Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C1) Уравнения

Тригонометрические уравнения

Задание 788

Найдите корень уравнения: $$tg \frac{\pi x}{4}=-1$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите наибольший отрицательный

Ответ: -1

Задание 1146

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$ -\sqrt{2}\sin (-\frac{5\pi}{2}+x) * \sin x = \cos x$$

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $$\left [ \frac{9\pi }{2};6\pi \right ]$$

Ответ: a) $$\frac{\pi }{2}+\pi k ; \frac{\pi }{4}+2\pi k ;\frac{3\pi }{2}+2\pi k ; k\in Z$$ ; б)$$4,5\pi ; 4.75\pi ; 5,5\pi $$
Скрыть

a) $$-\sqrt{2}*\sin(-\frac{5\pi }{2}+x)*\sin x=\cos x$$

Воспользуемся формулой привидения:

$$\sin (-\frac{5\pi }{2}+x)=-\cos x$$

$$-\sqrt{2}(-\cos x))*\sin x -\cos x =0$$

$$\sqrt{2}*\cos x *\sin x -\cos x=0$$

$$\cos x (\sqrt{2}*\sin x -1 )=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\\sqrt{2}*\sin x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi }{2}+\pi \kappa ,\kappa \in Z\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi }{2}+\pi \kappa , \kappa \in Z\\x=(-1) ^{n}*\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.$$

b) Видим , что на промежутках есть корень $$\frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.$$ Найдем его:

$$5\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{19 \pi }{4}$$

Так же есть корни $$\frac{ \pi }{2}+\pi n , n \in Z$$. Найдем их: $$\frac{9\pi }{2}; 5\pi +\frac{\pi }{2}=5,5\pi$$

 

Задание 1173

Найдите корень уравнения $$ \arccos x= \frac{2\pi }{3}$$

Ответ: -0.5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Для того, чтобы решить данное уравнение $$ \arccos x= \frac{2\pi }{3}$$, нам, фактически, надо указать абсциссу, которой соответствует точка $$\frac{2\pi }{3}$$ на единичной окружности. У этой точки координаты $$(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$$ $$ x = - \frac{1}{2} $$

 

Задание 2356

Дано уравнение: $$4^{\sin x\cdot \cos x}=2^{\cos 2x}$$

А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: $$\left [ \frac{13\pi }{6}; \frac{7\pi }{2} \right ]$$.
Ответ: А) $$\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2} , n\in z$$; Б) $$\left \{ \frac{21\pi }{8}; \frac{25\pi }{8} \right \}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2829

Дано уравнение $$\sin x=\cos (\frac{\pi}{3}-x)$$ .
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left [ 4\pi; \frac{16\pi}{3}\right ]$$.

Ответ: а) $$\frac{5\pi }{12}+\pi k, k\in Z;$$ б) $$\frac{53\pi }{12}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2866

а) Решите уравнение $$\sin (2x+\frac{\pi}{2})=\cos(x+\frac{\pi}{2})+\sin(x+\frac{\pi}{2})$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [$$-\frac{3\pi}{2}; 0$$]

Ответ: а) $$\frac{\pi}{4}+\pi n$$; $$\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; $$2\pi n(n\in Z)$$; б) $$-3\frac{\pi}{2}$$; $$-3\frac{\pi}{4}$$; $$0$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\sin (2x+\frac{\pi}{2})=\cos(x+\frac{\pi}{2})+\sin(x+\frac{\pi}{2})$$ [$$-\frac{3\pi}{2}; 0$$] $$\cos 2x=-\sin x+\cos x$$ $$\cos ^{2}x-\sin^{2} x+\sin x-\cos x=0$$ $$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-(\cos x-\sin x)=0$$ $$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x-1)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\sin x\\\cos x+\sin x-1=0\end{matrix}\right.$$ $$\cos x=1-2\sin ^{2}\frac{x}{2}$$ $$\left\{\begin{matrix}1=\tan x\\1-2\sin^{2}\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-1=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n (n\in Z)\\2\sin\frac{x}{2}(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2})=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\\sin\frac{x}{2}=0\\\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\\frac{x}{2}=\pi n\\\tan\frac{x}{2}=1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\x=2\pi n(n\in Z)\\\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\x=2\pi n(n\in Z)\\x=\frac{\pi}{2}+2\pi n(n\in Z)\end{matrix}\right.$$

 

Задание 2944

а) Решите уравнение $$\sin {2x} +2\sin{x}=1+\cos{x}$$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4 ; -3]

Ответ: а) $$\pi +2\pi n ; \frac{\pi}{6}+2\pi * n ; \frac{5\pi}{6}+2\pi * n$$ б) $$\frac{-7\pi}{6} ; -\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3076

Дано уравнение $$\cos x+\frac{1}{\cos x}+\cos^{2}x+\tan^{2}x=\frac{3}{4}$$

А) Решите уравнение
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[3\pi;\frac{9\pi}{2}]$$
Ответ: a) $$\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k, k\in Z$$ б) $$\frac{10\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\cos x+\frac{1}{\cos x}+\cos^{2}x+\frac{1}{\cos^{2}x}-1=\frac{3}{4}$$

$$\cos x+\frac{1}{\cos x}+\cos^{2}x+\frac{1}{\cos^{2}x}=\frac{7}{4}$$

Пусть $$\cos x+\frac{1}{\cos x}=y$$

$$y^{2}=\cos^{2}x+2+\frac{1}{\cos^{2}x}$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\cos^{2}x+\frac{1}{\cos^{2}x}=y^{2}-2$$

$$y+y^{2}-2-\frac{7}{4}=0$$

$$y^{2}+y-\frac{15}{4}=0$$

$$D=1+15=16$$

$$y_{1}=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$$

$$y_{1}=\frac{-1-4}{2}=-\frac{5}{2}$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x+\frac{1}{\cos x}=\frac{3}{2}\\\cos x+\frac{1}{\cos x}=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\cos^{2}x+2-3\cos x=0\\2\cos^{2}x+2-5\cos x=0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}D<0\Rightarrow\varnothing\\D=25-16=9\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2}\\\cos x=\frac{-5-3}{4}=-2\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k, k\in Z\\\varnothing \end{matrix}\right.$$

 

Задание 3158

Дано уравнение: $$(\sqrt{4-\sqrt{15}})^{1+2\sin x}+(\sqrt{4+\sqrt{15}})^{1+2\sin x}=8$$

а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{9\pi}{2};6\pi]$$
Ответ: а) $$(-1)^{k}*\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in Z$$; б) $$\frac{29\pi }{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3204

Дано уравнение $$2\cos^{4}2x-\cos2x-3=0$$ .
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-3\pi; -\pi]$$.

Ответ: а) $$\frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z$$; б) $$-\frac{5\pi }{2}; -\frac{3\pi }{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3424

а) Решите уравнение: $$\cos3x=\sqrt{3}\sin4x+\cos5x$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$
Ответ: а) $$\frac{\pi n}{4}, (-1)^{n}\frac{\pi }{3}+\pi n, n\in Z;$$ б) $$\frac{\pi }{2}; \frac{2\pi }{3}; \frac{3\pi }{4}; \pi $$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\cos3x=\sqrt{3}\sin4x+\cos5x$$ $$\cos3x-\cos5x=\sqrt{3}\sin4x$$ $$2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{5x-3x}{2}-\sqrt{3}\sin4x=0$$ $$2\sin4x\cdot\sin x-\sqrt{3}\sin4x=0$$ $$\sin4x(2\sin x-\sqrt{3})=0$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin4x=0\\2\sin x=\sqrt{3}\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}4x=\pi n,n\in Z\\x=\frac{\pi}{3}+2\pi k\\x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi n}{4},n\in Z\\x=(-1)^{n}\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$

 

Задание 3860

а) Решите уравнение: $$7\sin(2x-\frac{5\pi}{2})+9\cos x+1=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{3}]$$
Ответ: a) $$\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in Z$$ б) $$-\frac{4\pi}{3}$$; $$-\frac{2\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$7\sin(2x-\frac{5\pi}{2})+9\cos x+1=0$$

$$-7\sin(\frac{5\pi-2x}{2})+9\cos x+1=0$$

$$-7\cos2x+9\cos x+1=0$$

$$-7(2\cos^{2}x-1)+9\cos x+1=0$$

$$-14\cos^{2}x+7+9\cos x+1=0$$

$$14\cos^{2}x-9\cos x-8=0$$

$$D=81+448=529=23^{2}$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{9+23}{2\cdot14}=\frac{16}{14}\\\cos x=\frac{9-23}{2\cdot14}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\varnothing;|\cos x|\leq1\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$

 

б) $$-\pi-\frac{\pi}{3}=-\frac{4\pi}{3}$$

$$-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}$$

Задание 3999

а)Решите уравнение $$\sin 8\pi x+1=\cos 4\pi x+\sqrt{2}\cos (4\pi x-\frac{\pi }{4})$$
б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left [ 2-\sqrt{7};\sqrt{7}-2 \right ]$$

Ответ: a)$$\frac{1}{8} +\frac{n}{2};\frac{1}{12} +\frac{n}{2};-\frac{1}{12} +\frac{n}{2}$$ б)$$-\frac{3}{8};\frac{1}{8};\frac{5}{8};\pm\frac{5}{12};\pm\frac{1}{12};\pm\frac{7}{12};$$
Скрыть

$$\sin 8\pi x+1=\cos 4\pi x+\sqrt{2}* \cos (4\pi x -\sin \frac{\pi}{4})$$

Воспользуемся формулой косинуса разности: $$\cos (4 \pi x-\frac{\pi}{4})=$$$$\cos 4\pi x* \cos \frac{\pi}{4}+ \sin 4 \pi x * \sin\frac{\pi}{4}=$$$$\frac{\sqrt{2}}{2}* \cos 4 \pi x +\frac{\sqrt{2}}{2}* \sin 4 \pi x$$

$$\sin 8 \pi x+1= \cos 4 \pi x +\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}* \cos 4 \pi x+\frac{\sqrt{2}}{2}* \sin 4 \pi x)$$

$$\sin (2* 4 \pi x)+1=\cos 4 \pi x+ \cos 4 \pi x+\sin 4 \pi x$$

$$2 \sin 4 \pi x* \cos 4 \pi x +1-2 \cos 4 \pi x- \sin 4 \pi x=0$$

$$2 \cos 4 \pi x(\sin 4 \pi x-1)+(1-\sin 4 \pi x)=0$$

$$(\sin 4\pi x-1)(2 \cos 4 \pi x-1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin 4 \pi x-1 =0\\2 \cos 4 \pi x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin 4 \pi x=1\\\cos 4 \pi x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}4 \pi x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n\in Z\\4 \pi x=\frac{\pi}{3}+2 \pi n,\\4 \pi x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi x, \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{1}{8} +\frac{n}{2}\\x_{2}=\frac{1}{12} +\frac{n}{2}\\x_{3}=-\frac{1}{12} +\frac{n}{2}, n\in Z\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим значение $$\sqrt{7}: \sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}\Rightarrow 2<\sqrt{7}<3$$

