a , при которых уравнение $$ax=x\sqrt{x-2x^{5}+x^{3}}$$ имеет четное число решений.

Ответ: $$(0;\frac{\sqrt[4]{8}}{2})(\frac{\sqrt[4]{8}}{2};\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8223

При каких значениях параметра a уравнение $$6\cdot (\frac{x}{x^{2}+1})^{2}-\frac{(6a+1)x}{x^{2}+1}-12a^{2}+8a-1=0$$ имеет ровно 4 решения?

Ответ: $$a\in(0;\frac{1}{6})\cup(\frac{1}{6};\frac{5}{18})\cup(\frac{5}{18};\frac{5}{12})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$(\frac{x}{x^{2}+1})=y$$. Получим: $$6y^{2}-(6a+1)\cdot y-(12a^{2}-8a+1)=0$$

Данное уравнение должно иметь 2 различных корня, неравных 0 (иначе при обратной замене, не получим 4 корня):

$$D=(6a+1)^{2}+24(12a^{2}-8a+1)>0$$ $$\Rightarrow$$ $$324a^{2}-180a+25>0$$ $$\Rightarrow$$ $$(18a-5)^{2}>0$$ $$\Rightarrow$$ $$a\neq\frac{5}{18}$$

$$\begin{bmatrix}y_{1}=\frac{6a+1+18a-5}{12}&\\y_{2}=\frac{6a+1-18a+5}{12}&\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}y_{1}=\frac{6a-1}{3}&\\y_{2}=\frac{1-2a}{2}&\end{bmatrix}$$ 

При этом $$\frac{6a-1}{3}\neq0$$ $$\Rightarrow$$ $$a\neq\frac{1}{6}$$ и $$\frac{1-2a}{2}\neq0$$ $$\Rightarrow$$ $$a\neq\frac{1}{2}$$

При этом $$\frac{x}{x^{2}+1}=y$$ так же имеет два различных корня: $$yx^{2}=0$$ $$D=1-4y^{2}>0$$ $$\Rightarrow$$ $$y\in(-\frac{1}{2};\frac{1}{2})$$

То есть: $$\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2}<\frac{6a-1}{3}<\frac{1}{2}|\cdot3|+1|\div6&\\-\frac{1}{2}<\frac{1-2a}{2}<\frac{1}{2}|\cdot2|-1|\div(-2)&\\a\neq\frac{5}{18};\frac{1}{6};\frac{1}{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{12}<a<\frac{5}{12}&\\0<a<1&\\a\neq\frac{5}{18};\frac{1}{6};\frac{1}{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$a\in(0;\frac{1}{6})\cup(\frac{1}{6};\frac{5}{18})\cup(\frac{5}{18};\frac{5}{12})$$

 

Задание 8272

При каких значениях параметра уравнение $$x^{4}-8x^{3}-2x^{2}+24x+a=0$$ имеет ровно 3 различных корня?

Ответ: -15; 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8291

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$\log_{3x-4}(a+9x+5)=-1$$& имеет единственный корень на промежутке $$(\frac{4}{3};2]$$

Ответ: $$[-22,5; -19), (-19; \infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8310

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых график уравнения $$\frac{ax^{2}+2+xy-2(a+2)x}{1-y-2x}=2$$ имеет ровно 3 общие точки со сторонами квадрата ABCD, где А(4;3) и С(‐2;5)

Ответ: $$(-\infty; -\frac{5}{2})$$, {$$\frac{3}{4}; 1; 3,5$$}
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8702

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\frac{|3x|-2x-2-a}{x^2-2x-a}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$(-2;-1)\cup (-1;0)\cup$$$$(0;3)\cup (3;8)\cup$$$$(8;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8722

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\frac{|x-6|+a-6}{x^{2}-10x+a^{2}}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$(-\infty;0)\cup (0;3)\cup$$$$(3;4)\cup (4;5)\cup$$$$(5;6)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9050

Найдите все значения параметра при которых уравнение $$(\sin x-a)(tg x-a)=0$$ имеет единственное решение на интервале $$(-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4})$$

Ответ: {-1;0},[1;$$\infty$$)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9096

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\frac{x^{2}+x+a}{x^{2}-2x+a^{2}+6a}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9166

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$4x+7-4\sqrt{4x-x^2}=x^2+a^2+2a$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$[-2\sqrt{2}-1;-3]\cup [1;2\sqrt{2}-1]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9512

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$\sqrt{x^{4}+x^{2}-5a^{2}}=\sqrt{x^{4}-4ax}$$ имеет ровно одно решение.

