Угол между прямой и плоскостью

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А) 1) $$\Delta A_{1}B_{1}C_{1}\Rightarrow C_{1}O:OL=2:1$$

2) $$BC:MC=3:1\Rightarrow BM :MC= 2:1$$, и $$AN: NC= 2: 1 \Rightarrow \Delta CNM\sim \Delta ABC$$ и $$NM\left | \right |AB$$ и $$CH:HK=1:2$$

3) $$C_{1}L=CK, C_{1}L\left | \right | CK$$ и $$KH=\frac{2}{3}CK$$ и $$OC_{1}=\frac{2}{3}C_{1}L \Rightarrow$$

$$C_{2}O=KH$$ и $$KOC_{1}H$$- параллелограмм $$\Rightarrow KO \left | \right | C_{1}H \Rightarrow KO \left | \right | NMC_{1}$$

Б) 1) $$KO \left | \right | C_{1}H \Rightarrow$$ угол между KO и $$(C_{1}NM)$$ равен углу между $$C_{1}H$$ и $$(C_{1}NM)$$

2) из $$\Delta ABC: CK=CB*\sin60=6\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=9$$.

$$CH=\frac{1}{3}CK=3$$.

3) $$NM=\frac{1}{3}AB=2\sqrt{3}; C_{1}H\perp HM\Rightarrow C_{1}H=\frac{2S_{C_{1}MN}}{NM}=\frac{2*6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=6$$.

4) $$\cos \angle C_{1}HC=\frac{HC}{HC_{1}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$. Тогда $$\angle C_{1}HC=60^{\circ}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   A) 1) $$\angle ACD=\frac{\pi}{4}$$; $$\angle A=\frac{\pi}{2}\Rightarrow$$ $$\angle ADC=\frac{\pi}{4}\Rightarrow$$ $$AD=AC$$

     2) Пусть AH-проекция AB на $$(ACD)\Rightarrow$$ по теореме о трех перпендикулярах $$AH\perp CD$$, тогда $$\Delta ADH=\Delta AHC$$(по гипотенузе и катету )$$\Rightarrow DH=HC\Rightarrow$$ BH-медиана

     3) $$AB\perp DC$$ и $$AH\perp CD\Rightarrow$$ $$(ABH)\perp CD\Rightarrow$$ $$BH\perp CD$$ , но тогда BH-высота $$\Rightarrow \Delta DBC$$ –равнобедренный и $$DB=BC$$

     4) $$AD=AC=CB=DB\Rightarrow$$ $$\Delta DBC=\Delta DAC$$ (DC-общая, $$\angle DBC=90$$)

     5) $$OM\perp AB$$, $$CD\perp AB\Rightarrow$$ $$(DMC)\perp AB\Rightarrow$$ $$\angle DCM=\frac{\pi}{6}$$

     6) $$CM=DM$$(высота в равных треугольниках ) $$\Rightarrow$$ $$\Delta DMC$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ MH-медиана и высота (т.к. $$(AHB)\perp CD$$ и DH=HC). Следовательно, точка располагается на биссектрисе угла, потому она равноудалена от его сторон

   Б) 1) Пусть $$AC=x\Rightarrow$$ $$\Delta ACD$$ : $$CD=x\sqrt{2}$$$$\Rightarrow$$ $$HC=\frac{x\sqrt{2}}{2}$$. Из $$\Delta MHC$$: $$MH=HC*tgC=\frac{x\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x\sqrt{6}}{6}$$

     2) $$\Delta AHM$$ – прямоугольный , $$AH=HC=\frac{x\sqrt{2}}{2}$$. $$\sin \angle MAN=\frac{MH}{AH}=$$$$\frac{x\sqrt{6}}{6}*\frac{\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$$$\Rightarrow$$ $$\angle MAH=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   A) 1)Соединим EF. Построим $$EF\cap CD=R$$. Соединим RK; $$RK\cap SD=N$$. Аналогично $$EF\cap CB=R_{1}$$; $$R_{1}K\cap SB=H\Rightarrow$$ (FNKHE) - искомая площадь

     2) Опустим проекцию $$K$$ на (ABCD) $$\Rightarrow$$ $$K_{1}$$

     3) Пусть SZ –апофема и AB=x $$\Rightarrow$$ $$OZ=\frac{AB}{2}=\frac{x}{2}$$; $$OB=\frac{BD}{2}=\frac{x\sqrt{2}}{2}$$

Из $$\Delta SOB$$: $$SO=OB*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{3}}{2}$$

Из $$\Delta SOZ$$: $$SO^{2}+OZ^{2}=SZ^{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{3x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}=4\Leftrightarrow$$ $$x=2\Rightarrow$$ $$SO=\sqrt{3}$$ ; $$BO=\sqrt{2}$$

