Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C1) Уравнения

Тригонометрические уравнения

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11852

а) Решите уравнение $$16\cdot (\sin^{6}x+\cos^{6}x)=13$$ 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[2\pi;3\pi]$$
Ответ: а)$$\pm \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z$$ б) $$\frac{25\pi}{12};\frac{29\pi}{12};\frac{31\pi}{12};\frac{35\pi}{12}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11767

а) Решите уравнение $$\sin 3x \cdot \cos 4x=1$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$(-\frac{\pi}{2};\frac{7\pi}{2}]$$
Ответ: А)$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$$ Б)$$\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11447

а) Решите уравнение $$ctg^{2}x+2\sqrt{3}ctg x+3\sin^{2}x=-3\sin^{2}(x-\frac{3\pi}{2})$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{11\pi}{2};-4\pi]$$
Ответ: а) $$\frac{5\pi }{6}+\pi n, n\in Z$$; б) $$-\frac{31\pi }{6}; -\frac{21\pi }{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11419

а) Решите уравнение $$\cos 3x-\sin(7x-\frac{\pi}{2})=\cos 5x$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$(-\pi;\frac{\pi}{2})$$
Ответ: а) $$\frac{\pi }{10}+\frac{\pi n}{5}, \pm \frac{\pi }{6}+\pi n, n\in Z$$; б) $$-\frac{9\pi }{10}; -\frac{5\pi }{6}; -\frac{7\pi }{10}; -\frac{\pi }{2}; -\frac{3\pi }{10}; -\frac{\pi }{6};-\frac{\pi }{10}; \frac{\pi }{10}; \frac{\pi }{6};\frac{3\pi }{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11375

а) Решите уравнение $$\sin^{4}\frac{x}{4}-\cos^{4}\frac{x}{4}=\cos(x-\frac{\pi}{2})$$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\pi]$$
Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11085

а) Решите уравнение $$2{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\cdot {\cos x\ }-13{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-6{{\cos }^{{\rm 3}} x\ }={\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)\ }-{\cos (\frac{\pi }{6}-x)\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Ответ: а) $$arctg3+\pi n;-arctg\frac{1}{2}+\pi k;$$ $$-arctg2+\pi m,n,k,m\in Z$$; б) $$-arctg2;-arctg\frac{1}{2};\ arctg3$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть а)
$$2{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\cdot {\cos x\ }-13{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-6{{\cos }^{{\rm 3}} x\ }={\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)\ }-{\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)\ }.$$
Учтем, что $${\sin (\frac{\pi }{3}+x)\ }=\left({\sin \frac{\pi }{2}\ }-\left(\frac{\pi }{6}-x\right)\right)={\cos (\frac{\pi }{6}-x)\ }.$$
Получим: $$2{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\cdot {\cos x\ }-13{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-6{{\cos }^{{\rm 3}} x\ }=0|:{{\cos }^{{\rm 3}} x\ }\ne 0.$$
$$2{{\tan }^{{\rm 3}} x\ }-{{\tan }^{{\rm 2}} x\ }-13{\tan x\ }-6=0.$$
Пусть $${\tan x\ }=y:$$ $$2y^3-y^2-13y-6=0\leftrightarrow \left(y-3\right)\left(2y^2+5y+2\right)=0\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} y=3 \\ y=-\frac{1}{2} \\ y=-2 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\tan x\ }=3 \\ {\tan x\ }=-\frac{1}{2} \\ {\tan x\ }=-2 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=arctg3+\pi n \\ x=-arctg\frac{1}{2}+\pi k \\ x=-arctg2+\pi m,n,k,m\in Z \end{array} \right.$$

б) с помощью единичной окружности отберем корни: $$1)-arctg2;2)-arctg\frac{1}{2};3)\ arctg3$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10999

а) Решите уравнение $${\cos (x+\frac{\pi }{3})\ }\cdot {\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\ }=-\frac{1}{2}$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi }{2};2\pi ]$$

Ответ: a) $$x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z$$; б) $$1)-\frac{\pi }{3};\ 2)\frac{5\pi }{3}; 3)\frac{\pi }{3}; 4)\frac{2\pi }{3}; 5)\frac{4\pi }{3}$$
Скрыть

а) $${\cos (x+\frac{\pi }{3})\ }\cdot {\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\ }=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \frac{1}{2}({\cos \left(x+\frac{\pi }{3}+x-\frac{\pi }{3}\right)\ }+{\cos \left(x+\frac{\pi }{3}-x+\frac{\pi }{3}\right)\ }=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow {\cos 2x\ }+{\cos \frac{2\pi }{3}\ }=-1\leftrightarrow {\cos 2x\ }=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in Z\leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z.$$

б) С помощью единичной окружности отберем корни на $$\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right].$$ $$1)-\frac{\pi }{3};\ 2)-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3};3)\ 0+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3};4)\ \pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3};5)\ \pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10820

а) Решите уравнение $${{\sin }^{{\rm 2}} \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }={\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)\ }\cdot {\cos \left(\frac{17\pi }{2}+x\right)\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$(-\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{2})$$.