Ответ: (-2;2)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9785

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$\cos^{2} x-a^{2}\cos x+(a^{2}-a+\frac{1}{2})(a-\frac{1}{2})=0$$ имеет ровно одно решение на промежутке $$(-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}]$$.

Ответ: [0;0,5), {$$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$;1;1,5}
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9952

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{3a+\sqrt{3a+2x-x^2}}=2x-x^2$$ имеет решения.

Ответ: $$[-\frac{1}{12};0]$$
 

Задание 10077

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{(x^2+|x|)(x^2+5|x|+6)+1}=3|x|-3ax-a^2+1$$ имеет корни как большие -3, так и меньшие -3

Ответ: $$(\frac{9-3\sqrt{5}}{2};\frac{9+3\sqrt{5}}{2})$$
 

Задание 10100

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых число корней уравнения $$|x^2-5x+6|=a$$ равно наименьшему значению выражения $$|x-a|+|2x-a|+4|x-1|+1$$

Ответ: $$[1;2]$$
 

Задание 10138

Найдите все значения a , при которых уравнение $$x^{2}+2a=x+|x^2-a|$$ имеет три корня

Ответ: $$(\frac{1}{9};\frac{1}{8})$$
 

Задание 10172

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение $$a+\sqrt{6x-x^2-8}=3+\sqrt{1+2ax-a^2-x^2}$$ имеет единственное решение

Ответ: $$[2;3);(3;4]$$
 

Задание 10395

Найти все значения параметра a, при которых уравнение $$\frac{(x^{2}-4x+a)^{3}}{2}=(a-4x)(3x^{4}+(a-4x)^{2})$$ имеет единственное решение на промежутке $$(-2-\sqrt{2};0]$$

Ответ: $$-4;[-2;0]$$
 

Задание 10501

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$$(1+a^{2})x^{6}+3a^{2}x^{4}+2(1-6a)x^{3}+3a^{2}x^{2}+a^{2}+1=0$$
имеет единственное решение.
Ответ: -1,5;0;0,5;1
 

Задание 10532

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{2-5x}\cdot \ln(36x^{2}-a^{2})=\sqrt{2-5x}\cdot \ln(6x+a)$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$(\frac{-12}{5};-\frac{1}{2}]\cup[\frac{7}{5};\frac{12}{5})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10600

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение

$$a\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\left|1-\frac{\left|x\right|}{2}\right|=1$$

имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$(-\infty;1),(\frac{2}{\sqrt{3}};+\infty)$$
 

Задание 10736

Найти все значения $$a$$ при каждом из которых уравнение $$\left(7x-6\right){\ln \left(x+a\right)\ }=(7x-6){\ln \left(4x-a\right)\ }$$ имеет единственный корень на отрезке $$[0;1]$$.

Ответ: одно решение при $$-\frac{6}{7}<a\le 0;a=\frac{9}{7};\frac{3}{2}<a<\frac{24}{7}$$
Скрыть

ОДЗ $$\left\{ \begin{array}{c} x+a>0 \\ 4x-a>0 \end{array} \to \left\{ \begin{array}{c} a>-x \\ a<4x \end{array} \right.\right.$$

$$\left(7x-6\right)\left({\ln \left(x+a\right)\ }-{\ln \left(4x-a\right)\ }\right)=0$$

$$1: 7x-6=0\to x=\frac{6}{7}$$

$$2: {\ln \left(x+a\right)\ }-{\ln \left(4x-a\right)\ }=0\to x+a=4x-a\to x=\frac{2a}{3}$$

3 случая:

1) корни совпадают $$\frac{6}{7}=\frac{2a}{3};a=\frac{9}{7};$$

2) $$x=\frac{2a}{3}\in [0;1]$$ и с учетом ОДЗ $$\to $$ $$0<a\le 1,5$$

3) $$x=\frac{6}{7}$$ удовлетворяет ОДЗ, если $$-\frac{6}{7}<a<\frac{24}{7}$$

 

Задание 10756

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\left(9x-4\right){\ln \left(x+a\right)\ }=(9x-4){\ln \left(2x-a\right)\ }$$ имеет ровно один корень на отрезке $$\left[0;1\right]$$.
Ответ: $$(-\infty;3)$$
Скрыть