рассмотрим корни: $$x_{1}: 2-\sqrt{7}<\frac{1}{8}+\frac{n}{2}<\sqrt{7}-2$$

$$\frac{15}{8}-\sqrt{7}< \frac{n}{2}<\sqrt{7}-\frac{17}{8}$$

$$\frac{15}{4}-2\sqrt{7}<n< 2\sqrt{7}-\frac{17}{4}$$

Тогда n=-1 ;0; 1; следовательно $$x_{1}=-\frac{3}{8};\frac{1}{8};\frac{5}{8}$$

Аналогично рассуждая для $$x_{2}=-\frac{5}{12};\frac{1}{12};\frac{7}{12};$$

И для $$x_{3}=-\frac{7}{12};-\frac{1}{12};\frac{5}{12};$$

Задание 4000

а) Решите уравнение: $$\cos (\frac{\pi }{2}+2x)=\sqrt{2}\sin x$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-5\pi;-4\pi]$$

Ответ: а)$$\pm \frac{\pi}{4}+2 \pi k, k\in Z$$ б)$$-5 \pi; -\frac{19 \pi}{4};-4 \pi$$
Скрыть

a) $$\cos (\frac{\pi }{2}+2 x)=\sqrt{2} \sin x$$
$$-\sin 2x-\sqrt{2} \sin x=0$$
$$-2 \sin x* \cos x-\sqrt{2} \sin x=0$$
$$- \sin x(2 \cos x+\sqrt{2})=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\2 \cos x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=\pi n\\x=\pm \frac{\pi}{4}+2 \pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$

b)1) $$-5 \pi; -4 \pi$$
2) $$-5 \pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{19 \pi}{4}$$

Задание 4001

а) Решите уравнение $$\cos 2x - \sqrt{2}\cos (\frac{3\pi}{2} + x) - 1 = 0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{3\pi}{2};3\pi]$$

Ответ: а)$$\frac{\pi}{2}+2 \pi n , n \in Z\; =-\frac{\pi}{4}+2 \pi n;-\frac{3\pi}{4}+2 \pi n$$ б)$$ \frac{3 \pi}{2};\frac{7 \pi}{4}$$
Скрыть

$$\cos 2x-\sqrt{2} \cos (\frac{3 \pi}{2}+x)-1=0$$

Воспользуемся формулой двойного аргумента и привидения:

$$\cos 2x=1-2 \sin ^{2}x$$ 

$$\cos (\frac{3 \pi}{2}+x)=\sin x$$

Получим:

$$1-2 \sin ^{2}x -\sqrt{2} \sin x=0$$

$$-2 \sin^{2}x-\sqrt{2} \sin x=0$$

$$\sin x(2 \sin x+\sqrt{2})=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{2}+2 \pi n , n \in Z\\x_{2}=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n\\x_{3}=-\frac{3\pi}{4}+2 \pi n\end{matrix}\right.$$

c) на данном промежутке встречается корень: $$x_{1}: \frac{3 \pi}{2}$$ и $$x_{2} :2\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{7 \pi}{4}$$

Задание 4002

а) Решите уравнение: $$8\sin^{2} x + 2\sqrt{3}\cos x +1=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:$$[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$$

Ответ: А)$$\pm \frac{5 \pi}{6 }+2 \pi n, n\in Z$$ Б)$$-\frac{19 \pi}{6};-\frac{17 \pi}{6}$$
Скрыть

А)   Воспльзуемся основным тригонометрическим тождеством: $$1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$$

$$8(1-\cos^{2}x)+2\sqrt{3} \cos x+1=0$$

     Замена: $$\cos x=y; |y|\leq 0$$

$$8-8y^{2}+2\sqrt{3}y+1=0\Leftrightarrow$$$$-8y^{2}+2\sqrt{3}y+9=0 |*(-1)\Leftrightarrow$$$$8y^{2}-2\sqrt{3}y-9=0$$

$$D=(2\sqrt{3})^{2}+4*8*9=12+288=300$$

$$y_{1}=\frac{2\sqrt{3}+10\sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$ - не подходит ($$|\cos x| \leq 1)$$.

$$y_{2}=\frac{2\sqrt{3}-10\sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x_{1,2}=\pm \frac{5 \pi}{6 }+2 \pi n, n\in Z$$

Б)   На данном промежутке встречаются оба корня:

$$x_{2}: -3 \pi +\frac{\pi}{6}=-\frac{17 \pi}{6}$$

$$x_{1} :-3 \pi -\frac{\pi}{6}=-\frac{19 \pi}{6}$$

Задание 4003

а) Решите уравнение: $$2\sin^{4} x+3\cos 2x + 1=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi;3\pi]$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z$$ Б)$$\frac{3 \pi}{2}; \frac{5 \pi}{2}$$.
Скрыть

А)   Воспользуемся формулой двойного аргумента: $$\cos 2x =1-2 \sin^{2}x$$

$$2 \sin^{4}x +3(1-2 \sin^{2}x)+1=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin^{4}x+3-6 \sin^{2}x+1=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin^{4}x -6 \sin^{2}x+4=0 |:2\Leftrightarrow$$$$\sin ^{4}x-3 \sin^{2}x+2=0.$$

     Пусть $$\sin^{2}x=y, D:|y|\leq 1\Rightarrow$$$$y^{2}-3y+2=0$$

$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=3 \\y_{1}*y_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=2 \notin D\\y_{2}=1\end{matrix}\right.$$

     $$\sin^{2}x =1\Leftrightarrow$$  $$\sin x=\pm 1\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z.$$

Б)   Отберем корни, принадлежащие данному промежутку:

$$\frac{3 \pi}{2}; \frac{5 \pi}{2}$$.

Задание 4024

Решите уравнение: $$(2\sin x-1)(\sqrt{-\cos x}+1)=0$$

Ответ: А)$$\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n , n \in Z$$ Б)$$\frac{17\pi}{6}$$
Скрыть

А)   Подкоренное выражение неотрицательно , следовательно: $$D: -\cos x\geq 0\Leftrightarrow \cos x\leq 0$$

С другой стороны $$\sqrt{f}\geq 0\Rightarrow$$ $$\sqrt{-\cos x}+1>0$$ при всех возможных x. Тогда остается:

$$2 \sin x-1=0\Leftrightarrow$$ $$\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{6}+2 \pi n \notin D\\x_{2}=\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем значение на заданном промежутке:

$$x_{2}: 3 \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{17}{6}$$

Задание 4025

а) Решите уравнение: $$2\sqrt{3}\cos^{2} (\frac{3\pi}{2} +x) -\sin 2x =0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[ \frac{3\pi}{2};3\pi]$$

Ответ: А)$$\pi n, n; \frac{\pi}{6}+\pi k,n,k \in Z$$ Б) $$2\pi;\frac{13\pi}{6};3\pi$$
Скрыть

A)   Воспользуемся формулой приведение и формулой двойного аргумента:

$$2\sqrt{3} \sin^{2}x-2 \sin x \cos x=0$$

$$2 \sin x(\sqrt{3}\sin x- \cos x)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sqrt{3} \sin x-\cos x=0\left.\begin{matrix}: \cos x\end{matrix}\right|\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n , n\in Z\\\sqrt{3}tg x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n, n \in Z\\tg x=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi n, n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{6}+\pi k,k \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на заданом промежутке:

$$x_{1} :2\pi ;3\pi$$

$$x_{2}:2\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{13 \pi}{6}.$$

Задание 4026

а) Решите уравнение: $$\cos^{2} x - \frac{1}{2}\sin 2x + \cos x = \sin x$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{\pi}{2};2\pi]$$

Ответ: А) $$\pi+2 \pi n , \frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z$$Б) $$\pi;\frac{5 \pi}{4}$$
Скрыть

А)   Воспользуемся формулой двойного аргумента:

$$\cos^{2}x-\frac{1}{2}*2\sin x\cos x+\cos x-\sin x=0$$

$$\cos x(\cos x-\sin x)+(\cos x-\sin x)=0$$

$$(\cos x-\sin x)(\cos x+1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x+1=0\\\cos x-\sin x=0\left.\begin{matrix}\end{matrix}\right| : \cos x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=-1\\1-tg x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi+2\pi n, n \in Z\\tg x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi+2 \pi n , n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на заданном промежутке :

$$x_{1} :\pi$$

$$x_{2} :\pi +\frac{\pi}{4}=\frac{5 \pi}{4}$$

Задание 4027

а) Решите уравнение $$2\sin^{2} x- \sqrt{3}\sin 2x =0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{3\pi}{2};3\pi]$$

Ответ: А)$$\pi n, \frac{\pi}{3}+\pi k, n,k \in Z$$ Б)$$2\pi ;\frac{7\pi}{3}; 3\pi;$$
Скрыть

А)   Воспользуемся формулой двойного аргумента:

$$2 \sin^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin x(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x-\sqrt{3}\cos x=0\left.\begin{matrix}\end{matrix}\right|:\cos x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n, n \in Z\\tg x-\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi n , n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на заданном промежутке:

$$x_{1:} 2\pi ;3\pi; x_{2} :2 \pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}.$$

Задание 4028

а) Решите уравнение $$\sin 2x + \sqrt{2}\sin x = 2\cos x + \sqrt{2}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n , \frac{\pi}{4}+2\pi k, n,k\in Z$$ Б) $$\frac{5\pi}{4};\frac{5\pi}{2}$$
Скрыть

А)   Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

$$2\sin x\cos x+\sqrt{2}\sin x-2 \cos x-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow$$$$\sin x(2 \cos x+\sqrt{2})-(2 \cos x+\sqrt{2})=0\Leftrightarrow$$$$(2\cos x+\sqrt{2})(\sin x-1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}2\cos x+\sqrt{2}=0\\\sin x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\cos \sin x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1,2}=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n , n \in Z\\x_{3}=\frac{\pi}{4}+2\pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на данном промежутке:

$$x_{1}:$$ нет  

$$x_{2} :\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$$

$$x_{3}=\frac{5\pi}{2}$$

Задание 4029

а) Решите уравнение $$\cos 2x -3\cos x +2=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$2\pi k;\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$ Б)$$-4\pi;-\frac{11\pi}{3}$$
Скрыть

А)   Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:

$$2 \cos^{2}x-1-3 \cos x+2=0$$

     Замена: $$y=\cos x\Rightarrow \left | y \right |\leq 1$$

$$2 y^{2}-3y+1=0$$

$$D=9-8=1$$

$$\left\{\begin{matrix}y_{1}=\frac{3+1}{4}=1\\y_{2}=\frac{3+1}{4}=0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2 \pi n\\x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi k,n,k\in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на промежутке: $$[-4 \pi -\frac{5\pi}{2}]$$

Для корня $$2\pi k: -4\pi$$

Для корня $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ :нет

Для корня $$\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$-4 \pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{11\pi}{3}$$.

