Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C2) Стереометрическая задача

Угол между прямой и плоскостью

Задание 4126

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью AA1C и прямой A1B, если AA1 = 3, AB = 4, BC = 4.

Ответ:

Задание 4127

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, BC = 6, CC1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостью ABC и прямой EF, проходящей через середины ребер AA1 и C1D1.

Ответ:

Задание 4128

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: AB=$$21\sqrt{3}$$, SC=29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и BC.

Ответ:

Задание 4129

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, AB=AC=5, BC=8. Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой A1B и плоскостью BCC1

Ответ:

Задание 4130

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB=5 и катетом BC=$$\sqrt{5}$$. Высота призмы равна $$\sqrt{3}$$. Найдите угол между прямой C1B и плоскостью ABB1.

Ответ:

Задание 4131

Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC  составляет  $$\frac{5}{7}$$ от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.

Ответ:

Задание 4132

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1. Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'

Ответ:

Задание 4133

В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.

Ответ:

Задание 4134

Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.

Ответ:
 

Задание 6088

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания $$AB=6\sqrt{3}$$ . На ребре BC отмечена точка М так, что BC:MC=3:1, а на ребре AC отмечена точка N так, что AN:NC=2:1. Точка К середина ребра АВ.

а) Доказать что ОК параллельна плоскости MNC1 , где О‐центр вписанной окружности треугольника A1B1C1 .
б) Найти угол между прямой ОК и плоскостью основания, если площадь треугольника MNC1 равна $$6\sqrt{3}$$
Ответ: 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) $$\Delta A_{1}B_{1}C_{1}\Rightarrow C_{1}O:OL=2:1$$

2) $$BC:MC=3:1\Rightarrow BM :MC= 2:1$$, и $$AN: NC= 2: 1 \Rightarrow \Delta CNM\sim \Delta ABC$$ и $$NM\left | \right |AB$$ и $$CH:HK=1:2$$

3) $$C_{1}L=CK, C_{1}L\left | \right | CK$$ и $$KH=\frac{2}{3}CK$$ и $$OC_{1}=\frac{2}{3}C_{1}L \Rightarrow$$

$$C_{2}O=KH$$ и $$KOC_{1}H$$- параллелограмм $$\Rightarrow KO \left | \right | C_{1}H \Rightarrow KO \left | \right | NMC_{1}$$

Б) 1) $$KO \left | \right | C_{1}H \Rightarrow$$ угол между KO и $$(C_{1}NM)$$ равен углу между $$C_{1}H$$ и $$(C_{1}NM)$$

2) из $$\Delta ABC: CK=CB*\sin60=6\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=9$$.

$$CH=\frac{1}{3}CK=3$$.

3) $$NM=\frac{1}{3}AB=2\sqrt{3}; C_{1}H\perp HM\Rightarrow C_{1}H=\frac{2S_{C_{1}MN}}{NM}=\frac{2*6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=6$$.

4) $$\cos \angle C_{1}HC=\frac{HC}{HC_{1}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$. Тогда $$\angle C_{1}HC=60^{\circ}$$

 

Задание 6699

В треугольной пирамиде ABCD ребра АВ и CD взаимно перпендикулярны, AD=BC, 4 , $$\angle DAC=\frac{\pi}{2},\angle ACD=\frac{\pi}{4}$$ , угол между ребром DC и гранью АВС равен $$\frac{\pi}{6}$$.

А) Докажите, что середина ребра АВ равноудалена от плоскости ACD и плоскости BCD
Б) Найдите угол между ребром АВ и гранью ACD.
Ответ: $$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1) $$\angle ACD=\frac{\pi}{4}$$; $$\angle A=\frac{\pi}{2}\Rightarrow$$ $$\angle ADC=\frac{\pi}{4}\Rightarrow$$ $$AD=AC$$

     2) Пусть AH-проекция AB на $$(ACD)\Rightarrow$$ по теореме о трех перпендикулярах $$AH\perp CD$$, тогда $$\Delta ADH=\Delta AHC$$(по гипотенузе и катету )$$\Rightarrow DH=HC\Rightarrow$$ BH-медиана

     3) $$AB\perp DC$$ и $$AH\perp CD\Rightarrow$$ $$(ABH)\perp CD\Rightarrow$$ $$BH\perp CD$$ , но тогда BH-высота $$\Rightarrow \Delta DBC$$ –равнобедренный и $$DB=BC$$

     4) $$AD=AC=CB=DB\Rightarrow$$ $$\Delta DBC=\Delta DAC$$ (DC-общая, $$\angle DBC=90$$)