Ответ: а) $$\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z; \frac{\pi }{4}+\pi k,k\in Z$$ б)$$-\frac{\pi }{2}$$;$$\frac{3\pi }{2}$$;$$0+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$$;$$2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$$;$$\frac{\pi }{2}$$;$$\frac{7\pi }{4}$$.
Скрыть

а) $${{\sin }^{{\rm 2}} \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }={\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)\ }\cdot {\cos \left(\frac{17\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin x\ }{\cos x\ }\leftrightarrow {\cos x\ }\left({\cos x\ }-{\sin x\ }\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\cos x\ }=0 \\ {\tan x\ }=1 \end{array} \right.\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \\ x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in Z \end{array} \right..$$

б) С помощью единичной окружности отберем корни: 1) $$-\frac{\pi }{2}$$; 2) $$\frac{3\pi }{2}$$; 3) $$0+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$$; 4) $$2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$$; 5) $$\frac{\pi }{2}$$; 6) $$\frac{7\pi }{4}$$.

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10655

а) Решите уравнение $${\cos 2x\ }-{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }\cdot {\cos x\ }+1={{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 3}} x\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$\left(-arctg2;\pi \right)$$

Ответ: а) $$\frac{\pi }{4}+\pi n, -arctg2+\pi n, n\in Z$$; б) $$\frac{\pi }{4}; \pi -arctg2$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10595

а) Решите уравнение $$\left|{\cos x\ }+{\cos 3x\ }\right|=-{\cos 2x\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$$

Ответ: а)$$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\pm \frac{\pi}{3}+\pi n$$ б)$$-\frac{3\pi}{4};-\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{3};-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{3}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10440

а) Решите уравнение

$$\sin x+\cos x+\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$-\frac{\pi}{4}+\pi n, \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$$$\pi+2\pi n, n\in Z$$ Б)$$-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10382

А) Найдите корень уравнения $$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ (в градусах),
Б) Укажите корни, принадлежащий промежутку [270o;360o]
Ответ: 330
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10278

Найдите $$x_{0}$$ ‐ наибольший отрицательный корень уравнения $$\sqrt{-3\sin x+\cos x}=\sqrt{\sin x-3\cos x}$$. В ответе укажите $$\frac{x_{0}}{\pi}$$

Ответ: -0,75
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10052

Дано уравнение $$\sin 2x+\sqrt{3}(\cos x-\sin x)=1,5$$

А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$$.
Ответ: А)$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;$$$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n;$$$$\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n, n \in Z$$ Б)$$-\frac{8\pi}{3};-\frac{7\pi}{3};-\frac{13\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9875

а) Решите уравнение $$(1+\sin \frac{\pi}{7})^{3-\cos 2x}=(\sin \frac{\pi}{14}+\cos \frac{\pi}{14})^{10\sin x}$$
б) Найдите корни этого уравнения, по абсолютной величине не превышающие $$1,5\pi$$
Ответ: а)$$\frac{\pi}{6}+2\pi n;$$$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$б)$$-\frac{7\pi}{6};\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9772

Найдите наименьший положительный корень уравнения $$\cos^{4}\frac{\pi x}{4}=1+\sin^{4} \frac{\pi x}{4}$$

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9624

Найдите наименьший положительный корень уравнения $$\sqrt{\sin \pi x}=\sqrt{\cos \pi x}$$

Ответ: 0,75
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9527

а) Решите уравнение: $$\cos 4x-sin 2x=0$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[0;\pi]$$

Ответ: а)$$\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{3}, k\in Z$$ б)$$\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12};\frac{3\pi}{4}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9342

а) Решите уравнение $$\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x+\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{5x}{2}$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi}{2};-2\pi]$$

Ответ: а) $$\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n; \pi n, n\in Z$$; б) $$-\frac{9\pi }{4}; -2\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9245

а) Решите уравнение $$\sin x+\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}-2x)=\cos 2x$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[4\pi;\frac{11\pi}{2}]$$

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9228

а) Решите уравнение $$\cos x+2\cos(2x-\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}\sin 2x-1$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}]$$