Задание 4030

а) Решите уравнение $$2\cos^{3} x -\cos^{2} x +2\cos x -1=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[2\pi;\frac{7\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n\in Z$$ Б)$$\frac{7\pi}{3}$$
Скрыть

А)   Сгруппируем слагаемые:

$$\cos^{2} x(2 \cos x-1)+(2\cos x-1)=0$$

$$(2 \cos x-1)(\cos^{2}x+1)=0$$

     Т.к. $$\cos^{2}x\geq 0$$ при любом x,тогда $$\cos ^{2}+1>0$$, при любом x.

$$2\cos x-1=0 \Leftrightarrow$$ $$\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n\in Z$$

Б)   На заданном промежутке корни $$\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$2\pi +\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$$

$$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: нет

Задание 4031

а) Решите уравнение $$\cos 2x - \sin^{2} (\frac{\pi}{2}-x) = -0,25$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi; \frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n;\pm \frac{5\pi}{6}+2 \pi k, k ,n \in Z$$ Б)$$\frac{7\pi}{6};\frac{11\pi}{6};\frac{19\pi}{6}$$
Скрыть

     A) Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:

$$2 \cos ^{2}x-1-\cos ^{2}x+0,25=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{2}x-0,75=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{2}x=\frac{3}{4}$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n\\x=\pm \frac{5\pi}{6}+2 \pi k, k ,n \in Z\end{matrix}\right.$$

     Б) Найдем корни на заданном промежутке :

$$-\frac{5 \pi}{6}+2\pi n$$ : $$\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$$

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n$$: $$2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$$

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n 2$$:$$\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{19\pi}{6}$$

$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$: нет

Задание 4032

Дано уравнение $$2\cos^{2} x +2\sin 2x = 3$$
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{4}+\pi n ,n\in Z; arctg \frac{1}{3}+\pi k, k\in Z$$ Б)$$-\pi+arctg \frac{1}{3};-\frac{3\pi }{4}$$
Скрыть

   А) Воспользуемся формулами синуса двойного аргумента и основным тригонометрическим тождеством:

$$2\cos^{2}x+2 *2\sin x \cos x-3(\sin^{2}x+\cos^{2}x)=0\Leftrightarrow$$$$-\cos^{2}x+4 \sin x\cos x-3 \sin^{2}x=0| :(-\cos^{2})x\Leftrightarrow$$$$3tg^{2}x-4 tg x+1=0$$

$$D=16-12=4$$

$$\left\{\begin{matrix}tg x=\frac{4+2}{6} =1\\tg x=\frac{4-2}{6} =\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n ,n\in Z\\x=arctg \frac{1}{3}+\pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$

   Б) Найдем корни на заданном промежутке :

$$arctg \frac{1}{3}+\pi k$$: $$-\pi+arctg \frac{1}{3 }$$

$$\frac{\pi}{4}+\pi n$$: $$-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi }{4}$$

Задание 4033

а) Решите уравнение $$\sin x + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: А) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z$$ Б) $$\frac{7\pi}{4}$$
Скрыть

   А) Уберем скобки, использую формулу сокращенного умножения:

$$\sin x+\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2}=0$$

Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента: 

$$\sin x+\cos x=0|:\cos x \neq 0\Leftrightarrow$$$$tg x+1=0$$$$tgx=-1\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z$$

   Б) $$2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$$

Задание 4034

а) Решите уравнение $$\sin 2x -2\sqrt{3}\cos^{2} x - 4\sin x + 4\sqrt{3}\cos x = 0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi ; \frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$x =\frac{\pi}{3}+\pi n, n \in Z$$ Б)$$\frac{4\pi}{3};\frac{7\pi}{3}$$
Скрыть

   А) Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

$$2 \sin x \cos x-2\sqrt{3}\cos^{2}x-4 \sin x+4\sqrt{3} \cos x=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin x(\cos x-2)-2\sqrt{3}\cos x(\cos x-2)=0\Leftrightarrow$$$$(2 \sin x-2\sqrt{3} \cos x)(\cos x-2)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}2 \sin x-2\sqrt{3}\cos x=0\\\cos x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}tg x-\sqrt{3} =0\\ \varnothing , \left | \cos x \right |\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$tg x=\sqrt{3}\Leftrightarrow x =\frac{\pi}{3}+\pi n, n \in Z$$

   Б) $$\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

$$2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$$

Задание 4062

а) Решите уравнение $$\cos^{2} \frac{x}{2} -\sin^{2} \frac{x}{2} =\sin(\frac{\pi}{2}-2x)$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: А) $$2 \pi n, n \in Z;\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi k, k \in Z$$ Б) $$2\pi;\frac{4\pi}{3}$$
Скрыть

   А) Воспользуемся формулами косинуса двойного агрумента и приведения:

$$\cos 2*\frac{x}{2}=\cos 2x\Leftrightarrow$$$$\cos x=2 \cos ^{2}x -1=0\Leftrightarrow$$$$2 \cos ^{2}x =\cos x-1=0$$

$$D=1+8=9$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{1+3}{4} =1\\\cos x=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2 \pi n, n \in Z\\x=\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$

   Б) $$2 \pi n$$: $$2\pi$$

$$- \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ :$$\pi + \frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

Задание 4063

а) Решите уравнение $$\sqrt{2}\sin^{3} x - \sqrt{2}\sin x + \cos^{2} x =0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\frac{5\pi}{2};-\pi]$$

Ответ: А) $$\frac{\pi}{2}+\pi k,k \in Z;(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi n,n \in Z$$ Б) $$-\frac{5 \pi}{2}; -\frac{3 \pi}{2}; -\frac{7\pi}{4};-\frac{5\pi}{4}$$
Скрыть

   А) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

$$\sqrt{2}\sin x(\sin ^{2}x -1)+(1-\sin^{2}x)=0\Leftrightarrow$$$$(\sin^{2}-1)(\sqrt{2}\sin x-1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin^{2}x -1=0\\\sqrt{2}\sin x-1 =0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin^{2}x=1\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x=\pm 1\\\sin x=(-1)^{n}\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{2}+\pi k,k \in Z\\x_{2}=(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi n,n \in Z\end{matrix}\right.$$

   Б) $$x_{1}:-\frac{5 \pi}{2}; -\frac{3 \pi}{2}$$

$$x_{2}:- 2\pi +\frac{\pi}{4}=-\frac{7\pi}{4}; -\pi- \frac{\pi}{4}=-\frac{5\pi}{4}$$

Задание 4064

а) Решите уравнение $$4\sin^{3} x=3\cos (x-\frac{\pi}{2})$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{7\pi}{2};\frac{9\pi}{2}]$$

Ответ: А) $$\pi n, n\in Z;(-1)^{n}\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z;(-1)^{m+1}+\pi m,m \in Z$$ Б) $$4\pi;\frac{13\pi}{3};\frac{11\pi}{3}$$
Скрыть

   А) $$4 \sin ^{3}x=3 \cos(x-\frac{\pi}{2})\Leftrightarrow$$$$4 \sin ^{3}x=3 \cos(\frac{\pi}{2}-x)\Leftrightarrow$$$$4 \sin^{3}x=3 \sin x\Leftrightarrow$$$$4 \sin^{3}x-3 \sin x=0\Leftrightarrow$$$$\sin x(4 \sin^{2}x-3)=0$$

$$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\4 \sin^{2}x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n,n \in Z\\\sin^{2}x=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n , n \in Z\\\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=\pi n, n\in Z\\x_{2}=(-1)^{n}\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z\\x_{3}=(-1)^{m+1}+\pi m,m \in Z\end{matrix}\right.$$

   Б) $$x_{1}: 4\pi$$

$$x_{2}:4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}$$

$$x_{3}:4 \pi -\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}$$

Задание 4065

а) Решите уравнение $$tg^{2} x+(1+\sqrt{3})tg x + \sqrt{3}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{5\pi}{2};4\pi]$$

Ответ: А) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z;-\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z$$ Б) $$\frac{15\pi}{4};\frac{11\pi}{3}$$
Скрыть

     А) $$tg^{2}x+(1+\sqrt{3})tgx+\sqrt{3}=0$$

$$D=(1+\sqrt{3})^{2}-4\sqrt{3}=1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}+3=(1-\sqrt{3})^{2}$$

$$\left[\begin{matrix}tg x=\frac{-1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1}{2}=-1\\tgx=\frac{-1-\sqrt{3}-\sqrt{3}+1}{2}=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=-\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\\x_{2}=-\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z \end{matrix}\right.$$

   Б) $$x_{1}$$: $$3\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{11\pi}{4};$$$$4\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{15\pi}{4}$$

$$x_{2}$$:$$3\pi-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi}{3};$$ $$4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}$$

Задание 4066

Решите уравнение: $$ |\cos x+ \sin x|= \sqrt{2}\sin 2x$$

Ответ: $$\frac{\pi}{4}+\pi k, k\in Z$$
Скрыть

   А) Так как слева модуль, то ОДЗ (D): $$\sin 2x\geq 0$$

Возведем обе части в квадрат:

$$(\left | \cos x+\sin x \right |)^{2}=(\sqrt{2}\sin 2x)^{2}$$

$$\cos^{2}x+2\sin x \cos x+\sin^{2}x=2 \sin ^{2}2x$$

$$1+\sin 2x -2 \sin^{2}x=0$$

$$D=1+8-9$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin 2x =\frac{-1+3}{-4} =-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{-1-3}{-4}=1\end{matrix}\right.$$

$$\sin 2x=-\frac{1}{2} \notin D$$

$$\sin 2x=1\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k,k\in Z\Leftrightarrow$$$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in Z$$

 

Задание 4187

а) Решите уравнение: $$\cos(x+\frac{\pi}{3})+\sin(x+\frac{\pi}{6})-\cos2x=1$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: a) $$\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z$$;$$\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z$$; б) $$-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3}$$;$$\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) $$\cos x\cos\frac{\pi}{3}-\sin x\sin\frac{\pi}{3}+\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}-\cos2x=1$$; $$\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x -2\cos^{2}x+1-1=0$$; $$\cos x-2\cos^{2}x=0$$; $$\cos x(1-2\cos x)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\\cos x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$; $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z\\x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$ 

б) Все 4 корня попадают $$-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3}$$;$$\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}$$

 

Задание 4395

а) Решите уравнение: $$4\cdot(\sin4x-\sin2x)=\sin x\cdot(4\cos^{2}3x+3)$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[0;\frac{3\pi}{2}]$$
Ответ: а) $$\pi n$$;$$\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3},n,k\in Z$$ б) $$0;\frac{\pi}{9}$$; $$\frac{5\pi}{9}$$; $$\frac{7\pi}{9}$$; $$\pi$$; $$\frac{11\pi}{9}$$; $$\frac{13\pi}{9}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) $$4\cdot(\sin4x-\sin2x)=\sin x\cdot(4\cos^{2}3x+3)$$; $$8\sin\frac{4x-2x}{2}\cdot\cos\frac{4x+2x}{2}-\sin x(4\cos^{2}3x+3)=0$$; $$8\sin x\cdot\cos3x-\sin x(4\cos^{2}3x+3)=0$$; $$\sin x(8\cos3x-4\cos^{2}3x-3)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\sin x=0(1)\\4\cos^{2}3x-8\cos3x+3=0(2)\end{matrix}\right.$$

1) $$\sin x=0$$; $$x=\pi n,n\in Z$$

2) $$\cos3x=t$$; $$4t^{2}-8t+3=0$$; $$D=64-48=16$$; $$t_{1}=\frac{8+4}{4}=\frac{3}{2}$$; $$t_{2}=\frac{8-4}{4}=\frac{1}{2}$$;

$$\cos x=\frac{3}{2}$$ - решений нет ($$|\cos3x\leq1|)$$; $$\cos3x=\frac{1}{2}$$; $$3x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z$$; $$x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3},k\in Z$$;

б) $$0\leq\pi n\leq\frac{3\pi}{2}$$; $$0\leq n\leq\frac{3}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$n=0;1$$

2) $$x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3},k\in Z$$; $$0\leq\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\leq\frac{3\pi}{2}$$; $$-\frac{\pi}{9}\leq\frac{2\pi k}{3}\leq\frac{25\pi}{18}$$; $$-\frac{1}{6}\leq k\leq\frac{75}{36}$$; $$\Rightarrow$$ $$k=0;1;2$$