     4) $$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EB}\Rightarrow$$ $$\Delta AFE\sim \Delta ADB$$ и $$FE\left | \right |BD$$ $$\Rightarrow$$ $$VK\perp N_{1}H_{1} VK_{1}\perp FE$$; $$VK\perp NH$$

     5) $$\Delta SOC$$: $$KK_{1}=\frac{2}{3}SO=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$; $$OK_{1}=\frac{1}{3}OC$$

Из $$\Delta ADB$$: $$VO=\frac{2}{3}AO\Rightarrow$$ $$VK_{1}=AO=\sqrt{2}$$

Из $$\Delta VKK_{1}$$: $$VK=\sqrt{VK_{1}^{2}+KK_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{10}{3}}$$

     6) По т. Менелая из VKC : $$\frac{SL}{LO}*\frac{OV}{VC}*\frac{CK}{KS}=1\Rightarrow$$ $$\frac{SL}{LO}=\frac{5}{4}\Rightarrow$$ $$NH=\frac{5}{9}BD=\frac{10\sqrt{2}}{9}$$

Из $$\Delta VLO$$: $$VL=\sqrt{VO^{2}+OL^{2}}=$$$$\sqrt{(\frac{2\sqrt{2}}{3})^{2}+(\frac{4\sqrt{3}}{9})^{2}}=$$$$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{10}{3}}\Rightarrow$$ $$LK=VK-VL=\frac{1}{3}*\sqrt{\frac{10}{3}}$$; $$FE=\frac{1}{3} BD=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

     7) $$S_{FNKHE}=\frac{NH+EF}{2}*VL+\frac{NH*KL}{2}=$$$$\frac{14\sqrt{5}}{9\sqrt{3}}$$

   Б) 1) из $$\Delta SOC$$: $$SC=\sqrt{SO^{2}+OC^{2}}=\sqrt{5}\Rightarrow$$ $$KC=\frac{2\sqrt{5}}{3}$$; $$SK=\frac{\sqrt{5}}{3}$$

     2) из $$\Delta VKC$$ : $$\cos VKC=\frac{VK^{2}+KC^{2}-VC^{2}}{2 VK*KC}=0\Rightarrow$$ $$\angle VKC=90$$ $$\Rightarrow$$ $$SC\perp VK$$

     3) $$OC\perp BD\Rightarrow$$ $$OC\perp NH$$ , но OC - проекция $$SC\Rightarrow$$ $$SC\perp NH\Rightarrow$$ $$SC\perp (FNKHE)\Rightarrow$$ $$\angle SHK=\angle (SB; (FNKHE))$$

     4) $$SH=\frac{5}{9}SB=$$$$\frac{5\sqrt{5}}{9}\Rightarrow$$ из $$\Delta SHK$$: $$\sin \angle SHK=\frac{SK}{SH}=\frac{3}{5}\Rightarrow$$ $$\angle SHK=\arcsin \frac{3}{5}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть SH\cap PE=N

     A) 1) H-центр $$\Delta ABC \Rightarrow$$ $$BH: HE=2: 1\Rightarrow$$ $$\frac{HE}{EB}=\frac{1}{3}$$

   2) для $$\Delta BPE$$ по т. Минелая : $$\frac{SN}{NH}*\frac{HE}{EB}*\frac{BP}{PS}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SN}{NH}*\frac{1}{3}*\frac{1}{1}=1\Rightarrow$$ $$\frac{SN}{NH}=\frac{3}{1}$$

     Б) 1) $$BE\perp AC\Rightarrow$$ $$PE\perp AC$$ (по т. о трех перпендикулярах ), аналогично $$SE\perp AC \Rightarrow$$ $$\angle PES$$ – искомый

   2) из $$\Delta ABC$$: $$BE=BC*\sin C=6\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=9$$. Из $$\Delta ASE$$: $$SE=\sqrt{AS^{2}-AE^{2}}=$$$$\sqrt{100-27}=\sqrt{73}$$

   3) из $$\Delta BSE$$: $$\cos S=\frac{BS^{2}+SE^{2}-BE^{2}}{2 BS*SE}=$$$$\frac{23}{5\sqrt{73}}$$

   Из $$\Delta SPE$$: $$PE=\sqrt{SP^{2}+SE^{2}-2 SP*SE*\cos S}=\sqrt{52}$$

   Из $$\Delta SPE$$: $$\cos PES=\frac{PE^{2}+SE^{2}-SP^{2}}{2 PE*SE}=$$$$\frac{25}{\sqrt{949}}$$

   $$\sin PES=\sqrt{1-\cos ^{2}PES}=$$$$\frac{18}{\sqrt{949}}\Rightarrow$$ $$tg PES=\frac{\sin PES}{\cos PES}=\frac{18}{25}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!