Найдем ограничения на переменную и на параметр $$\left\{ \begin{array}{c}x+a>0 \\ 2x-a>0\end{array}\to \left\{ \begin{array}{c}a>-x \\ a<2x \end{array}\right.\right.\to -x<a<2x$$; 
$$\left(9x-4\right){\ln \left(x+a\right)\ }-\left(9x-4\right){\ln \left(2x-a\right)\ }=0; \left(9x-4\right)\left({\ln \left(x+a\right)\ }-{\ln \left(2x-a\right)\ }\right)=0;$$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Перейдем к совокупности. $$\left[ \begin{array}{c}9x-4=0 \\ {\ln \left(\frac{x+a}{2x-a}\right)=0\ } \end{array}\right.\to \left[ \begin{array}{c}9x-4=0 \\ \frac{x+a}{2x-a}=1 \end{array}\right.$$.

С учетом ограничения, получим $$\left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}9x-4=0 \\ a=\frac{1}{2}x\end{array}\right. \\ -x<a<2x \end{array}\right.\to \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x=\frac{4}{9} \\ a=\frac{1}{2}x \end{array}\right. \\ -x<a<2x \end{array}\right.$$ 

Решим систему координатно-параметрическим методом: 

Для вычисления параметра необходимо знать координаты точек. 

1) В точке $$N\ \left(\frac{4}{9};-\frac{4}{9}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=-x \\ x=\frac{4}{9} \end{array}\right.\to a=-\frac{4}{9}$$ - нет решений.

2) На промежутке от N до B $$\to a\in (-\frac{4}{9};0)$$ - одно решение. 

3) В точке $$B\ \left(1;0\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=0 \\ x=1 \end{array}\right.\to a=0$$ - одно решение.

4) На промежутке от B до A $$\to a\in (0;\frac{2}{9})$$ - два решения.

5) В точке $$A\left(\frac{4}{9};\frac{2}{9}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=\frac{1}{2}x \\ x=\frac{4}{9} \end{array}\right.\to a=\frac{2}{9}$$ - одно решение.

6) На промежутке от A до M $$\to a\in (\frac{2}{9};\frac{1}{2})$$ - два решения. 

7) В точке $$M\left(1;\frac{1}{2}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=\frac{1}{2}x \\ x=1 \end{array}\right.\to a=\frac{1}{2}$$ - два решения. 

8) На промежутке от M до L $$\to a\in (\frac{1}{2};\frac{8}{9})$$ - одно решение. 

9) В точке $$L\ \left(\frac{4}{9};\frac{8}{9}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=2x \\ x=\frac{4}{9} \end{array}\right.\to a=\frac{8}{9}$$ - нет решений.

 

Задание 10902

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\left|\frac{7}{x}-4\right|=ax-3$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$ имеет более двух корней.

Ответ: $$\frac{12}{7}<a<\frac{7}{4}$$
Скрыть

Рассмотрим функции $$f\left(x\right)=ax-3,\ g\left(x\right)=\left|\frac{7}{x}-4\right|$$. Исследуем уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$. 

При $$a\le 0$$ все значения функции $$f(x)$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$ отрицательны, а все значения функции $$g(x)$$ - неотрицательны, поэтому при $$a\le 0$$ уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ не имеет решений на промежутке $$(0;+\infty )$$.

При $$a>0$$ функция $$f(x)$$ возрастает. Функция $$g(x)$$ бывает на промежутке $$(0;\frac{7}{4}]$$, поэтому уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ имеет не более одного решения на промежутке $$(0;\frac{7}{4}]$$, причём решение будет существовать тогда и только тогда, когда $$f(\frac{7}{4})\ge g(\frac{7}{4})$$, откуда получаем $$a\cdot \frac{7}{4}-3\ge 0$$, то есть $$a\ge \frac{12}{7}$$.