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot0=\frac{\pi}{9}$$; $$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot2=\frac{13\pi}{9}$$; $$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot1=\frac{7\pi}{9}$$; $$0\leq-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\leq\frac{3\pi}{2}$$; $$\frac{\pi}{9}\leq\frac{2\pi k}{3}\leq\frac{29\pi}{18}$$; $$\frac{1}{9}\leq k\leq\frac{87}{36}$$; $$\Rightarrow$$ $$k=1;2$$ $$\Rightarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot1=\frac{5\pi}{9}$$; $$x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot2=\frac{11\pi}{9}$$

 

Задание 4572

Дано уравнение $$\sin 7x-\cos 6x-\sin 5x=2\sin x+5$$

А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-7\pi;-5\pi]$$
Ответ: а) $$-\frac{\pi }{2}+2\pi k, k\in Z;$$ б) $$-\frac{13\pi }{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4818

а) Решите уравнение: $$\cos 2x +3\sqrt{2}\sin x -3 =0$$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$(\frac{\pi}{4}; \pi]$$

Ответ: А) $$(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi k , k \in Z$$ Б)$$\frac{3\pi}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     А)  Применим формулу косинуса двойного угла $$\cos 2x=1-2\sin^{2}x$$: $$\cos 2x+3\sqrt{2}\sin x-3=0\Leftrightarrow$$ $$1-2\sin^{2}x+3\sqrt{2}\sin x-3=0\Leftrightarrow$$ $$2\sin^{2}x-3\sqrt{2}+2=0$$

   $$D=(3\sqrt{2})^{2}-4*4=18-16=2$$

   Поскольку $$-1\leq \sin x\leq 1$$, то  $$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi k , k \in Z$$

   $$\left[\begin{matrix}\sin x=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{2}}4{=\sqrt{2}}\\\sin x=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$

     Б) Найдем корни уравнения на промежутке  $$(\frac{\pi}{4};\pi]$$ с помощью тригонометрического круга : $$x=\frac{3\pi}{4}$$

 

Задание 4862

A) Решите уравнение: $$3\sin^{2} x -\cos (\frac{9\pi}{2}-x)\sin (\frac{3\pi}{2}+x) -2 =0$$ Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $$[3\pi ; 4\pi]$$

Ответ: а)$$x=\frac{\pi}{4}+\pi*n ; x=-arctg2 +\pi*n , n \in Z$$ б) $$\frac{13\pi}{4} ; 4\pi - arctg2$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а)Воспользуемся формулами приведения: $$3\sin^{2} x -\cos (\frac{9\pi}{2}-x)\sin (\frac{3\pi}{2}+x) -2 =0\Leftrightarrow $$$$3\sin^{2} x +\sin x \cos x - 2(\sin^{2} x +\cos ^{2} x =0\Leftrightarrow $$$$\sin^{2} x +\sin x \cos x -2\cos^{2} x=0$$

Поделим обе части на $$\cos^{2} x \neq 0$$ и решим уравнение относительно $$tg x$$:

$$tg^{2} x +tg-2=0 \Leftrightarrow $$$$tgx=1 ; tgx=-2 \Leftrightarrow $$$$x=\frac{\pi}{4}+\pi*n ; x=-arctg2 +\pi*n , n \in Z$$

б)Отметим на единичной окружности полученные решения и отрезок. Полученные решения представим как $$x=\frac{\pi}{4}+\pi*n \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+2\pi*n ; x=-\frac{3\pi}{4}+\pi*n$$

$$ x=-arctg2 +\pi*n \Leftrightarrow x=-arctg2 +2\pi*n ; x=\pi-arctg2 +\pi*n$$

Как видим, попадает только два. Чтобы найти первый мы к $$3\pi$$ прибавляем $$\frac{\pi}{4}$$ и получаем $$\frac{13\pi}{4}$$. Чтобы найти второй мы из $$4\pi$$ вычитаем $$arctg2$$ и получаем $$4\pi - arctg2$$

 

Задание 4913

А) Решите уравнение $$\cos2(x+\frac{\pi}{3})+4\sin(x+\frac{\pi}{3})=\frac{5}{2}$$

Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\pi]$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Пусть $$x+\frac{\pi}{3}=y$$;
$$\cos2y+4\sin y=\frac{5}{2}\Leftrightarrow $$$$1-2\sin^{2}y+4\sin y-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow $$$$-2\sin^{2}y+4\sin y-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow $$$$4\sin^{2}y-8\sin y+3=0$$;
$$D=64-48=16$$
$$\sin y=\frac{8+4}{8}=\frac{3}{2}$$ - решений нет;
$$\sin y=\frac{8-4}{8}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}y=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\y=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$
Построим единичную окружность, отметим корни в общем виде и промежутке и найдем частные случаи корней:
Очевидно, что корни, попадающие в данные отрезки это $$-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}$$
 

Задание 5056

А) Решите уравнение $$\sin x+\cos(5x-\frac{9\pi}{2}) =\sqrt{3}\sin(3x+\pi)$$  

Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $$[-\pi;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: А) $$\frac{\pi n }{3}, n \in Z; \pm \frac{5\pi}{12}+nk, k \in Z$$ Б) $$\pi; -\frac{2\pi}{3} ;-\frac{7\pi}{12};-\frac{5\pi}{12};-\frac{\pi}{3};0;\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{12}.$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     А) Применим формулы привидения : $$\cos (5x-\frac{9\pi}{2})=\cos (\frac{\pi}{2}-5x)=\sin 5x$$, $$\sin (3x+\pi)=-\sin 3x$$

Уравнение имеет вид: $$\sin x+\sin 5x=-\sqrt{3}\sin 3x\Leftrightarrow$$ $$2\sin 3x \cos 2x +\sqrt{3}\sin 3x=0\Leftrightarrow$$ $$\sin 3x (2 \cos 2x+\sqrt{3})\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\sin 3x=0\\2 \cos 2x+\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\sin 3x=0\\\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}3x=\pi n, n \in Z\\2x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi k , k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi n}{3}, n \in Z\\x=\pm \frac{5\pi}{12}+\pi k , k \in Z\end{matrix}\right.$$

     Б) Отбор корней $$\in [\pi ;\frac{\pi}{2}]$$ проведем на тригонометрической окружности :

$$x_{1}=-\pi$$; $$x_{2}=-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}$$; $$x_{3}=-\pi+\frac{5\pi}{12}=-\frac{7\pi}{12}$$; $$x_{4}=-\frac{5\pi}{12}$$; $$x_{5}=-\frac{\pi}{3}$$; $$x_{6}=0$$; $$x_{7}=\frac{\pi}{3}$$; $$x_{8}=\frac{5\pi}{12}$$

 

Задание 5095

Решите уравнение $$\cos\frac{\pi x}{6}=-0,5$$. В ответе запишите наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ: -4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\cos \frac{\pi x}{6}=-0,5\Leftrightarrow$$ $$\frac{\pi x}{6}=\pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n, n \in Z\Leftrightarrow$$ $$x=\pm 4+12n, n \in Z$$

Найдем наибольший отрицательный :

$$\left\{\begin{matrix}4+12n<0\\-4+12n<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}12n<-4\\12<4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}n<-\frac{1}{3}\\n<\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left{\begin{matrix}n=-1\\n=0 & &\end{matrix}\right.$$

$$x_{1}=4+12(-1)=-8$$, $$x_{2}=-4+12*0=-4$$

Наибольший отрицательный: -4.

 

Задание 5140

а)Решите уравнение $$\cos2x+\sqrt{2}\cos(x+\frac{5\pi}{4})=\sin x$$
Б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[6\pi;\frac{15\pi}{2}]$$

Ответ: Б) $$6\pi$$; $$\frac{20\pi}{3}$$; $$\frac{22\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) $$\cos2x+\sqrt{2}\cos(x+\frac{5\pi}{4})=\sin x$$; $$\cos2x+\sqrt{2}(\cos x\cos\frac{5\pi}{4}-\sin x\sin\frac{5\pi}{4})-\sin x=0$$; $$\cos2x+\sqrt{2}\cos x\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})-\sqrt{2}\sin x\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})-\sin x=0$$; $$\cos2x-\cos x+\sin x-\sin x=0$$; $$2\cos^{2}x-1-\cos x=0$$; Пусть $$\cos x=y\in[-1;1]$$; $$2y^{2}-y-1=0$$; $$D=1+8=9$$; $$y_{1}=\frac{1+3}{4}=1$$; $$y_{2}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2\pi n,n\in Z\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$

 

Задание 5193

А) Решите уравнение $$\frac{5}{\cos^{2}(\frac{13\pi}{2}-x)}+\frac{7}{\sin x}-6=0$$;

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{3\pi}{2};3\pi]$$

Ответ: a) $$(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,n\in Z$$; б) $$\frac{11\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) $$\frac{5}{\cos^{2}(\frac{13\pi}{2}-x)}+\frac{7}{\sin x}-6=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos^{2}(\frac{13\pi}{2}-x)\neq0\\\sin x\neq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin^{2}x\neq0\\\sin x\neq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\neq\pi n,n\in Z$$

$$\frac{5}{\sin^{2}x}+\frac{7}{\sin x}-6=0$$

Замена: $$\frac{1}{\sin x}=y$$

$$5y^{2}+7y-6=0$$;

$$D=49+120=13^{2}$$;

$$y_{1}=\frac{-7+13}{10}=\frac{6}{10}$$; 

$$y_{2}=\frac{-7-13}{10}=-2$$

$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sin x}=-2\\\frac{1}{\sin x}=\frac{6}{10}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x=-\frac{1}{2}\\\sin x=\frac{10}{6}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,n\in Z\\ \varnothing \end{matrix}\right.$$

   Б)Построим единичную окружность, отметим полученные корни и заданный промежуток:

Как видим, на заданном промежутке есть только корень $$\frac{\pi}{6}+2\pi n$$. Найдем его значение: $$2\pi- \frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$$

 

Задание 5336

а) Решите уравнение $$\sin 2x=\sin x -2\cos x +1$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[ \frac{3\pi}{2} ; 3\pi ]$$

Ответ: а)$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n ; \pm \frac{\pi}{3}+2\pi k ,n,k\in Z $$б) $$\frac{3\pi}{2} ; \frac{5\pi}{3} ; \frac{7\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\sin 2x=\sin x -2\cos x +1 \Leftrightarrow$$$$2\sin x \cos x-\sin x +2\cos x -1=0 \Leftrightarrow$$$$2\cos x(\sin x+1)-1(\sin x +1)=0 \Leftrightarrow$$$$(\sin x+1)(2\cos x - 1 )=0 \Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix} \sin x = -1\\ \cos x = \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$ \left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\\x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k \end{matrix}\right.(n,k\in Z)$$

Отметим полученные корни на единичной окружности, выделим необходимый промежуток и найдем частные случаи полученных корней:

Получим: $$\frac{3\pi}{2} ; \frac{5\pi}{3} ; \frac{7\pi}{3}$$

 

 