     5) $$OM\perp AB$$, $$CD\perp AB\Rightarrow$$ $$(DMC)\perp AB\Rightarrow$$ $$\angle DCM=\frac{\pi}{6}$$

     6) $$CM=DM$$(высота в равных треугольниках ) $$\Rightarrow$$ $$\Delta DMC$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ MH-медиана и высота (т.к. $$(AHB)\perp CD$$ и DH=HC). Следовательно, точка располагается на биссектрисе угла, потому она равноудалена от его сторон

   Б) 1) Пусть $$AC=x\Rightarrow$$ $$\Delta ACD$$ : $$CD=x\sqrt{2}$$$$\Rightarrow$$ $$HC=\frac{x\sqrt{2}}{2}$$. Из $$\Delta MHC$$: $$MH=HC*tgC=\frac{x\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x\sqrt{6}}{6}$$

     2) $$\Delta AHM$$ – прямоугольный , $$AH=HC=\frac{x\sqrt{2}}{2}$$. $$\sin \angle MAN=\frac{MH}{AH}=$$$$\frac{x\sqrt{6}}{6}*\frac{\sqrt{2}}{x\sqrt{2}}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$$$\Rightarrow$$ $$\angle MAH=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$$

 

Задание 6805

Апофема правильной пирамиды SABCD равна 2, боковое ребро образует с основанием ABCD угол, равный $$arctg \sqrt{\frac{3}{2}}$$. Точки E, F, K выбраны соответственно на ребрах АВ, AD и SC так, что $$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}=\frac{SK}{KS}=\frac{1}{2}$$

А) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью EFK
Б) Найдите угол между прямой SD и плоскостью EFK
Ответ: А)$$\frac{14\sqrt{5}}{9\sqrt{3}}$$ Б)$$\arcsin \frac{3}{5}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) 1)Соединим EF. Построим $$EF\cap CD=R$$. Соединим RK; $$RK\cap SD=N$$. Аналогично $$EF\cap CB=R_{1}$$; $$R_{1}K\cap SB=H\Rightarrow$$ (FNKHE) - искомая площадь

     2) Опустим проекцию $$K$$ на (ABCD) $$\Rightarrow$$ $$K_{1}$$

     3) Пусть SZ –апофема и AB=x $$\Rightarrow$$ $$OZ=\frac{AB}{2}=\frac{x}{2}$$; $$OB=\frac{BD}{2}=\frac{x\sqrt{2}}{2}$$

Из $$\Delta SOB$$: $$SO=OB*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{3}}{2}$$

Из $$\Delta SOZ$$: $$SO^{2}+OZ^{2}=SZ^{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{3x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}=4\Leftrightarrow$$ $$x=2\Rightarrow$$ $$SO=\sqrt{3}$$ ; $$BO=\sqrt{2}$$

     4) $$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EB}\Rightarrow$$ $$\Delta AFE\sim \Delta ADB$$ и $$FE\left | \right |BD$$ $$\Rightarrow$$ $$VK\perp N_{1}H_{1} VK_{1}\perp FE$$; $$VK\perp NH$$

     5) $$\Delta SOC$$: $$KK_{1}=\frac{2}{3}SO=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$; $$OK_{1}=\frac{1}{3}OC$$

Из $$\Delta ADB$$: $$VO=\frac{2}{3}AO\Rightarrow$$ $$VK_{1}=AO=\sqrt{2}$$

Из $$\Delta VKK_{1}$$: $$VK=\sqrt{VK_{1}^{2}+KK_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{10}{3}}$$

     6) По т. Менелая из VKC : $$\frac{SL}{LO}*\frac{OV}{VC}*\frac{CK}{KS}=1\Rightarrow$$ $$\frac{SL}{LO}=\frac{5}{4}\Rightarrow$$ $$NH=\frac{5}{9}BD=\frac{10\sqrt{2}}{9}$$

Из $$\Delta VLO$$: $$VL=\sqrt{VO^{2}+OL^{2}}=$$$$\sqrt{(\frac{2\sqrt{2}}{3})^{2}+(\frac{4\sqrt{3}}{9})^{2}}=$$$$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{10}{3}}\Rightarrow$$ $$LK=VK-VL=\frac{1}{3}*\sqrt{\frac{10}{3}}$$; $$FE=\frac{1}{3} BD=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

     7) $$S_{FNKHE}=\frac{NH+EF}{2}*VL+\frac{NH*KL}{2}=$$$$\frac{14\sqrt{5}}{9\sqrt{3}}$$