На промежутке$$\ (\frac{7}{4};+\infty )$$ уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ принимает вид $$ax-3=4-\frac{7}{x}$$. Это уравнение сводится к уравнению $$ax^2-7x+7=0$$. Будем считать, что $$a>0$$, поскольку случай $$a\le 0$$ был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения $$D=49-28a$$, поэтому при $$a>\frac{7}{4}$$ это уравнение не имеет корней; при $$a=\frac{7}{4}$$ уравнение имеет единственный корень, равный 2; при $$0<a<\frac{7}{4}$$ уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня $$x_1,\ x_2$$, то есть $$0<a<\frac{7}{4}$$, то больший корень $$x_2=\frac{7+\sqrt{D}}{2a}>\frac{7}{2a}>2>\frac{7}{4}$$, поэтому он принадлежит промежутку $$(\frac{7}{4};+\infty )$$. Меньший корень $$x_1$$ принадлежит промежутку $$(\frac{7}{4};+\infty )$$ тогда и только тогда, когда $$a\left(x_1-\frac{7}{4}\right)\left(x_2-\frac{7}{4}\right)=a{\left(\frac{7}{4}\right)}^2-7\cdot \frac{7}{4}+7=\frac{7\left(7a-12\right)}{16}>0$$ то есть $$a>\frac{12}{7}$$.

Таким образом, уравнение $$\left|\frac{7}{x}-4\right|=ax-3$$имеет следующее количество корней на промежутке $$(0;+\infty )$$:

- нет корней при $$a\le 0$$;

- один корень при $$0<a<\frac{12}{7},\ a>\frac{7}{4}$$;

- два корня при $$a=\frac{12}{7},\ a=\frac{7}{4}$$;

- три корня при $$\frac{12}{7}<a<\frac{7}{4}$$;

 

Задание 11024

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$f\left(x\right)=\left|a+2\right|\sqrt[3]{x}$$ имеет четыре решения, где $$f$$ - четная периодическая функция с периодом $$T=\frac{16}{3}$$, определенная на всей числовой прямой, причем $$f\left(x\right)=ax^2,$$ если $$0\le x\le \frac{8}{3}.$$

Ответ: $$-\frac{18}{41}; \frac{18}{23}$$
Скрыть

$$1. a>0;$$ $$ax^2=\left|a+2\right|\sqrt[3]{x}\to \frac{64a}{9}=\left|a+2\right|\sqrt[3]{8}\to a=\frac{18}{23};$$

$$2. a<0;$$ $$\frac{64a}{9}=\left|a+2\right|\sqrt[3]{-8}\to \left|a+2\right|=-\frac{32a}{9}>0\to \left[ \begin{array}{c} a+2=-\frac{32a}{9} \\ a+2=\frac{32a}{9} \end{array} \right.\to \left[ \begin{array}{c} a=-\frac{18}{41} \\ a=\frac{18}{23} \end{array} \right.$$

$$a=\frac{18}{23}$$ - посторонний корень.

 

Задание 11109

Найдите наименьшее натуральное значение $$a$$, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим корнями уравнения $$\left(x-a+4\right)\left(x^2-ax+4a-17\right)=0$$ не меньше 9.
Ответ:
Скрыть

Имеем: $$x_A=\frac{a-\sqrt{a^2-16a+68}}{2};x_B=\frac{a+\sqrt{a^2-16a+68}}{2};x_C=a-4.$$

При всех значениях параметра $$a$$ дискриминант квадратного уравнения положителен.

Покажем, что при всех значениях $$a$$ выполняется неравенство $$x_B\ge x_C:$$ $$\frac{a+\sqrt{a^2-16a+68}}{2}=\frac{a+\sqrt{{\left(a-8\right)}^2+4}}{2}\ge \frac{a+\sqrt{{\left(a-8\right)}^2}}{2}=$$ $$=\frac{a+\left|a-8\right|}{2}\ge \frac{a+\left(a-8\right)}{2}=(a-4)$$ Покажем, что при всех значениях $$a$$ выполняется неравенство $$x_A\le x_C:$$ $$\frac{a-\sqrt{a^2-16a+68}}{2}=\frac{a+\sqrt{{\left(a-8\right)}^2+4}}{2}\le \frac{a-\sqrt{{\left(a-8\right)}^2}}{2}=$$ $$=\frac{a-\left|a-8\right|}{2}\le \frac{a+\left(a-8\right)}{2}=(a-4)$$ Следовательно, при всех значениях параметра $$a$$ выполняется неравенство $$x_A\le x_C\le x_B.$$

По условию, $$x_B-x_A\ge 9\leftrightarrow \sqrt{a^2-16a+68}\ge 9\leftrightarrow a^2-16a+68\ge 81\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow a^2-16a-13\ge 0.$$

Поскольку $$a$$ - натуральное число, $$a\ge 8+\sqrt{77}.$$ Минимальное натуральное значение $$a$$ равно 17. $$\left[ \begin{array}{c} x-a+4=0 \\ x^2-ax+4a-17=0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} a=x+4 \\ a=x+4-\frac{1}{x-4} \end{array} \right.$$

В параметрической плоскости $$Oxa$$ получим две кривые и одну наклонную линии. При $$a=17$$ расстояние между $$x_B,\ x_A$$ превысит число 9.