Задание 6040

а) Решите уравнение $$2\sin (x+\frac{\pi}{3}) -\sqrt{3}\cos 2x =\sin x +\sqrt{3}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$$
Ответ: a)$$\frac{\pi}{2}+\pi k,k \in Z ; \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,n \in Z$$ б) $$-\frac{5\pi}{3};-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a)$$2*\sin*\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )-\sqrt{3}*\cos 2x=\sin x+\sqrt{3};$$

$$2*\left ( \sin x*\cos \frac{\pi }{3}+\sin\frac{\pi }{3}*\cos x \right )-\sqrt{3}*\cos 2x-\sin x-\sqrt{3}=0;$$

$$2*\sin x*\frac{1}{2}+2*\frac{\sqrt{3}}{2}*\cos x-\sqrt{3}*\cos 2x-\sin x-\sqrt{3}=0$$

$$\sqrt{3}*\cos x-\sqrt{3}* \cos 2x-\sqrt{3}=0;$$

$$\cos x- \cos 2x-1=0\Leftrightarrow$$$$\cos x-(2\cos^{2} x-1)-1=0$$

$$\cos x-2* \cos ^{2}x=0$$

$$\cos x *\left ( 1-2*\cos x \right )=0$$

$$\left [ \begin{matrix}cos x=0 & & \\1-2*\cos x=0 & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}x=\frac{\pi }{2}+\pi* k,k\varepsilon Z & & \\x=\pm \frac{\pi }{3}+2*\pi *n.n\varepsilon Z & &\end{matrix}\right.$$

б)Найдем частные случаи корней, принадлежащие выбранному промежутку (синим цветом):

$$-2*\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{5*\pi }{3}$$

$$-2*\pi+\frac{\pi}{2}=-\frac{3*\pi}{2}$$

$$-\pi+\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}$$

 

Задание 6411

Найдите корень уравнения $$\sin \frac{\pi(x+9)}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$  . В ответе напишите наименьший положительный корень.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Найдем значение х:

$$\left[\begin{matrix}\frac{\pi(x+9)}{4}=-\frac{\pi}{4} +2\pi n , n \in Z|:\frac{\pi}{4}\\\frac{\pi(x+9)}{4}=-\frac{3\pi}{4} +2\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x+9=-1+8n\\x+9=-3+8n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=-10+8n\\x=-12+8n, n \in Z\end{matrix}\right.$$

     Найдем наименьший положительный для первого корня: $$-12+8n>0\Leftrightarrow$$ $$8n>12\Leftrightarrow$$ $$n>\pm 1,5$$. Тогда, наименьшее n при котором выйдет наименьший положительный корень составит 2: При $$n=2: x=-12+8*2=4$$

     Найдем наименьший положительный для второго корня:$$-10+8n>0\Leftrightarrow$$ $$8n>10\Leftrightarrow$$ $$n>1\frac{1}{4}$$, тогда, наименьшее n при котором выйдет наименьший положительный корень составит 2: при n=2 $$x=-10+8*2=6$$

     Как видим, наименьший положительный корень равен 4

 

Задание 6467

а) Решите уравнение $$(\sin x +\cos x)\sqrt{2}=tg x+ctg x$$ 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\pi;\frac{\pi}{2}]$$
Ответ: А)$$\frac{\pi}{4}+2\pi n , n \in Z$$ Б)$$\frac{\pi}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   A) $$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=tg x+ctg x$$

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\sin x\neq 0\\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.$$

     Решение: $$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}$$

$$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=\frac{\sin^{2}x+\cos ^{2}x}{\sin x \cos x}$$

$$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=\frac{1}{\sin x \cos x}|:2$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{1}{2\sin x \cos x}$$

$$\cos \frac{\pi}{4}\sin x+\sin \frac{\pi}{4}\cos x=\frac{1}{\sin 2x}$$

$$\sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sin 2x}$$

     С учетом , что $$-1\leq \sin 2x \leq 1$$, то $$\frac{1}{\sin 2x}\in (-\infty ;-1]\cup [1;+\infty )$$. Но и $$\sin (x+\frac{\pi}{4})\in [1;1]$$, тогда решение будет только тогда, когда : $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\sin 2x=1\\\sin (x+\frac{\pi}{4})=1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\sin 2x=-1\\\sin (x+\frac{\pi}{4})=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\\x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}2x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi n\\x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n\\x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{4}+\pi n\\x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\frac{\pi}{4}+2\pi n\\\varnothing\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \frac{\pi}{4}+2\pi n , n \in Z$$

   Б) На данном промежутке: при n=0: $$\frac{\pi}{4}$$

 

Задание 6568

а) Решите уравнение $$\sin (2x+\frac{5\pi}{2})-3\cos (x-\frac{7\pi}{2})=1+2\sin x$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{3};\pi]$$
Ответ: А) $$\pi n; (-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n, n \in Z$$ Б)$$0;\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6};\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) $$\sin (\frac{\pi}{2}+2x)-3 \cos (\frac{3 \pi}{2}-x)=1+2 \sin x$$

$$\cos 2x+3 \sin x=1+2 \sin x$$

$$x-2 \sin ^{2}x+3 \sin x -2 \sin x-x=0$$

$$-2 \sin^{2}x+\sin x=0$$

$$\sin x(-2 \sin x-1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n , n \in Z\\x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n\end{matrix}\right.$$

   Б) $$\pi n$$ : $$n=0\Rightarrow 0$$, $$n=1\Rightarrow \pi$$

$$(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n$$ : $$n=0\Rightarrow \frac{\pi}{6}$$, $$n=1\Rightarrow \frac{5 \pi}{6}$$

 

Задание 6804

а) Решите уравнение $$4 \sin ^{2}(2x+\pi)-2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos (2 x-\pi)+\sqrt{15}-4=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$$
Ответ: А)$$\pm \frac{5 \pi}{12}+\pi n n \in Z$$ Б)$$-\frac{17 \pi}{12};-\frac{7 \pi}{12};\pm \frac{5 \pi}{12};$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) $$4 \sin ^{2}(2x+\pi)-2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos (2 x-\pi)+\sqrt{15}-4=0\Leftrightarrow$$$$4 \sin ^{2}2x+2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos 2x+\sqrt{15}-4=0\Leftrightarrow$$$$4-4 \cos ^{2}2x+2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos 2x+\sqrt{15}-4=0\Leftrightarrow$$$$4 \cos ^{2}2x-2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos 2x-\sqrt{15}=0\Leftrightarrow$$$$4 \cos^{2} 2x+2\sqrt{3}\cos 2x-2\sqrt{5}\cos 2x -\sqrt{15}=0\Leftrightarrow$$$$2 \cos 2x(2 \cos 2x+\sqrt{3})-\sqrt{5}(2 \cos 2x+\sqrt{3})=0\Leftrightarrow$$$$(2 \cos 2x+\sqrt{3})(2 \cos2x-\sqrt{5})=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos 2x=\frac{\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x=\pm \frac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in Z\\\phi , (\left | \cos 2x \right |\leqslant 1)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{5 \pi}{12}+\pi n n \in Z$$

     Б) На промежутке $$[-\frac{3 \pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$$:

$$\frac{5 \pi}{12}+\pi n$$ : -$$\pi+\frac{5 \pi}{12}=-\frac{7 \pi}{12}$$; $$0+\frac{5 \pi}{12}=\frac{5 \pi}{12}$$

$$-\frac{5 \pi}{12}+\pi n$$ : $$-\pi -\frac{5 \pi}{12}=-\frac{17 \pi}{12}$$; $$-\frac{5 \pi}{12}=-\frac{5 \pi}{12}$$

 

Задание 6824

а) Решите уравнение $$\frac{1+\sqrt{3}}{2}\sin 2x=(\sqrt{3}-1)\cos^{2} x+1$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi;\frac{3\pi}{2}]$$
Ответ: А) $$\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{3}+\pi k,n,k \in Z$$ Б)$$\frac{5\pi}{4};\frac{4\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А)   $$\frac{1+\sqrt{3}}{2}\sin 2x=(\sqrt{3}-1)\cos ^{2}x +1\Leftrightarrow$$$$(1+\sqrt{3}) \sin x \cos x -(\sqrt{3}-1) \cos ^{2}x- \sin ^{2}x- \cos ^{2}x=0\Leftrightarrow$$$$\sin ^{2}x+\sqrt{3} \cos ^{2}x -(1+\sqrt{3}) \sin x \cos x=0|:\cos x\Leftrightarrow$$$$tg^{2}x-(1+\sqrt{3})tgx+\sqrt{3}=0$$

$$D=(1+\sqrt{3})^{2}-4* \sqrt{3}=1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}+3=(1-\sqrt{3})^{2}$$

$$\left[\begin{matrix}tg x=\frac{1+\sqrt{3}-\left | 1-\sqrt{3} \right |}{2}=1\\tg x=\frac{1+\sqrt{3}+\left | 1-\sqrt{3} \right |}{2}=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\\x=\frac{\pi}{3}+\pi k,k \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   На промежутке $$[\pi;\frac{3\pi}{2}]$$ получим следующие корни:

$$\frac{\pi}{4}+\pi n:$$$$\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$$

$$\frac{\pi}{3}+\pi k:$$$$\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

 

Задание 7199

а) Решите уравнение $$\sin(2x+\frac{5\pi}{2})-3\cos(x-\frac{7\pi}{2})=1+2\sin x$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\pi]$$
Ответ: А) $$\pi n; \frac{\pi}{6}+2 \pi k; \frac{5 \pi}{6}+ 2 \pi k, n,k \in Z$$ Б) $$-\frac{7 \pi}{6}; -\pi ;0;\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}; \pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) Воспользуемся формулами приведения: $$\sin (2x+\frac{5 \pi}{2})=\sin (\frac{5 \pi}{2}+2x)=$$$$\sin (\frac{\pi}{2}+2x)=\cos 2x$$; $$\cos (x-\frac{7 \pi}{2})=\cos (\frac{7 \pi}{2}-x)=$$$$\cos (\frac{3 \pi}{2}-x)=-\sin x$$

   Тогда получим: $$\cos 2x+3 \sin x-1-2 \sin x=0\Leftrightarrow$$ $$1-2 \sin ^{2}x+\sin x-1=0\Leftrightarrow$$ $$\sin x-2 \sin ^{2}x=0\Leftrightarrow$$ $$\sin x(1-2 \sin x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=\pi n, n \in Z\\x=\frac{\pi}{6}+2 \pi k\\x=\frac{5 \pi}{6}+ 2 \pi k\end{matrix}\right.$$

     Б) Найдем корни, принадлежащие $$[-\frac{3 \pi}{2}; \pi]$$:

$$\frac{5 \pi}{6}+2 \pi k$$:$$ -\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{7 \pi}{6}$$; $$\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6}$$

$$\pi n$$: $$-\pi ;0; \pi$$.

$$\frac{\pi}{6}+\pi k$$: $$0+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$$

 

Задание 7440

а) Решите уравнение $$\cos x-2\sin 2x \sin x -4\cos 2x -4\sin^{2} x=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{2\pi}{3};\pi]$$
Ответ: а) $$\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n, \frac{\pi }{2}+\pi n, n\in Z$$; б) $$-\frac{\pi }{2}; -\frac{2\pi }{3}; \frac{\pi }{2}; \frac{2\pi }{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7682

а) Решите уравнение $$\sin 3x+\cos 2x +2=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{\pi}{4};\pi]$$
Ответ: а) $$\frac{\pi }{2}+2\pi n$$; б)$$\frac{\pi }{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7781

а) Решите уравнение $$\sin^{4} x+\cos^{4}x=0,0625$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{4}]$$
Ответ: а) $$\pm \frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{2}$$; б) $$-\frac{2\pi }{3}; -\frac{\pi }{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7862

а) Решите уравнение: $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1$$;

б) Укажите корни этого уранения, принадлежащие отрезку $$\begin{bmatrix}\frac{\pi}{2}&;\frac{7\pi}{2}\end{bmatrix}$$

Ответ: а) $$\frac{5\pi}{12}+\pi k$$, $$k\in Z$$; б) $$\frac{17\pi}{12}; \frac{29\pi}{12};\frac{41\pi}{12}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-(2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1)-2$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-\cos(\frac{\pi}{6}+2x)-2$$

Заметим, что : $$\cos(\frac{\pi}{6}+2x)=\cos(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}-2x))=\sin(\frac{\pi}{3}-2x)$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-\sin(\frac{\pi}{3}-2x)-2$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-1$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{\pi}{3}-2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$ $$\Rightarrow$$ $$-2x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{5\pi}{12}+\pi k$$, $$k\in Z$$

б) с помощью двойного неравенства отберем корни: $$\frac{\pi}{2}\leq \frac{5\pi}{12}+\pi k \leq \frac{7\pi}{2}\Leftrightarrow$$$$\frac{\pi}{12}\leq \pi k \leq \frac{37\pi}{12}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{12}\leq k\leq \frac{37}{12}$$.