   Б) 1) из $$\Delta SOC$$: $$SC=\sqrt{SO^{2}+OC^{2}}=\sqrt{5}\Rightarrow$$ $$KC=\frac{2\sqrt{5}}{3}$$; $$SK=\frac{\sqrt{5}}{3}$$

     2) из $$\Delta VKC$$ : $$\cos VKC=\frac{VK^{2}+KC^{2}-VC^{2}}{2 VK*KC}=0\Rightarrow$$ $$\angle VKC=90$$ $$\Rightarrow$$ $$SC\perp VK$$

     3) $$OC\perp BD\Rightarrow$$ $$OC\perp NH$$ , но OC - проекция $$SC\Rightarrow$$ $$SC\perp NH\Rightarrow$$ $$SC\perp (FNKHE)\Rightarrow$$ $$\angle SHK=\angle (SB; (FNKHE))$$

     4) $$SH=\frac{5}{9}SB=$$$$\frac{5\sqrt{5}}{9}\Rightarrow$$ из $$\Delta SHK$$: $$\sin \angle SHK=\frac{SK}{SH}=\frac{3}{5}\Rightarrow$$ $$\angle SHK=\arcsin \frac{3}{5}$$

 

Задание 7060

В правильной треугольной пирамиде SABC точка Е – середина ребра АС, точка Р – середина ребра SВ.

а) Докажите, что прямая РЕ делит высоту SН пирамиды в отношении 1:3.
б) Найдите тангенс угла между прямой РЕ и плоскостью АSС, если известно, что $$AB=6\sqrt{3}$$, $$SA=10$$.
Ответ: $$\frac{18}{25}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть SH\cap PE=N

     A) 1) H-центр $$\Delta ABC \Rightarrow$$ $$BH: HE=2: 1\Rightarrow$$ $$\frac{HE}{EB}=\frac{1}{3}$$

   2) для $$\Delta BPE$$ по т. Минелая : $$\frac{SN}{NH}*\frac{HE}{EB}*\frac{BP}{PS}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SN}{NH}*\frac{1}{3}*\frac{1}{1}=1\Rightarrow$$ $$\frac{SN}{NH}=\frac{3}{1}$$

     Б) 1) $$BE\perp AC\Rightarrow$$ $$PE\perp AC$$ (по т. о трех перпендикулярах ), аналогично $$SE\perp AC \Rightarrow$$ $$\angle PES$$ – искомый

   2) из $$\Delta ABC$$: $$BE=BC*\sin C=6\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=9$$. Из $$\Delta ASE$$: $$SE=\sqrt{AS^{2}-AE^{2}}=$$$$\sqrt{100-27}=\sqrt{73}$$

   3) из $$\Delta BSE$$: $$\cos S=\frac{BS^{2}+SE^{2}-BE^{2}}{2 BS*SE}=$$$$\frac{23}{5\sqrt{73}}$$

   Из $$\Delta SPE$$: $$PE=\sqrt{SP^{2}+SE^{2}-2 SP*SE*\cos S}=\sqrt{52}$$

   Из $$\Delta SPE$$: $$\cos PES=\frac{PE^{2}+SE^{2}-SP^{2}}{2 PE*SE}=$$$$\frac{25}{\sqrt{949}}$$

   $$\sin PES=\sqrt{1-\cos ^{2}PES}=$$$$\frac{18}{\sqrt{949}}\Rightarrow$$ $$tg PES=\frac{\sin PES}{\cos PES}=\frac{18}{25}$$

 

Задание 9343

В правильном тетраэдре ABCD точка К – центр грани ABD, точка М – центр грани ACD.

а) Докажите, что прямые ВС и КМ параллельны.
б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью ABD.
Ответ: $$\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10508

Основание ABCD призмы ABCDA1B1C1D1 – трапеция с основаниями $$AB=2\cdot CD$$

а) Докажите, что плоскость BA1D1 проходит через середину бокового ребра CC1
б) Найдите угол между боковым ребром AA1 и этой плоскостью, если призма прямая, трапеция ABCD прямоугольная с прямым углом при вершине B , а BC=CD и $$AA_{1}=\sqrt{6}CD$$
Ответ: $$30^{\circ}$$
 

Задание 11768

Точка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.

а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.
б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.
Ответ: $$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$$
 

Задание 13797

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.

а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS=2АС.
Ответ: $$arctg 0,5$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13901

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.

а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS=АС.
Ответ: $$45^{\circ}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!