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9161

а) Решите уравнение $$4\cos^{2}x+2(\sqrt{2}-1)\sin(\frac{\pi}{2}-x)-\sqrt{2}=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{\pi}{2};2\pi]$$

Ответ: А)$$\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n$$;$$\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z$$ Б)$$\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4};\frac{5\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 8797

а) Решите уравнение $$4\sin^{4}x+7\cos^{2}x-4=0$$ 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi;-4\pi]$$

Ответ: а)$$\pm \frac{\pi}{3}+\pi n; \frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z$$ б)$$-\frac{14\pi}{3};-\frac{9\pi}{2};-\frac{13\pi}{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8778

а) Решите уравнение: $$2\cos^{4}x+3\sin^{2}x-2=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2}]$$
Ответ: а)$$\pi n, \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n }{2}, n\in Z$$ б)$$-\frac{13\pi}{4};-3\pi;-\frac{11\pi}{4}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8717

а) Решите уравнение $$2\sin^{2}x-3\sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{2}+x)-5=0$$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi}{2};-\pi]$$
Ответ: а)$$\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,n \in Z$$ б)$$-\frac{7\pi}{6}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8697

а) Решите уравнение $$\cos 2x-\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{2}+x)+1=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}]$$

Ответ: а)$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n; -\frac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in Z$$ б)$$-\frac{19\pi}{4};-\frac{17\pi}{4}$$
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8316

Решите уравнение $$\cos \frac{\pi x}{7}=-1$$ . В ответе запишите наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ: -7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 7862

а) Решите уравнение: $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1$$;

б) Укажите корни этого уранения, принадлежащие отрезку $$\begin{bmatrix}\frac{\pi}{2}&;\frac{7\pi}{2}\end{bmatrix}$$

Ответ: а) $$\frac{5\pi}{12}+\pi k$$, $$k\in Z$$; б) $$\frac{17\pi}{12}; \frac{29\pi}{12};\frac{41\pi}{12}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-(2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1)-2$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-\cos(\frac{\pi}{6}+2x)-2$$

Заметим, что : $$\cos(\frac{\pi}{6}+2x)=\cos(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}-2x))=\sin(\frac{\pi}{3}-2x)$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-\sin(\frac{\pi}{3}-2x)-2$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-1$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{\pi}{3}-2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$ $$\Rightarrow$$ $$-2x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{5\pi}{12}+\pi k$$, $$k\in Z$$

б) с помощью двойного неравенства отберем корни: $$\frac{\pi}{2}\leq \frac{5\pi}{12}+\pi k \leq \frac{7\pi}{2}\Leftrightarrow$$$$\frac{\pi}{12}\leq \pi k \leq \frac{37\pi}{12}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{12}\leq k\leq \frac{37}{12}$$.

Тогда $$k=1: x=\frac{5\pi}{12}$$; $$k=2: x=\frac{17\pi}{12}$$; $$k=2: x=\frac{29\pi}{12}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4066

Решите уравнение: $$ |\cos x+ \sin x|= \sqrt{2}\sin 2x$$

Ответ: $$\frac{\pi}{4}+\pi k, k\in Z$$
Скрыть

   А) Так как слева модуль, то ОДЗ (D): $$\sin 2x\geq 0$$

Возведем обе части в квадрат:

$$(\left | \cos x+\sin x \right |)^{2}=(\sqrt{2}\sin 2x)^{2}$$

$$\cos^{2}x+2\sin x \cos x+\sin^{2}x=2 \sin ^{2}2x$$

$$1+\sin 2x -2 \sin^{2}x=0$$

$$D=1+8-9$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin 2x =\frac{-1+3}{-4} =-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{-1-3}{-4}=1\end{matrix}\right.$$

$$\sin 2x=-\frac{1}{2} \notin D$$

$$\sin 2x=1\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k,k\in Z\Leftrightarrow$$$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in Z$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4065

а) Решите уравнение $$tg^{2} x+(1+\sqrt{3})tg x + \sqrt{3}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{5\pi}{2};4\pi]$$

Ответ: А) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z;-\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z$$ Б) $$\frac{15\pi}{4};\frac{11\pi}{3}$$
Скрыть

     А) $$tg^{2}x+(1+\sqrt{3})tgx+\sqrt{3}=0$$

$$D=(1+\sqrt{3})^{2}-4\sqrt{3}=1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}+3=(1-\sqrt{3})^{2}$$

$$\left[\begin{matrix}tg x=\frac{-1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1}{2}=-1\\tgx=\frac{-1-\sqrt{3}-\sqrt{3}+1}{2}=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=-\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\\x_{2}=-\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z \end{matrix}\right.$$