Тогда $$k=1: x=\frac{5\pi}{12}$$; $$k=2: x=\frac{17\pi}{12}$$; $$k=2: x=\frac{29\pi}{12}$$

 

Задание 7893

а) Решите уравнение $$\sin(\pi-x)-\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-1$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\pi;\frac{3\pi}{2}]$$
Ответ: а)$$\frac{-\pi}{6}+2\pi n; \frac{7\pi}{6}+2\pi n$$; б) $$\frac{-5\pi}{6}; \frac{-\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7942

а) Решите уравнение $$\cos 9x-\cos 7x=\sqrt{2}\sin x$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\pi]$$
Ответ: а)$$\frac{-\pi}{32}+\frac{\pi n}{4}; \frac{-3\pi}{32}+\frac{\pi n}{4}$$; б) $$\frac{-43\pi}{32}; \frac{-41\pi}{32}; \frac{-35\pi}{32}; \frac{-33\pi}{32}; -\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8697

а) Решите уравнение $$\cos 2x-\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{2}+x)+1=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}]$$

Ответ: а)$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n; -\frac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in Z$$ б)$$-\frac{19\pi}{4};-\frac{17\pi}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8717

а) Решите уравнение $$2\sin^{2}x-3\sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{2}+x)-5=0$$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi}{2};-\pi]$$
Ответ: а)$$\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,n \in Z$$ б)$$-\frac{7\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8778

а) Решите уравнение: $$2\cos^{4}x+3\sin^{2}x-2=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2}]$$
Ответ: а)$$\pi n, \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n }{2}, n\in Z$$ б)$$-\frac{13\pi}{4};-3\pi;-\frac{11\pi}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8797

а) Решите уравнение $$4\sin^{4}x+7\cos^{2}x-4=0$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi;-4\pi]$$

Ответ: а)$$\pm \frac{\pi}{3}+\pi n; \frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z$$ б)$$-\frac{14\pi}{3};-\frac{9\pi}{2};-\frac{13\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9161

а) Решите уравнение $$4\cos^{2}x+2(\sqrt{2}-1)\sin(\frac{\pi}{2}-x)-\sqrt{2}=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{\pi}{2};2\pi]$$

Ответ: А)$$\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n$$;$$\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$$ Б)$$\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4};\frac{5\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9228

а) Решите уравнение $$\cos x+2\cos(2x-\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}\sin 2x-1$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}]$$

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9245

а) Решите уравнение $$\sin x+\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}-2x)=\cos 2x$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[4\pi;\frac{11\pi}{2}]$$

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9342

а) Решите уравнение $$\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x+\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{5x}{2}$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi}{2};-2\pi]$$

Ответ: а) $$\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n; \pi n, n\in Z$$; б) $$-\frac{9\pi }{4}; -2\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9527

а) Решите уравнение: $$\cos 4x-sin 2x=0$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[0;\pi]$$

Ответ: а)$$\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}, k\in Z$$ б)$$\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12};\frac{3\pi}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9772

Найдите наименьший положительный корень уравнения $$\cos^{4}\frac{\pi x}{4}=1+\sin^{4} \frac{\pi x}{4}$$

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9875

а) Решите уравнение $$(1+\sin \frac{\pi}{7})^{3-\cos 2x}=(\sin \frac{\pi}{14}+\cos \frac{\pi}{14})^{10\sin x}$$
б) Найдите корни этого уравнения, по абсолютной величине не превышающие $$1,5\pi$$
Ответ: а)$$\frac{\pi}{6}+2\pi n;$$$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$б)$$-\frac{7\pi}{6};\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10052

Дано уравнение $$\sin 2x+\sqrt{3}(\cos x-\sin x)=1,5$$

А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$$.
Ответ: А)$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;$$$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n;$$$$\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n, n \in Z$$ Б)$$-\frac{8\pi}{3};-\frac{7\pi}{3};-\frac{13\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

<object><embed src="https://mathlesson.ru/sites/default/files/larin/e301/pdf/e301_13_1.pdf" width="100%" height="500" /></object>

 

Задание 10278

Найдите $$x_{0}$$ ‐ наибольший отрицательный корень уравнения $$\sqrt{-3\sin x+\cos x}=\sqrt{\sin x-3\cos x}$$. В ответе укажите $$\frac{x_{0}}{\pi}$$

Ответ: -0,75
 

Задание 10382

А) Найдите корень уравнения $$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ (в градусах),
Б) Укажите корни, принадлежащий промежутку [270o;360o]
Ответ: 330
 

Задание 10440

а) Решите уравнение

$$\sin x+\cos x+\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$-\frac{\pi}{4}+\pi n, \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$$$\pi+2\pi n, n\in Z$$ Б)$$-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}$$
 

Задание 10595

а) Решите уравнение $$\left|{\cos x\ }+{\cos 3x\ }\right|=-{\cos 2x\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$$

Ответ: а)$$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\pm \frac{\pi}{3}+\pi n$$ б)$$-\frac{3\pi}{4};-\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{3};-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{3}$$
 

Задание 10655

а) Решите уравнение $${\cos 2x\ }-{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }\cdot {\cos x\ }+1={{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 3}} x\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$\left(-arctg2;\pi \right)$$

Ответ: а) $$\frac{\pi }{4}+\pi n, -arctg2+\pi n, n\in Z$$; б) $$\frac{\pi }{4}; \pi -arctg2$$
 

Задание 10731

а) Решите уравнение $${\cos 4x\ }+{\cos 2x\ }=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\pi ;\frac{\pi }{3}\right]$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$; $$x=\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in Z$$ б) $$-\frac{5\pi }{6};-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}.$$
Скрыть

а) Перепишем исходное уравнение, используя формулу: $${\cos \alpha \ }+{\cos \beta \ }=2{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\ }{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\ }$$. Получим: $$2{\cos 3x\ }{\cos x\ }=0$$

Имеем два уравнения:

$$1) {\cos 3x\ }=0\to 3x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z\to x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$

$$2) {\cos x\ }=0\to x=\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in Z$$

Множество $$\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in Z$$ является частью множества $$\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$.

б) Отбор корней сделаем с помощью двойного неравенства, получим:

$$-\pi \le \frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3}\le \frac{\pi }{3}\to -1\le \frac{1}{6}+\frac{n}{3}\le \frac{1}{3}\to -3,5\le n\le 0,5$$. (Целые n: -3,-2,-1,0)

Имеем следующие корни: $$-\frac{5\pi }{6};-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}.$$

 

Задание 10751

а) Решите уравнение $$2{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+{\cos x\ }-1=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [$$-5\pi ;\ -4\pi $$]

Ответ: а) $$x=2\pi n,\ n\in Z$$; $$x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z;\ x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi l,\ l\in Z$$ б)$$-4\pi ;\ -\frac{14\pi }{3}$$
Скрыть

а) Упростим выражение, имеем: $$2{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+{\cos x\ }-1=0\to 2\left(1-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }\right)+{\cos x\ }-1=0\to 2{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{\cos x\ }-1=0$$

Сделаем замену $${\cos x\ }=t,\ t\in \left[-1;1\right]$$, получим: $$2t^2-t-1=0\to \left[ \begin{array}{c} t_1=1 \\ t_2=-\frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Имеем два уравнения: $$1: {\cos x\ }=1\to x=2\pi n,\ n\in Z$$ $$2: {\cos x\ }=-\frac{1}{2}\to x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z;\ x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi l,\ l\in Z$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке [$$-5\pi ;\ -4\pi $$]. Получим числа: $$-4\pi ;\ -\frac{14\pi }{3}$$.

 

Задание 10820

а) Решите уравнение $${{\sin }^{{\rm 2}} \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }={\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)\ }\cdot {\cos \left(\frac{17\pi }{2}+x\right)\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$(-\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{2})$$.

Ответ: а) $$\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z; \frac{\pi }{4}+\pi k,k\in Z$$ б)$$-\frac{\pi }{2}$$;$$\frac{3\pi }{2}$$;$$0+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$$;$$2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$$;$$\frac{\pi }{2}$$;$$\frac{7\pi }{4}$$.
Скрыть

а) $${{\sin }^{{\rm 2}} \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }={\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)\ }\cdot {\cos \left(\frac{17\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin x\ }{\cos x\ }\leftrightarrow {\cos x\ }\left({\cos x\ }-{\sin x\ }\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\cos x\ }=0 \\ {\tan x\ }=1 \end{array} \right.\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \\ x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in Z \end{array} \right..$$

б) С помощью единичной окружности отберем корни: 1) $$-\frac{\pi }{2}$$; 2) $$\frac{3\pi }{2}$$; 3) $$0+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$$; 4) $$2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$$; 5) $$\frac{\pi }{2}$$; 6) $$\frac{7\pi }{4}$$.

 

Задание 10840

а) Решите уравнение $$6{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+5{\sin x\ }-2=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$$.

Ответ: а) $$-\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in Z; -\frac{5\pi }{6}+2\pi m,m\in Z$$ б) $$-\frac{13\pi }{6}$$
Скрыть

а) Преобразуем уравнение $$6{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+5{\sin x\ }-2=0\to 6\left(1-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\right)+5{\sin x\ }-2=0\to $$ $$\to 6{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }-5{\sin x\ }-4=0$$.

Сделаем замену $${\sin x\ }=t,t\in \left[-1;1\right]$$, получим: $$6t^2-5t-4=0$$, решаем уравнение, получаем корни $$t_1=-\frac{1}{2};\ t_2=\frac{4}{3}\in [-1;1]$$.

Подставляем синус вместо $$t$$, получаем уравнение $${\sin x\ }=-\frac{1}{2}\to x_1=-\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in Z;\ x_2=-\frac{5\pi }{6}+2\pi m,m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$$. Получим число $$-\frac{13\pi }{6}$$.

 

Задание 10859

а) Решите уравнение $$6{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+5{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }-2=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]$$.

Ответ: а) $$\frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in Z; -\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z$$ б)$$-\frac{14\pi }{3}$$
Скрыть

а) Упростим уравнение, получим: $$6\left(1-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }\right)+5{\cos x\ }-2=0\to 6{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-5{\cos x\ }-4=0$$.

Сделаем замену $${\cos x\ }=t,t\in [-1;1]$$, получим: $$6t^2-5t-4=0$$.