 

Задание 11380

Найдите все значения а, при каждом из которых среди корней уравнения $$3x^{2}-24x+64=a|x-3|$$ будет ровно три положительных.

Ответ: $$6+2\sqrt{57};(21\frac{1}{3};+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11772

Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение $$|\frac{7-|x|}{|x|-2}|=a$$ имеет ровно четыре корня.

Ответ: 4
 

Задание 12286

Найдите все значения а, при каждом из которых среди корней уравнения

$$x^2-10x+35=a\left|x-6\right|$$ будет ровно два положительных.

Ответ: $$(2\sqrt{11}-2; 5\frac{5}{6}); 2+2\sqrt{11}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12397

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\frac{\left|3x\right|-2x-2-a}{x^2-2x-a}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$-2<a<-1; -1<a<0; 0<a<3; 3<a<8; a>8$$
 

Задание 12417

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$\frac{\left|x-6\right|+a-6}{x^2-10x+a^2}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$a<0; 0<a<3; 3<a<4; 4<a<5; 5<a<6$$
 

Задание 12555

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\frac{x^2+x+a}{x^2-2x+a^2+6a}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$a<-6; -6<a<-2; -2<a<0; 0<a<\frac{1}{4} $$
 

Задание 12737

Найдите все значения b, при каждом из которых уравнение $$\frac{\sin x-b \cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{b+2}$$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $$[\frac{\pi }{4};\ \frac{\pi }{2}]$$

Ответ: $$b=-1, b \geq 0$$
 

Задание 12756

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{5-7x}\cdot {\ln \left(9x^2-a^2\right)\ }=\sqrt{5-7x}\cdot {\rm ln}?(3x+a)$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$-\frac{15}{7}<a\leq -\frac{1}{2}; \frac{8}{7}\leq a < \frac{15}{7}$$
 

Задание 12777

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{2-5x}\cdot {\ln \left(36x^2-a^2\right)\ }=\sqrt{2-5x}\cdot {\ln \left(6x+a\right)\ }$$ имеет ровно один корень.

 

Ответ: $$-\frac{12}{5}<a\leq -\frac{1}{2}; \frac{7}{5} \leq a < \frac{12}{5}$$
 

Задание 12798

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$ax+\sqrt{5-4x-x^2}=3a+3$$ имеет единственный корень.

Ответ: $$[-1,5; -0,375); 0$$
 

Задание 12818

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$10a+\sqrt{-7+8x-x^2}=ax+3$$ имеет единственный корень.

Ответ: $$0; (\frac{1}{3}; 1]$$
 

Задание 12838

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$(7x-6){\ln (x+a)\ }\ =\ (7x-6){\ln (4x+a)\ }$$ имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Ответ: $$-\frac{6}{7}<a\leq 0; a=\frac{9}{7}$$; $$\frac{3}{2}<a<\frac{24}{7}$$
 

Задание 12857

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$(9x-4){\ln (x+a)\ }\ =\ (9x-4){\ln (2x+a)\ }$$ имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Ответ: $$-\frac{4}{9}<a\leq 0; a=\frac{2}{9}; \frac{1}{2}<a<\frac{8}{9}$$
 

Задание 12919

Найдите все значения x, при которых равенство: $$2\log_{2+a^{2}}(4-\sqrt{7+2x})=\log_{2+a^{2}x^{2}}(4-3x)$$ выполняется при любом значении параметра a.

Ответ: 1
 

Задание 13376

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$|x^{2}-a^{2}|=|x+a|\cdot \sqrt{x^{2}-4ax+5a}$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$-5;(0;1)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13395

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$|x^{2}-a^{2}|=|x+a|\sqrt{x^{2}-5ax+4a}$$ имеет ровно два различных корня

Ответ: $$a<-2;-2<a<-\frac{2}{3};a>0$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13547

Найдите все положительные значения а, при каждом из которых корни уравнения $$3a^{2x}-16^{x}+2\cdot(4a)^{x}=0$$ принадлежат отрезку $$[-2; -1]$$.