   Б) $$x_{1}$$: $$3\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{11\pi}{4};$$$$4\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{15\pi}{4}$$

$$x_{2}$$:$$3\pi-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi}{3};$$ $$4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4064

а) Решите уравнение $$4\sin^{3} x=3\cos (x-\frac{\pi}{2})$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{7\pi}{2};\frac{9\pi}{2}]$$

Ответ: А) $$\pi n, n\in Z;(-1)^{n}\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z;(-1)^{m+1}+\pi m,m \in Z$$ Б) $$4\pi;\frac{13\pi}{3};\frac{11\pi}{3}$$
Скрыть

   А) $$4 \sin ^{3}x=3 \cos(x-\frac{\pi}{2})\Leftrightarrow$$$$4 \sin ^{3}x=3 \cos(\frac{\pi}{2}-x)\Leftrightarrow$$$$4 \sin^{3}x=3 \sin x\Leftrightarrow$$$$4 \sin^{3}x-3 \sin x=0\Leftrightarrow$$$$\sin x(4 \sin^{2}x-3)=0$$

$$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\4 \sin^{2}x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n,n \in Z\\\sin^{2}x=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n , n \in Z\\\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=\pi n, n\in Z\\x_{2}=(-1)^{n}\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z\\x_{3}=(-1)^{m+1}+\pi m,m \in Z\end{matrix}\right.$$

   Б) $$x_{1}: 4\pi$$

$$x_{2}:4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}$$

$$x_{3}:4 \pi -\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4063

а) Решите уравнение $$\sqrt{2}\sin^{3} x - \sqrt{2}\sin x + \cos^{2} x =0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\frac{5\pi}{2};-\pi]$$

Ответ: А) $$\frac{\pi}{2}+\pi k,k \in Z;(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi n,n \in Z$$ Б) $$-\frac{5 \pi}{2}; -\frac{3 \pi}{2}; -\frac{7\pi}{4};-\frac{5\pi}{4}$$
Скрыть

   А) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

$$\sqrt{2}\sin x(\sin ^{2}x -1)+(1-\sin^{2}x)=0\Leftrightarrow$$$$(\sin^{2}-1)(\sqrt{2}\sin x-1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin^{2}x -1=0\\\sqrt{2}\sin x-1 =0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin^{2}x=1\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x=\pm 1\\\sin x=(-1)^{n}\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{2}+\pi k,k \in Z\\x_{2}=(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi n,n \in Z\end{matrix}\right.$$

   Б) $$x_{1}:-\frac{5 \pi}{2}; -\frac{3 \pi}{2}$$

$$x_{2}:- 2\pi +\frac{\pi}{4}=-\frac{7\pi}{4}; -\pi- \frac{\pi}{4}=-\frac{5\pi}{4}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4062

а) Решите уравнение $$\cos^{2} \frac{x}{2} -\sin^{2} \frac{x}{2} =\sin(\frac{\pi}{2}-2x)$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: А) $$2 \pi n, n \in Z;\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi k, k \in Z$$ Б) $$2\pi;\frac{4\pi}{3}$$
Скрыть

   А) Воспользуемся формулами косинуса двойного агрумента и приведения:

$$\cos 2*\frac{x}{2}=\cos 2x\Leftrightarrow$$$$\cos x=2 \cos ^{2}x -1=0\Leftrightarrow$$$$2 \cos ^{2}x =\cos x-1=0$$

$$D=1+8=9$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{1+3}{4} =1\\\cos x=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2 \pi n, n \in Z\\x=\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$

   Б) $$2 \pi n$$: $$2\pi$$

$$- \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ :$$\pi + \frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4034

а) Решите уравнение $$\sin 2x -2\sqrt{3}\cos^{2} x - 4\sin x + 4\sqrt{3}\cos x = 0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi ; \frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$x =\frac{\pi}{3}+\pi n, n \in Z$$ Б)$$\frac{4\pi}{3};\frac{7\pi}{3}$$
Скрыть

   А) Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

$$2 \sin x \cos x-2\sqrt{3}\cos^{2}x-4 \sin x+4\sqrt{3} \cos x=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin x(\cos x-2)-2\sqrt{3}\cos x(\cos x-2)=0\Leftrightarrow$$$$(2 \sin x-2\sqrt{3} \cos x)(\cos x-2)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}2 \sin x-2\sqrt{3}\cos x=0\\\cos x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}tg x-\sqrt{3} =0\\ \varnothing , \left | \cos x \right |\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$tg x=\sqrt{3}\Leftrightarrow x =\frac{\pi}{3}+\pi n, n \in Z$$