Решаем уравнение, имеем: $$D=25+96=121\to t_1=-\frac{1}{2};t_2=\frac{4}{3}\notin [-1;1]$$.

Переходя к косинусу, получаем $${\cos x\ }=-\frac{1}{2}\to x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in Z;\ x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]$$. Получаем один корень $$-\frac{14\pi }{3}$$.

 

Задание 10878

а) Решите уравнение $$3{\cos 2x\ }-5{\sin x\ }+1=0$$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi ;\frac{5\pi }{2}]$$.
Ответ: а)$$\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in Z; \frac{5\pi }{6}+2\pi m,m\in Z$$ б)$$\frac{13\pi }{6}$$
Скрыть

а) Упростим уравнение, имеем: $$3\left({{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\right)-5{\sin x\ }+1=0\to 3\left(1-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\right)-3{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }-5{\sin x\ }+1=0\to $$ $$\to 6{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+5{\sin x\ }-4=0$$.

Делаем замену $${\sin x=t\ },\ t\in \left[-1;1\right],$$ получим: $$6t^2+5t-4=0$$.

Решаем уравнение, получаем: $$t_1=-\frac{4}{3}\notin \left[-1;1\right],\ t_2=\frac{1}{2}$$.

Переходя обратно к синусу, имеем $${\sin x\ }=\frac{1}{2}\to x_1=\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in Z;x_2=\frac{5\pi }{6}+2\pi m,m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$[\pi ;\frac{5\pi }{2}]$$. Получим число $$\frac{13\pi }{6}$$.

 

Задание 10897

а) Решите уравнение $${{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{\cos 2x\ }=0,75$$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$$.
Ответ: а) $$\frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z$$; $$-\frac{\pi }{3}+\pi m, m\in Z$$ б)$$-\frac{5\pi }{3};\ -\frac{4\pi }{3};-\frac{2\pi }{3}$$
Скрыть

а) Преобразовываем уравнение, имеем: $${{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+{{sin}^{{\rm 2}} x\ }=\frac{3}{4}\to {{\sin }^{{\rm 2}} x\ }=\frac{3}{4}\to \frac{1-{\cos 2x\ }}{2}=\frac{3}{4}\to {\cos 2x\ }=-\frac{1}{2}$$.

Получаем корень уравнения $$2x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi n\to x_1=\frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z$$. $$2x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi m\to x_2=-\frac{\pi }{3}+\pi m,\ m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$$. Получим числа: $$-\frac{5\pi }{3};\ -\frac{4\pi }{3};-\frac{2\pi }{3}$$.

 

Задание 10935

а) Решите уравнение $${\cos 2x\ }-\sqrt{2}{\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }-1=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{3\pi }{2};3\pi ]$$

Ответ: а)$$\pi n,n\in Z; -\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in Z; -\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z$$ б)$$1)\ 2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4};2\pi ;3\pi $$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) $${\cos 2x\ }-\sqrt{2}{\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }-1=0\leftrightarrow 1-2{{\sin }^2 x\ }-\sqrt{2}{\sin x\ }-1=0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow {\rm -2}{\sin x\ }\left({\sin x\ }+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\sin x\ }=0 \\ {\sin x\ }=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c} x=\pi n,n\in Z \\ x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in Z \\ x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z \end{array} \right.$$.

б) С помощью единичной окружности отберем корни: $$1)\ 2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4};2\pi ;3\pi $$

 

Задание 10999

а) Решите уравнение $${\cos (x+\frac{\pi }{3})\ }\cdot {\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\ }=-\frac{1}{2}$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi }{2};2\pi ]$$

Ответ: a) $$x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z$$; б) $$1)-\frac{\pi }{3};\ 2)\frac{5\pi }{3}; 3)\frac{\pi }{3}; 4)\frac{2\pi }{3}; 5)\frac{4\pi }{3}$$
Скрыть

а) $${\cos (x+\frac{\pi }{3})\ }\cdot {\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\ }=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \frac{1}{2}({\cos \left(x+\frac{\pi }{3}+x-\frac{\pi }{3}\right)\ }+{\cos \left(x+\frac{\pi }{3}-x+\frac{\pi }{3}\right)\ }=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow {\cos 2x\ }+{\cos \frac{2\pi }{3}\ }=-1\leftrightarrow {\cos 2x\ }=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in Z\leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z.$$

б) С помощью единичной окружности отберем корни на $$\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right].$$ $$1)-\frac{\pi }{3};\ 2)-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3};3)\ 0+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3};4)\ \pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3};5)\ \pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$$

 

Задание 11019

а) Решите уравнение $$2{\sin 2x\ }-4{\cos x\ }+3{\sin x\ }-3=0$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right].$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in Z; x=\pm \left(\pi -{\arccos \frac{3}{4}\ }\right)+2\pi m,\ m\in Z$$; б) $$\frac{5\pi }{2};\pi +{\arccos \frac{3}{4}\ }$$
Скрыть

а) Упрощаем выражение, получаем: $$4{\sin x\ }{\cos x\ }-4{\cos x\ }+3{\sin x\ }-3=0$$.

Делаем группировку, имеем: $$4{\cos x\ }\left({\sin x\ }-1\right)+3\left({\sin x\ }-1\right)=0\to \left({\sin x\ }-1\right)\left(4{\cos x\ }+3\right)=0.$$

Получаем два уравнения: $$\left\{ \begin{array}{c} {\sin x\ }=1 \\ {\cos x\ }=-\frac{3}{4} \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in Z \\ x=\pm \left(\pi -{\arccos \frac{3}{4}\ }\right)+2\pi m,\ m\in Z \end{array} \right.$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$$. Получим числа: $$\frac{5\pi }{2};\pi +{\arccos \frac{3}{4}\ }.$$

 

Задание 11085

а) Решите уравнение $$2{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\cdot {\cos x\ }-13{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-6{{\cos }^{{\rm 3}} x\ }={\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)\ }-{\cos (\frac{\pi }{6}-x)\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Ответ: а) $$arctg3+\pi n;-arctg\frac{1}{2}+\pi k;$$ $$-arctg2+\pi m,n,k,m\in Z$$; б) $$-arctg2;-arctg\frac{1}{2};\ arctg3$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть а)
$$2{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\cdot {\cos x\ }-13{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-6{{\cos }^{{\rm 3}} x\ }={\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)\ }-{\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)\ }.$$
Учтем, что $${\sin (\frac{\pi }{3}+x)\ }=\left({\sin \frac{\pi }{2}\ }-\left(\frac{\pi }{6}-x\right)\right)={\cos (\frac{\pi }{6}-x)\ }.$$
Получим: $$2{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\cdot {\cos x\ }-13{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-6{{\cos }^{{\rm 3}} x\ }=0|:{{\cos }^{{\rm 3}} x\ }\ne 0.$$
$$2{{\tan }^{{\rm 3}} x\ }-{{\tan }^{{\rm 2}} x\ }-13{\tan x\ }-6=0.$$
Пусть $${\tan x\ }=y:$$ $$2y^3-y^2-13y-6=0\leftrightarrow \left(y-3\right)\left(2y^2+5y+2\right)=0\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} y=3 \\ y=-\frac{1}{2} \\ y=-2 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\tan x\ }=3 \\ {\tan x\ }=-\frac{1}{2} \\ {\tan x\ }=-2 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=arctg3+\pi n \\ x=-arctg\frac{1}{2}+\pi k \\ x=-arctg2+\pi m,n,k,m\in Z \end{array} \right.$$

б) с помощью единичной окружности отберем корни: $$1)-arctg2;2)-arctg\frac{1}{2};3)\ arctg3$$

 

Задание 11104

а) Решите уравнение $${{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{\cos 2x\ }=0,5$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right].$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in Z.$$; б) $$-\frac{5\pi }{4};-\frac{3\pi }{4}.$$
Скрыть

а) Преобразуем уравнение, получим: $${{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }=\frac{1}{2}\to {{\sin }^{{\rm 2}} x\ }=\frac{1}{2}\to \frac{1-{\cos 2x\ }}{2}=\frac{1}{2}\to {\cos 2x\ }=0\to $$ $$\to 2x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z\to x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in Z.$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right].$$ Получим числа: $$-\frac{5\pi }{4};-\frac{3\pi }{4}.$$

 

Задание 11124

а) Решите уравнение $$\frac{7}{{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }}-\frac{1}{{\sin \left(\frac{9\pi }{2}+x\right)\ }}-6=0.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-3\pi ;\ -\frac{\pi }{2}\right].$$

Ответ: а) $$x=2\pi n,n\in Z.$$; б) $$-2\pi .$$
Скрыть

а) Упростим выражение:$$\ \frac{7}{{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }}-\frac{1}{{\cos x\ }}-6=0.$$ ОДЗ: $${\cos x\ne 0\ },\ x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z,$$ имеем: $$7-{\cos x\ }-6{{\cos }^2 x\ }=0.$$ Делаем замену $${\cos x\ }=t,t\in \left[-1;1\right]$$, получаем: $$6t^2+t-7=0.$$

Решаем уравнение: $$t_1=1;\ t_2=-\frac{7}{6}\in \left[-1;1\right].$$ Переходя к косинусу, получаем: $${\cos x\ }=1;x=2\pi n,n\in Z.$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-3\pi ;\ -\frac{\pi }{2}\right].$$ Получим число $$-2\pi .$$

 

Задание 11143

а) Решите уравнение $$2{\sin (x-\frac{\pi }{2})\ }{\cos (\frac{\pi }{2}+x)\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-6\pi ;-5\pi \right].$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z; -\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in Z; -\frac{2\pi }{3}+2\pi l,l\in Z$$; б) $$-\frac{11\pi }{2}.$$
Скрыть

а) Преобразуем уравнение: $$2{\sin (x-\frac{\pi }{2})\ }{\cos (\frac{\pi }{2}+x)\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to $$ $$\to -2{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to 2{\sin x\ }{\cos x\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to $$ $$\to {\cos x\ }\left(2{\sin x\ }+\sqrt{3}\right)=0.$$

Имеем два уравнения: $$1) {\cos x\ }=0\to x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z$$ $$2) {\sin x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\to x_1=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in Z;x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi l,l\in Z\ $$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-6\pi ;-5\pi \right].$$ Получим число $$-\frac{11\pi }{2}.$$

 

Задание 11375

а) Решите уравнение $$\sin^{4}\frac{x}{4}-\cos^{4}\frac{x}{4}=\cos(x-\frac{\pi}{2})$$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\pi]$$
Ответ: а)$$\pi+2\pi k; -\frac{\pi}{3}+4\pi k; -\frac{5\pi}{3}+4\pi k, k\in Z$$ б) $$-\pi; -\frac{\pi}{3};\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11419

а) Решите уравнение $$\cos 3x-\sin(7x-\frac{\pi}{2})=\cos 5x$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$(-\pi;\frac{\pi}{2})$$
Ответ: а) $$\frac{\pi }{10}+\frac{\pi n}{5}, \pm \frac{\pi }{6}+\pi n, n\in Z$$; б) $$-\frac{9\pi }{10}; -\frac{5\pi }{6}; -\frac{7\pi }{10}; -\frac{\pi }{2}; -\frac{3\pi }{10}; -\frac{\pi }{6};-\frac{\pi }{10}; \frac{\pi }{10}; \frac{\pi }{6};\frac{3\pi }{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11447