Ответ: $$[4\sqrt{3};12]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13565

Найдите все положительные значения а, при каждом из которых корни уравнения $$5a^{2x}-2\cdot 4^{x}+9\cdot (2a)^{x}=0$$ принадлежат отрезку [-3; 1].

Ответ: $$(0;0,4];[2\sqrt[3]{5};+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14034

Найдите все такие значения а, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{5-7x}\ln (9x^{2}-a^{2})=\sqrt{5-7x}\ln(3x+a)$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$(-\frac{15}{7};-\frac{1}{2}];[\frac{8}{7};\frac{15}{7})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14217

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$$(ax-a-2)((ax-a-2)^2+1)=\frac{(a-10x)((a-10x)^2+(x-1)^2)}{(x-1)^3}$$

имеет ровно два различных действительных корня.

Ответ: $$(-\infty;0);$$$$(0;2);$$$$(8;10);$$$$(10;+\infty)$$
 

Задание 14231

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых уравнение $$4\cos x-a\cdot tg^{2}x=3+a$$ имеет на отрезке $$[0;\pi]$$ ровно один корень.

Ответ: $$[-7;-0,25);[0;1]$$
 

Задание 14252

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\log^2_x(2ax+1-a^2)-2\log_x(2ax+1-a^2)=0$$ имеет более двух корней.

Ответ: $${0}\cup (1;2)\cup (2;+\infty)$$.
 

Задание 14259

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{4x-x^2}\cdot \log_2(x^2-2ax+a^2)=0$$ имеет ровно три различных корня.

Ответ:
 

Задание 14266

Найти все $$a$$, при каждом из которых уравнение $$x-2=\frac{(a+1)(a-5)}{x+4}$$ имеет ровно один корень на промежутке $$(-\infty;0)$$.

Ответ: $$(-\infty;-1)\cup (-1;1]\cup{2}$$$$\cup [3;5)\cup (5;+\infty)$$.
 

Задание 14286

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$4^{|x|}+a\cdot 2^{|x|}-2^{|x|+2}=6a^{2}-13a+5$$ имеет ровно два корня.

Ответ: $$(-\infty;1);1;2;(\frac{4}{3};+\infty)$$
 

Задание 14296

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение

$$(16x^2-4(a+1)(x^3+x)+a(x^2+1)^2)\cdot((a-1)x^{2}+2x+a+1)=0$$

имеет ровно четыре корня.

Ответ: $$\frac{1}{2};\frac{2}{3};2;(-2;0]$$
 

Задание 14301

Найти все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$(4^{x}-3\cdot 2^{x}+3a-a^{2})\cdot \sqrt{2-x}=0$$ имеет ровно два различных корня

Ответ: $$(-1;0];1,5;[3;4)$$
 

Задание 14305

Найти все значения $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{a-(a+1)(2x+4)}=x+1$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$ (-\infty;-2)\cup\left \{ \frac{-1-\sqrt5}{2} \right \}$$.
 

Задание 14309

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$a+\sqrt{6x-x^2-8}=3+\sqrt{1+2ax-a^2-x^2}$$ имеет ровно одно решение

Ответ: $$[2;3);(3;4]$$
 

Задание 14318

При каких значениях параметра $$a$$ для всякого $$x$$ из $$[0;7]$$ верно неравенство $$||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|\leq 7x+24$$.

Ответ: $$[-3;4]$$.
Скрыть

Рассмотрим функцию $$f(x)=||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x-24$$.

Как бы мы не раскрывали модули, коэффициент при x после приведения подобных слагаемых будет отрицателен. То есть $$f(x)$$ – убывающая (линейная) функция.

$$f(x)\leq 0$$ на $$[0;7]$$, если мы потребуем $$f(0)\leq 0$$.

Итак, $$||2a|-3a|+||-a|+4a|-24\leq 0$$;

Если $$a\geq 0$$, то $$|2a-3a|+|a+4a|\leq 24$$; $$a+5a\leq 24$$; $$a\leq 4$$.

Если $$a<0$$, то $$|-2a-3a|+|-a+4a|\leq 24$$; $$-5a-3a\leq 24$$; $$a\geq -3$$;

Итак, исходное неравенство верно для всякого $$x$$ из $$[0;7]$$ при $$a\in [-3;4]$$.

 

Задание 14327

Найти все $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\ln (xa^{2}+xa+2x-x^{3})=\ln(2x-x^{2})$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$(-2;-1];-0,5;[0;1)$$