   Б) $$\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

$$2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4033

а) Решите уравнение $$\sin x + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: А) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z$$ Б) $$\frac{7\pi}{4}$$
Скрыть

   А) Уберем скобки, использую формулу сокращенного умножения:

$$\sin x+\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2}=0$$

Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента: 

$$\sin x+\cos x=0|:\cos x \neq 0\Leftrightarrow$$$$tg x+1=0$$$$tgx=-1\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z$$

   Б) $$2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4032

Дано уравнение $$2\cos^{2} x +2\sin 2x = 3$$
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{4}+\pi n ,n\in Z; arctg \frac{1}{3}+\pi k, k\in Z$$ Б)$$-\pi+arctg \frac{1}{3};-\frac{3\pi }{4}$$
Скрыть

   А) Воспользуемся формулами синуса двойного аргумента и основным тригонометрическим тождеством:

$$2\cos^{2}x+2 *2\sin x \cos x-3(\sin^{2}x+\cos^{2}x)=0\Leftrightarrow$$$$-\cos^{2}x+4 \sin x\cos x-3 \sin^{2}x=0| :(-\cos^{2})x\Leftrightarrow$$$$3tg^{2}x-4 tg x+1=0$$

$$D=16-12=4$$

$$\left\{\begin{matrix}tg x=\frac{4+2}{6} =1\\tg x=\frac{4-2}{6} =\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n ,n\in Z\\x=arctg \frac{1}{3}+\pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$

   Б) Найдем корни на заданном промежутке :

$$arctg \frac{1}{3}+\pi k$$: $$-\pi+arctg \frac{1}{3 }$$

$$\frac{\pi}{4}+\pi n$$: $$-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi }{4}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4031

а) Решите уравнение $$\cos 2x - \sin^{2} (\frac{\pi}{2}-x) = -0,25$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi; \frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n;\pm \frac{5\pi}{6}+2 \pi k, k ,n \in Z$$ Б)$$\frac{7\pi}{6};\frac{11\pi}{6};\frac{19\pi}{6}$$
Скрыть

     A) Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:

$$2 \cos ^{2}x-1-\cos ^{2}x+0,25=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{2}x-0,75=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{2}x=\frac{3}{4}$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n\\x=\pm \frac{5\pi}{6}+2 \pi k, k ,n \in Z\end{matrix}\right.$$

     Б) Найдем корни на заданном промежутке :

$$-\frac{5 \pi}{6}+2\pi n$$ : $$\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$$

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n$$: $$2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$$

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n 2$$:$$\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{19\pi}{6}$$

$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$: нет

Аналоги к этому заданию:

Задание 4030

а) Решите уравнение $$2\cos^{3} x -\cos^{2} x +2\cos x -1=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[2\pi;\frac{7\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n\in Z$$ Б)$$\frac{7\pi}{3}$$
Скрыть

А)   Сгруппируем слагаемые:

$$\cos^{2} x(2 \cos x-1)+(2\cos x-1)=0$$

$$(2 \cos x-1)(\cos^{2}x+1)=0$$

     Т.к. $$\cos^{2}x\geq 0$$ при любом x,тогда $$\cos ^{2}+1>0$$, при любом x.

$$2\cos x-1=0 \Leftrightarrow$$ $$\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n\in Z$$

Б)   На заданном промежутке корни $$\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$2\pi +\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$$

$$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: нет

Аналоги к этому заданию:

Задание 4029

а) Решите уравнение $$\cos 2x -3\cos x +2=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$2\pi k;\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$ Б)$$-4\pi;-\frac{11\pi}{3}$$
Скрыть

А)   Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:

$$2 \cos^{2}x-1-3 \cos x+2=0$$

     Замена: $$y=\cos x\Rightarrow \left | y \right |\leq 1$$

$$2 y^{2}-3y+1=0$$

$$D=9-8=1$$

$$\left\{\begin{matrix}y_{1}=\frac{3+1}{4}=1\\y_{2}=\frac{3+1}{4}=0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2 \pi n\\x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi k,n,k\in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на промежутке: $$[-4 \pi -\frac{5\pi}{2}]$$

Для корня $$2\pi k: -4\pi$$

Для корня $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ :нет

Для корня $$\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$-4 \pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{11\pi}{3}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 4028

а) Решите уравнение $$\sin 2x + \sqrt{2}\sin x = 2\cos x + \sqrt{2}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n , \frac{\pi}{4}+2\pi k, n,k\in Z$$ Б) $$\frac{5\pi}{4};\frac{5\pi}{2}$$
Скрыть