а) Решите уравнение $$ctg^{2}x+2\sqrt{3}ctg x+3\sin^{2}x=-3\sin^{2}(x-\frac{3\pi}{2})$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{11\pi}{2};-4\pi]$$
Ответ: а) $$\frac{5\pi }{6}+\pi n, n\in Z$$; б) $$-\frac{31\pi }{6}; -\frac{21\pi }{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11767

а) Решите уравнение $$\sin 3x \cdot \cos 4x=1$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$(-\frac{\pi}{2};\frac{7\pi}{2}]$$
Ответ: А)$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$$ Б)$$\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11852

а) Решите уравнение $$16\cdot (\sin^{6}x+\cos^{6}x)=13$$ 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[2\pi;3\pi]$$
Ответ: а)$$\pm \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z$$ б) $$\frac{25\pi}{12};\frac{29\pi}{12};\frac{31\pi}{12};\frac{35\pi}{12}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12296

а) Решите уравнение $${{\sin }^2 (\frac{x}{4}+\frac{\pi }{4})\ }{{\sin }^2 (\frac{x}{4}-\frac{\pi }{4})\ }=0,375{{\sin }^2 (-\frac{\pi }{4})\ }$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-3\pi ;\ \pi ]$$

Ответ: а) $$-\frac{\pi }{3}+2\pi k, \frac{\pi }{3}+2\pi k, k \in Z$$ б) $$-\frac{7\pi }{3}; -\frac{5\pi }{3}; -\frac{\pi }{3}; \frac{\pi }{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12311

а) Решите уравнение $${\sin \left(2x+\frac{2\pi }{3}\right)\ }{\cos \left(4x+\frac{\pi }{3}\right)\ }-\cos 2x=\frac{{{\sin }^2 x\ }}{{\rm cos}(-\frac{\pi }{3})}$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-2\pi ;\ \frac{3\pi }{2}]$$

Ответ: а) $$-\frac{\pi}{12}+\pi k, k \in Z$$; б) $$-\frac{13\pi}{12}; -\frac{\pi}{12}; \frac{11\pi}{12}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12331

а) Решите уравнение $$\cos 2x-\sin 2x\ =\ \cos x\ +\ \sin x\ +\ 1.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right].$$

Ответ: а) $$-\frac{\pi}{4}+\pi k; -\frac{\pi}{6}+2\pi k; -\frac{5\pi}{6}+2\pi k$$; б) $$-\frac{9\pi}{4}; -\frac{13\pi}{6}; -\frac{5\pi}{4}$$
 

Задание 12351

а) Решите уравнение $$\cos 3x\sin 3x\ =\ \cos\frac{\pi }{3}{\rm cos}(12x+\frac{3\pi }{2})\ $$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi }{4};\ -\frac{\pi }{4}]$$

Ответ: а) $$\frac{\pi }{6}, \frac{\pi }{18}+\frac{\pi }{3}k, -\frac{\pi }{18}+\frac{\pi }{3}k$$, где $$k\in Z$$; б) $$-\frac{13\pi }{18}; -\frac{2\pi }{3}; -\frac{11\pi }{18}; -\frac{\pi }{2}; -\frac{7\pi }{18}; -\frac{\pi }{3}; -\frac{5\pi }{18}$$

Задание 12372

а) Решите уравнение $$\cos 2x\sin 2x\sin\frac{2\pi }{3}=\frac{1}{4}{\rm \cos}(8x-\frac{3\pi }{2})$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{8\pi }{3};;\ \frac{10\pi }{3}]$$

Ответ: а) $$\frac{\pi}{4} k, \frac{5\pi}{24}+\frac{\pi}{2}k, -\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi}{2}k, k\in Z$$; б) $$\frac{65\pi}{24}; \frac{11\pi}{4}; \frac{67\pi}{24}; 3\pi ; \frac{77\pi}{24}; \frac{13\pi}{4}; \frac{79\pi}{24}$$

Задание 12392

а) Решите уравнение $$\cos 2x-\sqrt{2}{\rm \cos}(\frac{\pi }{2}+x)\ +\ 1\ =\ 0.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi ;\ -\frac{7\pi }{2}]$$

Ответ: $$-\frac{\pi }{4}+2\pi n, n \in Z; -\frac{3\pi }{4}+2\pi m, m \in Z$$; б) $$-\frac{19\pi }{4}; -\frac{17\pi }{4}$$
 

Задание 12412

а) Решите уравнение $$2{{\sin }^2 x\ }-3\sqrt{3}{\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }-5=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi }{2};-\pi ]$$

Ответ: $$\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n, n \in Z$$; б) $$-\frac{7\pi }{6}$$
 

Задание 12470

а) Решите уравнение $$2{{\cos }^4 x\ }+3{{\sin }^2 x\ }\ -\ 2=\ 0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{7\pi }{2};\ -\frac{5\pi }{2}]$$

Ответ: а) $$\pi n, \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}n, n \in Z$$; б) $$-\frac{13\pi }{4}, -3\pi, -\frac{11\pi }{4}$$
 

Задание 12492

а) Решите уравнение $$4{{\sin }^4 x\ }\ +7{{\cos }^2 x\ }-4\ =\ 0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi ;\ -4\pi ].$$

Ответ: а) $$\pm \frac{\pi }{3}+\pi n, \frac{\pi }{2}+\pi n, n \in Z$$; б) $$-\frac{14\pi }{3}; -\frac{9\pi }{2}; -\frac{13\pi }{3}$$

Задание 12592

а) Решите уравнение $$\cos x+2{\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\ }=\sqrt{3}\sin 2x-1$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi ;\ -\frac{7\pi }{2}]$$

Ответ: а) $$\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}n, \pm \frac{2\pi }{3}+ 2\pi k, n\in Z$$; б) $$-\frac{13\pi }{4}, -\frac{7\pi }{2}, -\frac{11\pi }{4}$$
 

Задание 12612

а) Решите уравнение $$\sin x+\sqrt{2}{\sin \left(\frac{\pi }{4}-2x\right)\ }=cos2x$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[4\pi ;\ \frac{11\pi }{2}]$$

Ответ: а) $$\pi k, \pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$$; б) $$4\pi , 5\pi , \frac{13\pi }{3}$$
 

Задание 12652

а) Решите уравнение $$\cos 4x\ -\ \sin 2x\ =\ 0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[0;\pi ]$$

Ответ: а) $$\frac{\pi }{12}+\frac{\pi k}{3}, k \in Z$$; б) $$\frac{\pi }{12}; \frac{5\pi }{12}; \frac{3\pi }{4}$$
 

Задание 12712

а) Решите уравнение $$2\sin 2x -4\cos x + 3\sin x -3 = 0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi ;\ \frac{5\pi }{2}]$$

Ответ: а) $$\frac{\pi }{2}+2\pi n, n \in Z; \pi - arccos\frac{3}{4}+2\pi m, m \in Z; arccos\frac{3}{4}+\pi +2\pi k, k \in Z$$; б) $$\pi +arccos\frac{3}{4}; \frac{5\pi }{2}$$
 

Задание 12833

а) Решите уравнение $$\cos4x\ +\ \cos2x\ =\ 0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\pi ;\ \frac{\pi }{3}]$$

Ответ: а) $$\frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{3}, k \in Z$$; б) $$-\frac{5\pi }{6}; -\frac{\pi }{2}; -\frac{\pi }{6}; \frac{\pi }{6}$$
 

Задание 12852

а) Решите уравнение $$2sin^2x\ +\ cosx-1\ =\ 0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi ;\ -4\pi ]$$

Ответ: а) $$\frac{2\pi k}{3}, k \in Z$$; б) $$-\frac{14\pi }{3}; -4\pi $$
 

Задание 13371

а) Решите уравнение $$2\sin^{3}(\pi+x)=\frac{1}{2}\cos (x-\frac{3\pi}{2})$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2}]$$
Ответ: а) $$\pi k;\pm \frac{\pi}{6}+\pi n, k,n \in Z$$ б) $$-\frac{19\pi}{6};-3\pi;-\frac{17\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13390

а) Решите уравнение $$2\cos^{3}(x-\pi)=\sin (\frac{3\pi}{2}+x)$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{9\pi}{2};\frac{11\pi}{2}]$$
Ответ: а)$$\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$ б)$$\frac{9\pi}{2};\frac{19\pi}{4};\frac{21\pi}{4};\frac{11\pi}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13691

а) Решите уравнение: $$\sin 2x+\cos 2x=1$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$$
Ответ: а)$$\pi k; \frac{\pi}{4}+\pi n,n,k\in Z$$ б)$$-3\pi; -\frac{11\pi}{4};-2\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13774

а) Решите уравнение $$\cos 2x+\sin 2x+1=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[3\pi;\frac{9\pi}{2}]$$
Ответ: а) $$\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{3\pi}{4}+\pi n, n,\in Z$$ б) $$\frac{7\pi}{2}; \frac{15\pi}{4}; \frac{9\pi}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13796

а) Решите уравнение $$7\cos x-4\cos^{3}x=2\sqrt{3}\sin 2x$$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-4\pi;-3\pi]$$.
Ответ: а)$$\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in Z$$;$$\frac{\pi}{3}+2\pi n,n \in Z$$; $$\frac{2\pi}{3}+2\pi m,m \in Z$$ б)$$-\frac{11\pi}{3};-\frac{7\pi}{2};-\frac{10\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13900

а) Решите уравнение $$5\sin x-4\sin^{3}x=2\sin 2x$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{-7\pi}{2};-2\pi]$$.
Ответ: а)$$\pi k$$, $$\frac{\pi}{3}+2\pi m$$, $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n, n,m,k\in Z$$ б)$$-3\pi;-\frac{7\pi}{3};-2\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14240

Дано уравнение $$1+2\cos x=\sin 2x+2\sin x$$.

А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$$.
Ответ: А)$$\frac{\pi}{4}+\pi k, k\in Z$$ Б)$$-\frac{11\pi}{4}$$
 

Задание 14313

Дано уравнение $$(1-\cos 2x)\sin 2x=\sqrt{3} \sin^2 x$$.

а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\pi;\frac{\pi}{3}]$$.
Ответ: а) $$\pi n,\frac{\pi}{6}+\pi n,\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z$$. б) $$-\pi;-\frac{5\pi}{6};-\frac{2\pi}{3};0;\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}$$.
Скрыть

а) $$(1-cos2x)sin2x=\sqrt3 sin^2x$$; $$(1-(1-2sin^2x))sin2x=\sqrt3 sin^2x$$; $$2sin^2x\cdot sin2x-\sqrt3 sin^2x=0$$; $$sin^2x(2sin2x-\sqrt3)=0$$;

$$sinx=0 или sin2x=\frac{\sqrt3}{2}$$;

$$x=\pi n$$ или $$2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ или $$2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$$;

$$x=\pi n$$ или $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ или $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z$$.

б) Корни уравнения из отрезка $$[-\pi;\frac{\pi}{3}]$$:

$$-\pi;-\frac{5\pi}{6};-\frac{2\pi}{3};0;\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}$$.

 

Задание 14341

а) Решите уравнение $$\sin x+\sin 3x+|\sin 2x|=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{\pi}{2};2\pi]$$
Ответ: А)$$-\frac{\pi}{3}+2\pi k;$$$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;$$$$-\frac{\pi m}{2}, m,n,k\in Z$$ Б)$$\frac{\pi}{2};\pi;\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{3};2\pi$$