А)   Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

$$2\sin x\cos x+\sqrt{2}\sin x-2 \cos x-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow$$$$\sin x(2 \cos x+\sqrt{2})-(2 \cos x+\sqrt{2})=0\Leftrightarrow$$$$(2\cos x+\sqrt{2})(\sin x-1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}2\cos x+\sqrt{2}=0\\\sin x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\cos \sin x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1,2}=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n , n \in Z\\x_{3}=\frac{\pi}{4}+2\pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на данном промежутке:

$$x_{1}:$$ нет  

$$x_{2} :\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$$

$$x_{3}=\frac{5\pi}{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4027

а) Решите уравнение $$2\sin^{2} x- \sqrt{3}\sin 2x =0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{3\pi}{2};3\pi]$$

Ответ: А)$$\pi n, \frac{\pi}{3}+\pi k, n,k \in Z$$ Б)$$2\pi ;\frac{7\pi}{3}; 3\pi;$$
Скрыть

А)   Воспользуемся формулой двойного аргумента:

$$2 \sin^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin x(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x-\sqrt{3}\cos x=0\left.\begin{matrix}\end{matrix}\right|:\cos x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n, n \in Z\\tg x-\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi n , n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на заданном промежутке:

$$x_{1:} 2\pi ;3\pi; x_{2} :2 \pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4026

а) Решите уравнение: $$\cos^{2} x - \frac{1}{2}\sin 2x + \cos x = \sin x$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{\pi}{2};2\pi]$$

Ответ: А) $$\pi+2 \pi n , \frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z$$Б) $$\pi;\frac{5 \pi}{4}$$
Скрыть

А)   Воспользуемся формулой двойного аргумента:

$$\cos^{2}x-\frac{1}{2}*2\sin x\cos x+\cos x-\sin x=0$$

$$\cos x(\cos x-\sin x)+(\cos x-\sin x)=0$$

$$(\cos x-\sin x)(\cos x+1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x+1=0\\\cos x-\sin x=0\left.\begin{matrix}\end{matrix}\right| : \cos x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=-1\\1-tg x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi+2\pi n, n \in Z\\tg x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi+2 \pi n , n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на заданном промежутке :

$$x_{1} :\pi$$

$$x_{2} :\pi +\frac{\pi}{4}=\frac{5 \pi}{4}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4025

а) Решите уравнение: $$2\sqrt{3}\cos^{2} (\frac{3\pi}{2} +x) -\sin 2x =0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[ \frac{3\pi}{2};3\pi]$$

Ответ: А)$$\pi n, n; \frac{\pi}{6}+\pi k,n,k \in Z$$ Б) $$2\pi;\frac{13\pi}{6};3\pi$$
Скрыть

A)   Воспользуемся формулой приведение и формулой двойного аргумента:

$$2\sqrt{3} \sin^{2}x-2 \sin x \cos x=0$$

$$2 \sin x(\sqrt{3}\sin x- \cos x)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sqrt{3} \sin x-\cos x=0\left.\begin{matrix}: \cos x\end{matrix}\right|\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n , n\in Z\\\sqrt{3}tg x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n, n \in Z\\tg x=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi n, n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{6}+\pi k,k \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на заданом промежутке:

$$x_{1} :2\pi ;3\pi$$

$$x_{2}:2\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{13 \pi}{6}.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4024

Решите уравнение: $$(2\sin x-1)(\sqrt{-\cos x}+1)=0$$

Ответ: А)$$\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n , n \in Z$$ Б)$$\frac{17\pi}{6}$$
Скрыть

А)   Подкоренное выражение неотрицательно , следовательно: $$D: -\cos x\geq 0\Leftrightarrow \cos x\leq 0$$

С другой стороны $$\sqrt{f}\geq 0\Rightarrow$$ $$\sqrt{-\cos x}+1>0$$ при всех возможных x. Тогда остается:

$$2 \sin x-1=0\Leftrightarrow$$ $$\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{6}+2 \pi n \notin D\\x_{2}=\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем значение на заданном промежутке:

$$x_{2}: 3 \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{17}{6}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4003

а) Решите уравнение: $$2\sin^{4} x+3\cos 2x + 1=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi;3\pi]$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z$$ Б)$$\frac{3 \pi}{2}; \frac{5 \pi}{2}$$.
Скрыть

А)   Воспользуемся формулой двойного аргумента: $$\cos 2x =1-2 \sin^{2}x$$

$$2 \sin^{4}x +3(1-2 \sin^{2}x)+1=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin^{4}x+3-6 \sin^{2}x+1=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin^{4}x -6 \sin^{2}x+4=0 |:2\Leftrightarrow$$$$\sin ^{4}x-3 \sin^{2}x+2=0.$$

     Пусть $$\sin^{2}x=y, D:|y|\leq 1\Rightarrow$$$$y^{2}-3y+2=0$$

$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=3 \\y_{1}*y_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=2 \notin D\\y_{2}=1\end{matrix}\right.$$

     $$\sin^{2}x =1\Leftrightarrow$$  $$\sin x=\pm 1\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z.$$

Б)   Отберем корни, принадлежащие данному промежутку:

$$\frac{3 \pi}{2}; \frac{5 \pi}{2}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 4002

а) Решите уравнение: $$8\sin^{2} x + 2\sqrt{3}\cos x +1=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:$$[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$$

Ответ: А)$$\pm \frac{5 \pi}{6 }+2 \pi n, n\in Z$$ Б)$$-\frac{19 \pi}{6};-\frac{17 \pi}{6}$$
Скрыть

А)   Воспльзуемся основным тригонометрическим тождеством: $$1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$$

$$8(1-\cos^{2}x)+2\sqrt{3} \cos x+1=0$$

     Замена: $$\cos x=y; |y|\leq 0$$

$$8-8y^{2}+2\sqrt{3}y+1=0\Leftrightarrow$$$$-8y^{2}+2\sqrt{3}y+9=0 |*(-1)\Leftrightarrow$$$$8y^{2}-2\sqrt{3}y-9=0$$

$$D=(2\sqrt{3})^{2}+4*8*9=12+288=300$$

$$y_{1}=\frac{2\sqrt{3}+10\sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$ - не подходит ($$|\cos x| \leq 1)$$.

$$y_{2}=\frac{2\sqrt{3}-10\sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x_{1,2}=\pm \frac{5 \pi}{6 }+2 \pi n, n\in Z$$

Б)   На данном промежутке встречаются оба корня:

$$x_{2}: -3 \pi +\frac{\pi}{6}=-\frac{17 \pi}{6}$$

$$x_{1} :-3 \pi -\frac{\pi}{6}=-\frac{19 \pi}{6}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4001

а) Решите уравнение $$\cos 2x - \sqrt{2}\cos (\frac{3\pi}{2} + x) - 1 = 0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{3\pi}{2};3\pi]$$

Ответ: а)$$\frac{\pi}{2}+2 \pi n , n \in Z\; =-\frac{\pi}{4}+2 \pi n;-\frac{3\pi}{4}+2 \pi n$$ б)$$ \frac{3 \pi}{2};\frac{7 \pi}{4}$$
Скрыть

$$\cos 2x-\sqrt{2} \cos (\frac{3 \pi}{2}+x)-1=0$$

Воспользуемся формулой двойного аргумента и привидения:

$$\cos 2x=1-2 \sin ^{2}x$$ 

$$\cos (\frac{3 \pi}{2}+x)=\sin x$$

Получим:

$$1-2 \sin ^{2}x -\sqrt{2} \sin x=0$$

$$-2 \sin^{2}x-\sqrt{2} \sin x=0$$

$$\sin x(2 \sin x+\sqrt{2})=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{2}+2 \pi n , n \in Z\\x_{2}=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n\\x_{3}=-\frac{3\pi}{4}+2 \pi n\end{matrix}\right.$$

c) на данном промежутке встречается корень: $$x_{1}: \frac{3 \pi}{2}$$ и $$x_{2} :2\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{7 \pi}{4}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4000

а) Решите уравнение: $$\cos (\frac{\pi }{2}+2x)=\sqrt{2}\sin x$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-5\pi;-4\pi]$$

Ответ: а)$$\pm \frac{\pi}{4}+2 \pi k, k\in Z$$ б)$$-5 \pi; -\frac{19 \pi}{4};-4 \pi$$
Скрыть

a) $$\cos (\frac{\pi }{2}+2 x)=\sqrt{2} \sin x$$
$$-\sin 2x-\sqrt{2} \sin x=0$$
$$-2 \sin x* \cos x-\sqrt{2} \sin x=0$$
$$- \sin x(2 \cos x+\sqrt{2})=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\2 \cos x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=\pi n\\x=\pm \frac{\pi}{4}+2 \pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$

b)1) $$-5 \pi; -4 \pi$$
2) $$-5 \pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{19 \pi}{4}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3999

а)Решите уравнение $$\sin 8\pi x+1=\cos 4\pi x+\sqrt{2}\cos (4\pi x-\frac{\pi }{4})$$
б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left [ 2-\sqrt{7};\sqrt{7}-2 \right ]$$

Ответ: a)$$\frac{1}{8} +\frac{n}{2};\frac{1}{12} +\frac{n}{2};-\frac{1}{12} +\frac{n}{2}$$ б)$$-\frac{3}{8};\frac{1}{8};\frac{5}{8};\pm\frac{5}{12};\pm\frac{1}{12};\pm\frac{7}{12};$$
Скрыть

$$\sin 8\pi x+1=\cos 4\pi x+\sqrt{2}* \cos (4\pi x -\sin \frac{\pi}{4})$$

Воспользуемся формулой косинуса разности: $$\cos (4 \pi x-\frac{\pi}{4})=$$$$\cos 4\pi x* \cos \frac{\pi}{4}+ \sin 4 \pi x * \sin\frac{\pi}{4}=$$$$\frac{\sqrt{2}}{2}* \cos 4 \pi x +\frac{\sqrt{2}}{2}* \sin 4 \pi x$$

$$\sin 8 \pi x+1= \cos 4 \pi x +\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}* \cos 4 \pi x+\frac{\sqrt{2}}{2}* \sin 4 \pi x)$$

$$\sin (2* 4 \pi x)+1=\cos 4 \pi x+ \cos 4 \pi x+\sin 4 \pi x$$

$$2 \sin 4 \pi x* \cos 4 \pi x +1-2 \cos 4 \pi x- \sin 4 \pi x=0$$

$$2 \cos 4 \pi x(\sin 4 \pi x-1)+(1-\sin 4 \pi x)=0$$

$$(\sin 4\pi x-1)(2 \cos 4 \pi x-1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin 4 \pi x-1 =0\\2 \cos 4 \pi x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin 4 \pi x=1\\\cos 4 \pi x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}4 \pi x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n\in Z\\4 \pi x=\frac{\pi}{3}+2 \pi n,\\4 \pi x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi x, \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{1}{8} +\frac{n}{2}\\x_{2}=\frac{1}{12} +\frac{n}{2}\\x_{3}=-\frac{1}{12} +\frac{n}{2}, n\in Z\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим значение $$\sqrt{7}: \sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}\Rightarrow 2<\sqrt{7}<3$$

рассмотрим корни: $$x_{1}: 2-\sqrt{7}<\frac{1}{8}+\frac{n}{2}<\sqrt{7}-2$$

$$\frac{15}{8}-\sqrt{7}< \frac{n}{2}<\sqrt{7}-\frac{17}{8}$$

$$\frac{15}{4}-2\sqrt{7}<n< 2\sqrt{7}-\frac{17}{4}$$

Тогда n=-1 ;0; 1; следовательно $$x_{1}=-\frac{3}{8};\frac{1}{8};\frac{5}{8}$$

Аналогично рассуждая для $$x_{2}=-\frac{5}{12};\frac{1}{12};\frac{7}{12};$$

И для $$x_{3}=-\frac{7}{12};-\frac{1}{12};\frac{5}{12};$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1146

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$ -\sqrt{2}\sin (-\frac{5\pi}{2}+x) * \sin x = \cos x$$

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $$\left [ \frac{9\pi }{2};6\pi \right ]$$

Ответ: a) $$\frac{\pi }{2}+\pi k ; \frac{\pi }{4}+2\pi k ;\frac{3\pi }{2}+2\pi k ; k\in Z$$ ; б)$$4,5\pi ; 4.75\pi ; 5,5\pi $$
Скрыть

a) $$-\sqrt{2}*\sin(-\frac{5\pi }{2}+x)*\sin x=\cos x$$

Воспользуемся формулой привидения:

$$\sin (-\frac{5\pi }{2}+x)=-\cos x$$

$$-\sqrt{2}(-\cos x))*\sin x -\cos x =0$$

$$\sqrt{2}*\cos x *\sin x -\cos x=0$$

$$\cos x (\sqrt{2}*\sin x -1 )=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\\sqrt{2}*\sin x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi }{2}+\pi \kappa ,\kappa \in Z\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi }{2}+\pi \kappa , \kappa \in Z\\x=(-1) ^{n}*\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.$$

b) Видим , что на промежутках есть корень $$\frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.$$ Найдем его:

$$5\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{19 \pi }{4}$$

Так же есть корни $$\frac{ \pi }{2}+\pi n , n \in Z$$. Найдем их: $$\frac{9\pi }{2}; 5\pi +\frac{\pi }{2}=5,5\pi$$